Grafy funkcií vo forme zvierat. Lineárna funkcia a jej graf

Definícia: Číselná funkcia je korešpondencia, ktorá spája každé číslo x z určitej množiny s jedným číslom y.

Označenie:

kde x je nezávislá premenná (argument), y je závislá premenná (funkcia). Množina hodnôt x sa nazýva doména funkcie (označená D(f)). Množina hodnôt y sa nazýva rozsah hodnôt funkcie (označuje sa E(f)). Graf funkcie je množina bodov v rovine so súradnicami (x, f(x))

Metódy určenia funkcie.

1. analytická metóda (pomocou matematického vzorca);
2. tabuľková metóda (pomocou tabuľky);
3. deskriptívna metóda (pomocou slovného opisu);
4. grafická metóda (pomocou grafu).

Základné vlastnosti funkcie.

1. Párne a nepárne

Funkcia sa volá aj keď
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
f(-x) = f(x)

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi 0r

Funkcia sa nazýva nepárne, ak
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
– pre ľubovoľné x z oblasti definície f(-x) = –f(x)

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

2. Frekvencia

Funkcia f(x) sa nazýva periodická s bodkou, ak pre ľubovoľné x z definičnej oblasti f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Graf periodickej funkcie pozostáva z neobmedzene sa opakujúcich identických fragmentov.

3. Monotónnosť (narastajúca, klesajúca)

Funkcia f(x) je rastúca na množine P, ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1

Funkcia f(x) klesá na množine P ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1 f(x 2) .

4. Extrémy

Bod X max sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X max je splnená nerovnosť f(x) f(X max).

Hodnota Y max =f(X max) sa nazýva maximum tejto funkcie.

X max – maximálny bod
Pri max - maxime

Bod X min sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X min je splnená nerovnosť f(x) f(X min).

Hodnota Y min =f(X min) sa nazýva minimum tejto funkcie.

X min – minimálny bod
Y min – minimum

X min , X max – extrémne body
Y min , Y max – extrémy.

5. Nuly funkcie

Nula funkcie y = f(x) je hodnota argumentu x, pri ktorej sa funkcia stáva nulou: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – nuly funkcie y = f(x).

Úlohy a testy na tému "Základné vlastnosti funkcie"

• Vlastnosti funkcie - Numerické funkcie 9. ročník

  Lekcie: 2 Zadania: 11 Testy: 1

• Vlastnosti logaritmov - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň

  Lekcie: 2 Zadania: 14 Testov: 1

• Funkcia druhej odmocniny, jej vlastnosti a graf - Funkcia druhej odmocniny. Vlastnosti druhej odmocniny triedy 8

  Lekcie: 1 Zadania: 9 Testy: 1

• Funkcie - Dôležité témy pre opakovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky

  Úlohy: 24

• Mocninné funkcie, ich vlastnosti a grafy - Stupne a korene. Výkonové funkcie stupeň 11

  Lekcie: 4 Zadania: 14 Testy: 1

Po preštudovaní tejto témy by ste mali byť schopní nájsť doménu definície rôznych funkcií, určiť intervaly monotónnosti funkcie pomocou grafov a preskúmať funkcie na párnosť a nepárnosť. Uvažujme o riešení podobných problémov pomocou nasledujúcich príkladov.

Príklady.

1. Nájdite definičný obor funkcie.

Riešenie: doména definície funkcie sa zistí z podmienky

preto je funkcia f(x) párna.

odpoveď: dokonca

D(f) = [-1; 1] – symetrický okolo nuly.

funkcia teda nie je ani párna, ani nepárna.

Odpoveď: ani rovnomerné, ani nerovnomerné.

Dĺžka segmentu na súradnicovej osi je určená vzorcom:

Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa zistí pomocou vzorca:

Ak chcete zistiť dĺžku segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme, použite nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú pomocou vzorcov:

Funkcia– toto je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými veličinami, vďaka čomu každá uvažovaná hodnota nejakej premennej veličiny X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá hodnotu jedného argumentu X môže zodpovedať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Funkčná doména- to sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne toto X), pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je označená oblasť definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Doména definície funkcie sa inak nazýva definičný obor povolených hodnôt alebo VA, ktorý ste už dávno dokázali nájsť.

Rozsah funkcií sú všetky možné hodnoty závislej premennej danej funkcie. Určené E(pri).

Funkcia sa zvyšuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia sa znižuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie- sú to intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly- to sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch funkčný graf pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená potrebu jednoducho vyriešiť rovnicu. Tiež často potreba nájsť intervaly stálosti znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický vzhľadom na zvislú os operačného zosilňovača.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície platí rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x OX) je vždy rovný nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň - X.

Je dôležité poznamenať: niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a pre nich nie je splnená žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia je funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje iba jeden koreň, potom v tomto bode (; X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (na obrázku sú uvedené príklady, ktoré nevyčerpávajú všetky možné typy parabol):

kde:

• ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
• ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholu paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bod, v ktorom kvadratická trojčlenka dosiahne svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu):

Igrek topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximum, ak vetvy paraboly smerujú dole ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota kvadratického trinomu:

Grafy iných funkcií

Funkcia napájania

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerné je funkcia daná vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf závislosti môže mať dve základné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.

Exponenciálna funkcia so základňou A je funkcia daná vzorcom:

a Graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvádzame aj príklady, pozri nižšie):

Logaritmická funkcia je funkcia daná vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcie r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodické, ak existuje takéto nenulové číslo T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X z domény funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Uvádzame grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcie r=cos X volal kosínus. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Keďže sínusový graf pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcie r= tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte nám o nej e-mailom. Chybu môžete nahlásiť aj na sociálnej sieti (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, o akú chybu ide. Váš list nezostane nepovšimnutý, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

V tomto článku sa pozrieme na lineárna funkcia, graf lineárnej funkcie a jej vlastnosti. A ako inak, na túto tému vyriešime niekoľko problémov.

Lineárna funkcia nazývaná funkcia formulára

Vo funkčnej rovnici sa číslo, ktorým vynásobíme, nazýva sklonový koeficient.

Napríklad vo funkčnej rovnici ;

v rovnici funkcie;

v rovnici funkcie;

vo funkčnej rovnici.

Graf lineárnej funkcie je priamka.

1. Na vykreslenie funkcie, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Ak ich chcete nájsť, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a použiť ich na výpočet zodpovedajúcich hodnôt y.

Napríklad na vykreslenie funkčného grafu je vhodné vziať a , potom sa súradnice týchto bodov budú rovnať a .

Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojme ich a získame graf funkcie:

2 . Vo funkčnej rovnici je koeficient zodpovedný za sklon funkčného grafu:

Title="k>0">!}

Koeficient je zodpovedný za posun grafu pozdĺž osi:

Title="b>0">!}

Obrázok nižšie zobrazuje grafy funkcií; ;

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách koeficient Nad nulou správny. Navyše, čím je hodnota vyššia, tým je priamka strmšia.

Vo všetkých funkciách - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0;3)

Teraz sa pozrime na grafy funkcií; ;

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient menej ako nula a všetky grafy funkcií sú naklonené vľavo.

Všimnite si, že čím väčšie |k|, tým je priamka strmšia. Koeficient b je rovnaký, b=3 a grafy ako v predchádzajúcom prípade pretínajú os OY v bode (0;3)

Pozrime sa na grafy funkcií; ;

Teraz sú koeficienty vo všetkých funkčných rovniciach rovnaké. A dostali sme tri paralelné čiary.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:

Graf funkcie (b=3) pretína os OY v bode (0;3)

Graf funkcie (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.

Graf funkcie (b=-2) pretína os OY v bode (0;-2)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, tak si vieme hneď predstaviť, ako vyzerá graf funkcie.

Ak k<0 и b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k>0 a b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k>0 a b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k<0 и b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

Ak k=0, potom sa funkcia zmení na funkciu a jej graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov na grafe funkcie sú rovnaké

Ak b = 0, potom graf funkcie prechádza počiatkom:

Toto graf priamej úmernosti.

3. Chcel by som osobitne poznamenať graf rovnice. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou, ktorej všetky body majú úsečku.

Napríklad graf rovnice vyzerá takto:

Pozor! Rovnica nie je funkcia, pretože rôzne hodnoty argumentu zodpovedajú rovnakej hodnote funkcie, ktorá nezodpovedá.

4 . Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

Graf funkcie rovnobežne s grafom funkcie, Ak

5. Podmienka pre kolmosť dvoch priamok:

Graf funkcie kolmo na graf funkcie, ak alebo

6. Priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

S osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie namiesto x nahradiť nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; b).

S osou OX: Ordináta ktoréhokoľvek bodu prislúchajúceho k osi OX sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte v rovnici funkcie namiesto y nahradiť nulu. Dostaneme 0=kx+b. Odtiaľ. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (;0):

Pozrime sa na riešenie problémov.

1. Zostrojte graf funkcie, ak je známe, že prechádza bodom A(-3;2) a je rovnobežná s priamkou y=-4x.

Funkčná rovnica má dva neznáme parametre: k a b. Preto text úlohy musí obsahovať dve podmienky charakterizujúce graf funkcie.

a) Z toho, že graf funkcie je rovnobežný s priamkou y=-4x, vyplýva, že k=-4. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

b) Musíme len nájsť b. Je známe, že graf funkcie prechádza bodom A(-3;2). Ak bod patrí do grafu funkcie, potom pri dosadení jeho súradníc do rovnice funkcie dostaneme správnu rovnosť:

teda b = -10

Preto musíme funkciu vykresliť

Poznáme bod A(-3;2), zoberme si bod B(0;-10)

Umiestnime tieto body do súradnicovej roviny a spojíme ich priamkou:

2. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1;1); B(2;4).

Ak teda priamka prechádza bodmi s danými súradnicami, súradnice bodov vyhovujú rovnici priamky. To znamená, že ak dosadíme súradnice bodov do rovnice priamky, dostaneme správnu rovnosť.

Dosadíme súradnice každého bodu do rovnice a získame sústavu lineárnych rovníc.

Odčítajte prvú od druhej rovnice systému a získajte . Dosadíme hodnotu k do prvej rovnice sústavy a dostaneme b=-2.

Takže rovnica priamky.

3. Graf rovnice

Ak chcete zistiť, pri akých hodnotách neznáma sa súčin niekoľkých faktorov rovná nule, musíte každý faktor prirovnať k nule a vziať do úvahy každý multiplikátor.

Táto rovnica nemá žiadne obmedzenia na ODZ. Rozložme druhú zátvorku na faktor a každý faktor nastavíme na nulu. Získame súbor rovníc:

Zostrojme grafy všetkých rovníc množiny v jednej súradnicovej rovine. Toto je graf rovnice :

4. Zostrojte graf funkcie, ak je kolmý na priamku a prechádza bodom M(-1;2)

Nebudeme zostavovať graf, nájdeme len rovnicu priamky.

a) Keďže graf funkcie, ak je kolmý na priamku, teda. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

b) Vieme, že graf funkcie prechádza bodom M(-1;2). Dosadíme jej súradnice do rovnice funkcie. Dostaneme:

Odtiaľ.

Naša funkcia teda vyzerá takto: .

5. Graf funkcie

Zjednodušme výraz na pravej strane rovnice funkcie.

Dôležité! Pred zjednodušením výrazu nájdime jeho ODZ.

Menovateľ zlomku nemôže byť nula, takže title="x1">, title="x-1">.!}

Potom má naša funkcia tvar:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

To znamená, že musíme zostaviť graf funkcie a vyrezať na ňom dva body: s x=1 a x=-1: