సమస్య C2లో చతుర్భుజ పిరమిడ్. జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు: సాధారణ పిరమిడ్

కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్య C2ని పరిష్కరించేటప్పుడు, చాలా మంది విద్యార్థులు అదే సమస్యను ఎదుర్కొంటారు. వారు లెక్కించలేరు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లుస్కేలార్ ఉత్పత్తి సూత్రంలో చేర్చబడింది. గొప్ప ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి పిరమిడ్లు. మరియు బేస్ పాయింట్లు ఎక్కువ లేదా తక్కువ సాధారణమైనవిగా పరిగణించబడితే, అప్పుడు టాప్స్ నిజమైన నరకం.

ఈ రోజు మనం సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌పై పని చేస్తాము. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ కూడా ఉంది (అకా - టెట్రాహెడ్రాన్) ఇది మరింత సంక్లిష్టమైన డిజైన్, కాబట్టి దీనికి ప్రత్యేక పాఠం అంకితం చేయబడుతుంది.

మొదట, నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

సాధారణ పిరమిడ్ ఒకటి:

1. ఆధారం సాధారణ బహుభుజి: త్రిభుజం, చతురస్రం మొదలైనవి;
2. స్థావరానికి గీసిన ఎత్తు దాని కేంద్రం గుండా వెళుతుంది.

ముఖ్యంగా, చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం చతురస్రం. చెయోప్స్ లాగా, కొంచెం చిన్నది మాత్రమే.

అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉండే పిరమిడ్ కోసం క్రింద లెక్కలు ఉన్నాయి. మీ సమస్యలో ఇది కాకపోతే, లెక్కలు మారవు - కేవలం సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉంటాయి.

చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క శీర్షాలు

కాబట్టి, ఒక సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ SABCD ఇవ్వబడనివ్వండి, ఇక్కడ S అనేది శీర్షం మరియు మూల ABCD ఒక చతురస్రం. అన్ని అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి. మీరు కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నమోదు చేయాలి మరియు అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. మాకు ఉన్నాయి:

మేము పాయింట్ A వద్ద మూలంతో కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేస్తాము:

1. OX అక్షం AB అంచుకు సమాంతరంగా నిర్దేశించబడుతుంది;
2. OY అక్షం ADకి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ABCD ఒక చతురస్రం కాబట్టి, AB ⊥ AD;
3. చివరగా, మేము OZ అక్షాన్ని ABCD ప్లేన్‌కు లంబంగా పైకి దర్శకత్వం చేస్తాము.

ఇప్పుడు మేము కోఆర్డినేట్లను లెక్కిస్తాము. అదనపు నిర్మాణం: SH - ఎత్తు బేస్కి డ్రా. సౌలభ్యం కోసం, మేము పిరమిడ్ యొక్క ఆధారాన్ని ప్రత్యేక డ్రాయింగ్లో ఉంచుతాము. పాయింట్లు A, B, C మరియు D OXY ప్లేన్‌లో ఉంటాయి కాబట్టి, వాటి కోఆర్డినేట్ z = 0. మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

1. A = (0; 0; 0) - మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది;
2. B = (1; 0; 0) - మూలం నుండి OX అక్షం వెంట 1 దశ;
3. C = (1; 1; 0) - OX అక్షం వెంట 1 ద్వారా మరియు OY అక్షం వెంట 1 ద్వారా;
4. D = (0; 1; 0) - OY అక్షం వెంట మాత్రమే అడుగు.
5. H = (0.5; 0.5; 0) - స్క్వేర్ మధ్యలో, సెగ్మెంట్ AC మధ్యలో.

పాయింట్ S యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం మిగిలి ఉంది. పాయింట్లు S మరియు H యొక్క x మరియు y కోఆర్డినేట్‌లు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని గమనించండి, ఎందుకంటే అవి OZ అక్షానికి సమాంతర రేఖపై ఉంటాయి. పాయింట్ S కోసం z కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనడం మిగిలి ఉంది.

ASH మరియు ABH త్రిభుజాలను పరిగణించండి:

1. AS = AB = 1 షరతు ద్వారా;
2. కోణం AHS = AHB = 90°, SH అనేది ఎత్తు మరియు AH ⊥ HB అనేది చతురస్రం యొక్క వికర్ణాలు కాబట్టి;
3. సైడ్ AH సాధారణం.

