పెరుగుతున్న విరామాన్ని ఎలా కనుగొనాలి. పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న విరామాలు

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన గురించి చాలా ముఖ్యమైన సమాచారం పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న విరామాల ద్వారా అందించబడుతుంది. వాటిని కనుగొనడం అనేది ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించడం మరియు గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేసే ప్రక్రియలో భాగం. అదనంగా, ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనేటప్పుడు, పెరుగుదల నుండి తగ్గడం లేదా తగ్గడం నుండి పెరగడం వరకు మార్పు ఉన్న తీవ్ర పాయింట్లకు ప్రత్యేక శ్రద్ధ ఇవ్వబడుతుంది.

ఈ వ్యాసంలో మేము అవసరమైన నిర్వచనాలను ఇస్తాము, విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల కోసం తగిన ప్రమాణాన్ని రూపొందిస్తాము మరియు ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ ఉనికికి తగిన షరతులను రూపొందిస్తాము మరియు ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ మొత్తం సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

విరామంలో ఫంక్షన్‌ను పెంచడం మరియు తగ్గించడం.

పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం.

y=f(x) ఫంక్షన్ ఏదైనా మరియు ఉంటే విరామం Xపై పెరుగుతుంది అసమానత కలిగి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం.

y=f(x) ఫంక్షన్ ఏదైనా మరియు ఉంటే విరామం Xపై తగ్గుతుంది అసమానత కలిగి ఉంటుంది . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

గమనిక: పెరుగుతున్న లేదా తగ్గుతున్న విరామం (a;b) చివరిలో, అంటే x=a మరియు x=b వద్ద ఫంక్షన్ నిర్వచించబడి మరియు నిరంతరంగా ఉంటే, ఈ పాయింట్లు పెరుగుతున్న లేదా తగ్గుతున్న విరామంలో చేర్చబడతాయి. ఇది విరామం Xపై పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాలకు విరుద్ధంగా లేదు.

ఉదాహరణకు, ప్రాథమిక ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల లక్షణాల నుండి y=sinx అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువలకు నిర్వచించబడి మరియు నిరంతరంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, విరామంలో సైన్ ఫంక్షన్ పెరుగుదల నుండి, ఇది విరామంలో పెరుగుతుందని మేము నొక్కి చెప్పవచ్చు.

విపరీతమైన పాయింట్లు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రత.

పాయింట్ అంటారు గరిష్ట పాయింట్ఫంక్షన్ y=f(x) అసమానత దాని పొరుగున ఉన్న అన్ని x కోసం నిజమైతే. గరిష్ట బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టంగామరియు సూచించండి.

పాయింట్ అంటారు కనీస పాయింట్ఫంక్షన్ y=f(x) అసమానత దాని పొరుగున ఉన్న అన్ని x కోసం నిజమైతే. కనిష్ట బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ అంటారు కనీస ఫంక్షన్మరియు సూచించండి.

ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగును విరామంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు , తగినంత చిన్న సానుకూల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్లు అంటారు తీవ్రమైన పాయింట్లు, మరియు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లకు సంబంధించిన ఫంక్షన్ విలువలను అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రత.

ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలతో ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కంగారు పెట్టవద్దు.

మొదటి చిత్రంలో, సెగ్మెంట్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క గొప్ప విలువ గరిష్ట బిందువు వద్ద సాధించబడుతుంది మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట స్థాయికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు రెండవ చిత్రంలో, ఫంక్షన్ యొక్క గొప్ప విలువ x=b పాయింట్ వద్ద సాధించబడుతుంది. , ఇది గరిష్ట పాయింట్ కాదు.

ఫంక్షన్లను పెంచడానికి మరియు తగ్గించడానికి తగిన పరిస్థితులు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల కోసం తగిన పరిస్థితుల (సంకేతాలు) ఆధారంగా, ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలు కనుగొనబడతాయి.

విరామంలో ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క సంకేతాల సూత్రీకరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

• y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఏదైనా x విరామం X నుండి సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ X ద్వారా పెరుగుతుంది;
• y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఏదైనా x విరామం X నుండి ప్రతికూలంగా ఉంటే, Xపై ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడానికి, ఇది అవసరం:

అల్గారిథమ్‌ను వివరించడానికి ఫంక్షన్‌లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను కనుగొనే ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్‌ను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడం మొదటి దశ. మా ఉదాహరణలో, హారంలోని వ్యక్తీకరణ సున్నాకి వెళ్లకూడదు, కాబట్టి, .

