ప్రత్యేక కుడి వైపు పట్టికతో అవకలన సమీకరణాలు. స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్‌లతో సరళ అసమానమైన రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు

స్థిరమైన గుణకాలతో అసమానమైన రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు

సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం ఈ రకమైన సరళ అసమాన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: ఎక్కడ p, q− స్థిరమైన సంఖ్యలు (అవి వాస్తవమైనవి లేదా సంక్లిష్టమైనవి కావచ్చు). అటువంటి ప్రతి సమీకరణానికి మనం సంబంధితంగా వ్రాయవచ్చు సజాతీయ సమీకరణం: సిద్ధాంతం: అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సాధారణ పరిష్కారం యొక్క మొత్తం వై 0 (x) సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారం వై 1 (x) అసమాన సమీకరణం: క్రింద మేము అసమాన అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండు మార్గాలను పరిశీలిస్తాము. స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి సాధారణ పరిష్కారం ఉంటే వైఅనుబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క 0 అంటారు, అప్పుడు అసమాన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు స్థిరమైన వైవిధ్య పద్ధతి. సజాతీయ రెండవ-క్రమం అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి: శాశ్వతానికి బదులుగా సి 1 మరియు సి 2 మేము సహాయక విధులను పరిశీలిస్తాము సి 1 (x) మరియు సి 2 (x) మేము పరిష్కారం కోసం ఈ ఫంక్షన్ల కోసం చూస్తాము కుడి వైపుతో అసమాన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచింది f(x) తెలియని విధులు సి 1 (x) మరియు సి 2 (x) రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి నిర్ణయించబడతాయి: అనిశ్చిత గుణకం పద్ధతి కుడి భాగం f(x) ఒక అసమాన అవకలన సమీకరణం తరచుగా బహుపది, ఘాతాంక లేదా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ లేదా ఈ ఫంక్షన్‌ల కలయిక. ఈ సందర్భంలో, ఉపయోగించి పరిష్కారం కోసం శోధించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి. ఈ పద్ధతి కుడి వైపున ఉన్న పరిమిత తరగతి ఫంక్షన్లకు మాత్రమే పని చేస్తుందని మేము నొక్కిచెబుతున్నాము రెండు సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క ఎంపిక తప్పనిసరిగా అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు యొక్క నిర్మాణానికి అనుగుణంగా ఉండాలి. సందర్భంలో 1, సంఖ్య అయితే α ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లో లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు నిర్దిష్ట పరిష్కారం అదనపు కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది x లు, ఎక్కడ లు- మూల గుణకారం α లక్షణ సమీకరణంలో. సందర్భంలో 2, సంఖ్య అయితే α + βiలక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం వ్యక్తీకరణ అదనపు కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది x. ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం కనుగొన్న వ్యక్తీకరణను అసలైన అసమాన అవకలన సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా తెలియని గుణకాలు నిర్ణయించబడతాయి. సూపర్ పొజిషన్ సూత్రం అసమాన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు ఉంటే మొత్తంరూపం యొక్క అనేక విధులు అప్పుడు అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం కుడి వైపున ప్రతి పదానికి విడిగా నిర్మించబడిన పాక్షిక పరిష్కారాల మొత్తం కూడా అవుతుంది.

ఉదాహరణ 1

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి y"" + y= పాపం (2 x). పరిష్కారం. మొదట మేము సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము y"" + y= 0. ఈ సందర్భంలో, లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలు పూర్తిగా ఊహాత్మకమైనవి: పర్యవసానంగా, సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం వ్యక్తీకరణ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది మళ్లీ అసమాన సమీకరణానికి తిరిగి వద్దాం. మేము రూపంలో దాని పరిష్కారం కోసం చూస్తాము స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతిని ఉపయోగించడం. విధులు సి 1 (x) మరియు సి 2 (x) కింది సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి కనుగొనవచ్చు: ఉత్పన్నాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము సి 1 " (x) మొదటి సమీకరణం నుండి: రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము సి 2 " (x): ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది ఉత్పన్నాల కోసం వ్యక్తీకరణలను సమగ్రపరచడం సి 1 " (x) మరియు సి 2 " (x), మాకు దొరికింది: ఎక్కడ ఎ 1 , ఎ 2 - ఏకీకరణ యొక్క స్థిరాంకాలు. ఇప్పుడు కనుగొన్న ఫంక్షన్లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం సి 1 (x) మరియు సి 2 (x) సూత్రంలోకి వై 1 (x) మరియు అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయండి:

ఉదాహరణ 2

సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి y"" + y" −6వై = 36x. పరిష్కారం. నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం. ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు ఒక సరళ ఫంక్షన్ f(x)= గొడ్డలి + బి. అందువలన, మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తాము ఉత్పన్నాలు సమానంగా ఉంటాయి: దీనిని అవకలన సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మేము పొందుతాము: చివరి సమీకరణం ఒక గుర్తింపు, అంటే, ఇది అందరికీ చెల్లుతుంది x, కాబట్టి మేము నిబంధనల గుణకాలను ఒకే డిగ్రీలతో సమం చేస్తాము xఎడమ మరియు కుడి వైపులా: ఫలిత సిస్టమ్ నుండి మనం కనుగొంటాము: ఎ = −6, బి= -1. ఫలితంగా, నిర్దిష్ట పరిష్కారం రూపంలో వ్రాయబడుతుంది ఇప్పుడు సజాతీయ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. సహాయక లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలను గణిద్దాం: అందువల్ల, సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: కాబట్టి, అసలైన అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

DE యొక్క సాధారణ సమగ్రత.

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

కానీ హాస్యాస్పదమైన విషయం ఏమిటంటే, సమాధానం ఇప్పటికే తెలుసు: , మరింత ఖచ్చితంగా, మనం స్థిరంగా కూడా జోడించాలి: సాధారణ సమగ్రం అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం.

ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి అసమాన అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పాఠం ఇప్పటికే టాపిక్‌లో ఎక్కువ లేదా తక్కువ ప్రావీణ్యం ఉన్న విద్యార్థుల కోసం ఉద్దేశించబడింది. మీరు రిమోట్ కంట్రోల్‌తో పరిచయం పొందడానికి ప్రారంభించినట్లయితే, అనగా. మీరు టీపాట్ అయితే, మొదటి పాఠంతో ప్రారంభించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను: మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. మరియు మీరు ఇప్పటికే పూర్తి చేస్తున్నట్లయితే, దయచేసి పద్ధతి కష్టమని సాధ్యమయ్యే ముందస్తు భావనను విస్మరించండి. ఎందుకంటే ఇది సాధారణమైనది.

ఏ సందర్భాలలో ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది?

1) ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతిని పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు 1వ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన DE. సమీకరణం మొదటి క్రమానికి చెందినది కాబట్టి, స్థిరాంకం కూడా ఒకటి.

2) కొన్నింటిని పరిష్కరించడానికి ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది సరళ అసమాన రెండవ క్రమ సమీకరణాలు. ఇక్కడ రెండు స్థిరాంకాలు మారుతూ ఉంటాయి.

పాఠం రెండు పేరాగ్రాఫ్‌లను కలిగి ఉంటుందని భావించడం తార్కికం... కాబట్టి నేను ఈ వాక్యాన్ని వ్రాసాను మరియు దాదాపు 10 నిమిషాల పాటు నేను ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలకు మృదువైన మార్పు కోసం నేను ఏ ఇతర తెలివైన చెత్తను జోడించగలనని బాధాకరంగా ఆలోచిస్తున్నాను. కానీ కొన్ని కారణాల వల్ల సెలవుల తర్వాత నాకు ఎలాంటి ఆలోచనలు లేవు, అయినప్పటికీ నేను దేనినీ దుర్వినియోగం చేసినట్లు కనిపించడం లేదు. కాబట్టి, నేరుగా మొదటి పేరాకు వెళ్దాం.

ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి మొదటి ఆర్డర్ లీనియర్ అసమాన సమీకరణం కోసం

ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతిని పరిగణలోకి తీసుకునే ముందు, వ్యాసం గురించి తెలుసుకోవడం మంచిది మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాలు. ఆ పాఠంలో మేము సాధన చేసాము మొదటి పరిష్కారంఅసమాన 1వ ఆర్డర్ DE. ఈ మొదటి పరిష్కారం, నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను, అంటారు భర్తీ పద్ధతిలేదా బెర్నౌలీ పద్ధతి(అయోమయం చెందకూడదు బెర్నౌలీ సమీకరణం!!!)

ఇప్పుడు మనం చూస్తాము రెండవ పరిష్కారం- ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి. నేను కేవలం మూడు ఉదాహరణలు ఇస్తాను మరియు పైన పేర్కొన్న పాఠం నుండి వాటిని తీసుకుంటాను. ఎందుకు చాలా తక్కువ? ఎందుకంటే నిజానికి, రెండవ మార్గంలో పరిష్కారం మొదటి మార్గంలో ఉన్న పరిష్కారానికి చాలా పోలి ఉంటుంది. అదనంగా, నా పరిశీలనల ప్రకారం, ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి భర్తీ పద్ధతి కంటే తక్కువ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (పాఠం యొక్క ఉదాహరణ సంఖ్య 2 నుండి తేడా 1వ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణాలు)

పరిష్కారం:ఈ సమీకరణం సరళ అసమానమైనది మరియు సుపరిచితమైన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

మొదటి దశలో, సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అవసరం: అంటే, మేము మూర్ఖంగా కుడి వైపును సున్నాకి రీసెట్ చేస్తాము - బదులుగా సున్నాని వ్రాయండి. నేను సమీకరణాన్ని పిలుస్తాను సహాయక సమీకరణం.

ఈ ఉదాహరణలో, మీరు క్రింది సహాయక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి:

మా ముందు వేరు చేయగల సమీకరణం, దీని పరిష్కారం (నేను ఆశిస్తున్నాను) మీకు ఇకపై కష్టం కాదు:

అందువలన: - సహాయక సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

రెండవ దశలో మేము భర్తీ చేస్తాముకొన్ని స్థిరమైన ఇప్పటికి"x"పై ఆధారపడిన తెలియని ఫంక్షన్:

అందువల్ల పద్ధతి యొక్క పేరు - మేము స్థిరంగా మారుతూ ఉంటాము. ప్రత్యామ్నాయంగా, స్థిరాంకం అనేది మనం ఇప్పుడు కనుగొనవలసిన కొన్ని ఫంక్షన్ కావచ్చు.

IN అసలుఅసమాన సమీకరణంలో మేము భర్తీ చేస్తాము:

సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

కంట్రోల్ పాయింట్ - ఎడమ వైపున ఉన్న రెండు నిబంధనలు రద్దు. ఇది జరగకపోతే, మీరు పైన ఉన్న లోపం కోసం వెతకాలి.

భర్తీ ఫలితంగా, వేరు చేయగల వేరియబుల్స్తో సమీకరణం పొందబడింది. మేము వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము మరియు ఇంటిగ్రేట్ చేస్తాము.

ఎంత ఆశీర్వాదం, ఘాతాంకాలు కూడా రద్దు చేయబడ్డాయి:

మేము కనుగొన్న ఫంక్షన్‌కు “సాధారణ” స్థిరాంకాన్ని జోడిస్తాము:

చివరి దశలో, మా భర్తీ గురించి మేము గుర్తుంచుకుంటాము:

ఫంక్షన్ ఇప్పుడే కనుగొనబడింది!

