Porovnanie v matematike - ako určiť, ktoré z čísel je väčšie alebo menšie. Porovnanie záporných čísel: pravidlo, príklady

Hodina matematiky v 6. V triede

Téma: "Porovnanie kladných a záporných čísel"

Typ lekcie: lekcia nastolujúca problém s učením

Formy práce: individuálny, čelný, parný kúpeľ, skupinový.

Vyučovacie metódy: verbálny, vizuálny, praktický, problematický.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor.

Ciele lekcie:

Kognitívne: sformulujte pravidlo na porovnávanie čísel s rôznymi znamienkami, naučte sa ho uviesť do praxe.

Metasubjekty vrátane:

Regulačné: stanoviť učebnú úlohu založenú na korelácii toho, čo už študenti vedia a naučili sa, a toho, čo je ešte neznáme; určiť postupnosť akcií na vyriešenie problému; opraviť výsledok s prihliadnutím na hodnotenie študenta, učiteľa, súdruhov; pochopiť kvalitu a úroveň asimilácie materiálu.

Komunikatívnosť: naučiť sa proaktívnej spolupráci pri hľadaní riešenia problému; naučiť sa vyjadrovať svoje myšlienky dostatočne úplne a presne v súlade s úlohami a podmienkami komunikácie.

Počas vyučovania

Motivácia.

Naďalej pracujeme s kladnými a zápornými číslami. Kladné čísla poznáme už dlho, najprv sme sa ich naučili porovnávať, potom vykonávať rôzne akcie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Myslíte si, že je možné vykonávať rovnaké operácie so zápornými číslami ako s kladnými? (odpoveď). Čo by ste sa chceli dnes v triede naučiť?

Stanovenie cieľov: Odvoďte pravidlo na porovnávanie čísel s rôznymi znamienkami a naučte sa ho aplikovať.

Aktualizácia základných vedomostí.

Úlohy na ústnu prácu:

Definujte modul.

Aké je znamenie čísel umiestnených na súradnicovej čiare vpravo od nuly? Vľavo od nuly?

Nájdite modul čísla 6,8; -3,5; 18,11; 0,03; -12.3

Vyhlásenie výchovnej úlohy.

Porovnajte moduly čísel

1. Ako porovnávať čísla pomocou súradnicovej čiary?

   Bod A na súradnicovej čiare sa nachádza naľavo od bodu B. Súradnica ktorého bodu je väčšia?

   Ktorý bod na súradnicovej čiare sa nachádza vľavo?

   1. A(0,6) alebo B(3,11)

Riešenie.

Na splnenie ďalšej úlohy sa rozdelíme do 5 skupín po 6 ľudí. Každá skupina musí porovnať čísla a odpovedať na otázky.

1. 2. 2 a -11

   3. -15 a 16

Primárne upevnenie.

Vymenujte päť rôznych čísel

veľká 0;

menšia 0;

menšie -5;

veľké -3;

veľké -11, ale menšie -3

Medzi susednými celými číslami je číslo 3,8; číslo -8.9

Zapíšte si všetky celé čísla nachádzajúce sa na súradnicovej čiare medzi číslami -2,5 a 6; medzi číslami -17,3 a -8,1

Napíšte čísla v poradí zostupne -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Stanovenie domácich úloh. položka 29, naučte sa pravidlo na porovnávanie kladných a záporných čísel, vyplňte č. 995, 996, 997, 999, 1000

Reflexia učebných činností v triede.

1. Aké ciele sme si dnes stanovili na lekcii, odpovedali sme na všetky položené otázky?

   Ako porovnávate kladné a záporné čísla?

   Ako porovnať dve záporné čísla?

   Vyplňte, prosím, hodnotiace karty pre dnešnú lekciu.

Porovnajte čísla pomocou súradnicovej čiary:

2. 2 a -11

3. -15 a 16

Odpovedzte na nasledujúce otázky:

Porovnajte dve kladné čísla

Porovnajte kladné číslo s nulou

Porovnajte záporné číslo s nulou

Porovnajte kladné a záporné čísla

Porovnajte dve záporné čísla

Záporné čísla sú čísla so znamienkom mínus (-), napríklad -1, -2, -3. Číta sa ako: mínus jeden, mínus dva, mínus tri.

Príklad aplikácie záporné čísla je teplomer ukazujúci teplotu tela, vzduchu, pôdy alebo vody. V zime, keď je vonku veľmi chladno, je teplota negatívna (alebo, ako sa hovorí, „mínus“).

Napríklad -10 stupňov chladu:

Zvyčajné čísla, ktoré sme uvažovali skôr, ako napríklad 1, 2, 3, sa nazývajú kladné. Kladné čísla sú čísla so znamienkom plus (+).

Pri písaní kladných čísel sa znamienko + nezapisuje, preto vidíme nám známe čísla 1, 2, 3. Treba však mať na pamäti, že tieto kladné čísla vyzerajú takto: +1, + 2, +3.

