Matrix Cramerov teorém. Cramerovo pravidlo

S počtom rovníc zhodným s počtom neznámych s hlavným determinantom matice, ktorý sa nerovná nule, sú koeficienty sústavy (pre takéto rovnice existuje riešenie a je len jedno).

Cramerova veta.

Keď je determinant matice štvorcového systému nenulový, potom je systém kompatibilný a má jedno riešenie a možno ho nájsť pomocou Cramerove vzorce:

kde Δ - determinant systémovej matice,

Δ i- determinant matice sústavy, v ktorej namiesto i stĺpec je stĺpec pravých častí.

Keď je determinant systému nula, potom sa systém môže stať konzistentným alebo nekonzistentným.

Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé systémy s výpočtami objemu a ak je potrebné určiť 1 z neznámych. Zložitosť metódy spočíva v tom, že je potrebné vypočítať veľa determinantov.

Popis Cramerovej metódy.

Existuje systém rovníc:

Systém 3 rovníc možno vyriešiť Cramerovou metódou, ktorá bola diskutovaná vyššie pre systém 2 rovníc.

Determinant poskladáme z koeficientov neznámych:

Toto bude systémový kvalifikátor. Kedy D≠0, takže systém je konzistentný. Teraz vytvoríme 3 ďalšie determinanty:

,,

Riešime systém tým Cramerove vzorce:

Príklady riešenia sústav rovníc Cramerovou metódou.

Príklad 1.

Daný systém:

Riešime to Cramerovou metódou.

Najprv musíte vypočítať determinant matice systému:

Pretože Δ≠0, teda z Cramerovej vety je systém kompatibilný a má jedno riešenie. Vypočítame ďalšie determinanty. Determinant Δ 1 sa získa z determinantu Δ nahradením jeho prvého stĺpca stĺpcom voľných koeficientov. Dostaneme:

Rovnakým spôsobom získame determinant Δ 2 z determinantu matice systému, pričom druhý stĺpec nahradíme stĺpcom voľných koeficientov:

Metódy Kramer a Gaussovský jedno z najpopulárnejších riešení SLAU. Okrem toho je v niektorých prípadoch vhodné použiť špecifické metódy. Stretnutie je blízko a teraz je čas ich zopakovať alebo zvládnuť od začiatku. Dnes sa zaoberáme riešením Cramerovou metódou. Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou je totiž veľmi užitočná zručnosť.

Systémy lineárnych algebraických rovníc

Sústava lineárnych algebraických rovníc je sústava rovníc v tvare:

Nastavená hodnota X , pri ktorej sa rovnice systému menia na identity, sa nazýva riešenie systému, a a b sú skutočné koeficienty. Jednoduchý systém pozostávajúci z dvoch rovníc s dvoma neznámymi sa dá vyriešiť mentálne alebo vyjadrením jednej premennej pomocou druhej. Ale v SLAE môže byť oveľa viac ako dve premenné (x) a jednoduché školské manipulácie sú tu nevyhnutné. Čo robiť? Napríklad vyriešte SLAE Cramerovou metódou!

Nech je teda systém n rovnice s n neznámy.

Takýto systém je možné prepísať do maticovej formy

Tu A je hlavnou maticou systému, X a B , respektíve stĺpcové matice neznámych premenných a voľných členov.

Roztok SLAE Cramerovou metódou

Ak sa determinant hlavnej matice nerovná nule (matica je nesingulárna), systém možno vyriešiť Cramerovou metódou.

Podľa Cramerovej metódy sa riešenie nájde podľa vzorcov:

Tu delta je determinantom hlavnej matice a delta x n-tý - determinant získaný z determinantu hlavnej matice nahradením n-tého stĺpca stĺpcom voľných členov.

Toto je celý zmysel Cramerovej metódy. Nahradením hodnôt zistených vyššie uvedenými vzorcami X do požadovaného systému, sme presvedčení o správnosti (alebo naopak) nášho riešenia. Aby sme vám pomohli rýchlo pochopiť podstatu, uvádzame nižšie príklad podrobného riešenia SLAE Cramerovou metódou:

Aj keď sa vám to nepodarí na prvýkrát, nenechajte sa odradiť! S trochou cviku začnete vyskakovať POMALY ako orechy. Navyše teraz nie je absolútne potrebné vŕtať sa v notebooku, riešiť ťažkopádne výpočty a písať na palicu. SLAE je jednoduché vyriešiť Cramerovou metódou online, len dosadením koeficientov do hotového formulára. Online kalkulačku na riešenie Cramerovej metódy si môžete vyskúšať napríklad na tejto stránke.

