అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి. "గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)" మరియు "లీస్ట్ కామన్ మల్టిపుల్ (LCD)" సంఖ్యల భావనలను పాఠశాల గణిత కోర్సులో ఎందుకు ప్రవేశపెట్టాలి?

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడానికి, మీరు సహజ, ప్రధాన మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి.

సహజ సంఖ్య అనేది మొత్తం వస్తువులను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే ఏదైనా సంఖ్య.

సహజ సంఖ్యను దానికదే మరియు ఒకటిగా మాత్రమే విభజించగలిగితే, దానిని ప్రధానం అంటారు.

అన్ని సహజ సంఖ్యలను వాటంతట అవే మరియు ఒకటిగా విభజించవచ్చు, కానీ ప్రధాన సంఖ్య 2 మాత్రమే, మిగతావన్నీ రెండుగా విభజించవచ్చు. కాబట్టి, బేసి సంఖ్యలు మాత్రమే ప్రధానం కావచ్చు.

ప్రధాన సంఖ్యలు చాలా ఉన్నాయి; వాటి పూర్తి జాబితా లేదు. GCDని కనుగొనడానికి అటువంటి సంఖ్యలతో ప్రత్యేక పట్టికలను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

చాలా సహజ సంఖ్యలను ఒకటి మాత్రమే కాకుండా, ఇతర సంఖ్యల ద్వారా కూడా విభజించవచ్చు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 15 సంఖ్యను మరొక 3 మరియు 5 ద్వారా విభజించవచ్చు. వాటన్నింటినీ 15 సంఖ్య యొక్క భాగహారాలు అంటారు.

ఈ విధంగా, ఏదైనా A యొక్క భాగహారం అనేది దానిని శేషం లేకుండా విభజించగల సంఖ్య. ఒక సంఖ్యకు రెండు కంటే ఎక్కువ సహజ కారకాలు ఉంటే, దానిని మిశ్రమ అంటారు.

30 సంఖ్య 1, 3, 5, 6, 15, 30 వంటి భాగహారాలను కలిగి ఉంటుంది.

15 మరియు 30 ఒకే భాగహారాలు 1, 3, 5, 15 కలిగి ఉన్నట్లు మీరు గమనించవచ్చు. ఈ రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం 15.

అందువల్ల, A మరియు B సంఖ్యల యొక్క సాధారణ భాగహారం వాటిని పూర్తిగా విభజించగల సంఖ్య. అతిపెద్దది వాటిని విభజించగల గరిష్ట మొత్తం సంఖ్యగా పరిగణించబడుతుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, క్రింది సంక్షిప్త శాసనం ఉపయోగించబడుతుంది:

GCD (A; B).

ఉదాహరణకు, gcd (15; 30) = 30.

సహజ సంఖ్య యొక్క అన్ని విభజనలను వ్రాయడానికి, సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించండి:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

ఈ ఉదాహరణలో, సహజ సంఖ్యలు ఒకే ఒక సాధారణ విభజనను కలిగి ఉంటాయి. వాటిని సాపేక్షంగా ప్రైమ్ అని పిలుస్తారు, కాబట్టి ఐక్యత వారి గొప్ప ఉమ్మడి విభజన.

సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను ఎలా కనుగొనాలి

అనేక సంఖ్యల gcdని కనుగొనడానికి, మీకు ఇది అవసరం:

ప్రతి సహజ సంఖ్య యొక్క అన్ని విభజనలను విడిగా కనుగొనండి, అనగా వాటిని కారకాలుగా (ప్రధాన సంఖ్యలు) కారకం చేయండి;

ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ఒకేలాంటి కారకాలను ఎంచుకోండి;

వాటిని కలిసి గుణించండి.

ఉదాహరణకు, 30 మరియు 56 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను లెక్కించడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని వ్రాస్తారు:

గందరగోళాన్ని నివారించడానికి, నిలువు నిలువు వరుసలను ఉపయోగించి కారకాలను వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. లైన్ యొక్క ఎడమ వైపున మీరు డివిడెండ్ ఉంచాలి, మరియు కుడి వైపున - డివైజర్. డివిడెండ్ కింద మీరు ఫలిత భాగాన్ని సూచించాలి.

