Matematické vzorce v živote. Matematické vzorce živej prírody

Ak sa pozorne pozriete okolo seba, úloha matematiky v ľudskom živote bude zrejmá. Počítače, moderné telefóny a ďalšie vybavenie nás sprevádzajú každý deň a ich vytvorenie nie je možné bez použitia zákonov a výpočtov veľkej vedy. Úloha matematiky v spoločnosti sa však neobmedzuje len na takéto aplikácie. Inak by si napríklad mnohí umelci mohli s čistým svedomím povedať, že čas venovaný riešeniu problémov a dokazovaniu teorémov v škole bol premárnený. Nie je to však tak. Skúsme prísť na to, prečo je matematika potrebná.

Základňa

Po prvé, stojí za to pochopiť, čo to vlastne matematika je. V preklade zo starovekej gréčtiny jeho názov znamená „veda“, „štúdium“. Matematika je založená na operáciách počítania, merania a opisu tvarov predmetov. na ktorých je založené poznanie štruktúry, poriadku a vzťahov. Sú podstatou vedy. Vlastnosti reálnych predmetov sú v nej idealizované a zapísané formálnym jazykom. Takto sa premieňajú na matematické objekty. Niektoré idealizované vlastnosti sa stávajú axiómami (tvrdeniami, ktoré nevyžadujú dôkaz). Z týchto sa potom odvodzujú ďalšie skutočné vlastnosti. Takto vzniká skutočný existujúci objekt.

Dve sekcie

Matematiku možno rozdeliť na dve vzájomne sa doplňujúce časti. Teoretická veda sa zaoberá hĺbkovou analýzou vnútromatematických štruktúr. Aplikovaná veda poskytuje svoje modely iným odborom. Fyzika, chémia a astronómia, inžinierske systémy, predpovedanie a logika neustále využívajú matematický aparát. S jeho pomocou sa robia objavy, objavujú sa vzorce a predpovedajú udalosti. V tomto zmysle nemožno preceňovať význam matematiky v živote človeka.

Základ odbornej činnosti

Bez znalosti základných matematických zákonov a schopnosti ich používať je v modernom svete veľmi ťažké naučiť sa takmer akúkoľvek profesiu. Čísla a operácie s nimi neriešia len finančníci a účtovníci. Bez takýchto znalostí astronóm nebude schopný určiť vzdialenosť k hviezde a najlepší čas na jej pozorovanie a molekulárny biológ nebude schopný pochopiť, ako sa vysporiadať s génovou mutáciou. Inžinier nenavrhne funkčný alarm alebo video monitorovací systém a programátor nenájde prístup k operačnému systému. Mnohé z týchto a iných profesií bez matematiky jednoducho neexistujú.

Humanitné vedy

Úloha matematiky v živote človeka, ktorý sa venoval napríklad maľbe alebo literatúre, však nie je taká zrejmá. A predsa sú stopy po kráľovnej vied prítomné aj v humanitných vedách.

Zdalo by sa, že poézia je čistá romantika a inšpirácia, nie je tu miesto na analýzu a výpočet. Stačí si však spomenúť na poetické rozmery amfibrachov) a človek pochopí, že aj v tom mala prsty matematika. Rytmus, verbálny alebo hudobný, je tiež opísaný a vypočítaný pomocou poznatkov tejto vedy.

Pre spisovateľa alebo psychológa sú často dôležité pojmy ako spoľahlivosť informácií, izolovaný incident, zovšeobecnenie atď. Všetky sú buď priamo matematické, alebo sú postavené na základe zákonov vyvinutých kráľovnou vied a existujú vďaka nej a podľa jej pravidiel.

Psychológia sa zrodila na priesečníku humanitných a prírodných vied. Všetky jej smery, dokonca aj tie, ktoré pracujú výlučne s obrázkami, sa spoliehajú na pozorovanie, analýzu údajov, ich zovšeobecňovanie a overovanie. Používajú sa tu modelovacie, prognózovacie a štatistické metódy.

Zo školy

Matematika je v našom živote prítomná nielen v procese osvojovania si profesie a implementácie nadobudnutých vedomostí. Tak či onak, kráľovnú vied používame takmer v každom okamihu. Preto sa matematika začína vyučovať pomerne skoro. Riešením jednoduchých a zložitých úloh sa dieťa nenaučí len sčítať, odčítať a násobiť. Pomaly, od základov, chápe štruktúru moderného sveta. A to nehovoríme o technickom pokroku alebo schopnosti kontrolovať zmeny v obchode. Matematika formuje určité črty myslenia a ovplyvňuje náš postoj k svetu.

Najjednoduchšie, najťažšie, najdôležitejšie

Asi každý si spomenie aspoň na jeden večer pri domácich úlohách, keď chcel zúfalo zavýjať: „Nechápem, na čo je matematika!“, zahodiť nenávidené zložité a únavné problémy a vybehnúť s kamarátmi na dvor. V škole a ešte neskôr na vysokej škole sa ubezpečenia rodičov a učiteľov, že „bude sa to hodiť neskôr“, javia ako otravné nezmysly. Ukazuje sa však, že majú pravdu.

Je to matematika a potom fyzika, ktorá vás učí nájsť vzťahy príčina-následok, zakladá zvyk hľadať to, „odkiaľ nohy rastú“. Pozornosť, sústredenie, vôľa – trénujú aj v procese riešenia tých veľmi nenávidených problémov. Ak pôjdeme ďalej, schopnosť vyvodiť dôsledky z faktov, predpovedať budúce udalosti a tiež urobiť to isté je stanovená počas štúdia matematických teórií. Modelovanie, abstrakcia, dedukcia a indukcia sú všetky vedy a zároveň spôsoby práce mozgu s informáciami.

A opäť psychológia

Často je to práve matematika, ktorá dáva dieťaťu odhalenie, že dospelí nie sú všemocní a nevedia všetko. Stáva sa to, keď mama alebo otec, keď sú požiadaní o pomoc pri riešení problému, len pokrčia plecami a vyhlásia, že to nedokážu. A dieťa je nútené hľadať odpoveď samo, robiť chyby a hľadať znova. Stáva sa tiež, že rodičia jednoducho odmietajú pomôcť. "Musíš to urobiť sám," hovoria. A robia to správne. Po mnohých hodinách pokusov dieťa dostane nielen dokončenú domácu úlohu, ale aj schopnosť samostatne hľadať riešenia, odhaľovať a opravovať chyby. A v tom spočíva aj úloha matematiky v živote človeka.

Samozrejmosťou nielen na hodinách algebry a geometrie je samostatnosť, schopnosť rozhodovať sa, byť za ne zodpovedný a absencia strachu z chýb. Tieto disciplíny však zohrávajú v tomto procese významnú úlohu. Matematika podporuje také vlastnosti, ako je odhodlanie a aktivita. Pravda, veľa závisí od učiteľa. Nesprávna prezentácia materiálu, prílišná prísnosť a tlak môžu naopak vyvolať strach z ťažkostí a chýb (najskôr v triede a potom v živote), neochotu vyjadriť svoj názor a pasivitu.

Matematika v každodennom živote

Po skončení univerzity alebo vysokej školy dospelí neprestávajú každý deň riešiť matematické úlohy. Ako stihnúť vlak? Dokáže kilogram mäsa uvariť večeru pre desať hostí? Koľko kalórií je v miske? Ako dlho vydrží jedna žiarovka? Tieto a mnohé ďalšie otázky priamo súvisia s kráľovnou vied a bez nej sa nedajú vyriešiť. Ukazuje sa, že matematika je neviditeľne prítomná v našich životoch takmer neustále. A väčšinou si to ani nevšimneme.

Matematika v živote spoločnosti a jednotlivca ovplyvňuje obrovské množstvo oblastí. Niektoré profesie sú bez nej nemysliteľné, mnohé vznikli len vďaka rozvoju jej jednotlivých oblastí. Moderný technický pokrok úzko súvisí s komplikovanosťou a rozvojom matematického aparátu. Počítače a telefóny, lietadlá a kozmické lode by sa nikdy neobjavili, keby ľudia nepoznali kráľovnú vied. Tým sa však úloha matematiky v živote človeka nekončí. Veda pomáha dieťaťu zvládnuť svet, učí ho efektívnejšie s ním interagovať, formuje jeho myslenie a individuálne charakterové vlastnosti. Samotná matematika by však takéto úlohy nezvládla. Ako už bolo spomenuté vyššie, obrovskú úlohu zohráva prezentácia materiálu a povahových vlastností toho, kto uvádza dieťa do sveta.

Na záver sa pokúsime stručne charakterizovať všeobecné zákonitosti vývoja matematiky.

1. Matematika nie je výtvorom žiadnej historickej éry, žiadneho človeka; je produktom mnohých období, produktom práce mnohých generácií. Vznikli jej prvé koncepcie a ustanovenia

ako sme videli, v staroveku a už pred viac ako dvetisíc rokmi boli uvedené do harmonického systému. Napriek všetkým premenám matematiky sa zachovali jej pojmy a závery, ktoré sa presúvajú z jednej éry do druhej, ako sú napríklad pravidlá aritmetiky alebo Pytagorova veta.

Nové teórie zahŕňajú predchádzajúce úspechy, objasňujú ich, dopĺňajú a zovšeobecňujú.

Zároveň, ako je zrejmé z vyššie uvedeného stručného náčrtu dejín matematiky, jej vývoj nielenže nemožno zredukovať na jednoduché hromadenie nových teorémov, ale zahŕňa aj významné kvalitatívne zmeny. Podľa toho je vývoj matematiky rozdelený do niekoľkých období, ktorých prechody sú presne naznačené takými zásadnými zmenami v samotnom predmete alebo štruktúre tejto vedy.

Matematika zahŕňa do svojej sféry všetky nové oblasti kvantitatívnych vzťahov reality. Najdôležitejším predmetom matematiky zároveň boli a zostávajú priestorové formy a kvantitatívne vzťahy v jednoduchom, najpriamejšom zmysle týchto slov, pričom k matematickému chápaniu nových súvislostí a vzťahov nevyhnutne dochádza na základe a v súvislosti s tzv. už zavedený systém kvantitatívnych a priestorových vedeckých konceptov.

Nakoniec, hromadenie výsledkov v samotnej matematike nevyhnutne znamená vzostup k novým úrovniam abstrakcie, k novým zovšeobecňujúcim konceptom a prehĺbeniu analýzy základov a počiatočných konceptov.

Tak ako dub vo svojom mohutnom raste zahusťuje staré konáre novými vrstvami, vyhadzuje nové konáre, naťahuje sa nahor a prehlbuje sa koreňmi nadol, tak matematika vo svojom vývoji hromadí nový materiál vo svojich už ustálených oblastiach, formuje nové smery, stúpa nahor. do nových výšin abstrakcie a ide hlbšie do jej základov.

