విమానానికి లంబంగా ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణం. డైహెడ్రల్ కోణం

చాప్టర్ వన్ స్ట్రెయిట్ మరియు ప్లేన్స్

V. డైహెడ్రల్ కోణాలు, విమానంతో కుడి కోణం,
రెండు క్రాసింగ్ రైట్ స్ట్రెయిట్‌ల కోణం, పాలిహెడల్ కోణాలు

డైహెడ్రల్ కోణాలు

38. నిర్వచనాలు.ఈ విమానంలో ఉన్న ఏదైనా సరళ రేఖకు ఒక వైపున ఉన్న విమానం భాగాన్ని అంటారు సగం విమానం. ఒక సరళ రేఖ (AB) నుండి వెలువడే రెండు అర్ధ-విమానాల (P మరియు Q, Fig. 26) ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మను అంటారు. డైహెడ్రల్ కోణం. డైరెక్ట్ AB అంటారు అంచు, మరియు సగం-విమానాలు P మరియు Q - పార్టీలులేదా అంచులుడైహెడ్రల్ కోణం.

అటువంటి కోణం సాధారణంగా దాని అంచు (డైహెడ్రల్ యాంగిల్ AB) వద్ద ఉంచబడిన రెండు అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది. కానీ ఒక అంచు వద్ద అనేక డైహెడ్రల్ కోణాలు ఉంటే, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నాలుగు అక్షరాలతో సూచించబడతాయి, వీటిలో మధ్య రెండు అంచు వద్ద ఉన్నాయి మరియు బయటి రెండు ముఖాల వద్ద ఉన్నాయి (ఉదాహరణకు, డైహెడ్రల్ కోణం SCDR) (Fig. 27)

ఒక ఏకపక్ష పాయింట్ నుండి D అంచులు AB (Fig. 28) ప్రతి ముఖంపై అంచుకు లంబంగా గీసినట్లయితే, అప్పుడు వాటి ద్వారా ఏర్పడిన కోణం CDE అంటారు సరళ కోణండైహెడ్రల్ కోణం.

సరళ కోణం యొక్క పరిమాణం అంచున ఉన్న దాని శీర్షం యొక్క స్థానంపై ఆధారపడి ఉండదు. ఈ విధంగా, సరళ కోణాలు CDE మరియు C 1 D 1 E 1 సమానంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే వాటి భుజాలు వరుసగా సమాంతరంగా మరియు ఒకే దిశలో ఉంటాయి.

సరళ కోణం యొక్క విమానం అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే దానికి లంబంగా రెండు పంక్తులు ఉంటాయి. అందువల్ల, ఒక సరళ కోణాన్ని పొందేందుకు, ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాన్ని అంచుకు లంబంగా ఉన్న విమానంతో ఖండిస్తే సరిపోతుంది మరియు ఈ విమానంలో ఫలిత కోణాన్ని పరిగణించండి.

39. డైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం మరియు అసమానత.రెండు డైహెడ్రల్ కోణాలను చొప్పించినప్పుడు వాటిని కలపగలిగితే సమానంగా పరిగణించబడుతుంది; లేకుంటే, ఏ డైహెడ్రల్ కోణం చిన్నదిగా పరిగణించబడుతుందో అది ఇతర కోణంలో భాగం అవుతుంది.

ప్లానిమెట్రీలో కోణాల వలె, డైహెడ్రల్ కోణాలు కావచ్చు ప్రక్కనే, నిలువుమొదలైనవి

రెండు ప్రక్కనే ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటే, వాటిని ప్రతి ఒక్కటి అంటారు కుడి డైహెడ్రల్ కోణం.

సిద్ధాంతాలు. 1) సమాన డైహెడ్రల్ కోణాలు సమాన సరళ కోణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

2) పెద్ద డైహెడ్రల్ కోణం పెద్ద సరళ కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

PABQ, మరియు P 1 A 1 B 1 Q 1 (Fig. 29) రెండు డైహెడ్రల్ కోణాలుగా ఉండనివ్వండి. మేము A 1 B 1 కోణాన్ని AB కోణంలోకి చొప్పించాము, తద్వారా A 1 B 1 అంచు AB అంచుతో మరియు P 1 ముఖం Pతో సమానంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు ఈ డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు Q 1 ముఖం Qతో సమానంగా ఉంటుంది; కోణం A 1 B 1 కోణం AB కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు Q 1 డైహెడ్రల్ కోణం లోపల కొంత స్థానాన్ని తీసుకుంటుంది, ఉదాహరణకు Q 2.

దీనిని గమనించిన తర్వాత, ఒక సాధారణ అంచుపై కొంత బిందువును తీసుకొని, దాని ద్వారా అంచుకు లంబంగా R అనే విమానం గీయండి. డైహెడ్రల్ కోణాల ముఖాలతో ఈ విమానం యొక్క ఖండన నుండి, సరళ కోణాలు పొందబడతాయి. డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అవి ఒకే సరళ కోణం CBDని కలిగి ఉంటాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది; డైహెడ్రల్ కోణాలు ఏకీభవించకపోతే, ఉదాహరణకు, ముఖం Q 1 Q 2 స్థానాన్ని తీసుకుంటే, పెద్ద డైహెడ్రల్ కోణం పెద్ద సరళ కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది (అవి: / CBD > / C 2 BD).

40. సంభాషణ సిద్ధాంతాలు. 1) సమాన సరళ కోణాలు సమాన డైహెడ్రల్ కోణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

2) పెద్ద సరళ కోణం పెద్ద డైహెడ్రల్ కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది .

ఈ సిద్ధాంతాలను వైరుధ్యం ద్వారా సులభంగా నిరూపించవచ్చు.

41. పరిణామాలు. 1) లంబ డైహెడ్రల్ కోణం లంబ రేఖీయ కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

లెట్ (Fig. 30) డైహెడ్రల్ కోణం PABQ నేరుగా ఉంటుంది. అంటే ఇది ప్రక్కనే ఉన్న కోణం QABP 1కి సమానం. కానీ ఈ సందర్భంలో, సరళ కోణాలు CDE మరియు CDE 1 కూడా సమానంగా ఉంటాయి; మరియు అవి ప్రక్కనే ఉన్నందున, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నేరుగా ఉండాలి. దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రక్కనే ఉన్న సరళ కోణాలు CDE మరియు CDE 1 సమానంగా ఉంటే, ప్రక్కనే ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, అనగా, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నేరుగా ఉండాలి.

2) అన్ని కుడి డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి,ఎందుకంటే వాటి సరళ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి .

అదేవిధంగా, నిరూపించడం సులభం:

3) లంబ డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

4) డైహెడ్రల్ వరుసగా సమాంతరంగా మరియు ఒకేలా (లేదా వ్యతిరేక) దర్శకత్వం వహించిన అంచులతో కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

5) మనం డైహెడ్రల్ కోణాల యూనిట్‌గా తీసుకుంటే, లీనియర్ కోణాల యూనిట్‌కు అనుగుణంగా ఉండే డైహెడ్రల్ కోణాన్ని తీసుకుంటే, డైహెడ్రల్ కోణాన్ని దాని సరళ కోణంతో కొలుస్తామని చెప్పవచ్చు.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం: డైహెడ్రల్ కోణం మరియు దాని సరళ కోణం యొక్క భావన పరిచయం.

పనులు:

విద్యాపరమైన: ఈ భావనల అనువర్తనంపై పనులను పరిగణించండి, విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనే నిర్మాణాత్మక నైపుణ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;

అభివృద్ధి: విద్యార్థుల సృజనాత్మక ఆలోచన అభివృద్ధి, విద్యార్థుల వ్యక్తిగత స్వీయ-అభివృద్ధి, విద్యార్థుల ప్రసంగం అభివృద్ధి;

విద్యాపరమైన: మానసిక పని సంస్కృతి, కమ్యూనికేటివ్ సంస్కృతి, ప్రతిబింబ సంస్కృతిని పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: కొత్త జ్ఞానాన్ని నేర్చుకోవడంలో పాఠం

బోధనా పద్ధతులు: వివరణాత్మక మరియు సచిత్ర

సామగ్రి: కంప్యూటర్, ఇంటరాక్టివ్ వైట్‌బోర్డ్.

సాహిత్యం:

జ్యామితి. 10-11 తరగతులు: పాఠ్య పుస్తకం. 10-11 తరగతులకు. సాధారణ విద్య సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / [L. S. Atanasyan, V. F. బుట్జోవ్, S. B. కడోమ్ట్సేవ్, మొదలైనవి] - 18వ ఎడిషన్. – M.: ఎడ్యుకేషన్, 2009. – 255 p.

పాఠ్య ప్రణాళిక:

సంస్థాగత క్షణం (2 నిమి)

జ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది (5 నిమి)

కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం (12 నిమి)

నేర్చుకున్న మెటీరియల్ యొక్క ఉపబలము (21 నిమి)

హోంవర్క్ (2 నిమి)

సారాంశం (3 నిమి)

తరగతుల సమయంలో:

1. సంస్థాగత క్షణం.

ఉపాధ్యాయుడు తరగతికి శుభాకాంక్షలు చెప్పడం, పాఠం కోసం గదిని సిద్ధం చేయడం మరియు హాజరుకాని వారిని తనిఖీ చేయడం వంటివి ఉంటాయి.

2. ప్రాథమిక పరిజ్ఞానాన్ని నవీకరించడం.

ఉపాధ్యాయుడు: చివరి పాఠంలో మీరు స్వతంత్ర పనిని వ్రాసారు. సాధారణంగా, పని బాగా వ్రాయబడింది. ఇప్పుడు కొంచెం పునరావృతం చేద్దాం. విమానంలోని కోణాన్ని ఏమంటారు?

విద్యార్థి: విమానంలో ఒక కోణం అనేది ఒక బిందువు నుండి వెలువడే రెండు కిరణాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ.

ఉపాధ్యాయుడు: అంతరిక్షంలో రేఖల మధ్య కోణాన్ని ఏమంటారు?

విద్యార్థి: అంతరిక్షంలో రెండు ఖండన రేఖల మధ్య కోణం ఈ రేఖల కిరణాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాలలో చిన్నది, వాటి ఖండన బిందువు వద్ద శీర్షంతో ఉంటుంది.

విద్యార్థి: ఖండన రేఖల మధ్య కోణం అనేది డేటాకు సమాంతరంగా వరుసగా ఖండన రేఖల మధ్య కోణం.

ఉపాధ్యాయుడు: సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని ఏమంటారు?

విద్యార్థి: సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణంఈ విమానంపై సరళ రేఖ మరియు దాని ప్రొజెక్షన్ మధ్య ఏదైనా కోణం అంటారు.

3. కొత్త విషయాలను అధ్యయనం చేయడం.

ఉపాధ్యాయుడు: స్టీరియోమెట్రీలో, అటువంటి కోణాలతో పాటు, మరొక రకమైన కోణం పరిగణించబడుతుంది - డైహెడ్రల్ కోణాలు. నేటి పాఠం యొక్క అంశం ఏమిటో మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించారు, కాబట్టి మీ నోట్‌బుక్‌లను తెరవండి, నేటి తేదీ మరియు పాఠం యొక్క అంశాన్ని వ్రాయండి.

బోర్డు మీద మరియు నోట్‌బుక్‌లలో వ్రాయండి:

10.12.14.

డైహెడ్రల్ కోణం.

టీచర్ : డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావనను పరిచయం చేయడానికి, ఇచ్చిన విమానంలో గీసిన ఏదైనా సరళ రేఖ ఈ విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలుగా విభజిస్తుందని గుర్తుంచుకోవాలి.(Fig. 1, a)

టీచర్ : సరిహద్దుతో ఉన్న రెండు అర్ధ-విమానాలు ఇకపై ఒకే విమానంలో ఉండవు (Fig. 1, b). ఫలిత సంఖ్య డైహెడ్రల్ కోణం. డైహెడ్రల్ కోణం అనేది ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒకే సమతలానికి చెందని సాధారణ సరిహద్దుతో రెండు అర్ధ-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ. డైహెడ్రల్ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తున్న సగం-విమానాలను దాని ముఖాలు అంటారు. డైహెడ్రల్ కోణం రెండు వైపులా ఉంటుంది, అందుకే దీనికి డైహెడ్రల్ కోణం అని పేరు. సరళ రేఖ - సగం-విమానాల యొక్క సాధారణ సరిహద్దు - డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు అని పిలుస్తారు. మీ నోట్‌బుక్‌లో నిర్వచనాన్ని వ్రాయండి.

డైహెడ్రల్ కోణం అనేది ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒకే సమతలానికి చెందని సాధారణ సరిహద్దుతో రెండు అర్ధ-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ.