కాబట్టి, కుడి త్రిభుజాలు ASH మరియు ABH సమానంఒక్కొక్క కాలు మరియు ఒక హైపోటెన్యూస్. దీని అర్థం SH = BH = 0.5 BD. కానీ BD అనేది సైడ్ 1 ఉన్న చతురస్రం యొక్క వికర్ణం. కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

పాయింట్ S యొక్క మొత్తం కోఆర్డినేట్లు:

ముగింపులో, మేము సాధారణ దీర్ఘచతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క అన్ని శీర్షాల కోఆర్డినేట్లను వ్రాస్తాము:

పక్కటెముకలు భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు ఏమి చేయాలి

పిరమిడ్ యొక్క ప్రక్క అంచులు బేస్ అంచులకు సమానంగా లేకుంటే ఏమి చేయాలి? ఈ సందర్భంలో, AHS త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి:

ట్రయాంగిల్ AHS - దీర్ఘచతురస్రాకార, మరియు హైపోటెన్యూస్ AS కూడా అసలు పిరమిడ్ SABCD యొక్క ఒక వైపు అంచు. లెగ్ AH సులభంగా లెక్కించబడుతుంది: AH = 0.5 AC. మేము మిగిలిన లెగ్ SH ను కనుగొంటాము పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం. ఇది పాయింట్ Sకి z కోఆర్డినేట్ అవుతుంది.

టాస్క్. సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ SABCD ఇవ్వబడింది, దాని బేస్ వద్ద సైడ్ 1తో ఒక చతురస్రం ఉంటుంది. సైడ్ ఎడ్జ్ BS = 3. పాయింట్ S యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

ఈ పాయింట్ యొక్క x మరియు y కోఆర్డినేట్‌లు మనకు ఇప్పటికే తెలుసు: x = y = 0.5. ఇది రెండు వాస్తవాల నుండి అనుసరిస్తుంది:

1. OXY ప్లేన్‌పై పాయింట్ S యొక్క ప్రొజెక్షన్ పాయింట్ H;
2. అదే సమయంలో, పాయింట్ H అనేది చతురస్ర ABCDకి కేంద్రం, దాని అన్ని వైపులా 1కి సమానం.

పాయింట్ S యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. AHS త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. ఇది దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది, హైపోటెన్యూస్ AS = BS = 3, లెగ్ AH సగం వికర్ణంగా ఉంటుంది. తదుపరి గణనల కోసం మనకు దాని పొడవు అవసరం:

త్రిభుజం AHS కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం: AH 2 + SH 2 = AS 2. మాకు ఉన్నాయి:

కాబట్టి, పాయింట్ S యొక్క కోఆర్డినేట్లు.

చతుర్భుజ పిరమిడ్అనేది ఒక పాలీహెడ్రాన్, దీని ఆధారం చతురస్రం, మరియు దాని ప్రక్క ముఖాలన్నీ ఒకేలా సమద్విబాహు త్రిభుజాలుగా ఉంటాయి.

ఈ పాలిహెడ్రాన్ అనేక విభిన్న లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

• దాని పార్శ్వ అంచులు మరియు ప్రక్కనే ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి;
• వైపు ముఖాల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి;
• సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క పునాది వద్ద ఒక చతురస్రం ఉంటుంది;
• పిరమిడ్ పై నుండి పడిపోయిన ఎత్తు ఆధారం యొక్క వికర్ణాలు కలిసే బిందువును కలుస్తుంది.

ఈ లక్షణాలన్నీ సులభంగా కనుగొనేలా చేస్తాయి. అయినప్పటికీ, చాలా తరచుగా, దీనికి అదనంగా, పాలిహెడ్రాన్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, చతుర్భుజ పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

అంటే, పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు మరియు బేస్ యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తిలో మూడింట ఒక వంతుకు సమానం. ఇది దాని సమాన భుజాల ఉత్పత్తికి సమానం కాబట్టి, మేము వెంటనే ఒక చదరపు వైశాల్యానికి సంబంధించిన సూత్రాన్ని వాల్యూమ్ కోసం వ్యక్తీకరణలోకి నమోదు చేస్తాము.
చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

చతుర్భుజాకార పిరమిడ్‌ను ఇవ్వనివ్వండి, దాని ఆధారం వైపు a = 6 సెం.మీ ఉన్న చతురస్రం. పిరమిడ్ వైపు ముఖం b = 8 సెం.మీ. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన పాలిహెడ్రాన్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి, మనకు దాని ఎత్తు పొడవు అవసరం. అందువల్ల, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా మేము దానిని కనుగొంటాము. మొదట, వికర్ణం యొక్క పొడవును గణిద్దాం. నీలి త్రిభుజంలో ఇది హైపోటెన్యూస్ అవుతుంది. చతురస్రం యొక్క వికర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఖండన సమయంలో సగానికి విభజించబడిందని గుర్తుంచుకోవడం విలువ:


ఇప్పుడు ఎరుపు త్రిభుజం నుండి మనకు అవసరమైన ఎత్తు hని కనుగొంటాము. ఇది సమానంగా ఉంటుంది:

అవసరమైన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి:

ఇప్పుడు, ఎత్తు తెలుసుకోవడం, మేము పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ కోసం సూత్రంలో అన్ని విలువలను భర్తీ చేయవచ్చు మరియు అవసరమైన విలువను లెక్కించవచ్చు:

ఈ విధంగా, కొన్ని సాధారణ సూత్రాలను తెలుసుకోవడం, మేము సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించగలిగాము. ఈ విలువ క్యూబిక్ యూనిట్లలో కొలవబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి.

