Kąt między liniami prostymi przechodzący przez współczynnik. Kąt między przecinającymi się prostymi: definicja, przykłady znalezienia

Powiem krótko. Kąt między dwiema prostymi jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi. Tak więc, jeśli uda Ci się znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych a = (x 1 ; y 1 ; z 1) i b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), to możesz znaleźć kąt. Dokładniej, cosinus kąta zgodnie ze wzorem:

Zobaczmy, jak działa ta formuła na konkretnych przykładach:

Zadanie. W sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 zaznaczono punkty E i F - odpowiednio środki krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1. Znajdź kąt pomiędzy liniami AE i BF.

Ponieważ krawędź sześcianu nie jest określona, ​​przyjmijmy AB = 1. Wprowadzamy standardowy układ współrzędnych: początek znajduje się w punkcie A, osie x, y, z są skierowane odpowiednio wzdłuż AB, AD i AA 1. Odcinek jednostkowy jest równy AB = 1. Znajdźmy teraz współrzędne wektorów kierunkowych naszych linii.

Znajdźmy współrzędne wektora AE. Do tego potrzebujemy punktów A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Ponieważ punkt E jest środkiem odcinka A 1 B 1, jego współrzędne są równe średniej arytmetycznej współrzędnych końców. Należy zauważyć, że początek wektora AE pokrywa się z początkiem współrzędnych, zatem AE = (0,5; 0; 1).

Przyjrzyjmy się teraz wektorowi BF. Podobnie analizujemy punkty B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), ponieważ F jest środkiem odcinka B 1 C 1. Mamy:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Zatem wektory kierunkowe są gotowe. Cosinus kąta między prostymi jest cosinusem kąta między wektorami kierunkowymi, więc mamy:

Zadanie. W regularnym trójkątnym pryzmacie ABCA 1 B 1 C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, zaznaczono punkty D i E - odpowiednio punkty środkowe krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1. Znajdź kąt pomiędzy liniami AD i BE.

Wprowadźmy standardowy układ współrzędnych: początek znajduje się w punkcie A, oś x skierowana jest wzdłuż AB, z - wzdłuż AA 1. Skierujmy oś Y tak, aby płaszczyzna OXY pokrywała się z płaszczyzną ABC. Odcinek jednostkowy jest równy AB = 1. Znajdźmy współrzędne wektorów kierunkowych dla wymaganych linii.

Najpierw znajdźmy współrzędne wektora AD. Rozważ punkty: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), ponieważ D - środek odcinka A 1 B 1. Ponieważ początek wektora AD pokrywa się z początkiem współrzędnych, otrzymujemy AD = (0,5; 0; 1).

Znajdźmy teraz współrzędne wektora BE. Punkt B = (1; 0; 0) jest łatwy do obliczenia. Z punktem E – środkiem odcinka C 1 B 1 – jest to trochę bardziej skomplikowane. Mamy:

Pozostaje znaleźć cosinus kąta:

Zadanie. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , którego wszystkie krawędzie są równe 1, zaznaczono punkty K i L - odpowiednio punkty środkowe krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1 . Znajdź kąt pomiędzy liniami AK i BL.

Wprowadźmy standardowy układ współrzędnych dla pryzmatu: początek współrzędnych umieszczamy na środku dolnej podstawy, oś x skierowana jest wzdłuż FC, oś y skierowana jest przez środki odcinków AB i DE, a z oś jest skierowana pionowo w górę. Odcinek jednostkowy jest znowu równy AB = 1. Zapiszmy współrzędne interesujących nas punktów:

Punkty K i L są odpowiednio środkami odcinków A 1 B 1 i B 1 C 1, więc ich współrzędne wyznacza się poprzez średnią arytmetyczną. Znając punkty, znajdujemy współrzędne wektorów kierunkowych AK i BL:

Teraz znajdźmy cosinus kąta:

Zadanie. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD, której wszystkie krawędzie są równe 1, zaznaczono punkty E i F - odpowiednio środki boków SB i SC. Znajdź kąt pomiędzy liniami AE i BF.

