Horizontálna parabola. Parabola - vlastnosti a graf kvadratickej funkcie

Parabola je ťažisko bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu F a danej priamky d, ktorá daným bodom neprechádza. Táto geometrická definícia vyjadruje režijná vlastnosť paraboly.

Riadiaca vlastnosť paraboly

Bod F sa nazýva ohnisko paraboly, čiara d je smerová čiara paraboly, stred O kolmice zníženej z ohniska na smerovú čiaru je vrchol paraboly, vzdialenosť p od ohniska po smerovú čiaru je parameter paraboly a vzdialenosť \frac(p)(2) od vrcholu paraboly k jej ohnisku je ohnisková vzdialenosť (obr. 3.45a). Priamka kolmá na smerovú čiaru a prechádzajúca ohniskom sa nazýva os paraboly (ohnisková os paraboly). Úsek FM spájajúci ľubovoľný bod M paraboly s jeho ohniskom sa nazýva ohniskový polomer bodu M. Úsek spájajúci dva body paraboly sa nazýva tetiva paraboly.

Pre ľubovoľný bod paraboly je pomer vzdialenosti k ohnisku k vzdialenosti k priamke rovný jednej. Porovnaním direktívnych vlastností elipsy, hyperboly a paraboly sme dospeli k záveru, že excentricita paraboly podľa definície sa rovná jednej (e=1).

Geometrická definícia paraboly, vyjadrujúci jeho direktívnu vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou paraboly:

Skutočne zaveďme pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.45, b). Za počiatok súradnicového systému berieme vrchol O paraboly; za os x berieme priamku prechádzajúcu ohniskom kolmým na smerovú čiaru (kladný smer na nej je z bodu O do bodu F); Zoberme si priamku kolmú na súradnicovú os a prechádzajúcu vrcholom paraboly ako zvislú os (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny).

Vytvorme rovnicu pre parabolu pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje direktívnu vlastnosť paraboly. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohniska F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) a priamková rovnica x=-\frac(p)(2) . Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do paraboly máme:

FM=MM_d,

Kde M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- kolmý priemet bodu M(x,y) na priamku. Túto rovnicu napíšeme v súradnicovom tvare:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Odmocnime obe strany rovnice: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Prinášame podobné výrazy rovnica kanonickej paraboly

Y^2=2\cdot p\cdot x, tie. zvolený súradnicový systém je kanonický.

Uskutočnením uvažovania v opačnom poradí môžeme ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.51), a iba oni, patria do ťažiska bodov nazývaného parabola. Analytická definícia paraboly je teda ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje direktívnu vlastnosť paraboly.

Parabolická rovnica v polárnom súradnicovom systéme

Rovnica paraboly v polárnom súradnicovom systéme Fr\varphi (obr. 3.45, c) má tvar

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kde p je parameter paraboly a e=1 je jej excentricita.

V skutočnosti ako pól polárneho súradnicového systému zvolíme ohnisko F paraboly a ako polárnu os - lúč so začiatkom v bode F, kolmý na priamku a nepretínajúci ju (obr. 3.45, c) . Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) patriaci parabole podľa geometrickej definície (smerovej vlastnosti) paraboly máme MM_d=r. Pretože MM_d=p+r\cos\varphi dostaneme rovnicu paraboly v súradnicovom tvare:

P+r\cdot\cos\varphi \quad \Šípka doľava\quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Všimnite si, že v polárnych súradniciach sa rovnice elipsy, hyperboly a paraboly zhodujú, ale opisujú rôzne čiary, pretože sa líšia v excentricitách ( 0\leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 pre hyperbolu).

Geometrický význam parametra v rovnici paraboly

Poďme si to vysvetliť geometrický význam parametra p v rovnici kanonickej paraboly. Dosadením x=\frac(p)(2) do rovnice (3.51) dostaneme y^2=p^2, t.j. y=\pm p . Preto parameter p je polovica dĺžky tetivy paraboly prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na os paraboly.

Ohniskový parameter paraboly, ako aj pre elipsu a hyperbolu, sa nazýva polovica dĺžky tetivy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os (pozri obr. 3.45, c). Z rovnice paraboly v polárnych súradniciach at \varphi=\frac(\pi)(2) dostaneme r=p, t.j. parameter paraboly sa zhoduje s jej ohniskovým parametrom.

Poznámky 3.11.

1. Parabola p charakterizuje jej tvar. Čím väčšie p, tým širšie sú vetvy paraboly, čím bližšie je p k nule, tým užšie sú vetvy paraboly (obr. 3.46).

2. Rovnica y^2=-2px (pre p>0) definuje parabolu, ktorá sa nachádza naľavo od osi ordinátov (obr. 3.47,a). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú zmenou smeru osi x (3.37). Na obr. 3.47,a ukazuje daný súradnicový systém Oxy a kanonický Ox"y".