కాబట్టి సాధారణ పరిష్కారం:

సమాధానం:ఉమ్మడి నిర్ణయం:

మీరు రెండు పరిష్కారాలను ప్రింట్ చేస్తే, రెండు సందర్భాల్లోనూ మేము ఒకే సమగ్రాలను కనుగొన్నామని మీరు సులభంగా గమనించవచ్చు. పరిష్కారం అల్గోరిథంలో మాత్రమే తేడా ఉంది.

ఇప్పుడు మరింత సంక్లిష్టమైన దాని కోసం, నేను రెండవ ఉదాహరణపై కూడా వ్యాఖ్యానిస్తాను:

ఉదాహరణ 2

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (పాఠం యొక్క ఉదాహరణ సంఖ్య 8 నుండి తేడా 1వ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణాలు)

పరిష్కారం:సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తీసుకువద్దాం:

కుడి వైపున రీసెట్ చేసి, సహాయక సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

మేము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేస్తాము మరియు ఏకీకృతం చేస్తాము: సహాయక సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం:

అసమాన సమీకరణంలో మేము భర్తీ చేస్తాము:

ఉత్పత్తి భేదం నియమం ప్రకారం:

అసలైన అసమాన సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

ఎడమ వైపున ఉన్న రెండు నిబంధనలు రద్దు చేయబడ్డాయి, అంటే మనం సరైన మార్గంలో ఉన్నామని అర్థం:

భాగాల వారీగా కలుపుదాం. భాగాలు సూత్రం ద్వారా ఏకీకరణ నుండి రుచికరమైన లేఖ ఇప్పటికే పరిష్కారంలో చేరి ఉంది, కాబట్టి మేము ఉదాహరణకు, "a" మరియు "be" అక్షరాలను ఉపయోగిస్తాము:

చివరికి:

ఇప్పుడు భర్తీని గుర్తుంచుకోండి:

సమాధానం:ఉమ్మడి నిర్ణయం:

ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి సరళ అసమానమైన రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణం కోసం స్థిరమైన గుణకాలతో

రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణం కోసం ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను మార్చే పద్ధతి అంత తేలికైన విషయం కాదని నేను తరచుగా అభిప్రాయాన్ని విన్నాను. కానీ నేను ఈ క్రింది వాటిని ఊహిస్తున్నాను: చాలా మటుకు, ఈ పద్ధతి చాలా మందికి కష్టంగా అనిపిస్తుంది ఎందుకంటే ఇది చాలా తరచుగా జరగదు. కానీ వాస్తవానికి ప్రత్యేక ఇబ్బందులు లేవు - నిర్ణయం యొక్క కోర్సు స్పష్టంగా, పారదర్శకంగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంటుంది. మరియు అందమైన.

పద్ధతిని ప్రావీణ్యం చేయడానికి, కుడి వైపున ఉన్న రూపం ఆధారంగా ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా అసమానమైన రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగడం మంచిది. ఈ పద్ధతి వ్యాసంలో వివరంగా చర్చించబడింది. అసమాన 2వ ఆర్డర్ DEలు. స్థిరమైన గుణకాలతో రెండవ-క్రమం సరళ అసమాన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉందని మేము గుర్తుచేసుకున్నాము:

పై పాఠంలో చర్చించబడిన ఎంపిక పద్ధతి, కుడివైపు బహుపదాలు, ఘాతాంకములు, సైన్లు మరియు కొసైన్‌లను కలిగి ఉన్నప్పుడు పరిమిత సంఖ్యలో మాత్రమే పని చేస్తుంది. కానీ కుడివైపున ఉన్నప్పుడు ఏమి చేయాలి, ఉదాహరణకు, భిన్నం, సంవర్గమానం, టాంజెంట్? అటువంటి పరిస్థితిలో, స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి రక్షించటానికి వస్తుంది.

ఉదాహరణ 4

రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం:ఈ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఒక భిన్నం ఉంది, కాబట్టి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఎంచుకునే పద్ధతి పనిచేయదని మేము వెంటనే చెప్పగలం. మేము ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

ఉరుములతో కూడిన సంకేతాలు లేవు; పరిష్కారం యొక్క ప్రారంభం పూర్తిగా సాధారణం:

మేము కనుగొంటాము సాధారణ నిర్ణయంతగిన సజాతీయమైనసమీకరణాలు:

లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేసి పరిష్కరిద్దాం: - సంయోగ సంక్లిష్ట మూలాలు పొందబడతాయి, కాబట్టి సాధారణ పరిష్కారం:

సాధారణ పరిష్కారం యొక్క రికార్డుకు శ్రద్ద - కుండలీకరణాలు ఉంటే, వాటిని తెరవండి.

ఇప్పుడు మనం మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం వలె దాదాపు అదే ట్రిక్ చేస్తాము: మేము స్థిరాంకాలను మారుస్తాము, వాటిని తెలియని ఫంక్షన్లతో భర్తీ చేస్తాము. అంటే, అసమానత యొక్క సాధారణ పరిష్కారంమేము రూపంలో సమీకరణాల కోసం చూస్తాము:

ఎక్కడ - ఇప్పటికితెలియని విధులు.

ఇది గృహ వ్యర్థాల డంప్ లాగా ఉంది, కానీ ఇప్పుడు మేము ప్రతిదీ క్రమబద్ధీకరిస్తాము.

తెలియనివి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు. మా లక్ష్యం ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం మరియు కనుగొనబడిన ఉత్పన్నాలు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలను సంతృప్తి పరచాలి.

"గ్రీకులు" ఎక్కడ నుండి వచ్చారు? కొంగ వాటిని తీసుకువస్తుంది. మేము ముందుగా పొందిన సాధారణ పరిష్కారాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు వ్రాస్తాము:

ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

ఎడమ భాగాలు పరిష్కరించబడ్డాయి. కుడివైపున ఏముంది?