A ak sa systém ukázal ako tvrdohlavý a nevzdáva sa, vždy sa môžete obrátiť na našich autorov o pomoc, napríklad. Ak je v systéme aspoň 100 neznámych, určite to vyriešime správne a včas!

Nech sústava lineárnych rovníc obsahuje toľko rovníc, koľko je nezávislých premenných, t.j. má formu

Takéto systémy lineárnych rovníc sa nazývajú kvadratické. Determinant zložený z koeficientov nezávislých premenných systému (1.5) sa nazýva hlavný determinant systému. Budeme ho označovať gréckym písmenom D.

. (1.6)

Ak je v hlavnom determinante ľubovoľný ( j th) stĺpec, nahraďte ho stĺpcom voľných členov systému (1.5), potom môžeme získať viac n pomocné determinanty:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravidlo riešenie kvadratických sústav lineárnych rovníc je nasledovné. Ak je hlavný determinant D sústavy (1.5) nenulový, potom má sústava tiež jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť podľa vzorcov:

(1.8)

Príklad 1.5. Riešte sústavu rovníc Cramerovou metódou

.

Vypočítajme hlavný determinant systému:

Od D¹0 má systém jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť pomocou vzorcov (1.8):

Touto cestou,

Maticové akcie

1. Násobenie matice číslom. Operácia násobenia matice číslom je definovaná nasledovne.

2. Ak chcete vynásobiť maticu číslom, musíte vynásobiť všetky jej prvky týmto číslom. Teda

. (1.9)

Príklad 1.6. .

Pridanie matice.

Táto operácia je zavedená len pre matice rovnakého rádu.

Na pridanie dvoch matíc je potrebné pridať zodpovedajúce prvky druhej matice k prvkom jednej matice:

(1.10)
Operácia sčítania matíc má vlastnosti asociatívnosti a komutativity.

Príklad 1.7. .

Maticové násobenie.

Ak počet stĺpcov matice ALE zodpovedá počtu riadkov matice AT, potom sa pre takéto matice zavedie operácia násobenia:

2

Teda pri násobení matice ALE rozmery m´ n do matrice AT rozmery n´ k dostaneme matricu OD rozmery m´ k. V tomto prípade prvky matice OD sa vypočítajú podľa nasledujúcich vzorcov:

Problém 1.8. Nájdite, ak je to možné, súčin matíc AB a BA:

Riešenie. 1) Nájsť prácu AB, potrebujete riadky matice A vynásobte stĺpcami matice B:

2) Umelecké dielo BA neexistuje, pretože počet stĺpcov matice B nezodpovedá počtu riadkov matice A.

Inverzná matica. Riešenie sústav lineárnych rovníc maticovým spôsobom

Matrix A- 1 sa nazýva inverzia štvorcovej matice ALE ak platí rovnosť:

kde cez ja označuje maticu identity rovnakého rádu ako matica ALE:

.

Aby štvorcová matica mala inverziu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol nenulový. Inverzná matica sa nachádza podľa vzorca:

, (1.13)

kde A ij- algebraické doplnenia prvkov aij matice ALE(všimnite si, že algebraické doplnky do riadkov matice ALE sú usporiadané v inverznej matici vo forme zodpovedajúcich stĺpcov).

Príklad 1.9. Nájdite inverznú maticu A- 1 do matrice

.

Inverznú maticu nájdeme podľa vzorca (1.13), ktorý pre prípad n= 3 vyzerá takto:

.

Poďme nájsť det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Keďže determinant pôvodnej matice je odlišný od nuly, existuje inverzná matica.

1) Nájdite algebraické sčítania A ij:

Aby sme uľahčili nájdenie inverznej matice, umiestnili sme algebraické doplnky do riadkov pôvodnej matice do zodpovedajúcich stĺpcov.

