Aký je objem trojuholníkovej pyramídy. Ako zistiť objem pyramídy

Veta.

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky..

dôkaz:

1. Uvažujme trojuholníkovú pyramíduOABCs objemom V, základná plochaS a výška h. Nakreslite os oh (OM2- výška), zvážte rezA1 B1 C1pyramídy s rovinou kolmou na osoha teda rovnobežné s rovinou základne. Označiť podľaXúsečka M1 priesečník tejto roviny s osou x a cezS(X)- plocha prierezu. expresné S(X) cez S, h a X. Všimnite si, že trojuholníky A1 AT1 OD1 a ABC sú podobné. Skutočne A1 AT1 II AB, teda trojuholník OA 1 AT 1 podobný trojuholníku OAB. OD následne ALE1 AT1 : ALEB= OA 1: OA .

pravouhlé trojuholníky OA 1 AT 1 a OAB sú tiež podobné (majú spoločný ostrý uhol s vrcholom O). Preto OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Touto cestou ALE 1 AT 1 : A B = x: h.Podobne je dokázané, žeB1 C1:slnko = X: h a A1 C1:AC = X: h.Takže trojuholníkA1 B1 C1 a ABCpodobné s koeficientom podobnosti X: h.Preto S(x): S = (x: h)², príp S(x) = S x²/ h².

Aplikujme teraz základný vzorec na výpočet objemov telies pria= 0, b=h dostaneme

Objem pôvodnej pyramídy je teda 1/3Sh. Veta bola dokázaná.

Dôsledok:

Objem V zrezaného ihlana s výškou h a základnými plochami S a S1 , sa vypočítavajú podľa vzorca

h - výška pyramídy

S top - plocha hornej základne

S nižšie - oblasť spodnej základne

Tu budeme analyzovať príklady súvisiace s pojmom objem. Na vyriešenie takýchto úloh musíte poznať vzorec pre objem pyramídy:

S

h - výška pyramídy

Základňa môže byť ľubovoľný mnohouholník. Vo väčšine úloh na skúške je však podmienkou spravidla správne pyramídy. Dovoľte mi pripomenúť jednu z jeho vlastností:

Vrch pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne

Pozrite sa na projekciu pravidelných trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťuholníkových pyramíd (POHĽAD ZHORA):

Môžete na blogu, kde sa riešili úlohy súvisiace so zisťovaním objemu pyramídy.Zvážte úlohy:

27087. Nájdite objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 1 a výška sa rovná odmocnine troch.

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Nájdite oblasť základne pyramídy, je to pravidelný trojuholník. Používame vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Odpoveď: 0,25

27088. Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy so stranami základne rovnými 2 a objemom rovným odmocnine z troch.

Pojmy ako výška pyramídy a charakteristiky jej základne sú spojené objemovým vzorcom:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme samotný objem, môžeme nájsť oblasť základne, pretože strany trojuholníka, ktorý je základňou, sú známe. Keď poznáme tieto hodnoty, výšku ľahko zistíme.

Na nájdenie oblasti základne používame vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Nahradením týchto hodnôt do objemového vzorca teda môžeme vypočítať výšku pyramídy:

Výška je tri.

odpoveď: 3

27109. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je výška 6, bočná hrana 10. Nájdite jeho objem.

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme výšku. Musíte nájsť oblasť základne. Pripomínam, že vrchol pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne. Základom pravidelného štvorbokého ihlana je štvorec. Nájdeme jej uhlopriečku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený modrou):

Úsečka spájajúca stred štvorca s bodom B je noha, ktorá sa rovná polovici uhlopriečky štvorca. Túto nohu môžeme vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

Takže BD = 16. Vypočítajte plochu štvorca pomocou štvoruholníkového vzorca:

V dôsledku toho:

Objem pyramídy je teda:

odpoveď: 256

27178. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde je výška 12, objem 200. Nájdite bočnú hranu tejto pyramídy.