2. Matematika má ako predmet reálne formy a vzťahy reality, ale ako povedal Engels, aby sme mohli študovať tieto formy a vzťahy v ich čistej forme, je potrebné ich úplne oddeliť od ich obsahu, tento posledný ponechať bokom. niečo ľahostajné. Formy a vzťahy však neexistujú mimo obsahu, matematické formy a vzťahy nemôžu byť k obsahu absolútne ľahostajné. Preto sa matematika, ktorá sa svojou podstatou snaží dosiahnuť takéto oddelenie, snaží dosiahnuť nemožné. Toto je zásadný rozpor v samotnej podstate matematiky. Je to pre matematiku špecifický prejav všeobecného rozporu poznania. Myšlienkový odraz každého javu, každej strany, každého momentu reality hrubne, zjednodušuje, vytrháva zo všeobecného spojenia prírody. Keď ľudia pri štúdiu vlastností vesmíru zistili, že má euklidovskú geometriu, bolo to výnimočné

dôležitý akt poznania, no obsahoval aj klam: skutočné vlastnosti priestoru sa [brali zjednodušene, schematicky, v abstrakcii od hmoty. Bez toho by však geometria jednoducho neexistovala a práve na základe tejto abstrakcie (ako z jej interného výskumu, tak aj z porovnávania matematických výsledkov s novými údajmi z iných vied) sa zrodili a posilnili nové geometrické teórie.

Neustále riešenie a obnova tohto rozporu v štádiách poznania, ktoré sú stále bližšie k realite, tvorí podstatu rozvoja poznania. V tomto prípade je určujúci, samozrejme, pozitívny obsah poznania, prvok absolútnej pravdy v ňom. Vedomosti sa pohybujú po vzostupnej línii a neoznačujú čas, jednoducho zmiešané s chybami. Pohyb poznania je neustálym prekonávaním jeho nepresnosti a obmedzení.

Tento hlavný rozpor zahŕňa ďalšie. Videli sme to na príklade protikladov diskrétneho a spojitého. (V prírode medzi nimi nie je absolútna priepasť a ich oddelenie v matematike nevyhnutne znamenalo potrebu vytvárať stále nové pojmy, ktoré hlbšie odrážajú realitu a zároveň prekonávajú vnútorné nedokonalosti existujúcej matematickej teórie). Presne tak isto sa rozpory konečného a nekonečného, ​​abstraktného a konkrétneho, formy a obsahu atď. objavujú v matematike ako prejavy jej základného rozporu. Ale jej rozhodujúcim prejavom je, že matematika, abstrahujúc od konkrétneho, otáčajúc sa v kruhu svojich abstraktných pojmov, sa tým oddeľuje od experimentu a praxe, a zároveň je len vedou (t. j. má kognitívnu hodnotu), pokiaľ sa opiera o na praxi, keďže sa ukazuje, že to nie je čistá, ale aplikovaná matematika. Povedané trochu hegelovsky, čistá matematika sa neustále „neguje“ ako čistá matematika; bez toho nemôže mať vedecký význam, nemôže sa rozvíjať, nemôže prekonať ťažkosti, ktoré v nej nevyhnutne vznikajú.

Vo svojej formálnej podobe sú matematické teórie proti skutočnému obsahu ako niektoré schémy konkrétnych záverov. Matematika v tomto prípade pôsobí ako metóda na formulovanie kvantitatívnych zákonitostí prírodných vied, ako aparát na rozvíjanie jej teórií, ako prostriedok riešenia problémov v prírodných vedách a technike. Význam čistej matematiky v súčasnosti spočíva predovšetkým v matematickej metóde. A tak ako každá metóda existuje a vyvíja sa nie sama o sebe, ale len na základe svojich aplikácií, v spojení s obsahom, na ktorý je aplikovaná, tak ani matematika nemôže existovať a rozvíjať sa bez aplikácií. Tu sa opäť ukazuje jednota protikladov: všeobecná metóda stojí proti konkrétnemu problému ako prostriedku na jeho riešenie, ale sama vzniká zovšeobecnením konkrétneho materiálu a existuje.

rozvíja a nachádza svoje opodstatnenie až pri riešení konkrétnych problémov.

3. Spoločenská prax zohráva rozhodujúcu úlohu pri rozvoji matematiky v troch ohľadoch. Predstavuje nové problémy pre matematiku, stimuluje jej rozvoj jedným alebo druhým smerom a poskytuje kritérium pravdivosti jej záverov.

Toto je mimoriadne zreteľne vidieť na vzniku analýzy. Po prvé, bol to rozvoj mechaniky a technológie, ktorý vyvolal problém štúdia závislostí premenných v ich všeobecnej forme. Archimedes, ktorý sa priblížil k diferenciálnemu a integrálnemu počtu, však zostal v rámci statických problémov, zatiaľ čo v modernej dobe to bolo štúdium pohybu, ktoré zrodilo koncepty premennej a funkcie a vynútilo formuláciu analýzy. Newton nemohol vyvinúť mechaniku bez vyvinutia zodpovedajúcej matematickej metódy.

Po druhé, boli to práve potreby spoločenskej výroby, ktoré podnietili formuláciu a riešenie všetkých týchto problémov. Ani v starovekej, ani v stredovekej spoločnosti tieto podnety neexistovali. Napokon je veľmi príznačné, že matematická analýza pri svojom vzniku našla opodstatnenie pre svoje závery práve v aplikáciách. To je jediný dôvod, prečo by sa mohol rozvíjať bez tých prísnych definícií svojich základných pojmov (premenná, funkcia, limita), ktoré boli uvedené neskôr. Pravdivosť analýzy bola preukázaná aplikáciami v mechanike, fyzike a technike.

Uvedené platí pre všetky obdobia rozvoja matematiky. Od 17. stor. Najpriamejší vplyv na jej rozvoj má spolu s mechanikou teoretická fyzika a problémy novej techniky. Mechanika kontinua a potom teória poľa (tepelná vodivosť, elektrina, magnetizmus, gravitačné pole) riadia vývoj teórie parciálnych diferenciálnych rovníc. Rozvoj molekulárnej teórie a štatistickej fyziky všeobecne, počnúc koncom minulého storočia, slúžil ako dôležitý podnet pre rozvoj teórie pravdepodobnosti, najmä teórie náhodných procesov. Rozhodujúcu úlohu vo vývoji Riemannovej geometrie zohrala teória relativity so svojimi analytickými metódami a zovšeobecneniami.

V súčasnosti je rozvoj nových matematických teórií, ako je funkcionálna analýza atď., stimulovaný problémami kvantovej mechaniky a elektrodynamiky, problémami výpočtovej techniky, štatistickými otázkami fyziky a techniky atď., atď. Fyzika a technika nepredstavujú len nové výzvy pre matematické problémy, posúvať ju k novým predmetom výskumu, ale aj prebúdzať rozvoj pre ne potrebných odvetví matematiky, ktoré sa spočiatku vo väčšej miere rozvíjali v sebe, ako to bolo v prípade Riemannovej geometrie. Stručne povedané, pre intenzívny rozvoj vedy je potrebné, aby nielen pristupovala k riešeniu nových problémov, ale aby sa vnucovala potreba ich riešenia.

rozvojové potreby spoločnosti. V matematike v poslednej dobe vzniklo mnoho teórií, ale len tie z nich sú vyvinuté a pevne vložené do vedy, ktoré našli svoje uplatnenie v prírodných vedách a technike alebo zohrali úlohu dôležitých zovšeobecnení tých teórií, ktoré takéto aplikácie majú. Zároveň zostávajú bez pohybu aj iné teórie, ako napríklad niektoré rafinované geometrické teórie (nedesarguezovské, nearchimedovské geometrie), ktoré nenašli významné uplatnenie.

Pravdivosť matematických záverov nenachádza svoj konečný základ vo všeobecných definíciách a axiómach, nie vo formálnej prísnosti dôkazov, ale v reálnych aplikáciách, teda v konečnom dôsledku v praxi.

Vo všeobecnosti treba rozvoj matematiky chápať predovšetkým ako výsledok vzájomného pôsobenia logiky jej predmetu, premietnutého do vnútornej logiky samotnej matematiky, vplyvu produkcie a prepojenia s prírodovedou. Tento rozdiel sleduje zložité cesty boja medzi protikladmi, vrátane významných zmien v základnom obsahu a formách matematiky. Obsahovo je rozvoj matematiky determinovaný jej predmetom, ale je stimulovaný najmä a v konečnom dôsledku potrebami produkcie. Toto je základný vzorec rozvoja matematiky.

Samozrejme, netreba zabúdať, že hovoríme len o základnom vzore a že spojenie medzi matematikou a výrobou je vo všeobecnosti zložité. Z toho, čo bolo povedané vyššie, je jasné, že by bolo naivné pokúšať sa ospravedlniť vznik akejkoľvek danej matematickej teórie priamou „objednávkou výroby“. Okrem toho má matematika, ako každá veda, relatívnu nezávislosť, svoju vnútornú logiku, odrážajúc, ako sme zdôraznili, objektívnu logiku, t. j. zákonitosť jej predmetu.

4. Matematika vždy zažívala najvýraznejší vplyv nielen spoločenskej výroby, ale aj všetkých spoločenských pomerov vôbec. Jeho skvelý pokrok v ére vzostupu starovekého Grécka, úspech algebry v Taliansku počas renesancie, rozvoj analýzy v období, ktoré nasledovalo po anglickej revolúcii, úspech matematiky vo Francúzsku v období susediacom s francúzskou revolúciou - to všetko presvedčivo dokazuje nerozlučnú súvislosť pokroku matematiky so všeobecným technickým, kultúrnym, politickým pokrokom spoločnosti.

Jasne je to vidieť aj na rozvoji matematiky v Rusku. Vznik samostatnej ruskej matematickej školy, pochádzajúcej od Lobačevského, Ostrogradského a Čebyševa, nemožno oddeliť od pokroku ruskej spoločnosti ako celku. Čas Lobačevského je časom Puškina,

Glinka, čas dekabristov, a rozkvet matematiky bol jedným z prvkov všeobecného rozmachu.

O to presvedčivejší je vplyv spoločenského vývoja v období po Veľkej októbrovej socialistickej revolúcii, keď sa jedna za druhou objavovali s úžasnou rýchlosťou v mnohých smeroch štúdie zásadného významu: v teórii množín, topológii, teórii čísel, teórii pravdepodobnosti, teórii diferenciálne rovnice, funkcionálna analýza, algebra, geometria.

Napokon, matematika vždy bola a je výrazne ovplyvnená ideológiou. Ako v každej vede, objektívny obsah matematiky vnímajú a interpretujú matematici a filozofi v rámci tej či onej ideológie.