3. Rovnica (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definuje parabolu s vrcholom O"(x_0,y_0), ktorej os je rovnobežná s osou x (obr. 3.47,6). Táto rovnica je pomocou paralelného prekladu (3.36) redukovaná na kanonickú.

Rovnica (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, definuje aj parabolu s vrcholom O"(x_0,y_0), ktorej os je rovnobežná s osou ordinát (obr. 3.47, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného prekladu (3.36) a premenovaním súradnicové osi (3.38) Na obr. 3.47,b,c sú znázornené dané súradnicové systémy Oxy a kanonické súradnicové systémy Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 je parabola s vrcholom v bode O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), ktorého os je rovnobežná s ordinátnou osou, vetvy paraboly smerujú nahor (pre a>0) alebo nadol (pre a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

Y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftright \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\vpravo)^2=\frac(1)(a)\vľavo(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\vpravo)\!,

ktorý je zredukovaný na kanonickú formu (y")^2=2px" , kde p=\left|\frac(1)(2a)\right|, s použitím nahradenia y"=x+\frac(b)(2a) a x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Znamienko je zvolené tak, aby sa zhodovalo so znamienkom vedúceho koeficientu a. Táto náhrada zodpovedá zloženiu: paralelný prenos (3.36) s x_0=-\frac(b)(2a) a y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), premenovanie súradnicových osí (3.38), a v prípade a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 a a<0 соответственно.

5. Os x kanonického súradnicového systému je os symetrie paraboly, keďže nahradenie premennej y za -y nemení rovnicu (3.51). Inými slovami, súradnice bodu M(x,y), patriaceho do paraboly, a súradnice bodu M"(x,-y), symetrické k bodu M vzhľadom na os x, spĺňajú rovnicu (3.S1 sú tzv. osi kanonického súradnicového systému). hlavné osi paraboly.

Príklad 3.22. Nakreslite parabolu y^2=2x v kanonickom súradnicovom systéme Oxy. Nájdite ohniskový parameter, ohniskové súradnice a rovnicu smerovej čiary.

Riešenie. Zostrojíme parabolu, berúc do úvahy jej symetriu vzhľadom na os x (obr. 3.49). V prípade potreby určte súradnice niektorých bodov paraboly. Napríklad dosadením x=2 do rovnice paraboly dostaneme y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Body so súradnicami (2;2),\,(2;-2) teda patria do paraboly.

Porovnaním danej rovnice s kanonickou (3.S1) určíme ohniskový parameter: p=1. Súradnice zaostrenia x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, t.j. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Zostavíme rovnicu smerovky x=-\frac(p)(2) , t.j. x=-\frac(1)(2) .

Všeobecné vlastnosti elipsy, hyperboly, paraboly

1. Direktívnu vlastnosť možno použiť ako jednu definíciu elipsy, hyperboly, paraboly (pozri obr. 3.50): ťažisko bodov v rovine, pre každý z nich je pomer vzdialenosti k danému bodu F (ohnisko) k vzdialenosti k danej priamke d (smernica), ktorá neprechádza daným bodom, konštantný a rovný excentricite e , sa volá:

a) elipsa, ak 0\leqslant e<1 ;

b) hyperbola, ak e>1;

c) parabola, ak e=1.

2. Elipsa, hyperbola a parabola sa získajú ako roviny v rezoch kruhového kužeľa a preto sa nazývajú kužeľové rezy. Táto vlastnosť môže slúžiť aj ako geometrická definícia elipsy, hyperboly a paraboly.

3. Spoločné vlastnosti elipsy, hyperboly a paraboly zahŕňajú dvojsektorový majetok ich tangenty. Pod dotyčnica k priamke v určitom bode K sa rozumie hraničná poloha sečnice KM, keď bod M, zostávajúci na uvažovanej priamke, smeruje k bodu K. Nazýva sa priamka kolmá na dotyčnicu k priamke a prechádzajúca bodom dotyku normálne na tento riadok.

Bisektorová vlastnosť dotyčníc (a normál) k elipse, hyperbole a parabole je formulovaná takto: dotyčnica (normálna) k elipse alebo hyperbole tvorí rovnaké uhly s polomermi ohniska dotykového bodu(obr. 3.51, a, b); dotyčnica (normálna) k parabole tvorí rovnaké uhly s ohniskovým polomerom dotykového bodu a kolmica spadnutá z neho na priamku(obr. 3.51, c). Inými slovami, dotyčnica k elipse v bode K je osou vonkajšieho uhla trojuholníka F_1KF_2 (a normála je osou vnútorného uhla F_1KF_2 trojuholníka); dotyčnica k hyperbole je osou vnútorného uhla trojuholníka F_1KF_2 (a normála je osou vonkajšieho uhla); dotyčnica k parabole je osou vnútorného uhla trojuholníka FKK_d (a normála je osou vonkajšieho uhla). Bisektorová vlastnosť dotyčnice k parabole môže byť formulovaná rovnakým spôsobom ako pre elipsu a hyperbolu, ak predpokladáme, že parabola má druhé ohnisko v bode v nekonečne.