అసలు సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు, ఈ సందర్భంలో:

ఈ వ్యాసం స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అసమానమైన రెండవ-క్రమం అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది. ఇచ్చిన సమస్యల ఉదాహరణలతో పాటు సిద్ధాంతం చర్చించబడుతుంది. అస్పష్టమైన నిబంధనలను అర్థంచేసుకోవడానికి, అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనాలు మరియు భావనల గురించి అంశాన్ని ప్రస్తావించడం అవసరం.

y "" + p · y " + q · y = f (x) రూపం యొక్క స్థిరమైన గుణకాలతో రెండవ క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాన్ని (LDE) పరిశీలిద్దాం, ఇక్కడ p మరియు q ఏకపక్ష సంఖ్యలు మరియు ఇప్పటికే ఉన్న ఫంక్షన్ f (x) ఏకీకరణ విరామం xపై నిరంతరంగా ఉంటుంది.

LNDE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం కోసం సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణకు వెళ్దాం.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU కోసం సాధారణ పరిష్కార సిద్ధాంతం

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + రూపం యొక్క అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క విరామం xలో ఉన్న సాధారణ పరిష్కారం. . . + f 0 (x) · y = f (x) x విరామంపై నిరంతర ఏకీకరణ గుణకాలు f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) మరియు నిరంతర ఫంక్షన్ f (x) అనేది సాధారణ పరిష్కారం y 0 మొత్తానికి సమానం, ఇది LOD మరియు కొన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారం y ~కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ అసలైన అసమాన సమీకరణం y = y 0 + y ~.

అటువంటి రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణానికి పరిష్కారం y = y 0 + y ~ రూపాన్ని కలిగి ఉందని ఇది చూపిస్తుంది. y 0ని కనుగొనే అల్గోరిథం స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సజాతీయ రెండవ-క్రమం అవకలన సమీకరణాలపై వ్యాసంలో చర్చించబడింది. దాని తర్వాత మనం y ~ నిర్వచనానికి వెళ్లాలి.

LPDEకి నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క ఎంపిక సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న అందుబాటులో ఉన్న ఫంక్షన్ f (x) రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్‌లతో సరళ అసమాన రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారాలను విడిగా పరిగణించడం అవసరం.

f (x) nవ డిగ్రీ f (x) = P n (x) యొక్క బహుపదిగా పరిగణించబడినప్పుడు, LPDE యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం y ~ = Q n (x) రూపం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది. ) x γ, ఇక్కడ Q n (x) అనేది డిగ్రీ n యొక్క బహుపది, r అనేది లక్షణ సమీకరణం యొక్క సున్నా మూలాల సంఖ్య. విలువ y ~ అనేది ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ఆపై అందుబాటులో ఉన్న గుణకాలు బహుపది ద్వారా నిర్వచించబడతాయి
Q n (x), సమానత్వం y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) నుండి నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించడాన్ని మేము కనుగొన్నాము.

ఉదాహరణ 1

కౌచీ సిద్ధాంతాన్ని y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ఉపయోగించి లెక్కించండి.

పరిష్కారం

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్థిరమైన గుణకాలు y "" - 2 y " = x 2 + 1తో రెండవ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారానికి వెళ్లడం అవసరం, ఇది ఇచ్చిన షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

సరళ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సాధారణ పరిష్కారం యొక్క మొత్తం, ఇది సమీకరణం y 0 లేదా అసమాన సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం y ~, అంటే y = y 0 + y ~.

మొదట, మేము LNDU కోసం ఒక సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము, ఆపై ఒక నిర్దిష్టమైనది.

y 0ని కనుగొనడానికి వెళ్దాం. లక్షణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం మూలాలను కనుగొనడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. మేము దానిని పొందుతాము

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

మూలాలు భిన్నమైనవి మరియు వాస్తవమైనవి అని మేము కనుగొన్నాము. అందుకే రాసుకుందాం

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ని కనుగొనండి. ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది అని చూడవచ్చు, అప్పుడు మూలాలలో ఒకటి సున్నాకి సమానం. దీని నుండి y ~కి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఉంటుందని మేము పొందుతాము

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ఇక్కడ A, B, C విలువలు నిర్ణయించబడని గుణకాలను తీసుకుంటాయి.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 రూపం యొక్క సమానత్వం నుండి వాటిని కనుగొనండి.

అప్పుడు మేము దానిని పొందుతాము:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x యొక్క అదే ఘాతాంకాలతో గుణకాలను సమం చేయడం, మేము సరళ వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థను పొందుతాము - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. ఏదైనా పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము గుణకాలను కనుగొని వ్రాస్తాము: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 మరియు y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

ఈ ఎంట్రీని స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్స్‌తో అసలైన లీనియర్ ఇన్‌హోమోజెనియస్ సెకండ్-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం అంటారు.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 షరతులను సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, విలువలను నిర్ణయించడం అవసరం సి 1మరియు సి 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x రూపం యొక్క సమానత్వం ఆధారంగా.

మేము దానిని పొందుతాము:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

మేము C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, ఇక్కడ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 రూపంలో సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థతో పని చేస్తాము.

కౌచీ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు అది ఉంది

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

సమాధానం: 3 2 + 1 2 ఇ 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

ఫంక్షన్ f (x) n డిగ్రీతో బహుపది యొక్క ఉత్పత్తిగా మరియు f (x) = P n (x) · e a x ఘాతాంకంతో సూచించబడినప్పుడు, రెండవ-ఆర్డర్ LPDE యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఒక అని మేము పొందుతాము రూపం యొక్క సమీకరణం y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, ఇక్కడ Q n (x) అనేది nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది, మరియు r అనేది αకి సమానమైన లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్య.