టీచర్ : రోజువారీ జీవితంలో, మేము తరచుగా డైహెడ్రల్ కోణం ఆకారాన్ని కలిగి ఉన్న వస్తువులను ఎదుర్కొంటాము. ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

విద్యార్థి : సగం తెరిచిన ఫోల్డర్.

విద్యార్థి : గది గోడ నేలతో కలిసి ఉంటుంది.

విద్యార్థి : భవనాల గేబుల్ పైకప్పులు.

టీచర్ : కుడి. మరియు అటువంటి ఉదాహరణలు భారీ సంఖ్యలో ఉన్నాయి.

టీచర్ : మీకు తెలిసినట్లుగా, ఒక విమానంలోని కోణాలు డిగ్రీలలో కొలుస్తారు. మీకు బహుశా ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు, డైహెడ్రల్ కోణాలను ఎలా కొలుస్తారు? ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది.డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచున కొంత పాయింట్‌ను గుర్తించండి మరియు ప్రతి ముఖంపై ఈ పాయింట్ నుండి అంచుకు లంబంగా ఒక కిరణాన్ని గీయండి. ఈ కిరణాల ద్వారా ఏర్పడే కోణాన్ని డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం అంటారు. మీ నోట్‌బుక్‌లలో డ్రాయింగ్ చేయండి.

బోర్డు మీద మరియు నోట్బుక్లలో వ్రాయండి.

గురించి ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- డైహెడ్రల్ కోణం,∠ AOB- డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం.

టీచర్ : డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇలాంటి మరో డ్రాయింగ్‌ను మీరే రూపొందించుకోండి.

టీచర్ : నిరూపిద్దాం. AOB మరియు రెండు సరళ కోణాలను పరిగణించండిPQR. కిరణాలు OA మరియుQPఒకే ముఖం మీద పడుకుని లంబంగా ఉంటాయిOQ, అంటే వారు సహ-దర్శకత్వం వహించారు. అదేవిధంగా, కిరణాలు OB మరియుQRసహ దర్శకత్వం వహించారు. అంటే,∠ AOB= ∠ PQR(సమలేఖనం చేయబడిన భుజాలతో కోణాల వంటివి).

టీచర్ : సరే, ఇప్పుడు మా ప్రశ్నకు సమాధానం డైహెడ్రల్ కోణం ఎలా కొలుస్తారు.డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత దాని సరళ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత. 48వ పేజీలోని పాఠ్యపుస్తకం నుండి తీవ్రమైన, కుడి మరియు మందమైన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క చిత్రాలను మళ్లీ గీయండి.

4. అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ.

టీచర్ : పనుల కోసం డ్రాయింగ్‌లను రూపొందించండి.

№ 1 . ఇవ్వబడింది: ΔABC, AC = BC, AB విమానంలో ఉంటుందిα, CD ⊥ α, సి∉ α. డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండిCABD.

విద్యార్థి : పరిష్కారం:సి.ఎం. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - కోరింది.

№ 2. ఇవ్వబడింది: ΔABC, ∠ సి= 90°, BC విమానంలో ఉంటుందిα, JSC⊥ α, ఎ∈ α.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండిABCO.

విద్యార్థి : పరిష్కారం:AB ⊥ బి.సి., JSC⊥ BC అంటే OS⊥ సూర్యుడు.∠ ACO - కోరింది.

№ 3 . ఇవ్వబడింది: ΔABC, ∠ C = 90°, AB విమానంలో ఉంటుందిα, CD⊥ α, సి∉ α. నిర్మించులీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణంDABC.

విద్యార్థి : పరిష్కారం: సి.కె ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB అంటే∠ DKC - కోరింది.

№ 4 . ఇచ్చిన:DABC- టెట్రాహెడ్రాన్,DO⊥ ABC.డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండిఎ బి సి డి.

విద్యార్థి : పరిష్కారం:DM ⊥ సూర్యుడు,DO ⊥ VS అంటే OM⊥ సూర్యుడు;∠ OMD - కోరింది.

5. సంగ్రహించడం.

ఉపాధ్యాయుడు: ఈ రోజు మీరు క్లాస్‌లో కొత్తగా ఏమి నేర్చుకున్నారు?

విద్యార్థులు : డైహెడ్రల్ యాంగిల్, లీనియర్ యాంగిల్ అంటారు, డైహెడ్రల్ కోణం ఎలా కొలుస్తారు.

టీచర్ : వారు ఏమి పునరావృతం చేసారు?