కాబట్టి, కుడి కాలమ్‌లో పరిష్కారానికి అవసరమైన అన్ని అంశాలు ఉంటాయి.

సౌలభ్యం కోసం ఒకేలాంటి డివైజర్‌లను (కనుగొన్న కారకాలు) అండర్‌లైన్ చేయవచ్చు. వాటిని తిరిగి వ్రాయాలి మరియు గుణించాలి మరియు గొప్ప సాధారణ విభజనను వ్రాయాలి.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడం నిజంగా ఎంత సులభం. మీరు కొంచెం సాధన చేస్తే, మీరు దీన్ని దాదాపు స్వయంచాలకంగా చేయవచ్చు.

దిగువ అందించబడిన మెటీరియల్ LCM అనే వ్యాసం నుండి సిద్ధాంతం యొక్క తార్కిక కొనసాగింపు - అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ, నిర్వచనం, ఉదాహరణలు, LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్. ఇక్కడ మనం మాట్లాడతాము అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం (LCM), మరియు మేము ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేక శ్రద్ధ చూపుతాము. మొదట, ఈ సంఖ్యల GCDని ఉపయోగించి రెండు సంఖ్యల LCM ఎలా లెక్కించబడుతుందో మేము చూపుతాము. తర్వాత, మేము ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం చూస్తాము. దీని తర్వాత, మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడంపై దృష్టి పెడతాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల LCMని గణించడంపై కూడా శ్రద్ధ చూపుతాము.

పేజీ నావిగేషన్.

GCD ద్వారా తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) గణన

LCM మరియు GCD మధ్య సంబంధం ఆధారంగా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం. LCM మరియు GCDల మధ్య ఉన్న కనెక్షన్ తెలిసిన గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతిస్తుంది. సంబంధిత సూత్రం LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

126 మరియు 70 అనే రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ ఉదాహరణలో a=126 , b=70 . ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాము LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). అంటే, ముందుగా మనం 70 మరియు 126 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఆ తర్వాత మనం వ్రాసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ సంఖ్యల LCMని లెక్కించవచ్చు.

యూక్లిడియన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి GCD(126, 70)ని కనుగొనండి: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, కాబట్టి, GCD(126, 70)=14.

ఇప్పుడు మనం అవసరమైన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొంటాము: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

సమాధానం:

LCM(126, 70)=630 .

ఉదాహరణ.

LCM(68, 34) దేనికి సమానం?

పరిష్కారం.

ఎందుకంటే 68 అనేది 34తో భాగించబడుతుంది, తర్వాత GCD(68, 34)=34. ఇప్పుడు మనం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కిస్తాము: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

సమాధానం:

LCM(68, 34)=68 .

a మరియు b ధనాత్మక పూర్ణాంకాల కోసం LCMని కనుగొనడానికి మునుపటి ఉదాహరణ క్రింది నియమానికి సరిపోతుందని గమనించండి: a సంఖ్య bతో భాగించబడితే, ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a.

ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా LCMని కనుగొనడం

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మరొక మార్గం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం సంఖ్యల ఆధారంగా ఉంటుంది. మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేసి, ఆపై ఈ ఉత్పత్తి నుండి అందించిన సంఖ్యల కుళ్ళిపోయేటటువంటి అన్ని సాధారణ ప్రధాన కారకాలను మినహాయిస్తే, ఫలిత ఉత్పత్తి ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది. .

LCMని కనుగొనడానికి పేర్కొన్న నియమం సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). నిజానికి, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ప్రతిగా, GCD(a, b) అనేది a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విస్తరించడాన్ని ఉపయోగించి GCDని కనుగొనే విభాగంలో వివరించినట్లు).

ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7 అని తెలుసుకుందాం. ఈ విస్తరణల యొక్క అన్ని కారకాల నుండి ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేద్దాం: 2·3·3·5·5·5·7 . ఇప్పుడు ఈ ఉత్పత్తి నుండి మేము సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ మరియు సంఖ్య 210 (ఈ కారకాలు 3 మరియు 5) విస్తరణ రెండింటిలోనూ ఉన్న అన్ని కారకాలను మినహాయించాము, అప్పుడు ఉత్పత్తి 2·3·5·5·7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. . ఈ ఉత్పత్తి విలువ 75 మరియు 210 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకానికి సమానం, అంటే, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

ఉదాహరణ.

441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి మరియు ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం:

మనకు 441=3·3·7·7 మరియు 700=2·2·5·5·7 లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని రూపొందిద్దాం: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. రెండు విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని కారకాలను ఈ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయిద్దాం (అటువంటి ఒక అంశం మాత్రమే ఉంది - ఇది సంఖ్య 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . ఈ విధంగా, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

సమాధానం:

NOC(441, 700)= 44 100 .

ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యల కారకాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే నియమాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు. సంఖ్య b యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు a సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి కారకాలకు జోడించబడితే, ఫలితంగా ఉత్పత్తి యొక్క విలువ a మరియు b సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది..

ఉదాహరణకు, అదే సంఖ్యలు 75 మరియు 210 తీసుకుందాం, ప్రధాన కారకాలుగా వాటి కుళ్ళిపోవడం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7. సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ నుండి 3, 5 మరియు 5 కారకాలకు మేము 210 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 7 ను జోడిస్తాము, మేము 2·3·5·5·7 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, దీని విలువ LCM(75, 210)కి సమానం.

ఉదాహరణ.

84 మరియు 648 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మేము మొదట 84 మరియు 648 సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము. అవి 84=2·2·3·7 మరియు 648=2·2·2·3·3·3·3 లాగా కనిపిస్తాయి. సంఖ్య 84 యొక్క విస్తరణ నుండి 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 648 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2, 3, 3 మరియు 3ని జోడిస్తాము, మేము ఉత్పత్తి 2 2 2 3 3 3 3 7 ను పొందుతాము, ఇది 4 536కి సమానం. ఈ విధంగా, 84 మరియు 648 యొక్క కనీస సాధారణ గుణకం 4,536.

సమాధానం:

LCM(84, 648)=4,536 .

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం

రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు. మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనే మార్గాన్ని అందించే సంబంధిత సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.

సిద్ధాంతం.

ధనాత్మక పూర్ణాంక సంఖ్యలు a 1 , a 2 , ..., a k ఇవ్వబడనివ్వండి, ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ m k m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

నాలుగు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

140, 9, 54 మరియు 250 అనే నాలుగు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ ఉదాహరణలో, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

మొదట మనం కనుగొంటాము m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). దీన్ని చేయడానికి, యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము GCD(140, 9)ని నిర్ణయిస్తాము, మనకు 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, కాబట్టి, GCD(140, 9)=1 , ఎక్కడ నుండి GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. అంటే, m 2 =1 260.

ఇప్పుడు మనం కనుగొన్నాము m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). దానిని GCD(1 260, 54) ద్వారా గణిద్దాం, దీనిని మనం యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి కూడా నిర్ణయిస్తాము: 1 260=54·23+18, 54=18·3. అప్పుడు gcd(1,260, 54)=18, దీని నుండి gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. అంటే, m 3 =3 780.

కనుగొనడమే మిగిలి ఉంది m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). దీన్ని చేయడానికి, మేము యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి GCD(3,780, 250)ని కనుగొంటాము: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. కాబట్టి, GCM(3,780, 250)=10, ఎక్కడ నుండి GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. అంటే, m 4 =94,500.

కాబట్టి అసలు నాలుగు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 94,500.

సమాధానం:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

అనేక సందర్భాల్లో, ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారకాన్ని ఉపయోగించి మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు క్రింది నియమానికి కట్టుబడి ఉండాలి. అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఉత్పత్తికి సమానం, ఇది క్రింది విధంగా కూర్చబడింది: రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి అన్ని కారకాలకు జోడించబడతాయి, విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మూడవ సంఖ్య ఫలిత కారకాలకు జోడించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.