Q n (x)కి చెందిన గుణకాలు సమానత్వం y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ఉదాహరణ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x రూపం యొక్క అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

సాధారణ సమీకరణం y = y 0 + y ~ . సూచించిన సమీకరణం LOD y "" - 2 y " = 0కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. మునుపటి ఉదాహరణ నుండి దాని మూలాలు సమానంగా ఉన్నాయని చూడవచ్చు k 1 = 0మరియు k 2 = 2 మరియు y 0 = C 1 + C 2 e 2 x లక్షణ సమీకరణం ద్వారా.

సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు x 2 + 1 · e x అని చూడవచ్చు. ఇక్కడ నుండి LPDE y ~ = e a x · Q n (x) · x γ ద్వారా కనుగొనబడుతుంది, ఇక్కడ Q n (x) అనేది రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది, ఇక్కడ α = 1 మరియు r = 0, ఎందుకంటే లక్షణ సమీకరణం లేదు. 1కి సమానమైన మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇక్కడ నుండి మేము దానిని పొందుతాము

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C అనేది y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x సమానత్వం ద్వారా కనుగొనబడే తెలియని గుణకాలు.

అర్థమైంది

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

మేము అదే గుణకాలతో సూచికలను సమం చేస్తాము మరియు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము. ఇక్కడ నుండి మనకు A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

సమాధానం: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 అనేది LNDDE యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం, మరియు y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - రెండవ-క్రమం అసమాన వ్యత్యాస సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, మరియు A 1మరియు IN 1సంఖ్యలు, అప్పుడు LPDE యొక్క పాక్షిక పరిష్కారం y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ రూపం యొక్క సమీకరణంగా పరిగణించబడుతుంది, ఇక్కడ A మరియు B నిర్ణయించబడని గుణకాలుగా పరిగణించబడతాయి మరియు r అనేది సంఖ్య ± i βకి సమానమైన లక్షణ సమీకరణానికి సంబంధించిన సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలు. ఈ సందర్భంలో, గుణకాల కోసం శోధన సమానత్వం y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) రూపం యొక్క అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

లక్షణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి ముందు, మేము y 0ని కనుగొంటాము. అప్పుడు

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

మాకు ఒక జత సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలు ఉన్నాయి. రూపాంతరం చెంది, పొందండి:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలు సంయోగ జత ± 2 i, తర్వాత f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)గా పరిగణించబడతాయి. y ~ కోసం శోధన y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x నుండి తయారు చేయబడుతుందని ఇది చూపిస్తుంది. మేము y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) రూపం యొక్క సమానత్వం నుండి A మరియు B గుణకాల కోసం చూస్తాము.

రూపాంతరం చేద్దాం:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B పాపం (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

అప్పుడు తెలుస్తుంది

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల కోఎఫీషియంట్‌లను సమం చేయడం అవసరం. మేము ఫారమ్ యొక్క వ్యవస్థను పొందుతాము:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

ఇది y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

సమాధానం:స్థిరమైన గుణకాలతో అసలైన రెండవ-ఆర్డర్ LDDE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం పరిగణించబడుతుంది

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), అప్పుడు y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. మనకు r అనేది లక్షణ సమీకరణానికి సంబంధించిన మూలాల సంక్లిష్ట సంయోగ జతల సంఖ్య, α ± i βకి సమానం, ఇక్కడ P n (x), Q k (x), L m (x) మరియు Nm(x)డిగ్రీ n, k, m, m, ఎక్కడ బహుపదాలు m = m a x (n, k). గుణకాలను కనుగొనడం Lm(x)మరియు Nm(x)సమానత్వం ఆధారంగా తయారు చేయబడింది y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ఉదాహరణ 4

సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

పరిష్కారం

షరతు ప్రకారం అది స్పష్టంగా ఉంది

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

అప్పుడు m = m a x (n, k) = 1. మేము మొదట ఫారమ్ యొక్క లక్షణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం ద్వారా y 0ని కనుగొంటాము:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

మూలాలు నిజమైనవి మరియు విభిన్నమైనవి అని మేము కనుగొన్నాము. అందువల్ల y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. తరువాత, రూపం యొక్క అసమాన సమీకరణం y ~ ఆధారంగా సాధారణ పరిష్కారం కోసం వెతకడం అవసరం

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) పాపం (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) పాపం (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i తో లక్షణ సమీకరణానికి సంబంధించిన సంయోగ మూలాల జత లేనందున A, B, C గుణకాలు, r = 0 అని తెలుసు. ఫలిత సమానత్వం నుండి మేము ఈ గుణకాలను కనుగొంటాము:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + డి) పాపం (5 x)) = - ఇ 3 x ((38 x + 45) పాపం (5 x) + (8 x - 5) కాస్ (5 x))

ఉత్పన్నం మరియు సారూప్య పదాలను కనుగొనడం ఇస్తుంది

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · పాపం (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

కోఎఫీషియంట్లను సమం చేసిన తర్వాత, మేము రూపం యొక్క వ్యవస్థను పొందుతాము

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

ప్రతిదాని నుండి అది అనుసరిస్తుంది

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) పాపం (5 x))

సమాధానం:ఇప్పుడు మనం ఇచ్చిన సరళ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందాము:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNUని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

పరిష్కారం కోసం ఏదైనా ఇతర రకమైన ఫంక్షన్ f (x) సొల్యూషన్ అల్గారిథమ్‌కు అనుగుణంగా ఉండాలి:

• సంబంధిత సరళ సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం, ఇక్కడ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ఇక్కడ y 1మరియు y 2 LODE యొక్క సరళ స్వతంత్ర పాక్షిక పరిష్కారాలు, సి 1మరియు సి 2ఏకపక్ష స్థిరాంకాలుగా పరిగణించబడతాయి;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 యొక్క సాధారణ పరిష్కారంగా స్వీకరించడం;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + y 1 " ఫారమ్ యొక్క సిస్టమ్ ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాల నిర్ధారణ x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , మరియు ఫైండింగ్ ఫంక్షన్‌లు C 1 (x)మరియు ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా C 2 (x).