విద్యార్థులు : ఒక విమానంలో ఒక కోణం అంటారు; సరళ రేఖల మధ్య కోణం.

6. హోంవర్క్.

బోర్డు మీద మరియు మీ డైరీలలో వ్రాయండి: పేరా 22, నం. 167, నం. 170.

పాఠం యొక్క టెక్స్ట్ ట్రాన్స్‌క్రిప్ట్:

ప్లానిమెట్రీలో, ప్రధాన వస్తువులు రేఖలు, విభాగాలు, కిరణాలు మరియు బిందువులు. ఒక బిందువు నుండి వెలువడే కిరణాలు వాటి రేఖాగణిత ఆకృతులలో ఒకదాన్ని ఏర్పరుస్తాయి - ఒక కోణం.

సరళ కోణం డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌లలో కొలవబడుతుందని మనకు తెలుసు.

స్టీరియోమెట్రీలో, వస్తువులకు ఒక విమానం జోడించబడుతుంది. జ్యామితిలో ఒకే సమతలానికి చెందని సాధారణ సరిహద్దు a మరియు రెండు అర్ధ-విమానాల సరళ రేఖతో ఏర్పడిన బొమ్మను డైహెడ్రల్ కోణం అంటారు. అర్ధ-విమానాలు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు. స్ట్రెయిట్ లైన్ a అనేది డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు.

సరళ కోణం వంటి డైహెడ్రల్ కోణాన్ని పేరు పెట్టవచ్చు, కొలవవచ్చు మరియు నిర్మించవచ్చు. ఈ పాఠంలో మనం తెలుసుకోవలసినది ఇదే.

ABCD టెట్రాహెడ్రాన్ మోడల్‌లో డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి.

అంచు ABతో కూడిన డైహెడ్రల్ కోణాన్ని CABD అంటారు, ఇక్కడ పాయింట్లు C మరియు D కోణం యొక్క విభిన్న ముఖాలకు చెందినవి మరియు అంచు ABని మధ్యలో అంటారు.

డైహెడ్రల్ కోణం రూపంలో మూలకాలతో మన చుట్టూ చాలా వస్తువులు ఉన్నాయి.

అనేక నగరాల్లో, పార్కులలో సయోధ్య కోసం ప్రత్యేక బెంచీలు ఏర్పాటు చేయబడ్డాయి. బెంచ్ కేంద్రం వైపు కలుస్తున్న రెండు వంపుతిరిగిన విమానాల రూపంలో తయారు చేయబడింది.

ఇళ్ళు నిర్మించేటప్పుడు, అని పిలవబడే గేబుల్ పైకప్పు తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ ఇంటిపై పైకప్పు 90 డిగ్రీల డైహెడ్రల్ కోణం రూపంలో తయారు చేయబడింది.

డైహెడ్రల్ కోణం కూడా డిగ్రీలు లేదా రేడియన్‌లలో కొలుస్తారు, అయితే దానిని ఎలా కొలవాలి.

గృహాల పైకప్పులు తెప్పలపై విశ్రాంతి తీసుకోవడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. మరియు తెప్ప షీటింగ్ ఇచ్చిన కోణంలో రెండు పైకప్పు వాలులను ఏర్పరుస్తుంది.

చిత్రాన్ని డ్రాయింగ్‌కు బదిలీ చేద్దాం. డ్రాయింగ్‌లో, డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనడానికి, పాయింట్ B దాని అంచున గుర్తించబడుతుంది.ఈ పాయింట్ నుండి, BA మరియు BC అనే రెండు కిరణాలు కోణం అంచుకు లంబంగా డ్రా చేయబడతాయి. ఈ కిరణాల ద్వారా ఏర్పడిన ABC కోణాన్ని లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం అంటారు.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత దాని సరళ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలతకు సమానం.

AOB కోణాన్ని కొలుద్దాం.

ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత అరవై డిగ్రీలు.

డైహెడ్రల్ కోణం కోసం అనంతమైన సరళ కోణాలను గీయవచ్చు; అవన్నీ సమానంగా ఉన్నాయని తెలుసుకోవడం ముఖ్యం.