Zo získaných algebraických sčítaní zostavíme novú maticu a vydelíme ju determinantom det A. Dostaneme teda inverznú maticu:

Kvadratické sústavy lineárnych rovníc s nenulovým hlavným determinantom možno riešiť pomocou inverznej matice. Na tento účel je systém (1.5) napísaný v maticovom tvare:

kde

Vynásobením oboch strán rovnosti (1,14) vľavo A- 1 dostaneme riešenie systému:

, kde

Ak teda chcete nájsť riešenie štvorcového systému, musíte nájsť inverznú maticu k hlavnej matici systému a vynásobiť ju vpravo stĺpcovou maticou voľných členov.

Problém 1.10. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

pomocou inverznej matice.

Riešenie. Systém píšeme v maticovom tvare: ,

kde je hlavná matica systému, je stĺpcom neznámych a je stĺpcom voľných členov. Keďže hlavný determinant systému , potom hlavná matica systému ALE má inverznú maticu ALE- jeden. Na nájdenie inverznej matice ALE-1 vypočítajte algebraické doplnky ku všetkým prvkom matice ALE:

Zo získaných čísel poskladáme maticu (navyše algebraické doplnky do riadkov matice ALE napíšte do príslušných stĺpcov) a vydeľte ho determinantom D. Takto sme našli inverznú maticu:

Riešenie sústavy nájdeme podľa vzorca (1.15):

Touto cestou,

Riešenie systémov lineárnych rovníc obyčajnými Jordanovými výnimkami

Nech je daný ľubovoľný (nie nevyhnutne štvorcový) systém lineárnych rovníc:

(1.16)

Vyžaduje sa nájsť riešenie systému, t.j. taký súbor premenných, ktorý spĺňa všetky rovnosti systému (1.16). Vo všeobecnom prípade môže mať systém (1.16) nielen jedno riešenie, ale aj nekonečný počet riešení. Tiež nemusí mať žiadne riešenia.

Pri riešení takýchto úloh sa využíva známa metóda odstraňovania neznámych zo školského kurzu, ktorá sa nazýva aj metóda obyčajných jordánskych eliminácií. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že v jednej z rovníc sústavy (1.16) je jedna z premenných vyjadrená pomocou iných premenných. Potom sa táto premenná dosadí do iných rovníc systému. Výsledkom je systém, ktorý obsahuje o jednu rovnicu a o jednu premennú menej ako pôvodný systém. Zapamätá sa rovnica, z ktorej bola premenná vyjadrená.

Tento proces sa opakuje, kým v systéme nezostane posledná rovnica. V procese odstraňovania neznámych sa niektoré rovnice môžu zmeniť napríklad na skutočné identity. Takéto rovnice sú zo systému vylúčené, pretože sú platné pre akékoľvek hodnoty premenných, a preto neovplyvňujú riešenie systému. Ak sa v procese odstraňovania neznámych stane aspoň jedna rovnica rovnosťou, ktorá nemôže byť splnená pre žiadne hodnoty premenných (napríklad ), potom dospejeme k záveru, že systém nemá riešenie.

Ak v priebehu riešenia nekonzistentných rovníc nevznikli, potom sa jedna zo zostávajúcich premenných v nej nájde z poslednej rovnice. Ak v poslednej rovnici zostane iba jedna premenná, potom je vyjadrená ako číslo. Ak v poslednej rovnici zostanú ďalšie premenné, potom sa považujú za parametre a premenná vyjadrená prostredníctvom nich bude funkciou týchto parametrov. Potom sa vykoná takzvaný "spätný pohyb". Nájdená premenná sa dosadí do poslednej zapamätanej rovnice a nájde sa druhá premenná. Potom sa dve nájdené premenné dosadia do predposlednej zapamätanej rovnice a nájde sa tretia premenná a tak ďalej, až po prvú zapamätanú rovnicu.

Výsledkom je riešenie systému. Toto riešenie bude jediné, ak nájdené premenné budú čísla. Ak prvá nájdená premenná a potom všetky ostatné závisia od parametrov, systém bude mať nekonečný počet riešení (každá sada parametrov zodpovedá novému riešeniu). Vzorce, ktoré umožňujú nájsť riešenie systému v závislosti od konkrétneho súboru parametrov, sa nazývajú všeobecné riešenie systému.

Príklad 1.11.