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి వెళ్దాం:

తగిన ప్రమాణం ఆధారంగా ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడానికి, మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై అసమానతలను పరిష్కరిస్తాము. విరామం పద్ధతి యొక్క సాధారణీకరణను ఉపయోగిస్తాము. న్యూమరేటర్ యొక్క ఏకైక నిజమైన మూలం x = 2, మరియు హారం x=0 వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది. ఈ పాయింట్లు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజిస్తాయి, దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ పాయింట్లను సంఖ్యా రేఖపై గుర్తించండి. మేము సాంప్రదాయకంగా ఉత్పన్నం సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండే విరామాలను ప్లస్‌లు మరియు మైనస్‌ల ద్వారా సూచిస్తాము. దిగువ బాణాలు సంబంధిత విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల లేదా తగ్గింపును క్రమపద్ధతిలో చూపుతాయి.

ఈ విధంగా, మరియు .

పాయింట్ వద్ద x=2 ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు నిరంతరంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న విరామాలకు జోడించబడాలి. x=0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిర్వచించబడలేదు, కాబట్టి మేము ఈ పాయింట్‌ని అవసరమైన విరామాలలో చేర్చము.

మేము దానితో పొందిన ఫలితాలను పోల్చడానికి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్రదర్శిస్తాము.

సమాధానం:

వంటి ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది , విరామంలో తగ్గుతుంది (0;2] .

ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగాలకు తగిన పరిస్థితులు.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఫంక్షన్ వారి షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, మీరు ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క మూడు సంకేతాలలో దేనినైనా ఉపయోగించవచ్చు. అత్యంత సాధారణ మరియు అనుకూలమైన వాటిలో మొదటిది.

ఒక విపరీతానికి మొదటి తగినంత షరతు.

y=f(x) ఫంక్షన్ పాయింట్ యొక్క -నైబర్‌హుడ్‌లో భేదం మరియు పాయింట్‌లోనే నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి.

వేరే పదాల్లో:

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ఆధారంగా ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను కనుగొనే అల్గారిథమ్.

• మేము ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొంటాము.
• మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము.
• మేము న్యూమరేటర్ యొక్క సున్నాలు, ఉత్పన్నం యొక్క హారం యొక్క సున్నాలు మరియు డెరివేటివ్ ఉనికిలో లేని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క పాయింట్లను నిర్ణయిస్తాము (అన్ని జాబితా చేయబడిన పాయింట్లు అంటారు సాధ్యమయ్యే తీవ్రత యొక్క పాయింట్లు, ఈ పాయింట్ల గుండా వెళితే, ఉత్పన్నం దాని గుర్తును మార్చగలదు).
• ఈ పాయింట్లు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజిస్తాయి, దీనిలో ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము ప్రతి వ్యవధిలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాలను నిర్ణయిస్తాము (ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఏ సమయంలోనైనా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను లెక్కించడం ద్వారా).
• మేము ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండే పాయింట్‌లను ఎంచుకుంటాము మరియు దాని గుండా వెళితే, ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం - ఇవి ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు.

చాలా పదాలు ఉన్నాయి, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం మొదటి తగినంత షరతును ఉపయోగించి ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు మరియు ఎక్స్‌ట్రీమాను కనుగొనే కొన్ని ఉదాహరణలను బాగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది x=2 తప్ప వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్.

ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం:

న్యూమరేటర్ యొక్క సున్నాలు x=-1 మరియు x=5 పాయింట్లు, హారం x=2 వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది. సంఖ్య అక్షం మీద ఈ పాయింట్లను గుర్తించండి

మేము ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము; దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి విరామం యొక్క ఏదైనా పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువను గణిస్తాము, ఉదాహరణకు, పాయింట్లు x=-2, x=0, x=3 మరియు x=6.

అందువల్ల, విరామంలో ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది (చిత్రంలో మేము ఈ విరామంపై ప్లస్ గుర్తును ఉంచాము). అలాగే

కాబట్టి, మేము రెండవ విరామం కంటే మైనస్‌ను, మూడవదానిపై మైనస్‌ను మరియు నాల్గవదానిపై ప్లస్‌ను ఉంచాము.

ఫంక్షన్ నిరంతరంగా మరియు దాని ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం ఉన్న పాయింట్లను ఎంచుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఇవి విపరీతమైన పాయింట్లు.

పాయింట్ వద్ద x=-1 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్నం సంకేతం ప్లస్ నుండి మైనస్‌కు మారుతుంది, కాబట్టి, ఎక్స్‌ట్రంమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ప్రకారం, x=-1 గరిష్ట బిందువు, ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టం దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది .

పాయింట్ వద్ద x=5 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి ఉంటుంది, కాబట్టి, x=-1 అనేది కనీస బిందువు, ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టం దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది .

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

సమాధానం:

దయచేసి గమనించండి: ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం మొదటి తగినంత ప్రమాణం పాయింట్‌లోనే ఫంక్షన్ యొక్క భేదం అవసరం లేదు.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు మరియు ఎక్స్‌ట్రీమాను కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్. ఫంక్షన్‌ను ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

పాయింట్ వద్ద x=0 ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదు, ఎందుకంటే ఆర్గ్యుమెంట్ సున్నాకి మారినప్పుడు ఏకపక్ష పరిమితుల విలువలు ఏకీభవించవు:

అదే సమయంలో, అసలైన ఫంక్షన్ x=0 పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది (కొనసాగింపు కోసం ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేసే విభాగాన్ని చూడండి):

ఉత్పన్నం సున్నాకి వెళ్లే ఆర్గ్యుమెంట్ విలువను కనుగొనండి:

సంఖ్య రేఖపై పొందిన అన్ని పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు ప్రతి అంతరాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి విరామం యొక్క ఏకపక్ష పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువలను గణిస్తాము, ఉదాహరణకు, వద్ద x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

అంటే,

అందువలన, ఒక ఎక్స్ట్రీమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ప్రకారం, కనీస పాయింట్లు , గరిష్ట పాయింట్లు .

మేము ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత కనిష్టాన్ని గణిస్తాము

మేము ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత గరిష్టాన్ని గణిస్తాము

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

సమాధానం:

.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగం యొక్క రెండవ సంకేతం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగం యొక్క ఈ సంకేతానికి పాయింట్ వద్ద కనీసం రెండవ క్రమానికి ఉత్పన్నం అవసరం.

ఒక నిర్దిష్ట విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ పేర్కొనబడనివ్వండి. కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ , (ఎక్స్-డొమైన్ ఆఫ్ డెఫినిషన్) అనేది కోఆర్డినేట్‌లతో ఈ ప్లేన్ యొక్క పాయింట్ల సెట్, ఇక్కడ .

గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, మీరు ఒక విమానంలో కోఆర్డినేట్‌లు (x;y) సంబంధంతో సంబంధం ఉన్న పాయింట్‌ల సమితిని చిత్రీకరించాలి.

చాలా తరచుగా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక రకమైన వక్రరేఖ.

గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి సులభమైన మార్గం పాయింట్ల వారీగా ప్లాట్ చేయడం.

ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువ ఒక సెల్‌లో ఉన్న పట్టిక కంపైల్ చేయబడింది మరియు ఈ ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి ఫంక్షన్ యొక్క విలువ వ్యతిరేక సెల్‌లో ఉంటుంది. అప్పుడు ఫలిత పాయింట్లు విమానంలో గుర్తించబడతాయి మరియు వాటి ద్వారా ఒక వక్రత డ్రా అవుతుంది.

పాయింట్లను ఉపయోగించి ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ను నిర్మించే ఉదాహరణ:

బల్ల కట్టుకుందాం.

ఇప్పుడు గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

కానీ ఈ విధంగా తగినంత ఖచ్చితమైన గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు - ఖచ్చితత్వం కోసం మీరు చాలా పాయింట్లను తీసుకోవాలి. అందువలన, ఫంక్షన్ అధ్యయనం యొక్క వివిధ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి పరిశోధన పథకం ఉన్నత విద్యా సంస్థలలో సుపరిచితం. ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల (తగ్గింపు) యొక్క విరామాలను కనుగొనడం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేసే పాయింట్లలో ఒకటి.

ఈ విరామం నుండి ఏదైనా x 2 మరియు x 1 కోసం, అంటే x 2 >x 1 అయితే, ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో ఒక ఫంక్షన్‌ను పెంచడం (తగ్గడం) అంటారు.

ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్, దీని గ్రాఫ్ క్రింది చిత్రంలో, విరామాలలో చూపబడింది పెరుగుతుంది, మరియు విరామంలో తగ్గుతుంది (-5;3). అంటే, విరామాలలో షెడ్యూల్ ఎత్తుకెళ్లబోతోంది. మరియు విరామంలో (-5;3) "లోతువైపు".

ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనంలో మరొక అంశం ఆవర్తనానికి సంబంధించిన పనితీరును అధ్యయనం చేయడం.

T అనే సంఖ్య ఉంటే ఫంక్షన్‌ని ఆవర్తన అంటారు .

T సంఖ్యను ఫంక్షన్ యొక్క కాలం అంటారు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఆవర్తన, ఇక్కడ కాలం 2P, కాబట్టి

ఆవర్తన ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల ఉదాహరణలు:

మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క కాలం 3, మరియు రెండవది 4.

సరి ఫంక్షన్ y=x 2కి ఉదాహరణ అయినా కూడా ఒక ఫంక్షన్ అంటారు.

బేసి ఫంక్షన్ y=x 3కి ఉదాహరణ అయితే ఒక ఫంక్షన్‌ను బేసి అంటారు.

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ op-amp అక్షం (అక్షసంబంధ సమరూపత) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం (కేంద్ర సమరూపత) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

సరి (ఎడమ) మరియు బేసి (కుడి) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ల ఉదాహరణలు.