Toto je priamka, na ktorej sú umiestnené všetky čísla: záporné aj kladné. Nasledovne:

Tu sú zobrazené čísla od -5 do 5. V skutočnosti je súradnicová čiara nekonečná. Na obrázku je zobrazený len jeho malý fragment.

Čísla na súradnicovej čiare sú označené ako bodky. Na obrázku je východiskovým bodom tučná čierna bodka. Odpočítavanie začína od nuly. Naľavo od referenčného bodu sú označené záporné čísla a napravo kladné čísla.

Súradnicová čiara pokračuje neobmedzene na oboch stranách. Nekonečno sa v matematike označuje symbolom ∞. Záporný smer bude označený symbolom −∞ a pozitívny smer symbolom +∞. Potom môžeme povedať, že všetky čísla od mínus nekonečna do plus nekonečna sa nachádzajú na súradnicovej čiare:

Každý bod na súradnicovej čiare má svoj vlastný názov a súradnicu. názov je akékoľvek latinské písmeno. Koordinovať je číslo, ktoré udáva polohu bodu na tejto priamke. Jednoducho povedané, súradnica je rovnaké číslo, ktoré chceme označiť na súradnicovej čiare.

Napríklad bod A(2) znie ako "bod A so súradnicou 2" a bude na súradnicovej čiare označená takto:

Tu A je názov bodu, 2 je súradnica bodu A.

Príklad 2 Bod B(4) znie takto "bod B na súradnici 4"

Tu B je názov bodu, 4 je súradnica bodu b.

Príklad 3 Bod M(−3) sa číta ako "bod M so súradnicou mínus tri" a bude na súradnicovej čiare označená takto:

Tu M je názov bodu, −3 je súradnica bodu M .

Body môžu byť označené ľubovoľnými písmenami. Je však všeobecne akceptované označovať ich veľkými latinskými písmenami. Navyše začiatok správy, ktorá sa inak nazýva pôvodu zvyčajne sa označuje veľkým písmenom O

Je ľahké vidieť, že záporné čísla ležia naľavo od počiatku a kladné čísla napravo.

Existujú frázy ako "čím viac doľava, tým menej" a "čím viac vpravo, tým viac". Pravdepodobne ste už uhádli, o čom hovoríme. S každým krokom doľava sa číslo bude znižovať smerom nadol. A s každým krokom doprava sa číslo bude zvyšovať. Šípka smerujúca doprava označuje kladný smer počítania.

Porovnanie kladných a záporných čísel

Pravidlo 1 Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo.

Napríklad porovnajme dve čísla: −5 a 3. Mínus päť menej ako tri, napriek tomu, že päťka upúta na prvom mieste ako číslo väčšie ako tri.

Je to preto, že −5 je záporné a 3 kladné. Na súradnicovej čiare vidíte, kde sa nachádzajú čísla −5 a 3

Je vidieť, že −5 leží vľavo a 3 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva

−5 < 3

"Mínus päť je menej ako tri"

Pravidlo 2 Z dvoch záporných čísel je menšie to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare.

Napríklad porovnajme čísla -4 a -1. mínus štyri menej ako mínus jedna.

Je to opäť spôsobené tým, že na súradnicovej čiare −4 sa nachádza viac vľavo ako −1

Je vidieť, že -4 leží vľavo a -1 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že z dvoch záporných čísel je to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare, menšie. Z toho teda vyplýva

Mínus štyri je menej ako mínus jedna

Pravidlo 3 Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo.

Napríklad porovnajme 0 a -3. nula viac ako mínus tri. Je to spôsobené tým, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vpravo ako -3

Je vidieť, že 0 leží vpravo a −3 vľavo. A to sme povedali "čím viac vpravo, tým viac" . A pravidlo hovorí, že nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo. Z toho teda vyplýva

Nula je väčšia ako mínus tri

Pravidlo 4 Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo.

Napríklad porovnajte 0 a 4. Nula menej ako 4. V zásade je to jasné a pravdivé. Ale skúsime to vidieť na vlastné oči, opäť na súradnicovej čiare:

Je vidieť, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vľavo a 4 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva

Nula je menšia ako štyri

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

§ 1 Porovnanie kladných čísel

V tejto lekcii si zapamätáme, ako porovnávať kladné čísla a ako porovnávať záporné čísla.

Začnime úlohou. Cez deň bola teplota vzduchu +7 stupňov, večer klesla na +2 stupne, v noci klesla na -2 stupne a ráno klesla na -7 stupňov. Ako sa zmenila teplota vzduchu?

Problém je o znižovaní, t.j. o poklese teploty. To znamená, že v každom prípade je konečná hodnota teploty nižšia ako počiatočná, teda 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Na súradnicovej čiare označme čísla 7, 2, -2, -7. Pripomeňme si, že na súradnicovej čiare je väčšie kladné číslo umiestnené vpravo.