4. Z bisektorových vlastností vyplýva optické vlastnosti elipsy, hyperboly a paraboly, vysvetľujúci fyzikálny význam pojmu "zameranie". Predstavme si plochy vytvorené rotáciou elipsy, hyperboly alebo paraboly okolo ohniskovej osi. Ak sa na tieto povrchy nanesie reflexná vrstva, získajú sa eliptické, hyperbolické a parabolické zrkadlá. Podľa zákona optiky sa uhol dopadu svetelného lúča na zrkadlo rovná uhlu odrazu, t.j. dopadajúci a odrazený lúč zvierajú rovnaké uhly s normálou k povrchu a oba lúče aj os rotácie sú v rovnakej rovine. Odtiaľ dostaneme nasledujúce vlastnosti:

– ak je zdroj svetla umiestnený v jednom z ohniskov eliptického zrkadla, potom sa lúče svetla odrazené od zrkadla zhromažďujú v inom ohnisku (obr. 3.52, a);

– ak sa zdroj svetla nachádza v jednom z ohniskov hyperbolického zrkadla, potom sa lúče svetla odrazené od zrkadla rozchádzajú, akoby prichádzali z iného ohniska (obr. 3.52, b);

– ak je zdroj svetla v ohnisku parabolického zrkadla, potom svetelné lúče, odrazené od zrkadla, idú rovnobežne s ohniskovou osou (obr. 3.52, c).

5. Diametrálna vlastnosť elipsa, hyperbola a parabola môžu byť formulované takto:

– stredy rovnobežných akordov elipsy (hyperbola) ležia na jednej priamke prechádzajúcej stredom elipsy (hyperbola);

– stredy rovnobežných tetiv paraboly ležia na priamej kolineárnej osi symetrie paraboly.

Geometrické miesto stredov všetkých rovnobežných akordov elipsy (hyperbola, parabola) sa nazýva priemer elipsy (hyperbola, parabola), konjugujte na tieto akordy.

Toto je definícia priemeru v užšom zmysle (pozri príklad 2.8). Predtým bola definícia priemeru uvedená v širšom zmysle, kde priemer elipsy, hyperboly, paraboly a iných čiar druhého rádu je priamka obsahujúca stredy všetkých rovnobežných tetiv. V užšom zmysle je priemerom elipsy akákoľvek tetiva prechádzajúca jej stredom (obr. 3.53, a); priemer hyperboly je akákoľvek priamka prechádzajúca stredom hyperboly (s výnimkou asymptot), alebo časť takejto priamky (obr. 3.53,6); Priemer paraboly je akýkoľvek lúč vychádzajúci z určitého bodu paraboly a kolineárny s osou symetrie (obr. 3.53, c).

Dva priemery, z ktorých každý pretína všetky tetivy rovnobežné s druhým priemerom, sa nazývajú konjugované. Na obr. 3.53 hrubé čiary znázorňujú konjugované priemery elipsy, hyperboly a paraboly.

Dotyčnicu k elipse (hyperbola, parabola) v bode K možno definovať ako hraničnú polohu rovnobežných sečníc M_1M_2, keď body M_1 a M_2 zostávajúce na uvažovanej priamke smerujú k bodu K. Z tejto definície vyplýva, že dotyčnica rovnobežná s tetivami prechádza koncom priemeru konjugovaného s týmito tetivami.

6. Elipsa, hyperbola a parabola majú okrem vyššie uvedených aj početné geometrické vlastnosti a fyzikálne aplikácie. Na ilustráciu trajektórií vesmírnych objektov nachádzajúcich sa v blízkosti ťažiska F môže poslúžiť napríklad obr.3.50.

Parabola je ťažisko bodov, pre ktoré je vzdialenosť od nejakého pevného bodu v rovine, nazývaného ohnisko, rovná vzdialenosti od nejakej pevnej priamky, nazývanej smerová čiara (za predpokladu, že táto priamka neprechádza ohniskom) .

Ohnisko paraboly sa zvyčajne označuje písmenom F, vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru-písmeno R. Veľkosť p volal parameter paraboly. Obraz paraboly je na obr. 61 (komplexné vysvetlenie tejto kresby dostane čitateľ po prečítaní niekoľkých nasledujúcich odsekov).

Komentujte. V súlade s P° 100 hovorí, že parabola má excentricitu =1.

Nech je daná nejaká parabola (zároveň predpokladáme, že parameter R). Predstavme si v rovine kartézsky pravouhlý súradnicový systém, ktorého osi budú umiestnené špeciálnym spôsobom vzhľadom na túto parabolu. Menovite nakreslíme os x cez ohnisko kolmo na smerovú čiaru a považujeme ju za smerovanú od smerovej čiary k ohnisku; Počiatok súradníc umiestnime do stredu medzi zameranie a primárka (obr. 61). Odvoďme rovnicu tejto paraboly v tomto súradnicovom systéme.