Wprowadźmy standardowy układ współrzędnych: początek znajduje się w punkcie A, osie x i y są skierowane odpowiednio wzdłuż AB i AD, a oś z jest skierowana pionowo w górę. Odcinek jednostkowy jest równy AB = 1.

Punkty E i F są odpowiednio środkami odcinków SB i SC, więc ich współrzędne wyznacza się jako średnią arytmetyczną końców. Zapiszmy współrzędne interesujących nas punktów:
ZA = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Znając punkty, znajdujemy współrzędne wektorów kierunkowych AE i BF:

Współrzędne wektora AE pokrywają się ze współrzędnymi punktu E, ponieważ punkt A jest początkiem. Pozostaje znaleźć cosinus kąta:

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że ​​są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne i .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, zatem:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu proponowania czegokolwiek w zamian za samodzielne rozwiązanie, lepiej włożyć w geometryczny fundament kolejną ważną cegłę:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest Ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie skupiał.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii tradycyjnie oznacza się grecką literą „rho”, na przykład: – odległość od punktu „em” do prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży dużą pomocą jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:


W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że ​​linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W Twojej odpowiedzi podajemy wartość dokładną, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

Każdemu uczniowi przygotowującemu się do egzaminu państwowego z matematyki przydatne będzie powtórzenie tematu „Znajdowanie kąta między liniami prostymi”. Jak pokazują statystyki, przy zdaniu egzaminu certyfikacyjnego zadania z tej części stereometrii sprawiają dużej liczbie uczniów trudności. Jednocześnie zadania wymagające znalezienia kąta między prostymi znajdują się na egzaminie Unified State Exam zarówno na poziomie podstawowym, jak i specjalistycznym. Oznacza to, że każdy powinien być w stanie je rozwiązać.

Podstawowe momenty

Istnieją 4 rodzaje względnych pozycji linii w przestrzeni. Mogą się pokrywać, przecinać, być równoległe lub przecinać się. Kąt między nimi może być ostry lub prosty.

Aby znaleźć kąt między liniami w ujednoliconym egzaminie państwowym lub na przykład podczas rozwiązywania, uczniowie w Moskwie i innych miastach mogą skorzystać z kilku sposobów rozwiązywania problemów w tej części stereometrii. Zadanie możesz wykonać korzystając z klasycznych konstrukcji. Aby to zrobić, warto poznać podstawowe aksjomaty i twierdzenia stereometrii. Aby sprowadzić zadanie do zagadnienia planimetrycznego, uczeń musi umieć logicznie rozumować i tworzyć rysunki.

Metodę wektorów współrzędnych można również zastosować, korzystając z prostych formuł, reguł i algorytmów. Najważniejsze w tym przypadku jest prawidłowe wykonanie wszystkich obliczeń. Projekt edukacyjny Shkolkovo pomoże Ci udoskonalić umiejętności rozwiązywania problemów w zakresie stereometrii i innych części kursu szkolnego.

Materiał ten poświęcony jest takiej koncepcji, jak kąt między dwiema przecinającymi się liniami. W pierwszym akapicie wyjaśnimy, co to jest i pokażemy to na ilustracjach. Następnie przyjrzymy się sposobom znalezienia sinusa, cosinusa tego kąta i samego kąta (oddzielnie rozważymy przypadki z płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową), podamy niezbędne wzory i pokażemy dokładnie na przykładach jak się je wykorzystuje w praktyce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby zrozumieć, jaki jest kąt powstały na przecięciu dwóch prostych, należy pamiętać o samej definicji kąta, prostopadłości i punktu przecięcia.

Definicja 1

Dwie linie nazywamy przecinającymi się, jeśli mają jeden punkt wspólny. Punkt ten nazywany jest punktem przecięcia dwóch linii.

Każda linia prosta jest podzielona przez punkt przecięcia na promienie. Obie linie proste tworzą 4 kąty, z których dwa są pionowe, a dwa sąsiadują ze sobą. Jeśli znamy miarę jednego z nich, możemy wyznaczyć pozostałe.

