Príprava na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky (profilová úroveň): zadania, riešenia a vysvetlenia. Gramatické komunikačné prostriedky

Úloha 2 Jednotnej štátnej skúšky v spoločnosti: ako vyriešiť

Náročnosť tejto úlohy 2 Jednotnej štátnej skúšky zo sociálnych štúdií spočíva v tom, že vyžaduje, aby ste našli zovšeobecňujúce slovo pre určitý počet výrazov. Zovšeobecňujúce slovo je všeobecný pojem alebo pojem, ktorý vo svojom význame zahŕňa významy iných pojmov a pojmov. Rovnako ako v iných úlohách jednotnej štátnej skúšky o spoločnosti môžu byť témy úloh veľmi odlišné: sociálna oblasť, politická, duchovná atď.

Tu je napríklad úloha zo skutočného testu jednotnej štátnej skúšky v spoločnosti:

Inteligentným chlapcom a dievčatám je okamžite jasné, že navrhované slová súvisia s témou „Duchovná sféra spoločnosti“, konkrétne s témou náboženstva. Ak je pre vás ťažké hneď odpovedať, odporúčam prečítať si môj predchádzajúci príspevok "" . Po prečítaní pojmov pre tých najznalejších je okamžite jasné, že na odpoveď zostávajú len dve možnosti: kult a náboženstvo. Čo bude viac zovšeobecňovať? Kult je uctievanie niečoho.

Môžete experimentovať umiestnením metly do rohu miestnosti. A každý deň sa k nemu modlite, rozprávajte sa s ním... O mesiac to bude pre vás najcennejšia vec :). Vytvorte kult metly. čo je náboženstvo? Ide o špecifickú formu svetonázoru, uvedomenia si sveta. Je jasné, že pojem „náboženstvo“ zahŕňa pojem „kult“, keďže svetonázor môže zahŕňať uctievanie rôznych božstiev. Napríklad pohanstvo u východných Slovanov: niektorí mali kult Perúna (boha hromu a blesku), iní mali kult boha močiarov atď.

Alebo napríklad pravoslávne kresťanstvo: je tam kult Ježiša Krista, je tam kult Ducha Svätého, je tam kult Presvätej Bohorodičky... Rozumieš?

OK. Takže správna odpoveď je: náboženstvo

Odporúčanie 2. Musíte mať dobré znalosti pojmov a konceptov z rôznych tém sociálnych štúdií. Pochopte, ktoré pojmy súvisia s ktorými z nich a ktoré z nich vyplývajú. Na tento účel v mojom platenom videokurze "Sociálne vedy: Jednotná štátna skúška 100 bodov " Uviedol som štruktúru termínov pre všetky témy spoločenských vied. Vrelo odporúčam aj váš článok o.

Pozrime sa na ďalšiu úlohu 2 Jednotnej štátnej skúšky zo sociálnych štúdií:

Okamžite chápeme, že úloha 2 Jednotnej štátnej skúšky skúma tému Sociálna sféra. Ak ste zabudli tému, stiahnite si môj bezplatný videokurz. Ak to neurobíte, s najväčšou pravdepodobnosťou urobíte chybu. Logika niektorých ľudí je taká pokrivená, že je jednoducho brutálna! Medzitým je správna odpoveď: „agent socializácie“ je skupina alebo združenie, ktoré sa podieľa na ovládaní pravidiel a noriem spoločnosti jednotlivcom, ako aj sociálnych rolí. Ak tieto pojmy nepoznáte, opäť vrelo odporúčam stiahnuť si môj bezplatný video kurz.

Odporúčanie 3. Buďte mimoriadne opatrní! K tomu znova a znova riešte úlohy 2 jednotnej štátnej skúšky zo spoločenských vied kvalitatívne na stroji. Tu je príklad podobnej úlohy, ktorá je náročnejšia:

Téma „Veda“ z duchovnej sféry spoločnosti. Mimochodom, mal som podrobný článok na túto tému. Ľudia, ktorí nie sú príliš pozorní, sa okamžite pomýlia, keď v odpovedi uvedú: klasifikačný základ alebo teoretickú platnosť. Medzi správnou odpoveďou: vedecké poznatky , ktorý zahŕňa rôzne klasifikácie a teoretickú platnosť!

V nasledujúcich príspevkoch sa určite pozrieme na ďalšie ťažké úlohy na spoločnosť, tzv !

Prikladám niekoľko úloh pre Jednotnú štátnu skúšku 2 v spoločnosti, o ktorých sa musíte rozhodnúť:

Stredné všeobecné vzdelanie

Linka UMK G. K. Muravin. Algebra a princípy matematickej analýzy (10-11) (hĺbkové)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a začiatky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Príprava na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky (profilová úroveň): zadania, riešenia a vysvetlenia

Skúška na úrovni profilu trvá 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Minimálny prah- 27 bodov.

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, ktoré sa líšia obsahom, náročnosťou a počtom úloh.

