Konkrétne riešenie kalkulačky diferenciálnych rovníc v detaile. Riešenie najjednoduchších diferenciálnych rovníc prvého rádu
I. Obyčajné diferenciálne rovnice
1.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovanú funkciu r a jeho deriváty alebo diferenciály.
Symbolicky je diferenciálna rovnica napísaná takto:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0
Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.
Riešením diferenciálnej rovnice sa nazýva taká funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v tejto rovnici
Príklady.
1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého rádu
Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahradením y" do rovnice dostaneme - identitu.
A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" + 6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.
Naozaj,.
Dosadením týchto výrazov do rovnice dostaneme: , - identitu.
A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
Integrácia diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia formy 
, ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.
Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.
Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.
Príklady
1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu
xdx + ydy = 0, ak r= 4 at X = 3.
Riešenie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme
Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu С v tvare .
je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x2 + y2 = 5 2 .
Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získané zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.
2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .
Preto má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C rovnosť určuje rôzne riešenia rovnice.
Napríklad priamou substitúciou je možné overiť, že funkcie 
sú riešenia rovnice .
Problém, v ktorom je potrebné nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x, y) splnenie počiatočnej podmienky y(x0) = y0, sa nazýva Cauchyho problém.
Riešenie rovnice y" = f(x, y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x0) = y0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.
Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x, y) za podmienky y(x0) = y0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x, y) ktorý prechádza daným bodom M0 (x0,y 0).
II. Diferenciálne rovnice prvého rádu
2.1. Základné pojmy
Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.
Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.
Rovnica y" = f(x, y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.
Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.
Riešením tejto rovnice je funkcia .
Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne získame
to jest 3x = 3x
Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre ľubovoľnú konštantu C.
Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice , dostaneme odkiaľ C=0.
Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie tak, že do tejto rovnice dosadíme výslednú hodnotu C=0 je súkromné rozhodnutie.
2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými
Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály , kde f(x) a g(y) sú dané funkcie.
Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici 
v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je prítomná iba na pravej strane. Hovoria: „v rovnici y"=f(x)g(y oddelenie premenných.
Zadajte rovnicu sa nazýva separovaná premenná rovnica.
Po integrácii oboch častí rovnice na X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) a F(x) sú niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.
Algoritmus riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými
Príklad 1
vyriešiť rovnicu y" = xy
Riešenie. Derivácia funkcie y" nahraď s
oddeľujeme premenné
Poďme integrovať obe časti rovnosti:
Príklad 2
2yy" = 1- 3x 2, ak y0 = 3 pri x0 = 1
Toto je oddelená premenná rovnica. Znázornime to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru 
Odtiaľ 
Integráciou oboch častí poslednej rovnosti nájdeme
Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, yo = 3 Nájsť OD 9=1-1+C, t.j. C = 9.
Preto bude požadovaný parciálny integrál 
alebo 
Príklad 3
Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a má dotyčnicu so sklonom
Riešenie. Podľa stavu
Toto je separovateľná premenná rovnica. Rozdelením premenných dostaneme: 
Integráciou oboch častí rovnice dostaneme: 
Pomocou počiatočných podmienok, x=2 a y=-3 Nájsť C:
Preto má požadovaná rovnica tvar 
2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu
Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru y" = f(x)y + g(x)
kde f(x) a g(x)- niektoré dané funkcie.
Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y
Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.
Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y daný vzorcom: kde OD je ľubovoľná konštanta.
Najmä ak C \u003d 0, potom je riesenie y=0 Ak má lineárna homogénna rovnica tvar y" = ky kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) daný vzorcom 
,
tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.
Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,
kde k a b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou . Preto má všeobecné riešenie tvar .
Príklad. vyriešiť rovnicu y" + 2 y + 3 = 0
Riešenie. Reprezentujeme rovnicu vo forme y" = -2r -3 kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom .
Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.
2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou
Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, kde u a v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.
Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu
y" = f(x)y + g(x)
1. Zadajte náhradu y=uv.
2. Diferencujte túto rovnosť y"=u"v + uv"
3. Náhradník r a y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to z hranatých zátvoriek:
5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu
Toto je oddeliteľná rovnica: 
Rozdeľte premenné a získajte: 
Kde 
.
.
6. Nahraďte prijatú hodnotu v do rovnice (z bodu 4):
a nájdite funkciu Toto je oddeliteľná rovnica:
7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: 
, t.j. .
Príklad 1
Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 ak y=1 pri x=0
Riešenie. Riešime to substitúciou y=uv,.y"=u"v + uv"
Nahrádzanie r a y" do tejto rovnice dostaneme
Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice vyberieme spoločný faktor u mimo zátvoriek
Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)
Dostali sme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujeme obe časti tejto rovnice: Nájdite funkciu v:
Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:
Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujeme obe časti rovnice: 
Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) 
Poďme nájsť všeobecné riešenie: 
Nájdite konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y=1 pri x=0:
III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu
3.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššie ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje dve ľubovoľné konštanty C1 a C2.
Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného pre niektoré hodnoty ľubovoľných konštánt C1 a C2.
3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné pomery.
Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa nazýva rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, kde p a q sú konštantné hodnoty.
Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi
1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.
2. Zostavte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0
Riešenie diferenciálnych rovníc. Vďaka našej online službe môžete riešiť diferenciálne rovnice akéhokoľvek druhu a zložitosti: nehomogénne, homogénne, nelineárne, lineárne, prvého, druhého rádu, s alebo bez oddeliteľných premenných atď. Získate riešenie diferenciálnych rovníc v analytickej forme s podrobným popisom. Mnohí sa zaujímajú o: prečo je potrebné riešiť diferenciálne rovnice online? Tento typ rovníc je veľmi bežný v matematike a fyzike, kde nebude možné vyriešiť veľa problémov bez výpočtu diferenciálnej rovnice. Diferenciálne rovnice sú tiež bežné v ekonómii, medicíne, biológii, chémii a iných vedách. Riešenie takejto rovnice online výrazne uľahčuje vaše úlohy, umožňuje lepšie asimilovať materiál a otestovať sa. Výhody riešenia diferenciálnych rovníc online. Moderná stránka matematických služieb vám umožňuje online riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti. Ako viete, existuje veľké množstvo typov diferenciálnych rovníc a každá z nich má svoje vlastné riešenia. Na našej službe nájdete online riešenie diferenciálnych rovníc akéhokoľvek rádu a typu. Ak chcete získať riešenie, odporúčame vám vyplniť počiatočné údaje a kliknúť na tlačidlo „Riešenie“. Chyby vo fungovaní služby sú vylúčené, takže si môžete byť 100% istý, že ste dostali správnu odpoveď. Riešte diferenciálne rovnice s našou službou. Riešte diferenciálne rovnice online. Štandardne je v takejto rovnici funkcia y funkciou premennej x. Môžete si ale nastaviť aj vlastné variabilné označenie. Ak napríklad zadáte y(t) v diferenciálnej rovnici, naša služba automaticky určí, že y je funkciou premennej t. Poradie celej diferenciálnej rovnice bude závisieť od maximálneho poriadku derivácie funkcie prítomnej v rovnici. Vyriešiť takúto rovnicu znamená nájsť požadovanú funkciu. Naša služba vám pomôže vyriešiť diferenciálne rovnice online. Vyriešenie rovnice z vašej strany nevyžaduje veľa úsilia. Stačí zadať ľavú a pravú časť rovnice do požadovaných polí a kliknúť na tlačidlo "Riešenie". Pri zadávaní derivácie funkcie je potrebné ju označiť apostrofom. V priebehu niekoľkých sekúnd budete mať hotové podrobné riešenie diferenciálnej rovnice. Naša služba je úplne zadarmo. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými. Ak v diferenciálnej rovnici na ľavej strane existuje výraz, ktorý závisí od y, a na pravej strane je výraz, ktorý závisí od x, potom sa takáto diferenciálna rovnica nazýva s oddeliteľnými premennými. Na ľavej strane môže byť derivácia y, riešenie diferenciálnych rovníc tohto druhu bude vo forme funkcie y, vyjadrenej integrálom pravej strany rovnice. Ak je na ľavej strane diferenciál funkcie y, potom sú obe časti rovnice integrované. Keď premenné v diferenciálnej rovnici nie sú oddelené, bude potrebné ich rozdeliť, aby sa získala oddelená diferenciálna rovnica. Lineárna diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica sa nazýva lineárna, v ktorej funkcia a všetky jej derivácie sú na prvom stupni. Všeobecný tvar rovnice: y'+a1(x)y=f(x). f(x) a a1(x) sú spojité funkcie x. Riešenie diferenciálnych rovníc tohto typu je redukované na integráciu dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými. Poradie diferenciálnej rovnice. Diferenciálna rovnica môže byť prvého, druhého, n-tého rádu. Poradie diferenciálnej rovnice určuje poradie najvyššej derivácie v nej obsiahnutej. V našej službe môžete riešiť online diferenciálne rovnice prvej, druhej, tretej atď. objednať. Riešením rovnice bude ľubovoľná funkcia y=f(x), ktorej dosadením do rovnice získate identitu. Proces hľadania riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrácia. Cauchy problém. Ak je okrem samotnej diferenciálnej rovnice špecifikovaná aj počiatočná podmienka y(x0)=y0, potom sa to nazýva Cauchyho problém. K riešeniu rovnice sa pridajú ukazovatele y0 a x0 a určí sa hodnota ľubovoľnej konštanty C a potom konkrétne riešenie rovnice pre túto hodnotu C. Toto je riešenie Cauchyho úlohy. Cauchyho problém sa nazýva aj problém s okrajovými podmienkami, ktorý je veľmi bežný vo fyzike a mechanike. Máte tiež možnosť nastaviť Cauchyho úlohu, teda zo všetkých možných riešení rovnice vybrať konkrétne, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky.
Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení.
Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými
Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová obyčajného laika zvyčajne vydesia. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo poburujúce a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako toto všetko prežijem?!
Takýto názor a takýto postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE SÚ JEDNODUCHÉ A DOKONCA ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť sa naučiť riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať rozdiely, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej a Neurčitý integrál, tým ľahšie bude porozumieť diferenciálnym rovniciam. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je prakticky zvládnutá! Čím viac integrálov rôznych typov dokážete vyriešiť, tým lepšie. prečo? Musíte sa veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť.
V 95% prípadov sú v testoch 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: oddeliteľné rovnice, ktorým sa budeme venovať v tejto lekcii; homogénne rovnice a lineárne nehomogénne rovnice. Pre začiatočníkov, ktorí študujú difúzory, vám odporúčam prečítať si lekcie v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nebude na škodu upevniť si svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice, ktoré sa redukujú na homogénne.
Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: rovnice v totálnych diferenciáloch, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Z posledných dvoch typov sú najdôležitejšie rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tohto DE uvažujem o novom materiáli - čiastočná integrácia.
Ak vám zostáva len deň alebo dva, potom pre ultra rýchlu prípravu existuje bleskový kurz vo formáte pdf.
Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:
Najprv si pripomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké vidieť, že detská rovnica má jeden koreň: . Pre zábavu si urobme kontrolu a nahraďte nájdený koreň do našej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie je nájdené správne.
Difúzory sú usporiadané takmer rovnakým spôsobom!
Diferenciálnej rovnice prvá objednávka všeobecne obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .
V niektorých rovniciach 1. rádu nemusí byť "x" alebo (a) "y", ale to nie je podstatné - dôležité takže v DU bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov - , atď.
