Mocenské výrazy (výrazy s mocninami) a ich premena. Číselné, abecedné a variabilné výrazy: definície, príklady Ochrana osobných údajov

Doslovný výraz (alebo premenný výraz) je matematický výraz, ktorý pozostáva z čísel, písmen a matematických symbolov. Napríklad nasledujúci výraz je doslovný:

a+b+4

Pomocou abecedných výrazov môžete písať zákony, vzorce, rovnice a funkcie. Schopnosť manipulovať s výrazmi písmen je kľúčom k dobrým znalostiam algebry a vyššej matematiky.

Akýkoľvek vážny problém v matematike sa týka riešenia rovníc. A aby ste mohli riešiť rovnice, musíte vedieť pracovať s doslovnými výrazmi.

Ak chcete pracovať s doslovnými výrazmi, musíte sa dobre orientovať v základnej aritmetike: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, základné matematické zákony, zlomky, operácie so zlomkami, proporcie. A nielen študovať, ale dôkladne pochopiť.

Premenné

Písmená, ktoré sú obsiahnuté v doslovných výrazoch, sa nazývajú premenných. Napríklad vo výraze a+b+ 4 premenné sú písmená a A b. Ak namiesto týchto premenných dosadíme akékoľvek čísla, potom doslovný výraz a+b+ 4 sa zmení na číselný výraz, ktorého hodnotu možno nájsť.

Zavolajú sa čísla, ktoré sú nahradené premennými hodnoty premenných. Napríklad zmeňme hodnoty premenných a A b. Znamienko rovnosti sa používa na zmenu hodnôt

a = 2, b = 3

Zmenili sme hodnoty premenných a A b. Variabilné a priradená hodnota 2 , variabilný b priradená hodnota 3 . V dôsledku toho doslovný výraz a+b+4 sa zmení na regulárny číselný výraz 2+3+4 ktorých hodnotu možno nájsť:

Keď sa premenné vynásobia, zapíšu sa spolu. Napríklad záznam ab znamená to isté ako záznam a×b. Ak dosadíme premenné a A bčísla 2 A 3 , potom dostaneme 6

Môžete tiež napísať spolu násobenie čísla výrazom v zátvorke. Napríklad namiesto toho a×(b + c) dá sa zapísať a(b + c). Aplikovaním distribučného zákona násobenia dostaneme a(b + c)=ab+ac.

Odds

V doslovných výrazoch často nájdete zápis, v ktorom sa napríklad číslo a premenná píšu spolu 3a. Toto je vlastne skratka pre násobenie čísla 3 premennou. a a tento vstup vyzerá 3×a .

Inými slovami, výraz 3a je súčin čísla 3 a premennej a. číslo 3 v tejto práci volajú koeficient. Tento koeficient ukazuje, koľkokrát sa premenná zvýši a. Tento výraz možno čítať ako „ a trikrát“ alebo „trikrát A", alebo "zvýšiť hodnotu premennej a trikrát“, ale najčastejšie sa číta ako „tri a«

Napríklad, ak premenná a rovná 5 , potom hodnotu výrazu 3a sa bude rovnať 15.

3 × 5 = 15

Zjednodušene povedané, koeficient je číslo, ktoré sa nachádza pred písmenom (pred premennou).

Môže tam byť viacero písmen, napr 5abc. Tu je koeficient číslo 5 . Tento koeficient ukazuje, že súčin premenných abc zvyšuje päťnásobne. Tento výraz možno čítať ako „ abc päťkrát“ alebo „zvýšiť hodnotu výrazu abc päťkrát“ alebo „päť abc «.

Ak namiesto premenných abc dosaďte čísla 2, 3 a 4, potom hodnotu výrazu 5abc budú rovné 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Môžete si v duchu predstaviť, ako sa čísla 2, 3 a 4 najprv vynásobili a výsledná hodnota sa päťnásobne zvýšila:

Znamienko koeficientu sa vzťahuje len na koeficient a neplatí pre premenné.

Zvážte výraz -6b. Mínus pred koeficientom 6 , platí len pre koeficient 6 , a nepatrí do premennej b. Pochopenie tejto skutočnosti vám umožní v budúcnosti nerobiť chyby so znakmi.

Poďme zistiť hodnotu výrazu -6b pri b = 3.

-6b −6×b. Pre prehľadnosť napíšme výraz -6b v rozšírenej forme a nahradiť hodnotu premennej b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu -6b pri b = -5

Zapíšme si výraz -6b v rozšírenej forme

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu −5a+b pri a = 3 A b = 2

−5a+b toto je skrátená forma pre −5 × a + b, tak pre názornosť napíšeme výraz −5×a+b v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a A b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Niekedy sa písmená píšu napríklad bez koeficientu a alebo ab. V tomto prípade je koeficient jednotný:

ale tradične sa jednotka nezapisuje, tak jednoducho píšu a alebo ab

Ak je pred písmenom mínus, potom je koeficient číslo −1 . Napríklad výraz −a v skutočnosti vyzerá −1a. Toto je súčin mínus jedna a premennej a. Dopadlo to takto:

−1 × a = −1a

Je tu malý háčik. Vo výraze −a znamienko mínus pred premennou a v skutočnosti odkazuje na "neviditeľnú jednotku" a nie na premennú a. Preto by ste mali byť opatrní pri riešení problémov.

Napríklad, ak je daný výraz −a a žiada sa od nás, aby sme našli jeho hodnotu na a = 2, potom sme v škole namiesto premennej dosadili dvojku a a dostal odpoveď −2 , bez toho, aby som sa príliš zameral na to, ako to dopadlo. V skutočnosti sa mínus jedna vynásobilo kladným číslom 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ak je daný výraz −a a musíte nájsť jeho hodnotu a = -2, potom nahradíme −2 namiesto premennej a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (–2) = 2

Aby sa predišlo chybám, najskôr je možné neviditeľné jednotky zapísať explicitne.

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu abc pri a=2 , b = 3 A c=4

Výraz abc 1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšme výraz abc a, b A c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu abc pri a = -2, b = -3 A c=-4

Zapíšme si výraz abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a, b A c

1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24

Príklad 6. Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a=3, b=5 a c=7

Výraz − abc toto je skrátená forma pre −1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšme výraz − abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a, b A c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Príklad 7. Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a=-2, b=-4 a c=-3

Zapíšme si výraz − abc v rozšírenej forme:

−abc = −1 × a × b × c

Nahradme hodnoty premenných a , b A c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (–2) × (–4) × (–3) = 24

Ako určiť koeficient

Niekedy potrebujete vyriešiť problém, v ktorom musíte určiť koeficient výrazu. V zásade je táto úloha veľmi jednoduchá. Stačí vedieť správne násobiť čísla.

Ak chcete určiť koeficient vo výraze, musíte samostatne vynásobiť čísla zahrnuté v tomto výraze a samostatne vynásobiť písmená. Výsledným číselným faktorom bude koeficient.