ఈ వీడియో ట్యుటోరియల్ వినియోగదారులకు పిరమిడ్ థీమ్ యొక్క ఆలోచనను పొందడానికి సహాయపడుతుంది. సరైన పిరమిడ్. ఈ పాఠంలో మనం పిరమిడ్ భావనతో పరిచయం పొందుతాము మరియు దానికి నిర్వచనం ఇస్తాము. సాధారణ పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి మరియు దానిలో ఏ లక్షణాలు ఉన్నాయో పరిశీలిద్దాం. అప్పుడు మేము సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం గురించి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము.

ఈ పాఠంలో మనం పిరమిడ్ భావనతో పరిచయం పొందుతాము మరియు దానికి నిర్వచనం ఇస్తాము.

బహుభుజిని పరిగణించండి ఎ 1 ఎ 2...ఒక ఎన్, ఇది α విమానంలో ఉంటుంది మరియు పాయింట్ పి, ఇది α విమానంలో ఉండదు (Fig. 1). చుక్కలను కనెక్ట్ చేద్దాం పిశిఖరాలతో A 1, A 2, A 3, … ఒక ఎన్. మాకు దొరికింది nత్రిభుజాలు: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rమరియు అందువలన న.

నిర్వచనం. పాలీహెడ్రాన్ RA 1 A 2 ...A n, తో తయారు చేయబడినది n-చదరపు ఎ 1 ఎ 2...ఒక ఎన్మరియు nత్రిభుజాలు RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 అంటారు n- బొగ్గు పిరమిడ్. అన్నం. 1.

అన్నం. 1

చతుర్భుజ పిరమిడ్‌ను పరిగణించండి PABCD(Fig. 2).

ఆర్- పిరమిడ్ పైభాగం.

ఎ బి సి డి- పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం.

RA- పక్క పక్కటెముక.

AB- బేస్ పక్కటెముక.

పాయింట్ నుండి ఆర్లంబంగా డ్రాప్ చేద్దాం RNబేస్ ప్లేన్‌కి ఎ బి సి డి. లంబంగా గీసినది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.

అన్నం. 2

పిరమిడ్ యొక్క పూర్తి ఉపరితలం పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అనగా, అన్ని పార్శ్వ ముఖాల వైశాల్యం మరియు బేస్ యొక్క ప్రాంతం:

S పూర్తి = S వైపు + S ప్రధాన

ఒక పిరమిడ్ సరైనది అయితే:

• దాని ఆధారం సాధారణ బహుభుజి;
• పిరమిడ్ పైభాగాన్ని బేస్ మధ్యలో కలుపుతున్న విభాగం దాని ఎత్తు.

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ ఉదాహరణను ఉపయోగించి వివరణ

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్‌ను పరిగణించండి PABCD(Fig. 3).

ఆర్- పిరమిడ్ పైభాగం. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఎ బి సి డి- ఒక సాధారణ చతుర్భుజం, అంటే ఒక చతురస్రం. చుక్క గురించి, వికర్ణాల ఖండన బిందువు, చదరపు కేంద్రం. అంటే, ROపిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.

అన్నం. 3

వివరణ: సరైనది nఒక త్రిభుజంలో, లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు వృత్తం యొక్క కేంద్రం సమానంగా ఉంటాయి. ఈ కేంద్రాన్ని బహుభుజి కేంద్రం అంటారు. కొన్నిసార్లు వారు శీర్షం మధ్యలోకి అంచనా వేయబడిందని చెబుతారు.

దాని శీర్షం నుండి గీసిన సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ముఖం యొక్క ఎత్తు అంటారు అపోథెమ్మరియు నియమించబడినది h a.

1. సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క అన్ని పార్శ్వ అంచులు సమానంగా ఉంటాయి;

2. పక్క ముఖాలు సమాన సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.

మేము సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ లక్షణాల యొక్క రుజువును ఇస్తాము.

ఇచ్చిన: PABCD- సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్,

ఎ బి సి డి- చదరపు,

RO- పిరమిడ్ ఎత్తు.

నిరూపించండి:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP అంజీర్ చూడండి. 4.

అన్నం. 4

రుజువు.

RO- పిరమిడ్ ఎత్తు. అంటే సూటిగా ROవిమానానికి లంబంగా ABC, అందువలన నేరుగా JSC, VO, SOమరియు DOఅందులో పడి ఉంది. కాబట్టి త్రిభుజాలు ROA, ROV, ROS, ROD- దీర్ఘచతురస్రాకార.

ఒక చతురస్రాన్ని పరిగణించండి ఎ బి సి డి. చతురస్రం యొక్క లక్షణాల నుండి అది అనుసరిస్తుంది AO = VO = CO = DO.

అప్పుడు కుడి త్రిభుజాలు ROA, ROV, ROS, RODకాలు RO- సాధారణ మరియు కాళ్ళు JSC, VO, SOమరియు DOసమానంగా ఉంటాయి, అంటే ఈ త్రిభుజాలు రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి విభాగాల సమానత్వం అనుసరిస్తుంది, RA = PB = RS = PD.పాయింట్ 1 నిరూపించబడింది.

విభాగాలు ABమరియు సూర్యుడుఅవి ఒకే చతురస్రానికి భుజాలు కాబట్టి సమానంగా ఉంటాయి, RA = PB = RS. కాబట్టి త్రిభుజాలు AVRమరియు VSR -సమద్విబాహులు మరియు మూడు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

ఇదే విధంగా మనం త్రిభుజాలను కనుగొంటాము ABP, VCP, CDP, DAPసమద్విబాహులు మరియు సమానమైనవి, పేరా 2లో నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం బేస్ మరియు అపోథెమ్ యొక్క చుట్టుకొలత యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం:

దీన్ని నిరూపించడానికి, సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌ని ఎంచుకుందాం.

ఇచ్చిన: RAVS- సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్.

AB = BC = AC.

RO- ఎత్తు.

నిరూపించండి: . అంజీర్ చూడండి. 5.

అన్నం. 5

రుజువు.

RAVS- సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్. అంటే AB= AC = BC. వీలు గురించి- త్రిభుజం మధ్యలో ABC, అప్పుడు ROపిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు. పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక సమబాహు త్రిభుజం ఉంటుంది ABC. గమనించండి, అది.

త్రిభుజాలు RAV, RVS, RSA- సమాన సమద్విబాహు త్రిభుజాలు (ఆస్తి ద్వారా). త్రిభుజాకార పిరమిడ్ మూడు వైపుల ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది: RAV, RVS, RSA. దీని అర్థం పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం:

S వైపు = 3S RAW

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 3 మీ, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు 4 మీ. పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఇచ్చిన: సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ ఎ బి సి డి,

ఎ బి సి డి- చదరపు,

ఆర్= 3 మీ,

RO- పిరమిడ్ ఎత్తు,

RO= 4 మీ.

కనుగొనండి: S వైపు. అంజీర్ చూడండి. 6.

అన్నం. 6

పరిష్కారం.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం ప్రకారం, .

మొదట ఆధారం వైపు వెతుకుదాం AB. సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 3 మీ అని మనకు తెలుసు.

అప్పుడు, ఎం.

చదరపు చుట్టుకొలతను కనుగొనండి ఎ బి సి డి 6 మీటర్ల వైపుతో:

ఒక త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి BCD. వీలు ఎం- వైపు మధ్యలో DC. ఎందుకంటే గురించి- మధ్య BD, వాల్యూమ్).

త్రిభుజం DPC- ఐసోసెల్స్. ఎం- మధ్య DC. అంటే, RM- మధ్యస్థం, అందువలన త్రిభుజంలో ఎత్తు DPC. అప్పుడు RM- పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్.

RO- పిరమిడ్ ఎత్తు. అప్పుడు, నేరుగా ROవిమానానికి లంబంగా ABC, అందువలన నేరుగా ఓం, అందులో పడి ఉంది. అపోథెమ్‌ని కనుగొనండి RMలంబ త్రిభుజం నుండి రొమ్.

ఇప్పుడు మనం పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కనుగొనవచ్చు:

సమాధానం: 60 m2.

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం m కి సమానం. పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం 18 m 2. అపోథెమ్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి.

ఇచ్చిన: ABCP- సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్,

AB = BC = SA,

ఆర్= m,

S వైపు = 18 m2.

కనుగొనండి: . అంజీర్ చూడండి. 7.

అన్నం. 7

పరిష్కారం.

లంబ త్రిభుజంలో ABCచుట్టుపక్కల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఇవ్వబడింది. ఒక వైపు వెతుకుదాం ABఈ త్రిభుజం సైన్స్ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.

సాధారణ త్రిభుజం (m) వైపు తెలుసుకోవడం, మేము దాని చుట్టుకొలతను కనుగొంటాము.

సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యంపై సిద్ధాంతం ద్వారా, ఎక్కడ h a- పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్. అప్పుడు:

సమాధానం: 4 మీ.

కాబట్టి, పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి, సాధారణ పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి మరియు సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం గురించి మేము సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాము. తదుపరి పాఠంలో మనం కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌తో పరిచయం పొందుతాము.