AOB మరియు A1O1B1 అనే రెండు సరళ కోణాలను పరిశీలిద్దాం. OA మరియు O1A1 కిరణాలు ఒకే ముఖంపై ఉంటాయి మరియు OO1 సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి, కాబట్టి అవి కోడైరెక్షనల్. బీమ్స్ OB మరియు O1B1 కూడా సహ-దర్శకత్వం వహించాయి. కాబట్టి, AOB కోణం A1O1B1 కో-డైరెక్షనల్ వైపులా కోణాలకు సమానం.

కాబట్టి డైహెడ్రల్ కోణం సరళ కోణంతో వర్గీకరించబడుతుంది మరియు సరళ కోణాలు తీవ్రంగా, మందంగా మరియు కుడిగా ఉంటాయి. డైహెడ్రల్ కోణాల నమూనాలను పరిశీలిద్దాం.

దాని రేఖీయ కోణం 90 మరియు 180 డిగ్రీల మధ్య ఉన్నట్లయితే అది మందమైన కోణం.

దాని సరళ కోణం 90 డిగ్రీలు ఉంటే లంబ కోణం.

తీవ్రమైన కోణం, దాని సరళ కోణం 0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు ఉంటే.

సరళ కోణం యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకదానిని నిరూపిద్దాం.

సరళ కోణం యొక్క విమానం డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది.

AOB కోణం ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణంగా ఉండనివ్వండి. నిర్మాణం ద్వారా, AO మరియు OB కిరణాలు a సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి.

విమానం AOB సిద్ధాంతం ప్రకారం AO మరియు OB అనే రెండు ఖండన రేఖల గుండా వెళుతుంది: ఒక విమానం రెండు ఖండన రేఖల గుండా వెళుతుంది మరియు ఒకటి మాత్రమే.

పంక్తి a ఈ విమానంలో ఉన్న రెండు ఖండన రేఖలకు లంబంగా ఉంటుంది, అంటే, రేఖ మరియు విమానం లంబంగా ఆధారంగా, సరళ రేఖ a అనేది AOB విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించగలగడం ముఖ్యం. టెట్రాహెడ్రాన్ ABCD కోసం అంచు ABతో డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణాన్ని నిర్మించండి.

మేము డైహెడ్రల్ కోణం గురించి మాట్లాడుతున్నాము, ఇది మొదటగా, అంచు AB, ఒక ముఖం ABD మరియు రెండవ ముఖం ABC ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

దీన్ని నిర్మించడానికి ఇక్కడ ఒక మార్గం ఉంది.

పాయింట్ D నుండి ప్లేన్ ABCకి లంబంగా గీద్దాం. లంబానికి ఆధారం పాయింట్ Mని గుర్తించండి. టెట్రాహెడ్రాన్‌లో లంబంగా ఉన్న ఆధారం టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉన్న లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి.

పాయింట్ D నుండి అంచు ABకి లంబంగా వంపుతిరిగిన రేఖను గీద్దాం, వంపుతిరిగిన రేఖకు ఆధారం పాయింట్ Nని గుర్తించండి.

త్రిభుజం DMNలో, సెగ్మెంట్ NM అనేది ABC విమానంలో వంపుతిరిగిన DN యొక్క ప్రొజెక్షన్. మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ప్రకారం, అంచు AB ప్రొజెక్షన్ NMకి లంబంగా ఉంటుంది.

దీనర్థం కోణం DNM యొక్క భుజాలు AB అంచుకు లంబంగా ఉంటాయి, అంటే నిర్మిత కోణం DNM కావలసిన సరళ కోణం.

డైహెడ్రల్ కోణాన్ని లెక్కించే సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC మరియు సాధారణ త్రిభుజం ADB ఒకే సమతలంలో ఉండవు. సెగ్మెంట్ CD విమానం ADBకి లంబంగా ఉంటుంది. AC=CB=2 cm, AB= 4 cm అయితే డైహెడ్రల్ కోణం DABCని కనుగొనండి.

DABC యొక్క డైహెడ్రల్ కోణం దాని సరళ కోణానికి సమానం. ఈ కోణాన్ని నిర్మించుకుందాం.

AB అంచుకు లంబంగా వంపుతిరిగిన CMని గీయండి, త్రిభుజం ACB సమద్విబాహు అయినందున, పాయింట్ M AB అంచు మధ్యలో సమానంగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ CD విమానం ADBకి లంబంగా ఉంటుంది, అంటే ఇది ఈ విమానంలో ఉన్న సరళ రేఖ DMకి లంబంగా ఉంటుంది. మరియు సెగ్మెంట్ MD అనేది విమానం ADVలో వంపుతిరిగిన CM యొక్క ప్రొజెక్షన్.

