Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady

Príklady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Pri riešení akejkoľvek exponenciálnej rovnice sa ju snažíme dostať do tvaru \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) a potom prejsť na rovnosť ukazovateľov, teda:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Napríklad:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Dôležité! Z rovnakej logiky vyplývajú pre takýto prechod dve požiadavky:
- číslo v ľavá a pravá strana by mali byť rovnaké;
- stupne vľavo a vpravo musia byť "čisté", to znamená, že by nemali existovať žiadne, násobenia, delenie atď.

Napríklad:

Na uvedenie rovnice do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a sa používajú.

Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Riešenie:

Riešenie väčšiny matematických úloh je nejakým spôsobom spojené s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Týka sa to najmä riešenia. Vo variantoch USE v matematike tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen pre úspešné zloženie skúšky, ale aj z toho dôvodu, že sa vám táto zručnosť bude hodiť pri štúdiu matematického kurzu na vysokej škole.

Pri plnení úloh C3 musíte riešiť rôzne typy rovníc a nerovníc. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly (absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok pojednáva o hlavných typoch exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj o rôznych metódach ich riešenia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc v nadpise "" v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z USE variantov v matematike.

Pred pristúpením k analýze konkrétnych exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť niektoré teoretické materiály, ktoré budeme potrebovať.

Exponenciálna funkcia

Čo je to exponenciálna funkcia?

Funkcia zobrazenia r = a x, kde a> 0 a a≠ 1, tzv exponenciálna funkcia.

Hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie r = a x:

Graf exponenciálnej funkcie

Graf exponenciálnej funkcie je vystavovateľ:

Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)

Riešenie exponenciálnych rovníc

orientačné nazývané rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch akýchkoľvek mocnín.

Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:

Veta 1. exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a akcie so stupňami:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: použite vyššie uvedené vzorce a substitúciu:

Rovnica potom znie:

Diskriminant získanej kvadratickej rovnice je kladný:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:

Keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:

Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:

Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.

odpoveď: X = 3.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnica nemá žiadne obmedzenia na oblasť prípustných hodnôt, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).

Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:

Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.

odpoveď:X= 6.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je na svojom doméne striktne kladná). Potom má rovnica tvar:

odpoveď: X = 0.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:

Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.

odpoveď: X = 0.

Príklad 5 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3, stojace na pravej strane rovnice, klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne v jednom bode. V tomto prípade je ľahké uhádnuť, že grafy sa v bode pretínajú X= -1. Iné korene nebudú.

odpoveď: X = -1.

Príklad 6 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušujeme ekvivalentnými transformáciami, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a použitím pravidiel pre výpočet súčinu a čiastkových mocnín uvedených na začiatku článku:

odpoveď: X = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

orientačné nazývané nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:

Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то показательное неравенство a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti opačného významu: f(X) < g(X).

Príklad 7 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: predstavujú pôvodnú nerovnosť v tvare:

Vydeľte obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, a (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znamienko nerovnosti sa nezmení:

Použime náhradu:

Potom má nerovnosť tvar:

Takže riešením nerovnosti je interval:

prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:

Ľavá nerovnosť sa vzhľadom na pozitívnosť exponenciálnej funkcie splní automaticky. Pomocou známej vlastnosti logaritmu prejdeme k ekvivalentnej nerovnosti:

Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) bude prechod na nasledujúcu nerovnosť:

Tak sa konečne dočkáme odpoveď:

Príklad 8 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: pomocou vlastností násobenia a delenia mocnin prepíšeme nerovnosť do tvaru:

Predstavme si novú premennú:

Pri tejto substitúcii má nerovnosť podobu:

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7, dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:

Nerovnosť je teda splnená nasledujúcimi hodnotami premennej t:

Potom, keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:

Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, je ekvivalentné (podľa vety 2) prejsť na nerovnosť:

Konečne sa dostávame odpoveď:

Príklad 9 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Obe strany nerovnosti delíme výrazom:

Je vždy väčšia ako nula (pretože exponenciálna funkcia je kladná), takže znamienko nerovnosti nie je potrebné meniť. Dostaneme:

t , ktoré sú v intervale:

Prechodom na reverznú substitúciu zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:

Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:

Príklad 10 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora ohraničený hodnotou, ktorú dosahuje vo svojom vrchole:

Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2, ktoré sú v ukazovateli, smerujú nahor, čo znamená, že je zdola obmedzené hodnotou, ktorú dosahuje v hornej časti:

Zároveň sa ukáže, že funkcia je ohraničená zdola r = 3 X 2 -2X+2 na pravej strane rovnice. Svoju najmenšiu hodnotu dosiahne v rovnakom bode ako parabola v exponente a táto hodnota je 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá iba vtedy, ak funkcia vľavo a funkcia vpravo nadobúdajú hodnotu , rovný 3 (priesečník rozsahov týchto funkcií je len toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.

odpoveď: X= 1.

Aby ste sa naučili riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice, ich riešenie treba neustále trénovať. V tejto neľahkej úlohe vám môžu pomôcť rôzne učebné pomôcky, učebnice základných úloh z matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ale aj individuálne hodiny s profesionálnym lektorom. Úprimne vám želám úspech vo vašej príprave a skvelé výsledky na skúške.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to vôbec nemám čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.

Exponenciálna funkcia je zovšeobecnenie súčinu n čísel rovných a:
r (n) = a n = a a a a,
na množinu reálnych čísel x :
r (x) = x.
Tu a je pevné reálne číslo, ktoré sa nazýva základ exponenciálnej funkcie.
Nazýva sa aj exponenciálna funkcia so základom a exponenciálny k základu a.

Zovšeobecnenie sa uskutočňuje nasledovne.
Pre prirodzené x = 1, 2, 3,... , exponenciálna funkcia je súčinom x faktorov:
.
Okrem toho má vlastnosti (1,5-8) (), ktoré vyplývajú z pravidiel pre násobenie čísel. Pri nulových a záporných hodnotách celých čísel je exponenciálna funkcia určená vzorcami (1,9-10). Pre zlomkové hodnoty x = m/n racionálnych čísel, sa určuje podľa vzorca (1.11). V skutočnosti je exponenciálna funkcia definovaná ako limit postupnosti:
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel konvergujúcich k x : .
Pomocou tejto definície je exponenciálna funkcia definovaná pre všetky , a spĺňa vlastnosti (1,5-8), ako aj pre prirodzené x .

Dôkladná matematická formulácia definície exponenciálnej funkcie a dôkaz jej vlastností je uvedený na stránke "Definícia a dôkaz vlastností exponenciálnej funkcie".

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel () nasledujúce vlastnosti:
(1.1) je definovaný a spojitý, pre , pre všetkých ;
(1.2) keď a ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s inou mocninou:

Pre b = e dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie z hľadiska exponentu:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = x
pre štyri hodnoty stupňa základov:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidieť, že pre > 1 exponenciálna funkcia monotónne rastie. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. O 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Stúpajúci klesajúci

Exponenciálna funkcia at je prísne monotónna, takže nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota exponenciálnej funkcie so základom stupňa a je logaritmus k základu a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo na derivovanie komplexnej funkcie.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Na tento účel zavedieme premennú

Potom

Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z ):
.
Keďže je konštanta, derivácia z vzhľadom na x je
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivácia exponenciálnej funkcie

.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Príklad diferencovania exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y= 35 x

Riešenie

Základ exponenciálnej funkcie vyjadrujeme číslom e.
3 = e log 3
Potom
.
Zavádzame premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pretože 5ln 3 je konštanta, potom derivácia z vzhľadom na x je:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy v komplexných číslach

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Komplexnú konštantu a vyjadríme pomocou modulu r a argumentu φ :
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 pn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) je tiež nejednoznačný. Často sa považuje za jeho hlavný význam
.

Rozšírenie v sérii

.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V štádiu prípravy na záverečné testovanie si stredoškoláci potrebujú zdokonaliť vedomosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto stredoškoláci, bez ohľadu na úroveň ich prípravy, musia starostlivo ovládať teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Absolventi, ktorí sa naučili zvládať tento typ úloh, budú môcť počítať s vysokým skóre pri zložení skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie spolu so Shkolkovo!

Pri opakovaní preberaných látok sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Implementujeme úplne nový spôsob prípravy na záverečný test. Štúdiom na našej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť presne tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia školy "Shkolkovo" zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetok materiál potrebný na úspešné zloženie skúšky v najjednoduchšej a najdostupnejšej forme.

Hlavné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretický odkaz".

Pre lepšie osvojenie si učiva odporúčame precvičiť si zadania. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste porozumeli výpočtovému algoritmu. Potom pokračujte v úlohách v časti „Katalógy“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobili ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbené“. Môžete ich teda rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!