ప్రైమ్ ఫ్యాక్టరైజేషన్ ఉపయోగించి అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఐదు సంఖ్యల 84, 6, 48, 7, 143లో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము ఈ సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, ఇది సమానంగా ఉంటుంది ప్రధాన కారకాలుగా దాని కుళ్ళిపోవడంతో) మరియు 143=11·13.

ఈ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మొదటి సంఖ్య 84 (అవి 2, 2, 3 మరియు 7) యొక్క కారకాలకు, మీరు రెండవ సంఖ్య 6 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించాలి. మొదటి సంఖ్య 84 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు 3 రెండూ ఇప్పటికే ఉన్నందున, సంఖ్య 6 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో తప్పిపోయిన కారకాలు లేవు. తరువాత, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము మూడవ సంఖ్య 48 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 2 లను జోడిస్తాము, మేము 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాల సమితిని పొందుతాము. తదుపరి దశలో ఈ సెట్‌కు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాల్సిన అవసరం ఉండదు, ఎందుకంటే 7 ఇప్పటికే ఇందులో ఉంది. చివరగా, 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 143 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన 11 మరియు 13 కారకాలను జోడిస్తాము. మేము 2·2·2·2·3·7·11·13 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, ఇది 48,048కి సమానం.

కింది సమస్యను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం. అబ్బాయి అడుగు 75 సెం.మీ, మరియు అమ్మాయి అడుగు 60 సెం.మీ. వారిద్దరూ పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకునే అతి చిన్న దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం.అబ్బాయిలు వెళ్ళే మొత్తం మార్గం తప్పనిసరిగా 60 మరియు 70 ద్వారా భాగించబడాలి, ఎందుకంటే వారు ప్రతి ఒక్కరు పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకోవాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాధానం తప్పనిసరిగా 75 మరియు 60 రెండింటికి గుణకారంగా ఉండాలి.

మొదట, మేము 75 సంఖ్య యొక్క అన్ని గుణిజాలను వ్రాస్తాము.

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ఇప్పుడు 60కి గుణిజాలుగా ఉండే సంఖ్యలను వ్రాసుకుందాం.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ఇప్పుడు మేము రెండు వరుసలలో ఉన్న సంఖ్యలను కనుగొంటాము.

సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు 300, 600, మొదలైనవి.

వాటిలో చిన్నది సంఖ్య 300. ఈ సందర్భంలో, ఇది 75 మరియు 60 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని పిలువబడుతుంది.

సమస్య యొక్క స్థితికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, అబ్బాయిలు పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకునే అతి చిన్న దూరం 300 సెం.మీ ఉంటుంది. అబ్బాయి ఈ మార్గాన్ని 4 దశల్లో కవర్ చేస్తాడు మరియు అమ్మాయి 5 అడుగులు వేయాలి.

తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని నిర్ణయించడం

a మరియు b అనే రెండు సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b రెండింటి యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య.

రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని గుణిజాలను వరుసగా వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు.

మీరు క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

ముందుగా మీరు ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించాలి.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

ఇప్పుడు మొదటి సంఖ్య (2,2,3,5) యొక్క విస్తరణలో ఉన్న అన్ని కారకాలను వ్రాసి, రెండవ సంఖ్య (5) యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన అన్ని కారకాలను జతచేద్దాం.

ఫలితంగా, మనకు ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి లభిస్తుంది: 2,2,3,5,5. ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యలకు అతి తక్కువ సాధారణ కారకంగా ఉంటుంది. 2*2*3*5*5 = 300.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి సాధారణ పథకం

1. సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విభజించండి.
2. వాటిలో ఒకదానిలో భాగమైన ప్రధాన కారకాలను వ్రాయండి.
3. ఈ కారకాలకు ఇతరుల విస్తరణలో ఉన్నవాటిని జోడించండి, కానీ ఎంచుకున్న వాటిలో కాదు.
4. అన్ని వ్రాసిన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

ఈ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది. ఏదైనా సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.