Príklad 1 7m × 5a × (-3) × n

Výraz sa skladá z niekoľkých faktorov. To je jasne vidieť, ak výraz napíšete v rozšírenej forme. To znamená, že funguje 7 m A 5a napíšte to do formulára 7 × m A 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplikujme asociatívny zákon násobenia, ktorý umožňuje násobiť faktory v ľubovoľnom poradí. Konkrétne vynásobíme samostatne čísla a oddelene vynásobíme písmená (premenné):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Koeficient je −105 . Po dokončení je vhodné usporiadať časť písmena v abecednom poradí:

-105 hodín ráno

Príklad 2 Určte koeficient vo výraze: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Príklad 3 Určte koeficient vo výraze:

Vynásobme čísla a písmená oddelene:

Koeficient je -1. Upozorňujeme, že jednotka sa nezapisuje, pretože je zvykom nezapisovať koeficient 1.

Tieto zdanlivo najjednoduchšie úlohy si s nami môžu zahrať veľmi krutý vtip. Často sa ukáže, že znamienko koeficientu je nastavené nesprávne: buď chýba mínus, alebo naopak, je nastavené márne. Aby sa predišlo týmto nepríjemným chybám, musí sa študovať na dobrej úrovni.

Sčítačky v doslovných výrazoch

Pri sčítaní viacerých čísel sa získa súčet týchto čísel. Čísla, ktoré sčítavajú, sa nazývajú sčítance. Termínov môže byť viacero, napr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Keď výraz pozostáva z výrazov, je oveľa jednoduchšie ho vyhodnotiť, pretože sčítanie je jednoduchšie ako odčítanie. Ale výraz môže obsahovať nielen sčítanie, ale aj odčítanie, napríklad:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tomto výraze sú čísla 3 a 5 subtrahendy, nie sčítance. Ale nič nám nebráni nahradiť odčítanie sčítaním. Potom opäť dostaneme výraz pozostávajúci z výrazov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nezáleží na tom, že čísla −3 a −5 majú teraz znamienko mínus. Hlavná vec je, že všetky čísla v tomto výraze sú spojené znakom sčítania, to znamená, že výraz je súčet.

Oba výrazy 1 + 2 − 3 + 4 − 5 A 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) rovná rovnakej hodnote - mínus jedna

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Význam výrazu teda neutrpí, ak niekde nahradíme odčítanie sčítaním.

Odčítanie môžete nahradiť aj sčítaním v doslovných výrazoch. Zvážte napríklad nasledujúci výraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Pre akékoľvek hodnoty premenných a B C d A s výrazov 7a + 6b − 3c + 2d − 4s A 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) sa bude rovnať rovnakej hodnote.

Musíte byť pripravení na to, že učiteľ v škole alebo učiteľ na ústave môže volať párne čísla (alebo premenné), ktoré nie sú sčítané.

Napríklad, ak je rozdiel napísaný na tabuli a-b, tak to učiteľ nepovie a je minuend, a b- odpočítateľný. Nazve obe premenné jedným spoločným slovom - podmienky. A to všetko kvôli vyjadreniu formy a-b matematik vidí ako súčet a+(-b). V tomto prípade sa výraz stane súčtom a premennými a A (-b) stať sa podmienkami.

Podobné výrazy

Podobné výrazy- sú to výrazy, ktoré majú rovnakú časť písmena. Zvážte napríklad výraz 7a + 6b + 2a. Komponenty 7a A 2a majú rovnakú písmennú časť - premennú a. Takže podmienky 7a A 2a sú podobné.

Podobné výrazy sa zvyčajne pridávajú na zjednodušenie výrazu alebo vyriešenie rovnice. Táto operácia sa nazýva prinášajú podobné podmienky.

Ak chcete získať podobné výrazy, musíte spočítať koeficienty týchto výrazov a výsledný výsledok vynásobiť spoločnou písmenom.

Uveďme napríklad podobné výrazy vo výraze 3a + 4a + 5a. V tomto prípade sú všetky pojmy podobné. Zrátajme ich koeficienty a výsledok vynásobme spoločnou písmenovou časťou – premennou a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Zvyčajne sa vybavia podobné výrazy a výsledok sa okamžite zapíše:

3a + 4a + 5a = 12a

Tiež je možné uvažovať takto:

Boli tam 3 premenné a , 4 ďalšie premenné a a k nim bolo pridaných 5 premenných a. V dôsledku toho sme dostali 12 premenných a

Pozrime sa na niekoľko príkladov prinášania podobných výrazov. Vzhľadom na to, že táto téma je veľmi dôležitá, najprv si podrobne zapíšeme každý malý detail. Aj keď je tu všetko veľmi jednoduché, väčšina ľudí robí veľa chýb. Hlavne z nepozornosti, nie z nevedomosti.

Príklad 1 3a+ 2a+ 6a+ 8a

Sčítajme koeficienty v tomto výraze a výsledný výsledok vynásobme spoločnou časťou písmena:

3a+ 2a+ 6a+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Stavba (3 + 2 + 6 + 8) ×a Nemusíte to písať, takže odpoveď hneď zapíšeme

3 a+ 2 a+ 6 a+ 8 a = 19 a

Príklad 2 Vo výraze uveďte podobné výrazy 2a+a

Druhý termín a napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti je pred ním koeficient 1 , ktorý nevidíme, pretože nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + 1a

Teraz si predstavme podobné pojmy. To znamená, že spočítame koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou časťou písmena:

2a + 1a = (2 + 1) x a = 3a

Stručne napíšme riešenie:

2a + a = 3a

2a+a, môžeš rozmýšľať inak:

Príklad 3 Vo výraze uveďte podobné výrazy 2a-a

Nahraďte odčítanie sčítaním:

2a + (-a)

Druhý termín (-a) napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti to tak vyzerá (-1a). Koeficient −1 opäť neviditeľný kvôli tomu, že nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + (-1a)

Teraz si predstavme podobné pojmy. Pridajme koeficienty a výsledok vynásobme spoločnou časťou písmena:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

Zvyčajne sa píše kratšie:

2a − a = a

Uvedenie podobných výrazov vo výraze 2a-a Môžete myslieť inak:

Existovali 2 premenné a, odpočítajte jednu premennú a a výsledkom bola iba jedna premenná a

Príklad 4. Vo výraze uveďte podobné výrazy 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Teraz si predstavme podobné pojmy. Sčítajme koeficienty a výsledok vynásobme celkovou písmenovou časťou

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Stručne napíšme riešenie:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Existujú výrazy, ktoré obsahujú niekoľko rôznych skupín podobných výrazov. Napríklad, 3a + 3b + 7a + 2b. Pre takéto výrazy platia rovnaké pravidlá ako pre ostatné, a to sčítanie koeficientov a vynásobenie výsledku spoločnou písmenovou časťou. Aby sa však predišlo chybám, je vhodné zvýrazniť rôzne skupiny výrazov rôznymi čiarami.

Napríklad vo výraze 3a + 3b + 7a + 2b tie výrazy, ktoré obsahujú premennú a, môžu byť podčiarknuté jedným riadkom a tie výrazy, ktoré obsahujú premennú b, možno zdôrazniť dvoma riadkami:

Teraz môžeme prezentovať podobné pojmy. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledný výsledok celkovou časťou písmen. Toto je potrebné urobiť pre obe skupiny výrazov: pre výrazy obsahujúce premennú a a pre výrazy obsahujúce premennú b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Opäť opakujeme, že výraz je jednoduchý a možno si spomenúť na podobné výrazy:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Príklad 5. Vo výraze uveďte podobné výrazy 5a − 6a −7b + b

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podčiarknime podobné pojmy rôznymi čiarami. Výrazy obsahujúce premenné a podčiarkneme jedným riadkom a výrazy obsahujúce premenné b, podčiarknite dvoma riadkami:

Teraz môžeme prezentovať podobné pojmy. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledný výsledok spoločnou časťou písmena:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ak výraz obsahuje obyčajné čísla bez písmenových faktorov, pridajú sa samostatne.

Príklad 6. Vo výraze uveďte podobné výrazy 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

Uveďme si podobné pojmy. čísla −5 A 7 nemajú písmenové faktory, ale sú to podobné pojmy - len ich treba doplniť. A termín 2b zostane nezmenený, pretože ako jediný v tomto výraze má koeficient písmen b, a k tomu nie je čo dodať:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

Stručne napíšme riešenie:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termíny môžu byť usporiadané tak, že termíny, ktoré majú rovnakú časť písmen, sa nachádzajú v rovnakej časti výrazu.

Príklad 7. Vo výraze uveďte podobné výrazy 5t+2x+3x+5t+x

Keďže výraz je súčtom niekoľkých pojmov, umožňuje nám to vyhodnotiť ho v ľubovoľnom poradí. Preto výrazy obsahujúce premennú t, možno napísať na začiatok výrazu a výrazy obsahujúce premennú X na konci výrazu:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Teraz môžeme uviesť podobné pojmy:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Stručne napíšme riešenie:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Súčet opačných čísel je nula. Toto pravidlo funguje aj pre doslovné výrazy. Ak výraz obsahuje rovnaké výrazy, ale s opačnými znamienkami, môžete sa ich zbaviť vo fáze znižovania podobných výrazov. Inými slovami, jednoducho ich odstráňte z výrazu, pretože ich súčet je nula.

Príklad 8. Vo výraze uveďte podobné výrazy 3t − 4t − 3t + 2t

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponenty 3t A (-3t) sú opačné. Súčet opačných členov je nula. Ak túto nulu z výrazu odstránime, hodnota výrazu sa nezmení, preto ju odstránime. A odstránime ho jednoduchým prečiarknutím výrazov 3t A (-3t)

Vo výsledku nám zostane výraz (-4t) + 2t. V tomto výraze môžete pridať podobné výrazy a získať konečnú odpoveď:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Stručne napíšme riešenie:

Zjednodušenie výrazov

"zjednodušiť výraz" a nižšie je výraz, ktorý je potrebné zjednodušiť. Zjednodušte výraz znamená to zjednodušiť a skrátiť.

V skutočnosti sme už zjednodušovali výrazy, keď sme zmenšovali zlomky. Po zmenšení sa zlomok skrátil a bol ľahšie pochopiteľný.

Zvážte nasledujúci príklad. Zjednodušte výraz.

Túto úlohu možno doslova chápať takto: "Použite na tento výraz všetky platné akcie, ale zjednodušte ho." .

V tomto prípade môžete zlomok zmenšiť, konkrétne vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku 2:

Čo ešte môžeš urobiť? Môžete vypočítať výsledný zlomok. Potom dostaneme desatinný zlomok 0,5

V dôsledku toho sa zlomok zjednodušil na 0,5.

Prvá otázka, ktorú si musíte položiť pri riešení takýchto problémov, by mala byť "Čo sa dá urobiť?" . Pretože sú činy, ktoré môžete urobiť, a sú činy, ktoré nemôžete.

Ďalším dôležitým bodom na zapamätanie je, že význam výrazu by sa po zjednodušení výrazu nemal meniť. Vráťme sa k výrazu. Tento výraz predstavuje rozdelenie, ktoré možno vykonať. Po vykonaní tohto delenia dostaneme hodnotu tohto výrazu, ktorá sa rovná 0,5

Výraz sme však zjednodušili a dostali sme nový zjednodušený výraz. Hodnota nového zjednodušeného výrazu je stále 0,5

Ale snažili sme sa výraz zjednodušiť aj výpočtom. V dôsledku toho sme dostali konečnú odpoveď 0,5.

Nech už teda výraz zjednodušíme akokoľvek, hodnota výsledných výrazov je stále rovná 0,5. To znamená, že zjednodušenie bolo v každej fáze vykonané správne. Presne o to by sme sa mali snažiť pri zjednodušovaní výrazov – význam výrazu by nemal trpieť naším konaním.

Často je potrebné zjednodušiť doslovné výrazy. Platia pre ne rovnaké pravidlá zjednodušenia ako pre číselné výrazy. Môžete vykonať akékoľvek platné akcie, pokiaľ sa hodnota výrazu nezmení.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1 Zjednodušte výraz 5,21 s × t × 2,5

Pre zjednodušenie tohto výrazu môžete násobiť čísla oddelene a násobiť písmená oddelene. Táto úloha je veľmi podobná tej, na ktorú sme sa zamerali, keď sme sa naučili určovať koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Takže výraz 5,21 s × t × 2,5 zjednodušené na 13 025 st.

Príklad 2 Zjednodušte výraz −0,4 × (-6,3b) × 2

Druhý kus (-6,3b) možno preložiť do pre nás zrozumiteľnej formy, a to napísanej vo forme ( −6,3)×b, potom vynásobte čísla oddelene a vynásobte písmená oddelene:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 = 5,04b

Takže výraz −0,4 × (-6,3b) × 2 zjednodušené na 5.04b

Príklad 3 Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobme čísla oddelene a vynásobme písmená oddelene:

Takže výraz zjednodušené na −abc. Toto riešenie možno stručne napísať:

Pri zjednodušovaní výrazov je možné zlomky zmenšovať počas riešenia, a nie až na samom konci, ako sme to robili pri obyčajných zlomkoch. Napríklad, ak v priebehu riešenia narazíme na výraz vo forme , potom vôbec nie je potrebné počítať čitateľa a menovateľa a robiť niečo také:

Zlomok možno zmenšiť výberom faktora v čitateli aj menovateli a znížením týchto faktorov o ich najväčší spoločný faktor. Inými slovami, použitie, v ktorom podrobne nepopisujeme, na čo sa delil čitateľ a menovateľ.

Napríklad v čitateli je faktor 12 a v menovateli sa môže faktor 4 zmenšiť o 4. Štvoricu si pamätáme a vydelením 12 a 4 touto štvorkou zapíšeme odpovede k týmto číslam, po ich prvom preškrtnutí

Teraz môžete výsledné malé faktory vynásobiť. V tomto prípade je ich málo a môžete si ich v duchu znásobiť:

Po čase možno zistíte, že pri riešení konkrétneho problému výrazy začnú „tucnúť“, preto je vhodné zvyknúť si na rýchle výpočty. Čo sa dá vypočítať v mysli, musí sa spočítať v mysli. Čo sa dá rýchlo zredukovať, musí sa rýchlo zredukovať.

Príklad 4. Zjednodušte výraz

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 5. Zjednodušte výraz

Vynásobme čísla zvlášť a písmená zvlášť:

Takže výraz zjednodušené na mn.

Príklad 6. Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobme čísla zvlášť a písmená zvlášť. Pre uľahčenie výpočtu je možné desatinný zlomok -6,4 a zmiešané číslo previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na

Riešenie tohto príkladu možno napísať oveľa stručnejšie. Bude to vyzerať takto:

Príklad 7. Zjednodušte výraz

Vynásobme zvlášť čísla a zvlášť písmená. Pre zjednodušenie výpočtu možno zmiešané čísla a desatinné zlomky 0,1 a 0,6 previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na a B C d. Ak preskočíte podrobnosti, toto riešenie môže byť napísané oveľa kratšie:

Všimnite si, ako sa zlomok zmenšil. Nové faktory, ktoré sa získajú ako výsledok zníženia predchádzajúcich faktorov, sa môžu tiež znížiť.

Teraz si povedzme, čo nerobiť. Pri zjednodušovaní výrazov je prísne zakázané násobiť čísla a písmená, ak je výrazom súčet a nie súčin.

Napríklad, ak chcete zjednodušiť výraz 5a+4b, potom to nemôžeš napísať takto:

Je to to isté, ako keby sme boli požiadaní o sčítanie dvoch čísel a namiesto sčítania by sme ich vynásobili.

Pri nahrádzaní ľubovoľných hodnôt premenných a A b výraz 5a + 4b sa zmení na obyčajný číselný výraz. Predpokladajme, že premenné a A b majú nasledujúce významy:

a = 2, b = 3

Potom sa hodnota výrazu bude rovnať 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprv sa vykoná násobenie a potom sa pridajú výsledky. A ak by sme sa pokúsili tento výraz zjednodušiť vynásobením čísel a písmen, dostali by sme nasledovné:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Ukazuje sa úplne iný význam výrazu. V prvom prípade to fungovalo 22 , v druhom prípade 120 . To znamená, že zjednodušenie výrazu 5a+4b bola vykonaná nesprávne.

Po zjednodušení výrazu by sa jeho hodnota nemala meniť s rovnakými hodnotami premenných. Ak sa pri nahradení akýchkoľvek hodnôt premenných do pôvodného výrazu získa jedna hodnota, potom po zjednodušení výrazu by sa mala získať rovnaká hodnota ako pred zjednodušením.

S výrazom 5a+4b naozaj sa nedá nič robiť. Nezjednodušuje to.

Ak výraz obsahuje podobné výrazy, možno ich pridať, ak je naším cieľom výraz zjednodušiť.

Príklad 8. Zjednodušte výraz 0,3a-0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

alebo kratšie: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Takže výraz 0,3a-0,4a+a zjednodušené na 0,9a

Príklad 9. Zjednodušte výraz −7,5a − 2,5b + 4a

Na zjednodušenie tohto výrazu môžeme pridať podobné výrazy:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

alebo kratšie −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termín (-2,5b) zostal nezmenený, pretože ho nebolo do čoho dať.

Príklad 10. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžeme pridať podobné výrazy:

Koeficient bol pre jednoduchosť výpočtu.

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 11. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžeme pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

V tomto príklade by bolo vhodnejšie najprv pridať prvý a posledný koeficient. V tomto prípade by sme mali krátke riešenie. Vyzeralo by to takto:

Príklad 12. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžeme pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

Termín zostal nezmenený, keďže k nemu nebolo čo dodať.

Toto riešenie možno napísať oveľa kratšie. Bude to vyzerať takto:

Krátke riešenie preskočilo kroky nahradenia odčítania sčítaním a podrobne popísalo, ako boli zlomky zredukované na spoločného menovateľa.

Ďalším rozdielom je, že v podrobnom riešení odpoveď vyzerá takto , ale v skratke ako . V skutočnosti ide o rovnaký výraz. Rozdiel je v tom, že v prvom prípade je odčítanie nahradené sčítaním, pretože na začiatku, keď sme riešenie zapísali v podrobnej forme, sme odčítanie nahradili sčítaním všade tam, kde to bolo možné a toto nahradenie zostalo zachované pre odpoveď.

identity. Rovnaké výrazy

Akonáhle sme si zjednodušili akýkoľvek výraz, stáva sa jednoduchším a kratším. Ak chcete skontrolovať, či je zjednodušený výraz správny, stačí nahradiť ľubovoľné hodnoty premenných najprv do predchádzajúceho výrazu, ktorý bolo potrebné zjednodušiť, a potom do nového, ktorý bol zjednodušený. Ak je hodnota v oboch výrazoch rovnaká, potom je zjednodušený výraz pravdivý.

Pozrime sa na jednoduchý príklad. Nech je potrebné zjednodušiť výraz 2a × 7b. Na zjednodušenie tohto výrazu môžete násobiť čísla a písmená oddelene:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Skontrolujeme, či sme výraz zjednodušili správne. Aby sme to dosiahli, nahraďme akékoľvek hodnoty premenných a A b najprv do prvého výrazu, ktorý bolo potrebné zjednodušiť, a potom do druhého, ktorý bol zjednodušený.

Nechajte hodnoty premenných a , b bude nasledovný:

a = 4, b = 5

Dosadíme ich do prvého výrazu 2a × 7b

Teraz dosaďte rovnaké hodnoty premenných do výrazu, ktorý vyplynul zo zjednodušenia 2a × 7b, a to vo výraze 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vidíme, že keď a=4 A b = 5 hodnotu prvého výrazu 2a × 7b a význam druhého výrazu 14ab rovný

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

To isté sa stane s akýmikoľvek inými hodnotami. Napríklad nech a=1 A b = 2

2a x 7b = 2 x 1 x 7 x 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Teda pre akékoľvek hodnoty premenných výrazu 2a × 7b A 14ab sa rovnajú rovnakej hodnote. Takéto výrazy sa nazývajú identicky rovnaké.

Usudzujeme, že medzi výrazmi 2a × 7b A 14ab môžete dať znamienko rovnosti, pretože sa rovnajú rovnakej hodnote.

2a × 7b = 14ab

Rovnosť je akýkoľvek výraz, ktorý je spojený znakom rovnosti (=).

A rovnosť formy 2a × 7b = 14ab volal identity.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných.

Ďalšie príklady identít:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Áno, zákony matematiky, ktoré sme študovali, sú identity.

Skutočné číselné rovnosti sú tiež identity. Napríklad:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri riešení zložitého problému sa pre uľahčenie výpočtu nahradí zložitý výraz jednoduchším výrazom, ktorý je identicky rovnaký ako predchádzajúci. Táto náhrada je tzv identická transformácia výrazu alebo jednoducho transformácia výrazu.

Napríklad sme zjednodušili výraz 2a × 7b a dostal jednoduchší výraz 14ab. Toto zjednodušenie možno nazvať transformáciou identity.

Často môžete nájsť úlohu, ktorá hovorí "dokázať, že rovnosť je identita" a potom je daná rovnosť, ktorú treba dokázať. Zvyčajne sa táto rovnosť skladá z dvoch častí: ľavej a pravej časti rovnosti. Našou úlohou je vykonať transformácie identity s jednou z častí rovnosti a získať druhú časť. Alebo vykonajte identické transformácie na oboch stranách rovnosti a uistite sa, že obe strany rovnosti obsahujú rovnaké výrazy.

Dokážme napríklad, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Zjednodušme ľavú stranu tejto rovnosti. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla a písmená oddelene:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

V dôsledku malej transformácie identity sa ľavá strana rovnosti stala rovnocennou s pravou stranou rovnosti. Takže sme dokázali, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Z rovnakých transformácií sme sa naučili sčítať, odčítať, násobiť a deliť čísla, zmenšovať zlomky, sčítať podobné pojmy a tiež zjednodušiť niektoré výrazy.

Nie sú to však všetky identické transformácie, ktoré existujú v matematike. Rovnakých premien je oveľa viac. V budúcnosti to uvidíme viackrát.

Úlohy na samostatné riešenie:

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

Výrazy, konverzia výrazov

Mocenské výrazy (výrazy s mocninami) a ich premena

V tomto článku budeme hovoriť o prevode výrazov s mocninami. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane mocninných výrazov, ako je otváranie zátvoriek a uvádzanie podobných výrazov. A potom budeme analyzovať transformácie vlastné výrazom so stupňami: práca so základom a exponentom, pomocou vlastností stupňov atď.

Navigácia na stránke.

Čo sú to mocenské prejavy?

Pojem „mocenské výrazy“ sa v školských učebniciach matematiky prakticky nevyskytuje, ale pomerne často sa vyskytuje v zbierkach úloh, najmä tých, ktoré sú určené na prípravu napríklad na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku. Po analýze úloh, v ktorých je potrebné vykonať nejaké akcie s mocenskými výrazmi, je zrejmé, že mocenské výrazy sa chápu ako výrazy obsahujúce mocniny vo svojich záznamoch. Preto môžete pre seba prijať nasledujúcu definíciu:

Definícia.

Mocenské výrazy sú výrazy obsahujúce stupne.

Dajme si príklady mocenských výrazov. Navyše ich predstavíme podľa toho, ako dochádza k vývoju názorov od stupňa s prirodzeným exponentom k stupňu s reálnym exponentom.

Ako je známe, najprv sa zoznámime s mocninou čísla s prirodzeným exponentom, v tejto fáze sa objavia prvé najjednoduchšie mocninné výrazy typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 sa objavujú −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atď.

O niečo neskôr sa študuje mocnina čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k objaveniu sa mocninných výrazov so zápornými celočíselnými mocninami, ako napríklad: 3 −2, a -2 +2 b -3 +c2.

Na strednej škole sa vracajú k titulom. Zavádza sa stupeň s racionálnym exponentom, ktorý zahŕňa výskyt zodpovedajúcich mocninných výrazov: , , a tak ďalej. Nakoniec sa uvažujú stupne s iracionálnymi exponentmi a výrazy, ktoré ich obsahujú: , .

Vec sa neobmedzuje len na uvedené mocninné výrazy: ďalej premenná preniká do exponentu a vznikajú napríklad tieto výrazy: 2 x 2 +1 resp. . A po zoznámení sa s , sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2·lgx −5·x lgx.

Takže sme sa zaoberali otázkou, čo predstavujú mocenské výrazy. Ďalej sa ich naučíme previesť.

Hlavné typy transformácií mocninných výrazov

Pomocou mocenských výrazov môžete vykonávať ktorúkoľvek zo základných transformácií identity výrazov. Môžete napríklad otvoriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, pridať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržiavať prijatý postup vykonávania úkonov. Uveďme príklady.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

Riešenie.

Podľa poradia vykonávania akcií najskôr vykonajte akcie v zátvorkách. Tam po prvé nahradíme mocninu 4 2 jej hodnotou 16 (ak je to potrebné, pozri) a po druhé vypočítame rozdiel 16−12=4. Máme 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Vo výslednom výraze nahradíme mocninu 2 3 jej hodnotou 8, po ktorej vypočítame súčin 8·4=32. Toto je požadovaná hodnota.

takže, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

odpoveď:

2 3 · (4 2 -12) = 32.

Príklad.

Zjednodušte výrazy pomocou právomocí 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Riešenie.

Je zrejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3·a 4 ·b −7 a 2·a 4 ·b −7 , a môžeme ich uviesť: .

odpoveď:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Príklad.

Vyjadrite výraz so schopnosťami ako produkt.

Riešenie.

S úlohou sa môžete vyrovnať tak, že číslo 9 predstavíte ako mocninu 3 2 a potom použijete vzorec na skrátené násobenie - rozdiel štvorcov:

odpoveď:

Existuje tiež množstvo identických transformácií, ktoré sú špecifické pre výrazy moci. Budeme ich ďalej analyzovať.

Práca so základom a exponentom

Existujú stupne, ktorých základ a/alebo exponent nie sú len čísla alebo premenné, ale niektoré výrazy. Ako príklad uvedieme položky (2+0,3·7) 5−3,7 a (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pri práci s takýmito výrazmi môžete nahradiť výraz v základe stupňa aj výraz v exponente rovnako rovnakým výrazom v ODZ jeho premenných. Inými slovami, podľa nám známych pravidiel môžeme samostatne transformovať základ stupňa a zvlášť exponent. Je jasné, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identicky rovnaký ako pôvodný.

Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť výrazy pomocou právomocí alebo dosiahnuť iné ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom mocnine (2+0,3 7) 5−3,7 môžete vykonávať operácie s číslami v základe a exponentom, čo vám umožní prejsť na mocninu 4,1 1,3. A po otvorení zátvoriek a privedení podobných členov k základu stupňa (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dostaneme mocninné vyjadrenie jednoduchšieho tvaru a 2·(x+ 1).

Používanie vlastností stupňa

Jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov pomocou právomocí sú rovnosti, ktoré odrážajú . Pripomeňme si tie hlavné. Pre všetky kladné čísla a a b a ľubovoľné reálne čísla r a s platia nasledujúce vlastnosti mocniny:

• a r ·a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a-b) r = ar-br;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s =a r·s .

Všimnite si, že pre prirodzené, celé čísla a kladné exponenty nemusia byť obmedzenia pre čísla a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n nielen pre kladné a, ale aj záporné a a pre a=0.

V škole sa pri transformácii mocenských výrazov zameriavame hlavne na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade bývajú základy stupňov kladné, čo umožňuje využívať vlastnosti stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch mocnin - rozsah prípustných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že základy na ňom nadobúdajú iba kladné hodnoty, čo umožňuje slobodne využívať vlastnosti mocnin . Vo všeobecnosti sa musíte neustále pýtať, či je možné v tomto prípade použiť nejakú vlastnosť stupňov, pretože nepresné použitie vlastností môže viesť k zúženiu vzdelávacej hodnoty a iným problémom. Tieto body sú podrobne a s príkladmi rozobraté v článku transformácia výrazov pomocou vlastností mocnín. Tu sa obmedzíme na zváženie niekoľkých jednoduchých príkladov.

Príklad.

Vyjadrite výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ako mocninu so základom a.

Riešenie.

Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 pomocou vlastnosti zvýšenia mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Pôvodné vyjadrenie mocniny bude mať tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5. Je zrejmé, že zostáva použiť vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

odpoveď:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Vlastnosti mocnin pri transformácii mocninných výrazov sa používajú tak zľava doprava, ako aj sprava doľava.

Príklad.

Nájdite hodnotu mocninného výrazu.

Riešenie.

Rovnosť (a·b) r =a r ·b r, aplikovaná sprava doľava, nám umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu tvaru a ďalej. A pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú: .

Pôvodný výraz bolo možné transformovať iným spôsobom:

odpoveď:

.

Príklad.

Vzhľadom na mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 zaveďte novú premennú t=a 0,5.

Riešenie.

Stupeň a 1,5 možno znázorniť ako 0,5 3 a potom na základe vlastnosti stupňa k stupňu (a r) s = a r s, aplikovanej sprava doľava, transformovať do tvaru (a 0,5) 3. teda a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz je ľahké zaviesť novú premennú t=a 0,5, dostaneme t 3 −t−6.

odpoveď:

t3−t−6.

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Mocninné výrazy môžu obsahovať alebo reprezentovať zlomky s mocninami. Akákoľvek zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, sú plne aplikovateľné na takéto zlomky. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú mocniny, možno zmenšiť, zredukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene s menovateľom atď. Na ilustráciu týchto slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

Riešenie.

Tento mocenský výraz je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateli otvoríme zátvorky a pomocou vlastností mocnín zjednodušíme výsledný výraz a v menovateli uvádzame podobné pojmy:

A zmeňme tiež znamienko menovateľa umiestnením mínus pred zlomok: .

odpoveď:

.

Redukcia zlomkov obsahujúcich mocniny na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia racionálnych zlomkov na nového menovateľa. V tomto prípade sa nájde aj ďalší faktor a vynásobí sa ním čitateľ a menovateľ zlomku. Pri vykonávaní tejto akcie je potrebné pamätať na to, že zníženie na nového menovateľa môže viesť k zúženiu VA. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor neklesol na nulu pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad.

Zredukujte zlomky na nového menovateľa: a) na menovateľ a, b) na menovateľa.

Riešenie.

a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý dodatočný multiplikátor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je násobiteľ 0,3, pretože a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Všimnite si, že v rozsahu prípustných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) mocnina a 0,3 nezmizne, preto máme právo násobiť čitateľa a menovateľa daného zlomok týmto dodatočným faktorom:

b) Pri bližšom pohľade na menovateľa to zistíte

a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek a , teda . A toto je nový menovateľ, na ktorý musíme zredukovať pôvodný zlomok.

Takto sme našli ďalší faktor. V rozsahu prijateľných hodnôt premenných x a y výraz nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:

odpoveď:

A) , b) .

Nič nové nie je ani v redukcii zlomkov obsahujúcich mocniny: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako množstvo faktorov a rovnaké faktory čitateľa a menovateľa sú redukované.

Príklad.

Znížte zlomok: a) , b).

Riešenie.

a) Po prvé, čitateľa a menovateľa možno zmenšiť o čísla 30 a 45, čo sa rovná 15. Je tiež zrejmé, že je možné vykonať zníženie o x 0,5 +1 a o . Tu je to, čo máme:

b) V tomto prípade identické faktory v čitateli a menovateli nie sú okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, budete musieť vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade spočívajú v faktorizácii menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

odpoveď:

A)

b) .

Prevod zlomkov na nového menovateľa a zmenšenie zlomkov sa používajú hlavne na prácu so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa zredukujú na spoločného menovateľa, po ktorom sa pripočítajú (odčítajú) čitatelia, no menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobenie jeho inverznou hodnotou.

Príklad.

Nasleduj kroky .

Riešenie.

Najprv odčítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je , po ktorom odčítame čitateľov:

Teraz vynásobíme zlomky:

Je zrejmé, že je možné znížiť o silu x 1/2, po ktorej máme .

Výraz mocniny v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: .

odpoveď:

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

Riešenie.

Je zrejmé, že tento zlomok môže byť znížený o (x 2,7 + 1) 2, čím sa získa zlomok . Je jasné, že so schopnosťami X je potrebné urobiť niečo iné. Aby sme to dosiahli, transformujeme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva možnosť využiť vlastnosť rozdelenia právomocí s rovnakými základmi: . A na konci procesu prechádzame od posledného produktu k frakcii.

odpoveď:

.

A dodajme tiež, že je možné a v mnohých prípadoch aj žiaduce prenášať faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa, pričom sa mení znamienko exponentu. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie činnosti. Napríklad mocninný výraz možno nahradiť výrazom .

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

Vo výrazoch, v ktorých sa vyžadujú určité transformácie, sú spolu s mocninami často prítomné aj korene s zlomkovými exponentmi. Na transformáciu takéhoto výrazu do požadovanej podoby vo väčšine prípadov stačí ísť len ku koreňom alebo len k mocninám. Ale keďže je pohodlnejšie pracovať s mocninami, väčšinou prechádzajú od koreňov k mocninám. Je však vhodné vykonať takýto prechod vtedy, keď ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez potreby odkazovania na modul alebo rozdelenia ODZ do viacerých intervalov (podrobne sme to rozobrali v článok prechod od koreňov k mocninám a späť Po oboznámení sa s titulom s racionálnym exponentom sa zavádza titul s iracionálnym exponentom, ktorý nám umožňuje hovoriť o titule s ľubovoľným reálnym exponentom.V tomto štádiu škola začína štúdium exponenciálna funkcia, ktorý je analyticky daný mocninou, ktorej základom je číslo a exponentom je premenná. Stretávame sa teda s mocninnými výrazmi obsahujúcimi čísla v mocnine a v exponente - výrazy s premennými a prirodzene vzniká potreba vykonávať transformácie takýchto výrazov.

Treba povedať, že transformáciu výrazov naznačeného typu treba väčšinou vykonať pri riešení exponenciálne rovnice A exponenciálne nerovnosti a tieto prevody sú celkom jednoduché. V drvivej väčšine prípadov sú založené na vlastnostiach stupňa a sú zamerané väčšinou na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Rovnica nám ich umožní demonštrovať 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po prvé, mocniny, v ktorých exponentoch je súčet určitej premennej (alebo výraz s premennými) a čísla, sú nahradené súčinmi. Platí to pre prvý a posledný výraz výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ďalej sa obe strany rovnosti delia výrazom 7 2 x, ktorý na ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu nadobúda iba kladné hodnoty (toto je štandardná technika riešenia rovníc tohto typu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, tak sa zamerajte na následné transformácie výrazov s mocninami):

Teraz môžeme zlomky zrušiť mocninami, čo dáva .

Nakoniec sa pomer mocnín s rovnakými exponentmi nahradí mocninami vzťahov, čím vznikne rovnica , čo je ekvivalentné . Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice.

Písanie podmienok problémov pomocou notácie akceptovanej v matematike vedie k objaveniu sa takzvaných matematických výrazov, ktoré sa jednoducho nazývajú výrazy. V tomto článku budeme hovoriť podrobne o číselné, abecedné a premenné výrazy: uvedieme definície a uvedieme príklady výrazov každého typu.

Navigácia na stránke.

Číselné výrazy - čo sú to?

Zoznámenie sa s číselnými výrazmi začína takmer od prvých hodín matematiky. Oficiálne však získavajú svoje meno - číselné výrazy - o niečo neskôr. Napríklad, ak budete sledovať kurz M.I. Moro, potom sa to stane na stránkach učebnice matematiky pre 2 ročníky. Idea číselných výrazov je tu daná takto: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 atď. - to je všetko číselné výrazy, a ak vykonáme naznačené akcie vo výraze, nájdeme hodnota výrazu.

Môžeme konštatovať, že v tomto štádiu štúdia matematiky sú číselné výrazy záznamy s matematickým významom, ktoré tvoria čísla, zátvorky a znamienka sčítania a odčítania.

O niečo neskôr, po oboznámení sa s násobením a delením, začnú záznamy číselných výrazov obsahovať znaky „·“ a „:“. Uveďme niekoľko príkladov: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 atď.

A na strednej škole sa rozmanitosť nahrávok číselných výrazov rozrastá ako snehová guľa kotúľajúca sa z hory. Obsahujú obyčajné a desatinné zlomky, zmiešané čísla a záporné čísla, mocniny, odmocniny, logaritmy, sínusy, kosínusy atď.

Zhrňme si všetky informácie do definície číselného výrazu:

Definícia.

Číselný výraz je kombinácia čísel, znakov aritmetických operácií, zlomkových čiar, znakov koreňov (radikálov), logaritmov, zápisov pre trigonometrické, inverzné trigonometrické a iné funkcie, ako aj zátvorky a iné špeciálne matematické symboly, zostavené v súlade s prijatými pravidlami v matematike.

Vysvetlime si všetky zložky uvedenej definície.

Číselné výrazy môžu zahŕňať absolútne ľubovoľný počet: od prirodzeného po skutočné a dokonca zložité. To znamená, že v číselných vyjadreniach sa dá nájsť

Všetko je jasné so znakmi aritmetických operácií - to sú znaky sčítania, odčítania, násobenia a delenia, ktoré majú tvar „+“, „-“, „·“ a „:“. Číselné výrazy môžu obsahovať jeden z týchto znakov, niektoré z nich alebo všetky naraz a navyše aj viackrát. Tu sú príklady číselných výrazov s nimi: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41-2·4:2-5+12·3·2:2:3:12-1/12.

Pokiaľ ide o zátvorky, existujú číselné výrazy, ktoré obsahujú zátvorky, ako aj výrazy bez nich. Ak sú v číselnom výraze zátvorky, potom v podstate sú

A niekedy majú zátvorky v číselných výrazoch nejaký špecifický, samostatne uvedený špeciálny účel. Môžete napríklad nájsť hranaté zátvorky označujúce celú časť čísla, takže číselný výraz +2 znamená, že k celočíselnej časti čísla 1,75 sa pridá číslo 2.

Z definície číselného výrazu je tiež zrejmé, že výraz môže obsahovať , , log , ln , lg , zápisy a pod. Tu sú príklady číselných výrazov s nimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 a .

Delenie v číselných výrazoch môže byť označené ako . V tomto prípade prebiehajú číselné výrazy so zlomkami. Tu sú príklady takýchto výrazov: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 a .

Ako špeciálne matematické symboly a zápisy, ktoré možno nájsť v číselných výrazoch, uvádzame . Ukážme si napríklad číselné vyjadrenie s modulom .

Čo sú doslovné výrazy?

Pojem písmenové výrazy je daný takmer okamžite po oboznámení sa s číselnými výrazmi. Zadáva sa približne takto. V určitom číselnom vyjadrení sa nezapíše jedno z čísel, ale namiesto neho sa umiestni kruh (alebo štvorec alebo niečo podobné), pričom sa hovorí, že za kruh možno nahradiť určité číslo. Pozrime sa napríklad na záznam. Ak dáte namiesto štvorca napríklad číslo 2, dostanete číselné vyjadrenie 3+2. Takže namiesto kruhov, štvorcov atď. súhlasili s zapisovaním písmen a takéto výrazy s písmenami sa nazývali doslovné výrazy. Vráťme sa k nášmu príkladu, ak do tohto vstupu dáme namiesto štvorca písmeno a, dostaneme doslovné vyjadrenie tvaru 3+a.

Ak teda pripustíme v číselnom vyjadrení prítomnosť písmen, ktoré označujú určité čísla, dostaneme takzvaný doslovný výraz. Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Zavolá sa výraz obsahujúci písmená, ktoré predstavujú určité čísla doslovný výraz.

Z tejto definície je zrejmé, že doslovný výraz sa zásadne líši od číselného výrazu tým, že môže obsahovať písmená. Vo výrazoch písmen sa zvyčajne používajú malé písmená latinskej abecedy (a, b, c, ...) a pri označovaní uhlov malé písmená gréckej abecedy (α, β, γ, ...).

Doslovné výrazy sa teda môžu skladať z čísel, písmen a môžu obsahovať všetky matematické symboly, ktoré sa môžu objaviť v číselných výrazoch, ako sú zátvorky, odmocniny, logaritmy, trigonometrické a iné funkcie atď. Samostatne zdôrazňujeme, že doslovný výraz obsahuje aspoň jedno písmeno. Môže však obsahovať aj niekoľko rovnakých alebo rôznych písmen.

Teraz uveďme niekoľko príkladov doslovných výrazov. Napríklad a+b je doslovný výraz s písmenami a a b. Tu je ďalší príklad doslovného výrazu 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. A tu je príklad zložitého doslovného výrazu: .

Výrazy s premennými

Ak v doslovnom výraze písmeno označuje veličinu, ktorá nenaberá jednu konkrétnu hodnotu, ale môže nadobudnúť rôzne hodnoty, potom sa toto písmeno nazýva premenlivý a výraz sa nazýva výraz s premennou.

Definícia.

Vyjadrenie s premennými je doslovný výraz, v ktorom písmená (všetky alebo niektoré) označujú veličiny, ktoré nadobúdajú rôzne hodnoty.

Napríklad, nech písmeno x vo výraze x 2 −1 nadobúda akékoľvek prirodzené hodnoty z intervalu od 0 do 10, potom x je premenná a výraz x 2 −1 je výraz s premennou x.

Stojí za zmienku, že vo výraze môže byť niekoľko premenných. Napríklad, ak považujeme x a y za premenné, potom výraz je výraz s dvoma premennými x a y.

Vo všeobecnosti prechod od pojmu doslovný výraz k výrazu s premennými nastáva v 7. ročníku, keď začínajú študovať algebru. Až do tohto bodu výrazy písmen modelovali niektoré špecifické úlohy. V algebre sa na výraz začnú pozerať všeobecnejšie, bez odkazu na konkrétny problém, s tým, že tento výraz sa hodí na obrovské množstvo problémov.

Na záver tohto bodu venujme pozornosť ešte jednému bodu: podľa výskytu doslovného výrazu nie je možné zistiť, či písmená v ňom obsiahnuté sú premenné alebo nie. Preto nám nič nebráni považovať tieto písmená za premenné. V tomto prípade zaniká rozdiel medzi pojmami „doslovný výraz“ a „výraz s premennými“.

Bibliografia.

• Matematika. 2 triedy Učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie s adj. na elektrón dopravca. O 14:00 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková atď.] - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2012. - 96 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematika: učebnica pre 5. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Program voliteľného predmetu „Prevod číselných a abecedných výrazov“

Vysvetľujúca poznámka

V posledných rokoch sa kontrola kvality školskej matematickej výučby vykonáva pomocou CMM, ktorých väčšina úloh je ponúkaná v testovacej forme. Táto forma testovania sa líši od klasickej skúšobnej písomky a vyžaduje si špecifickú prípravu. Znakom testovania vo forme, ktorá sa dodnes vyvinula, je potreba zodpovedať veľké množstvo otázok v obmedzenom časovom období, t.j. Je potrebné nielen správne odpovedať na položené otázky, ale aj dostatočne rýchlo. Preto je dôležité, aby si žiaci osvojili rôzne techniky a metódy, ktoré im umožnia dosiahnuť požadovaný výsledok.

Pri riešení takmer akéhokoľvek školského matematického problému musíte urobiť nejaké transformácie. Jeho zložitosť je často úplne určená stupňom zložitosti a množstvom transformácií, ktoré je potrebné vykonať. Nezriedka sa stáva, že študent nevie vyriešiť problém nie preto, že by nevedel, ako sa rieši, ale preto, že nedokáže urobiť všetky potrebné transformácie a výpočty v určenom čase bez chýb.

Príklady prevodu číselných výrazov nie sú dôležité samy osebe, ale ako prostriedok rozvoja techník prevodu. S každým rokom školskej dochádzky sa pojem čísla rozširuje z prirodzeného na skutočný a na strednej škole sa študujú transformácie moci, logaritmické a trigonometrické výrazy. Tento materiál je dosť ťažké študovať, pretože obsahuje veľa vzorcov a transformačných pravidiel.

Ak chcete zjednodušiť výraz, vykonať požadované akcie alebo vypočítať hodnotu výrazu, musíte vedieť, ktorým smerom by ste sa mali „pohnúť“ po ceste transformácií, ktoré vedú k správnej odpovedi po najkratšej „trase“. Výber racionálnej cesty do značnej miery závisí od vlastníctva celého objemu informácií o metódach transformácie výrazov.

Na strednej škole je potrebná systematizácia a prehlbovanie vedomostí a praktických zručností pri práci s číselnými výrazmi. Štatistiky ukazujú, že približne 30 % chýb pri prihláške na univerzity je výpočtového charakteru. Preto pri zvažovaní relevantných tém na strednej škole a pri ich opakovaní na strednej škole je potrebné venovať väčšiu pozornosť rozvoju počítačových zručností u školákov.

Na pomoc učiteľom vyučujúcim v 11. ročníku odbornej školy preto môžeme ponúknuť výberový predmet „Prevod číselných a abecedných výrazov v školskom kurze matematiky“.

Známky:== 11

Typ voliteľného kurzu:

systematizujúci, zovšeobecňujúci a prehlbujúci kurz.

Počet hodín:

34 (za týždeň – 1 hodina)

Vzdelávacia oblasť:

matematiky

Ciele a ciele kurzu:

Systematizácia, zovšeobecňovanie a rozširovanie vedomostí žiakov o číslach a operáciách s nimi; - vytváranie záujmu o výpočtový proces; - rozvoj samostatnosti, tvorivého myslenia a kognitívneho záujmu žiakov; - prispôsobenie študentov novým pravidlám prijímania na vysoké školy.

Organizácia štúdia kurzu

Výberový predmet „Prevod číselných a písmenných výrazov“ rozširuje a prehlbuje základné učivo matematiky na strednej škole a je určený pre štúdium v ​​11. ročníku. Navrhovaný kurz má za cieľ rozvíjať výpočtové zručnosti a bystrosť myslenia. Kurz je štruktúrovaný podľa klasického vyučovacieho plánu s dôrazom na praktické cvičenia. Je určený pre študentov s vysokou alebo priemernou úrovňou matematickej prípravy a má im pomôcť pripraviť sa na prijatie na vysoké školy a uľahčiť pokračovanie seriózneho matematického vzdelávania.

Plánované výsledky:

znalosť klasifikácie čísel;

Zlepšenie zručností a schopností rýchleho počítania;

Schopnosť používať matematické nástroje pri riešení rôznych problémov;

Rozvoj logického myslenia, uľahčenie pokračovania seriózneho matematického vzdelávania.

Obsah výberového predmetu „Premena číselných a abecedných výrazov“

Celé čísla (4 h):Číselný rad. Základná veta aritmetiky. GCD a NOC. Známky deliteľnosti. Metóda matematickej indukcie.

Racionálne čísla (2h): Definícia racionálneho čísla. Hlavná vlastnosť zlomku. Skrátené vzorce násobenia. Definícia periodického zlomku. Pravidlo na prevod z desatinného periodického zlomku na obyčajný zlomok.

Iracionálne čísla. Radikáli. Stupne. Logaritmy (6h): Definícia iracionálneho čísla. Dôkaz iracionality čísla. Zbavenie sa iracionality v menovateli. Reálne čísla. Vlastnosti stupňa. Vlastnosti aritmetického koreňa n-tého stupňa. Definícia logaritmu. Vlastnosti logaritmov.

Goniometrické funkcie (4h):Číselný kruh. Číselné hodnoty goniometrických funkcií základných uhlov. Prevod veľkosti uhla zo stupňovej miery na radiánovú mieru a naopak. Základné goniometrické vzorce. Redukčné vzorce. Inverzné goniometrické funkcie. Goniometrické operácie na oblúkových funkciách. Základné vzťahy medzi oblúkovými funkciami.

Komplexné čísla (2h): Koncept komplexného čísla. Akcie s komplexnými číslami. Trigonometrické a exponenciálne formy komplexných čísel.

Stredné testovanie (2h)

Porovnanie číselných výrazov (4h): Numerické nerovnosti na množine reálnych čísel. Vlastnosti numerických nerovností. Podporovať nerovnosti. Metódy dokazovania numerických nerovností.

Doslovné výrazy (8h): Pravidlá pre prevod výrazov s premennými: polynómy; algebraické zlomky; iracionálne prejavy; trigonometrické a iné výrazy. Dôkazy identít a nerovností. Zjednodušenie výrazov.

Výchovno-tematický plán

Plán je platný 34 hodín. Je koncipovaná s ohľadom na tému diplomovej práce, preto sú uvažované dve samostatné časti: číselné a abecedné výrazy. Podľa uváženia učiteľa môžu byť v príslušných témach zvažované aj abecedné výrazy spolu s číselnými výrazmi.