Pozrime sa na záporné čísla, číslo -2 je vpravo ako -7, t.j. pre záporné čísla na súradnicovej čiare sa zachová rovnaké poradie: keď sa bod posunie doprava, jeho súradnica sa zvýši a keď sa bod posunie doľava, jeho súradnica sa zníži.

Môžeme dospieť k záveru: Každé kladné číslo je väčšie ako nula a väčšie ako akékoľvek záporné číslo. 1 > 0; 12 > -2,5. Akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula a menšie ako akékoľvek kladné číslo. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Pomocou modulu je vhodné porovnávať racionálne čísla (teda všetky celé čísla a zlomkové čísla).

Kladné čísla sú umiestnené na súradnicovej čiare vzostupne od počiatku, čo znamená, že čím je číslo ďalej od počiatku, tým väčšia je dĺžka úseku od nuly po číslo, t.j. jeho modul. Preto z dvoch kladných čísel je väčšie to, ktorého modul je väčší.

§ 2 Porovnanie záporných čísel

Pri porovnávaní dvoch záporných čísel bude väčšie číslo umiestnené vpravo, teda bližšie k začiatku. To znamená, že jeho modul (dĺžka segmentu od nuly po číslo) bude menší. Z dvoch záporných čísel je teda to s menším modulom väčšie.

Napríklad. Porovnajme čísla -1 a -5. Bod zodpovedajúci číslu -1 sa nachádza bližšie k začiatku ako bod zodpovedajúci číslu -5. Takže dĺžka segmentu od 0 do -1 alebo modul čísla -1 je menší ako dĺžka segmentu od 0 do -5 alebo modul čísla -5, čo znamená, že číslo -1 je väčšie než číslo -5.

Robíme závery:

Pri porovnávaní racionálnych čísel venujte pozornosť:

Znamienka: Záporné číslo je vždy menšie ako kladné číslo a nula;

Na mieste na súradnicovej čiare: čím viac doprava, tým viac;

Na moduloch: pre kladné čísla je modul väčší a číslo je väčšie, pre záporné čísla je modul väčší a číslo je menšie.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika.6.ročník: plány hodín k učebnici od I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematická príručka - http://lyudmilanik.com.ua
5. Príručka pre študentov stredných škôl http://shkolo.ru

Prvá úroveň

Porovnanie čísel. Komplexný sprievodca (2019)

Pri riešení rovníc a nerovníc, ako aj problémov s modulmi, je potrebné nájsť nájdené korene na skutočnej čiare. Ako viete, nájdené korene môžu byť rôzne. Môžu byť takéto:, alebo môžu byť takéto:,.

Preto, ak čísla nie sú racionálne, ale iracionálne (ak ste zabudli, čo to je, pozrite sa do témy), alebo sú to zložité matematické výrazy, potom je ich umiestnenie na číselnú os veľmi problematické. Navyše pri skúške nemožno použiť kalkulačky a približný výpočet neposkytuje 100% záruku, že jedno číslo je menšie ako druhé (čo ak je medzi porovnávanými číslami rozdiel?).

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy väčšie ako záporné a že ak predstavujeme číselnú os, potom pri porovnaní budú najväčšie čísla vpravo ako najmenšie: ; ; atď.

Ale je to vždy také ľahké? Kde na číselnej osi označíme .

Ako ich porovnať napríklad s číslom? V tom je problém...)

Na začiatok si povedzme všeobecne, ako a čo porovnávať.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a je zakázanéštvorec, ak je jedna z častí záporná.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dva zlomky: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

Napíšme to ako obyčajný zlomok:

- (ako vidíte, znížil som aj o čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní aj dvoma spôsobmi. Môžeme:

1. len zredukujte všetko na spoločného menovateľa, pričom oba zlomky predstavte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):

   Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten, ktorého čitateľ je väčší, teda ten prvý.

2. „zahodiť“ (predpokladajme, že sme odpočítali jeden od každého zlomku a pomer zlomkov k sebe sa nezmenil) a zlomky porovnáme:

   Prinášame ich aj spoločnému menovateľovi:

   Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade – prvé číslo je väčšie ako druhé:

   Skontrolujme aj to, či sme správne odčítali jeden? Vypočítajme rozdiel v čitateli v prvom a druhom výpočte:
   1)
   2)

Takže sme sa pozreli na to, ako porovnať zlomky a priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Prejdime k inej metóde – porovnávaniu zlomkov ich privedením do spoločného ... čitateľa.

Možnosť 2. Porovnanie zlomkov redukciou na spoločného čitateľa.

Áno áno. Toto nie je preklep. V škole sa táto metóda učia len zriedka, ale veľmi často je to veľmi pohodlné. Aby ste rýchlo pochopili jeho podstatu, položím vám iba jednu otázku - "v ktorých prípadoch je hodnota zlomku najväčšia?" Samozrejme, poviete "keď je čitateľ čo najväčší a menovateľ čo najmenší."