ఉదాహరణ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x కోసం సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

మేము గతంలో y 0, y "" + 36 y = 0 అని వ్రాసి, లక్షణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం కొనసాగిస్తాము. వ్రాసి పరిష్కరించుకుందాం:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = పాపం (6 x)

ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) గా వ్రాయబడుతుంది. డెరివేటివ్ ఫంక్షన్ల నిర్వచనానికి వెళ్లడం అవసరం C 1 (x)మరియు C2(x)సమీకరణాలతో కూడిన వ్యవస్థ ప్రకారం:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

అనే విషయంలో నిర్ణయం తీసుకోవాల్సి ఉంది C 1" (x)మరియు C 2" (x)ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి. అప్పుడు మేము వ్రాస్తాము:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

ప్రతి సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా ఏకీకృతం చేయబడాలి. అప్పుడు మేము ఫలిత సమీకరణాలను వ్రాస్తాము:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ఇ 6 x పాపం (6 x) + సి 4

సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుందని ఇది అనుసరిస్తుంది:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 పాపం (6 x)

సమాధానం: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్స్ (PC)తో సరళ అసమానమైన రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలను (LNDE-2) పరిష్కరించే ప్రాథమిక అంశాలు

స్థిరమైన గుణకాలు $p$ మరియు $q$ కలిగిన 2వ ఆర్డర్ LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ రూపాన్ని కలిగి ఉంది, ఇక్కడ $f\left(x \right)$ అనేది నిరంతర ఫంక్షన్.

PC తో LNDU 2కి సంబంధించి, కింది రెండు ప్రకటనలు నిజం.

కొన్ని ఫంక్షన్ $U$ అనేది అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క ఏకపక్ష పాక్షిక పరిష్కారం అని అనుకుందాం. కొంత ఫంక్షన్ $Y$ అనేది సంబంధిత సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం (GS) అని కూడా అనుకుందాం. అప్పుడు యొక్క GR LHDE-2 సూచించిన ప్రైవేట్ మరియు సాధారణ పరిష్కారాల మొత్తానికి సమానం, అంటే $y=U+Y$.

2వ ఆర్డర్ LMDE యొక్క కుడివైపు భాగం ఫంక్షన్ల మొత్తం అయితే, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+.. ప్రతి ఫంక్షన్‌కి $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, మరియు ఆ తర్వాత CR LNDU-2ని $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ రూపంలో వ్రాయండి.

PC తో 2వ ఆర్డర్ LPDE యొక్క పరిష్కారం

ఇచ్చిన LNDU-2 యొక్క ఒకటి లేదా మరొక PD $U$ రకం దాని కుడి వైపు $f\left(x\right)$ యొక్క నిర్దిష్ట రూపంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. PD LNDU-2 కోసం శోధించే సరళమైన సందర్భాలు క్రింది నాలుగు నియమాల రూపంలో రూపొందించబడ్డాయి.

నియమం #1.

LNDU-2 యొక్క కుడి వైపు $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, ఇక్కడ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) రూపం ఉంది. ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, అంటే దీనిని a అంటారు. డిగ్రీ $n$ యొక్క బహుపది. అప్పుడు దాని PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ రూపంలో కోరబడుతుంది, ఇక్కడ $Q_(n) \left(x\right)$ మరొకటి $P_(n) \left(x\right)$కి సమానమైన డిగ్రీ యొక్క బహుపది, మరియు $r$ అనేది సున్నాకి సమానమైన సంబంధిత LODE-2 యొక్క లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్య. బహుపది $Q_(n) \left(x\right)$ యొక్క గుణకాలు నిరవధిక గుణకాల (UK) పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడతాయి.

నియమం సంఖ్య 2.

LNDU-2 యొక్క కుడి వైపు $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ రూపాన్ని కలిగి ఉంది, ఇక్కడ $P_(n) \left( x\right)$ అనేది డిగ్రీ $n$ యొక్క బహుపది. అప్పుడు దాని PD $U$ రూపంలో $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ రూపంలో కోరబడుతుంది, ఇక్కడ $Q_(n ) \ ఎడమ(x\కుడి)$ అనేది $P_(n) \left(x\right)$ వలె అదే స్థాయికి చెందిన మరొక బహుపది, మరియు $r$ అనేది సంబంధిత LODE-2 యొక్క లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్య. $\alpha $కి సమానం. బహుపది $Q_(n) \left(x\right)$ యొక్క గుణకాలు NC పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడతాయి.

నియమం నం. 3.

LNDU-2 యొక్క కుడి వైపు $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x ఫారమ్ ఉంది \కుడి) $, ఇక్కడ $a$, $b$ మరియు $\beta$లు తెలిసిన సంఖ్యలు. అప్పుడు దాని PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) రూపంలో కోరబడుతుంది. \right )\cdot x^(r) $, ఇక్కడ $A$ మరియు $B$ తెలియని గుణకాలు, మరియు $r$ అనేది సంబంధిత LODE-2 యొక్క లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్య, $i\cdotకి సమానం \beta $. నాన్-డిస్ట్రక్టివ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి $A$ మరియు $B$ గుణకాలు కనుగొనబడ్డాయి.

నియమం నం. 4.