Objektívny obsah vedy skrátka vždy zapadá do tej či onej ideologickej formy; jednota a boj týchto dialektických protikladov - objektívny obsah a ideologické formy - v matematike, ako v každej vede, zohrávajú dôležitú úlohu v jej rozvoji.

Boj medzi materializmom, ktorý zodpovedá objektívnemu obsahu vedy, a idealizmom, ktorý tomuto obsahu odporuje a skresľuje jeho chápanie, prechádza celými dejinami matematiky. Tento boj bol jasne naznačený už v starovekom Grécku, kde sa idealizmus Pytagora, Sokrata a Platóna postavil proti materializmu Thalesa, Demokrita a iných filozofov, ktorí vytvorili grécku matematiku. S rozvojom otrokárskeho systému sa elita spoločnosti odtrhla od participácie na výrobe, považovala ju za údel nižšej triedy, čo viedlo k oddeleniu „čistej“ vedy od praxe. Iba čisto teoretická geometria bola uznaná ako hodná pozornosti skutočného filozofa. Je charakteristické, že Platón považoval vznikajúce štúdie niektorých mechanických kriviek a dokonca kužeľosečiek za hranice geometrie, pretože „nás neprivádzajú do komunikácie s večnými a netelesnými myšlienkami“ a „potrebujú používať nástroje vulgárneho remeslo.“

Pozoruhodným príkladom boja materializmu proti idealizmu v matematike je činnosť Lobačevského, ktorý presadzoval a obhajoval materialistické chápanie matematiky proti idealistickým názorom kantovstva.

Ruská matematická škola sa vo všeobecnosti vyznačuje materialistickou tradíciou. Čebyšev teda jasne zdôraznil rozhodujúci význam praxe a Ljapunov vyjadril štýl ruskej matematickej školy nasledujúcimi pozoruhodnými slovami: „Podrobný vývoj otázok, ktoré sú obzvlášť dôležité z hľadiska aplikácie a zároveň predstavujú špeciálne teoretické ťažkosti, vyžadujúce vynájdenie nových metód a vzostup k princípom vedy, potom zovšeobecnenie zistení a tým vytvorenie viac-menej všeobecnej teórie. Zovšeobecnenia a abstrakcie nie sú samy o sebe, ale v spojení s konkrétnym materiálom

teorémy a teórie nie samy osebe, ale vo všeobecnom spojení vedy, vedúce v konečnom dôsledku k praxi – práve to sa ukazuje ako skutočne dôležité a sľubné.

To boli aj ašpirácie takých veľkých vedcov ako Gauss a Riemann.

S rozvojom kapitalizmu v Európe však materialistické názory, ktoré odzrkadľovali vyspelú ideológiu nastupujúcej buržoázie 16. – začiatku 19. storočia, začali nahrádzať idealistické názory. Napríklad Cantor (1846-1918) sa pri vytváraní teórie nekonečných množín priamo odvolával na Boha, hovoriac v duchu, že nekonečné množiny majú absolútnu existenciu v božskej mysli. Najväčší francúzsky matematik konca 19. a začiatku 20. storočia. Poincaré predložil idealistický koncept „konvencionalizmu“, podľa ktorého je matematika schémou konvenčných dohôd prijatých pre pohodlie opisu rozmanitosti skúseností. Podľa Poincarého teda axiómy euklidovskej geometrie nie sú ničím iným ako podmienenými dohodami a ich význam je určený pohodlnosťou a jednoduchosťou, nie však ich zhodou s realitou. Preto Poincaré povedal, že napríklad vo fyzike radšej upustia od zákona o priamočiarom šírení svetla ako od euklidovskej geometrie. Tento názor bol vyvrátený vývojom teórie relativity, ktorý napriek všetkej „jednoduchosti“ a „pohodlnosti“ euklidovskej geometrie, v úplnom súlade s materialistickými myšlienkami Lobačevského a Riemanna, viedol k záveru, že skutočný geometria priestoru je iná ako euklidovská.

Vzhľadom na ťažkosti, ktoré vznikli v teórii množín a v súvislosti s potrebou analyzovať základné pojmy matematiky, medzi matematikmi na začiatku 20. stor. sa objavili rôzne prúdy. Stratila sa jednota v chápaní obsahu matematiky; rôzni matematici začali rozdielne nazerať nielen na všeobecné základy vedy, ako tomu bolo predtým, ale dokonca začali rozdielne hodnotiť význam a význam jednotlivých konkrétnych výsledkov a dôkazov. Závery, ktoré sa niekomu zdali zmysluplné a zmysluplné, iní vyhlásili za bezvýznamné a bezvýznamné. Vznikli idealistické hnutia „logicizmus“, „intuicionizmus“, „formalizmus“ atď.

Logisti tvrdia, že všetka matematika je odvoditeľná z pojmov logiky. Intuicionisti vidia zdroj matematiky v intuícii a dávajú zmysel len tomu, čo je intuitívne vnímané. Preto najmä úplne popierajú význam Cantorovej teórie nekonečných množín. Navyše, intuicionisti popierajú jednoduchý význam aj takýchto vyhlásení

ako teorém, že každá algebraická rovnica stupňa má korene. Pre nich je toto vyhlásenie prázdne, kým nie je špecifikovaná metóda na výpočet koreňov. Úplné popretie objektívneho významu matematiky teda viedlo intuicionistov k diskreditácii významnej časti výdobytkov matematiky ako „bez významu“. Najextrémnejší z nich zašiel tak ďaleko, že tvrdil, že matematikov je toľko, koľko je matematikov.

Pokus svojským spôsobom zachrániť matematiku pred týmto druhom útoku urobil najväčší matematik začiatku nášho storočia – D. Hilbert. Podstatou jeho myšlienky bolo zredukovať matematické teórie na čisto formálne operácie so symbolmi podľa predpísaných pravidiel. Počítalo sa s tým, že pri takomto úplne formálnom prístupe by sa odstránili všetky ťažkosti, pretože predmetom matematiky by boli symboly a pravidlá práce s nimi bez akéhokoľvek vzťahu k ich významu. Toto je nastavenie formalizmu v matematike. Podľa intuicionistu Brouwera je pre formalistu pravda o matematike na papieri, zatiaľ čo pre intuicionistu je v hlave matematika.

Nie je však ťažké vidieť, že oboje sa mýli, pre matematiku a zároveň to, čo je napísané na papieri a čo si matematik myslí, odráža realitu a pravda matematiky spočíva v tom, že zodpovedá objektívnej realite. . Oddelením matematiky od materiálnej reality sa všetky tieto trendy ukazujú ako idealistické.

Hilbertova myšlienka bola porazená vlastným vývojom. Rakúsky matematik Gödel dokázal, že ani aritmetiku nemožno úplne formalizovať, ako Hilbert dúfal. Gödelov záver jasne odhalil vnútornú dialektiku matematiky, ktorá neumožňuje vyčerpať žiadnu z jej oblastí formálnym kalkulom. Aj to najjednoduchšie nekonečno prirodzeného radu čísel sa ukázalo ako nevyčerpateľná konečná schéma symbolov a pravidiel pre prácu s nimi. Bolo teda matematicky dokázané, čo Engels vyjadril vo všeobecnosti, keď napísal:

"Nekonečno je rozpor... Zničenie tohto rozporu by znamenalo koniec nekonečna." Hilbert dúfal, že uzavrie matematické nekonečno do rámca konečných schém a tým odstráni všetky rozpory a ťažkosti. To sa ukázalo ako nemožné.

Ale v podmienkach kapitalizmu sa konvencionalizmus, intuicionizmus, formalizmus a iné podobné hnutia nielen zachovávajú, ale sú doplnené o nové varianty idealistických pohľadov na matematiku. V niektorých nových variantoch subjektívneho idealizmu sa výrazne využívajú teórie súvisiace s logickou analýzou základov matematiky. Subjektívne

idealizmus teraz používa matematiku, najmä matematickú logiku, nie menej ako fyziku, a preto sú otázky pochopenia základov matematiky obzvlášť akútne.

Ťažkosti vo vývoji matematiky v podmienkach kapitalizmu teda viedli k ideologickej kríze tejto vedy, podobnej vo svojich základoch ako kríza fyziky, ktorej podstatu objasnil Lenin vo svojom brilantnom diele „Materializmus a empirio“. -Kritika." Táto kríza vôbec neznamená, že matematika v kapitalistických krajinách je vo svojom vývoji úplne zaostalá. Množstvo vedcov s jasne idealistickými postojmi dosahuje dôležité, niekedy vynikajúce úspechy pri riešení konkrétnych matematických problémov a rozvíjaní nových teórií. Stačí sa odvolať na brilantný rozvoj matematickej logiky.

Základná chyba pohľadu na matematiku rozšíreného v kapitalistických krajinách spočíva v jej idealizme a metafyzike: oddelenosť matematiky od reality a zanedbávanie jej skutočného vývoja. Logistika, intuicionizmus, formalizmus a ďalšie podobné smery zvýrazňujú v matematike jeden z jej aspektov - spojenie s logikou, intuitívnosť, formálna prísnosť atď. - bezdôvodne zveličujú, absolutizujú jej význam, oddeľujú od reality a za jej hlbokou analýzou Jednou črtou matematiky ako takej je strata zo zreteľa matematiky ako celku. Práve pre túto jednostrannosť nemôže ani jeden z týchto prúdov pri všetkej jemnosti a hĺbke jednotlivých záverov viesť k správnemu pochopeniu matematiky. Na rozdiel od rôznych prúdov a odtieňov idealizmu a metafyziky, dialektický materializmus považuje matematiku, ako celú vedu ako celok, takú, aká je, v celej bohatosti a zložitosti jej súvislostí a vývoja. A práve preto, že dialektický materializmus sa snaží pochopiť všetko bohatstvo a všetku zložitosť súvislostí medzi vedou a realitou, všetku zložitosť jej vývoja, smerujúceho od jednoduchého zovšeobecňovania skúseností k vyšším abstrakciám a od nich k praxi, práve preto, že neustále vedie svoj prístup k vede v súlade s jej objektívnym obsahom, s jej novými objavmi, práve z tohto dôvodu a v konečnom dôsledku len z tohto dôvodu sa ukazuje ako jediná skutočne vedecká filozofia vedúca k správnemu pochopeniu vedy. vo všeobecnosti a najmä v matematike.

Úvod

V škole nám často hovoria, že matematika je kráľovnou vied. Jedného dňa som počul ďalšiu vetu, ktorú raz povedal jeden z mojich učiteľov a môj otec rád opakuje: „Príroda nie je taká hlúpa, aby nepoužívala matematické zákony. (Kotelnikov F.M. bývalý profesor matematiky na katedre Moskovskej štátnej univerzity). Práve to mi dalo nápad študovať túto problematiku.