Charakteristickým znakom každej časti práce je forma úloh:

• 1. časť obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo koncového desatinného zlomku;
• 2. časť obsahuje 4 úlohy (úlohy 9-12) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo konečného desatinného zlomku a 7 úloh (úlohy 13-19) s podrobnou odpoveďou (úplný záznam riešenia s odôvodnením prijaté opatrenia).

Panova Svetlana Anatolevna, učiteľ matematiky najvyššej kategórie školy, prax 20 rokov:

“Na získanie vysvedčenia musí absolvent absolvovať dve povinné skúšky vo forme Jednotnej štátnej skúšky, z toho jedna z matematiky. Jednotná štátna skúška z matematiky je v súlade s Koncepciou rozvoja matematického vzdelávania v Ruskej federácii rozdelená na dva stupne: základný a špecializovaný. Dnes sa pozrieme na možnosti na úrovni profilu.“

Úloha č.1- preveruje schopnosť účastníkov jednotnej štátnej skúšky aplikovať zručnosti získané v 5. až 9. ročníku kurzu elementárnej matematiky v praktických činnostiach. Účastník musí mať výpočtové schopnosti, vedieť pracovať s racionálnymi číslami, vedieť zaokrúhľovať desatinné miesta a vedieť previesť jednu mernú jednotku na druhú.

Príklad 1 V byte, kde Peter býva, bol namontovaný prietokomer (meradlo) studenej vody. K 1. máju ukazoval merač spotrebu 172 metrov kubických. m vody a prvého júna - 177 metrov kubických. m.Akú sumu má Peter zaplatiť za studenú vodu v máji, ak je cena 1 kubický meter? m studenej vody je 34 rubľov 17 kopejok? Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Riešenie:

1) Zistite množstvo vody spotrebovanej za mesiac:

177 - 172 = 5 (kubický m)

2) Poďme zistiť, koľko peňazí zaplatia za plytvanie vodou:

34,17 5 = 170,85 (rub)

odpoveď: 170,85.

Úloha č.2- je jednou z najjednoduchších úloh skúšky. Väčšina absolventov ju úspešne zvláda, čo svedčí o znalosti definície pojmu funkcia. Typ úlohy č.2 podľa kodifikátora požiadaviek je úloha na využitie získaných vedomostí a zručností v praktických činnostiach a bežnom živote. Úloha č.2 spočíva v popísaní pomocou funkcií rôznych reálnych vzťahov medzi veličinami a interpretácii ich grafov. Úloha č. 2 testuje schopnosť extrahovať informácie prezentované v tabuľkách, diagramoch a grafoch. Absolventi musia vedieť určiť hodnotu funkcie z hodnoty argumentu rôznymi spôsobmi špecifikácie funkcie a popísať správanie a vlastnosti funkcie na základe jej grafu. Musíte byť tiež schopní nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu z grafu funkcií a zostaviť grafy študovaných funkcií. Chyby sú náhodné pri čítaní podmienok problému, čítaní diagramu.

#ADVERTISING_INSERT#

Príklad 2 Na obrázku je znázornená zmena výmennej hodnoty jednej akcie ťažobnej spoločnosti v prvej polovici apríla 2017. Podnikateľ 7. apríla kúpil 1000 akcií tejto spoločnosti. 10. apríla predal tri štvrtiny akcií, ktoré nakúpil, a 13. apríla predal všetky zvyšné akcie. O koľko prišiel podnikateľ v dôsledku týchto operácií?

Riešenie:

2) 1000 · 3/4 = 750 (akcií) – tvoria 3/4 všetkých nakúpených akcií.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - podnikateľ po predaji dostal 1000 akcií.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - podnikateľ stratil v dôsledku všetkých operácií.

odpoveď: 15000.

Úloha č.3- je úlohou základnej úrovne prvej časti, testuje schopnosť vykonávať úkony s geometrickými útvarmi podľa obsahu kurzu Planimetrie. Úloha 3 testuje schopnosť vypočítať plochu obrazca na kockovanom papieri, schopnosť vypočítať mieru uhlov, vypočítať obvody atď.

Príklad 3 Nájdite plochu obdĺžnika nakreslenú na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Riešenie: Na výpočet plochy daného čísla môžete použiť vzorec Peak:

Na výpočet plochy daného obdĺžnika používame Peakov vzorec:

Príklad 4. Na kruhu je vyznačených 5 červených a 1 modrá bodka. Určte, ktoré polygóny sú väčšie: tie, ktoré majú všetky vrcholy červené, alebo tie, ktoré majú jeden z vrcholov modrý. Vo svojej odpovedi uveďte, koľko je niektorých viac ako iných.

Riešenie: 1) Použime vzorec pre počet kombinácií n prvky podľa k:

ktorých vrcholy sú celé červené.

3) Jeden päťuholník so všetkými červenými vrcholmi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygónov so všetkými červenými vrcholmi.

ktoré majú červené vrchy alebo s jedným modrým vrchom.

ktoré majú červené vrchy alebo s jedným modrým vrchom.

8) Jeden šesťuholník s červenými vrcholmi a jeden modrý vrchol.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygónov so všetkými červenými vrcholmi alebo jedným modrým vrcholom.

10) 42 – 16 = 26 mnohouholníkov pomocou modrej bodky.

11) 26 – 16 = 10 polygónov – o koľko viac polygónov, v ktorých jeden z vrcholov je modrý bod, je viac ako polygónov, v ktorých sú všetky vrcholy iba červené.

odpoveď: 10.

Úloha č.5- základná úroveň prvej časti preveruje schopnosť riešiť jednoduché rovnice (iracionálne, exponenciálne, trigonometrické, logaritmické).

Príklad 5. Riešte rovnicu 2 3 + X= 0,453+ X .

Riešenie. Vydeľte obe strany tejto rovnice 5 3 + X≠ 0, dostaneme

z čoho vyplýva, že 3 + X = 1, X = –2.

odpoveď: –2.

Úloha č.6 v planimetrii nájsť geometrické veličiny (dĺžky, uhly, plochy), modelovanie reálnych situácií v jazyku geometrie. Štúdium zostrojených modelov pomocou geometrických pojmov a viet. Zdrojom ťažkostí je spravidla neznalosť alebo nesprávna aplikácia potrebných teorém planimetrie.

Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 129. DE– stredná čiara rovnobežná so stranou AB. Nájdite oblasť lichobežníka POSTEĽ.

Riešenie. Trojuholník CDE podobný trojuholníku TAXÍK v dvoch uhloch, keďže uhol pri vrchole C všeobecný, uhol СDE rovný uhlu TAXÍK ako zodpovedajúce uhly pri DE || AB sekanta A.C.. Pretože DE je stredná čiara trojuholníka podľa podmienky, potom podľa vlastnosti strednej čiary | DE = (1/2)AB. To znamená, že koeficient podobnosti je 0,5. Plochy podobných čísel sú teda spojené ako druhá mocnina koeficientu podobnosti

teda S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úloha č.7- kontroluje aplikáciu derivácie na štúdium funkcie. Úspešná implementácia si vyžaduje zmysluplnú, neformálnu znalosť pojmu derivát.

Príklad 7. Ku grafu funkcie r = f(X) v bode úsečky X 0 je nakreslená dotyčnica, ktorá je kolmá na priamku prechádzajúcu bodmi (4; 3) a (3; –1) tohto grafu. Nájsť f′( X 0).

Riešenie. 1) Použime rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body a nájdime rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (4; 3) a (3; –1).

(r – r 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(r 2 – r 1)

(r – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(r – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–r + 3 = –4X+ 16| · (-1)

r – 3 = 4X – 16

r = 4X– 13, kde k 1 = 4.

2) Nájdite sklon dotyčnice k 2, ktorý je kolmý na čiaru r = 4X– 13, kde k 1 = 4 podľa vzorca:

3) Uhol dotyčnice je deriváciou funkcie v bode dotyku. znamená, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

odpoveď: –0,25.

Úloha č.8- testuje znalosti účastníkov skúšky o elementárnej stereometrii, schopnosť aplikovať vzorce na hľadanie plôch a objemov útvarov, dihedrálnych uhlov, porovnávať objemy podobných útvarov, vedieť vykonávať akcie s geometrickými útvarmi, súradnicami a vektormi atď.

Objem kocky opísanej okolo gule je 216. Nájdite polomer gule.

Riešenie. 1) V kocka = a 3 (kde A– dĺžka hrany kocky), preto

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Keďže guľa je vpísaná do kocky, znamená to, že dĺžka priemeru gule sa rovná dĺžke hrany kocky, teda d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úloha č.9- vyžaduje od absolventa schopnosti transformovať a zjednodušovať algebraické výrazy. Úloha č. 9 zvýšenej náročnosti s krátkou odpoveďou. Úlohy zo sekcie „Výpočty a transformácie“ v jednotnej štátnej skúške sú rozdelené do niekoľkých typov:

transformácia číselných racionálnych výrazov;

prevod algebraických výrazov a zlomkov;

konverzia číselných/písmenových iracionálnych výrazov;

akcie s titulmi;

prevod logaritmických výrazov;

1. prevod číselných/písmenových trigonometrických výrazov.

Príklad 9. Vypočítajte tanα, ak je známe, že cos2α = 0,6 a

Riešenie. 1) Použime vzorec s dvojitým argumentom: cos2α = 2 cos 2 α – 1 a nájdime

To znamená tan 2 α = ± 0,5.

3) Podľa podmienok

to znamená, že α je uhol druhej štvrtiny a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

odpoveď: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Úloha č.10- testuje schopnosť žiakov využívať nadobudnuté rané vedomosti a zručnosti v praktických činnostiach a každodennom živote. Môžeme povedať, že ide o problémy vo fyzike, a nie v matematike, ale všetky potrebné vzorce a množstvá sú uvedené v podmienke. Problémy sa obmedzujú na riešenie lineárnej alebo kvadratickej rovnice alebo lineárnej alebo kvadratickej nerovnosti. Preto je potrebné vedieť riešiť takéto rovnice a nerovnice a určiť odpoveď. Odpoveď musí byť uvedená ako celé číslo alebo ako konečný desatinný zlomok.

Dve telesá hmoty m= 2 kg každý, pohybujúce sa rovnakou rýchlosťou v= 10 m/s pri vzájomnom uhle 2α. Energia (v jouloch) uvoľnená pri ich absolútne nepružnej zrážke je určená výrazom Q = mv 2 hriech 2 α. V akom najmenšom uhle 2α (v stupňoch) sa musia telesá pohybovať, aby sa v dôsledku zrážky uvoľnilo aspoň 50 joulov?
Riešenie. Na vyriešenie úlohy potrebujeme vyriešiť nerovnosť Q ≥ 50 na intervale 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 hriech 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 hriech 2 α ≥ 50

Keďže α ∈ (0°; 90°), budeme len riešiť

Znázornime riešenie nerovnosti graficky:

Pretože podľa podmienky α ∈ (0°; 90°) to znamená 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Úloha č.11- je typický, ale pre študentov sa ukazuje ako ťažký. Hlavným zdrojom ťažkostí je konštrukcia matematického modelu (zostavenie rovnice). Úloha č.11 preveruje schopnosť riešiť slovné úlohy.

Príklad 11. Počas jarných prázdnin musel žiak 11. ročníka Vasya vyriešiť 560 úloh z praxe, aby sa pripravil na jednotnú štátnu skúšku. 18. marca, v posledný deň školy, Vasya vyriešil 5 problémov. Každý deň potom riešil rovnaký počet problémov viac ako predchádzajúci deň. Určte, koľko problémov Vasya vyriešil 2. apríla, posledný deň prázdnin.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

odpoveď: 65.

Úloha č.12- testujú schopnosť študentov vykonávať operácie s funkciami a schopnosť aplikovať deriváciu na štúdium funkcie.

Nájdite maximálny bod funkcie r= 10 ln( X + 9) – 10X + 1.

Riešenie: 1) Nájdite doménu definície funkcie: X + 9 > 0, X> –9, teda x ∈ (–9; ∞).

2) Nájdite deriváciu funkcie:

4) Nájdený bod patrí do intervalu (–9; ∞). Určme znamienka derivácie funkcie a znázornime správanie funkcie na obrázku:

Požadovaný maximálny bod X = –8.

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2cos X) – 5 log 3 (2kos X) + 2 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

Riešenie: a) Nech log 3 (2cos X) = t, potom 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Nájdite korene ležiace na segmente .

Obrázok ukazuje, že korene daného segmentu patria do

Priemer kružnice podstavy valca je 20, tvoriaca čiara valca je 28. Rovina pretína jeho základňu pozdĺž tetiv dĺžky 12 a 16. Vzdialenosť medzi tetivami je 2√197.

a) Dokážte, že stredy podstav valca ležia na jednej strane tejto roviny.

b) Nájdite uhol medzi touto rovinou a rovinou podstavy valca.

Riešenie: a) Tetiva dĺžky 12 je vo vzdialenosti = 8 od stredu základnej kružnice a tetiva dĺžky 16 je podobne vo vzdialenosti 6. Preto vzdialenosť medzi ich priemetmi na rovinu rovnobežnú s základne valcov je buď 8 + 6 = 14, alebo 8 − 6 = 2.

Potom je vzdialenosť medzi akordmi buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Podľa stavu bol realizovaný druhý prípad, v ktorom výstupky tetivy ležia na jednej strane osi valca. To znamená, že os nepretína túto rovinu vo valci, to znamená, že základne ležia na jednej jeho strane. Čo bolo potrebné dokázať.

b) Označme stredy báz O 1 a O 2. Nakreslíme od stredu podstavy s tetivou dĺžky 12 kolmicu na túto tetivu (má dĺžku 8, ako už bolo uvedené) a zo stredu druhej podstavy na druhú tetivu. Ležia v rovnakej rovine β, kolmej na tieto tetivy. Nazvime stred menšej tetivy B, väčšej tetivy A a priemet A na druhú základňu - H (H ∈ β). Potom AB,AH ∈ β a teda AB,AH sú kolmé na tetivu, teda na priamku priesečníka podstavy s danou rovinou.

To znamená, že požadovaný uhol sa rovná

Úloha č.15- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, testuje schopnosť riešiť nerovnosti, čo sa najúspešnejšie rieši medzi úlohami s podrobnou odpoveďou zvýšenej úrovne zložitosti.

Príklad 15. Riešiť nerovnosť | X 2 – 3X| denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Riešenie: Oblasťou definície tejto nerovnosti je interval (–1; +∞). Zvážte tri prípady oddelene:

1) Nechajte X 2 – 3X= 0, t.j. X= 0 alebo X= 3. V tomto prípade sa táto nerovnosť stane pravdivou, preto sú tieto hodnoty zahrnuté do riešenia.

2) Nechaj teraz X 2 – 3X> 0, t.j. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Navyše, táto nerovnosť môže byť prepísaná ako ( X 2 – 3X) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 a vydeliť kladným výrazom X 2 – 3X. Dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 alebo X≤ –0,5. Ak vezmeme do úvahy doménu definície, máme X ∈ (–1; –0,5].

3) Nakoniec zvážte X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). V tomto prípade sa pôvodná nerovnosť prepíše do tvaru (3 X – X 2) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po vydelení kladným 3 X – X 2, dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. S prihliadnutím na región máme X ∈ (0; 1].

Kombináciou získaných riešení získame X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

odpoveď: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Úloha č.16- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy v druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi. Úloha obsahuje dva body. V prvom bode musí byť úloha preukázaná a v druhom bode vypočítaná.

V rovnoramennom trojuholníku ABC s uhlom 120° je vo vrchole A nakreslená os BD. Obdĺžnik DEFH je vpísaný do trojuholníka ABC tak, že strana FH leží na úsečke BC a vrchol E leží na úsečke AB. a) Dokážte, že FH = 2DH. b) Nájdite obsah obdĺžnika DEFH, ak AB = 4.

Riešenie: A)

1) ΔBEF – pravouhlý, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, potom EF = BE vlastnosťou nohy ležiacej oproti uhlu 30°.

2) Nech EF = DH = X, potom BE = 2 X, BF = X√3 podľa Pytagorovej vety.

3) Keďže ΔABC je rovnoramenný, znamená to ∠B = ∠C = 30˚.

BD je stred ∠B, čo znamená ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Uvažujme ΔDBH – obdĺžnikový, pretože DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3) 2(3 – √3)

S DEFH = 24 – 12√3.

odpoveď: 24 – 12√3.

Príklad 17. Vklad vo výške 20 miliónov rubľov sa plánuje otvoriť na štyri roky. Banka na konci každého roka zvyšuje vklad o 10 % v porovnaní s jeho veľkosťou na začiatku roka. Navyše na začiatku tretieho a štvrtého roku investor každoročne dopĺňa vklad o X miliónov rubľov, kde X - celýčíslo. Nájdite najväčšiu hodnotu X, v ktorej banke za štyri roky pribudne do vkladu necelých 17 miliónov rubľov.

Riešenie: Na konci prvého roka bude príspevok 20 + 20 · 0,1 = 22 miliónov rubľov a na konci druhého roka - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milióna rubľov. Na začiatku tretieho roka bude príspevok (v miliónoch rubľov) (24,2 + X), a na konci - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Na začiatku štvrtého roka bude príspevok (26,62 + 2,1 X) a na konci - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Podľa podmienky musíte nájsť najväčšie celé číslo x, pre ktoré platí nerovnosť

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

Najväčšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 24.

odpoveď: 24.

Pri čom a systém nerovností

má presne dve riešenia?

Riešenie: Tento systém je možné prepísať do formulára

Ak nakreslíme na rovinu množinu riešení prvej nerovnosti, dostaneme vnútro kružnice (s hranicou) s polomerom 1 so stredom v bode (0, A). Množina riešení druhej nerovnice je časť roviny ležiaca pod grafom funkcie r = | X| – a, a druhý je grafom funkcie
r = | X| , posunuté nadol o A. Riešením tohto systému je priesečník množín riešení každej z nerovností.

V dôsledku toho bude mať tento systém dve riešenia iba v prípade znázornenom na obr. 1.

Body dotyku kružnice s priamkami budú dve riešenia sústavy. Každá z priamych línií je naklonená k osám pod uhlom 45°. Ide teda o trojuholník PQR– pravouhlé rovnoramenné. Bodka Q má súradnice (0, A) a pointa R– súradnice (0, – A). Okrem toho segmenty PR A PQ rovný polomeru kruhu rovný 1. To znamená

Nechaj Sn súčet P podmienky aritmetického postupu ( a p). To je známe S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Uveďte vzorec P termín tejto progresie.

b) Nájdite najmenší absolútny súčet S n.

c) Nájdite najmenšie P, na ktorom S n bude druhou mocninou celého čísla.

Riešenie: a) Je zrejmé, že a n = S n – S n- 1. Pomocou tohto vzorca dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

znamená, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Odkedy S n = 2n 2 – 25n, potom zvážte funkciu S(X) = | 2X 2 – 25x|. Jeho graf je možné vidieť na obrázku.

Je zrejmé, že najmenšia hodnota sa dosiahne v celočíselných bodoch umiestnených najbližšie k nulám funkcie. Je jasné, že ide o body X= 1, X= 12 a X= 13. Keďže S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, potom najmenšia hodnota je 12.

c) Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že Sn pozitívne, počnúc od n= 13. Odkedy S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), potom zrejmý prípad, keď je tento výraz dokonalým štvorcom, sa realizuje, keď n = 2n– 25, teda o hod P= 25.

Zostáva skontrolovať hodnoty od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ukazuje sa, že pre menšie hodnoty P nedosiahne sa úplný štvorec.

odpoveď: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od mája 2017 je zjednotená vydavateľská skupina „DROFA-VENTANA“ súčasťou korporácie Russian Textbook. Súčasťou korporácie je aj vydavateľstvo Astrel a digitálna vzdelávacia platforma LECTA. Alexander Brychkin, absolvent Finančnej akadémie pri vláde Ruskej federácie, kandidát ekonomických vied, vedúci inovatívnych projektov vydavateľstva DROFA v oblasti digitálneho vzdelávania (elektronické formy učebníc, Ruská elektronická škola, digitálna vzdelávacia platforma LECTA) bol vymenovaný za generálneho riaditeľa. Pred nástupom do vydavateľstva DROFA zastával pozíciu viceprezidenta pre strategický rozvoj a investície vydavateľského holdingu EKSMO-AST. Dnes má vydavateľská korporácia "Ruská učebnica" najväčšie portfólio učebníc zaradených do federálneho zoznamu - 485 titulov (približne 40%, s výnimkou učebníc pre špeciálne školy). Vydavateľstvá korporácie vlastnia najpopulárnejšie súbory učebníc na ruských školách vo fyzike, kreslení, biológii, chémii, technike, geografii, astronómii - oblastiach vedomostí, ktoré sú potrebné pre rozvoj produktívneho potenciálu krajiny. V portfóliu korporácie sú učebnice a učebné pomôcky pre základné školy ocenené Prezidentskou cenou v oblasti vzdelávania. Ide o učebnice a príručky v tematických oblastiach, ktoré sú potrebné pre rozvoj vedeckého, technického a výrobného potenciálu Ruska.

Lexikálne komunikačné prostriedky:

1. Lexikálne opakovanie- opakovanie toho istého slova. Okolo mesta sa na nízkych kopcoch rozprestierajú lesy, mohutné a nedotknuté. V lesoch boli veľké lúky a odľahlé jazerá s obrovskými starými borovicami pozdĺž brehov.
2. Príbuzné. Samozrejme, že taký majster poznal svoju hodnotu, cítil rozdiel medzi sebou a menej talentovaným človekom, ale dokonale poznal aj iný rozdiel – rozdiel medzi sebou a talentovanejším človekom. Úcta k schopnejším a skúsenejším je prvým znakom talentu.
3. Synonymá. V lese sme videli losa. Sokhaty kráčal po okraji lesa a nikoho sa nebál.
4. Antonymá. Príroda má veľa priateľov. Má podstatne menej nepriateľov.
5. Opisné frázy. Postavili diaľnicu. Hlučná, rýchlo tečúca rieka života spájala región s hlavným mestom.

Gramatické prostriedky komunikácie:

1. Osobné zámená. 1) A teraz počúvam hlas prastarého prúdu. Kuká ako divá holubica. 2) Výzva na ochranu lesa by mala byť adresovaná predovšetkým mládeži. Mala by žiť a spravovať túto zem, mala by ju zdobiť. 3) Nečakane sa vrátil do rodnej dediny. Jeho príchod matku potešil a vystrašil.
2. Ukazovacie zámená(také, to, toto) 1) Nad dedinou sa vznášala tmavá obloha s jasnými, ihličkovitými hviezdami. Takéto hviezdy sa objavujú iba na jeseň. 2) Chrapkáče kričali vzdialenými sladkými šklbajúcimi zvukmi. Tieto chrapkáče a západy slnka sú nezabudnuteľné; boli navždy zachované čistým videním. – v druhom texte sú komunikačnými prostriedkami lexikálne opakovanie a ukazovacie zámeno „tieto“.
3. Zámenné príslovky(tam, tak, tak, atď.) On [Nikolaj Rostov] vedel, že tento príbeh prispel k glorifikácii našich zbraní, a preto bolo potrebné predstierať, že ste o tom nepochybovali. To je to, čo urobil.
4. odborov(väčšinou komponuje) Bol máj 1945. Jar zahrmela. Ľudia a zem sa radovali. Moskva pozdravila hrdinov. A radosť letela do neba ako svetlá. S rovnakou vravou a smiechom sa dôstojníci chvatne začali chystať; opäť položili samovar na špinavú vodu. Ale Rostov, bez toho, aby čakal na čaj, odišiel k letke.
5. Častice.
6. Úvodné slová a konštrukcie(Jedným slovom tak, po prvé atď.) Mladí ľudia hovorili o všetkom ruskom s pohŕdaním či ľahostajnosťou a zo žartu predpovedali Rusku osud Rýnskej konfederácie. Spoločnosť bola skrátka dosť hnusná.
7. Jednota časových tvarov slovies- používanie rovnakých foriem gramatického času, ktoré označujú simultánnosť alebo sled situácií. Imitácia francúzskeho tónu z čias Ľudovíta XV bola v móde. Láska k vlasti sa zdala pedantská. Vtedajší mudrci chválili Napoleona s fanatickou servilnosťou a žartovali o našich zlyhaniach. – všetky slovesá sa používajú v minulom čase.
8. Neúplné vety a elipsy, odkazujúc na predchádzajúce prvky textu: Gorkin krája chlieb, rozdeľuje krajce. Nasadí ho aj mne: je obrovský, zakryješ si celú tvár.
9. Syntaktický paralelizmus– identická konštrukcia viacerých susediacich viet. Vedieť hovoriť je umenie. Počúvanie je kultúra.

Zmysluplné vzťahy vyjadrené koordinačnými spojkami:

1. Pripája sa: a, áno (=a), a...a..., nielen... ale aj, ako... tak a, tiež, tiež
2. Rozdeľovače: alebo, alebo, potom...to, nie to...nie to, alebo...alebo, buď...alebo
3. Nechutné: a, ale, áno (=ale), však, ale
4. gradačné: nielen, ale ani nie tak... ako, nie naozaj... ale
5. Vysvetľujúce: teda menovite
6. Pripája sa: tiež, tiež, áno a, a navyše, a
7. tiež áno, a to jest.

Významové vzťahy vyjadrené podraďovacími spojkami:

• Dočasné: keď, kým, sotva, len, kým, len, sotva, sotva
• Príčina: keďže, pretože, pretože, vzhľadom na skutočnosť, že vzhľadom na skutočnosť, že pre (zastarané), z dôvodu, že
• Podmienené: ak (ak len, ak, ak - zastarané), ak, raz, čo najskôr
• Cieľ: tak, aby, aby (zastarané), za účelom, aby, potom aby
• Dôsledky: Takže
• Koncepčne: hoci aj napriek tomu, že
• Porovnávacie: ako, akoby, akoby, presne, ako, akoby, podobne, skôr ako (zastarané)
• Vysvetľujúce: čo, ako, na
• Na začiatku vety sa nepoužívajú spojky: tak, ako, skôr ako, ako aj vysvetľovacie spojky: čo, ako, aby.

V úlohe č.2 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky je potrebné preukázať znalosť práce s mocenskými výrazmi.

Teória k úlohe č.2

Pravidlá pre zaobchádzanie s titulmi môžu byť prezentované takto:

Okrem toho by ste si mali pamätať na operácie so zlomkami:

Teraz môžete prejsť k analýze typických možností! 🙂

Analýza typických možností úloh č. 2 jednotnej štátnej skúšky z matematiky základného stupňa

Prvá verzia úlohy

Nájdite význam výrazu

Algoritmus vykonávania:

1. Vyjadrite číslo so záporným exponentom ako vlastný zlomok.
2. Vykonajte prvé násobenie.
3. Predstavte mocniny čísel ako prvočísla a nahraďte mocniny násobením.
4. Vykonajte násobenie.
5. Vykonajte sčítanie.

Riešenie:

To znamená: 10-1 = 1/10 1 = 1/10

Urobme prvé násobenie, teda vynásobenie celého čísla vlastným zlomkom. Ak to chcete urobiť, vynásobte čitateľa zlomku celým číslom a menovateľa ponechajte nezmenený.

9 1/10 = (9 1)/10 = 9/10

Prvá mocnina čísla je vždy samotné číslo.

Druhá mocnina čísla je číslo vynásobené samo sebou.

102 = 1010 = 100

Odpoveď: 560,9

Druhá verzia úlohy

Nájdite význam výrazu

Algoritmus vykonávania:

1. Predstavte prvú mocninu čísla ako celé číslo.
2. Predstavte záporné mocniny čísel ako správne zlomky.
3. Vykonajte násobenie celých čísel.
4. Vynásobte celé čísla správnymi zlomkami.
5. Vykonajte sčítanie.

Riešenie:

Prvá mocnina čísla je vždy samotné číslo. (10 1 = 10)

Ak chcete vyjadriť zápornú mocninu čísla ako obyčajný zlomok, musíte deliť 1 týmto číslom, ale na kladnú mocninu.

10 -1 = 1/10 1 = 1/10

10-2 = 1/10 2 = 1/(10 10) = 1/100

Vynásobme celé čísla.

3 10 1 = 3 10 = 30

Vynásobme celé čísla vlastnými zlomkami.

4 10 -2 = 4 1/100 = (4 1)/100 = 4/100

2 10 -1 = 2 1/10 = (2 1)/10 = 2/10

Vypočítajme hodnotu výrazu, berúc do úvahy to

Odpoveď: 30.24

Tretia verzia úlohy

Nájdite význam výrazu

Algoritmus vykonávania:

1. Znázornite mocniny čísel vo forme násobenia a vypočítajte hodnotu mocniny čísel.
2. Vykonajte násobenie.
3. Vykonajte sčítanie.

Riešenie:

Predstavme si mocniny čísel vo forme násobenia. Aby ste mohli vyjadriť silu čísla vo forme násobenia, musíte toto číslo vynásobiť samo o sebe toľkokrát, koľkokrát je obsiahnuté v exponente.

2 4 = 2 2 2 2 = 16

2 3 = 2 2 2 = 8

Urobme násobenie:

4 2 4 = 4 16 = 64

3 2 3 = 3 8 = 24

Vypočítajme hodnotu výrazu:

Štvrtá verzia úlohy

Nájdite význam výrazu

Algoritmus vykonávania:

1. Vykonajte činnosť v zátvorkách.
2. Vykonajte násobenie.

Riešenie:

Predstavme mocninu čísla takým spôsobom, aby sme mohli zo zátvorky vyňať spoločný činiteľ.

3 4 3 + 2 4 4 = 4 3 (3 + 2 4)

Vykonajte akciu v zátvorkách.

(3 + 2 4) = (3 + 8) = 11

4 3 = 4 4 4 = 64

Vypočítajme hodnotu výrazu, berúc do úvahy to

Piata verzia úlohy

Nájdite význam výrazu

Algoritmus vykonávania:

1. Predstavme mocninu čísla takým spôsobom, aby sme mohli zo zátvorky vyňať spoločný činiteľ.
2. Umiestnite spoločný faktor zo zátvoriek.
3. Vykonajte činnosť v zátvorkách.
4. Predstavte mocninu čísla ako násobenie a vypočítajte hodnotu mocniny čísla.
5. Vykonajte násobenie.

Riešenie:

Predstavme mocninu čísla takým spôsobom, aby sme mohli zo zátvorky vyňať spoločný činiteľ.

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek

2 5 3 + 3 5 2 = 5 2 (2 5 + 3)

Vykonajte akciu v zátvorkách.

(2 5 + 3) = (10 + 3) = 13

Predstavme si mocnosť čísla vo forme násobenia. Aby ste mohli vyjadriť silu čísla vo forme násobenia, musíte toto číslo vynásobiť samo o sebe toľkokrát, koľkokrát je obsiahnuté v exponente.

5 2 = 5 5 = 25

Vypočítajme hodnotu výrazu, berúc do úvahy to

Vykonáme násobenie v stĺpci, máme:

Možnosť druhej úlohy z Jednotnej štátnej skúšky 2017 (1)

Nájdite význam výrazu:

Riešenie:

V tejto úlohe je pohodlnejšie preniesť hodnoty do známejšieho tvaru, konkrétne zapísať čísla do čitateľa a menovateľa v štandardnom tvare:

Potom môžete deliť 24 6, výsledkom je 4.

Desať až štvrtá mocnina, keď sa vydelí desiatimi treťou mocninou, dáva desať prvej, alebo jednoducho desať, takže dostaneme:

Možnosť druhej úlohy z Jednotnej štátnej skúšky 2017 (2)

Nájdite význam výrazu:

Riešenie:

V tomto prípade by sme si mali uvedomiť, že číslo 6 v menovateli sa rozpočíta do faktorov 2 a 3 na mocninu 5:

Potom môžete vykonať zníženie stupňov pre dvoch: 6-5 = 1, pre troch: 8-5 = 3.

Teraz dáme kocku 3 a vynásobíme 2, dostaneme 54.

Možnosť pre druhú úlohu roku 2019 (1)

Vykonávací algoritmus

1. Aplikujte na čitateľa svätých síl (a x) y = a xy. Dostaneme 3-6.
2. Aplikujte na zlomky svätých síl a x /a y =a x–y.
3. Zvýšte 3 na výsledný výkon.

Riešenie:

(3 –3) 2 /3 –8 = 3 –6 /3 –8 = 3 –6–(–8)) = 3 –6+8 = 3 2 = 9

Možnosť pre druhú úlohu 2019 (2)

Vykonávací algoritmus

1. Pre stupeň používame v čitateli (14 9) (ab) x = a x b x. Rozložme 14 na súčin 2 a 7. Získame súčin mocnin so základmi 2 a 7.
2. Transformujme výraz na 2 zlomky, z ktorých každý bude obsahovať mocniny s rovnakými základmi.
3. Aplikujte na zlomky svätých síl a x /a y =a x–y.
4. Nájdeme výsledný produkt.

Riešenie:

14 9 / 2 7 7 8 = (2 7) 9 / 2 7 7 8 = 2 9 7 9 / 2 7 7 8 = 2 9–7 7 9–8 = 2 2 7 1 = 4 ·7 = 28

Možnosť pre druhú úlohu 2019 (3)

Vykonávací algoritmus

1. Zo zátvoriek vyberieme spoločný faktor 5 2 = 25.
2. Čísla v zátvorkách vynásobíme 2 a 5. Dostaneme 10.
3. V zátvorkách pridáme 10 a 3. Dostaneme 13.
4. Vynásobíme spoločný faktor 25 a 13.

Riešenie:

2 5 3 +3 5 2 = 5 2 (2 5+3) = 25 (10+3) = 25 13 = 325

Možnosť pre druhú úlohu 2019 (4)

Vykonávací algoritmus

1. Štvorec (–1). Dostaneme 1, pretože je zvýšená na párnu mocninu.
2. Zvýšte (–1) na 5. mocninu. Dostávame -1, pretože dôjde k zvýšeniu na nepárnu mocninu.
3. Vykonávame operácie násobenia.
4. Dostaneme rozdiel dvoch čísel. Nájdeme ju.

Riešenie:

6·(–1) 2 +4·(–1) 5 = 6·1+4·(–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Možnosť pre druhú úlohu 2019 (5)

Vykonávací algoritmus

1. Preveďme faktory 10 3 a 10 2 na celé čísla.
2. Súčin nájdeme posunutím desatinnej čiarky doprava o príslušný počet desatinných miest.
3. Nájdite výslednú sumu.