Tabuľkové hodnoty funkcií. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre diskrétnu náhodnú premennú
2.1. Laplaceova funkcia (pravdepodobnostný integrál). vyzerá ako:
Graf Laplaceovej funkcie je na obr.5.
Funkcia F(X) je uvedený v tabuľke (pozri tabuľku 1 v prílohách). Ak chcete použiť túto tabuľku, musíte vedieť vlastnosti Laplaceovej funkcie:
1) Funkcia Ф( X) zvláštny: F(-X)= -F(X).
2) Funkcia F(X) monotónne narastá.
3) F(0)=0.
4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ ) = -0,5. V praxi môžeme predpokladať, že pre x³5 je funkcia F(X) = 0,5; pre x £ -5 funkciu F(X)=-0,5.
2.2. Existujú aj iné formy Laplaceovej funkcie:
a 
Na rozdiel od týchto foriem funkcia F(X) sa nazýva štandardná alebo normalizovaná Laplaceova funkcia. Vzťahmi súvisí s inými formami:
 |
PRÍKLAD 2. Spojitá náhodná premenná X má zákon normálneho rozdelenia s parametrami: m=3, s=4. Nájdite pravdepodobnosť, že výsledkom testu je náhodná premenná X: a) bude mať hodnotu obsiahnutú v intervale (2; 6); b) bude mať hodnotu menšiu ako 2; c) bude mať hodnotu väčšiu ako 10; d) odchýliť sa od matematického očakávania o hodnotu nepresahujúcu 2. Riešenie úlohy znázornite graficky.
Riešenie. a) Pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná X spadá do určeného intervalu ( a,b), kde a= 2 a b=6 sa rovná:
Hodnoty Laplaceovej funkcie F(x) určí podľa tabuľky uvedenej v prílohe s prihliadnutím na to F(–X)= –F(X).
b) Pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná X bude mať hodnotu menšiu ako 2, rovná sa:
c) Pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná X má hodnotu väčšiu ako 10, rovná sa:
d) Pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná X d=2 sa rovná:
Z geometrického hľadiska sa vypočítané pravdepodobnosti číselne rovnajú vytieňovaným oblastiam pod normálnou krivkou (pozri obr. 6).
 |
|||
 |
|
Ryža. 6. Normálna krivka pre náhodnú premennú X~N(3;4)
PRÍKLAD 3. Priemer hriadeľa sa meria bez systematických chýb (jedno znamienko). Náhodné chyby merania podliehajú zákonu normálneho rozdelenia so štandardnou odchýlkou 10 mm. Nájdite pravdepodobnosť, že meranie bude vykonané s chybou nepresahujúcou 15 mm v absolútnej hodnote.
Riešenie. Matematické očakávanie náhodných chýb je nulové m X odchýliť sa od matematického očakávania o sumu menšiu ako d=15 sa rovná:
PRÍKLAD 4. Stroj vyrába gule. Lopta sa považuje za platnú, ak odchýlka X priemer gule z konštrukčnej veľkosti je v absolútnej hodnote menší ako 0,7 mm. Za predpokladu, že náhodná premenná X rozložené normálne so smerodajnou odchýlkou 0,4 mm, zistite, koľko dobrých loptičiek bude v priemere medzi 100 vyrobenými.
Riešenie. Náhodná hodnota X- odchýlka priemeru gule od konštrukčnej veľkosti. Matematické očakávanie odchýlky je nulové, t.j. M(X)=m=0. Potom pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná X odchýliť sa od matematického očakávania o sumu menšiu ako d\u003d 0,7 sa rovná:
Z toho vyplýva, že približne 92 loptičiek zo 100 bude dobrých.
PRÍKLAD 5. Dokážte pravidlo „3 s».
Riešenie. Pravdepodobnosť normálnej náhodnej premennej X odchýliť sa od matematického očakávania o sumu menšiu ako d= 3s, rovná sa:
PRÍKLAD 6. Náhodná hodnota X normálne rozdelené s matematickým očakávaním m=10. Pravdepodobnosť zásahu X v intervale (10, 20) je 0,3. Aká je pravdepodobnosť zásahu X do intervalu (0, 10)?
Riešenie. Normálna krivka je symetrická podľa priamky X=m=10, teda oblasti ohraničené nad normálnou krivkou a pod nimi intervalmi (0, 10) a (10, 20) sú si navzájom rovné. Keďže oblasti sa číselne rovnajú pravdepodobnosti zásahu X v príslušnom intervale.