Čo znamená ? Riešiť diferenciálnu rovnicu znamená nájsť súbor všetkých funkcií ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar ( je ľubovoľná konštanta), ktorá sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Príklad 1
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Plná munícia. Kde začať Riešenie?
Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádny zápis, ktorý mnohí z vás pravdepodobne považovali za smiešny a nepotrebný. Je to to, čo vládne v difúzoroch!
V druhom kroku sa pozrime, či je to možné rozdelené premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "hry", a napravo organizovať iba x. Separácia premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: zátvorky, prenos pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.
Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V tomto príklade sú premenné ľahko oddelené preklápacími faktormi podľa pravidla proporcie:
Premenné sú oddelené. Na ľavej strane - iba "Hra", na pravej strane - iba "X".
Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnych rovníc. Je to jednoduché, integrály zavesíme na obe časti:
Samozrejme, treba brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:
Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (pretože konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený na pravej strane.
Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Implicitné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.
Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme sa dostať spoločné rozhodnutie.
prosím, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežné a často používané v praktických úlohách: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom v mnohých prípadoch (ale v žiadnom prípade nie vždy!) je tiež vhodné zapísať konštantu pod logaritmus.
teda NAMIESTO zvyčajne sa píšu záznamy 
.
Prečo je to potrebné? A aby sa ľahšie vyjadrilo „y“. Používame vlastnosť logaritmov 
. V tomto prípade:
Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:
Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.
Odpoveď: spoločné rozhodnutie: 
.
Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:
Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, ktorú bolo potrebné skontrolovať.
Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné rozhodnutia Diferenciálnej rovnice. Je zrejmé, že niektorá z funkcií , atď. spĺňa diferenciálnu rovnicu.
Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je všeobecné riešenie 
je rodina lineárnych funkcií, alebo skôr rodina priamych úmerností.
Po podrobnej diskusii o prvom príklade je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach:
1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Je to vždy možné? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku treba najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte použiť rôzne triky a metódy na nájdenie všeobecného riešenia. Oddeliteľné premenné rovnice, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.
2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi jednoduché vymyslieť „vymyslenú“ rovnicu, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré sa nedajú vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D'Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. Práve teraz som veľa čítal, skoro som dodal "z druhého sveta."
3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu 
. Dá sa vždy zo všeobecného integrálu nájsť všeobecné riešenie, teda vyjadrenie „y“ v explicitnej forme? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžem vyjadriť "y"?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho sa niekedy dá nájsť všeobecné riešenie, ktoré je však napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu
4) ...nateraz snáď stačí. V prvom príklade sme sa stretli ďalší dôležitý bod, ale aby som „atrapy“ nezasypal lavínou nových informácií, nechám to až na ďalšiu hodinu.
Neponáhľajme sa. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:
Príklad 2
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku
Riešenie: podľa stavu, ktorý je potrebné nájsť súkromné riešenie DE, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Tento druh otázok sa tiež nazýva Cauchy problém.
Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo byť trápne, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.
Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:
Je zrejmé, že premenné možno rozdeliť, chlapci naľavo, dievčatá napravo:
Integrujeme rovnicu: 
Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s prízvukovou hviezdou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.
Teraz sa snažíme previesť všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Spomíname na starú, dobrú školu: 
. V tomto prípade:
Konštanta v ukazovateli akosi nevyzerá kóšer, preto je zvyčajne spustená z neba na zem. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:
Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenujte ju na písmeno:
Pamätajte, že "demolácia" konštanty je druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.
Takže všeobecné riešenie je: Taká pekná rodina exponenciálnych funkcií.
V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Je to tiež jednoduché.
aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnota konštanty na splnenie podmienky .
Môžete to zariadiť rôznymi spôsobmi, ale najzrozumiteľnejšie to bude asi takto. Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ dve:
teda
Štandardné prevedenie:
Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.