Túto myšlienku potvrdzuje aj nasledujúci výrok: „Krása je vždy relatívna... Človek by nemal... predpokladať, že brehy oceánu sú skutočne beztvaré len preto, že ich tvar je odlišný od správneho tvaru mól, ktoré sme postavili; tvar hôr nemožno považovať za nepravidelný na základe toho, že nejde o pravidelné kužele alebo pyramídy; to, že vzdialenosti medzi hviezdami nie sú rovnaké, neznamená, že ich po oblohe rozptýlila nešikovná ruka. Tieto nepravidelnosti existujú len v našej fantázii, ale v skutočnosti také nie sú a nijako nezasahujú do skutočných prejavov života na Zemi, v ríši rastlín a zvierat, ani medzi ľuďmi.“ (Richard Bentley, anglický vedec zo 17. storočia)

Ale pri štúdiu matematiky sa spoliehame len na znalosti vzorcov, viet a výpočtov. A matematika sa pred nami objavuje ako druh abstraktnej vedy, ktorá operuje s číslami. Ako sa však ukazuje, matematika je krásna veda.

Preto som si dal za cieľ: ukázať krásu matematiky pomocou vzorcov, ktoré existujú v prírode.

Na dosiahnutie svojho cieľa bola rozdelená do niekoľkých úloh:

Preskúmajte rozmanitosť matematických vzorov používaných v prírode.

Uveďte popis týchto vzorov.

Pomocou vlastných skúseností sa pokúste nájsť matematické vzťahy v štruktúre mačacieho tela (Ako sa uvádza v jednom slávnom filme: vlak na mačkách).

Metódy použité v práci: analýza literatúry na danú tému, vedecký experiment.

  1. 1. Hľadajte matematické vzorce v prírode.

Matematické vzorce možno hľadať v živej aj neživej prírode.

Okrem toho je potrebné určiť, aké vzory hľadať.

Keďže v šiestom ročníku sa veľa vzorov neučilo, musel som študovať stredoškolské učebnice. Navyše som musel brať do úvahy, že príroda veľmi často využíva geometrické vzory. Preto som okrem učebníc algebry musel svoju pozornosť upriamiť aj na učebnice geometrie.

Matematické vzorce nájdené v prírode:

  1. Zlatý pomer. Fibonacciho čísla (Archimedova špirála). Rovnako ako iné typy špirál.
  2. Rôzne typy symetrie: centrálna, axiálna, rotačná. Rovnako ako symetria v živej a neživej prírode.
  3. Uhly a geometrické tvary.
  4. Fraktály. Termín fraktál pochádza z lat fractus (prestávka, prestávka), t.j. vytvárať fragmenty nepravidelného tvaru.
  5. Aritmetický a geometrický postup.

Pozrime sa na identifikované vzory podrobnejšie, ale v trochu inom poradí.

Prvá vec, ktorá vás upúta, je prítomnosť symetria v prírode. V preklade z gréčtiny toto slovo znamená „proporcionalita, proporcionalita, jednotnosť v usporiadaní častí“. Matematicky rigorózna myšlienka symetrie sa vytvorila pomerne nedávno - v 19. V najjednoduchšej interpretácii (podľa G. Weila) vyzerá moderná definícia symetrie takto: objekt, ktorý sa dá nejako zmeniť, výsledkom čoho je to isté, s čím sme začali, sa nazýva symetrický. .

V prírode sú dva najbežnejšie typy symetrie „zrkadlová“ a „lúčová“ („radiálna“) symetria. Okrem jedného mena však tieto typy symetrie majú aj ďalšie. Takže zrkadlová symetria sa tiež nazýva: axiálna, bilaterálna, listová symetria. Radiálna symetria sa tiež nazýva radiálna symetria.

Osová súmernosť sa v našom svete vyskytuje najčastejšie. Domy, rôzne zariadenia, autá (zvonka), ľudia (!), všetko sú symetrické, alebo takmer. Ľudia sú symetrickí v tom, že všetci zdraví ľudia majú dve ruky, každá má päť prstov, ak zložíte dlane, bude to ako zrkadlový obraz.

Kontrola symetrie je veľmi jednoduchá. Stačí vziať zrkadlo a umiestniť ho približne do stredu predmetu. Ak sa časť objektu, ktorá je na matnej, nereflexnej strane zrkadla, zhoduje s odrazom, potom je objekt symetrický.

Radiálna symetria .Čokoľvek, čo rastie alebo sa pohybuje vertikálne, t.j. nahor alebo nadol vzhľadom na zemský povrch, podliehajúce radiálnej symetrii.

Listy a kvety mnohých rastlín majú radiálnu symetriu. (obr. 1, prílohy)

V priečnych rezoch tkanív tvoriacich koreň alebo stonku rastliny je jasne viditeľná radiálna symetria (kiwi, rez stromu). Radiálna symetria je charakteristická pre sedavé a pripojené formy (koraly, hydra, medúzy, morské sasanky). (obr. 2, prílohy)

Rotačná symetria . Otočenie o určitý počet stupňov, sprevádzané posunom na vzdialenosť pozdĺž osi otáčania, vedie k špirálovej symetrii - symetrii točitého schodiska. Príkladom špirálovej symetrie je usporiadanie listov na stonke mnohých rastlín. Hlava slnečnice má výhonky usporiadané do geometrických špirál, ktoré sa odvíjajú od stredu smerom von. (obr. 3, prílohy)

Symetria sa nachádza nielen v živej prírode. V neživej prírode Existujú aj príklady symetrie. Symetria sa prejavuje v rôznorodých štruktúrach a javoch anorganického sveta. Symetria vonkajšieho tvaru kryštálu je dôsledkom jeho vnútornej symetrie - usporiadaného relatívneho usporiadania v priestore atómov (molekúl).

Symetria snehových vločiek je veľmi krásna.

Ale treba povedať, že príroda si na presnú symetriu nepotrpí. Vždy sa nájdu aspoň drobné odchýlky. Naše ruky, nohy, oči a uši teda nie sú navzájom úplne totožné, hoci sú si veľmi podobné.

Zlatý pomer.

Zlatý rez v súčasnosti sa v 6. ročníku nevyučuje. Je však známe, že zlatý rez alebo zlatý pomer je pomer menšej časti k väčšej, čo dáva rovnaký výsledok, keď sa celý segment rozdelí na väčšiu časť a väčšia časť sa rozdelí na menšiu. Vzorec: A/B=B/C

V podstate je pomer 1/1,618. Zlatý rez je vo svete zvierat veľmi bežný.

Človek, dalo by sa povedať, „pozostáva“ výlučne zo zlatého rezu. Napríklad vzdialenosť medzi očami (1,618) a medzi obočím (1) je zlatý rez. A zlatým podielom bude aj vzdialenosť od pupka po chodidlo a výška. Celé naše telo je „obsypané“ zlatými proporciami. (obr. 5, prílohy)

Uhly a geometrické tvary Sú bežné aj v prírode. Sú viditeľné uhly, napríklad sú jasne viditeľné v slnečnicových semenách, v plástoch, na krídlach hmyzu, v listoch javora atď. Molekula vody má uhol 104,7 0 C. Existujú však aj jemné uhly. Napríklad v kvetenstve slnečnice sú semená umiestnené pod uhlom 137,5 stupňov voči stredu.

Geometrické postavy Všetko videli aj v živej a neživej prírode, ale málo si ich všímali. Ako viete, dúha je súčasťou elipsy, ktorej stred je pod úrovňou zeme. Listy rastlín a plodov sliviek majú elipsovitý tvar. Aj keď sa pravdepodobne dajú vypočítať pomocou nejakého zložitejšieho vzorca. Napríklad tento (obr. 6, prílohy):

Smrek, niektoré druhy mušlí a rôzne šišky sú kužeľovitého tvaru. Niektoré súkvetia vyzerajú ako pyramída, osemsten alebo rovnaký kužeľ.

Najznámejším prírodným šesťuholníkom je plást (včela, osa, čmeliak atď.). Na rozdiel od mnohých iných foriem majú takmer ideálny tvar a líšia sa len veľkosťou buniek. Ale ak budete venovať pozornosť, všimnete si, že zložené oči hmyzu sú tiež blízko tejto formy.

Jedľové šišky sú veľmi podobné malým valcom.

Nájsť ideálne geometrické tvary v neživej prírode je takmer nemožné, no mnohé hory vyzerajú ako pyramídy s rôznymi základňami a piesková kosa pripomína elipsu.

A takýchto príkladov je veľa.

Zlatý rez som už prebral. Teraz chcem upriamiť svoju pozornosť na Fibonacciho čísla a iné špirály, ktoré úzko súvisia so zlatým rezom.

Špirály sú v prírode veľmi bežné. Tvar špirálovito stočenej mušle zaujal Archimeda (obr. 2). Študoval to a prišiel s rovnicou pre špirálu. Špirála nakreslená podľa tejto rovnice sa volá jeho menom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je Archimedova špirála široko používaná v technológii. (obr. 7 príloha)

"Zlaté" špirály sú v biologickom svete rozšírené. Ako je uvedené vyššie, zvieracie rohy rastú iba z jedného konca. Tento rast prebieha v logaritmickej špirále. V knihe „Curved Lines in Life“ T. Cook skúma rôzne typy špirál, ktoré sa objavujú v rohoch baranov, kôz, antilop a iných rohatých zvierat.

Skrutkovité a špirálovité usporiadanie listov na vetvách stromov bolo zaznamenané už dávno. Špirála bola vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, šišiek, ananásov, kaktusov atď. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že v usporiadaní listov na vetve - fylotaxia, slnečnicové semienka, šišky sa prejavuje Fibonacciho séria, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu. Pavúk tká svoju sieť v špirálovom vzore. Hurikán sa točí ako špirála. Vystrašené stádo sobov sa rozuteká v špirále.

A napokon sú do špirály stočené aj nosiče informácií – molekuly DNA. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Šupiny borovicovej šišky na jej povrchu sú usporiadané striktne pravidelne - pozdĺž dvoch špirál, ktoré sa pretínajú približne v pravom uhle.

Vráťme sa však k jednej vybranej špirále – Fibonacciho číslam. Sú to veľmi zaujímavé čísla. Číslo sa získa sčítaním predchádzajúcich dvoch. Tu sú počiatočné Fibonacciho čísla pre 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... A pozrime sa na niekoľko vizuálnych príkladov (snímka 14).

Fraktályboli otvorené nedávno. Pojem fraktálna geometria sa objavil v 70. rokoch 20. storočia. Teraz fraktály aktívne vstúpili do nášho života a dokonca sa vyvíja aj taký smer ako fraktálna grafika. (obr. 8, prílohy)

Fraktály sa v prírode vyskytujú pomerne často. Tento jav je však typický skôr pre rastliny a neživú prírodu. Napríklad listy paprade, dáždnikové súkvetia. V neživej prírode sú to údery bleskov, vzory na oknách, sneh lepiaci sa na konáre stromov, prvky pobrežia a mnoho iného.