Powiedzmy, że wiemy, że jeden z kątów jest równy α. W tym przypadku kąt pionowy względem niego będzie również równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę 180 ° - α. Jeśli α jest równe 90 stopni, wówczas wszystkie kąty będą kątami prostymi. Linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi (pojęciu prostopadłości poświęcony jest osobny artykuł).

Spójrz na zdjęcie:

Przejdźmy do sformułowania głównej definicji.

Definicja 2

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie jest miarą mniejszego z 4 kątów tworzących te dwie linie.

Z definicji należy wyciągnąć ważny wniosek: wielkość kąta w tym przypadku będzie wyrażona dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 90). Jeżeli proste są prostopadłe, to kąt między nimi i tak będzie wynosił równy 90 stopni.

Umiejętność znalezienia miary kąta pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami jest przydatna do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Metodę rozwiązania można wybrać spośród kilku opcji.

Na początek możemy zastosować metody geometryczne. Jeśli wiemy coś o kątach dopełniających, możemy je powiązać z potrzebnym nam kątem, korzystając z właściwości figur równych lub podobnych. Na przykład, jeśli znamy boki trójkąta i musimy obliczyć kąt między liniami, na których znajdują się te boki, wówczas do naszego rozwiązania nadaje się twierdzenie cosinus. Jeśli w naszym warunku mamy trójkąt prostokątny, to do obliczeń będziemy musieli także znać sinus, cosinus i tangens kąta.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna przy rozwiązywaniu problemów tego typu. Wyjaśnijmy, jak prawidłowo go używać.

Mamy prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych O x y, w którym dane są dwie linie proste. Oznaczmy je literami a i b. Linie proste można opisać za pomocą równań. Oryginalne linie mają punkt przecięcia M. Jak wyznaczyć wymagany kąt (oznaczmy go α) pomiędzy tymi prostymi?

Zacznijmy od sformułowania podstawowej zasady znajdowania kąta w danych warunkach.

Wiemy, że pojęcie linii prostej jest ściśle powiązane z takimi pojęciami, jak wektor kierunkowy i wektor normalny. Jeśli mamy równanie pewnej prostej, możemy z niej pobrać współrzędne tych wektorów. Możemy to zrobić dla dwóch przecinających się linii jednocześnie.

Kąt wyznaczony przez dwie przecinające się linie można znaleźć za pomocą:

• kąt między wektorami kierunkowymi;
• kąt między wektorami normalnymi;
• kąt między wektorem normalnym jednej linii a wektorem kierunku drugiej.

Przyjrzyjmy się teraz każdej metodzie osobno.

1. Załóżmy, że mamy prostą a z wektorem kierunku a → = (a x, a y) i linię b z wektorem kierunku b → (b x, b y). Narysujmy teraz dwa wektory a → i b → z punktu przecięcia. Następnie zobaczymy, że każdy z nich będzie zlokalizowany na własnej linii prostej. Mamy wówczas cztery możliwości ich względnego ułożenia. Zobacz ilustrację:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest rozwarty, to będzie to kąt, którego potrzebujemy między przecinającymi się liniami a i b. Jeśli jest rozwarty, pożądany kąt będzie równy kątowi przylegającemu do kąta a →, b → ^. Zatem α = a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

Bazując na tym, że cosinusy równych kątów są równe, możemy przepisać powstałe równości w następujący sposób: cos α = cos a →, b → ^, jeśli a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jeśli a →, b → ^ > 90 °.

W drugim przypadku wykorzystano wzory redukcyjne. Zatem,

sałata α sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^ ≥ 0 - sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapiszmy ostatnią formułę słownie:

Definicja 3

Cosinus kąta utworzonego przez dwie przecinające się linie proste będzie równy modułowi cosinusa kąta między jego wektorami kierunkowymi.

Ogólna postać wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) wygląda następująco:

sałata za → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Można z niego wyprowadzić wzór na cosinus kąta pomiędzy dwiema danymi prostymi:

cos α = za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2 = za x b x + a y + b y za x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Następnie sam kąt można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Tutaj a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunku danych prostych.