Lokálne a integrálne Laplaceove teorémy
Tento článok je prirodzeným pokračovaním lekcie o nezávislé testy kde sme sa stretli Bernoulliho vzorec a vypracovali typické príklady na danú tému. Lokálna a integrálna Laplaceova veta (Moivre-Laplaceova) rieši podobný problém s tým rozdielom, že je aplikovateľná na dostatočne veľký počet nezávislých testov. Slová „lokálne“, „integrálne“, „teorémy“ netreba zamlčovať – materiál je zvládnutý s rovnakou ľahkosťou, s akou Laplace potľapkal Napoleonovu kučeravú hlavu. Preto bez akýchkoľvek komplexov a predbežných poznámok okamžite zvážime ukážkový príklad:
Minca je hodená 400-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hlavy zdvihnú 200-krát.
Podľa charakteristických vlastností, tu je potrebné aplikovať Bernoulliho vzorec 
. Pripomeňme si význam týchto písmen:
je pravdepodobnosť, že náhodná udalosť nastane práve raz v nezávislých pokusoch;
– binomický koeficient;
je pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v každom pokuse;
Pre našu úlohu:
je celkový počet testov;
- počet hodov, pri ktorých by mal orol vypadnúť;
Pravdepodobnosť, že výsledkom 400 hodov mincou je presne 200 hláv, je teda: ...Stop, čo robiť ďalej? Mikrokalkulačka (aspoň moja) nezvládla 400. stupeň a kapitulovala faktoriály. A nemal som chuť počítať cez produkt =) Využime Štandardná funkcia Excel, ktorému sa podarilo spracovať monštrum: .
Upozorňujem na to, čo bolo prijaté presné hodnotu a takéto riešenie sa javí ako ideálne. Na prvý pohľad. Tu je niekoľko presvedčivých protiargumentov:
- po prvé, softvér nemusí byť po ruke;
- a po druhé, riešenie bude vyzerať neštandardne (s vysokou pravdepodobnosťou to budete musieť prerobiť);
Preto, milí čitatelia, v blízkej budúcnosti nás čaká:
Miestna Laplaceova veta
Ak je pravdepodobnosť výskytu náhodnej udalosti v každom pokuse konštantná, potom pravdepodobnosť, že sa udalosť vyskytne práve raz v pokusoch, je približne rovná: 
, kde .
Zároveň platí, že čím viac, tým lepšie sa vypočítaná pravdepodobnosť priblíži presnej získanej hodnote (aspoň hypoteticky) podľa Bernoulliho vzorca. Odporúčaný minimálny počet testov je približne 50-100, inak môže byť výsledok ďaleko od pravdy. Okrem toho lokálna Laplaceova veta funguje tým lepšie, čím je pravdepodobnosť bližšia k 0,5 a naopak - dáva významnú chybu pre hodnoty blízke nule alebo jednotke. Z tohto dôvodu je ďalším kritériom pre efektívne využitie vzorca 
je naplnením nerovnosti ()
.
Takže napríklad ak , potom je opodstatnená aplikácia Laplaceovej vety na 50 pokusov. Ale ak a , potom aproximácia (na presnú hodnotu) bude zle.
O tom prečo a o špeciálnej funkcii 
budeme hovoriť v triede o normálne rozdelenie pravdepodobnosti, ale zatiaľ potrebujeme formálno-výpočtovú stránku problému. Dôležitý je najmä fakt parita táto funkcia: 
.
Formalizujme vzťah s naším príkladom:
Úloha 1
Minca je hodená 400-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy presne pristanú:
a) 200-krát;
b) 225-krát.
Kde začať Riešenie? Najprv si zapíšme známe množstvá, aby sme ich mali pred očami:
je celkový počet nezávislých testov;
je pravdepodobnosť získania hláv v každom hode;
je pravdepodobnosť získania chvostov.
a) Nájdite pravdepodobnosť, že v sérii 400 hodov vypadnú hlavy práve raz. Kvôli veľkému počtu testov používame lokálnu Laplaceovu vetu: 
, kde 
.
V prvom kroku vypočítame požadovanú hodnotu argumentu:
Ďalej nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie: . Dá sa to urobiť niekoľkými spôsobmi. V prvom rade, samozrejme, vznikajú priame výpočty:
Zaokrúhľovanie sa zvyčajne vykonáva na 4 desatinné miesta.
Nevýhodou priameho výpočtu je, že nie každá mikrokalkulačka strávi exponent, navyše výpočty nie sú veľmi príjemné a zaberajú čas. Prečo tak trpieť? Použite terver kalkulačka (bod 4) a získajte hodnotu okamžite!
Okrem toho existuje tabuľka funkčných hodnôt, ktorý je dostupný takmer v každej knihe o teórii pravdepodobnosti, najmä v učebnici V.E. Gmurman. Sťahujte, kto ešte nestiahol - vo všeobecnosti je veľa užitočných vecí ;-) A nezabudnite sa naučiť používať tabuľku (práve teraz!)- vhodná výpočtová technika nemusí byť vždy po ruke!
V záverečnej fáze použijeme vzorec 
:
je pravdepodobnosť, že pri 400 hodoch mince padne hlava presne 200-krát.
Ako vidíte, získaný výsledok je veľmi blízky presnej hodnote vypočítanej z Bernoulliho vzorec.
b) Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy sa objavia presne raz v sérii 400 pokusov. Používame miestnu Laplaceovu vetu. Raz, dva, tri - a máte hotovo:
je požadovaná pravdepodobnosť.
Odpoveď:
Ďalší príklad, ako mnohí uhádli, je venovaný pôrodu - a o tom sa musíte rozhodnúť sami :)
Úloha 2
Pravdepodobnosť mať chlapca je 0,52. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 100 novorodencami bude presne: a) 40 chlapcov, b) 50 chlapcov, c) 30 dievčat.
Výsledky zaokrúhlite na 4 desatinné miesta.
... Fráza “nezávislé testy” tu znie zaujímavo =) Mimochodom, skutočné štatistická pravdepodobnosť pôrodnosť chlapca sa v mnohých regiónoch sveta pohybuje od 0,51 do 0,52.
Príklad úlohy na konci hodiny.
Každý si všimol, že čísla sú pomerne malé, a to by nemalo byť zavádzajúce - koniec koncov, hovoríme o pravdepodobnostiach jednotlivých, miestne hodnoty (odtiaľ názov vety). A takýchto hodnôt je veľa a, obrazne povedané, pravdepodobnosť „by mala stačiť pre každého“. Naozaj, veľa udalostí prakticky nemožné.
Dovoľte mi vysvetliť vyššie uvedené na príklade s mincami: v sérii štyristo pokusov môžu hlavy teoreticky padnúť 0 až 400-krát a tieto udalosti sa formujú celá skupina:
Väčšina z týchto hodnôt však predstavuje skutočný lakomec, takže napríklad pravdepodobnosť, že hlavy vypadnú 250-krát, je už jedna k desiatim milióntinám:. O hodnotách ako napr 
taktne mlč =)
Na druhej strane netreba podceňovať skromné výsledky: ak ide len o , potom pravdepodobnosť, že padnú hlavy, povedzme, 220 až 250 krát, bude veľmi nápadné.
Teraz sa zamyslime: ako vypočítať túto pravdepodobnosť? Nepočítajte podľa sčítacia veta pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí suma:
Tieto hodnoty sú oveľa jednoduchšie spojiť. A spojenie niečoho, ako viete, sa nazýva integrácia:
Laplaceova integrálna veta
Ak je pravdepodobnosť výskytu náhodnej udalosti v každom pokuse konštantná, potom pravdepodobnosť 
skutočnosť, že v skúškach udalosť príde nie menej a nie viackrát (od do časov vrátane), sa približne rovná:
V tomto prípade musí byť počet pokusov, samozrejme, tiež dostatočne veľký a pravdepodobnosť nie je príliš malá / vysoká (približne), inak bude aproximácia nedôležitá alebo zlá.
Funkcia sa volá Laplaceova funkcia a jeho hodnoty sú opäť zhrnuté v štandardnej tabuľke ( nájdite a naučte sa s tým pracovať!!). Mikrokalkulačka tu nepomôže, keďže integrál nie je vysúvateľný. Ale v Exceli existuje zodpovedajúca funkčnosť - použitie bod 5 dizajnové rozloženie.
V praxi sú najbežnejšie hodnoty:
- Zapíšte si to do zošita.
Počnúc od , môžeme predpokladať, že , alebo, ak je napísané prísnejšie: 
Okrem toho funkcia Laplace zvláštny: 
a táto vlastnosť sa aktívne využíva v úlohách, ktoré nás už čakajú:
Úloha 3
Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je 0,7. Nájdite pravdepodobnosť, že pri 100 výstreloch bude cieľ zasiahnutý 65 až 80 krát.