Odpoveď: súkromné riešenie:
Urobme kontrolu. Overenie konkrétneho riešenia zahŕňa dve fázy:
Najprv je potrebné skontrolovať, či nájdené konkrétne riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto "x" dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola získaná dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.
Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:
Dosaďte do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť.
Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.
Prejdime k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 3
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme: 
Posúdenie, či je možné premenné oddeliť? Môcť. Druhý výraz prenesieme na pravú stranu so zmenou znamienka: 
A preklopíme faktory podľa pravidla proporcie: 
Premenné sú oddelené, integrujme obe časti: 
Musím vás varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, vyriešil niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - musíte ich teraz ovládať.
Integrál ľavej strany je ľahké nájsť, s integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, ktorú sme zvažovali v lekcii Integrácia goniometrických funkcií V minulom roku: 
Na pravej strane máme logaritmus a podľa môjho prvého technického odporúčania by sa pod logaritmus mala zapisovať aj konštanta.
Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Používaním známe vlastnosti maximálne "zabaliť" logaritmy. Napíšem veľmi podrobne: 
Balenie je kompletné, aby bolo barbarsky roztrhané: 
Je možné vyjadriť "y"? Môcť. Obe časti musia byť štvorcové.
Ale nemusíš.
Tretí technický tip: ak na získanie všeobecného riešenia potrebujete získať moc alebo zakoreniť, potom Väčšinou mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným odpadom.
Preto odpoveď píšeme ako všeobecný integrál. Za dobrú formu sa považuje prezentácia vo forme, to znamená, že na pravej strane, ak je to možné, ponechajte iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)
odpoveď: všeobecný integrál:
! Poznámka: všeobecný integrál ktorejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.
Všeobecný integrál sa tiež kontroluje pomerne ľahko, hlavná vec je vedieť ho nájsť derivácia funkcie definovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď: 
Oba výrazy vynásobíme: 
A delíme podľa: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 4
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.
Toto je príklad „urob si sám“.
Pripomínam, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.
Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri vzor v príklade č. 2), potrebujete:
1) uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Príklad 5
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice 
, ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.
Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a , čo znamená, že riešenie je zjednodušené. Oddelenie premenných: 
Integrujeme rovnicu: 
Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda sčítania funkcie pod znamienkom diferenciálu:
Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, modulo znaky sú nadbytočné: 
(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)
Takže všeobecné riešenie je:
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ logaritmus dvoch: 
Známejší dizajn:
Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.
odpoveď: súkromné riešenie:
Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.
Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdeme derivát:
Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: 
– uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:
Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice 
: 
Používame základnú logaritmickú identitu: 
Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie je nájdené správne.
Druhý spôsob kontroly je zrkadlový a známejší: z rovnice 
vyjadrite deriváciu, preto všetky časti vydelíme takto: 
A v transformovanom DE dosadíme získané partikulárne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.
Príklad 6
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Vyjadrite odpoveď ako všeobecný integrál.
Toto je príklad na samoriešenie, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Aké ťažkosti čakajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?
1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre čajník), že premenné možno oddeliť. Zvážte podmienený príklad: . Tu je potrebné vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene:. Ako ďalej postupovať je jasné.
2) Ťažkosti pri samotnej integrácii. Integrály často vznikajú nie najjednoduchšie, a ak existujú nedostatky v zručnostiach hľadania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Okrem toho je medzi kompilátormi zbierok a príručiek populárna logika „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, integrály nech sú komplikovanejšie“.
3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší hypotetický príklad: 
. V ňom je vhodné vynásobiť všetky výrazy 2: 
. Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: 
. Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, je vhodné prepísať konštantu ako inú konštantu: 
.
Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu: 
Aká heréza? Tu sú chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa stále získava premenná konštanta.
Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: 
. Formálne je tam opäť chyba - vpravo by malo byť napísané . Neformálne sa však predpokladá, že „mínus ce“ je stále konštanta ( ktorý rovnako dobre nadobúda akékoľvek hodnoty!), takže dávať "mínus" nemá zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno.