X

Po zapamätaní si prvej rovnice a uvedením podobných výrazov do druhej a tretej rovnice sa dostaneme k systému:

expresné r z druhej rovnice a dosaďte ju do prvej rovnice:

Zapamätajte si druhú rovnicu a z prvej nájdeme z:

Keď urobíme spätný pohyb, postupne nájdeme r a z. Aby sme to urobili, najprv dosadíme do poslednej zapamätanej rovnice , z ktorej nájdeme r:

.

Potom dosadíme a do prvej zapamätanej rovnice odkiaľ nájdeme X:

Problém 1.12. Vyriešte systém lineárnych rovníc odstránením neznámych:

. (1.17)

Riešenie. Vyjadrime premennú z prvej rovnice X a dosaďte ho do druhej a tretej rovnice:

.

Pamätajte na prvú rovnicu

V tomto systéme si prvá a druhá rovnica navzájom odporujú. Naozaj, vyjadrenie r , dostaneme, že 14 = 17. Táto rovnosť nie je splnená pre žiadne hodnoty premenných X, r, a z. V dôsledku toho je systém (1.17) nekonzistentný, t.j. nemá riešenie.

Čitatelia sú vyzvaní, aby nezávisle overili, že hlavný determinant pôvodného systému (1.17) je rovný nule.

Uvažujme systém, ktorý sa líši od systému (1.17) iba jedným voľným termínom.

Problém 1.13. Vyriešte systém lineárnych rovníc odstránením neznámych:

. (1.18)

Riešenie. Tak ako predtým, vyjadríme premennú z prvej rovnice X a dosaďte ho do druhej a tretej rovnice:

.

Pamätajte na prvú rovnicu a podobné pojmy uvádzame v druhej a tretej rovnici. Dostávame sa k systému:

vyjadrujúci r z prvej rovnice a jej dosadením do druhej rovnice , dostaneme identitu 14 = 14, ktorá neovplyvňuje riešenie systému, a preto ho možno zo systému vylúčiť.

V poslednej zapamätanej rovnosti premenná z bude považovaný za parameter. My veríme . Potom

Náhradník r a z do prvej zapamätanej rovnosti a nájdi X:

.

Systém (1.18) má teda nekonečnú množinu riešení a akékoľvek riešenie možno nájsť pomocou vzorcov (1.19) výberom ľubovoľnej hodnoty parametra t:

(1.19)
Riešeniami sústavy sú teda napríklad tieto množiny premenných (1; 2; 0), (2; 26; 14) atď. Vzorce (1.19) vyjadrujú všeobecné (akékoľvek) riešenie sústavy (1.18 ).

V prípade, že pôvodný systém (1.16) má dostatočne veľký počet rovníc a neznámych, javí sa naznačená metóda obyčajných Jordanových eliminácií ťažkopádna. Avšak nie je. Stačí odvodiť algoritmus na prepočet koeficientov systému v jednom kroku vo všeobecnej forme a formalizovať riešenie úlohy vo forme špeciálnych Jordanových tabuliek.

Nech je daný systém lineárnych foriem (rovníc):

, (1.20)
kde x j- nezávislé (požadované) premenné, aij- konštantné koeficienty
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Pravé časti systému y i (i = 1, 2,…, m) môžu byť premenné (závislé) aj konštanty. Je potrebné nájsť riešenia tohto systému odstránením neznámych.

Zoberme si nasledujúcu operáciu, ďalej označovanú ako „jeden krok bežných výnimiek z Jordánska“. Od svojvoľného ( r th) rovnosť, vyjadrujeme ľubovoľnú premennú ( x s) a nahradiť do všetkých ostatných rovnosti. Samozrejme, je to možné len vtedy, ak a rs¹ 0. Koeficient a rs sa nazýva rozlišovací (niekedy vodiaci alebo hlavný) prvok.

Dostaneme nasledujúci systém:

. (1.21)

Od s rovnosti systému (1.21), následne nájdeme premennú x s(po nájdení ďalších premenných). S Tento riadok sa zapamätá a následne vylúči zo systému. Zostávajúci systém bude obsahovať o jednu rovnicu a o jednu nezávislú premennú menej ako pôvodný systém.

Vypočítajme koeficienty výslednej sústavy (1,21) z hľadiska koeficientov pôvodnej sústavy (1,20). Začnime s r rovnice, ktorá po vyjadrení premennej x s cez zvyšok premenných bude vyzerať takto:

Teda nové koeficienty r rovnica sa vypočíta podľa nasledujúcich vzorcov:

(1.23)
Teraz vypočítajme nové koeficienty b ij(i¹ r) ľubovoľnej rovnice. Aby sme to dosiahli, dosadíme premennú vyjadrenú v (1.22) x s v i rovnica systému (1.20):

Po uvedení podobných podmienok dostaneme:

(1.24)
Z rovnosti (1.24) získame vzorce, pomocou ktorých sa vypočítajú zostávajúce koeficienty systému (1.21) (s výnimkou r rovnica):

(1.25)
Transformácia sústav lineárnych rovníc metódou obyčajných Jordanových eliminácií je prezentovaná vo forme tabuliek (matíc). Tieto stoly sa nazývajú „Jordánske stoly“.

Problém (1.20) je teda spojený s nasledujúcou Jordanovou tabuľkou:

Tabuľka 1.1

Jordanova tabuľka 1.1 obsahuje ľavý hlavičkový stĺpec, v ktorom sú zapísané pravé časti systému (1.20) a horný hlavičkový riadok, v ktorom sú zapísané nezávislé premenné.

Zvyšné prvky tabuľky tvoria hlavnú maticu koeficientov systému (1.20). Ak vynásobíme maticu ALE do matice pozostávajúcej z prvkov horného riadku hlavičky, potom dostaneme maticu pozostávajúcu z prvkov ľavého stĺpca hlavičky. To znamená, že Jordanova tabuľka je v podstate maticová forma zápisu sústavy lineárnych rovníc: . V tomto prípade nasledujúca Jordanova tabuľka zodpovedá systému (1.21):

Tabuľka 1.2

Permisívny prvok a rs zvýrazníme tučným písmom. Pripomeňme, že na implementáciu jedného kroku Jordanových výnimiek musí byť rozlišovací prvok nenulový. Riadok tabuľky obsahujúci permisívny prvok sa nazýva permisívny riadok. Stĺpec obsahujúci prvok enable sa nazýva stĺpec povolenia. Pri prechode z danej tabuľky do nasledujúcej sa jedna premenná ( x s) z horného riadku hlavičky tabuľky sa presunie do ľavého stĺpca hlavičky a naopak jeden z voľných členov systému ( r) sa presunie z ľavého stĺpca hlavičky tabuľky do horného riadku hlavičky.

Popíšme si algoritmus na prepočet koeficientov pri prechode z Jordanovej tabuľky (1.1) do tabuľky (1.2), ktorý vyplýva zo vzorcov (1.23) a (1.25).

1. Povoľovací prvok sa nahradí inverzným číslom:

2. Zostávajúce prvky permisívneho riadku sú rozdelené permisívnym prvkom a zmenia znamienko na opačné:

3. Zostávajúce prvky stĺpca povolenia sú rozdelené na prvok povolenia:

4. Prvky, ktoré nie sú zahrnuté v rozlišovacom riadku a rozlišovacom stĺpci, sa prepočítajú podľa vzorcov:

Posledný vzorec je ľahko zapamätateľný, ak si všimnete, že prvky, ktoré tvoria zlomok , sú na križovatke i- oh a r-té riadky a j th a s-té stĺpce (rozlišovací riadok, rozlišovací stĺpec a riadok a stĺpec, na ktorých priesečníku sa nachádza prvok, ktorý sa má prepočítať). Presnejšie pri zapamätávaní si vzorca môžete použiť nasledujúci graf:

Po vykonaní prvého kroku jordánskych výnimiek sa v stĺpcoch nachádza akýkoľvek prvok z tabuľky 1.3 X 1 ,…, X 5 (všetky špecifikované prvky sa nerovnajú nule). Nemali by ste len vybrať aktivačný prvok v poslednom stĺpci, pretože treba nájsť nezávislé premenné X 1 ,…, X 5. Vyberieme si napríklad koeficient 1 s premennou X 3 v treťom riadku tabuľky 1.3 (povoľovací prvok je zobrazený tučným písmom). Pri prechode do tabuľky 1.4 sa premenná X 3 z horného riadku hlavičky sa vymení za konštantu 0 v ľavom stĺpci hlavičky (tretí riadok). Zároveň premenná X 3 je vyjadrená ako zvyšné premenné.