Geometrická progresia.

Geometrická postupnosť vo svojej najzákladnejšej definícii je vynásobením predchádzajúceho čísla koeficientom.

Táto progresia je prítomná v jednobunkových organizmoch. Napríklad každá bunka je rozdelená na dve, tieto dve sú rozdelené na štyri atď. To znamená, že ide o geometrickú progresiu s koeficientom 2. A zjednodušene povedané, počet buniek sa pri každom delení zvyšuje 2-krát.

Presne tak je to aj s baktériami. Rozdelenie, zdvojnásobenie populácie.

Tak som študoval matematické vzorce, ktoré existujú v prírode, a uviedol som relevantné príklady.

Treba poznamenať, že v súčasnosti sa aktívne študujú matematické zákony v prírode a dokonca existuje veda nazývaná biosymetria. Opisuje oveľa zložitejšie vzory, ako sa v práci uvažovalo.

Uskutočnenie vedeckého experimentu.

Odôvodnenie výberu:

Mačka bola vybraná ako pokusné zviera z niekoľkých dôvodov:

Mám doma mačku;

Mám ich doma štyri, takže získané údaje by mali byť presnejšie ako pri štúdiu jedného zvieraťa.

Postupnosť experimentu:

Meranie tela mačky.

Zaznamenávanie získaných výsledkov;

Hľadajte matematické vzorce.

Závery na základe získaných výsledkov.

Zoznam vecí, ktoré treba študovať na mačke:

  • symetria;
  • Zlatý pomer;
  • Špirály;
  • Uhly;
  • fraktály;
  • Geometrická progresia.

Štúdium symetrie pomocou mačky ako príkladu ukázalo, že mačka je symetrická. Typ symetrie – osová, t.j. je symetrická okolo osi. Ako bolo študované v teoretickom materiáli, pre mačku ako pohyblivé zviera je radiálna, centrálna a rotačná symetria netypická.

Aby som študoval zlatý rez, zmeral som telo mačky a odfotografoval som ho. Pomer veľkosti tela s chvostom a bez chvosta, tiel bez chvosta k hlave sa naozaj blíži k hodnote zlatého rezu.

65/39=1,67

39/24=1,625

V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy chybu merania a relatívnu dĺžku vlny. Ale v každom prípade sa získané výsledky blížia k hodnote 1,618. (obr. 9, príloha).

Mačka sa tvrdošijne odmietala nechať zmerať, tak som ju skúsil odfotografovať, zostavil som stupnicu zlatého rezu a nalepil ju na fotografie mačiek. Niektoré výsledky boli veľmi zaujímavé.

Napríklad:

  • výška sediacej mačky od podlahy po hlavu a od hlavy po „podpazušie“;
  • „karpálne“ a „lakťové kĺby“;
  • výška sediacej mačky k výške hlavy;
  • šírka papule k šírke mosta nosa;
  • výška papule do výšky očí;
  • šírka nosa k šírke nosovej dierky;

U mačky som našiel iba jednu špirálu - to sú pazúry. Podobná špirála sa nazýva evolventa.

V tele mačky nájdete rôzne geometrické tvary, no ja som hľadal uhly. Len uši a pazúry mačky boli hranaté. Ale pazúry, ako som definoval skôr, sú špirály. Tvar uší pripomína skôr pyramídu.

Hľadanie fraktálov na tele mačky neprinieslo výsledky, pretože nemá nič podobné a rozdelené na rovnaké malé detaily. Fraktály sú však charakteristické skôr pre rastliny ako pre zvieratá, najmä pre cicavce.

Ale po premýšľaní o tejto problematike som dospel k záveru, že v tele mačky sú fraktály, ale vo vnútornej štruktúre. Keďže som ešte neštudoval biológiu cicavcov, obrátil som sa na internet a našiel som tieto nákresy (obr. 10, prílohy):

Vďaka nim som sa presvedčil, že obehový a dýchací systém mačky sa vetví podľa zákona fraktálov.

Geometrická progresia je charakteristická pre proces reprodukcie, ale nie pre telo. Aritmetický postup nie je pre mačky typický, pretože mačka rodí určitý počet mačiatok. Pravdepodobne možno nájsť geometrickú progresiu v reprodukcii mačiek, ale s najväčšou pravdepodobnosťou tam budú nejaké zložité koeficienty. Dovoľte mi vysvetliť moje myšlienky.

Mačka začína rodiť mačiatka vo veku od 9 mesiacov do 2 rokov (všetko závisí od mačky). Obdobie tehotenstva je 64 dní. Mačka kojí mačiatka asi 3 mesiace, takže v priemere bude mať 4 vrhy za rok. Počet mačiatok je od 3 do 7. Ako vidíte, určité vzory sa dajú zachytiť, ale nejde o geometrický postup. Parametre sú príliš nejasné.

Dostal som tieto výsledky:

Telo mačky obsahuje: osovú súmernosť, zlatú proporciu, špirály (pazúry), geometrické tvary (pyramídové uši).

Vo vzhľade nie sú žiadne fraktály ani geometrická progresia.

Vnútorná štruktúra mačky patrí skôr do oblasti biológie, ale treba poznamenať, že štruktúra pľúc a obehového systému (ako iné zvieratá) sa riadi logikou fraktálov.

Záver

Vo svojej práci som skúmal literatúru k danej téme a študoval hlavné teoretické problémy. Na konkrétnom príklade dokázal, že v prírode sa veľa, ak nie všetko, riadi matematickými zákonmi.

Po preštudovaní materiálu som si uvedomil, že na pochopenie prírody je potrebné poznať nielen matematiku, ale aj algebru, geometriu a ich sekcie: stereometriu, trigonometriu atď.

Na príklade mačky domácej som študoval vykonávanie matematických zákonov. V dôsledku toho som zistil, že telo mačky obsahuje osovú symetriu, zlatý podiel, špirály, geometrické tvary a fraktály (vo vnútornej štruktúre). Zároveň však nedokázal nájsť geometrickú progresiu, hoci určité vzory v reprodukcii mačiek boli jasne viditeľné.

A teraz súhlasím s vetou: "Príroda nie je taká hlúpa, aby nepodriadila všetko zákonom matematiky."

Niekedy sa zdá, že náš svet je jednoduchý a zrozumiteľný. V skutočnosti je to veľká záhada vesmíru, ktorý vytvoril takú dokonalú planétu. Alebo to možno vytvoril niekto, kto pravdepodobne vie, čo robí? Na tomto probléme pracujú najväčšie mysle našej doby.

Zakaždým prídu k záveru, že je nemožné vytvoriť všetko, čo máme bez Vyššej mysle. Aká mimoriadna, zložitá a zároveň jednoduchá a spontánna je naša planéta Zem! Svet okolo nás je úžasný svojimi pravidlami, tvarmi a farbami.

Zákony prírody

Prvá vec, ktorej môžete venovať pozornosť na našej obrovskej a úžasnej planéte, je, že sa nachádza vo všetkých formách okolitého sveta a je tiež základným princípom krásy, ideálnosti a proporcionality. Toto nie je nič iné ako matematika v prírode.

Pojem "symetria" znamená harmóniu, správnosť. Toto je vlastnosť okolitej reality, ktorá systematizuje fragmenty a mení ich na jeden celok. Späť v starovekom Grécku sa znaky tohto zákona začali objavovať prvýkrát. Napríklad Platón veril, že krása sa objavuje výlučne ako výsledok symetrie a proporcionality. V skutočnosti, ak sa pozrieme na objekty, ktoré sú proporcionálne, správne a úplné, potom bude náš vnútorný stav krásny.

Zákony matematiky v živej a neživej prírode

Pozrime sa na akékoľvek stvorenie, napríklad na toho najdokonalejšieho – človeka. Uvidíme štruktúru tela, ktorá vyzerá na oboch stranách rovnako. Môžete tiež uviesť veľa príkladov, ako je hmyz, zvieratá, morský život, vtáky. Každý druh má svoju farbu.

Ak je prítomný nejaký vzor alebo vzor, ​​je známe, že je zrkadlený okolo stredovej čiary. Všetky organizmy sú vytvorené vďaka pravidlám vesmíru. Takéto matematické vzorce možno vysledovať aj v neživej prírode.

Ak venujete pozornosť všetkým javom, ako je tornádo, dúha, rastliny, snehové vločky, môžete v nich nájsť veľa spoločného. Relatívne list stromu je rozdelený na polovicu a každá časť bude odrazom tej predchádzajúcej.

Ak si vezmeme ako príklad tornádo, ktoré stúpa vertikálne a vyzerá ako lievik, potom sa dá rozdeliť na dve absolútne identické polovice. Fenomén symetrie nájdete v zmene dňa a noci, ročných období. Zákonitosti okolitého sveta sú v prírode matematiky, ktorá má svoj dokonalý systém. Na tom spočíva celý koncept stvorenia vesmíru.

Rainbow

O prírodných javoch často nepremýšľame. Snežilo alebo pršalo, vyšlo slnko alebo udrel hrom – bežný stav meniaceho sa počasia. Zvážte viacfarebný oblúk, ktorý možno zvyčajne nájsť po zrážkach. Dúha na oblohe je úžasný prírodný úkaz sprevádzaný spektrom všetkých farieb viditeľných len ľudským okom. Deje sa tak v dôsledku prechodu slnečných lúčov cez odchádzajúci oblak. Každá dažďová kvapka slúži ako hranol, ktorý má optické vlastnosti. Dá sa povedať, že každá kvapka je malá dúha.

Lúče prechádzajú cez vodnú bariéru a menia svoju pôvodnú farbu. Každý prúd svetla má určitú dĺžku a odtieň. Preto naše oči vnímajú dúhu ako takú farebnú. Všimnime si zaujímavý fakt, že tento jav môžu vidieť iba ľudia. Pretože je to len ilúzia.

Druhy dúhy

  1. Najbežnejšie sú dúhy tvorené slnkom. Je najjasnejšia zo všetkých odrôd. Skladá sa zo siedmich základných farieb: červená oranžová, žltá, zelená, modrá, indigo, fialová. Ak sa však pozrieme na detaily, odtieňov je oveľa viac, než naše oči dokážu vidieť.
  2. Dúha vytvorená Mesiacom nastáva v noci. Verí sa, že to možno vždy vidieť. Ako však ukazuje prax, tento jav sa pozoruje hlavne v daždivých oblastiach alebo v blízkosti veľkých vodopádov. Farby lunárnej dúhy sú veľmi slabé. Sú určené na vyšetrenie len pomocou špeciálneho vybavenia. Ale aj pri ňom naše oko rozozná len pásik bielej.
  3. Dúha, ktorá sa objaví ako výsledok hmly, je ako široký žiariaci oblúk svetla. Niekedy sa tento typ zamieňa s predchádzajúcim. Farba môže byť oranžová na vrchu a odtieň fialovej na spodnej strane. Slnečné lúče prechádzajúce cez hmlu tvoria nádherný prírodný úkaz.
  4. sa na oblohe objavuje veľmi zriedka. Horizontálnym tvarom sa nepodobá na predchádzajúce typy. Úkaz je možný len nad cirrusovými oblakmi. Zvyčajne sa rozprestierajú v nadmorskej výške 8-10 kilometrov. Uhol, pod ktorým sa dúha ukáže v celej svojej kráse, musí byť väčší ako 58 stupňov. Farby zvyčajne zostávajú rovnaké ako v slnečnej dúhe.

Zlatý rez (1,618)

Ideálnu proporcionalitu najčastejšie nájdeme vo svete zvierat. Získajú podiel, ktorý sa rovná odmocnine čísla PHI zodpovedajúceho jednej. Tento pomer je spájajúcim faktom všetkých zvierat na planéte. Veľké mysle staroveku nazývali toto číslo božskou proporciou. Dá sa to nazvať aj zlatým rezom.

Toto pravidlo je plne v súlade s harmóniou ľudskej štruktúry. Ak napríklad určíte vzdialenosť medzi očami a obočím, bude sa rovnať božskej konštante.

Zlatý rez je ukážkou toho, aká dôležitá je v prírode matematika, ktorej zákonom sa začali riadiť dizajnéri, umelci, architekti, tvorcovia krásnych a dokonalých vecí. Vytvárajú pomocou božskej konštanty svoje výtvory, ktoré majú rovnováhu, harmóniu a sú príjemné na pohľad. Naša myseľ je schopná považovať za krásne tie veci, predmety, javy, kde je nerovnaký pomer častí. Náš mozog nazýva zlatý pomer proporcionalita.

DNA špirála

Ako správne poznamenal nemecký vedec Hugo Weyl, korene symetrie prišli cez matematiku. Mnohí si všimli dokonalosť geometrických tvarov a venovali im pozornosť. Napríklad plást nie je nič iné ako šesťuholník vytvorený samotnou prírodou. Pozor si môžete dať aj na smrekové šišky, ktoré majú valcovitý tvar. Špirály sa často nachádzajú aj v okolitom svete: rohy veľkých a malých hospodárskych zvierat, ulity mäkkýšov, molekuly DNA.

Vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Je spojovacím článkom medzi diagramom hmotného tela a jeho skutočným obrazom. A ak vezmeme do úvahy mozog, potom to nie je nič iné ako vodič medzi telom a mysľou. Inteligencia spája život a formu jeho prejavu a umožňuje životu obsiahnutému vo forme poznať sám seba. Pomocou toho je možné, aby ľudstvo pochopilo okolitú planétu, hľadalo v nej zákonitosti, ktoré potom platia pri štúdiu vnútorného sveta.

Rozdelenie v prírode

Bunková mitóza pozostáva zo štyroch fáz:

  • Profáza. Jadro v ňom sa zvyšuje. Objavujú sa chromozómy, ktoré sa začínajú krútiť do špirály a menia sa do obvyklej podoby. Vytvára sa miesto bunkového delenia. Na konci fázy sa jadro a jeho obal rozpúšťajú a chromozómy prúdia do cytoplazmy. Toto je najdlhšia fáza delenia.
  • Metafáza. Tu sa špirála chromozómov končí a tvoria doštičku metafázy. Pri príprave na delenie sú chromatidy umiestnené oproti sebe. Medzi nimi sa objaví miesto na odpojenie - vreteno. Tým sa končí druhá etapa.

  • Anaphase. Chromatidy sa rozchádzajú v opačných smeroch. Bunka má teraz dve sady chromozómov kvôli ich deleniu. Táto etapa je veľmi krátka.
  • Telofáza. V každej polovici bunky sa vytvorí jadro, v rámci ktorého sa vytvorí jadierko. Cytoplazma je aktívne disociovaná. Vreteno postupne mizne.

Význam mitózy

Vďaka unikátnemu spôsobu delenia má každá nasledujúca bunka po rozmnožení rovnaké zloženie génov ako jej matka. Obe bunky dostávajú rovnaké zloženie chromozómov. To by sa nedalo urobiť bez takej vedy, ako je geometria. Progresia mitózy je dôležitá, pretože toto je princíp, podľa ktorého sa všetky bunky reprodukujú.

Odkiaľ pochádzajú mutácie?

Tento proces zabezpečuje neustály prísun chromozómov a genetického materiálu v každej bunke. V dôsledku mitózy sa telo vyvíja, reprodukuje a regeneruje. V prípade narušenia pôsobením niektorých jedov sa chromozómy nemusia rozdeliť na svoje polovice, prípadne môžu vykazovať štrukturálne poruchy. Bude to jasný indikátor začínajúcich mutácií.

Zhrnutie

Čo má spoločné matematika a príroda? Odpoveď na túto otázku nájdete v našom článku. A ak sa zahĺbite hlbšie, musíte povedať, že štúdiom sveta okolo nás človek spoznáva sám seba. Bez Toho, ktorý splodil všetko živé, by sa nič nemohlo stať. Príroda je výlučne v harmónii, v prísnom slede svojich zákonov. Je toto všetko možné bezdôvodne?

Citujme výrok vedca, filozofa, matematika a fyzika Henriho Poincarého, ktorý ako nikto iný nevie odpovedať na otázku, či je matematika v prírode skutočne základ. Niektorým materialistom sa takéto úvahy nemusia páčiť, ale je nepravdepodobné, že by ich dokázali vyvrátiť. Poincaré hovorí, že harmónia, ktorú chce ľudská myseľ objaviť v prírode, nemôže existovať mimo nej. ktorý je prítomný v mysliach aspoň niekoľkých jednotlivcov môže byť prístupný celému ľudstvu. Spojenie, ktoré spája duševnú činnosť, sa nazýva harmónia sveta. Nedávno došlo k obrovským pokrokom smerom k takémuto procesu, ale sú veľmi malé. Tieto prepojenia spájajúce vesmír a jednotlivca by mali byť cenné pre každú ľudskú myseľ, ktorá je citlivá na tieto procesy.

Úvod. 2

Kapitola 1. Matematické zákony živej prírody. 3

Kapitola 2. Princípy formovania tvaru v prírode 5

Kapitola 3. Zlatý rez 8

Kapitola 4. Escherova geometrická rapsódia. 15

Kapitola 5. Transcendentálne číslo   18

Zoznam použitej literatúry. 20

Úvod.

Pri povrchnom oboznámení sa s matematikou sa to môže zdať ako nezrozumiteľný labyrint vzorcov, číselných závislostí a logických ciest. Náhodných návštevníkov, ktorí nepoznali skutočnú hodnotu matematických pokladov, straší suchá schéma matematických abstrakcií, cez ktoré matematik vidí živú mnohofarebnosť reality.

Každý, kto pochopil nádherný svet matematiky, nezostáva len nadšeným pozorovateľom jej pokladov. Sám sa snaží vytvárať nové matematické objekty, hľadá spôsoby riešenia nových problémov, či nových, pokročilejších riešení už vyriešených problémov. Našlo a publikovalo sa už viac ako 300 dôkazov Pytagorovej vety, desiatky neklasických kvadratúrok kružnice, trisekcie uhla a zdvojnásobenia kocky.

Ale nepokojná, zvedavá myšlienka vedie k novým hľadaniam. Zároveň ešte viac ako samotný výsledok láka jeho hľadanie. To je prirodzené. Koniec koncov, cesta k vyriešeniu každého dostatočne zmysluplného problému je vždy úžasný reťazec záverov, stmelených zákonom logiky.

Matematická tvorivosť je skutočná tvorivosť mysle. Tu je to, čo napísal sovietsky matematik G.D. Suvorov: „Veta, napísaná logicky bezchybne, skutočne vyzerá bez akéhokoľvek poetického začiatku a nevyzerá ako plod ohnivej fantázie, ale ako pochmúrne dieťa materskej logiky. Ale nikto okrem vedca nevie, aká smršť fantázií a poetických úletov vlastne zrodila túto vetu. Koniec koncov, bola okrídleným, exotickým motýľom predtým, ako ju zajali, ukolébala ju logika a prišpendlila na papier špendlíky dôkazov!" Je prirodzené, že vo svojich memoároch K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. Kolmogorov a ďalší vynikajúci matematici hovorili o veľkej radosti, o skutočnom estetickom pôžitku, ktorý prežívali pri hľadaní odpovedí na nevyriešené problémy, ktoré pre nich boli cestami. do neznáma. Pretože k týmto riešeniam prichádzali po prvý raz a matematika im dala plnú mieru radosti priekopníkov.

V niektorých problémoch, medzi mnohými cestami k odpovedi, existuje jedna, najneočakávanejšia, často starostlivo „zamaskovaná“ a spravidla najkrajšia a najžiadanejšia. Je to veľká radosť nájsť ho a prejsť sa po ňom. Hľadanie takýchto riešení, schopnosť ísť nad rámec možností už známych algoritmov, je skutočnou estetickou matematickou kreativitou.
^

Kapitola 1. Matematické zákony živej prírody.

Voľne žijúce zvieratá vykazujú početné symetrické formy organizmov. V mnohých prípadoch je symetrický tvar organizmu doplnený pestrými, symetrickými farbami.

Malý brezový nosatca dosahujúci sotva 4 mm, samozrejme, nepozná vyššiu matematiku. Keď však vytvorí kolísku pre svoje potomstvo, „kreslí“ alebo skôr vyrezáva na list dreva evolutu – krivku, ktorá predstavuje mnoho stredov zakrivenia listu. Samotný okraj listu bude evolventný vzhľadom na krivku vyrezanú nosatkou.


Architektúra voštinovej bunky podlieha zložitým geometrickým vzorom.


Teoretické krivky a fázová krivka kolísania počtu populácií v súhrne dvoch interagujúcich druhov (biocenóza) „predátor-korisť“.

Vito Voltaire (1860-1940) je vynikajúci taliansky matematik. Skonštruoval teóriu dynamiky biologických populácií,

v ktorom aplikoval metódu diferenciálnych rovníc.

Ako väčšina matematických modelov biologických javov je založený na mnohých zjednodušujúcich predpokladoch.

IN Pri skákaní opisuje ťažisko zvierat známy útvar - štvorcovú parabolu, ktorej vetvy smerujú nadol: y=ax 2, a>1, a

Obrysy listov mnohých rastlín sú krásne. S veľkou presnosťou sú ich tvary opísané elegantnými rovnicami v polárnom alebo karteziánskom súradnicovom systéme.