Zoberme si ľubovoľný bod na rovine M a označte jeho súradnice pomocou X A u. Označme ďalej podľa r vzdialenosť od bodu M zamerať (r=FM), cez r- vzdialenosť od bodu M k pani riaditeľke. Bodka M bude na (danej) parabole vtedy a len vtedy

Ak chcete získať požadovanú rovnicu, musíte nahradiť premenné v rovnosti (1) r A A ich vyjadrenia cez aktuálne súradnice x, y. Všimnite si, že zameranie F má súradnice; berúc do úvahy a aplikovanie vzorca (2) P° 18. nájdeme:

(2)

Označme podľa Q základňa kolmice spadnutá z bodu M k pani riaditeľke. Samozrejme, bodka Q má súradnice; odtiaľto a zo vzorca (2) P° 18 dostaneme:

(3),

(pri extrakcii koreňa sme vzali jeho znamienko, keďže - číslo je kladné; vyplýva to z toho, že bod M(x;y) by mala byť na tej strane riaditeľa, kde je zameranie, t.j. mala by byť x > , odkiaľ Nahradenie v rovnosti (1) g a d ich výrazy (2) a (3) nájdeme:

(4)

Toto je rovnica príslušnej paraboly v určenom súradnicovom systéme, pretože je splnená súradnicami bodu M(x;y) vtedy a len vtedy, ak bod M leží na tejto parabole.

Aby sme dostali rovnicu paraboly v jednoduchšej forme, odmocnime obe strany rovnosti (4); dostaneme:

(5),

Rovnicu (6) sme odvodili ako dôsledok rovnice (4). Je ľahké ukázať, že rovnica (4) môže byť odvodená ako dôsledok rovnice (6). V skutočnosti je rovnica (5) odvodená z rovnice (6) zrejmým spôsobom („obrátené“); ďalej z rovnice (5) máme.

Trieda 10 . Krivky druhého rádu.

10.1. Elipsa. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, graf.

10.2. Hyperbola. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, asymptoty, graf.

10.3. Parabola. Kanonická rovnica. Parabolický parameter, graf.

Krivky druhého rádu na rovine sú čiary, ktorých implicitná definícia má tvar:

Kde
- dané reálne čísla,
- súradnice bodov krivky. Najdôležitejšie čiary medzi krivkami druhého rádu sú elipsa, hyperbola a parabola.

10.1. Elipsa. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, graf.

Definícia elipsy.Elipsa je rovinná krivka, ktorej súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov je rovný
rovinou do akéhokoľvek bodu

(tie.). Body
sa nazývajú ohniská elipsy.

Rovnica kanonickej elipsy:
. (2)

(alebo os
) prechádza trikmi
, a pôvod je bod - nachádza sa v strede segmentu
(obr. 1). Elipsa (2) je symetrická podľa súradnicových osí a začiatku (stred elipsy). Trvalé
,
sa volajú poloosi elipsy.

Ak je elipsa daná rovnicou (2), potom ohniská elipsy nájdeme takto.

1) Najprv určíme, kde ležia ohniská: ohniská ležia na súradnicovej osi, na ktorej sú umiestnené hlavné poloosi.

2) Potom sa vypočíta ohnisková vzdialenosť (vzdialenosť od ohniska k pôvodu).

O
ohniská ležia na osi
;
;
.

O
ohniská ležia na osi
;
;
.

Výstrednosť elipsa sa nazýva množstvo: (at
);(at
).

Vždy elipsa
. Excentricita slúži ako charakteristika kompresie elipsy.

Ak sa elipsa (2) posunie tak, že stred elipsy zasiahne bod

,
, potom rovnica výslednej elipsy má tvar

.

10.2. Hyperbola. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, asymptoty, graf.

Definícia hyperboly.Hyperbola je rovinná krivka, v ktorej je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch pevných bodov
rovinou do akéhokoľvek bodu
táto krivka má konštantnú hodnotu nezávislú od bodu
(tie.). Body
sa nazývajú ohniská hyperboly.

Kanonická rovnica hyperboly:
alebo
. (3)

Táto rovnica sa získa, ak je súradnicová os
(alebo os
) prechádza trikmi
, a pôvod je bod - nachádza sa v strede segmentu
. Hyperboly (3) sú symetrické podľa súradnicových osí a začiatku. Trvalé
,
sa volajú poloosi hyperboly.

Ohniská hyperboly sa nachádzajú takto.

Pri hyperbole
ohniská ležia na osi
:
(obr. 2.a).

Pri hyperbole
ohniská ležia na osi
:
(obr. 2.b)

Tu - ohnisková vzdialenosť (vzdialenosť od ohniska k pôvodu). Vypočítava sa podľa vzorca:
.

Výstrednosť hyperbola je množstvo:

(Pre
);(Pre
).