Zobral som najrealistickejší príklad, inak som tu našiel niekoľko úloh, v ktorých strelec urobí tisíce rán =)
Riešenie: v tomto probléme hovoríme opakované nezávislé testy a ich počet je pomerne veľký. Podľa podmienky je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý aspoň 65, ale nie viac ako 80-krát, čo znamená, že musíme použiť Laplaceovu integrálnu vetu: , kde
Pre pohodlie prepisujeme pôvodné údaje do stĺpca:
- celkový počet výstrelov;
- minimálny počet zásahov;
- maximálny počet zásahov;
- pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele;
- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.
Preto Laplaceova veta poskytne dobrú aproximáciu.
Vypočítajme hodnoty argumentov: 
Upozorňujem na skutočnosť, že dielo nemusí byť úplne vytiahnuté spod koreňa (keďže autori úloh radi „upravujú“ čísla)- bez tieňa pochybnosti vytiahneme koreň a výsledok zaokrúhlime; Zvykol som nechávať 4 desatinné miesta. Ale získané hodnoty sú zvyčajne zaokrúhlené na 2 desatinné miesta - táto tradícia pochádza tabuľky funkčných hodnôt, kde sú argumenty uvedené v tejto forme.
Použite vyššie uvedenú tabuľku resp rozloženie terver dizajnu (bod 5).
Ako písomný komentár vám odporúčam uviesť nasledujúcu frázu: nájdeme hodnoty funkcie podľa príslušnej tabuľky:
- pravdepodobnosť, že pri 100 výstreloch bude cieľ zasiahnutý 65 až 80 krát.
Nezabudnite využiť zvláštnosť funkcie! Pre každý prípad napíšem podrobne:
Faktom je, že tabuľka funkčných hodnôt obsahuje iba kladné "x" a fungujeme (aspoň podľa legendy) so stolom!
Odpoveď:
Výsledok sa najčastejšie zaokrúhľuje na 4 desatinné miesta. (opäť podľa formátu tabuľky).
Pre samostatné riešenie:
Úloha 4
V budove je 2500 lámp, pravdepodobnosť, že sa každá z nich večer rozsvieti, je 0,5. Nájdite pravdepodobnosť, že večer bude zapnutých najmenej 1250 a najviac 1275 lámp.
Približná ukážka dokončovania na konci hodiny.
Treba poznamenať, že uvažované úlohy sa veľmi často nachádzajú v „neosobnej“ podobe, napríklad:
Uskutočňuje sa nejaký experiment, pri ktorom môže nastať náhodná udalosť s pravdepodobnosťou 0,5. Experiment sa opakuje za nezmenených podmienok 2500-krát. Určte pravdepodobnosť, že v 2500 experimentoch sa udalosť vyskytne 1250 až 1275 krát
A podobné znenie cez strechu. Kvôli stereotypným úlohám sa stav často snaží zahaliť – toto je „jediná šanca“ ako-tak diverzifikovať a skomplikovať riešenie:
Úloha 5
Inštitút má 1000 študentov. Jedáleň má kapacitu 105 miest. Každý žiak ide počas veľkej prestávky do jedálne s pravdepodobnosťou 0,1. Aká je pravdepodobnosť, že v typický školský deň:
a) jedáleň bude zaplnená najviac do dvoch tretín;
b) nie je dostatok miest pre každého.
Upozorňujem na zásadnú klauzulu „v BEŽNÝ školský deň“ - zabezpečuje relatívnu nemennosť situácie. Po prázdninách môže prísť do ústavu podstatne menej študentov a na „Deň otvorených dverí“ sa zíde hladná delegácia =) Teda v „nezvyčajný“ deň sa budú pravdepodobnosti výrazne líšiť.
Riešenie: používame Laplaceovu integrálnu vetu, kde
V tejto úlohe:
– celkový počet študentov v ústave;
- pravdepodobnosť, že žiak pôjde do jedálne o veľkej prestávke;
je pravdepodobnosť opačnej udalosti.
a) Vypočítajte, koľko miest tvorí dve tretiny z celkového počtu: miest
Nájdite pravdepodobnosť, že v typický školský deň bude jedáleň zaplnená najviac z dvoch tretín. Čo to znamená? To znamená, že na veľkú prestávku príde od 0 do 70 ľudí. To, že nepríde nikto alebo príde len pár študentov – sú akcie prakticky nemožné Aby sme však mohli použiť Laplaceovu integrálnu vetu, mali by sa tieto pravdepodobnosti stále brať do úvahy. Touto cestou: 
Vypočítajme zodpovedajúce argumenty: 
Ako výsledok:
- pravdepodobnosť, že v typický školský deň bude jedáleň naplnená najviac z dvoch tretín.
Pripomenutie : keď sa Laplaceova funkcia považuje za rovnú .
Rozdrv, však =)
b) Udalosť "Nie je dostatok miest pre každého" spočíva v tom, že počas veľkej prestávky príde do jedálne od 106 do 1000 ľudí (hlavne dobre tesniť =)). Je jasné, že vysoká návštevnosť je neskutočná, ale predsa: 
.
Počítanie argumentov: 
Pravdepodobnosť, že nebude dostatok miest pre všetkých:
Odpoveď:
Teraz sa zamerajme na jeden dôležitá nuansa metóda: keď vykonávame výpočty na samostatný segment, potom je všetko „bez mráčika“ - rozhodnite sa podľa uvažovanej šablóny. Ak sa však zváži kompletná skupina podujatí by sa malo ukázať určitú presnosť. Dovoľte mi vysvetliť tento bod na príklade práve analyzovaného problému. V odseku „byť“ sme našli pravdepodobnosť, že nebude dostatok miest pre každého. Ďalej podľa rovnakej schémy vypočítame:
- pravdepodobnosť, že bude dostatok miest.
Pretože tieto udalosti opak, potom sa súčet pravdepodobností musí rovnať jednej:
Čo sa deje? – tu sa zdá byť všetko logické. Ide o to, že Laplaceova funkcia je nepretržitý, ale nebrali sme do úvahy interval zo 105 na 106. Tu zmizol kus 0,0338. Preto podľa rovnakého štandardného vzorca treba vypočítať:
No, alebo ešte jednoduchšie:
Vynára sa otázka: čo keby sme PRVÝ našli? Potom bude existovať ďalšia verzia riešenia:
Ale ako to môže byť?! – dvoma spôsobmi sa dajú získať rôzne odpovede! Je to jednoduché: Laplaceova integrálna veta je metóda približné výpočty, a preto sú prijateľné obe cesty.
Pre presnejšie výpočty použite Bernoulliho vzorec a napríklad funkcia excel BINOMDIST. Ako výsledok jeho uplatnenie dostaneme:
A vyjadrujem svoju vďaku jednému z návštevníkov stránky, ktorý upozornil na túto jemnosť - vypadla z môjho zorného poľa, pretože štúdium kompletnej skupiny udalostí sa v praxi vyskytuje len zriedka. Kto chce, môže sa s ním zoznámiť
Jednou z najznámejších neelementárnych funkcií, ktorá sa používa v matematike, v teórii diferenciálnych rovníc, v štatistike a v teórii pravdepodobnosti, je Laplaceova funkcia. Riešenie problémov s ním si vyžaduje výraznú prípravu. Poďme zistiť, ako môžete tento ukazovateľ vypočítať pomocou nástrojov programu Excel.
Laplaceova funkcia má široké aplikačné a teoretické uplatnenie. Pomerne často sa napríklad používa na riešenie diferenciálnych rovníc. Tento výraz má ešte jeden ekvivalentný názov – pravdepodobnostný integrál. V niektorých prípadoch je základom riešenia konštrukcia tabuľky hodnôt.
Operátor NORM.ST.DIST
V Exceli sa zadaná úloha rieši pomocou operátora NORM.ST.DIST. Jeho názov je skratkou pre výraz „normálna štandardná distribúcia“. Keďže jeho hlavnou úlohou je vrátiť do vybranej bunky štandardné normálne integrálne rozdelenie. Tento operátor patrí do štatistickej kategórie štandardných funkcií Excelu.
V Exceli 2007 a starších verziách programu sa toto vyhlásenie nazývalo NORMSTRAST. Pre účely kompatibility je ponechaný aj v moderných verziách aplikácií. Napriek tomu odporúčajú použitie pokročilejšieho analógu - NORM.ST.DIST.
Syntax operátora NORM.ST.DIST nasledovne:
NORM.ST.DIS(z;integrálne)
Zastaraný operátor NORMSTRAST sa píše takto:
NORMSDIST(z)
Ako vidíte, v novej verzii k existujúcemu argumentu Z pridaný argument "Integrálne". Treba poznamenať, že každý argument je povinný.
Argumentovať Z určuje číselnú hodnotu, pre ktorú sa vykresľuje rozdelenie.
Argumentovať "Integrálne" je boolovská hodnota, ktorá môže byť reprezentovaná "PRAVDA" ("jeden") alebo "FALSE" («0») . V prvom prípade sa funkcia integrálneho rozdelenia vráti do zadanej bunky a v druhom prípade funkcia rozloženia hmotnosti.
Riešenie problému
Ak chcete vykonať požadovaný výpočet premennej, použije sa nasledujúci vzorec:
NORM.ST.DIST(z;integrál(1))-0,5
Teraz sa pozrime na konkrétny príklad s použitím operátora NORM.ST.DIST na vyriešenie konkrétneho problému.
Laplaceova funkcia je neelementárna funkcia a často sa používa v teórii diferenciálnych rovníc a teórii pravdepodobnosti, ako aj v štatistike. Funkcia Laplace vyžaduje určitý súbor znalostí a školení, pretože umožňuje riešiť rôzne problémy v oblasti aplikovaných a teoretických aplikácií.
Laplaceova funkcia sa často používa na riešenie diferenciálnych rovníc a často sa označuje ako integrál pravdepodobnosti. Pozrime sa, ako možno túto funkciu použiť v Exceli a ako funguje.
Pravdepodobnostný integrál alebo Laplaceova funkcia v Exceli zodpovedá operátoru "NORMSDIST", ktorý má syntax: "=NORMSDIST(z). V novších verziách programu má operátor aj názov "NORM.ST.DIST." a mierne upravená syntax “=NORM.ST.DIST(z; integrál).
Argument "Z" je zodpovedný za číselnú hodnotu rozdelenia. Argument "Integrál" - vráti dve hodnoty - "1" - funkcia integrálneho rozdelenia, "0" - funkcia rozloženia hmotnosti.
Teória je pochopená. Prejdime k praxi. Zvážte použitie funkcie Laplace v Exceli.
1. Napíšte hodnotu do bunky, do ďalšej vložte funkciu.
2. Napíšme funkciu ručne "=NORM.ST.DIST(B4;1).
3. Alebo použite sprievodcu vkladaním funkcií – prejdite do kategórie „Statické“ a vyberte „Úplný abecedný zoznam“.
4. V zobrazenom okne argumentov funkcie ukážte na počiatočné hodnoty. Naša pôvodná bunka bude zodpovedná za premennú „Z“ a do položky „Integrál“ vložíme „1“. Naša funkcia vráti funkciu kumulatívneho rozdelenia.
5. Získame hotové riešenie štandardného normálneho integrálneho rozdelenia pre túto funkciu „NORM.ST.DIST“. To však nie je všetko, naším cieľom bolo nájsť Laplaceovu funkciu alebo pravdepodobnostný integrál, takže urobme ešte pár krokov.
6. Laplaceova funkcia znamená, že od hodnoty získanej funkcie sa musí odpočítať "0,5". K funkcii pridáme potrebnú operáciu. Stlačte "Enter" a získajte konečné riešenie. Požadovaná hodnota je správna a rýchlo nájdená.
Excel jednoducho vypočíta túto funkciu pre akúkoľvek hodnotu bunky, rozsah buniek alebo odkazy na bunky. Funkcia NORM.ST.DIST je štandardný operátor na nájdenie pravdepodobnostného integrálu alebo, ako sa tiež nazýva, Laplaceova funkcia.
Bayesov vzorec
Udalosti B 1 , B 2 ,…, B n sú nezlučiteľné a tvoria ucelenú skupinu, t.j. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. A nech udalosť A môže nastať len vtedy, keď sa objaví jedna z udalostí B 1 , B 2 ,…, B n. Potom sa pravdepodobnosť udalosti A zistí pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti.
Nech sa udalosť A už stala. Potom možno pravdepodobnosti hypotéz B 1 , B 2 ,…, B n nadhodnotiť pomocou Bayesovho vzorca:
Bernoulliho vzorec
Nech sa vykoná n nezávislých pokusov, v každom z nich udalosť A môže alebo nemusí nastať. Pravdepodobnosť výskytu (nie výskytu) udalosti A je rovnaká a rovná sa p (q=1-p).
Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch sa udalosť A vyskytne presne k-krát (podľa obr. v akom poradí), sa zistí podľa Bernoulliho vzorca:
Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch dôjde k udalosti:
a). Menej ako krát P n (0) + P n (1) +… + P n (k-1).
b). Viac ako k krát Pn (k+1)+Pn (k+2)+…+Pn (n).
v). aspoň k krát Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).
