Susedné uhly v pravouhlom trojuholníku. Aké uhly sa nazývajú susedné, aký je súčet susedných uhlov

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia presná veda, ktorá sa povinne študuje na školách, vysokých školách, inštitútoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy stanovené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť ťažké úlohy a rodičia mu nevedia pomôcť, pretože jednoducho zabudli niektoré veci z matematiky. Napríklad, ako nájsť susedný uhol podľa hodnoty hlavného uhla atď. Úloha je jednoduchá, ale môže byť ťažké ju vyriešiť, pretože neviete, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Pozrime sa bližšie na definíciu a vlastnosti susedných rohov, ako aj na to, ako ich vypočítať z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných rohov

Dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu tvoria obrazec nazývaný "plochý uhol". V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak jeden z lúčov pokračuje ďalej ako začiatočný bod pozdĺž priamky, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

Priľahlé rohy majú spoločný vrchol a jednu stranu;
Súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov alebo pi, ak je výpočet v radiánoch;
Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť priľahlé rohy

Na nájdenie hodnoty susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty úloh

Udáva sa hodnota hlavného uhla;
Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Zvážme ich.

Vzhľadom na hodnotu hlavného uhla

Ak je v úlohe uvedená hodnota hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Na to stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto riešenie vychádza z vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.

Ak je hodnota hlavného uhla udaná v radiánoch a v úlohe je potrebné nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Vzhľadom na pomer hlavného a susedného uhla

V úlohe možno namiesto stupňov a radiánov veľkosti hlavného uhla uviesť pomer hlavného a susedného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

Podiel podielu hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
Podiel súvisiaci so susedným rohom je označený ako premenná "X".
Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, označujeme napríklad „a“.
Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
Spoločný činiteľ rovnice "a" nájdeme podľa vzorca a=180/(X+Y).
Potom získanú hodnotu spoločného činiteľa "a" vynásobíme zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom stačí previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch pi a vydeľte ho 180 stupňami. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Vzhľadom na hodnotu vertikálneho uhla

Ak v úlohe nie je uvedená hodnota hlavného uhla, ale je uvedená hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla .

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, no zároveň smeruje presne opačným smerom. Výsledkom je zrkadlový obraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte hodnotu vertikály od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si tiež prečítať naše užitočné články a.

1. Priľahlé rohy.

Ak pokračujeme stranou nejakého uhla za jeho vrchol, dostaneme dva uhly (obr. 72): ∠ABC a ∠CBD, v ktorých je jedna strana BC spoločná a ďalšie dva, AB a BD, tvoria priamku. .

Dva uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a ďalšie dva tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly možno získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neležiacej na danej priamke), tak získame susedné uhly.

Napríklad ∠ADF a ∠FDВ sú susedné uhly (obr. 73).

Priľahlé rohy môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže súčet dvoch susedných uhlov je 180°

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme hodnotu jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť hodnotu druhého susedného uhla.

Napríklad, ak jeden zo susedných uhlov je 54°, potom druhý uhol bude:

180° - 54° = 126°.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla.

Nech ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (obr. 76). ∠2 susediace s ním sa budú rovnať 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.j. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čo sú ∠3 a ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (obr. 77).

Vidíme, že ∠1 = ∠3 a ∠2 = ∠4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastnosti zvislých uhlov je potrebné overiť dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(keďže súčet susedných uhlov je 180°).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti je 180° a jej pravá strana je tiež 180°).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol s.

Ak od rovnakých hodnôt odpočítame rovnako, zostane rovnako. Výsledkom bude: ∠a = ∠b t.j. vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 sú ∠1, ∠2, ∠3 a ∠4 umiestnené na tej istej strane priamky a majú na tejto priamke spoločný vrchol. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na výkrese 80 majú ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 a ∠5 spoločný vrchol. Tieto uhly tvoria celý uhol, t.j. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Iné materiály

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú komplementárne lúče. Na obrázku 20 sú uhly AOB a BOC priľahlé.

Súčet susedných uhlov je 180°

Veta 1. Súčet susedných uhlov je 180°.

Dôkaz. Lúč OB (pozri obr. 1) prechádza medzi stranami rozvinutého uhla. Preto ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Z vety 1 vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú.

Vertikálne uhly sú rovnaké

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú komplementárnymi lúčmi strán druhého uhla. Uhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvorené v priesečníku dvoch priamok, sú vertikálne (obr. 2).

Veta 2. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Dôkaz. Zvážte vertikálne uhly AOB a COD (pozri obr. 2). Uhol BOD susedí s každým z uhlov AOB a COD. Podľa vety 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Dospeli sme teda k záveru, že ∠ AOB = ∠ COD.

Dôsledok 1. Uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.

Uvažujme dve pretínajúce sa priamky AC a BD (obr. 3). Tvoria štyri rohy. Ak je jeden z nich pravý (uhol 1 na obr. 3), potom sú aj ostatné uhly pravé (uhly 1 a 2, 1 a 4 susedia, uhly 1 a 3 sú vertikálne). V tomto prípade sa hovorí, že tieto čiary sa pretínajú v pravom uhle a nazývajú sa kolmé (alebo vzájomne kolmé). Kolmosť priamok AC a BD je označená nasledovne: AC ⊥ BD.

Kolmica úsečky je priamka kolmá na túto úsečku a prechádzajúca jej stredom.

AN - kolmá na čiaru

Uvažujme priamku a a bod A, ktorý na nej neleží (obr. 4). Spojte bod A úsečkou s bodom H priamkou a. Úsek AH sa nazýva kolmica vedená z bodu A k priamke a, ak sú priamky AN a a kolmé. Bod H sa nazýva základňa kolmice.

Kreslenie štvorca

Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 3. Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na priamke, možno nakresliť kolmicu na túto priamku a navyše iba jednu.

Na kreslenie kolmice z bodu na priamku na výkrese sa používa kresliaci štvorec (obr. 5).

Komentujte. Výrok vety sa zvyčajne skladá z dvoch častí. Jedna časť hovorí o tom, čo je dané. Táto časť sa nazýva podmienka vety. Druhá časť hovorí o tom, čo treba dokázať. Táto časť sa nazýva záver vety. Napríklad podmienkou vety 2 sú vertikálne uhly; záver - tieto uhly sú rovnaké.

Akákoľvek veta môže byť podrobne vyjadrená slovami, takže jej podmienka začína slovom „ak“ a záver slovom „potom“. Napríklad veta 2 môže byť podrobne vyjadrená takto: "Ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké."

Príklad 1 Jeden zo susedných uhlov je 44°. Čomu sa rovná ten druhý?

Riešenie. Označme mieru stupňa iného uhla x, potom podľa vety 1.
44° + x = 180°.
Pri riešení výslednej rovnice zistíme, že x \u003d 136 °. Preto je druhý uhol 136°.

Príklad 2 Nech je uhol CHSK na obrázku 21 45°. Aké sú uhly AOB a AOC?

Riešenie. Uhly COD a AOB sú vertikálne, preto podľa vety 1.2 sú rovnaké, t.j. ∠ AOB = 45°. Uhol AOC susedí s uhlom COD, teda podľa vety 1.
∠ AOC = 180 ° - ∠ CHSK = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Príklad 3 Nájdite susedné uhly, ak je jeden z nich 3-krát väčší ako druhý.

Riešenie. Označte mieru menšieho uhla x. Potom miera stupňa väčšieho uhla bude Zx. Keďže súčet susedných uhlov je 180° (Veta 1), potom x + 3x = 180°, odkiaľ x = 45°.
Takže susedné uhly sú 45° a 135°.

Príklad 4 Súčet dvoch vertikálnych uhlov je 100°. Nájdite hodnotu každého zo štyroch uhlov.

Riešenie. Podmienke problému zodpovedá obrázok 2. Vertikálne uhly COD k AOB sú rovnaké (Veta 2), čo znamená, že aj ich miery sú rovnaké. Preto ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (ich súčet je 100° podľa podmienky). Uhol BOD (tiež uhol AOC) susedí s uhlom COD, a preto podľa vety 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.
Na obrázku 31 sú rohy (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a 1 a a 2 sú ďalšie polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180°.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180°.
Dôkaz. Nech uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) sú dané susednými uhlami (pozri obr. 31). Lúč b prechádza medzi stranami a 1 a a 2 rozvinutého uhla. Preto sa súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovná rozvinutému uhlu, t.j. 180 °. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, uhly priľahlé k nim sú tiež rovnaké.
Odpoveď.

Z vety 2.1 Z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, uhly priľahlé k nim sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180°. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180° a c 1 d + c 2 d = 180°. Preto a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b a c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Pretože uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Z vlastnosti tranzitivity znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (akútny, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý uhol.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Otázka 6. Aké sú vertikálne uhly?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú zvislé, ak strany jedného uhla sú doplnkovými polpriamkami strán druhého uhla.

Otázka 7. Dokážte, že vertikálne uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech sú (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dané vertikálne uhly (obr. 34). Roh (a 1 b 2) susedí s rohom (a 1 b 1) a s rohom (a 2 b 2). Vetou o súčte susedných uhlov teda usudzujeme, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) na 180°, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak je na priesečníku dvoch priamok jeden z uhlov pravý, potom sú aj ostatné tri uhly pravé.
Odpoveď. Predpokladajme, že priamky AB a CD sa navzájom pretínajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90°. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, dostaneme, že AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Uhol COB je zvislý s uhlom AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90°. COA je vertikálne k BSK, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol BSK = 90°. Všetky uhly sa teda rovnajú 90 °, to znamená, že sú v poriadku. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamienko sa používa na označenie kolmosti čiar?
Odpoveď. Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená \(\perp\). Záznam \(a\perp b\) znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b".

Otázka 10. Dokážte, že cez ktorýkoľvek bod priamky možno nakresliť na ňu kolmú priamku, a to iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Cez každú čiaru môžete nakresliť čiaru kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná priamka a A je daný bod na nej. Označme a 1 jednu z polpriamok priamkou a s počiatočným bodom A (obr. 38). Od polpriamky a 1 odložte uhol (a 1 b 1) rovný 90°. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. Označme c 1 polpriamku tejto priamky ležiacu v rovnakej polrovine s lúčom b 1 .
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovný 90°, sú položené v jednej polrovine od polpriamky a 1 . Ale od polpriamky a 1 možno v tejto polrovine vyčleniť iba jeden uhol rovný 90°. Preto nemôže byť ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta bola dokázaná.

Otázka 11.Čo je to kolmica na priamku?
Odpoveď. Kolmica na danú priamku je úsečka kolmá na danú priamku, ktorá má jeden zo svojich koncov v ich priesečníku. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, čo je dôkaz protirečením.
Odpoveď. Metóda dôkazu, ktorú sme použili vo vete 2.3, sa nazýva dôkaz rozporu. Tento spôsob dôkazu spočíva v tom, že najprv urobíme predpoklad opačný k tomu, čo hovorí veta. Potom uvažovaním, spoliehajúc sa na axiómy a dokázané vety, dospejeme k záveru, ktorý odporuje buď podmienke vety, alebo jednej z axióm, alebo predtým dokázanej vete. Na základe toho sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, čo znamená, že tvrdenie vety je pravdivé.

Otázka 13.Čo je to osička uhla?
Odpoveď. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu.

Známa hodnota hlavného uhla α₁ = α2 = 180°-α.

Z tohto sú . Ak sú dva uhly susedné a rovnaké súčasne, potom sú to pravé uhly. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, to znamená, že je 90 stupňov, potom je druhý uhol tiež pravý. Ak je jeden zo susedných uhlov ostrý, druhý bude tupý. Podobne, ak je jeden z uhlov tupý, potom druhý bude ostrý.

Ostrý uhol je taký, ktorého miera je menšia ako 90 stupňov, ale väčšia ako 0. Tupý uhol má mieru väčšiu ako 90 stupňov, ale menšiu ako 180.

Ďalšia vlastnosť susedných uhlov je formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú. To znamená, že ak existujú dva uhly, pre ktoré je miera stupňov rovnaká (napríklad je to 50 stupňov) a zároveň jeden z nich má susedný uhol, potom hodnoty týchto susedných uhlov sa tiež zhodujú (v príklade bude ich miera stupňov 130 stupňov).

Zdroje:

Veľký encyklopedický slovník - Priľahlé rohy
180 stupňový uhol

Slovo "" má rôzne interpretácie. V geometrii je uhol časť roviny ohraničená dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu - vrcholu. Pokiaľ ide o rovné, ostré, rozvinuté uhly, myslia sa tým geometrické uhly.

Ako každý tvar v geometrii, aj uhly možno porovnávať. Rovnosť uhlov je určená pohybom. Uhol sa dá ľahko rozdeliť na dve rovnaké časti. Rozdelenie na tri časti je trochu náročnejšie, ale aj tak sa to dá zvládnuť pomocou pravítka a kružidla. Mimochodom, táto úloha sa zdala dosť náročná. Je geometricky jednoduché opísať, že jeden uhol je väčší alebo menší ako druhý.

Jednotkou merania uhlov je 1/180 rozšíreného uhla. Hodnota uhla je číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát uhol zvolený ako merná jednotka zapadá do príslušného obrázku.

Každý uhol má mieru väčšiu ako nula. Priamy uhol je 180 stupňov. Miera stupňov uhla sa považuje za rovnajúcu sa súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom v rovine ohraničenej jeho stranami.

Z ľubovoľného lúča k danej rovine môžete vyčleniť uhol s určitým stupňom nepresahujúcim 180 . Navyše bude existovať iba jeden takýto uhol. Miera plochého uhla, ktorý je súčasťou polroviny, je miera uhla s podobnými stranami. Mierou roviny uhla obsahujúcej polrovinu je hodnota 360 – α, kde α je miera stupňa doplnkového plochého uhla.

Miera stupňa uhla umožňuje prejsť od ich geometrického popisu k číselnému. Takže pravý uhol sa chápe ako uhol rovný 90 stupňom, tupý uhol je uhol menší ako 180 stupňov, ale väčší ako 90, ostrý uhol nepresahuje 90 stupňov.

Okrem stupňov existuje aj radiánová miera uhla. V planimetrii je dĺžka L, polomer r a zodpovedajúci stredový uhol je α. Navyše tieto parametre sú spojené vzťahom α = L/r. Toto je základ radiánovej miery uhlov. Ak L=r, potom sa uhol α bude rovnať jednému radiánu. Radiánová miera uhla je teda pomer dĺžky oblúka nakresleného ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k polomeru oblúka. Úplná rotácia v stupňoch (360 stupňov) zodpovedá 2π v radiánoch. Jedna je 57,2958 stupňov.

Podobné videá

Zdroje:

stupeň miera uhlov vzorec