^

Kapitola 2. Princípy formovania tvaru v prírode

Všetko, čo dostalo nejakú formu, sa formovalo, rástlo, usilovalo sa zaujať miesto v priestore a zachovať sa. Táto túžba sa realizuje hlavne v dvoch možnostiach - rast nahor alebo sa šíri po povrchu zeme a krúti sa v špirále.

Škrupina je skrútená do špirály. Ak ho rozložíte, dostanete dĺžku o niečo kratšiu ako je dĺžka hada. Malá desaťcentimetrová lastúra má špirálu dlhú 35 cm.Špirály sú v prírode veľmi bežné.

Tvar špirálovito stočenej mušle zaujal Archimeda. Študoval to a prišiel s rovnicou pre špirálu. Špirála nakreslená podľa tejto rovnice sa volá jeho menom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je Archimedova špirála široko používaná v technológii.

Goethe tiež zdôrazňoval tendenciu prírody k špirále. Skrutkovité a špirálovité usporiadanie listov na vetvách stromov bolo zaznamenané už dávno. Špirála bola vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, šišiek, ananásov, kaktusov atď. Pavúk tká svoju sieť v špirálovom vzore. Hurikán sa točí ako špirála. Vystrašené stádo sobov sa rozuteká v špirále. Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Schránky mäkkýšov Nautilus, Haliotis a ďalších sú tvorené v tvare logaritmickej špirály: p=ae b φ .

Listy na mladých výhonkoch rastlín sú usporiadané do priestorovej špirály. A pri pohľade na ne zhora nájdeme druhú špirálu, pretože sú tiež umiestnené tak, aby si navzájom nerušili vnímanie slnečného svetla. Vzdialenosti medzi jednotlivými listami sú charakterizované Fibonacciho radovými číslami: 1,1,2,3,5,8,…,u n, u n +1,…, kde u n =u n -1 +u n -2.


V slnečnici sú semená usporiadané v charakteristických oblúkoch blízko dvoch rodín logaritmických špirál.

Príroda uprednostňovala logaritmickú špirálu kvôli mnohým pozoruhodným vlastnostiam tejto krivky. Napríklad počas transformácie podobnosti sa nemení.

V dôsledku toho telo počas procesu rastu nepotrebuje prestavať architektúru svojho tela.

Nápadným príkladom asymetrie živých vecí na submolekulárnej úrovni je sekundárna forma hmotných nosičov dedičnej informácie – dvojitá špirála obrovskej molekuly DNA. Ale DNA je už špirála navinutá okolo nukleozómu; je to dvojitá špirála. Život vzniká v nepolapiteľnom, úžasne precíznom procese realizácie plánov prírody architekta, podľa ktorých sú postavené molekuly bielkovín.

Pavúk utká svoju pascu v podobe komplexnej transcendentálnej krivky - logaritmickej špirály p=ae b φ

^

Kapitola 3. Zlatý rez

Človek rozlišuje predmety okolo seba podľa ich tvaru. Záujem o tvar objektu môže byť diktovaný životnou nevyhnutnosťou alebo môže byť spôsobený krásou tvaru. Forma, ktorej konštrukcia je založená na kombinácii symetrie a zlatého rezu, prispieva k najlepšiemu vizuálnemu vnímaniu a dojmu pocitu krásy a harmónie. Celok sa vždy skladá z častí, časti rôznych veľkostí sú v určitom vzťahu medzi sebou aj k celku. Princíp zlatého rezu je najvyšším prejavom štrukturálnej a funkčnej dokonalosti celku a jeho častí v umení, vede, technike a prírode.

V matematike je proporcia (lat. proportio) rovnosť dvoch pomerov: a: b = c: d.

Priamku úsečku AB možno rozdeliť na dve časti nasledujúcimi spôsobmi:


  • na dve rovnaké časti – AB: AC = AB: BC;

  • na dve nerovnaké časti v akomkoľvek ohľade (takéto časti netvoria proporcie);

  • teda, keď AB: AC = AC: BC.
To druhé je zlaté delenie alebo delenie segmentu v extrémnom a priemernom pomere.

^ Zlatý rez- ide o také proporčné delenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom sa celý segment vzťahuje na väčšiu časť, ako sa samotná väčšia časť vzťahuje na menšiu; alebo inými slovami, menší segment je väčší ako väčší ako celok

a: b = b: c alebo c: b = b: a.

Geometrický obraz zlatého rezu

P Praktické oboznámenie sa so zlatým rezom začína rozdelením úsečky v zlatom pomere pomocou kružidla a pravítka. Delenie priamky pomocou zlatého rezu. BC = 1/2 AB; CD = BC

Z bodu B sa obnoví kolmica rovnajúca sa polovici AB. Výsledný bod C je spojený priamkou s bodom A. Na výslednej priamke sa položí úsečka BC zakončená bodom D. Úsečka AD sa prenesie na priamku AB. Výsledný bod E rozdeľuje segment AB v zlatom pomere.

Segmenty zlatého podielu sú vyjadrené nekonečným iracionálnym zlomkom AE = 0,618..., ak sa AB berie ako jedna, BE = 0,382... Pre praktické účely sa často používajú približné hodnoty 0,62 a 0,38. Ak sa segment AB považuje za 100 dielov, potom väčšia časť segmentu je 62 a menšia časť je 38 dielov.

Vlastnosti zlatého rezu sú opísané rovnicou:

x 2 – x – 1 = 0.

Riešenie tejto rovnice:

Vlastnosti zlatého rezu vytvorili okolo tohto čísla romantickú auru tajomstva a takmer mystického uctievania.
^ História zlatého rezu
Všeobecne sa uznáva, že koncept zlatého rozdelenia zaviedol do vedeckého používania Pytagoras, staroveký grécky filozof a matematik (VI. storočie pred Kristom). Existuje predpoklad, že Pytagoras si požičal svoje znalosti o zlatom rozdelení od Egypťanov a Babylončanov. Pomery Cheopsovej pyramídy, chrámov, basreliéfov, domácich potrieb a šperkov z hrobky Tutanchamóna skutočne naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramzesa proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira, zobrazený na reliéfe drevenej dosky z po ňom pomenovanej hrobky, drží v rukách meracie prístroje, v ktorých sú zaznamenané proporcie zlatého delenia.

Gréci boli zruční geometri. Dokonca učili svoje deti aritmetiku pomocou geometrických útvarov. Pytagorovský štvorec a uhlopriečka tohto štvorca boli základom pre stavbu dynamických obdĺžnikov.

^ Dynamické obdĺžniky

O zlatom delení vedel aj Platón (427...347 pred Kr.). Jeho dialóg „Timaeus“ je venovaný matematickým a estetickým názorom pytagorejskej školy a najmä problematike zlatej divízie.

Fasáda starovekého gréckeho chrámu Parthenon má zlaté proporcie. Počas jeho vykopávok boli objavené kompasy, ktoré používali architekti a sochári starovekého sveta. Pompejský kompas (múzeum v Neapole) obsahuje aj proporcie zlatého delenia.

V starovekej literatúre, ktorá sa k nám dostala, bola zlatá divízia prvýkrát spomenutá v Euklidových prvkoch. V 2. knihe „Princípov“ je uvedená geometrická konštrukcia zlatého delenia.Po Euklidovi skúmali zlaté delenie Hypsikles (2. storočie pred Kristom), Pappus (III. storočie po Kr.) a iní. stredoveká Európa so zlatým rozdelením Stretli sme sa prostredníctvom arabských prekladov Euklidových prvkov. K prekladu sa vyjadril prekladateľ J. Campano z Navarry (III. storočie). Tajomstvá zlatej divízie boli žiarlivo strážené a držané v prísnej tajnosti. Boli známi len zasvätencom.

V období renesancie vzrástol záujem o zlatú divíziu medzi vedcami a umelcami vďaka jej využitiu v geometrii aj umení, najmä v architektúre Leonardo da Vinci, umelec a vedec, videl, že talianski umelci majú veľa empirických skúseností, ale málo vedomosti . Otehotnel a začal písať knihu o geometrii, no v tom čase sa objavila kniha mnícha Luca Pacioliho a Leonardo svoj nápad opustil. Podľa súčasníkov a historikov vedy bol Luca Pacioli skutočným majstrom, najväčším matematikom Talianska v období medzi Fibonaccim a Galileom. Luca Pacioli bol žiakom umelca Piera della Franceschiho, ktorý napísal dve knihy, z ktorých jedna sa volala „O perspektíve v maľbe“. Je považovaný za tvorcu deskriptívnej geometrie.

Luca Pacioli dokonale pochopil dôležitosť vedy pre umenie. V roku 1496 prišiel na pozvanie vojvodu z Moreau do Milána, kde prednášal matematiku. Leonardo da Vinci v tom čase pôsobil aj v Miláne na dvore Moro. V roku 1509 vyšla v Benátkach kniha Lucu Pacioliho „The Divine Proportion“ s brilantne prevedenými ilustráciami, a preto sa verí, že ich vytvoril Leonardo da Vinci. Kniha bola nadšeným chválospevom na zlatý rez. Medzi mnohými výhodami zlatého podielu mních Luca Pacioli nezabudol pomenovať jeho „božskú podstatu“ ako vyjadrenie božskej trojice – Boha Syna, Boha Otca a Boha Ducha Svätého (predpokladá sa, že malý segment je zosobnením Boha Syna, väčší segment je Boh Otca a celý segment - Boh Ducha Svätého).

Veľkú pozornosť venoval štúdiu zlatej divízie aj Leonardo da Vinci. Urobil rezy stereometrického telesa tvorené pravidelnými päťuholníkmi a zakaždým získal obdĺžniky s pomermi strán v zlatom delení. Preto dal tomuto rozdeleniu názov zlatý rez. Stále teda zostáva najobľúbenejším.

V tom istom čase na severe Európy v Nemecku riešil rovnaké problémy Albrecht Dürer. Načrtáva úvod k prvej verzii traktátu o proporciách. píše Dürer. „Je potrebné, aby niekto, kto niečo vie, to naučil aj tých, ktorí to potrebujú. Toto je to, čo som sa rozhodol urobiť.“

Súdiac podľa jedného z Dürerových listov sa v Taliansku stretol s Lucom Paciolim. Albrecht Durer podrobne rozvíja teóriu proporcií ľudského tela. Zlatému rezu Dürer pridelil dôležité miesto vo svojom systéme vzťahov. Výška osoby je rozdelená v zlatých proporciách líniou opasku, ako aj čiarou vedenou cez končeky prostredných prstov spustených rúk, spodnú časť tváre ústami atď. Dürerov proporcionálny kompas je dobre známy.

Veľký astronóm 16. storočia. Johannes Kepler nazval zlatý rez jedným z pokladov geometrie. Ako prvý upozornil na význam zlatého podielu pre botaniku (rast rastlín a ich štruktúra).