Určite si napríklad poviete, že Pravda? A ak potrebujeme porovnať takéto zlomky: Myslím, že aj vy okamžite správne umiestnite znamenie, pretože v prvom prípade sú rozdelené na časti a v druhom na celé, čo znamená, že v druhom prípade sú kúsky veľmi malé, a teda:. Ako vidíte, menovatelia sú tu rôzni, no čitatelia sú rovnakí. Na porovnanie týchto dvoch zlomkov však nemusíte hľadať spoločného menovateľa. Hoci ... nájdite ho a zistite, či je porovnávacie znamienko stále nesprávne?

Ale znamenie je rovnaké.

Vráťme sa k našej pôvodnej úlohe – porovnávať a. Porovnáme a Tieto zlomky neprivádzame do spoločného menovateľa, ale do spoločného čitateľa. Na to je to jednoduché čitateľ a menovateľ vynásobte prvý zlomok. Dostaneme:

a. Ktorý zlomok je väčší? Presne tak, ten prvý.

Možnosť 3. Porovnávanie zlomkov pomocou odčítania.

Ako porovnávať zlomky pomocou odčítania? Áno, veľmi jednoduché. Od jedného zlomku odčítame ďalší. Ak je výsledok kladný, potom je prvý zlomok (redukovaný) väčší ako druhý (odčítaný) a ak je záporný, potom naopak.

V našom prípade skúsme odpočítať prvý zlomok od druhého: .

Ako ste už pochopili, preložíme aj do obyčajného zlomku a získame rovnaký výsledok -. Náš výraz sa stáva:

Ďalej sa ešte musíme uchýliť k redukcii na spoločného menovateľa. Otázkou je ako: prvým spôsobom prevod zlomkov na nesprávne, alebo druhým, akoby „odstránením“ jednotky? Mimochodom, táto akcia má úplne matematické opodstatnenie. Pozri:

Viac sa mi páči druhá možnosť, pretože násobenie v čitateli pri redukovaní na spoločného menovateľa je mnohokrát jednoduchšie.

Prinášame spoločného menovateľa:

Hlavná vec je nenechať sa zmiasť, z akého čísla a odkiaľ sme odpočítali. Pozorne si prezrite priebeh riešenia a nenechajte si náhodou pomýliť znamienka. Odpočítali sme prvé od druhého čísla a dostali sme zápornú odpoveď, takže? .. Je to tak, prvé číslo je väčšie ako druhé.

Mám to? Skúste porovnať zlomky:

Stop, stop. Neponáhľajte sa priviesť k spoločnému menovateľovi alebo odpočítať. Pozrite sa: dá sa ľahko previesť na desatinný zlomok. Koľko to bude? správne. Čo nakoniec bude viac?

Toto je ďalšia možnosť - porovnávanie zlomkov zmenšením na desatinné miesto.

Možnosť 4. Porovnávanie zlomkov pomocou delenia.

Áno áno. A tak je to tiež možné. Logika je jednoduchá: keď delíme väčšie číslo menším, dostaneme v odpovedi číslo väčšie ako jedna a ak menšie číslo vydelíme väčším, tak odpoveď pripadá na interval od do.

Aby ste si toto pravidlo zapamätali, zoberte si na porovnanie ľubovoľné dve prvočísla, napríklad a. Vieš čo je viac? Teraz rozdeľme podľa. Naša odpoveď je. Podľa toho je teória správna. Ak vydelíme, to, čo dostaneme, je menej ako jedna, čo zase potvrdzuje, čo je v skutočnosti menej.

Skúsme toto pravidlo aplikovať na obyčajné zlomky. Porovnaj:

Vydeľte prvý zlomok druhým:

Skracujeme po a po.

Výsledok je menší, takže dividenda je menšia ako deliteľ, to znamená:

Analyzovali sme všetky možné možnosti porovnávania zlomkov. Ako vidíte, je ich 5:

• redukcia na spoločného menovateľa;
• redukcia na spoločného čitateľa;
• zmenšenie na tvar desatinného zlomku;
• odčítanie;
• divízie.

Pripravený na cvičenie? Porovnajte zlomky najlepším spôsobom:

Porovnajme odpovede:

1. (- previesť na desatinné číslo)
2. (rozdeľte jeden zlomok druhým a znížte o čitateľa a menovateľa)
3. (vyberte celú časť a porovnajte zlomky podľa princípu rovnakého čitateľa)
4. (rozdeľte jeden zlomok druhým a zredukujte čitateľom a menovateľom).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, kde je stupeň ().

Samozrejme, môžete ľahko umiestniť znamenie:

Koniec koncov, ak nahradíme stupeň násobením, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Teraz skúste porovnať nasledovné: . Môžete tiež ľahko umiestniť znak:

Pretože ak nahradíme umocňovanie násobením...