Pokúsim sa vyhnúť neopatrnému prístupu a pri prevode stále uvádzam rôzne indexy pre konštanty.
Príklad 7
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Spustite kontrolu.
Riešenie: Táto rovnica pripúšťa separáciu premenných. Oddelenie premenných: 
Integrujeme: 
Konštanta tu nemusí byť definovaná pod logaritmom, pretože z toho nebude nič dobré.
odpoveď: všeobecný integrál:
Kontrola: Diferencujte odpoveď (implicitná funkcia): 
Zbavíme sa zlomkov, preto oba pojmy vynásobíme takto: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 8
Nájdite konkrétne riešenie DE.
,
Toto je príklad „urob si sám“. Jediným náznakom je, že tu získate všeobecný integrál, a správnejšie, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale súkromný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Táto online kalkulačka vám umožňuje riešiť diferenciálne rovnice online. Stačí zadať svoju rovnicu do príslušného poľa, pričom „derivát funkcie“ označíte apostrofom a kliknete na tlačidlo „vyriešiť rovnicu.“ A systém implementovaný na základe populárnej webovej stránky WolframAlpha vám poskytne podrobný riešenie diferenciálnej rovniceúplne zadarmo. Môžete tiež nastaviť Cauchyho problém a vybrať si z celej množiny možných riešení konkrétne riešenie zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam. Cauchyho problém sa zadáva do samostatného poľa.
Diferenciálnej rovnice
Štandardne je v rovnici funkcia r je funkciou premennej X. Môžete si však nastaviť vlastný zápis premennej, ak do rovnice napíšete napríklad y(t), kalkulačka to automaticky rozpozná r je funkciou premennej t. Pomocou kalkulačky môžete riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti a typu: homogénne a nehomogénne, lineárne alebo nelineárne, prvého rádu alebo druhého a vyššieho rádu, rovnice so separovateľnými alebo neoddeliteľnými premennými atď. Riešenie rozdiel. rovnica je uvedená v analytickej forme, má podrobný popis. Diferenciálne rovnice sú veľmi bežné vo fyzike a matematike. Bez ich výpočtu nie je možné vyriešiť mnohé problémy (najmä v matematickej fyzike).
Jedným z krokov pri riešení diferenciálnych rovníc je integrácia funkcií. Na riešenie diferenciálnych rovníc existujú štandardné metódy. Je potrebné uviesť rovnice do tvaru so separovateľnými premennými y a x a separátne integrovať separované funkcie. Aby ste to dosiahli, niekedy musíte vykonať určitú náhradu.
Obyčajná diferenciálna rovnica nazývaná rovnica, ktorá spája nezávislú premennú, neznámu funkciu tejto premennej a jej derivátov (alebo diferenciálov) rôznych rádov.
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššieho derivátu, ktorý je v ňom obsiahnutý.
Okrem obyčajných sa študujú aj parciálne diferenciálne rovnice. Ide o rovnice týkajúce sa nezávislých premenných, neznámej funkcie týchto premenných a jej parciálnych derivácií vzhľadom na rovnaké premenné. Ale budeme len uvažovať obyčajné diferenciálne rovnice a preto slovo „obyčajný“ pre stručnosť vynecháme.
Príklady diferenciálnych rovníc:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Rovnica (1) je štvrtého rádu, rovnica (2) je tretieho rádu, rovnice (3) a (4) sú druhého rádu, rovnica (5) je prvého rádu.
Diferenciálnej rovnice n poradie nemusí explicitne obsahovať funkciu, všetky jej derivácie od prvého do n rádu a nezávislej premennej. Nemusí explicitne obsahovať deriváty niektorých rádov, funkciu, nezávislú premennú.
Napríklad v rovnici (1) zjavne nie sú žiadne derivácie tretieho a druhého rádu, ani funkcie; v rovnici (2) - derivácia a funkcia druhého rádu; v rovnici (4) - nezávislá premenná; v rovnici (5) - funkcie. Iba rovnica (3) explicitne obsahuje všetky derivácie, funkciu a nezávislú premennú.
Riešením diferenciálnej rovnice volá sa akákoľvek funkcia y = f(x), ktorého dosadením do rovnice sa zmení na identitu.
Proces hľadania riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva jej integrácia.
Príklad 1 Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice.
Riešenie. Túto rovnicu zapíšeme v tvare . Riešením je nájsť funkciu jej deriváciou. Pôvodná funkcia, ako je známe z integrálneho počtu, je primitívna funkcia pre, t.j.
Tak to je riešenie danej diferenciálnej rovnice . meniace sa v ňom C, dostaneme rôzne riešenia. Zistili sme, že existuje nekonečný počet riešení diferenciálnej rovnice prvého rádu.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n poradie je jeho riešenie vyjadrené explicitne vzhľadom na neznámu funkciu a obsahujúce n nezávislé ľubovoľné konštanty, t.j.
Riešenie diferenciálnej rovnice v príklade 1 je všeobecné.
Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice volá sa jeho riešenie, v ktorom sú ľubovoľným konštantám priradené konkrétne číselné hodnoty.
Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice a konkrétne riešenie pre 
.
Riešenie. Obe časti rovnice integrujeme toľkokrát, aby sa poradie diferenciálnej rovnice rovnalo.
,
.
V dôsledku toho sme dostali všeobecné riešenie -
daná diferenciálna rovnica tretieho rádu.
Teraz nájdime konkrétne riešenie za špecifikovaných podmienok. Aby sme to dosiahli, nahradíme ich hodnoty namiesto ľubovoľných koeficientov a získame
.
Ak je okrem diferenciálnej rovnice počiatočná podmienka uvedená v tvare , potom sa takýto problém nazýva Cauchy problém . Hodnoty a sú nahradené do všeobecného riešenia rovnice a nájde sa hodnota ľubovoľnej konštanty C a potom konkrétne riešenie rovnice pre nájdenú hodnotu C. Toto je riešenie Cauchyho problému.
Príklad 3 Vyriešte Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu z príkladu 1 za podmienky .
Riešenie. Do všeobecného riešenia dosadíme hodnoty z počiatočnej podmienky r = 3, X= 1. Dostávame
Zapíšeme riešenie Cauchyho úlohy pre danú diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
Riešenie diferenciálnych rovníc, dokonca aj tých najjednoduchších, si vyžaduje dobré zručnosti v integrácii a preberaní derivácií vrátane zložitých funkcií. Vidno to na nasledujúcom príklade.
Príklad 4 Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Riešenie. Rovnica je napísaná v takej forme, že obe strany je možné okamžite integrovať.
.
Aplikujeme metódu integrácie zmenou premennej (substitúciou). Nechajte teda.
Povinné vziať dx a teraz - pozor - robíme to podľa pravidiel diferenciácie komplexnej funkcie, keďže X a existuje komplexná funkcia ("jablko" - extrahovanie druhej odmocniny alebo, čo je to isté - zvýšenie na silu "jedna sekunda" a "mleté mäso" - samotný výraz pod odmocninou):
Nájdeme integrál:
Návrat k premennej X, dostaneme:
.
Toto je všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice prvého stupňa.
Pri riešení diferenciálnych rovníc sa budú vyžadovať nielen zručnosti z predchádzajúcich sekcií vyššej matematiky, ale aj zručnosti zo elementárnej, teda školskej matematiky. Ako už bolo spomenuté, v diferenciálnej rovnici akéhokoľvek rádu nemusí existovať nezávislá premenná, teda premenná X. Vyriešiť tento problém pomôžu poznatky o proporciách, na ktoré sa nezabudlo (také má však každý) zo školskej lavice. Toto je ďalší príklad.