G). nie viac ako k krát P n (0) + P n (1) +… + P n (k).
Lokálne a integrálne Laplaceove vety.
Tieto vety používame, keď je n dostatočne veľké.
Miestna Laplaceova veta
Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch dôjde k udalosti presne „k“ krát, sa približne rovná:
Tabuľka funkcií pre kladné hodnoty (x) je uvedená v Gmurmanovej knihe problémov v prílohe 1, str. 324-325.
Pretože párne (), potom pre záporné hodnoty (x) používame rovnakú tabuľku.
Laplaceova integrálna veta.
Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch sa udalosť vyskytne aspoň „k“ krát, sa približne rovná:
Laplaceova funkcia
Tabuľka funkcií pre kladné hodnoty je uvedená v Gmurmanovej knihe problémov v prílohe 2, str. 326-327. Pre hodnoty väčšie ako 5 nastavíme Ф(х)=0,5.
Keďže Laplaceova funkcia je nepárna F (-x) \u003d - F (x), potom pre záporné hodnoty (x) používame rovnakú tabuľku, iba hodnoty funkcie berieme so znamienkom mínus.
Zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre diskrétnu náhodnú premennú
Zákon binomického rozdelenia.
Diskrétne- náhodná premenná, ktorej možné hodnoty sú samostatné izolované čísla, ktoré táto premenná nadobúda s určitou pravdepodobnosťou. Inými slovami, možné hodnoty diskrétnej náhodnej premennej možno očíslovať.
Počet možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej môže byť konečný alebo nekonečný.
Diskrétne náhodné premenné sú označené veľkými písmenami X a ich možné hodnoty - malými písmenami x1, x2, x3 ...
Napríklad.
X je počet bodov hodených na kocke; X má šesť možných hodnôt: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 s pravdepodobnosťami p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 = 1/6.
Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej pomenujte zoznam jeho možných hodnôt a im zodpovedajúcich pravdepodobností.
Distribučný zákon môže byť daný:
1. vo forme tabuľky.
2. Analyticky - vo forme vzorca.
3. graficky. V tomto prípade sú body М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) zostrojené v pravouhlom súradnicovom systéme XOP. Tieto body sú spojené rovnými čiarami. Výsledný tvar je tzv distribučný polygón.
Na napísanie zákona o rozdelení diskrétnej náhodnej premennej (x) je potrebné uviesť všetky jej možné hodnoty a nájsť im zodpovedajúce pravdepodobnosti.
Ak sa im zodpovedajúce pravdepodobnosti nájdu podľa Bernoulliho vzorca, potom sa takýto zákon rozdelenia nazýva binomický.
Príklad č. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Číselné hodnoty diskrétnych náhodných premenných.
Matematické očakávanie, rozptyl a smerodajná odchýlka.
Stredná hodnota diskrétnej náhodnej premennej je charakterizovaná matematickým očakávaním.
matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností. Tie. ak je daný distribučný zákon, tak matematické očakávanie
Ak je počet možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej nekonečný, potom
Navyše rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje a súčet všetkých pravdepodobností pi je rovný jednej.
Vlastnosti matematického očakávania.
1. M(S)=S, S=konc.
2. M(Cx)=CM(x)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Pre zákon binomického rozdelenia sa matematické očakávanie zistí podľa vzorca:
Charakteristickým znakom rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo matematického očakávania je rozptyl a štandardná odchýlka.
disperzia diskrétna náhodná premenná (x) sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky. D(x)=M(x-M(x))2.
Disperzia sa pohodlne vypočíta podľa vzorca: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.
Disperzné vlastnosti.
1. D(S)=0, S=konc.
2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Disperzia zákona o binomickom rozdelení
Smerodajná odchýlka náhodná premenná sa nazýva druhá odmocnina rozptylu.
príklady. 191, 193, 194, 209, d/z.
Integrálna distribučná funkcia (IDF, DF) pravdepodobností spojitej náhodnej premennej (NSV). Nepretržitý- množstvo, ktoré môže nadobudnúť všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Existuje niekoľko možných hodnôt NSV a nemožno ich prečíslovať.
Napríklad.
Vzdialenosť, ktorú projektil prejde pri vystrelení, je NSV.
FMI sa nazýva funkcia F(x), ktorá určuje pre každú hodnotu x pravdepodobnosť, že NSV X nadobudne hodnotu X<х, т.е. F(x)=Р(X Často hovoria FR namiesto IFR. Geometricky platí, že rovnosť F(x)=P(X IF vlastnosti. 1. Hodnota IF patrí do intervalu , t.j. F(x). 2. IF je neklesajúca funkcia, t.j. x2 > x1,. Dôsledok 1. Pravdepodobnosť, že NSV X nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale (a; c) sa rovná prírastku integrálnej funkcie na tomto intervale, t.j. P(a Dôsledok 2. Pravdepodobnosť, že NSV X nadobudne jednu konkrétnu hodnotu, napríklad x1=0, sa rovná 0, t.j. P(x=x1)=0. 3. Ak všetky možné hodnoty NSV X patria do (a; c), potom F(x)=0 pre x<а, и F(x)=1 при х>v. Dôsledok 3. Platia nasledujúce limitné vzťahy. Funkcia diferenciálneho rozdelenia (DDF) pravdepodobností spojitej náhodnej premennej (NSV) (hustota pravdepodobnosti). DF f(x) Rozdelenie pravdepodobnosti NSV nazývame prvý derivát IGF: Často namiesto PDD hovoria hustota pravdepodobnosti (PD). Z definície vyplýva, že ak poznáme IF F(x), môžeme nájsť DF f(x). Ale vykoná sa aj spätná transformácia: ak poznáme DF f(x), môžeme nájsť IF F(x). Pravdepodobnosť, že NSW X nadobudne hodnotu patriacu do (a; c) je: ALE). Ak je dané IF - následok 1. B). Ak je uvedené DF Vlastnosti DF. 1. DF - nie negatívne, t.j. . 2. nevlastný integrál DF v (), sa rovná 1, t.j. . Dôsledok 1. Ak všetky možné hodnoty NSV X patria do (a; c), potom. Príklady. č. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z. Číselné charakteristiky NSV. 1. Matematické očakávanie (MO) NSW X, ktorého možné hodnoty patria do celej osi OX, je určené vzorcom: Ak všetky možné hodnoty NSV X patria do (a; c), potom MO je určený vzorcom: Všetky vlastnosti MO, uvedené pre diskrétne veličiny, sú zachované aj pre spojité veličiny. 2. Disperzia NSW X, ktorej možné hodnoty patria do celej osi OX, je určená vzorcom: Ak všetky možné hodnoty NSV X patria do (a; c), potom je rozptyl určený vzorcom: Všetky vlastnosti disperzie uvedené pre diskrétne množstvá sú zachované aj pre spojité množstvá. 3. Smerodajná odchýlka NSW X sa určuje rovnakým spôsobom ako pre diskrétne veličiny: Príklady. č. 276, 279, X, d/s. Operačný počet (OI). OI je metóda, ktorá umožňuje zredukovať operácie diferenciácie a integrácie funkcií na jednoduchšie akcie: násobenie a delenie argumentom takzvaných obrázkov týchto funkcií. Použitie OI uľahčuje riešenie mnohých problémov. Najmä problémy integrácie LDE s konštantnými koeficientmi a sústavami takýchto rovníc, ich redukciou na lineárne algebraické. originály a obrázky. Laplaceove premeny. f(t)-originál; F(p)-obraz. Prechod f(t)F(p) sa nazýva Laplaceova transformácia. Laplaceova transformácia funkcie f(t) sa nazýva F(p), ktorá závisí od komplexnej premennej a je definovaná vzorcom: Tento integrál sa nazýva Laplaceov integrál. Aby tento nevlastný integrál konvergoval, stačí predpokladať, že f(t) je po častiach spojitý v intervale a pre niektoré konštanty M > 0 a spĺňa nerovnosť Zavolá sa funkcia f(t) s takýmito vlastnosťami originálny, a prechod z originálu na jeho obrázok sa nazýva Laplaceova transformácia. Vlastnosti Laplaceovej transformácie. Priame určenie obrázkov podľa vzorca (2) je zvyčajne ťažké a dá sa výrazne uľahčiť použitím vlastností Laplaceovej transformácie. Nech F(p) a G(p) sú obrazy originálov f(t) a g(t). Potom dôjde k nasledujúcim vzťahom vlastností: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - vlastnosť homogenity. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - aditívna vlastnosť. 3. f(t)F(p-) - veta o posunutí. prechod n-tej derivácie originálu do obrazu (pôvodná diferenciačná veta).