సరళరేఖ AB నిర్మాణం ద్వారా వంపుతిరిగిన CMకి లంబంగా ఉంటుంది, అంటే, మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ద్వారా, ఇది ప్రొజెక్షన్ MDకి లంబంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, AB అంచుకు CM మరియు DM అనే రెండు లంబాలు కనిపిస్తాయి. దీనర్థం అవి డైహెడ్రల్ కోణం DABC యొక్క సరళ కోణం CMDని ఏర్పరుస్తాయి. మరియు మనం చేయాల్సిందల్లా దానిని కుడి త్రిభుజం CDM నుండి కనుగొనడమే.

కాబట్టి సెగ్మెంట్ SM అనేది మధ్యస్థం మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజం ACB యొక్క ఎత్తు, అప్పుడు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, లెగ్ SM 4 సెం.మీ.కి సమానం.

కుడి త్రిభుజం DMB నుండి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, లెగ్ DM మూడు యొక్క రెండు మూలాలకు సమానం.

లంబ త్రిభుజం నుండి ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్ MD యొక్క హైపోటెన్యూస్ CM నిష్పత్తికి సమానం మరియు మూడు రెట్లు రెండు యొక్క మూడు మూలాలకు సమానం. అంటే యాంగిల్ CMD 30 డిగ్రీలు.

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

రెండు వేర్వేరు విమానాల మధ్య కోణం యొక్క పరిమాణాన్ని విమానాల యొక్క ఏదైనా సాపేక్ష స్థానం కోసం నిర్ణయించవచ్చు.

విమానాలు సమాంతరంగా ఉంటే చిన్నవిషయం. అప్పుడు వాటి మధ్య కోణం సున్నాకి సమానంగా పరిగణించబడుతుంది.

విమానాలు కలుస్తుంటే నాన్-ట్రివియల్ కేసు. ఈ కేసు మరింత చర్చనీయాంశమైంది. మొదట మనకు డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన అవసరం.

9.1 డైహెడ్రల్ కోణం

డైహెడ్రల్ కోణం అనేది సాధారణ సరళ రేఖతో (దీనిని డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు అని పిలుస్తారు) రెండు అర్ధ-విమానాలు. అంజీర్లో. 50 సగం-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాన్ని చూపుతుంది మరియు; ఈ డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు సరళ రేఖ a, ఈ అర్ధ-విమానాలకు సాధారణం.

అన్నం. 50. డైహెడ్రల్ కోణం

డైహెడ్రల్ కోణాన్ని ఒక పదంలో డిగ్రీలు లేదా రేడియన్‌లలో కొలవవచ్చు, డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కోణీయ విలువను నమోదు చేయండి. ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది.

అర్ధ-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచున మరియు, మేము ఒక ఏకపక్ష బిందువును తీసుకుంటాము M. కిరణాలు MA మరియు MB లను గీయండి, వరుసగా ఈ సగం-విమానాలలో పడి మరియు అంచుకు లంబంగా (Fig. 51).

అన్నం. 51. లీనియర్ డైహెడ్రల్ కోణం

ఫలిత కోణం AMB డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం. కోణం " = \AMB అనేది మన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కోణీయ విలువ.

నిర్వచనం. డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కోణీయ పరిమాణం ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం యొక్క పరిమాణం.

డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సరళ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి (అన్ని తరువాత, అవి ఒకదానికొకటి సమాంతర మార్పు ద్వారా పొందబడతాయి). కాబట్టి, ఈ నిర్వచనం సరైనది: విలువ " డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచున ఉన్న పాయింట్ M యొక్క నిర్దిష్ట ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు.

9.2 విమానాల మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించడం

రెండు విమానాలు కలిసినప్పుడు, నాలుగు డైహెడ్రల్ కోణాలు లభిస్తాయి. అవన్నీ ఒకే పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటే (ఒక్కొక్కటి 90), అప్పుడు విమానాలను లంబంగా పిలుస్తారు; అప్పుడు విమానాల మధ్య కోణం 90.

అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాలు ఒకేలా ఉండకపోతే (అంటే, రెండు అక్యూట్ మరియు రెండు మొద్దుబారినవి ఉన్నాయి), అప్పుడు విమానాల మధ్య కోణం తీవ్రమైన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క విలువ (Fig. 52).

అన్నం. 52. విమానాల మధ్య కోణం

9.3 సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

మూడు సమస్యలను చూద్దాం. మొదటిది సరళమైనది, రెండవది మరియు మూడవది గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో సుమారుగా C2 స్థాయిలో ఉన్నాయి.

సమస్య 1. సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క రెండు ముఖాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ABCD ఒక సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌గా ఉండనివ్వండి. సంబంధిత ముఖాల మధ్యస్థ AM మరియు DMలను, అలాగే టెట్రాహెడ్రాన్ DH (Fig. 53) ఎత్తును గీయండి.

అన్నం. 53. టాస్క్ 1కి

మధ్యస్థంగా ఉండటం వలన, AM మరియు DM కూడా ABC మరియు DBC అనే సమబాహు త్రిభుజాల ఎత్తులు. కాబట్టి, కోణం " = \AMD అనేది ABC మరియు DBC ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం. మేము దానిని DHM త్రిభుజం నుండి కనుగొంటాము:

సమాధానం: ఆర్కోస్ 1 3 .

సమస్య 2. సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ SABCD (శీర్షం Sతో)లో, సైడ్ ఎడ్జ్ బేస్ వైపు సమానంగా ఉంటుంది. పాయింట్ K అనేది అంచు SA మధ్యలో ఉంటుంది. విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం. లైన్ BC ADకి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు తద్వారా ప్లేన్ ADSకి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, విమానం KBC BCకి సమాంతరంగా KL సరళ రేఖ వెంట విమానం ADSని కలుస్తుంది (Fig. 54).

అన్నం. 54. టాస్క్ 2కి

ఈ సందర్భంలో, KL కూడా లైన్ ADకి సమాంతరంగా ఉంటుంది; కాబట్టి, KL అనేది త్రిభుజం ADS యొక్క మధ్యరేఖ, మరియు పాయింట్ L అనేది DS యొక్క మధ్య బిందువు.

పిరమిడ్ SO యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి. DO మధ్యలో N ఉండనివ్వండి. అప్పుడు LN అనేది త్రిభుజం DOS యొక్క మధ్య రేఖ, అందువలన LN k SO. దీని అర్థం LN విమానం ABCకి లంబంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ N నుండి మేము లంబ NM ను సరళ రేఖ BCకి తగ్గిస్తాము. సరళరేఖ NM అనేది ABC ప్లేన్‌పై వంపుతిరిగిన LM యొక్క ప్రొజెక్షన్. మూడు లంబ సిద్ధాంతం నుండి అది LM కూడా BCకి లంబంగా ఉందని అనుసరిస్తుంది.

ఈ విధంగా, కోణం " = \LMN అనేది KBC మరియు ABC అనే అర్ధ-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం. మేము ఈ కోణం LMN త్రిభుజం నుండి చూస్తాము.

పిరమిడ్ అంచు a కి సమానంగా ఉండనివ్వండి. మొదట మేము పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తును కనుగొంటాము:

పరిష్కారం. L అనేది A1 K మరియు AB పంక్తుల ఖండన బిందువుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు విమానం A1 KC CL (Fig.55)తో పాటు విమానం ABCని కలుస్తుంది.

ఎ సి

అన్నం. 55. సమస్య 3కి

త్రిభుజాలు A1 B1 K మరియు KBL కాలు మరియు తీవ్రమైన కోణంలో సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఇతర కాళ్లు సమానంగా ఉంటాయి: A1 B1 = BL.

త్రిభుజం ACLని పరిగణించండి. అందులో BA = BC = BL. యాంగిల్ CBL 120; కాబట్టి, \BCL = 30 . అలాగే, \BCA = 60 . కాబట్టి \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

కాబట్టి, LC? AC. కానీ లైన్ AC విమానం ABCకి లైన్ A1 C యొక్క ప్రొజెక్షన్‌గా పనిచేస్తుంది. మూడు లంబాల సిద్ధాంతం ద్వారా మనం LC అని ముగించాలా? A1 C.

అందువలన, కోణం A1 CA అనేది A1 KC మరియు ABC అనే అర్ధ-విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం. ఇది కావలసిన కోణం. సమద్విబాహు త్రిభుజం A1 AC నుండి అది 45కి సమానం అని మనం చూస్తాము.