గొప్ప సాధారణ విభజన

నిర్వచనం 2

సహజ సంఖ్య a సహజ సంఖ్య $b$తో భాగించబడినట్లయితే, $b$ని $a$ యొక్క భాజకం అంటారు మరియు $a$ని $b$ యొక్క గుణకం అంటారు.

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. $c$ సంఖ్యను $a$ మరియు $b$ రెండింటి యొక్క సాధారణ విభజన అని పిలుస్తారు.

$a$ మరియు $b$ సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాల సమితి పరిమితమైనది, ఎందుకంటే ఈ భాగహారాలు ఏవీ $a$ కంటే ఎక్కువగా ఉండవు. దీనర్థం ఈ విభజనలలో అతిపెద్దది ఒకటి ఉంది, ఇది $a$ మరియు $b$ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన అని పిలువబడుతుంది మరియు క్రింది సంజ్ఞామానం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

$GCD\(a;b)\ లేదా \D\(a;b)$

రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి మీకు ఇది అవసరం:

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన గొప్ప సాధారణ భాగహారం అవుతుంది.

ఉదాహరణ 1

$121$ మరియు $132.$ సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చబడిన సంఖ్యలను ఎంచుకోండి

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన గొప్ప సాధారణ భాగహారం అవుతుంది.

$GCD=2\cdot 11=22$

ఉదాహరణ 2

$63$ మరియు $81$ మోనోమియల్స్ యొక్క gcdని కనుగొనండి.

సమర్పించిన అల్గోరిథం ప్రకారం మేము కనుగొంటాము. దీని కొరకు:

సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

మేము ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చబడిన సంఖ్యలను ఎంచుకుంటాము

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

$GCD=3\cdot 3=9$

మీరు సంఖ్యల విభజనల సమితిని ఉపయోగించి రెండు సంఖ్యల gcdని మరొక విధంగా కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 3

$48$ మరియు $60$ సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

$48$: $\ఎడమ$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\కుడి$$ సంఖ్య యొక్క విభజనల సమితిని కనుగొనండి

ఇప్పుడు $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\కుడి$ సంఖ్య యొక్క భాగహారాల సమితిని కనుగొనండి $

ఈ సెట్ల ఖండనను కనుగొనండి: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ఈ సెట్ $48$ మరియు $60 సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాల సమితిని నిర్ణయిస్తుంది $. ఈ సెట్‌లోని అతిపెద్ద మూలకం $12$. దీనర్థం $48$ మరియు $60$ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన $12$.

NPL యొక్క నిర్వచనం

నిర్వచనం 3

సహజ సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు$a$ మరియు $b$ అనేది సహజ సంఖ్య, ఇది $a$ మరియు $b$ రెండింటి గుణకం.

సంఖ్యల యొక్క సాధారణ గుణిజాలు మిగిలిన సంఖ్యలు లేకుండా అసలు సంఖ్యలతో భాగించబడే సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, $25$ మరియు $50$ల కోసం, సాధారణ గుణిజాలు $50,100,150,200$, మొదలైనవి.

అతి చిన్న సాధారణ గుణకం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని పిలువబడుతుంది మరియు LCM$(a;b)$ లేదా K$(a;b).$ అని సూచించబడుతుంది.

రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

కారకం సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి
మొదటి సంఖ్యలో భాగమైన కారకాలను వ్రాసి, రెండవదానిలో భాగమైన మరియు మొదటి సంఖ్యలో భాగం కాని కారకాలను వాటికి జోడించండి.

ఉదాహరణ 4

$99$ మరియు $77$ సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.

సమర్పించిన అల్గోరిథం ప్రకారం మేము కనుగొంటాము. దీని కొరకు

కారకం సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి

$99=3\cdot 3\cdot 11$

మొదటిదానిలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాయండి

వాటికి రెండవ భాగం మరియు మొదటి భాగం కాకుండా ఉండే గుణకాలను జోడించండి

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన కనీస సాధారణ గుణకం అవుతుంది

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

సంఖ్యల విభజనల జాబితాలను కంపైల్ చేయడం తరచుగా చాలా శ్రమతో కూడుకున్న పని. యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం అని పిలువబడే GCDని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం ఉంది.

యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఆధారంగా రూపొందించబడిన ప్రకటనలు:

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలు మరియు $a\vdots b$ అయితే, $D(a;b)=b$

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలు అయితే $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ని ఉపయోగించి, వాటిలో ఒకటి మరొకదానితో భాగించబడే విధంగా ఒక జత సంఖ్యలను చేరుకునే వరకు మనం పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యలను వరుసగా తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు ఈ సంఖ్యలలో చిన్నది $a$ మరియు $b$ సంఖ్యలకు కావలసిన గొప్ప సాధారణ విభజన అవుతుంది.

GCD మరియు LCM యొక్క లక్షణాలు

$a$ మరియు $b$ యొక్క ఏదైనా సాధారణ గుణకారం K$(a;b)$తో భాగించబడుతుంది
$a\vdots b$ అయితే, К$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$ మరియు $m$ సహజ సంఖ్య అయితే, K$(am;bm)=km$

$d$ అనేది $a$ మరియు $b$లకు సాధారణ విభజన అయితే, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ మరియు $b\vdots c$ అయితే, $\frac(ab)(c)$ అనేది $a$ మరియు $b$ యొక్క సాధారణ గుణకం

ఏదైనా సహజ సంఖ్యల కోసం $a$ మరియు $b$ సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ మరియు $b$ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సాధారణ భాగహారం $D(a;b)$ సంఖ్య యొక్క భాగహారం

లాన్సినోవా ఐసా

డౌన్‌లోడ్:

ప్రివ్యూ:

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

సంఖ్యల GCD మరియు LCMపై సమస్యలు MCOU "కమిషోవ్స్కాయా సెకండరీ స్కూల్" యొక్క 6 వ తరగతి విద్యార్థి యొక్క పని లాంసినోవా ఐసా సూపర్‌వైజర్ జోయా ఎర్డ్నిగోరియావ్నా గోరియావా, గణిత ఉపాధ్యాయుడు పి. కమిషెవో, 2013

50, 75 మరియు 325 సంఖ్యల gcdని కనుగొనడానికి ఒక ఉదాహరణ. 1) 50, 75 మరియు 325 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) ఈ సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, మేము ఇతరుల విస్తరణలో చేర్చని వాటిని దాటుతాము. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) మిగిలిన కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి 5 ∙ 5 = 25 సమాధానం: GCD (50, 75 మరియు 325) = 25 అతిపెద్ద సహజ సంఖ్య ద్వారా a మరియు b సంఖ్యలు శేషం లేకుండా భాగించబడినప్పుడు, ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాజకం అంటారు.

72, 99 మరియు 117 సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి ఒక ఉదాహరణ. 1) 72, 99 మరియు 117 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాసి, మిగిలిన సంఖ్యల తప్పిపోయిన కారకాలను వాటికి జోడించండి. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) ఫలిత కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 సమాధానం: LCM (72, 99 మరియు 117) = 10296 సహజ సంఖ్యలు a మరియు b యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య మరియు బి.

కార్డ్బోర్డ్ యొక్క షీట్ దీర్ఘచతురస్ర ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీని పొడవు 48 సెం.మీ మరియు వెడల్పు 40 సెం.మీ. ఈ షీట్ను వ్యర్థాలు లేకుండా సమాన చతురస్రాల్లో కట్ చేయాలి. ఈ వర్క్‌షీట్ నుండి పొందగలిగే అతిపెద్ద చతురస్రాలు ఏమిటి మరియు ఎన్ని? పరిష్కారం: 1) S = a ∙ b - దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క ప్రాంతం. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². - కార్డ్బోర్డ్ ప్రాంతం. 2) a – స్క్వేర్ 48 వైపు: a – కార్డ్‌బోర్డ్ పొడవులో వేయగల చతురస్రాల సంఖ్య. 40: a – కార్డ్‌బోర్డ్ వెడల్పు అంతటా వేయగల చతురస్రాల సంఖ్య. 3) GCD (40 మరియు 48) = 8 (సెం.మీ.) - చతురస్రం వైపు. 4) S = a² - ఒక చదరపు వైశాల్యం. S = 8² = 64 (cm²) - ఒక చదరపు వైశాల్యం. 5) 1960: 64 = 30 (చతురస్రాల సంఖ్య). సమాధానం: 30 చతురస్రాలు ఒక్కొక్కటి 8 సెం.మీ. GCD సమస్యలు

గదిలోని పొయ్యి తప్పనిసరిగా చతురస్రాకారంలో టైల్ వేయాలి. 195 × 156 సెం.మీ కొలిచే పొయ్యి కోసం ఎన్ని టైల్స్ అవసరం మరియు అతిపెద్ద టైల్ పరిమాణాలు ఏమిటి? పరిష్కారం: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - పొయ్యి ఉపరితలం యొక్క S. 2) GCD (195 మరియు 156) = 39 (సెం.మీ.) - టైల్ వైపు. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 టైల్ వైశాల్యం. 4) 30420: = 20 (ముక్కలు). సమాధానం: 39 ͯ 39 (సెం.మీ) కొలిచే 20 పలకలు. GCD సమస్యలు

చుట్టుకొలత చుట్టూ 54 × 48 మీటర్ల పరిమాణంలో ఉన్న తోట ప్లాట్లు తప్పనిసరిగా కంచె వేయాలి; దీన్ని చేయడానికి, కాంక్రీట్ స్తంభాలను క్రమ వ్యవధిలో ఉంచాలి. సైట్ కోసం ఎన్ని స్తంభాలను తీసుకురావాలి మరియు ఒకదానికొకటి గరిష్ట దూరం వద్ద స్తంభాలు ఉంచబడతాయి? పరిష్కారం: 1) P = 2 (a + b) - సైట్ యొక్క చుట్టుకొలత. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 మరియు 48) = 6 (m) - స్తంభాల మధ్య దూరం. 3) 204: 6 = 34 (స్తంభాలు). సమాధానం: 34 స్తంభాలు, 6 మీటర్ల దూరంలో GCD సమస్యలు

210 బుర్గుండి, 126 తెలుపు మరియు 294 ఎరుపు గులాబీల నుండి బొకేలు సేకరించబడ్డాయి, ప్రతి గుత్తిలో ఒకే రంగులో సమాన సంఖ్యలో గులాబీలు ఉంటాయి. ఈ గులాబీల నుండి అత్యధిక సంఖ్యలో పుష్పగుచ్ఛాలు తయారు చేయబడ్డాయి మరియు ఒక పుష్పగుచ్ఛంలో ప్రతి రంగు యొక్క ఎన్ని గులాబీలు ఉన్నాయి? పరిష్కారం: 1) GCD (210, 126 మరియు 294) = 42 (బొకేలు). 2) 210: 42 = 5 (బుర్గుండి గులాబీలు). 3) 126: 42 = 3 (తెల్ల గులాబీలు). 4) 294: 42 = 7 (ఎరుపు గులాబీలు). సమాధానం: 42 బొకేలు: ప్రతి గుత్తిలో 5 బుర్గుండి, 3 తెలుపు, 7 ఎరుపు గులాబీలు. GCD సమస్యలు

తాన్యా మరియు మాషా అదే సంఖ్యలో పోస్టల్ కిట్‌లను కొనుగోలు చేశారు. తాన్య 90 రూబిళ్లు, మరియు మాషా 5 రూబిళ్లు చెల్లించారు. మరింత. ఒక సెట్ ధర ఎంత? ఒక్కొక్కరు ఎన్ని సెట్లు కొన్నారు? పరిష్కారం: 1) 90 + 5 = 95 (రబ్.) మాషా చెల్లించారు. 2) GCD (90 మరియు 95) = 5 (రబ్.) - 1 సెట్ ధర. 3) 980: 5 = 18 (సెట్‌లు) – తాన్య కొనుగోలు చేసింది. 4) 95: 5 = 19 (సెట్‌లు) - మాషా కొనుగోలు చేసింది. సమాధానం: 5 రూబిళ్లు, 18 సెట్లు, 19 సెట్లు. GCD సమస్యలు

పోర్ట్ సిటీలో మూడు పర్యాటక పడవ ప్రయాణాలు ప్రారంభమవుతాయి, వీటిలో మొదటిది 15 రోజులు, రెండవది - 20 మరియు మూడవది - 12 రోజులు. ఓడరేవుకు తిరిగి వచ్చిన తరువాత, ఓడలు అదే రోజున మళ్లీ బయలుదేరాయి. ఈరోజు, మూడు మార్గాల్లో ఓడరేవు నుండి ఓడలు బయలుదేరాయి. మళ్లీ ఇన్ని రోజులలో కలిసి మొదటిసారిగా నౌకాయానం చేస్తారు? ఒక్కో ఓడ ఎన్ని ప్రయాణాలు చేస్తుంది? పరిష్కారం: 1) NOC (15,20 మరియు 12) = 60 (రోజులు) - సమావేశ సమయం. 2) 60: 15 = 4 (ప్రయాణాలు) - 1 ఓడ. 3) 60: 20 = 3 (ప్రయాణాలు) - 2 నౌకలు. 4) 60: 12 = 5 (విమానాలు) - 3 నౌకలు. సమాధానం: 60 రోజులు, 4 విమానాలు, 3 విమానాలు, 5 విమానాలు. NOC పనులు

Masha స్టోర్ వద్ద బేర్ కోసం గుడ్లు కొనుగోలు చేసింది. అడవికి వెళ్లే మార్గంలో, గుడ్ల సంఖ్యను 2,3,5,10 మరియు 15తో భాగించవచ్చని ఆమె గ్రహించింది. మాషా ఎన్ని గుడ్లు కొన్నాడు? పరిష్కారం: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (గుడ్లు) సమాధానం: మాషా 30 గుడ్లు కొన్నాడు. NOC పనులు

16 × 20 సెంటీమీటర్ల పరిమాణంలో ఉండే పెట్టెలను ఉంచడానికి చదరపు అడుగుభాగంతో బాక్స్‌ను తయారు చేయడం అవసరం. పెట్టెలో పెట్టెలను గట్టిగా అమర్చడానికి చదరపు అడుగు భాగం యొక్క చిన్న పొడవు ఎంత? పరిష్కారం: 1) LCM (16 మరియు 20) = 80 (బాక్సులు). 2) S = a ∙ b – 1 బాక్స్ వైశాల్యం. S = 16 ∙ 20 = 320 (సెం²) - 1 బాక్స్ దిగువ ప్రాంతం. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (సెం²) – చతురస్రాకారపు దిగువ ప్రాంతం. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – పెట్టె కొలతలు. సమాధానం: 160 సెం.మీ చదరపు అడుగు భాగం. NOC పనులు

పాయింట్ K నుండి రహదారి పొడవునా ప్రతి 45 మీటర్ల విద్యుత్ స్తంభాలు ఉన్నాయి, వారు ఈ స్తంభాలను ఇతరులతో భర్తీ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు, వాటిని ఒకదానికొకటి 60 మీటర్ల దూరంలో ఉంచారు. ఎన్ని స్తంభాలు ఉన్నాయి మరియు ఎన్ని ఉంటాయి? పరిష్కారం: 1) LCM (45 మరియు 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - స్తంభాలు ఉన్నాయి. 3) 180: 60 = 3 – స్తంభాలుగా మారాయి. సమాధానం: 4 స్తంభాలు, 3 స్తంభాలు. NOC పనులు

పరేడ్ గ్రౌండ్‌లో 12 మంది లైనులో కవాతు చేస్తే, 18 మందితో కూడిన కాలమ్‌గా మారితే ఎంత మంది సైనికులు కవాతు చేస్తున్నారు? పరిష్కారం: 1) NOC (12 మరియు 18) = 36 (వ్యక్తులు) - కవాతు. సమాధానం: 36 మంది. NOC పనులు