గ్రంథ పట్టిక

1. జ్యామితి. తరగతులు 10-11: సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం (ప్రాథమిక మరియు ప్రత్యేక స్థాయిలు) / I. M. స్మిర్నోవా, V. A. స్మిర్నోవ్. - 5వ ఎడిషన్., రెవ. మరియు అదనపు - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: అనారోగ్యం.
2. జ్యామితి. తరగతులు 10-11: సాధారణ విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్యపుస్తకం / Sharygin I.F. - M.: బస్టర్డ్, 1999. - 208 pp.: ill.
3. జ్యామితి. గ్రేడ్ 10: గణితం /E యొక్క లోతైన మరియు ప్రత్యేక అధ్యయనంతో సాధారణ విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం. V. పోటోస్కువ్, L. I. జ్వాలిచ్. - 6వ ఎడిషన్, స్టీరియోటైప్. - M.: బస్టర్డ్, 008. - 233 p.: అనారోగ్యం.

1. ఇంటర్నెట్ పోర్టల్ "యాక్లాస్" ()
2. ఇంటర్నెట్ పోర్టల్ “పెడగోగికల్ ఆలోచనల పండుగ “సెప్టెంబర్ మొదటి” ()
3. ఇంటర్నెట్ పోర్టల్ “Slideshare.net” ()

ఇంటి పని

1. ఒక సాధారణ బహుభుజి క్రమరహిత పిరమిడ్‌కు ఆధారం కాగలదా?
2. సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క విభజిత అంచులు లంబంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.
3. పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ దాని బేస్ వైపు సమానంగా ఉంటే, సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వైపున ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క విలువను కనుగొనండి.
4. RAVS- సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్. పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి.

జ్యామితిని అధ్యయనం చేయడానికి చాలా కాలం ముందు విద్యార్థులు పిరమిడ్ భావనను ఎదుర్కొంటారు. ప్రపంచంలోని ప్రసిద్ధ గొప్ప ఈజిప్షియన్ అద్భుతాలలో తప్పు ఉంది. అందువలన, ఈ అద్భుతమైన పాలీహెడ్రాన్ను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినప్పుడు, చాలామంది విద్యార్థులు ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఊహించారు. పైన పేర్కొన్న అన్ని ఆకర్షణలు సరైన ఆకృతిని కలిగి ఉంటాయి. ఏం జరిగింది సాధారణ పిరమిడ్, మరియు ఇది ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉందో మరింత చర్చించబడుతుంది.

తో పరిచయంలో ఉన్నారు

నిర్వచనం

పిరమిడ్ యొక్క నిర్వచనాలు చాలా ఉన్నాయి. పురాతన కాలం నుండి, ఇది చాలా ప్రజాదరణ పొందింది.

ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్ దానిని ఒకదాని నుండి ప్రారంభించి, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద కలుస్తున్న విమానాలతో కూడిన శరీర ఆకృతిగా నిర్వచించాడు.

హెరాన్ మరింత ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణను అందించింది. ఇదే మూర్తి అని నొక్కి వక్కాణించాడు త్రిభుజాల రూపంలో బేస్ మరియు విమానాలను కలిగి ఉంటుంది,ఒక పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంది.

ఆధునిక వివరణ ఆధారంగా, పిరమిడ్ ఒక నిర్దిష్ట k-gon మరియు k ఫ్లాట్ త్రిభుజాకార బొమ్మలను కలిగి ఉండే ప్రాదేశిక పాలిహెడ్రాన్‌గా సూచించబడుతుంది.

దానిని మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం, ఇది ఏ అంశాలను కలిగి ఉంటుంది:

• k-gon ఫిగర్ ఆధారంగా పరిగణించబడుతుంది;
• 3-గోనల్ ఆకారాలు పక్క భాగం యొక్క అంచుల వలె పొడుచుకు వస్తాయి;
• సైడ్ ఎలిమెంట్స్ ఉద్భవించే పై భాగాన్ని అపెక్స్ అంటారు;
• శీర్షాన్ని అనుసంధానించే అన్ని విభాగాలను అంచులు అంటారు;
• 90 డిగ్రీల కోణంలో శీర్షం నుండి బొమ్మ యొక్క సమతలానికి సరళ రేఖను తగ్గించినట్లయితే, అంతర్గత ప్రదేశంలో ఉన్న దాని భాగం పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు;
• ఏదైనా పార్శ్వ మూలకంలో, అపోథెమ్ అని పిలువబడే లంబంగా, మన పాలిహెడ్రాన్ వైపుకు లాగవచ్చు.

అంచుల సంఖ్య 2*k సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇక్కడ k అనేది k-gon యొక్క భుజాల సంఖ్య. పిరమిడ్ వంటి పాలిహెడ్రాన్‌కి ఎన్ని ముఖాలు ఉన్నాయో k+1 అనే వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించి నిర్ణయించవచ్చు.

ముఖ్యమైనది!సాధారణ ఆకారంలో ఉండే పిరమిడ్ అనేది స్టీరియోమెట్రిక్ ఫిగర్, దీని బేస్ ప్లేన్ సమాన భుజాలు కలిగిన k-gon.

ప్రాథమిక లక్షణాలు

సరైన పిరమిడ్ అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంది,ఆమెకు ప్రత్యేకమైనవి. వాటిని జాబితా చేద్దాం:

1. ఆధారం సరైన ఆకారం యొక్క బొమ్మ.
2. పక్క మూలకాలను పరిమితం చేసే పిరమిడ్ అంచులు సమాన సంఖ్యా విలువలను కలిగి ఉంటాయి.
3. పక్క మూలకాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.
4. బొమ్మ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఆధారం బహుభుజి మధ్యలో వస్తుంది, అదే సమయంలో ఇది లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన కేంద్ర బిందువుగా ఉంటుంది.
5. అన్ని వైపు పక్కటెముకలు ఒకే కోణంలో బేస్ యొక్క సమతలానికి వంపుతిరిగి ఉంటాయి.
6. అన్ని వైపు ఉపరితలాలు బేస్కు సంబంధించి ఒకే కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

జాబితా చేయబడిన అన్ని లక్షణాలకు ధన్యవాదాలు, మూలకం గణనలను నిర్వహించడం చాలా సులభం. పై లక్షణాల ఆధారంగా, మేము శ్రద్ధ చూపుతాము రెండు సంకేతాలు:

1. బహుభుజి ఒక వృత్తంలోకి సరిపోయే సందర్భంలో, ప్రక్క ముఖాలు బేస్‌తో సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి.
2. బహుభుజి చుట్టూ ఉన్న వృత్తాన్ని వివరించేటప్పుడు, శీర్షం నుండి వెలువడే పిరమిడ్ యొక్క అన్ని అంచులు సమాన పొడవులు మరియు బేస్‌తో సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి.

ఆధారం ఒక చతురస్రం

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ - ఒక పాలీహెడ్రాన్, దీని పునాది చతురస్రం.

ఇది నాలుగు వైపుల ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి ఐసోసెల్స్ రూపంలో ఉంటాయి.

ఒక చతురస్రం ఒక విమానంలో చిత్రీకరించబడింది, కానీ సాధారణ చతుర్భుజం యొక్క అన్ని లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక చతురస్రం వైపు దాని వికర్ణంతో సంబంధం కలిగి ఉండటం అవసరమైతే, కింది ఫార్ములాను ఉపయోగించండి: వికర్ణం అనేది స్క్వేర్ వైపు మరియు రెండు వర్గమూలం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

ఇది సాధారణ త్రిభుజంపై ఆధారపడి ఉంటుంది

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ అనేది పాలీహెడ్రాన్, దీని ఆధారం సాధారణ 3-గోన్.

బేస్ ఒక సాధారణ త్రిభుజం మరియు పక్క అంచులు బేస్ యొక్క అంచులకు సమానంగా ఉంటే, అటువంటి బొమ్మ టెట్రాహెడ్రాన్ అని పిలుస్తారు.

టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని ముఖాలు సమబాహు 3-గోన్లు. ఈ సందర్భంలో, మీరు కొన్ని పాయింట్లను తెలుసుకోవాలి మరియు లెక్కించేటప్పుడు వాటిపై సమయాన్ని వృథా చేయకూడదు:

• ఏదైనా స్థావరానికి పక్కటెముకల వంపు కోణం 60 డిగ్రీలు;
• అన్ని అంతర్గత ముఖాల పరిమాణం కూడా 60 డిగ్రీలు;
• ఏదైనా ముఖం బేస్ గా పనిచేస్తుంది;
• , ఫిగర్ లోపల డ్రా, ఇవి సమాన అంశాలు.

పాలిహెడ్రాన్ యొక్క విభాగాలు

ఏదైనా పాలిహెడ్రాన్‌లో ఉన్నాయి అనేక రకాల విభాగాలుఫ్లాట్. తరచుగా పాఠశాల జ్యామితి కోర్సులో వారు ఇద్దరితో పని చేస్తారు:

• అక్షసంబంధమైన;
• ఆధారంగా సమాంతరంగా.

శీర్షం, ప్రక్క అంచులు మరియు అక్షం గుండా వెళ్ళే విమానంతో పాలిహెడ్రాన్‌ను ఖండన చేయడం ద్వారా అక్షసంబంధ విభాగం పొందబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, అక్షం అనేది శీర్షం నుండి తీయబడిన ఎత్తు. కట్టింగ్ విమానం అన్ని ముఖాలతో ఖండన రేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడింది, ఫలితంగా త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.

శ్రద్ధ!సాధారణ పిరమిడ్‌లో, అక్షసంబంధ విభాగం ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం.

కట్టింగ్ విమానం బేస్కు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫలితం రెండవ ఎంపిక. ఈ సందర్భంలో, మనకు బేస్ మాదిరిగానే క్రాస్ సెక్షనల్ ఫిగర్ ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం ఉన్నట్లయితే, బేస్కు సమాంతరంగా ఉన్న విభాగం కూడా చిన్న కొలతలు మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

ఈ పరిస్థితిలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, వారు బొమ్మల సారూప్యత యొక్క సంకేతాలు మరియు లక్షణాలను ఉపయోగిస్తారు, థేల్స్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా. అన్నింటిలో మొదటిది, సారూప్యత గుణకాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

విమానం బేస్‌కు సమాంతరంగా గీస్తే మరియు అది పాలిహెడ్రాన్ యొక్క పై భాగాన్ని కత్తిరించినట్లయితే, దిగువ భాగంలో సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ పొందబడుతుంది. అప్పుడు కత్తిరించబడిన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క స్థావరాలు సారూప్య బహుభుజాలుగా చెప్పబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, సైడ్ ఫేసెస్ ఐసోసెల్స్ ట్రాపెజాయిడ్స్. అక్షసంబంధ విభాగం కూడా ఐసోసెల్స్.

కత్తిరించబడిన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తును నిర్ణయించడానికి, అక్షసంబంధ విభాగంలో, అంటే ట్రాపెజాయిడ్‌లో ఎత్తును గీయడం అవసరం.

ఉపరితల ప్రాంతాలు

పాఠశాల జ్యామితి కోర్సులో పరిష్కరించాల్సిన ప్రధాన రేఖాగణిత సమస్యలు పిరమిడ్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు పరిమాణాన్ని కనుగొనడం.

ఉపరితల వైశాల్య విలువలు రెండు రకాలు:

• సైడ్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క ప్రాంతం;
• మొత్తం ఉపరితలం యొక్క ప్రాంతం.

పేరు నుండి మనం ఏమి మాట్లాడుతున్నామో స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. సైడ్ ఉపరితలం వైపు మూలకాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని కనుగొనడానికి, మీరు పార్శ్వ విమానాల ప్రాంతాలను, అంటే సమద్విబాహు 3-గోన్‌ల ప్రాంతాలను జోడించాలి. సైడ్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క వైశాల్యం కోసం సూత్రాన్ని పొందేందుకు ప్రయత్నిద్దాం:

1. సమద్విబాహు 3-గాన్ వైశాల్యం Str=1/2(aL), ఇక్కడ a అనేది బేస్ వైపు, L అనేది అపోథెమ్.
2. పార్శ్వ విమానాల సంఖ్య బేస్ వద్ద k-gon రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఒక సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ నాలుగు పార్శ్వ విమానాలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L అనే నాలుగు బొమ్మల ప్రాంతాలను జోడించడం అవసరం. వ్యక్తీకరణ ఈ విధంగా సరళీకృతం చేయబడింది ఎందుకంటే విలువ 4a = Rosn, ఇక్కడ Rosn అనేది బేస్ యొక్క చుట్టుకొలత. మరియు వ్యక్తీకరణ 1/2*Rosn దాని అర్ధ-పరిధి.
3. కాబట్టి, సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ మూలకాల వైశాల్యం బేస్ మరియు అపోథెమ్ యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం అని మేము నిర్ధారించాము: Sside = Rosn * L.

పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం సైడ్ ప్లేన్స్ మరియు బేస్ యొక్క ప్రాంతాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది: Sp.p. = Sside + Sbas.

బేస్ యొక్క ప్రాంతం కొరకు, ఇక్కడ ఫార్ములా బహుభుజి రకం ప్రకారం ఉపయోగించబడుతుంది.

సాధారణ పిరమిడ్ వాల్యూమ్బేస్ ప్లేన్ వైశాల్యం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు ఎత్తును మూడుతో విభజించారు: V=1/3*Sbas*H, ఇక్కడ H అనేది పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తు.

జ్యామితిలో సాధారణ పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క లక్షణాలు

ఇక్కడ మీరు పిరమిడ్‌లు మరియు సంబంధిత సూత్రాలు మరియు భావనల గురించి ప్రాథమిక సమాచారాన్ని కనుగొనవచ్చు. వీరంతా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా గణిత బోధకుడితో చదువుతారు.

ఒక విమానం, బహుభుజిని పరిగణించండి , అందులో అబద్ధం మరియు ఒక పాయింట్ S, దానిలో అబద్ధం కాదు. S ను బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాలకు కనెక్ట్ చేద్దాం. ఫలితంగా వచ్చే పాలిహెడ్రాన్‌ను పిరమిడ్ అంటారు. విభాగాలను సైడ్ రిబ్స్ అంటారు. బహుభుజిని బేస్ అని పిలుస్తారు మరియు పాయింట్ S అనేది పిరమిడ్ యొక్క పైభాగం. n సంఖ్యపై ఆధారపడి, పిరమిడ్‌ను త్రిభుజాకారం (n=3), చతుర్భుజం (n=4), పెంటగోనల్ (n=5) మరియు మొదలైనవి అంటారు. త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌కు ప్రత్యామ్నాయ పేరు టెట్రాహెడ్రాన్. పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అనేది దాని పైభాగం నుండి బేస్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా అవరోహణ.

పిరమిడ్‌ను రెగ్యులర్ అని పిలుస్తారు ఒక సాధారణ బహుభుజి, మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఆధారం (లంబంగా ఉన్న ఆధారం) దాని కేంద్రం.

గురువు యొక్క వ్యాఖ్య:
"రెగ్యులర్ పిరమిడ్" మరియు "రెగ్యులర్ టెట్రాహెడ్రాన్" భావనలను కంగారు పెట్టవద్దు. సాధారణ పిరమిడ్‌లో, పక్క అంచులు బేస్ అంచులకు తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండవు, కానీ సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌లో, మొత్తం 6 అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది అతని నిర్వచనం. సమానత్వం బహుభుజి యొక్క కేంద్రం P సమానంగా ఉంటుందని నిరూపించడం సులభం బేస్ ఎత్తుతో, కాబట్టి సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ఒక సాధారణ పిరమిడ్.

అపోథెమ్ అంటే ఏమిటి?
పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ దాని వైపు ముఖం యొక్క ఎత్తు. పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉంటే, దాని అన్ని అపోథెమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. రివర్స్ నిజం కాదు.

తన పరిభాష గురించి ఒక గణిత బోధకుడు: పిరమిడ్‌లతో 80% పని రెండు రకాల త్రిభుజాల ద్వారా నిర్మించబడింది:
1) అపోథెమ్ SK మరియు ఎత్తు SPని కలిగి ఉంటుంది
2) పార్శ్వ అంచు SA మరియు దాని ప్రొజెక్షన్ PA కలిగి ఉంటుంది

ఈ త్రిభుజాల సూచనలను సరళీకృతం చేయడానికి, గణిత బోధకుడు వాటిలో మొదటిదానిని పిలవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అపోథెమల్, మరియు రెండవది వ్యయమైన. దురదృష్టవశాత్తూ, మీరు ఏ పాఠ్యపుస్తకాలలోనూ ఈ పరిభాషను కనుగొనలేరు మరియు ఉపాధ్యాయుడు దీనిని ఏకపక్షంగా పరిచయం చేయాలి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం ఫార్ములా:
1) , పిరమిడ్ యొక్క బేస్ ప్రాంతం ఎక్కడ ఉంది మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు
2) , లిఖించబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం ఎక్కడ ఉంది మరియు పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం.
3) , ఇక్కడ MN అనేది ఏదైనా రెండు క్రాసింగ్ అంచుల దూరం మరియు మిగిలిన నాలుగు అంచుల మధ్య బిందువులచే ఏర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం.

పిరమిడ్ ఎత్తు యొక్క పునాది యొక్క ఆస్తి:

పాయింట్ P (చిత్రాన్ని చూడండి) కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద లిఖించబడిన వృత్తం మధ్యలో సమానంగా ఉంటుంది:
1) అన్ని అపోథీలు సమానం
2) అన్ని వైపు ముఖాలు సమానంగా బేస్కు వంపుతిరిగి ఉంటాయి
3) అన్ని అపోథెమ్‌లు పిరమిడ్ ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటాయి
4) పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అన్ని వైపుల ముఖాలకు సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటుంది

గణిత ఉపాధ్యాయుని వ్యాఖ్య: దయచేసి అన్ని పాయింట్లు ఒక సాధారణ ఆస్తి ద్వారా ఏకం చేయబడతాయని గమనించండి: ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, పార్శ్వ ముఖాలు ప్రతిచోటా చేరి ఉంటాయి (అపోథెమ్స్ వాటి మూలకాలు). అందువల్ల, బోధకుడు తక్కువ ఖచ్చితమైన, కానీ నేర్చుకోవడం, సూత్రీకరణ కోసం మరింత సౌకర్యవంతంగా అందించగలడు: పాయింట్ P దాని పార్శ్వ ముఖాల గురించి ఏదైనా సమాన సమాచారం ఉన్నట్లయితే, లిఖిత వృత్తం యొక్క కేంద్రం, పిరమిడ్ యొక్క ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది. దానిని నిరూపించడానికి, అన్ని అపోథెమ్ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని చూపితే సరిపోతుంది.

మూడు షరతుల్లో ఒకటి నిజమైతే, పాయింట్ P పిరమిడ్ యొక్క బేస్ సమీపంలో చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుంది:
1) అన్ని వైపు అంచులు సమానంగా ఉంటాయి
2) అన్ని వైపు పక్కటెముకలు బేస్కు సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటాయి
3) అన్ని వైపు పక్కటెముకలు సమానంగా ఎత్తుకు వంపుతిరిగి ఉంటాయి