Objem pyramídy so základňou rovnostranného trojuholníka. Objem trojuholníkovej pyramídy

Jednou z najjednoduchších objemových figúrok je trojuholníková pyramída, pretože pozostáva z najmenšieho počtu plôch, z ktorých možno v priestore vytvoriť postavu. V tomto článku zvážime vzorce, pomocou ktorých môžete nájsť objem trojuholníkovej pravidelnej pyramídy.

trojuholníková pyramída

Podľa všeobecnej definície je pyramída mnohouholník, ktorého všetky vrcholy sú spojené s jedným bodom, ktorý sa nenachádza v rovine tohto mnohouholníka. Ak je to trojuholník, potom sa celá postava nazýva trojuholníková pyramída.

Uvažovaná pyramída pozostáva zo základne (trojuholníka) a troch bočných plôch (trojuholníkov). Bod, v ktorom sú tri bočné plochy spojené, sa nazýva vrchol obrázku. Kolmica spustená k základni z tohto vrcholu je výška pyramídy. Ak sa priesečník kolmice so základňou zhoduje s priesečníkom stredníc trojuholníka na základni, potom hovoria o pravidelnej pyramíde. V opačnom prípade bude šikmá.

Ako už bolo povedané, základňa trojuholníkovej pyramídy môže byť všeobecný trojuholník. Ak je však rovnostranná a samotná pyramída je rovná, potom hovoria o správnej trojrozmernej postave.

Každý má 4 plochy, 6 hrán a 4 vrcholy. Ak sú dĺžky všetkých hrán rovnaké, potom sa takýto obrazec nazýva štvorsten.

všeobecný typ

Pred zapísaním pravidelnej trojuholníkovej pyramídy uvedieme výraz pre túto fyzikálnu veličinu pre pyramídu všeobecného typu. Tento výraz vyzerá takto:

Tu S o je plocha základne, h je výška postavy. Táto rovnosť bude platná pre akýkoľvek typ základne pyramídového mnohouholníka, ako aj pre kužeľ. Ak je na základni trojuholník s dĺžkou strany a a výškou h o k nemu zníženou, potom vzorec pre objem bude napísaný takto:

Vzorce pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Trojuholník má na základni rovnostranný trojuholník. Je známe, že výška tohto trojuholníka súvisí s dĺžkou jeho strany podľa rovnosti:

Nahradením tohto výrazu do vzorca pre objem trojuholníkovej pyramídy, napísaného v predchádzajúcom odseku, dostaneme:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2*h.

Objem pravidelnej pyramídy s trojuholníkovou základňou je funkciou dĺžky strany základne a výšky postavy.

Pretože každý pravidelný mnohouholník môže byť vpísaný do kruhu, ktorého polomer jednoznačne určuje dĺžku strany mnohouholníka, potom tento vzorec možno zapísať pomocou zodpovedajúceho polomeru r:

Tento vzorec sa dá ľahko získať z predchádzajúceho, pretože polomer r kružnice opísanej cez dĺžku strany a trojuholníka je určený výrazom:

Úloha určiť objem štvorstenu

Ukážme si, ako použiť vyššie uvedené vzorce pri riešení konkrétnych geometrických problémov.

Je známe, že štvorsten má dĺžku hrany 7 cm Nájdite objem pravidelného trojuholníkového ihlanu-štvorstenu.

Pripomeňme si, že štvorsten je pravidelná trojuholníková pyramída, v ktorej sú všetky základne rovnaké. Ak chcete použiť vzorec pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, musíte vypočítať dve množstvá:

• dĺžka strany trojuholníka;
• výška postavy.

Prvá hodnota je známa zo stavu problému:

Na určenie výšky zvážte obrázok znázornený na obrázku.

Označený trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník, kde uhol ABC je 90o. Strana AC je prepona, ktorej dĺžka je a. Jednoduchým geometrickým uvažovaním možno ukázať, že strana BC má dĺžku:

Všimnite si, že dĺžka BC je polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Teraz môžete nahradiť h a a do zodpovedajúceho vzorca pre objem:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Takto sme získali vzorec pre objem štvorstenu. Je vidieť, že objem závisí len od dĺžky rebra. Ak do výrazu dosadíme hodnotu z podmienky problému, dostaneme odpoveď:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Ak túto hodnotu porovnáme s objemom kocky, ktorá má rovnakú hranu, dostaneme, že objem štvorstenu je 8,5-krát menší. To naznačuje, že štvorsten je kompaktný obrazec, ktorý sa realizuje v niektorých prírodných látkach. Napríklad molekula metánu je tetraedrická a každý atóm uhlíka v diamante je spojený so štyrmi ďalšími atómami a vytvára tak štvorsten.

Problém s homotetickými pyramídami

Poďme vyriešiť jeden zaujímavý geometrický problém. Predpokladajme, že existuje trojuholníková pravidelná pyramída s určitým objemom V 1 . Koľkokrát by sa mala veľkosť tohto obrazca zmenšiť, aby sa získala homotetická pyramída s objemom trikrát menším ako pôvodný?

Začnime riešiť problém napísaním vzorca pre pôvodnú pravidelnú pyramídu:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Nech objem obrazca požadovaný podmienkou úlohy získame vynásobením jeho parametrov koeficientom k. Máme:

V2 = √3/12*k2*a12*k*h1 = k3*V1.

Keďže pomer objemov obrazcov je známy z podmienky, dostaneme hodnotu koeficientu k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Všimnite si, že podobnú hodnotu koeficientu k by sme dostali pre pyramídu ľubovoľného typu, a nie len pre obyčajný trojuholníkový.

Ak chcete zistiť objem pyramídy, musíte poznať niekoľko vzorcov. Zvážme ich.

Ako zistiť objem pyramídy - 1. spôsob

Objem pyramídy možno nájsť pomocou výšky a plochy jej základne. V = 1/3 x S x h. Napríklad, ak je výška pyramídy 10 cm a plocha jej základne je 25 cm 2, potom sa objem bude rovnať V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 2. metóda

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), kde a je strana mnohouholníka ležiaca na základňa a n je počet jej strán. Napríklad: Základňa je pravidelný šesťuholník, teda n = 6. Keďže je pravidelný, všetky jeho strany sú rovnaké, teda všetky a sú rovnaké. Povedzme a = 10 a h - 15. Čísla dosadíme do vzorca a dostaneme približnú odpoveď - 1299 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 3. spôsob

Ak rovnostranný trojuholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť pomocou nasledujúceho vzorca: V = ha 2 /4√3, kde a je strana rovnostranného trojuholníka. Napríklad: výška pyramídy je 10 cm, strana základne je 5 cm. Objem sa bude rovnať V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Zvyčajne to, čo sa stalo v menovateli sa nevypočítava a ponecháva sa v rovnakej forme. Môžete tiež vynásobiť čitateľa aj menovateľa číslom 4√3, aby ste dostali 1000√3/48. Zmenšením dostaneme 125√ 3/6 cm 3.

Ako zistiť objem pyramídy - 4. cesta

Ak štvorec leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť podľa nasledujúceho vzorca: V = 1/3*h*a 2, kde a sú strany štvorca. Napríklad: výška - 5 cm, strana štvorca - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 5. cesta

Ak je pyramída štvorsten, to znamená, že všetky jej strany sú rovnostranné trojuholníky, môžete zistiť objem pyramídy pomocou nasledujúceho vzorca: V = a 3 √2/12, kde a je hrana štvorstenu. Napríklad: hrana štvorstenu \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Čo je pyramída?

Ako vyzerá?

Vidíte: pri pyramíde nižšie (hovoria „ na základni“) nejaký mnohouholník a všetky vrcholy tohto mnohouholníka sú spojené s nejakým bodom v priestore (tento bod sa nazýva „ vrchol»).

Celá táto štruktúra má bočné steny, bočné rebrá a základné rebrá. Ešte raz nakreslíme pyramídu so všetkými týmito menami:

Niektoré pyramídy môžu vyzerať veľmi zvláštne, no stále sú to pyramídy.

Tu je napríklad celkom „šikmý“ pyramída.

A trochu viac o menách: ak je na základni pyramídy trojuholník, potom sa pyramída nazýva trojuholníková;

Zároveň bod, kde to padlo výška, sa volá výškový základ. Všimnite si, že v "krivých" pyramídach výška môže byť dokonca mimo pyramídy. Páči sa ti to:

A v tomto nie je nič strašné. Vyzerá to ako tupý trojuholník.

Správna pyramída.

Veľa ťažkých slov? Poďme dešifrovať: „ Na základni - správne“- to je pochopiteľné. A teraz si pamätajte, že pravidelný mnohouholník má stred - bod, ktorý je stredom a , a .

No a slová „vrchol sa premieta do stredu základne“ znamenajú, že základňa výšky padá presne do stredu základne. Pozrite sa, ako hladko a roztomilo to vyzerá pravá pyramída.

Šesťhranné: na základni - pravidelný šesťuholník, vrchol sa premieta do stredu základne.

štvoruholníkový: na základni - štvorci, vrchol sa premieta do priesečníka uhlopriečok tohto štvorca.

trojuholníkový: na základni je pravidelný trojuholník, vrchol sa premieta do priesečníka výšok (sú to aj stredy a osi) tohto trojuholníka.

vysoko dôležité vlastnosti pravidelnej pyramídy:

V pravej pyramíde

• všetky bočné okraje sú rovnaké.
• všetky bočné strany sú rovnoramenné trojuholníky a všetky tieto trojuholníky sú rovnaké.

Objem pyramídy

Hlavný vzorec pre objem pyramídy:

Odkiaľ presne prišiel? Nie je to také jednoduché a najprv si musíte pamätať, že pyramída a kužeľ majú vo vzorci objem, ale valec nie.

Teraz poďme vypočítať objem najobľúbenejších pyramíd.

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana rovnaká. Potrebujem nájsť a.

Toto je oblasť pravouhlého trojuholníka.

Pripomeňme si, ako hľadať túto oblasť. Používame plošný vzorec:

Máme "" - toto a "" - toto tiež, eh.

Teraz poďme nájsť.

Podľa Pytagorovej vety pre

Čo na tom záleží? Toto je polomer opísanej kružnice v, pretože pyramídasprávne a teda centrum.

Od - priesečník a tiež stred.

(Pytagorova veta pre)

Nahraďte vo vzorci za.

Zapojme všetko do objemového vzorca:

Pozor: ak máte pravidelný štvorsten (t.j.), potom vzorec je:

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana rovnaká.

Tu nie je potrebné hľadať; pretože na základni je štvorec, a preto.

Poďme nájsť. Podľa Pytagorovej vety pre

Vieme? Takmer. Pozri:

(to sme videli pri recenzii).

Nahraďte vo vzorci:

A teraz dosadíme a do objemového vzorca.

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana.

Ako nájsť? Pozrite, šesťuholník pozostáva z presne šiestich rovnakých pravidelných trojuholníkov. Pri výpočte objemu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sme už hľadali oblasť pravidelného trojuholníka, tu používame nájdený vzorec.

Teraz poďme nájsť (toto).

Podľa Pytagorovej vety pre

Ale čo na tom záleží? Je to jednoduché, pretože (a všetci ostatní tiež) majú pravdu.

Nahrádzame:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMÍDA. STRUČNE O HLAVNOM

Pyramída je mnohosten, ktorý pozostáva z akéhokoľvek plochého mnohouholníka (), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol pyramídy) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol pyramídy s bodmi základne (bočné hrany ).

Kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu základne.

Správna pyramída- pyramída, ktorá má na základni pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu podstavy.

Vlastnosť pravidelnej pyramídy:

• V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné hrany rovnaké.
• Všetky bočné strany sú rovnoramenné trojuholníky a všetky tieto trojuholníky sú rovnaké.

Objem pyramídy:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - 499 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Pyramída je mnohosten s mnohouholníkom na svojej základni. Všetky tváre zase tvoria trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole. Pyramídy sú trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Aby ste určili, ktorá pyramída je pred vami, stačí spočítať počet rohov na jej základni. Definícia „výšky pyramídy“ sa veľmi často nachádza v úlohách z geometrie v školských osnovách. V článku sa pokúsime zvážiť rôzne spôsoby, ako ho nájsť.

Časti pyramídy

Každá pyramída pozostáva z nasledujúcich prvkov:

• bočné plochy, ktoré majú tri rohy a zbiehajú sa hore;
• apotém predstavuje výšku, ktorá klesá z jeho vrcholu;
• vrchol pyramídy je bod, ktorý spája bočné okraje, ale neleží v rovine základne;
• základňa je mnohouholník, ktorý neobsahuje vrchol;
• výška pyramídy je segment, ktorý pretína vrchol pyramídy a tvorí s jej základňou pravý uhol.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známy jej objem

Prostredníctvom vzorca V \u003d (S * h) / 3 (vo vzorci V je objem, S je základná plocha, h je výška pyramídy) zistíme, že h \u003d (3 * V) / S . Na konsolidáciu materiálu okamžite vyriešme problém. Trojuholníková základňa je 50 cm 2 a jej objem je 125 cm 3 . Nie je známa výška trojuholníkovej pyramídy, ktorú musíme nájsť. Všetko je tu jednoduché: údaje vložíme do nášho vzorca. Získame h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známa dĺžka uhlopriečky a jej okraj

Ako si pamätáme, výška pyramídy tvorí so základňou pravý uhol. A to znamená, že výška, hrana a polovica uhlopriečky spolu tvoria Mnohí si samozrejme pamätajú Pytagorovu vetu. Pri poznaní dvoch rozmerov nebude ťažké nájsť tretiu hodnotu. Pripomeňme si známu vetu a² = b² + c², kde a je prepona a v našom prípade hrana pyramídy; b - prvé rameno alebo polovica uhlopriečky a c - druhé rameno alebo výška pyramídy. Z tohto vzorca je c² = a² - b².

Teraz problém: v bežnej pyramíde je uhlopriečka 20 cm, pričom dĺžka hrany je 30 cm.Výšku si musíte nájsť. Riešime: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Preto c \u003d √ 500 \u003d asi 22.4.

Ako zistiť výšku zrezanej pyramídy

Je to mnohouholník, ktorý má rez rovnobežný so základňou. Výška zrezanej pyramídy je segment, ktorý spája jej dve základne. Výšku možno nájsť pri pravidelnom ihlane, ak sú známe dĺžky uhlopriečok oboch podstav, ako aj hrany pyramídy. Uhlopriečka väčšej základne nech je d1, zatiaľ čo uhlopriečka menšej základne je d2 a hrana má dĺžku l. Ak chcete zistiť výšku, môžete znížiť výšky z dvoch horných protiľahlých bodov diagramu k jeho základni. Vidíme, že máme dva pravouhlé trojuholníky, zostáva nájsť dĺžky ich nôh. Ak to chcete urobiť, odčítajte menšiu uhlopriečku od väčšej uhlopriečky a vydeľte ju 2. Nájdeme teda jednu nohu: a \u003d (d1-d2) / 2. Potom, podľa Pytagorovej vety, musíme nájsť iba druhú nohu, čo je výška pyramídy.

Teraz sa pozrime na celú vec v praxi. Máme pred sebou úlohu. Zrezaný ihlan má na podstave štvorec, uhlopriečka väčšej podstavy je 10 cm, menšej 6 cm, hrana je 4 cm, výšku je potrebné zistiť. Na začiatok nájdeme jednu nohu: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Jedna noha je 2 cm a prepona je 4 cm. Ukazuje sa, že druhá noha alebo výška bude 16- 4 \u003d 12, to znamená h \u003d √12 = približne 3,5 cm.

Slovo „pyramída“ sa nedobrovoľne spája s majestátnymi obrami v Egypte, verne udržiavajúcimi pokoj faraónov. Možno aj preto pyramídu neomylne pozná každý, dokonca aj deti.

Skúsme mu však dať geometrickú definíciu. Predstavme si niekoľko bodov (A1, A2,..., An) na rovine a ešte jeden (E), ktorý do nej nepatrí. Ak je teda bod E (vrchol) spojený s vrcholmi mnohouholníka tvoreného bodmi A1, A2, ..., An (základňa), dostaneme mnohosten, ktorý sa nazýva pyramída. Je zrejmé, že mnohouholník na základni pyramídy môže mať ľubovoľný počet vrcholov a v závislosti od ich počtu môže byť pyramída nazývaná trojuholníková a štvoruholníková, päťuholníková atď.

Pri pozornom pohľade na pyramídu bude jasné, prečo je tiež definovaná inak - ako geometrický útvar s mnohouholníkom na základni a trojuholníky spojené spoločným vrcholom ako bočné steny.

Keďže pyramída je priestorový útvar, má aj takú kvantitatívnu charakteristiku, keďže sa vypočítava zo známej rovnej tretiny súčinu podstavy pyramídy a jej výšky:

Objem pyramídy sa pri odvodzovaní vzorca spočiatku vypočíta pre trojuholníkový, pričom sa za základ berie konštantný pomer týkajúci sa tejto hodnoty k objemu trojuholníkového hranola s rovnakou základňou a výškou, ktorý, ako sa ukázalo, je trojnásobok tohto objemu.

A keďže každá pyramída je rozdelená na trojuholníkové a jej objem nezávisí od konštrukcií vykonaných v dôkaze, platnosť vyššie uvedeného objemového vzorca je zrejmá.

Medzi všetkými pyramídami sú tie správne, v ktorých leží základňa, ktorá by mala „končiť“ v strede základne.

V prípade nepravidelného mnohouholníka na základni budete na výpočet plochy základne potrebovať:

• rozdeľte ho na trojuholníky a štvorce;

• vypočítajte plochu každého z nich;

• pridajte prijaté údaje.

V prípade pravidelného mnohouholníka na základni pyramídy sa jeho plocha vypočíta pomocou hotových vzorcov, takže objem pravidelnej pyramídy sa vypočíta veľmi jednoducho.

Napríklad na výpočet objemu štvorhrannej pyramídy, ak je pravidelná, sa dĺžka strany pravidelného štvoruholníka (štvorca) v základni umocní na druhú a vynásobením výškou pyramídy sa výsledný produkt vydelí tri.

Objem pyramídy možno vypočítať pomocou ďalších parametrov:

• ako tretina súčinu polomeru gule vpísanej do pyramídy a plochy jej celkového povrchu;

• ako dve tretiny súčinu vzdialenosti medzi dvoma ľubovoľne vybratými krížiacimi sa hranami a plochou rovnobežníka, ktorý tvorí stredy zvyšných štyroch hrán.

Objem pyramídy sa jednoducho vypočíta aj v prípade, keď sa jej výška zhoduje s jednou z bočných hrán, teda v prípade pravouhlej pyramídy.

Keď už hovoríme o pyramídach, nemožno ignorovať skrátené pyramídy získané rezom pyramídy rovinou rovnobežnou so základňou. Ich objem sa takmer rovná rozdielu medzi objemami celej pyramídy a odrezaného vrcholu.

Prvý objem pyramídy, aj keď nie celkom v modernej podobe, ale rovnal sa 1/3 objemu nám známeho hranola, našiel Demokritos. Archimedes nazval svoju metódu počítania „bez dôkazu“, pretože Demokritos sa k pyramíde priblížil ako postava zložená z nekonečne tenkých, podobných dosiek.

Vektorová algebra sa tiež „zaoberala“ otázkou nájdenia objemu pyramídy pomocou súradníc jej vrcholov. Pyramída postavená na trojici vektorov a,b,c sa rovná jednej šestine modulu zmiešaného súčinu daných vektorov.