LNDU-2 యొక్క కుడి వైపు $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ఇక్కడ $P_(n) \left(x\right)$ ఉంటుంది డిగ్రీ $ n$ యొక్క బహుపది, మరియు $P_(m) \left(x\right)$ అనేది డిగ్రీ $m$ యొక్క బహుపది. అప్పుడు దాని PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ రూపంలో కోరబడుతుంది, ఇక్కడ $Q_(లు) \left(x\right)$ మరియు $ R_(లు) \left(x\right)$ అనేది $s$ డిగ్రీ యొక్క బహుపదాలు, $s$ అనేది గరిష్టంగా $n$ మరియు $m$ అనే రెండు సంఖ్యలు మరియు $r$ అనేది మూలాల సంఖ్య. సంబంధిత LODE-2 యొక్క లక్షణ సమీకరణం, $\alpha +i\cdot \beta $కి సమానం. $Q_(s) \left(x\right)$ మరియు $R_(s) \left(x\right)$ యొక్క బహుపదాల గుణకాలు NC పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడతాయి.

NK పద్ధతి కింది నియమాన్ని వర్తింపజేస్తుంది. అసమాన అవకలన సమీకరణం LNDU-2 యొక్క పాక్షిక పరిష్కారంలో భాగమైన బహుపది యొక్క తెలియని గుణకాలను కనుగొనడానికి, ఇది అవసరం:

• LNDU-2 యొక్క ఎడమ వైపున సాధారణ రూపంలో వ్రాసిన PD $U$ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి;
• LNDU-2 యొక్క ఎడమ వైపున, $x$ అదే అధికారాలతో సరళీకరణలు మరియు సమూహ నిబంధనలను అమలు చేయండి;
• ఫలిత గుర్తింపులో, ఎడమ మరియు కుడి వైపుల $x$ అదే అధికారాలతో నిబంధనల గుణకాలను సమం చేయండి;
• తెలియని గుణకాల కోసం సరళ సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

ఉదాహరణ 1

టాస్క్: కనుగొనండి లేదా LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PDని కూడా కనుగొనండి , $x=0$కి $y=6$ మరియు $x=0$కి $y"=1$ అనే ప్రారంభ షరతులను సంతృప్తిపరచడం.

మేము సంబంధిత LOD-2ని వ్రాస్తాము: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

లక్షణ సమీకరణం: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలు: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ఈ మూలాలు చెల్లుబాటు అయ్యేవి మరియు విభిన్నమైనవి. ఈ విధంగా, సంబంధిత LODE-2 యొక్క OR రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ఈ LNDU-2 యొక్క కుడి వైపు $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ రూపాన్ని కలిగి ఉంది. $\alpha =3$ ఘాతాంకం యొక్క గుణకాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. ఈ గుణకం లక్షణ సమీకరణం యొక్క ఏ మూలాలతోనూ ఏకీభవించదు. కాబట్టి, ఈ LNDU-2 యొక్క PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

మేము NC పద్ధతిని ఉపయోగించి $A$, $B$ గుణకాల కోసం శోధిస్తాము.

మేము చెక్ రిపబ్లిక్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( ఇ^(3\cdot x) \కుడి)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ఎడమ(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

మేము చెక్ రిపబ్లిక్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

మేము ఇచ్చిన NLDE-2 $y""-3\cdot y"లో $y""$, $y"$ మరియు $y$కి బదులుగా $U""$, $U"$ మరియు $U$ ఫంక్షన్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ ఇంకా, ఘాతాంకం $e^(3\cdot x)$ కారకంగా చేర్చబడినందున అన్ని భాగాలలో, అప్పుడు దానిని విస్మరించవచ్చు. మనకు లభిస్తుంది:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ఫలిత సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున మేము చర్యలను చేస్తాము:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

మేము NDT పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. మేము రెండు తెలియని వాటితో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ మా సమస్య కోసం ఇలా కనిపిస్తుంది: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

మా సమస్య కోసం OR $y=Y+U$ ఇలా కనిపిస్తుంది: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ఎడమ(-2\cdot x-1\కుడి)\cdot e^(3\cdot x) $.

ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే PD కోసం శోధించడానికి, మేము OP యొక్క డెరివేటివ్ $y"$ని కనుగొంటాము:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\ఎడమ(-2\cdot x-1\కుడి)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

మేము $x=0$కి $y=6$కి $y$ మరియు $y"$ మరియు $x=0$కి $y"=1$ అనే ప్రారంభ షరతులను భర్తీ చేస్తాము:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను అందుకున్నాము:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

దాన్ని పరిష్కరించుకుందాం. మేము క్రామెర్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి $C_(1) $ని కనుగొంటాము మరియు $C_(2) $ని మొదటి సమీకరణం నుండి నిర్ణయిస్తాము:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ ప్రారంభం(శ్రేణి)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

అందువలన, ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క PD రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \కుడి )\cdot e^(3\cdot x) $.

ఉపన్యాసంలో, LNDEలు అధ్యయనం చేయబడతాయి - సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణాలు. సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం పరిగణించబడుతుంది, ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి ద్వారా LPDE యొక్క పరిష్కారం, స్థిరమైన గుణకాలతో LDDE యొక్క పరిష్కారం మరియు ప్రత్యేక రూపం యొక్క కుడి వైపు. పరిశీలనలో ఉన్న సమస్యలు భౌతిక శాస్త్రం, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్ మరియు ఎలక్ట్రానిక్స్ మరియు ఆటోమేటిక్ నియంత్రణ సిద్ధాంతంలో బలవంతపు డోలనాల అధ్యయనంలో ఉపయోగించబడతాయి.

1. 2వ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం.

మనం మొదట ఏకపక్ష క్రమం యొక్క సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం:

సంజ్ఞామానాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, మనం వ్రాయవచ్చు:

ఈ సందర్భంలో, ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు మరియు కుడి వైపు ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటాయని మేము ఊహిస్తాము.

సిద్ధాంతం. ఒక నిర్దిష్ట డొమైన్‌లోని సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం దాని పరిష్కారాలలో ఏదైనా మొత్తం మరియు సంబంధిత సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

రుజువు. Y ఒక అసమాన సమీకరణానికి కొంత పరిష్కారంగా ఉండనివ్వండి.