Podajmy przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się linie a i b. Można je opisać równaniami parametrycznymi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Oblicz kąt między tymi liniami.

Rozwiązanie

W naszym warunku mamy równanie parametryczne, co oznacza, że ​​dla tej prostej możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora kierunkowego. W tym celu musimy przyjąć wartości współczynników dla parametru, tj. linia prosta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor kierunkowy a → = (4, 1).

Druga prosta jest opisana równaniem kanonicznym x 5 = y - 6 - 3. Tutaj możemy pobrać współrzędne z mianowników. Zatem ta linia ma wektor kierunkowy b → = (5 , - 3) .

Następnie przechodzimy bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, wystarczy podstawić istniejące współrzędne dwóch wektorów do powyższego wzoru α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Otrzymujemy co następuje:

α = za r do cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = za r do cos 17 17 34 = za r do cos 1 2 = 45 °

Odpowiedź: Te linie proste tworzą kąt 45 stopni.

Podobny problem możemy rozwiązać, znajdując kąt między wektorami normalnymi. Jeśli mamy prostą a z wektorem normalnym n a → = (n a x , n a y) i linię b z wektorem normalnym n b → = (n b x , n b y), to kąt między nimi będzie równy kątowi pomiędzy n a → i n b → lub kąt, który będzie przylegał do n a →, n b → ^. Metodę tę pokazano na obrazku:

Wzory do obliczania cosinusa kąta między przecinającymi się prostymi i samego tego kąta przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych wyglądają następująco:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2 α = za r do cos n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj n a → i n b → oznaczają wektory normalne dwóch danych prostych.

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych dwie proste wyznacza się za pomocą równań 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź sinus i cosinus kąta między nimi oraz wielkość tego kąta.

Rozwiązanie

Oryginalne linie są określone za pomocą równań linii normalnych w postaci A x + B y + C = 0. Oznaczamy wektor normalny jako n → = (A, B). Znajdźmy współrzędne pierwszego wektora normalnego dla jednej linii i zapiszmy je: n a → = (3, 5) . Dla drugiej linii x + 4 y - 17 = 0 wektor normalny będzie miał współrzędne n b → = (1, 4). Dodajmy teraz uzyskane wartości do wzoru i obliczmy sumę:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jeśli znamy cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej. Ponieważ kąt α utworzony przez linie proste nie jest rozwarty, wówczas sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

W tym przypadku α = a r do cos 23 2 34 = a r do sin 7 2 34.

Odpowiedź: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = za r do cos 23 2 34 = za r do grzech 7 2 34

Przeanalizujmy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostymi, jeśli znamy współrzędne wektora kierunku jednej prostej i wektora normalnego drugiej.

Załóżmy, że prosta a ma wektor kierunkowy a → = (a x , a y) , a prosta b ma wektor normalny n b → = (n b x , n b y) . Musimy odsunąć te wektory od punktu przecięcia i rozważyć wszystkie opcje ich względnych pozycji. Zobacz na zdjęciu:

Jeżeli kąt pomiędzy podanymi wektorami nie będzie większy niż 90 stopni, to okaże się, że dopełni kąt pomiędzy a i b do kąta prostego.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jeśli a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jeśli jest mniejsza niż 90 stopni, wówczas otrzymujemy:

a → , n b → ^ > 90 ° , następnie a → , n b → ^ = 90 ° + α

Korzystając z zasady równości cosinusów równych kątów piszemy:

cos za → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α dla a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos za → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α dla a → , n b → ^ > 90° .

Zatem,

sin α = sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = sałata a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 0 - sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujmy wniosek.

Definicja 4

Aby znaleźć sinus kąta między dwiema liniami przecinającymi się na płaszczyźnie, należy obliczyć moduł cosinusa kąta między wektorem kierunkowym pierwszej linii a wektorem normalnym drugiej linii.

Zapiszmy niezbędne formuły. Znajdowanie sinusa kąta:

grzech α = sałata za → , n b → ^ = za x n b x + za y n b y a x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Znalezienie samego kąta:

α = za r do grzech = za x n b x + za y n b y za x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj a → jest wektorem kierunku pierwszej linii, a n b → jest wektorem normalnym drugiej linii.

Przykład 3

Dwie przecinające się linie są dane równaniami x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź kąt przecięcia.

Rozwiązanie

Bierzemy współrzędne wektora prowadzącego i normalnego z podanych równań. Okazuje się, że a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Bierzemy wzór α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i obliczamy:

α = za r do grzech = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = za r do grzech 7 2 34

Należy pamiętać, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź:α = za r do grzech 7 2 34

Przedstawmy inny sposób znalezienia żądanego kąta za pomocą współczynników kątowych danych prostych.

Mamy linię a zdefiniowaną w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania y = k 1 x + b 1 oraz linię b zdefiniowaną jako y = k 2 x + b 2. Są to równania prostych ze współczynnikami nachylenia. Aby znaleźć kąt przecięcia, używamy wzoru:

α = a r do cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdzie k 1 i k 2 są współczynnikami nachylenia danych prostych. Aby uzyskać ten zapis, wykorzystano wzory na wyznaczenie kąta poprzez współrzędne wektorów normalnych.

Przykład 4

Na płaszczyźnie przecinają się dwie proste, określone równaniami y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Oblicz wartość kąta przecięcia.

Rozwiązanie

Współczynniki kątowe naszych linii są równe k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmy je do wzoru α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i obliczmy:

α = za r do cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = za r do cos 23 20 34 24 · 17 16 = za r do cos 23 2 34

Odpowiedź:α = za r do cos 23 2 34

We wnioskach z tego akapitu należy zauważyć, że podanych tutaj wzorów na znalezienie kąta nie trzeba uczyć się na pamięć. Aby to zrobić, wystarczy znać współrzędne prowadnic i/lub wektorów normalnych danych linii i umieć je wyznaczyć za pomocą różnego rodzaju równań. Ale lepiej zapamiętać lub zapisać wzory na obliczenie cosinusa kąta.

Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Obliczenie takiego kąta można sprowadzić do obliczenia współrzędnych wektorów kierunkowych i określenia wielkości kąta utworzonego przez te wektory. W przypadku takich przykładów stosuje się to samo rozumowanie, które podaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych umiejscowiony w przestrzeni trójwymiarowej. Zawiera dwie proste a i b z punktem przecięcia M. Aby obliczyć współrzędne wektorów kierunkowych, musimy znać równania tych prostych. Oznaczmy wektory kierunkowe a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Aby obliczyć cosinus kąta między nimi, używamy wzoru:

sałata α = sałata za → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby znaleźć sam kąt, potrzebujemy następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 5

Mamy linię zdefiniowaną w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą równania x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Wiadomo, że przecina się z osią O z. Oblicz kąt przecięcia i cosinus tego kąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy kąt, który należy obliczyć, literą α. Zapiszmy współrzędne wektora kierunku pierwszej prostej – a → = (1, - 3, - 2) . Dla osi zastosowania możemy przyjąć wektor współrzędnych k → = (0, 0, 1) jako wskazówkę. Otrzymaliśmy niezbędne dane i możemy je dodać do pożądanej formuły:

sałata α = sałata a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

W rezultacie odkryliśmy, że potrzebny nam kąt będzie równy a r c cos 1 · 2 = 45 °.

Odpowiedź: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kąt pomiędzy liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do ​​danych.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwie proste:

Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi i . Ponieważ , to korzystając ze wzoru na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy

Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych są równoważne warunkom równoległości i prostopadłości ich wektorów kierunkowych oraz:

Dwa proste równoległy wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, tj. l 1 równoległy l 2 wtedy i tylko wtedy, gdy są równoległe .

Dwa proste prostopadły wtedy i tylko wtedy, gdy suma iloczynów odpowiednich współczynników jest równa zeru: .

U cel między linią a płaszczyzną

Niech będzie prosto D- nie prostopadle do płaszczyzny θ;
D′− rzut linii D do płaszczyzny θ;
Najmniejszy kąt pomiędzy liniami prostymi D I D' zadzwonimy kąt między linią prostą a płaszczyzną.
Oznaczmy to jako φ=( D,θ)
Jeśli D⊥θ, następnie ( D,θ)=π/2

Oj→J→k→− prostokątny układ współrzędnych.
Równanie płaszczyzny:

θ: Topór+Przez+Cz+D=0

Zakładamy, że prostą wyznacza punkt i wektor kierunkowy: D[M 0,P→]
Wektor N→(A,B,C)⊥θ
Następnie pozostaje znaleźć kąt między wektorami N→ i P→ oznaczmy to jako γ=( N→,P→).

Jeżeli kąt γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jeżeli kąt wynosi γ>π/2, to pożądany kąt wynosi φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Następnie, kąt między linią prostą a płaszczyzną można obliczyć korzystając ze wzoru:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Kp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Pytanie 29. Pojęcie formy kwadratowej. Określoność znaku form kwadratowych.

Postać kwadratowa j (x 1, x 2, …, x n) n zmienne rzeczywiste x 1, x 2, …, x n nazywa się sumą postaci
, (1)

Gdzie ij – niektóre liczby zwane współczynnikami. Bez utraty ogólności możemy to założyć ij = ji.

Forma kwadratowa nazywa się ważny, Jeśli ij Î GR. Macierz postaci kwadratowej nazywa się macierzą złożoną z jej współczynników. Postać kwadratowa (1) odpowiada jedynej macierzy symetrycznej
To jest T = A. W konsekwencji postać kwadratową (1) można zapisać w postaci macierzowej j ( X) = x T Ah, Gdzie x T = (X 1 X 2 … x rz). (2)

I odwrotnie, każda macierz symetryczna (2) odpowiada unikalnej formie kwadratowej aż do zapisu zmiennych.

Ranga postaci kwadratowej nazywa się rzędem jego macierzy. Forma kwadratowa nazywa się niezdegenerowany, jeśli jego macierz nie jest osobliwa A. (przypomnijmy, że matrix A nazywa się niezdegenerowanym, jeśli jego wyznacznik nie jest równy zero). W przeciwnym razie forma kwadratowa jest zdegenerowana.

dodatnio określony(lub ściśle dodatnie) if

J( X) > 0 , dla kazdego X = (X 1 , X 2 , …, x rz), z wyjątkiem X = (0, 0, …, 0).

Matryca A dodatnia określona forma kwadratowa j ( X) jest również nazywany dodatnio określonym. Dlatego dodatnio określona forma kwadratowa odpowiada unikalnej dodatnio określonej macierzy i odwrotnie.

Nazywa się postać kwadratową (1). zdefiniowane negatywnie(lub ściśle ujemne) if

J( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x rz), z wyjątkiem X = (0, 0, …, 0).

Podobnie jak powyżej, macierz o postaci kwadratowej ujemnie określonej nazywana jest również ujemnie określoną.

W konsekwencji dodatnia (ujemna) określona forma kwadratowa j ( X) osiąga minimalną (maksymalną) wartość j ( X*) = 0 w X* = (0, 0, …, 0).

Należy zauważyć, że większość form kwadratowych nie ma znaku określonego, to znaczy nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Takie formy kwadratowe zanikają nie tylko w początku układu współrzędnych, ale także w innych punktach.

Gdy N> 2, do sprawdzania znaku postaci kwadratowej wymagane są specjalne kryteria. Przyjrzyjmy się im.

Ważni nieletni forma kwadratowa nazywana jest mollami:

to znaczy są to nieletni rzędu 1, 2, ..., N matryce A, znajdujący się w lewym górnym rogu, ostatni z nich pokrywa się z wyznacznikiem macierzy A.

Kryterium pozytywnej określoności (kryterium Sylwestra)

X) = x T Ah był dodatnio określony, konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie główne minory macierzy A były pozytywne, tj.: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Kryterium pewności ujemnej Aby postać kwadratowa j ( X) = x T Ah była ujemnie określona, ​​konieczne i wystarczające jest, aby jej molle główne parzystego rzędu były dodatnie, a nieparzystego – ujemne, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N