Výška pyramídy a jej objem sú známe, takže môžeme nájsť plochu štvorca, ktorá je základňou. Keď poznáme plochu štvorca, môžeme nájsť jeho uhlopriečku. Ďalej, po zvážení pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety vypočítame bočnú hranu:

Nájdite plochu štvorca (základňa pyramídy):

Vypočítajte uhlopriečku štvorca. Pretože jeho plocha je 50, strana sa bude rovnať odmocnine z päťdesiatky a podľa Pytagorovej vety:

Bod O rozdeľuje uhlopriečku BD na polovicu, takže rameno pravouhlého trojuholníka OB = 5.

Môžeme teda vypočítať, čomu sa rovná bočná hrana pyramídy:

odpoveď: 13

245353. Nájdite objem pyramídy znázornenej na obrázku. Jeho základňa je mnohouholník, ktorého priľahlé strany sú kolmé a jedna z bočných hrán je kolmá na rovinu základne a rovná sa 3.

Ako už bolo opakovane povedané - objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Bočná hrana kolmá na základňu je tri, čo znamená, že výška pyramídy je tri. Základňa pyramídy je mnohouholník, ktorého plocha je:

Touto cestou:

odpoveď: 27

27086. Základňa pyramídy je obdĺžnik so stranami 3 a 4. Jej objem je 16. Nájdite výšku tejto pyramídy.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie.

Vzdelávacie: Odvoďte vzorec na výpočet objemu pyramídy

Rozvíjanie: rozvíjať kognitívny záujem študentov o akademické disciplíny, schopnosť aplikovať svoje poznatky v praxi.

Vzdelávacie: kultivovať pozornosť, presnosť, rozširovať obzory študentov.

Vybavenie a materiály: počítač, plátno, projektor, prezentácia „Objem pyramídy“.

1. Frontálny prieskum. Snímky 2, 3

To, čo sa nazýva pyramída, základ pyramídy, rebrá, výška, os, apotém. Ktorá pyramída sa nazýva pravidelná, štvorstenná, zrezaná pyramída?

Pyramída - mnohosten pozostávajúci z bytu mnohouholník, bodov, neležiacu v rovine tohto mnohouholníka a všetky segmenty, spájajúci tento bod s bodmi mnohouholníka.

Tento bod volal summit pyramídy a základňou pyramídy je plochý mnohouholník. Segmenty, spájajúce vrchol pyramídy s vrcholom podstavy, sú tzv rebrá . Výška pyramídy - kolmý, spustený z vrcholu pyramídy do roviny základne. Apothem - výška bočnej hrany správna pyramída. Pyramída, ktorá na základni klame správne n-uholník, a výškový základ sa zhoduje s nadačné centrum volal správne n-gonálna pyramída. os Pravidelná pyramída sa nazýva priamka obsahujúca jej výšku. Pravidelná trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten. Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná s rovinou základne, potom pyramídu odreže, podobný daný. Zvyšok je tzv zrezaná pyramída.

2. Odvodenie vzorca na výpočet objemu pyramídy V=SH/3 Snímky 4, 5, 6

1. Nech SABC je trojuholníková pyramída s vrcholom S a základňou ABC.

2. Doplňte túto pyramídu na trojuholníkový hranol s rovnakou základňou a výškou.

3. Tento hranol sa skladá z troch pyramíd:

1) táto pyramída SABC.

2) pyramídy SCC 1 B 1 .

3) a pyramídy SCBB 1 .

4. Druhá a tretia pyramída majú rovnaké základne CC 1 B 1 a B 1 BC a celkovú výšku vedenú od vrcholu S k ploche rovnobežníka BB 1 C 1 C. Preto majú rovnaký objem.

5. Prvá a tretia pyramída majú tiež rovnaké základne SAB a BB 1 S a zhodné výšky nakreslené od vrcholu C k ploche rovnobežníka ABB 1 S. Preto majú aj rovnaké objemy.

To znamená, že všetky tri pyramídy majú rovnaký objem. Keďže súčet týchto objemov sa rovná objemu hranola, objemy pyramíd sa rovnajú SH/3.

Objem akejkoľvek trojuholníkovej pyramídy sa rovná jednej tretine základnej plochy vynásobenej výškou.

3. Konsolidácia nového materiálu. Riešenie cvičení.

1) Úloha № 33 z učebnice A.N. Pogorelov. Snímky 7, 8, 9

Na strane základne? a bočná hrana b nájdite objem pravidelnej pyramídy, na základni ktorej leží:

1) trojuholník,

2) štvoruholník,

3) šesťuholník.

V pravidelnej pyramíde výška prechádza stredom kružnice opísanej blízko základne. Potom: (príloha)

4. Historické informácie o pyramídach. Snímky 15, 16, 17

Prvým z našich súčasníkov, ktorý vytvoril množstvo nezvyčajných javov spojených s pyramídou, bol francúzsky vedec Antoine Bovy. Pri skúmaní Cheopsovej pyramídy v 30. rokoch dvadsiateho storočia zistil, že telá malých zvierat, ktoré sa náhodou dostali do kráľovskej miestnosti, boli mumifikované. Bovi si dôvod vysvetlil tvarom pyramídy a ako sa ukázalo, nemýlil sa. Jeho diela tvorili základ moderného výskumu, v dôsledku ktorého sa za posledných 20 rokov objavilo množstvo kníh a publikácií, ktoré potvrdzujú, že energia pyramíd môže mať praktický význam.

Tajomstvo pyramíd

Niektorí vedci tvrdia, že pyramída obsahuje obrovské množstvo informácií o štruktúre vesmíru, slnečnej sústavy a človeka, zakódovaných v jej geometrickej forme, alebo skôr vo forme osemstenu, ktorého polovicu tvorí pyramída. Pyramída top up symbolizuje život, top down - smrť, druhý svet. Rovnako ako zložky Dávidovej hviezdy (Magen David), kde trojuholník nasmerovaný nahor symbolizuje vzostup k Vyššej mysli, Boha a trojuholník, spustený vrcholom nadol, symbolizuje zostup duše na Zem, hmotnú existenciu ...

Digitálna hodnota kódu, ktorým sú v pyramíde zašifrované informácie o Vesmíre, číslo 365, nebola zvolená náhodou. V prvom rade ide o ročný životný cyklus našej planéty. Okrem toho sa číslo 365 skladá z troch čísel 3, 6 a 5. Čo znamenajú? Ak Slnko prechádza v slnečnej sústave číslom 1, Merkúr - 2, Venuša - 3, Zem - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Urán - 8, Neptún - 9, Pluto - 10, potom 3 je Venuša, 6 - Jupiter a 5 - Mars. Preto je Zem s týmito planétami spojená zvláštnym spôsobom. Sčítaním čísel 3, 6 a 5 dostaneme 14, z ktorých 1 je Slnko a 4 je Zem.

Číslo 14 má vo všeobecnosti globálny význam: na ňom je založená najmä štruktúra ľudských rúk, celkový počet falangov každého z nich je tiež 14. Tento kód tiež súvisí so súhvezdím Ursa Major, ktorý zahŕňa naše Slnko a v ktorom to bola kedysi ďalšia hviezda, ktorá zničila Phaeton, planétu nachádzajúcu sa medzi Marsom a Jupiterom, po ktorej sa v slnečnej sústave objavilo Pluto a vlastnosti ostatných planét sa zmenili.

Mnohé ezoterické zdroje tvrdia, že ľudstvo Zeme už štyrikrát zažilo celosvetovú katastrofu. Tretia lemurská rasa poznala božskú vedu o vesmíre, potom bola táto tajná doktrína odovzdaná iba zasvätencom. Na začiatku cyklov a polcyklov hviezdneho roka postavili pyramídy. Boli blízko k objaveniu kódu života. Civilizácii Atlantídy sa veľa vecí podarilo, no na určitej úrovni poznania ich zastavila ďalšia planetárna katastrofa, sprevádzaná zmenou rás. Pravdepodobne nám zasvätenci chceli oznámiť, že znalosť vesmírnych zákonov je vložená do pyramíd...

Špeciálne zariadenia vo forme pyramíd neutralizujú negatívne elektromagnetické žiarenie na osobu z počítača, televízora, chladničky a iných domácich spotrebičov.

V jednej z kníh je popísaný prípad, keď pyramída inštalovaná v interiéri auta znížila spotrebu paliva a znížila obsah CO vo výfukových plynoch.

Semená záhradných plodín dozrievajúcich v pyramídach mali lepšiu klíčivosť a výnos. Publikácie dokonca odporúčali semená pred výsevom namočiť do pyramídovej vody.