అప్పుడు, ఈ పరిష్కారాన్ని అసలు సమీకరణంలోకి మార్చినప్పుడు, మేము గుర్తింపును పొందుతాము:

వీలు
- సరళ సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ
. అప్పుడు సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ప్రత్యేకించి, 2వ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం కోసం, సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ
అనేది సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ, మరియు
- అసమాన సమీకరణం యొక్క ఏదైనా నిర్దిష్ట పరిష్కారం.

అందువలన, ఒక సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం మరియు ఏదో ఒకవిధంగా అసమాన సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం. సాధారణంగా ఇది ఎంపిక ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. మేము క్రింది ప్రశ్నలలో ప్రైవేట్ పరిష్కారాన్ని ఎంచుకునే పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము.

2. వైవిధ్య పద్ధతి

ఆచరణలో, వివిధ ఏకపక్ష స్థిరాంకాల పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

దీన్ని చేయడానికి, మొదట రూపంలో సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

అప్పుడు, కోఎఫీషియంట్స్ పెట్టడం సి iనుండి విధులు X, అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం వెతకాలి:

ఇది ఫంక్షన్లను కనుగొనడానికి నిరూపించబడింది సి i (x) మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి:

ఉదాహరణ.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సరళ సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

సమీకరణాల వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:

సంబంధం నుండి మనం ఫంక్షన్‌ను కనుగొంటాము ఓహ్).

ఇప్పుడు మనం కనుగొన్నాము B(x)

మేము పొందిన విలువలను అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం కోసం సూత్రంలోకి మారుస్తాము:

చివరి సమాధానం:

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి ఏదైనా సరళ అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి అనుకూలంగా ఉంటుంది. కాని ఎందువలన అంటే సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొనడం చాలా కష్టమైన పని; ఈ పద్ధతి ప్రధానంగా స్థిరమైన గుణకాలతో అసమాన సమీకరణాల కోసం ఉపయోగించబడుతుంది.

3. ప్రత్యేక రూపం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సమీకరణాలు

అసమాన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రకాన్ని బట్టి నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క రకాన్ని ఊహించడం సాధ్యమవుతుంది.

కింది కేసులు వేరు చేయబడ్డాయి:

I. రేఖీయ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

డిగ్రీ యొక్క బహుపది ఎక్కడ ఉంది m.

అప్పుడు ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం రూపంలో కోరబడుతుంది:

ఇక్కడ ప్ర(x) - అదే డిగ్రీ యొక్క బహుపది పి(x) , కానీ నిర్ణయించబడని గుణకాలు, మరియు ఆర్- సంబంధిత సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణానికి లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం  సంఖ్య ఎన్ని రెట్లు ఉందో చూపే సంఖ్య.

ఉదాహరణ.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
.

సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

ఇప్పుడు అసలైన అసమాన సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

సమీకరణం యొక్క కుడి వైపును పైన చర్చించిన కుడి వైపు రూపంతో సరిపోల్చండి.

మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నాము:
, ఎక్కడ

ఆ.

ఇప్పుడు తెలియని కోఎఫీషియెంట్‌లను గుర్తించండి ఎమరియు IN.

సాధారణ రూపంలోని నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని అసలైన అసమాన అవకలన సమీకరణంలోకి మారుద్దాం.

మొత్తం, ప్రైవేట్ పరిష్కారం:

అప్పుడు సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం:

II. సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఇక్కడ ఆర్ 1 (X)మరియు ఆర్ 2 (X)- డిగ్రీ యొక్క బహుపది m 1 మరియు m 2 వరుసగా.

అప్పుడు అసమాన సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది ఆర్సంఖ్యకు ఎన్ని సార్లు చూపుతుంది
సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం, మరియు ప్ర 1 (x) మరియు ప్ర 2 (x) - డిగ్రీ యొక్క బహుపది కంటే ఎక్కువ కాదు m, ఎక్కడ m- డిగ్రీలలో అతిపెద్దది m 1 మరియు m 2 .

ప్రైవేట్ పరిష్కారాల రకాల సారాంశ పట్టిక

వివిధ రకాల కుడి-భుజాల కోసం

సమీకరణం యొక్క కుడి-భుజం పైన పరిగణించబడిన రకం వ్యక్తీకరణల కలయిక అయితే, పరిష్కారం సహాయక సమీకరణాలకు పరిష్కారాల కలయికగా కనుగొనబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి వ్యక్తీకరణకు అనుగుణంగా కుడి వైపున ఉంటుంది. కలయికలో.

ఆ. సమీకరణం అయితే:
, అప్పుడు ఈ సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఉంటుంది
ఎక్కడ వద్ద 1 మరియు వద్ద 2 - సహాయక సమీకరణాల ప్రత్యేక పరిష్కారాలు

మరియు

వివరించడానికి, పై ఉదాహరణను వేరే విధంగా పరిష్కరిద్దాం.

ఉదాహరణ.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

అవకలన సమీకరణం యొక్క కుడి భాగాన్ని రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తంగా సూచిస్తాము f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- పాపం x).

లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేసి పరిష్కరిద్దాం:

మనకు లభిస్తుంది: I.e.

మొత్తం:

ఆ. అవసరమైన నిర్దిష్ట పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

నాన్-సజాతీయ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం:

వివరించిన పద్ధతుల అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1..సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

సంబంధిత సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం కోసం ఒక లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

ఇప్పుడు రూపంలో అసమాన సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము:

నిర్దిష్ట పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

సరళ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం:

ఉదాహరణ.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

లక్షణ సమీకరణం:

సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం:

అసమాన సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం:
.

మేము ఉత్పన్నాలను కనుగొని వాటిని అసలైన అసమాన సమీకరణంలోకి మారుస్తాము:

మేము అసమాన అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము: