Ak sú dve znamienka menšie, funkcia sa zvyšuje. Vlastnosti funkcie
Monotónne
Veľmi dôležitou vlastnosťou funkcie je jej monotónnosť. Poznaním tejto vlastnosti rôznych špeciálnych funkcií je možné určiť správanie rôznych fyzikálnych, ekonomických, sociálnych a mnohých ďalších procesov.
Rozlišujú sa tieto typy monotónnosti funkcií:
1) funkciu zvyšuje, ak na nejakom intervale, ak pre ľubovoľné dva body a tento interval taký, že . Tie. väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie;
2) funkciu klesá, ak na nejakom intervale, ak pre ľubovoľné dva body a tento interval taký, že . Tie. väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie;
3) funkciu neklesajúci, ak na nejakom intervale, ak pre ľubovoľné dva body a tento interval taký, že ;
4) funkciu nezvyšuje, ak na nejakom intervale, ak pre ľubovoľné dva body a tento interval taký, že .
2. Pre prvé dva prípady sa používa aj pojem „prísna monotónnosť“.
3. Posledné dva prípady sú špecifické a bývajú špecifikované ako skladba viacerých funkcií.
4. Samostatne si všimneme, že zvýšenie a zníženie v grafe funkcie by sa malo posudzovať presne zľava doprava a nič iné.
2. Párny Nepárny.
Funkcia sa nazýva nepárna, ak pri zmene znamienka argumentu zmení svoju hodnotu na opačnú. Vzorec na to vyzerá takto. To znamená, že po dosadení hodnôt mínus x do funkcie namiesto všetkých x funkcia zmení svoje znamienko. Graf takejto funkcie je symetrický podľa pôvodu.
Príklady nepárnych funkcií sú atď.
Napríklad graf je skutočne symetrický podľa pôvodu:
Funkcia sa nazýva párna ak zmena znamienka argumentu nezmení jeho hodnotu. Vzorec na to vyzerá takto. To znamená, že po dosadení hodnôt mínus x do funkcie namiesto všetkých x sa funkcia v dôsledku toho nezmení. Graf takejto funkcie je symetrický okolo osi.
Príklady párnych funkcií sú atď.
Ukážme napríklad symetriu grafu okolo osi:
Ak funkcia nepatrí do žiadneho z uvedených typov, potom sa nazýva ani párna, ani nepárna, resp všeobecná funkcia. Takéto funkcie nemajú symetriu.
Takouto funkciou je napríklad nedávno zvažovaná lineárna funkcia s grafom:
3. Osobitnou vlastnosťou funkcií je periodicita.
Faktom je, že periodické funkcie, o ktorých sa uvažuje v štandardných školských osnovách, sú iba goniometrické funkcie. Už sme o nich podrobne hovorili pri štúdiu príslušnej témy.
Periodická funkcia je funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu, keď sa do argumentu pridá určité konštantné nenulové číslo.
Toto minimálne číslo sa volá funkčné obdobie a sú označené písmenom.
Vzorec na to vyzerá takto: 
.
Pozrime sa na túto vlastnosť na príklade sínusového grafu:
Pripomeňme, že obdobie funkcií a je a obdobie a je.
Ako už vieme, pre goniometrické funkcie so zložitým argumentom môže existovať neštandardná perióda. Toto sú funkcie formulára:
Majú rovnaké obdobie. A o funkciách:
Majú rovnaké obdobie.
Ako vidíte, na výpočet nového obdobia sa štandardné obdobie jednoducho vydelí faktorom v argumente. Nezáleží na iných modifikáciách funkcie.
Obmedzenie.
Funkcia y=f(x) sa nazýva ohraničený zdola na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre ľubovoľné xϵX je nerovnosť f(x)< a.
Funkcia y=f(x) sa nazýva ohraničený zhora na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre ľubovoľné xϵX je nerovnosť f(x)< a.
Ak interval X nie je uvedený, potom sa predpokladá, že funkcia je obmedzená v celej oblasti definície. Funkcia ohraničená hore aj dole sa nazýva ohraničená.
Obmedzenie funkcie je ľahko čitateľné z grafu. Je možné nakresliť nejakú priamku y=a a ak je funkcia vyššie ako táto priamka, tak je zdola ohraničená.
Ak nižšie, tak respektíve vyššie. Nižšie je uvedený graf funkcie s dolnou hranicou. Graf ohraničenej funkcie, chlapci, skúste si ho nakresliť sami.
Téma: Vlastnosti funkcií: intervaly nárastu a poklesu; najväčšie a najmenšie hodnoty; extrémne body (lokálne maximum a minimum), konvexnosť funkcie.
obdobia nárastu a poklesu.
Na základe dostatočných podmienok (znakov) pre nárast a pokles funkcie sa zistia intervaly nárastu a poklesu funkcie.
Tu sú formulácie znakov rastúcich a klesajúcich funkcií na intervale:
ak je derivácia funkcie y=f(x) pozitívne pre každého X z intervalu X, potom sa funkcia zvýši o X;
ak je derivácia funkcie y=f(x) negatívny pre akékoľvek X z intervalu X, potom sa funkcia zníži o X.
Na určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie je teda potrebné:
nájsť rozsah funkcie;
nájsť deriváciu funkcie;
riešiť nerovnosti a na doméne definície;
Funkčné extrémy
Definícia 2
Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\le f(x_0 )$ je spokojný.
Definícia 3
Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\ge f(x_0 )$ je spokojný.
Pojem extrém funkcie úzko súvisí s pojmom kritický bod funkcie. Predstavme si jeho definíciu.
Definícia 4
$x_0$ sa nazýva kritický bod funkcie $f(x)$, ak:
1) $x_0$ - vnútorný bod definičnej oblasti;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ alebo neexistuje.
Pre pojem extrém možno formulovať vety o dostatočných a nevyhnutných podmienkach jeho existencie.
Veta 2
Dostatočný extrémny stav
Nech je bod $x_0$ kritický pre funkciu $y=f(x)$ a leží v intervale $(a,b)$. Nech na každom intervale $\left(a,x_0\right)\ a\ (x_0,b)$ existuje derivácia $f"(x)$ a udržiava konštantné znamienko. Potom:
1) Ak je na intervale $(a,x_0)$ derivácia $f"\left(x\right)>0$ a na intervale $(x_0,b)$ je derivácia $f"\left(x\ správny)
2) Ak je derivácia $f"\left(x\right)0$ na intervale $(a,x_0)$, potom bod $x_0$ je minimálny bod pre túto funkciu.
3) Ak je na intervale $(a,x_0)$ aj na intervale $(x_0,b)$ derivácia $f"\left(x\right) >0$ alebo derivácia $f"\left(x \správny)
Táto veta je znázornená na obrázku 1.
Obrázok 1. Dostatočný stav pre existenciu extrémov
Príklady extrémov (obr. 2).
Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov
Pravidlo na skúmanie funkcie pre extrém
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
7) Urobte závery o prítomnosti maxím a miním v každom intervale pomocou vety 2.
Funkcia stúpajúca a klesajúca
Najprv si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.
Definícia 5
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva rastúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1
Definícia 6
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva klesajúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1f(x_2)$.
Skúmanie funkcie pre zvyšovanie a znižovanie
Pomocou derivácie môžete skúmať funkcie na zvyšovanie a znižovanie.
Ak chcete preskúmať funkciu pre intervaly nárastu a poklesu, musíte urobiť nasledovné:
1) Nájdite definičný obor funkcie $f(x)$;
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
3) Nájdite body, kde je rovnosť $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
4) Nájdite body, kde $f"(x)$ neexistuje;
5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a definičný obor danej funkcie;
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom výslednom intervale;
7) Záver: na intervaloch kde $f"\vľavo(x\vpravo)0$ sa funkcia zvyšuje.
Príklady úloh na štúdium funkcií zvyšovania, klesania a prítomnosti extrémnych bodov
Príklad 1
Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť bodov maxím a miním: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, najskôr ich vyžrebujeme.
1) Definičná oblasť - všetky reálne čísla;
2) $f"\vľavo(x\vpravo)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existuje vo všetkých bodoch domény definície;
5) Súradnicová čiara:
Obrázok 3
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom intervale:
\ \ . Nájde sa pomocou maximálnych bodov a rovná sa maximálnej hodnote funkcie a druhý údaj je skôr ako nájdenie maximálneho bodu v x = b.
Dostatočné podmienky pre zvyšovanie a znižovanie funkcií
Na nájdenie maxím a miním funkcie je potrebné použiť znamienka extrému v prípade, že funkcia spĺňa tieto podmienky. Prvá funkcia je najčastejšie používaná.
Prvá postačujúca podmienka pre extrém
Definícia 4Nech je daná funkcia y = f (x), ktorá je diferencovateľná v ε okolí bodu x 0 a má spojitosť v danom bode x 0 . Preto to chápeme
- keď f "(x) > 0 s x ∈ (x 0 - ε; x 0) a f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- keď f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 pre x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), potom x 0 je minimálny bod.
Inými slovami, získame ich podmienky nastavenia znamienka:
- keď je funkcia spojitá v bode x 0, potom má deriváciu s meniacim sa znamienkom, teda od + do -, čo znamená, že bod sa nazýva maximum;
- keď je funkcia spojitá v bode x 0, potom má deriváciu s meniacim sa znamienkom od - do +, čo znamená, že bod sa nazýva minimum.
Ak chcete správne určiť maximálne a minimálne body funkcie, musíte postupovať podľa algoritmu na ich nájdenie:
- nájsť doménu definície;
- nájsť deriváciu funkcie na tejto ploche;
- identifikovať nuly a body, kde funkcia neexistuje;
- určenie znamienka derivácie na intervaloch;
- vyberte body, v ktorých funkcia zmení znamienko.
Uvažujme o algoritme na príklade riešenia niekoľkých príkladov hľadania extrémov funkcie.
Príklad 1
Nájdite maximum a minimum bodov danej funkcie y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Riešenie
Definičným oborom tejto funkcie sú všetky reálne čísla okrem x = 2. Najprv nájdeme deriváciu funkcie a dostaneme:
y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2
Odtiaľ vidíme, že nuly funkcie sú x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, to znamená, že každá zátvorka sa musí rovnať nule. Označte na číselnej osi a získajte:
Teraz určíme znamienka derivácie z každého intervalu. Je potrebné vybrať bod obsiahnutý v intervale, dosadiť ho do výrazu. Napríklad body x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Chápeme to
y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, teda interval - ∞; - 1 má kladnú deriváciu. Podobne získame, že
y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Keďže druhý interval sa ukázal byť menší ako nula, znamená to, že derivácia na segmente bude záporná. Tretí s mínusom, štvrtý s plusom. Na určenie kontinuity je potrebné venovať pozornosť znamienku derivácie, ak sa mení, potom je to extrémny bod.
Dostaneme, že v bode x = - 1 bude funkcia spojitá, čo znamená, že derivácia zmení znamienko z + na -. Podľa prvého znamienka máme, že x = - 1 je maximálny bod, čo znamená, že dostaneme
y ma x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Bod x = 5 znamená, že funkcia je spojitá a derivácia zmení znamienko z - na +. Preto x=-1 je minimálny bod a jeho nájdenie má tvar
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Grafický obrázok
odpoveď: ym a x = y (-1) = 0, ym i n = y (5) = 24 .
Za pozornosť stojí skutočnosť, že použitie prvého postačujúceho znamienka extrému nevyžaduje, aby funkcia bola diferencovateľná od bodu x 0 , čo zjednodušuje výpočet.
Príklad 2
Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .
Riešenie.
Definičným oborom funkcie sú všetky reálne čísla. Dá sa to zapísať ako systém rovníc v tvare:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Potom musíte nájsť derivát:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Bod x = 0 nemá deriváciu, pretože hodnoty jednostranných limitov sú rôzne. Dostávame to:
lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Z toho vyplýva, že funkcia je spojitá v bode x = 0, potom počítame
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 r (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Je potrebné vykonať výpočty na nájdenie hodnoty argumentu, keď sa derivácia stane nulou:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Všetky získané body musia byť označené na čiare, aby sa určilo znamienko každého intervalu. Preto je potrebné vypočítať deriváciu v ľubovoľných bodoch pre každý interval. Napríklad môžeme vziať body s hodnotami x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Chápeme to
y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 r "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Obrázok na priamke má tvar
Dostávame sa teda k tomu, že je potrebné uchýliť sa k prvému náznaku extrému. Vypočítame a dostaneme to
x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, potom má maximálny počet bodov hodnoty x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3
Prejdime k výpočtu minima:
r m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 r m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 r m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Vypočítajme maximum funkcie. Chápeme to
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Grafický obrázok
odpoveď:
r m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 r m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 27 3 x 3 8 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Ak je daná funkcia f "(x 0) = 0, potom s jej f "" (x 0) > 0 dostaneme, že x 0 je minimálny bod, ak f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Príklad 3
Nájdite maximá a minimá funkcie y = 8 x x + 1 .
Riešenie
Najprv nájdeme doménu definície. Chápeme to
D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Je potrebné diferencovať funkciu, po ktorej dostaneme
y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
Keď x = 1, derivácia sa rovná nule, čo znamená, že bod je možný extrém. Na objasnenie je potrebné nájsť druhú deriváciu a vypočítať hodnotu pri x \u003d 1. Dostaneme:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0
S použitím postačujúcej podmienky 2 pre extrém teda dostaneme, že x = 1 je maximálny bod. V opačnom prípade je záznam y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .
Grafický obrázok
odpoveď: y ma x = y (1) = 4 ..
Definícia 5Funkcia y = f (x) má deriváciu do n-tého rádu v ε okolí daného bodu x 0 a deriváciu do n + 1. rádu v bode x 0 . Potom f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0.
Z toho vyplýva, že keď n je párne číslo, potom x 0 sa považuje za inflexný bod, keď n je nepárne číslo, potom x 0 je extrémny bod a f (n + 1) (x 0) > 0, potom x 0 je minimálny bod, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Príklad 4
Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .
Riešenie
Pôvodná funkcia je celá racionálna, z toho vyplýva, že doménou definície sú všetky reálne čísla. Funkciu treba odlíšiť. Chápeme to
y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Táto derivácia sa dostane na nulu pri x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To znamená, že body môžu byť bodmi možného extrému. Je potrebné uplatniť tretiu dostatočnú extrémnu podmienku. Nájdenie druhej derivácie vám umožňuje presne určiť prítomnosť maxima a minima funkcie. Druhá derivácia sa vypočíta v bodoch jej možného extrému. Chápeme to
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 r "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
To znamená, že x 2 \u003d 5 7 je maximálny bod. Aplikovaním 3 dostatočných kritérií dostaneme, že pre n = 1 a f (n + 1) 5 7< 0 .
Je potrebné určiť povahu bodov x 1 = - 1, x 3 = 3. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť tretiu deriváciu a vypočítať hodnoty v týchto bodoch. Chápeme to
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) r " " " (- 1) = 96 ≠ 0 r " " " (3) = 0
Preto x 1 = - 1 je inflexný bod funkcie, pretože pre n = 2 a f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Je potrebné preskúmať bod x 3 = 3 . Aby sme to dosiahli, nájdeme 4. deriváciu a v tomto bode vykonáme výpočty:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Z vyššie uvedeného sme dospeli k záveru, že x 3 \u003d 3 je minimálny bod funkcie.
Grafický obrázok
odpoveď: x 2 \u003d 5 7 je maximálny bod, x 3 \u003d 3 - minimálny bod danej funkcie.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Funkčné extrémy
Definícia 2
Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\le f(x_0 )$ je spokojný.
Definícia 3
Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\ge f(x_0 )$ je spokojný.
Pojem extrém funkcie úzko súvisí s pojmom kritický bod funkcie. Predstavme si jeho definíciu.
Definícia 4
$x_0$ sa nazýva kritický bod funkcie $f(x)$, ak:
1) $x_0$ - vnútorný bod definičnej oblasti;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ alebo neexistuje.
Pre pojem extrém možno formulovať vety o dostatočných a nevyhnutných podmienkach jeho existencie.
Veta 2
Dostatočný extrémny stav
Nech je bod $x_0$ kritický pre funkciu $y=f(x)$ a leží v intervale $(a,b)$. Nech na každom intervale $\left(a,x_0\right)\ a\ (x_0,b)$ existuje derivácia $f"(x)$ a udržiava konštantné znamienko. Potom:
1) Ak je na intervale $(a,x_0)$ derivácia $f"\left(x\right)>0$ a na intervale $(x_0,b)$ je derivácia $f"\left(x\ správny)
2) Ak je derivácia $f"\left(x\right)0$ na intervale $(a,x_0)$, potom bod $x_0$ je minimálny bod pre túto funkciu.
3) Ak je na intervale $(a,x_0)$ aj na intervale $(x_0,b)$ derivácia $f"\left(x\right) >0$ alebo derivácia $f"\left(x \správny)
Táto veta je znázornená na obrázku 1.
Obrázok 1. Dostatočný stav pre existenciu extrémov
Príklady extrémov (obr. 2).
Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov
Pravidlo na skúmanie funkcie pre extrém
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
7) Urobte závery o prítomnosti maxím a miním v každom intervale pomocou vety 2.
Funkcia stúpajúca a klesajúca
Najprv si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.
Definícia 5
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva rastúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1
Definícia 6
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva klesajúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1f(x_2)$.
Skúmanie funkcie pre zvyšovanie a znižovanie
Pomocou derivácie môžete skúmať funkcie na zvyšovanie a znižovanie.
Ak chcete preskúmať funkciu pre intervaly nárastu a poklesu, musíte urobiť nasledovné:
1) Nájdite definičný obor funkcie $f(x)$;
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
3) Nájdite body, kde je rovnosť $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
4) Nájdite body, kde $f"(x)$ neexistuje;
5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a definičný obor danej funkcie;
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom výslednom intervale;
7) Záver: na intervaloch kde $f"\vľavo(x\vpravo)0$ sa funkcia zvyšuje.
Príklady úloh na štúdium funkcií zvyšovania, klesania a prítomnosti extrémnych bodov
Príklad 1
Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť bodov maxím a miním: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, najskôr ich vyžrebujeme.
1) Definičná oblasť - všetky reálne čísla;
2) $f"\vľavo(x\vpravo)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existuje vo všetkých bodoch domény definície;
5) Súradnicová čiara:
Obrázok 3
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom intervale:
\ \}