Zistilo sa, že pyramídy majú priaznivý vplyv na ekologickú situáciu. Odstráňte patogénne zóny v bytoch, kanceláriách a prímestských oblastiach, čím vytvoríte pozitívnu auru.

Holandský výskumník Paul Dickens vo svojej knihe uvádza príklady liečivých vlastností pyramíd. Všimol si, že sa dajú použiť na zmiernenie bolestí hlavy, kĺbov, zastavenie krvácania malými rezmi a že energia pyramíd stimuluje metabolizmus a posilňuje imunitný systém.

V niektorých moderných publikáciách sa uvádza, že lieky uchovávané v pyramíde skracujú priebeh liečby a obväzový materiál nasýtený pozitívnou energiou podporuje hojenie rán.

Kozmetické krémy a masti zlepšujú ich účinok.

Nápoje vrátane alkoholu zlepšujú ich chuť a voda obsiahnutá v 40% vodke sa stáva liečivou. Pravda, na nabitie bežnej 0,5 litrovej fľaše pozitívnou energiou potrebujete vysokú pyramídu.

V jednom novinovom článku sa píše, že ak šperky uložíte pod pyramídu, samočistia sa a získajú zvláštny lesk, zatiaľ čo drahokamy a polodrahokamy akumulujú pozitívnu bioenergiu a potom ju postupne rozdávajú.

Podľa amerických vedcov potravinové produkty, ako sú obilniny, múka, soľ, cukor, káva, čaj, po pobyte v pyramíde zlepšujú chuť a lacné cigarety sa stávajú ich ušľachtilými náprotivkami.

Možno to pre mnohých nebude relevantné, ale v malej pyramíde sú staré žiletky samoostriace a vo veľkej pyramíde voda nezamŕza pri -40 stupňoch Celzia.

Podľa väčšiny výskumníkov je toto všetko dôkazom existencie energie pyramíd.

Za 5000 rokov svojej existencie sa pyramídy stali akýmsi symbolom, ktorý zosobňuje túžbu človeka dosiahnuť vrchol poznania.

5. Zhrnutie lekcie.

Bibliografia.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometria 10-11, vydavateľstvo „Osvietenie“.

3) Encyklopédia "Strom poznania" Marshall K.

Ak chcete zistiť objem pyramídy, musíte poznať niekoľko vzorcov. Zvážme ich.

Ako zistiť objem pyramídy - 1. spôsob

Objem pyramídy možno nájsť pomocou výšky a plochy jej základne. V = 1/3 x S x h. Napríklad, ak je výška pyramídy 10 cm a plocha jej základne je 25 cm 2, potom sa objem bude rovnať V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 2. metóda

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), kde a je strana mnohouholníka ležiaca na základňa a n je počet jej strán. Napríklad: Základňa je pravidelný šesťuholník, teda n = 6. Keďže je pravidelný, všetky jeho strany sú rovnaké, teda všetky a sú rovnaké. Povedzme a = 10 a h - 15. Čísla dosadíme do vzorca a dostaneme približnú odpoveď - 1299 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 3. spôsob

Ak rovnostranný trojuholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť pomocou nasledujúceho vzorca: V = ha 2 /4√3, kde a je strana rovnostranného trojuholníka. Napríklad: výška pyramídy je 10 cm, strana základne je 5 cm. Objem sa bude rovnať V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Zvyčajne to, čo sa stalo v menovateli sa nevypočítava a ponecháva sa v rovnakej forme. Čitateľ aj menovateľ môžete tiež vynásobiť 4√3, aby ste dostali 1000√3/48. Zmenšením dostaneme 125√ 3/6 cm 3.

Ako zistiť objem pyramídy - 4. cesta

Ak štvorec leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť podľa nasledujúceho vzorca: V = 1/3*h*a 2, kde a sú strany štvorca. Napríklad: výška - 5 cm, strana štvorca - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 5. cesta

Ak je pyramída štvorsten, to znamená, že všetky jej strany sú rovnostranné trojuholníky, môžete zistiť objem pyramídy pomocou nasledujúceho vzorca: V = a 3 √2/12, kde a je hrana štvorstenu. Napríklad: hrana štvorstenu \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3