V nasledujúcich storočiach sa pravidlo zlatého podielu zmenilo na akademický kánon, a keď sa postupom času v umení začal boj proti akademickej rutine, v zápale boja „vyhodili aj dieťa s vodou do kúpeľa“. Zlatý rez bol opäť „objavený“ v polovici 19. storočia. V roku 1855 nemecký výskumník zlatého rezu, profesor Zeising, publikoval svoju prácu „Estetické štúdie“. To, čo sa stalo Zeisingovi, bolo presne to, čo by sa nevyhnutne malo stať výskumníkovi, ktorý považuje fenomén za taký, bez spojenia s inými javmi. Absolutizoval podiel zlatého rezu a vyhlásil ho za univerzálny pre všetky javy prírody a umenia. Zeising mal množstvo nasledovníkov, ale našli sa aj odporcovia, ktorí vyhlásili jeho doktrínu proporcií za „matematickú estetiku“.

^ Zlaté proporcie v ľudskej postave
Zeising odviedol skvelú prácu. Zmeral asi dvetisíc ľudských tiel a dospel k záveru, že zlatý rez vyjadruje priemerný štatistický zákon. Rozdelenie tela podľa pupkového bodu je najdôležitejším ukazovateľom zlatého rezu. Proporcie mužského tela kolíšu v priemernom pomere 13:8 = 1,625 a sú o niečo bližšie k zlatému rezu ako proporcie ženského tela, ku ktorým je priemerná hodnota podielu vyjadrená v pomere 8: 5 = 1,6. U novorodenca je pomer 1:1, do 13 rokov je to 1,6 a do 21 rokov sa rovná pomeru muža. Proporcie zlatého rezu sa objavujú aj vo vzťahu k iným častiam tela – dĺžke ramena, predlaktia a ruky, ruky a prstov atď.



^ Zlaté proporcie v častiach ľudského tela
Koncom 19. – začiatkom 20. stor. Objavilo sa mnoho čisto formalistických teórií o používaní zlatého rezu v umeleckých a architektonických dielach. S rozvojom dizajnu a technickej estetiky sa zákon zlatého rezu rozšíril aj na dizajn áut, nábytku a pod.

Medzi cestnými bylinkami rastie neprehliadnuteľná rastlina – čakanka. Poďme sa na to pozrieť bližšie. Z hlavnej stonky sa vytvoril výhonok. Prvý list sa nachádzal práve tam.

Čakanka

Výhonek vykoná silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, uvoľní list, ale tentokrát je kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale s menšou silou, vypustí list ešte menšej veľkosti a opäť sa vymrští. . Ak sa prvá emisia berie ako 100 jednotiek, potom sa druhá rovná 62 jednotkám, tretia – 38, štvrtá – 24 atď. Zlatej proporcii podlieha aj dĺžka okvetných lístkov. Pri pestovaní a dobývaní priestoru si rastlina zachovala určité proporcie. Impulzy jej rastu postupne klesali úmerne zlatému rezu.



^ Živorodá jašterica

Jašterica má na prvý pohľad proporcie, ktoré sú pre naše oči príjemné - dĺžka chvosta súvisí s dĺžkou zvyšku tela, 62 až 38.

Príroda vykonala rozdelenie na symetrické časti a zlaté proporcie. Časti odhaľujú opakovanie štruktúry celku.
^ Vtáčie vajce

Veľký Goethe, básnik, prírodovedec a umelec (kreslil a maľoval vodovými farbami), sníval o vytvorení jednotnej náuky o forme, formovaní a premene organických telies.

Pierre Curie na začiatku tohto storočia sformuloval množstvo hlbokých myšlienok o symetrii. Tvrdil, že nemožno uvažovať o symetrii akéhokoľvek telesa bez toho, aby sme nezohľadnili symetriu prostredia.

Zákony „zlatej“ symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a kozmických systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov. Tieto vzorce, ako je naznačené vyššie, existujú v štruktúre jednotlivých ľudských orgánov a tela ako celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a zrakového vnímania.

Zlatý rez nemožno posudzovať samostatne, samostatne, bez spojenia so symetriou. Veľký ruský kryštalograf G.V. Wulf (1863...1925) považoval zlatý rez za jeden z prejavov symetrie.

^

Kapitola 4. Escherova geometrická rapsódia.




Holandský umelec Maur Cornelius Escher (1898-1971) vytvoril celý svet vizuálnych obrazov, ktoré odhaľujú základné myšlienky a zákony matematiky, fyziky a psychologické charakteristiky ľudského vnímania predmetov reality v trojrozmernom priestore okolo nás.

Neobmedzený priestor, zrkadlové obrazy, rozpory medzi rovinou a priestorom - všetky tieto pojmy sú stelesnené v nezabudnuteľných obrazoch naplnených zvláštnym šarmom. Jašterice vizuálne predstavujú geometrické zobrazenia študované na strednej škole.

Jazdci poskytujú vynikajúcu vizuálnu reprezentáciu paralelného prenosu, symetrie a vyplnenia celej roviny figúrkami komplexnej konfigurácie.

"Kocka a magické stuhy." Belvedere stuhy - nielen -

naozaj magické: geometrický vtip, ale celok

„významnosti“ na nich môžu byť komplexom prekvapení,

zvážte znamienko a konvexnosť generovanú vlastnosťami a konkávnosťou. ľudské vnímanie predmetov

Stačí zmeniť uhol pohľadu v trojrozmernom priestore.

ako sa pásky okamžite krútia
Maurits Cornelius Escher vytvoril jedinečnú galériu obrazov, ktoré patria umeniu aj vede. Ilustrujú Einsteinovu teóriu relativity, štruktúru hmoty, geometrické transformácie, topológiu, kryštalografiu a fyziku. Svedčia o tom názvy niektorých albumov interpreta: „Neobmedzený priestor“, „Zrkadlové obrázky“, „Inverzie“, „Polyhedrony“, „Relativity“, „Rozpory medzi rovinou a priestorom“, „Nemožné konštrukcie“.

„Často sa cítim bližšie k matematikom ako k svojim kolegom umelcov,“ napísal Escher. Jeho obrazy sú skutočne nezvyčajné, sú naplnené hlbokým filozofickým významom a sprostredkúvajú zložité matematické vzťahy. Reprodukcie Escherových obrazov sú široko používané ako ilustrácie vo vedeckých a populárno-vedeckých knihách.

^

Kapitola 5. Transcendentálne číslo  

Povaha čísla  je jednou z najväčších záhad matematiky. Intuícia naznačovala, že dĺžka kruhu a jeho priemer sú rovnako pochopiteľné veličiny.

Za posledné dve storočia sa veľa vedcov podieľalo na výpočte stoviek desatinných miest.

Slávny anglický matematik a filozof Bertrand Russell v knihe „Nightmares of Eminent Personalities“ napísal: „Pí tvár bola zakrytá maskou. Všetci pochopili, že nikto ho nebude môcť zbúrať a ešte žiť. Cez štrbiny masky sa oči pozerali prenikavo, nemilosrdne, chladne a tajomne.“ Možno je príliš úbohé opísať matematický pojem, ale vo všeobecnosti je to pravda. História čísla  je skutočne vzrušujúcimi stránkami stáročného víťazného pochodu matematického myslenia, neúnavnej práce objaviteľov pravdy. Na ceste boli triumfy, víťazstvá, trpké porážky, dramatické kolízie a komické nedorozumenia. Vedci vykonali obrovský kus práce pri hľadaní a odhalili aritmetickú povahu jedného z najneovládateľnejších, najzáhadnejších a najpopulárnejších čísel – čísla označeného gréckym písmenom .

Sumersko-babylonskí matematici vypočítali obvod a plochu kruhu s aproximáciou, ktorá zodpovedá hodnote =3, poznali aj presnejšiu aproximáciu =3 1/8. Na Raineovom (Ahmesovom) papyruse je uvedené, že plocha kruhu je (8/9*2R) 2 = 256/81R 2

To znamená, že ≈3,1605… .
Archimedes bol prvý, kto položil problém výpočtu obvodu a plochy kruhu na vedecký základ. Takže r =  > 48a 96 ≈3,1410>3 10/71

Vedec vypočítal hornú hranicu (3 1/7): 3 10/71≈3,14084...Uzbecký matematik a astronóm al-Kashi, ktorý pracoval vo vedeckom centre slávneho matematika a astronóma Ulugbeka, vypočítal číslo 2 s presnosťou na 16 správnych desatinných miest: 2=6,283 185 307 179 5866.

Zdvojnásobením počtu strán pravidelných mnohouholníkov vpísaných do kruhu získal mnohouholník s 800 355 168 stranami.

Holandský matematik Ludolf Van Zeijlen (1540-1610) vypočítal 35 desatinných miest  a túto hodnotu odkázal, aby bola vytesaná na svoj hrob.

Jedna z najkrajších kvadratúr kruhu, ktorú vytvoril poľský matematik A.A. Kohanski (1631-1700).

Všetky konštrukcie sa vykonávajú pomocou rovnakého riešenia kompasu a rýchlo vedú k pomerne dobrej aproximácii čísla.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) – nemecký matematik, fyzik, astronóm a filozof. Urobil som rozhodujúci krok k vyriešeniu čísla . V roku 1766

dokázal iracionalitu čísla . Výsledok odhalenia tajomstva čísla zhrnul nemecký matematik Ferdinand Lindemann (1852-1939).

V roku 1882 dokázal, že číslo  je transcendentálne. Tým sa preukázala nemožnosť kvadratúry kruhu pri klasickej formulácii tohto problému.

Náhodné udalosti: boli realizované hádzaním ihly a tiež pomohli vedcom vypočítať číslo  s pomerne vysokou presnosťou.
Túto úlohu ako prvý položil a vykonal francúzsky prírodovedec Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788).

Takým istým spôsobom zistil švajčiarsky astronóm a matematik Rudolf Wolf (1816-1896) ako výsledok 5 tisíc hodov ihlou, že  = 3,1596.

Ďalší vedci získali tieto výsledky: s 3204 hodmi =3,1533; s 3408 hodmi =3,141593.

^

Zoznam použitej literatúry.

1. Encyklopedický slovník mladého matematika

2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Priame čiary a krivky - M.: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Úžasné krivky. – M., Nauka, 1978

4. Stroik D.Ya. Stručný prehľad dejín matematiky. – M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole., M., Školstvo, 1982

6. Gardner M. Matematické zázraky a tajomstvá. M., Mir. 1978


  1. Kovalev F.V. Zlatý rez v maľbe. K.: Vyščia škola, 1989.

  2. Kepler I. O šesťhranných snehových vločkách. – M., 1982.

  3. Durer A. Denníky, listy, pojednania - L., M., 1957.

  4. Tsekov-Pencil Ts. O druhom zlatom reze. - Sofia, 1983.

  5. Stakhov A. Kódy zlatého podielu.