Vo všeobecnosti rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti vznikajú len vtedy, keď majú stupne pri porovnaní rôzne základy a ukazovatele. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa priviesť k spoločnému základu. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má formu:

Otvorme zátvorky a porovnajme, čo sa stane:

Trochu zvláštny prípad je, keď základňa stupňa () je menšia ako jedna.

Ak teda o dva stupne alebo viac, ten, ktorého indikátor je menší.

Skúsme toto pravidlo dokázať. Nechaj.

Zavedieme nejaké prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Logické, nie?

Teraz venujme pozornosť podmienke - .

Respektíve: . V dôsledku toho, .

Napríklad:

Ako ste pochopili, zvažovali sme prípad, keď sú základy síl rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v rozsahu od do, ale exponenty sú rovnaké. Všetko je tu veľmi jednoduché.

Pripomeňme si, ako to porovnať s príkladom:

Samozrejme, rýchlo ste vypočítali:

Preto, keď na porovnanie narazíte na podobné problémy, majte na pamäti nejaký jednoduchý podobný príklad, ktorý viete rýchlo vypočítať, a na základe tohto príkladu položte znamienka do zložitejšieho.

Pri vykonávaní transformácií nezabudnite, že ak násobíte, sčítate, odčítate alebo delíte, všetky akcie sa musia vykonať na ľavej aj pravej strane (ak násobíte, musíte vynásobiť obe).

Okrem toho sú chvíle, keď je vykonávanie akýchkoľvek manipulácií jednoducho nerentabilné. Napríklad je potrebné porovnávať. V tomto prípade nie je také ťažké zvýšiť silu a usporiadať znamenie na základe toho:

Poďme cvičiť. Porovnajte stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? To som urobil:

1. - rovnake ako
2. - rovnake ako
3. - rovnake ako
4. - rovnake ako

3. Porovnanie čísel s odmocninou

Začnime tým, čo sú korene? Pamätáte si tento záznam?

Koreň reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

Korene pre záporné a kladné čísla existuje nepárny stupeň a dokonca aj korene- Len pozitívne.

Hodnota odmocniny je často nekonečná desatinná čiarka, čo sťažuje jej presný výpočet, preto je dôležité vedieť porovnať odmocniny.

Ak ste zabudli, čo to je a s čím sa to jedáva -. Ak si všetko pamätáte, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Na porovnanie týchto dvoch koreňov nemusíte robiť žiadne výpočty, stačí analyzovať samotný pojem „root“. Chápem, o čom hovorím? Áno, o tomto: inak sa to dá zapísať ako tretia mocnina nejakého čísla, ktorá sa rovná koreňovému výrazu.

Co viac? alebo? To, samozrejme, môžete bez problémov porovnávať. Čím väčšie číslo zvýšime na mocninu, tým väčšia bude hodnota.

Takže. Zoberme si pravidlo.

Ak sú exponenty koreňov rovnaké (v našom prípade je to tak), potom je potrebné porovnať koreňové výrazy (a) - čím väčšie je číslo koreňa, tým väčšia je hodnota koreňa pri rovnakých ukazovateľoch.

Ťažko zapamätateľné? Potom už len majte na pamäti príklad a. To viac?

Exponenty koreňov sú rovnaké, pretože koreň je štvorcový. Koreňový výraz jedného čísla () je väčší ako druhý (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Ale čo ak sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú odlišné? Napríklad: .

Je tiež celkom jasné, že pri extrakcii koreňa väčšieho stupňa sa získa menšie číslo. Vezmime si napríklad:

Označte hodnotu prvého koreňa ako a druhého - ako, potom:

Môžete ľahko vidieť, že v týchto rovniciach by malo byť viac, preto:

Ak sú koreňové výrazy rovnaké(v našom prípade), a exponenty koreňov sú rôzne(v našom prípade je to a), potom je potrebné porovnať exponenty(a) - čím väčší exponent, tým menší daný výraz.

Skúste porovnať nasledujúce korene:

Porovnáme výsledky?

S týmto sme sa úspešne vysporiadali :). Vynára sa ďalšia otázka: čo ak sme každý iný? A stupeň a radikálne vyjadrenie? Nie všetko je také ťažké, len sa potrebujeme ... "zbaviť" koreňa. Áno áno. Zbaviť sa toho.)

Ak máme rôzne stupne a radikálne výrazy, musíme nájsť najmenší spoločný násobok (prečítaj si časť o) pre koreňové exponenty a umocniť oba výrazy na mocninu rovnajúcu sa najmenšiemu spoločnému násobku.

Že sme všetci v slovách a v slovách. Tu je príklad:

1. Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Ich najmenší spoločný násobok je .
2. Uveďme oba výrazy na mocninu:
3. Transformujme výraz a rozviňme zátvorky (podrobnejšie v kapitole):
4. Uvažujme, čo sme urobili, a dajme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Pomaly, ale isto sme sa teda dostali k otázke, ako porovnávať logaritmy. Ak si nepamätáte, o aký druh zvieraťa ide, odporúčam vám, aby ste si najskôr prečítali teóriu z tejto časti. Čítať? Potom odpovedzte na niekoľko dôležitých otázok:

1. Aký je argument logaritmu a aký je jeho základ?
2. Čo určuje, či funkcia rastie alebo klesá?

Ak si všetko pamätáte a dobre ste sa to naučili - začnime!

Aby ste mohli navzájom porovnávať logaritmy, potrebujete poznať iba 3 triky:

• redukcia na rovnaký základ;
• vrhanie na rovnaký argument;
• porovnanie s tretím číslom.

Najprv venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia sa znižuje a ak je väčšia, zvyšuje sa. Na tom sa budú zakladať naše úsudky.

Zvážte porovnanie logaritmov, ktoré už boli zredukované na rovnaký základ alebo argument.

Na začiatok si problém zjednodušíme: vpustite porovnávané logaritmy rovnaké dôvody. potom:

1. Funkcia, keď sa zvyšuje v intervale od, znamená podľa definície potom („priame porovnanie“).
2. Príklad:- základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , teda:
3. Funkcia at klesá v intervale od, čo podľa definície znamená potom („spätné porovnanie“). - základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , avšak znamienko logaritmov bude „obrátené“, pretože funkcia klesá: .

Teraz zvážte prípady, keď sú základy odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

1. Základňa je väčšia.
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnávame základy: znamienko logaritmov však bude „obrátené“:
2. Základ a je medzi tým.
   • . V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad:

Zapíšme si všetko vo všeobecnej tabuľkovej forme:

V súlade s tým, ako ste už pochopili, pri porovnávaní logaritmov musíme priviesť k rovnakému základu alebo argumentu, Dostaneme sa k rovnakému základu pomocou vzorca na prechod z jedného základu na druhý.

Môžete tiež porovnať logaritmy s tretím číslom a na základe toho odvodiť, čo je menej a čo viac. Zamyslite sa napríklad nad tým, ako porovnať tieto dva logaritmy?

Malá nápoveda - pre porovnanie vám veľmi pomôže logaritmus, ktorého argument bude rovnaký.

Myšlienka? Rozhodnime sa spolu.

Tieto dva logaritmy môžeme ľahko porovnať s vami:

Nevieš ako? Viď vyššie. Len sme to rozobrali. Aké znamenie tam bude? správne:

Súhlasím?

Porovnajme medzi sebou:

Mali by ste získať nasledovné:

Teraz spojte všetky naše závery do jedného. Stalo?

5. Porovnanie goniometrických výrazov.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens? Na čo slúži jednotkový kruh a ako na ňom nájsť hodnotu goniometrických funkcií? Ak nepoznáte odpovede na tieto otázky, vrelo odporúčam prečítať si teóriu na túto tému. A ak viete, potom porovnávanie goniometrických výrazov medzi sebou nie je pre vás ťažké!

Poďme si trochu osviežiť pamäť. Narysujme jednotkový trigonometrický kruh a do neho vpísaný trojuholník. Zvládli ste to? Teraz pomocou strán trojuholníka označte, na ktorej strane máme kosínus a na ktorej sínus. (Samozrejme, pamätáte si, že sínus je pomer opačnej strany k prepone a kosínus susednej?). Kreslili ste? Výborne! Posledný dotyk - dať dole, kde to budeme mať, kde a podobne. Položiť? Fuj) Porovnaj, čo sa stalo mne a tebe.

Fíha! Teraz začnime porovnávať!

Predpokladajme, že musíme porovnať a . Nakreslite tieto uhly pomocou výziev v rámčekoch (kde máme označené kde) a rozložte body na jednotkovej kružnici. Zvládli ste to? To som urobil.

Teraz spustíme kolmicu z bodov, ktoré sme označili na kruhu, na os ... Ktorú? Ktorá os ukazuje hodnotu sínusov? Správne, . Tu je to, čo by ste mali dostať:

Pri pohľade na toto číslo, ktoré je väčšie: alebo? Samozrejme, lebo pointa je nad pointou.

Podobne porovnávame hodnotu kosínusov. Spúšťame len kolmicu na os ... Vpravo, . Podľa toho sa pozrieme na to, ktorý bod je napravo (dobre alebo vyššie, ako v prípade sínusov), potom je hodnota väčšia.

Porovnávať tangenty už asi viete, však? Všetko, čo potrebujete vedieť, je to, čo je dotyčnica. Čo je teda dotyčnica?) Správne, pomer sínusu ku kosínusu.

Na porovnanie dotyčníc nakreslíme aj uhol, ako v predchádzajúcom prípade. Povedzme, že musíme porovnať:

Kreslili ste? Teraz tiež označíme hodnoty sínusu na súradnicovej osi. Poznamenané? A teraz uveďte hodnoty kosínusu na súradnicovej čiare. Stalo? Porovnajme:

Teraz analyzujte, čo ste napísali. - veľký segment rozdelíme na malý. Odpoveďou bude hodnota, ktorá je presne väčšia ako jedna. Správny?

A keď si rozdelíme malú na veľkú. Odpoveďou bude číslo, ktoré je presne menšie ako jedna.

Hodnota ktorého goniometrického výrazu je teda väčšia?

správne:

Ako ste teraz pochopili, porovnanie kotangens je rovnaké, len naopak: pozeráme sa na to, ako spolu súvisia segmenty, ktoré definujú kosínus a sínus.

Skúste sami porovnať nasledujúce trigonometrické výrazy:

Príklady.

Odpovede.

POROVNANIE ČÍSEL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ.

Ktoré z čísel je väčšie: alebo? Odpoveď je zrejmá. A teraz: alebo? Už to nie je také zrejmé, však? A tak: alebo?

Často potrebujete vedieť, ktorý z číselných výrazov je väčší. Napríklad pri riešení nerovnosti umiestnite body na os v správnom poradí.

Teraz vás naučím porovnávať takéto čísla.

Ak potrebujete porovnať čísla a vložte medzi ne znamienko (odvodené z latinského slova Versus alebo skrátené vs. - proti):. Toto znamienko nahrádza neznáme znamienko nerovnosti (). Ďalej budeme vykonávať identické transformácie, kým nebude jasné, ktoré znamienko by sa malo vložiť medzi čísla.

Podstata porovnávania čísel je nasledovná: so znamienkom zaobchádzame, akoby to bol nejaký druh znamienka nerovnosti. A s výrazom môžeme robiť všetko, čo zvyčajne robíme s nerovnosťami:

• pripočítajte k obom častiam ľubovoľné číslo (a samozrejme môžeme aj odčítať)
• „posuňte všetko jedným smerom“, teda odčítajte jeden z porovnávaných výrazov z oboch častí. Na mieste odčítaného výrazu zostane: .
• vynásobte alebo vydeľte rovnakým číslom. Ak je toto číslo záporné, znamienko nerovnosti sa obráti: .
• Zvýšte obe strany na rovnakú silu. Ak je táto mocnina párna, musíte sa uistiť, že obe časti majú rovnaké znamienko; ak sú obe časti kladné, znamienko sa pri umocnení nemení, a ak sú záporné, mení sa na opačný.
• vezmite koreň rovnakého stupňa z oboch častí. Ak extrahujeme koreň párneho stupňa, musíte sa najskôr uistiť, že oba výrazy sú nezáporné.
• akékoľvek iné ekvivalentné transformácie.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a nie je možné vykonať druhú mocninu, ak je jedna z častí záporná.

Pozrime sa na niekoľko typických situácií.

1. Umocňovanie.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Keďže obe strany nerovnosti sú kladné, môžeme použiť druhú mocninu, aby sme sa zbavili koreňa:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Aj tu môžeme odmocniť, ale to nám len pomôže zbaviť sa odmocniny. Tu je potrebné zvýšiť do takej miery, že oba korene zmiznú. To znamená, že exponent tohto stupňa musí byť deliteľný aj (stupeň prvého odmocniny) aj čím. Toto číslo je, takže ho zvýšime na tú mocninu:

2. Násobenie konjugátom.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Vynásobte a vydeľte každý rozdiel konjugovaným súčtom:

Je zrejmé, že menovateľ na pravej strane je väčší ako menovateľ na ľavej strane. Preto je pravý zlomok menší ako ľavý:

3. Odčítanie

Zapamätajme si to.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Samozrejme, mohli by sme všetko urovnať, preskupiť a znova vyrovnať. Môžete však urobiť niečo inteligentnejšie:

Je vidieť, že každý výraz na ľavej strane je menší ako každý výraz na pravej strane.

Súčet všetkých výrazov na ľavej strane je teda menší ako súčet všetkých výrazov na pravej strane.

Ale buď opatrný! Pýtali sme sa viac...

Pravá strana je väčšia.

Príklad.

Porovnajte čísla a.

Riešenie.

Pamätajte na trigonometrické vzorce:

Skontrolujeme, v ktorých štvrtinách sú body a ľahneme si na trigonometrickú kružnicu.

4. Rozdelenie.

Aj tu používame jednoduché pravidlo: .

Teda s alebo.

Keď sa zmení znamenie: .

Príklad.

Urobte porovnanie: .

Riešenie.

5. Porovnajte čísla s tretím číslom

Ak a, potom (zákon prechodnosti).

Príklad.

Porovnaj.