Hyperbola bola vždy
.

Asymptoty hyperbol(3) sú dve priame čiary:
. Obe vetvy hyperboly sa približujú k asymptotám neobmedzene so stúpaním .

Konštrukcia hyperbolového grafu by sa mala vykonať nasledovne: najprv pozdĺž poloosi
postavíme pomocný obdĺžnik so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami; potom nakreslite priame čiary cez opačné vrcholy tohto obdĺžnika, to sú asymptoty hyperboly; nakoniec zobrazujeme vetvy hyperboly, dotýkajú sa stredov zodpovedajúcich strán pomocného obdĺžnika a približujú sa rastom na asymptoty (obr. 2).

Ak sa hyperboly (3) posunú tak, aby ich stred zasiahol bod
a poloosi zostanú rovnobežné s osami
,
, potom sa rovnica výsledných hyperbol zapíše do tvaru

,
.

10.3. Parabola. Kanonická rovnica. Parabolický parameter, graf.

Definícia paraboly.Parabola je rovinná krivka pre ktorýkoľvek bod
táto krivka je vzdialenosť od
do pevného bodu rovina (nazývaná ohnisko paraboly) sa rovná vzdialenosti od
na pevnú priamku v rovine(nazýva sa priamka paraboly) .

Rovnica kanonickej paraboly:
, (4)

Kde - konštanta tzv parameter paraboly.

Bodka
parabola (4) sa nazýva vrchol paraboly. Os
je os symetrie. Ohnisko paraboly (4) je v bode
, priamková rovnica
. Parabolové grafy (4) s významom
A
sú znázornené na obr. 3.a a 3.b.

Rovnica
tiež definuje parabolu v rovine
, ktorého osi v porovnaní s parabolou (4),
,
vymenené miesta.

Ak sa parabola (4) posunie tak, aby jej vrchol zasiahol bod
a os symetrie zostane rovnobežná s osou
, potom rovnica výslednej paraboly má tvar

.

Prejdime na príklady.

Príklad 1. Krivka druhého rádu je daná rovnicou
. Pomenujte túto krivku. Nájdite jeho ohniská a výstrednosť. Nakreslite krivku a jej ohniská do roviny
.

Riešenie. Táto krivka je elipsa so stredom v bode
a nápravové hriadele
. To sa dá ľahko overiť výmenou
. Táto transformácia znamená prechod z daného karteziánskeho súradnicového systému
do nového karteziánskeho súradnicového systému
, ktorej os
rovnobežne s osami
,
. Táto transformácia súradníc sa nazýva posun systému
presne tak . V novom súradnicovom systéme
rovnica krivky sa transformuje na kanonickú rovnicu elipsy
, jeho graf je znázornený na obr. 4.

Poďme nájsť triky.
, takže triky
elipsa umiestnená na osi
.. V súradnicovom systéme
:
. Pretože
, v starom súradnicovom systéme
ohniská majú súradnice.

Príklad 2. Zadajte názov krivky druhého rádu a uveďte jej graf.

Riešenie. Vyberme dokonalé štvorce na základe výrazov obsahujúcich premenné A .

Teraz je možné rovnicu krivky prepísať takto:

Daná krivka je teda elipsa so stredom v bode
a nápravové hriadele
. Získané informácie nám umožňujú nakresliť jej graf.

Príklad 3. Uveďte názov a graf čiary
.

Riešenie. . Toto je kanonická rovnica elipsy so stredom v bode
a nápravové hriadele
.

Pretože,
, skonštatujeme: daná rovnica určuje na rovine
dolná polovica elipsy (obr. 5).

Príklad 4. Uveďte názov krivky druhého rádu
. Nájdite jeho zameranie, výstrednosť. Uveďte graf tejto krivky.

- kanonická rovnica hyperboly s poloosami
.

Ohnisková vzdialenosť.

Znamienko mínus sa nachádza pred výrazom s , takže triky
hyperboly ležia na osi
:. Vetvy hyperboly sú umiestnené nad a pod osou
.

- excentricita hyperboly.

Asymptoty hyperboly: .

Zostrojenie grafu tejto hyperboly sa vykonáva v súlade s postupom uvedeným vyššie: zostrojíme pomocný obdĺžnik, nakreslíme asymptoty hyperboly, nakreslíme vetvy hyperboly (pozri obr. 2.b).

Príklad 5. Zistite typ krivky daný rovnicou
a naplánovať to.

- hyperbola so stredom v bode
a nápravové hriadele.

Pretože , dospejeme k záveru: daná rovnica určuje tú časť hyperboly, ktorá leží napravo od priamky
. Je lepšie kresliť hyperbolu v pomocnom súradnicovom systéme
, získané zo súradnicového systému
posun
a potom zvýraznite požadovanú časť hyperboly hrubou čiarou

Príklad 6. Zistite typ krivky a nakreslite jej graf.