reťazec X 3 (tabuľka 1.4) môže byť, po predchádzajúcom zapamätaní, vylúčený z tabuľky 1.4. Tabuľka 1.4 tiež vylučuje tretí stĺpec s nulou v hornom riadku hlavičky. Ide o to, že bez ohľadu na koeficienty tohto stĺpca b i 3 všetky jej zodpovedajúce členy z každej rovnice 0 b i 3 systémy sa budú rovnať nule. Preto sa tieto koeficienty nedajú vypočítať. Odstránenie jednej premennej X 3 a zapamätaním si jednej z rovníc dospejeme k systému zodpovedajúcemu tabuľke 1.4 (s preškrtnutým riadkom X 3). Výber v tabuľke 1.4 ako rozlišovací prvok b 14 = -5, prejdite na tabuľku 1.5. V tabuľke 1.5 si zapamätáme prvý riadok a vylúčime ho z tabuľky spolu so štvrtým stĺpcom (s nulou navrchu).

Tabuľka 1.5 Tabuľka 1.6

Z poslednej tabuľky 1.7 nájdeme: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Postupným dosadením už nájdených premenných do zapamätaných riadkov nájdeme zostávajúce premenné:

Systém má teda nekonečné množstvo riešení. premenlivý X 5 môžete priradiť ľubovoľné hodnoty. Táto premenná funguje ako parameter X 5 = t. Preukázali sme kompatibilitu systému a našli sme jeho všeobecné riešenie:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Uvedenie parametra t rôzne hodnoty, dostaneme nekonečné množstvo riešení pôvodnej sústavy. Takže napríklad riešením systému je nasledujúca množina premenných (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Aby ste tento odsek zvládli, musíte vedieť otvárať kvalifikátory „dva po dvoch“ a „tri po troch“. Ak sú kvalifikácie zlé, preštudujte si lekciu Ako vypočítať determinant?

Najprv podrobne zvážime Cramerovo pravidlo pre systém dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Za čo? „Najjednoduchší systém sa dá predsa vyriešiť školskou metódou, sčítaním po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy, ale existuje taká úloha - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť presne podľa Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant , tzv hlavným determinantom systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
a

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice sa nachádzajú podľa vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade určite dostanete strašné ozdobné zlomky, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen po člene, ale tu sa objavia rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, keďže úloha sa rieši podľa hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití tejto metódy povinné Fragment zadania je nasledujúci fragment: "takže systém má jedinečné riešenie". V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebude zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty na ľavej strane každej rovnice systému. V dôsledku toho by sa s malou chybou mali získať čísla, ktoré sú na pravej strane.

Príklad 8

Vyjadrite svoju odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad samostatného riešenia (príklad jemného dizajnu a odpovede na konci hodiny).

Prejdeme k úvahe o Cramerovom pravidle pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, treba použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta podľa vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“, stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, takže systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

Vlastne tu opäť nie je nič zvláštne komentovať, vzhľadom na to, že sa rozhoduje podľa hotových vzorcov. Ale je tu pár poznámok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci "liečebný" algoritmus. Ak nie je po ruke počítač, urobíme toto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ výstrel, musíte okamžite skontrolovať, či je podmienka prepísaná správne. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistili žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienke zadania. V tomto prípade pokojne a OPATRNE vyriešte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí ho vyhotoví na čistopis. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý, no, naozaj rád dáva mínus za každú zlú vec. Ako zaobchádzať so zlomkami je podrobne uvedené v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na jeho kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), hneď uvidíte medzikrok, v ktorom ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa vložia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami v riadku (stĺpci), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad na samoriešenie (dokončenie ukážky a odpoveď na konci hodiny).

Pre prípad sústavy 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Na preštudovanie tejto časti musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú maticu a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú uvedené v priebehu vysvetľovania.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Systém zapíšeme v maticovom tvare:
, kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Akým princípom zapisujeme prvky do matíc, myslím, že každý chápe. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na príslušné miesta v matici dosadiť nuly.

Inverznú maticu nájdeme podľa vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice .

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený o prvý riadok.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený elimináciou neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíte vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci, zatiaľ čo napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci

V priebehu riešenia je lepšie podrobne popísať výpočet maloletých, aj keď s určitými skúsenosťami ich možno upraviť tak, aby rátali s chybami aj ústne.