Riešenie.

Porovnávajme čísla nie medzi sebou, ale s číslom.

To je zrejmé.

Na druhej strane, .

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Obe čísla sú väčšie, ale menšie. Vyberte číslo také, aby bolo väčšie ako jedno, ale menšie ako druhé. Napríklad, . Skontrolujme to:

6. Čo robiť s logaritmami?

Nič zvláštne. Ako sa zbaviť logaritmov je podrobne popísané v téme. Základné pravidlá sú:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Šípka doľava doprava (\rm( ))\doľava[ (\begin(pole)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Môžeme tiež pridať pravidlo o logaritmoch s rôznymi základňami a rovnakým argumentom:

Dá sa to vysvetliť takto: čím väčšia je základňa, tým menej bude musieť byť zdvihnutá, aby sa získala rovnaká. Ak je základňa menšia, potom je to naopak, pretože príslušná funkcia je monotónne klesajúca.

Príklad.

Porovnajte čísla: i.

Riešenie.

Podľa vyššie uvedených pravidiel:

A teraz pokročilý vzorec.

Pravidlo na porovnávanie logaritmov možno napísať aj kratšie:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Príklad.

Porovnaj, ktoré z čísel je väčšie: .

Riešenie.

POROVNANIE ČÍSEL. STRUČNE O HLAVNOM

1. Umocňovanie

Ak sú obe strany nerovnosti kladné, možno ich odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa

2. Násobenie konjugátom

Konjugát je násobiteľ, ktorý dopĺňa výraz do vzorca pre rozdiel druhých mocnín: - konjugát pre a naopak, pretože .

3. Odčítanie

4. Rozdelenie

At alebo to je

Keď sa zmení znamenie:

5. Porovnanie s tretím číslom

Ak a potom

6. Porovnanie logaritmov

Základné pravidlá.

Definícia 1. Ak dve čísla 1) a a b pri delení podľa p dať rovnaký zvyšok r, potom sa takéto čísla nazývajú ekvidištantné resp porovnateľné v moduloch p.

Vyhlásenie 1. Nechaj p nejaké kladné číslo. Potom ľubovoľné číslo a vždy a navyše jedinečným spôsobom môže byť zastúpený vo forme

Ale tieto čísla možno získať dopytovaním r rovná sa 0, 1, 2,..., p-1. V dôsledku toho sp+r=a berie všetky možné celočíselné hodnoty.

Ukážme, že táto reprezentácia je jedinečná. Predstierajme to p môžu byť reprezentované dvoma spôsobmi a=sp+r a a=s 1 p+r jeden . Potom

(2)

Pretože r 1 má jedno z čísel 0,1, ..., p−1, potom absolútna hodnota r 1 −r menej p. Ale z (2) vyplýva, že r 1 −r viacnásobný p. V dôsledku toho r 1 =r a s 1 =s.

číslo r volal mínusčísla a modulo p(inými slovami, číslo r volal zvyšok delenia čísla a na p).

Vyhlásenie 2. Ak dve čísla a a b porovnateľný modul p, potom a-b deleno p.

Naozaj. Ak dve čísla a a b porovnateľný modul p, potom pri delení p majú rovnaký zvyšok p. Potom

deleno p, pretože pravá strana rovnice (3) je vydelená p.

Vyhlásenie 3. Ak je rozdiel dvoch čísel deliteľný p, potom sú tieto čísla porovnateľné modulo p.

Dôkaz. Označiť podľa r a r 1 zvyšok z rozdelenia a a b na p. Potom

Príklady 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Z prvého príkladu vyplýva, že 25 pri delení 7 dáva rovnaký zvyšok ako 39. Skutočne, 25=3 7+4 (zvyšok 4). 39=3 7+4 (zvyšok 4). Pri zvažovaní druhého príkladu majte na pamäti, že zvyšok musí byť nezáporné číslo menšie ako modul (t.j. 4). Potom môžeme napísať: −18=−5 4+2 (zvyšok 2), 14=3 4+2 (zvyšok 2). Preto −18 pri delení 4 zostáva zvyšok 2 a 14 pri delení 4 zostáva zvyšok 2.

Vlastnosti modulových porovnaní

Nehnuteľnosť 1. Pre hocikoho a a p vždy

porovnávanie nie je vždy potrebné

kde λ je najväčší spoločný deliteľ čísel m a p.

Dôkaz. Nechaj λ najväčší spoločný deliteľ čísel m a p. Potom

Pretože m(a-b) deleno k, potom

V dôsledku toho

a m je jedným z deliteľov čísla p, potom

kde h=pqs.

Všimnite si, že môžeme povoliť porovnania v negatívnych moduloch, t.j. porovnanie a≡b mod( p) v tomto prípade znamená, že rozdiel a-b deleno p. Všetky vlastnosti porovnaní zostávajú platné pre negatívne moduly.