Aké tvary majú bočné okraje hranola? Hranol

Definícia. Hranol je mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v týchto dvoch rovinách ležia dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi so zodpovedajúcimi rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré neležia v týchto rovinách, sú rovnobežné.

Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné plochy tvoria bočný povrch hranola .

Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .

Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Uhlopriečka hranola je segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na tej istej ploche (AD 1).

Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v priečnom poradí označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, sú označené iba vrcholy ležiace v jednej základni písmenami bez indexu a v druhom - s indexom)

Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je v základni päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale pretože taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany - základne hranola, 5 strán - rovnobežníky, - jeho bočné strany)

Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.

Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.

Rovnobežníkovité

Obdĺžnikový rovnobežnosten- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je uhlopriečka štvorca;
a je strana štvorca.

Myšlienka hranolu je daná:

• rôzne architektonické štruktúry;
• Detské hračky;
• krabice na balenie;
• dizajnérske predmety atď.

Plocha celkového a bočného povrchu hranola

S plná = S strana + 2S hlavná,

Kde S plný- celková plocha, S strana- bočný povrch, S základňa- základná plocha

Bočný povrch rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.

S strana= P základné * h,

Kde S strana- plocha bočného povrchu rovného hranola,

P hlavná - obvod základne priameho hranolu,

h je výška priameho hranola, rovná bočnej hrane.

Objem hranola

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Prednáška: Hranol, jeho základne, bočné rebrá, výška, bočná plocha; rovný hranol; správny hranol

Hranol

Ak ste sa s nami naučili ploché postavy z predchádzajúcich otázok, potom ste úplne pripravení študovať trojrozmerné postavy. Prvá pevná látka, ktorú sa naučíme, bude hranol.

Hranol je trojrozmerné telo, ktoré má veľké množstvo tvárí.

Tento obrazec má dva polygóny na základniach, ktoré sú umiestnené v rovnobežných rovinách a všetky bočné strany majú tvar rovnobežníka.

Poďme teda zistiť, z čoho pozostáva hranol. Za týmto účelom venujte pozornosť obr. 1

Ako už bolo spomenuté, hranol má dve základne, ktoré sú navzájom rovnobežné - sú to päťuholníky ABCEF a GMNJK. Okrem toho sú tieto polygóny navzájom rovnaké.

Všetky ostatné strany hranola sa nazývajú bočné steny - pozostávajú z rovnobežníkov. Napríklad BMNC, AGKF, FKJE atď.

Celková plocha všetkých bočných plôch sa nazýva bočný povrch.

Každý pár susedných plôch má spoločnú stranu. Táto spoločná strana sa nazýva hrana. Napríklad MV, SE, AB atď.

Ak sú horná a spodná základňa hranola spojené kolmicou, potom sa to bude nazývať výška hranola. Na obrázku je výška označená ako priamka OO 1.

Existujú dva hlavné typy hranolov: šikmé a rovné.

Ak bočné hrany hranola nie sú kolmé na podstavy, potom sa takýto hranol nazýva tzv. naklonený.

Ak sú všetky okraje hranola kolmé na základne, potom sa takýto hranol nazýva rovno.

Ak základne hranolu obsahujú pravidelné mnohouholníky (tie s rovnakými stranami), potom sa takýto hranol nazýva správne.

Ak základne hranola nie sú navzájom rovnobežné, potom sa takýto hranol bude nazývať skrátený.

Môžete to vidieť na obr

Vzorce na zistenie objemu a plochy hranola

Existujú tri základné vzorce na zistenie objemu. Líšia sa od seba v aplikácii:

Podobné vzorce na nájdenie povrchovej plochy hranola:

Bočný povrch hranola. Ahoj! V tejto publikácii analyzujeme skupinu problémov stereometrie. Uvažujme kombináciu telies – hranol a valec. Tento článok v súčasnosti dopĺňa celú sériu článkov týkajúcich sa zvažovania typov úloh v stereometrii.

Ak sa v banke úloh objavia nové, v budúcnosti budú samozrejme na blogu pribúdať. Ale to, čo tam už je, je celkom dosť na to, aby ste sa v rámci skúšky naučili riešiť všetky problémy s krátkou odpoveďou. Materiálu bude dosť na roky dopredu (matematický program je statický).

Prezentované úlohy zahŕňajú výpočet plochy hranola. Všimol som si, že nižšie uvažujeme o priamom hranole (a teda o priamom valci).

Bez toho, aby sme poznali nejaké vzorce, chápeme, že bočným povrchom hranola sú všetky jeho bočné strany. Priamy hranol má pravouhlé bočné steny.

Plocha bočného povrchu takéhoto hranola sa rovná súčtu plôch všetkých jeho bočných plôch (tj obdĺžnikov). Ak hovoríme o pravidelnom hranole, do ktorého je vpísaný valec, potom je jasné, že všetky strany tohto hranola sú ROVNATNÉ obdĺžniky.

Formálne môže byť plocha bočného povrchu pravidelného hranola vyjadrená takto:

27064. Pravidelný štvoruholníkový hranol je opísaný okolo valca, ktorého základný polomer a výška sa rovnajú 1. Nájdite plochu bočného povrchu hranola.

Bočný povrch tohto hranola pozostáva zo štyroch obdĺžnikov rovnakej plochy. Výška čela je 1, okraj základne hranola je 2 (to sú dva polomery valca), preto sa plocha bočného čela rovná:

Bočný povrch:

73023. Nájdite plochu povrchu pravidelného trojuholníkového hranola opísanú okolo valca, ktorého polomer základne je √0,12 a výška je 3.

Plocha bočnej plochy daného hranola sa rovná súčtu plôch troch bočných plôch (obdĺžnikov). Ak chcete nájsť oblasť bočnej plochy, musíte poznať jej výšku a dĺžku základnej hrany. Výška je tri. Zistime dĺžku základnej hrany. Zvážte projekciu (pohľad zhora):

Máme pravidelný trojuholník, do ktorého je vpísaná kružnica s polomerom √0,12. Z pravého trojuholníka AOC nájdeme AC. A potom AD (AD=2AC). Podľa definície dotyčnice:

To znamená AD = 2AC = 1,2. Bočný povrch sa teda rovná:

27066. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného šesťhranného hranola opísaného okolo valca, ktorého polomer základne je √75 a výška je 1.

Požadovaná plocha sa rovná súčtu plôch všetkých bočných plôch. Pravidelný šesťhranný hranol má bočné steny, ktoré sú rovnaké obdĺžniky.

Ak chcete nájsť oblasť tváre, musíte poznať jej výšku a dĺžku základnej hrany. Výška je známa, rovná sa 1.

Zistime dĺžku základnej hrany. Zvážte projekciu (pohľad zhora):

Máme pravidelný šesťuholník, do ktorého je vpísaná kružnica s polomerom √75.

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABO. Poznáme nohu OB (to je polomer valca). Môžeme určiť aj uhol AOB, rovná sa 300 (trojuholník AOC je rovnostranný, OB je os).

Použime definíciu dotyčnice v pravouhlom trojuholníku:

AC = 2AB, pretože OB je medián, to znamená, že delí AC na polovicu, čo znamená AC = 10.

Plocha bočnej plochy je teda 1∙10=10 a plocha bočnej plochy je:

76485. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného trojuholníkového hranola vpísaného do valca, ktorého polomer základne je 8√3 a výška je 6.

Plocha bočného povrchu špecifikovaného hranola troch rovnako veľkých plôch (obdĺžnikov). Na nájdenie plochy potrebujete poznať dĺžku hrany podstavy hranola (známe výšku). Ak vezmeme do úvahy projekciu (pohľad zhora), máme pravidelný trojuholník vpísaný do kruhu. Strana tohto trojuholníka je vyjadrená ako polomer ako:

Podrobnosti o tomto vzťahu. Takže to bude vyrovnané

Potom je plocha bočnej plochy: 24∙6=144. A požadovaná oblasť:

245354. Pravidelný štvorhranný hranol je opísaný okolo valca, ktorého polomer základne je 2. Bočný povrch hranola je 48. Nájdite výšku valca.

Polyhedra

Hlavným predmetom štúdia stereometrie sú priestorové telesá. Telo predstavuje časť priestoru ohraničenú určitou plochou.

Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny každého rovinného mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a povrch mnohostenu sa nazýva hrana. Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany tvárí sú tzv okraje mnohostenu, a vrcholy sú vrcholy mnohostenu.

Napríklad kocka pozostáva zo šiestich štvorcov, ktoré sú jej plochami. Obsahuje 12 hrán (strany štvorcov) a 8 vrcholov (horné časti štvorcov).

Najjednoduchšie mnohosteny sú hranoly a pyramídy, ktoré budeme ďalej študovať.

Hranol

Definícia a vlastnosti hranola

Hranol je mnohosten pozostávajúci z dvoch plochých mnohouholníkov ležiacich v rovnobežných rovinách kombinovaných paralelným posunom a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto mnohouholníkov. Polygóny sa nazývajú hranolové základne a segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy polygónov sú bočné okraje hranola.

Výška hranola sa nazýva vzdialenosť medzi rovinami jeho základov (). Segment spájajúci dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva hranolová uhlopriečka(). Hranol je tzv n-uhlík, ak jeho základňa obsahuje n-uholník.

Každý hranol má nasledujúce vlastnosti, ktoré vyplývajú zo skutočnosti, že základne hranola sú spojené paralelným posunom:

1. Základy hranola sú rovnaké.

2. Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké.

Povrch hranola tvoria podstavce a bočný povrch. Bočnú plochu hranola tvoria rovnobežníky (vyplýva to z vlastností hranola). Plocha bočnej plochy hranola je súčtom plôch bočných plôch.

Priamy hranol

Hranol je tzv rovno, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol nazýva naklonený.

Plochy pravého hranola sú obdĺžniky. Výška rovného hranola sa rovná jeho bočným stranám.

Plný hranolový povrch sa nazýva súčet plochy bočného povrchu a plôch základov.

So správnym hranolom nazývaný pravý hranol s pravidelným mnohouholníkom na základni.

Veta 13.1. Plocha bočnej plochy rovného hranola sa rovná súčinu obvodu a výšky hranola (alebo, ktorá je rovnaká, bočným okrajom).

Dôkaz. Bočné strany pravého hranola sú obdĺžniky, ktorých základňami sú strany mnohouholníkov na základniach hranola a výškami sú bočné hrany hranola. Potom, podľa definície, plocha bočného povrchu je:

,

kde je obvod podstavy priameho hranolu.

Rovnobežníkovité

Ak rovnobežníky ležia na základniach hranola, potom sa nazýva rovnobežnosten. Všetky strany rovnobežnostenu sú rovnobežníky. V tomto prípade sú protiľahlé strany rovnobežnostena rovnobežné a rovnaké.

Veta 13.2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

Dôkaz. Zoberme si napríklad dve ľubovoľné uhlopriečky a . Pretože strany rovnobežnostena sú rovnobežníky, potom a , čo znamená, že podľa To existujú dve priamky rovnobežné s treťou. Okrem toho to znamená, že priame čiary a ležia v rovnakej rovine (rovine). Táto rovina pretína rovnobežné roviny a pozdĺž rovnobežných čiar a . Štvoruholník je teda rovnobežník a vlastnosťou rovnobežníka sa jeho uhlopriečky pretínajú a delia na polovicu priesečníkom, čo bolo potrebné dokázať.

Pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva pravouhlý rovnobežnosten. Všetky strany pravouhlého rovnobežnostena sú obdĺžniky. Dĺžky nerovnobežných hrán pravouhlého rovnobežnostena sa nazývajú jeho lineárne rozmery (rozmery). Existujú tri takéto veľkosti (šírka, výška, dĺžka).

Veta 13.3. V pravouhlom rovnobežnostene sa štvorec akejkoľvek uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov. (dokázané dvojitým aplikovaním pytagorejského T).

Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten so všetkými rovnakými hranami kocka.

Úlohy

13.1 Koľko má uhlopriečok? n-uhlíkový hranol

13.2 V naklonenom trojuholníkovom hranole sú vzdialenosti medzi bočnými okrajmi 37, 13 a 40. Nájdite vzdialenosť medzi väčším bočným okrajom a protiľahlým bočným okrajom.

13.3 Cez stranu spodnej základne pravidelného trojuholníkového hranola je nakreslená rovina, ktorá pretína bočné plochy pozdĺž segmentov s uhlom medzi nimi. Nájdite uhol sklonu tejto roviny k základni hranola.