Riešenie. Vyberme úplný štvorec na základe výrazov s premennou :

Prepíšeme rovnicu krivky.

Toto je rovnica paraboly s jej vrcholom v bode
. Pomocou transformácie posunu sa rovnica paraboly dostane do kanonického tvaru
, z čoho je zrejmé, že ide o parameter paraboly. Zamerajte sa paraboly v systéme
má súradnice
,, a v systéme
(podľa transformácie posunu). Graf paraboly je znázornený na obr. 7.

Domáca úloha.

1. Nakreslite elipsy dané rovnicami:
Nájdite ich poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu a označte na grafoch elipsy umiestnenie ich ohnísk.

2. Nakreslite hyperboly dané rovnicami:
Nájdite ich poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu a označte na grafoch hyperboly umiestnenie ich ohnísk. Napíšte rovnice pre asymptoty daných hyperbol.

3. Nakreslite paraboly dané rovnicami:
. Nájdite ich parameter, ohniskovú vzdialenosť a označte na parabolických grafoch umiestnenie ohniska.

4. Rovnica
definuje časť krivky 2. rádu. Nájdite kanonickú rovnicu tejto krivky, zapíšte jej názov, nakreslite jej graf a zvýraznite na nej tú časť krivky, ktorá zodpovedá pôvodnej rovnici.

Ako postaviť parabolu? Existuje niekoľko spôsobov, ako zobraziť graf kvadratickej funkcie. Každý z nich má svoje pre a proti. Zvážme dva spôsoby.

Začnime nanesením kvadratickej funkcie v tvare y=x²+bx+c a y= -x²+bx+c.

Príklad.

Nakreslite graf funkcie y=x²+2x-3.

Riešenie:

y=x²+2x-3 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

Z vrcholu (-1;-4) zostavíme graf paraboly y=x² (ako od začiatku súradníc. Namiesto (0;0) - vrchol (-1;-4). Z (-1; -4) ideme doprava o 1 jednotku a hore o 1, potom doľava o 1 a hore o 1, potom: 2 - doprava, 4 - hore, 2 - doľava, 3 - 9 - hore, 3 -; vľavo, 9 - hore Ak týchto 7 bodov nestačí, potom 4 vpravo, 16 hore atď.).

Graf kvadratickej funkcie y= -x²+bx+c je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Na zostrojenie grafu hľadáme súradnice vrcholu a z nich zostrojíme parabolu y= -x².

Príklad.

Nakreslite graf funkcie y= -x²+2x+8.

Riešenie:

y= -x²+2x+8 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Zhora zostavíme parabolu y= -x² (1 - vpravo, 1 - dole; 1 - vľavo, 1 - dole; 2 - vpravo, 4 - dole; 2 - vľavo, 4 - dole atď.):

Táto metóda vám umožňuje rýchlo zostaviť parabolu a nespôsobuje ťažkosti, ak viete, ako zobraziť funkcie y=x² a y= -x². Nevýhoda: ak sú súradnice vrcholu zlomkové čísla, nie je veľmi vhodné zostaviť graf. Ak potrebujete poznať presné hodnoty priesečníkov grafu s osou Ox, budete musieť dodatočne vyriešiť rovnicu x²+bx+c=0 (alebo -x²+bx+c=0), aj keď tieto body možno priamo určiť z výkresu.

Ďalším spôsobom, ako zostrojiť parabolu, sú body, to znamená, že na grafe môžete nájsť niekoľko bodov a nakresliť cez ne parabolu (pričom úsečka x=xₒ je jej osou symetrie). Zvyčajne na to berú vrchol paraboly, priesečníky grafu so súradnicovými osami a 1-2 ďalšie body.

Nakreslite graf funkcie y=x²+5x+4.

Riešenie:

y=x²+5x+4 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

to znamená, že vrchol paraboly je bod (-2,5; -2,25).

hľadajú . V priesečníku s osou Ox y=0: x²+5x+4=0. Korene kvadratickej rovnice x1=-1, x2=-4, to znamená, že sme dostali dva body na grafe (-1; 0) a (-4; 0).

V priesečníku grafu s osou Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Získali sme bod (0; 4).

Na objasnenie grafu môžete nájsť ďalší bod. Zoberme si x=1, potom y=1²+5∙1+4=10, čiže ďalší bod na grafe je (1; 10). Tieto body označíme na súradnicovej rovine. Berúc do úvahy symetriu paraboly vo vzťahu k priamke prechádzajúcej jej vrcholom, označíme ďalšie dva body: (-5; 6) a (-6; 10) a nakreslíme cez ne parabolu:

Nakreslite graf funkcie y= -x²-3x.

Riešenie:

y= -x²-3x je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Vrchol (-1,5; 2,25) je prvým bodom paraboly.

V priesečníkoch grafu s osou x y=0, teda riešime rovnicu -x²-3x=0. Jeho korene sú x=0 a x=-3, teda (0;0) a (-3;0) - dva ďalšie body na grafe. Bod (o; 0) je zároveň priesečníkom paraboly so zvislou osou.

Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4, teda (1; -4) je ďalší bod na vykreslenie.

Zostrojenie paraboly z bodov je v porovnaní s prvou metódou náročnejšou na prácu. Ak parabola nepretína os Ox, budú potrebné ďalšie body.

Skôr než budeme pokračovať v konštrukcii grafov kvadratických funkcií v tvare y=ax²+bx+c, uvažujme o zostrojení grafov funkcií pomocou geometrických transformácií. Najvýhodnejšie je tiež zostrojiť grafy funkcií tvaru y=x²+c pomocou jednej z týchto transformácií – paralelného prekladu.

Pomocou kriviek sa predpovedajú mnohé technické, ekonomické a sociálne problémy. Najpoužívanejším typom medzi nimi je parabola, presnejšie povedané, jej polovica. Dôležitou súčasťou každej parabolickej krivky je jej vrchol, ktorého určenie presných súradníc hrá niekedy kľúčovú úlohu nielen pri zobrazení samotného procesu, ale aj pre následné závery. O tom, ako zistiť jeho presné súradnice, sa bude diskutovať v tomto článku.

V kontakte s

Spustite vyhľadávanie

Predtým, ako prejdeme k hľadaniu súradníc vrcholu paraboly, zoznámime sa so samotnou definíciou a jej vlastnosťami. V klasickom zmysle je parabola také usporiadanie bodov, ktoré odstránené v rovnakej vzdialenosti od konkrétneho bodu(ohnisko, bod F), ako aj z priamky, ktorá neprechádza bodom F. Pozrime sa na túto definíciu podrobnejšie na obrázku 1.

Obrázok 1. Klasický pohľad na parabolu

Na obrázku je klasická forma. Zameranie je bod F. Smerová čiara v tomto prípade bude považovaná za priamku osi Y (zvýraznenú červenou farbou). Z definície sa môžete uistiť, že absolútne akýkoľvek bod na krivke, nepočítajúc ohnisko, má podobný bod na druhej strane, ktorý sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od osi symetrie ako on sám. Navyše vzdialenosť od ktoréhokoľvek z bodov paraboly rovná vzdialenosti od riaditeľa. Keď sa pozrieme dopredu, povedzme, že stred funkcie nemusí byť v počiatku a vetvy môžu byť nasmerované rôznymi smermi.

Parabola, ako každá iná funkcia, má svoj vlastný záznam vo forme vzorca:

V uvedenom vzorci písmeno „s“ označuje parameter paraboly, ktorý sa rovná vzdialenosti od ohniska po smerovú čiaru. Existuje aj iná forma záznamu označená GMT, ktorá má tvar:

Tento vzorec sa používa pri riešení problémov v oblasti matematickej analýzy a používa sa častejšie ako tradičný (kvôli pohodliu). V budúcnosti sa zameriame na druhý záznam.

Toto je zaujímavé!: dôkaz

Výpočet koeficientov a hlavných bodov paraboly

Medzi hlavné parametre zvyčajne patrí umiestnenie vrcholu na osi x, súradnice vrcholu na osi y a parameter directrix.

Číselná hodnota vrcholovej súradnice na osi x

Ak je rovnica paraboly uvedená v klasickom tvare (1), potom hodnota úsečky v požadovanom bode sa bude rovnať polovici hodnoty parametra s(polovica vzdialenosti medzi riadiacou čiarou a ohniskom). Ak je funkcia prezentovaná vo forme (2), potom sa x nula vypočíta pomocou vzorca:

To znamená, že pri pohľade na tento vzorec môžeme povedať, že vrchol bude v pravej polovici vzhľadom na os y, ak jeden z parametrov a alebo b je menší ako nula.

Smerová rovnica je definovaná nasledujúcou rovnicou:

Hodnota vrcholu na zvislej osi

Číselná hodnota umiestnenia vrcholu pre vzorec (2) na zvislej osi možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

Z toho môžeme usúdiť, že ak a<0, то vrchol krivky bude v hornej polrovine, inak – v spodnej časti. V tomto prípade budú mať body paraboly rovnaké vlastnosti, ako bolo uvedené vyššie.

Ak je daná klasická forma zápisu, potom bude racionálnejšie vypočítať hodnotu polohy vrcholu na osi x a cez ňu následnú hodnotu ordináty. Všimnite si, že pre formu zápisu (2) sa os symetrie paraboly v klasickom zobrazení bude zhodovať s osou ordináty.

Dôležité! Pri riešení problémov pomocou parabolickej rovnice v prvom rade identifikujte hlavné hodnoty, ktoré sú už známe. Okrem toho bude užitočné, ak sa určia chýbajúce parametre. Tento prístup poskytne vopred väčší „manévrovací priestor“ a racionálnejšie rozhodnutie. V praxi skúste použiť notáciu (2). Je to jednoduchšie na pochopenie (nemusíte „obracať Descartove súradnice“) a veľká väčšina úloh je prispôsobená práve tejto forme zápisu.

Zostrojenie parabolickej krivky

Pred zostrojením paraboly pomocou bežnej formy notácie musíte nájsť jej vrchol. Jednoducho povedané, musíte vykonať nasledujúci algoritmus:

1. Nájdite súradnicu vrcholu na osi X.
2. Nájdite súradnicu umiestnenia vrcholu na osi Y.
3. Nahradením rôznych hodnôt závislej premennej X nájdite zodpovedajúce hodnoty Y a vytvorte krivku.

Tie. Algoritmus nie je zložitý, hlavný dôraz je kladený na to, ako nájsť vrchol paraboly. Ďalší stavebný proces možno považovať za mechanický.

Za predpokladu, že sú uvedené tri body, ktorých súradnice sú známe, je potrebné najskôr vytvoriť rovnicu pre samotnú parabolu a potom zopakovať postup, ktorý bol popísaný vyššie. Pretože v rovnici (2) sú 3 koeficienty, potom pomocou súradníc bodov vypočítame každý z nich:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Vo vzorcoch (5.1), (5.2), (5.3) sa používajú tie body, ktoré sú známe (napríklad A (, B (, C (). Takto nájdeme rovnicu paraboly pomocou 3 bodov). Z praktickej stránky nie je tento prístup „najpríjemnejší“, ale dáva jasný výsledok, na základe ktorého je následne vytvorená samotná krivka.

Pri konštrukcii paraboly vždy musí existovať os symetrie. Vzorec pre os symetrie na zápis (2) bude vyzerať takto:

Tie. Nájsť os symetrie, ku ktorej sú symetrické všetky body krivky, nie je ťažké. Presnejšie povedané, rovná sa prvej súradnici vrcholu.

Názorné príklady

Príklad 1. Povedzme, že máme rovnicu paraboly:

Musíte nájsť súradnice vrcholu paraboly a tiež skontrolovať, či bod D (10; 5) patrí do danej krivky.

Riešenie: Najprv si overme, či spomínaný bod patrí samotnej krivke

Z čoho usúdime, že zadaný bod do danej krivky nepatrí. Nájdite súradnice vrcholu paraboly. Zo vzorcov (4) a (5) dostaneme nasledujúcu postupnosť:

Ukazuje sa, že súradnice hore, v bode O, sú nasledovné (-1,25; -7,625). To naznačuje, že náš parabola vzniká v 3. štvrtine karteziánskeho systému súradnice

Príklad 2. Nájdite vrchol paraboly, pričom poznáte tri body, ktoré k nej patria: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Pomocou vzorcov (5.1), (5.2), (5.3) nájdeme koeficienty rovnice paraboly. Získame nasledovné:

Pomocou získaných hodnôt dostaneme nasledujúcu rovnicu:

Na obrázku bude zadaná funkcia vyzerať takto (obrázok 2):

Obrázok 2. Graf paraboly prechádzajúcej cez 3 body

Tie. Graf paraboly, ktorá prechádza tromi danými bodmi, bude mať vrchol v 1. štvrtine. Vetvy tejto krivky však smerujú nadol, t.j. dochádza k posunutiu paraboly od počiatku. Túto konštrukciu bolo možné predpovedať, ak by sme venovali pozornosť koeficientom a, b, c.

Najmä ak a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 krivka sa natiahne a ak je menšia ako 1, bude stlačená.

Konštanta c je zodpovedná za „pohyb“ krivky pozdĺž zvislej osi. Ak c>0, parabola sa „plazí“ nahor, inak – dole. Pokiaľ ide o koeficient b, stupeň vplyvu možno určiť iba zmenou formy napísania rovnice tak, že sa dostane do nasledujúceho tvaru:

Ak koeficient b>0, tak súradnice vrcholu paraboly budú posunuté doprava o b jednotiek, ak menej, tak o b jednotiek doľava.

Dôležité! Použitie techník na určenie posunutia paraboly na súradnicovej rovine niekedy pomáha ušetriť čas pri riešení úloh alebo sa informovať o možnom priesečníku paraboly s inou krivkou pred konštrukciou. Zvyčajne sa pozerajú iba na koeficient a, pretože práve ten dáva jasnú odpoveď na položenú otázku.

Užitočné video: ako nájsť vrchol paraboly

Užitočné video: ako jednoducho vytvoriť parabolickú rovnicu z grafu

Záver

Algebraický proces, akým je určovanie vrcholov paraboly, nie je zložitý, ale je dosť náročný na prácu. V praxi sa snažia používať druhú formu zápisu, aby uľahčili pochopenie grafického riešenia a riešenia ako celku. Preto dôrazne odporúčame použiť presne tento prístup a ak si nepamätáte vzorec pre súradnice vrcholov, majte aspoň cheat sheet.