ఉత్పన్నం. విరామంలో ఏదైనా బిందువుకు ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది; అది ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది తగ్గుతుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనడానికి, మీరు దాని నిర్వచనం, ఉత్పన్నం, F’(x) > 0 మరియు F’(x) రూపంలో అసమానతలను పరిష్కరించాలి.

పరిష్కారం.

3. y' > 0 మరియు y' 0 అసమానతలను పరిష్కరించండి;
(4 - x)/x³

పరిష్కారం.
1. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. సహజంగానే, హారంలోని వ్యక్తీకరణ ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి భిన్నంగా ఉండాలి. కాబట్టి, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి 0 మినహాయించబడింది: ఫంక్షన్ x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) కోసం నిర్వచించబడింది.

2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించండి:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. y' > 0 మరియు y' 0 అసమానతలను పరిష్కరించండి;
(4 - x)/x³

4. అసమానత యొక్క ఎడమ వైపు ఒక నిజమైన x = 4 మరియు x = 0 వద్ద మారుతుంది. కాబట్టి, విలువ x = 4 విరామం మరియు తగ్గుతున్న విరామం రెండింటిలోనూ చేర్చబడుతుంది మరియు పాయింట్ 0 చేర్చబడలేదు.
కాబట్టి, x ∈ (-∞; 0) ∪ విరామంలో అవసరమైన ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

4. అసమానత యొక్క ఎడమ వైపు ఒక నిజమైన x = 4 మరియు x = 0 వద్ద మారుతుంది. కాబట్టి, విలువ x = 4 విరామం మరియు తగ్గుతున్న విరామం రెండింటిలోనూ చేర్చబడుతుంది మరియు పాయింట్ 0 చేర్చబడలేదు.
కాబట్టి, x ∈ (-∞; 0) ∪ విరామంలో అవసరమైన ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

మూలాలు:

• ఫంక్షన్‌లో తగ్గుతున్న విరామాలను ఎలా కనుగొనాలి

ఒక ఫంక్షన్ మరొక సంఖ్యపై ఖచ్చితమైన ఆధారపడటాన్ని సూచిస్తుంది లేదా ఆర్గ్యుమెంట్ (x)పై ఫంక్షన్ (y) విలువను సూచిస్తుంది. ప్రతి ప్రక్రియ (గణితంలో మాత్రమే కాదు) దాని స్వంత ఫంక్షన్ ద్వారా వివరించబడుతుంది, ఇది లక్షణ లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది: తగ్గుదల మరియు పెరుగుదల యొక్క విరామాలు, కనిష్టాలు మరియు గరిష్టాల పాయింట్లు మొదలైనవి.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - కాగితం;
• - పెన్.

సూచనలు

ఉదాహరణ 2.
f(x)=sinx +x తగ్గుతున్న విరామాలను కనుగొనండి.
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది: f'(x)=cosx+1.
అసమానత cosx+1ను పరిష్కరించడం

విరామం ఏకాభిప్రాయంఫంక్షన్‌ను విరామం అని పిలుస్తారు, దీనిలో ఫంక్షన్ మాత్రమే పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది. ఈ రకమైన బీజగణిత సమస్యలలో తరచుగా అవసరమయ్యే ఫంక్షన్ కోసం అటువంటి పరిధులను కనుగొనడానికి అనేక నిర్దిష్ట చర్యలు సహాయపడతాయి.

సూచనలు

ఒక ఫంక్షన్ మార్పు లేకుండా పెరిగే లేదా తగ్గే విరామాలను నిర్ణయించే సమస్యను పరిష్కరించడంలో మొదటి దశ ఈ ఫంక్షన్‌ను లెక్కించడం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనగలిగే అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలను (x- అక్షం వెంట ఉన్న విలువలు) కనుగొనండి. నిలిపివేతలను గమనించిన పాయింట్లను గుర్తించండి. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. మీరు ఉత్పన్నాన్ని సూచించే వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించిన తర్వాత, దానిని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి. దీని తరువాత, మీరు ఫలిత మూలాలను కనుగొనాలి. అనుమతించదగిన ప్రాంతం గురించి కాదు.

ఫంక్షన్ లేదా దాని ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన పాయింట్లు విరామాల సరిహద్దులను సూచిస్తాయి ఏకాభిప్రాయం. ఈ పరిధులు, అలాగే వాటిని వేరుచేసే పాయింట్లు వరుసగా పట్టికలో నమోదు చేయాలి. ఫలిత విరామాలలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, ఏదైనా ఆర్గ్యుమెంట్‌ను విరామం నుండి ఉత్పన్నానికి సంబంధించిన వ్యక్తీకరణలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటే, ఈ పరిధిలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది; లేకుంటే, అది తగ్గుతుంది. ఫలితాలు పట్టికలో నమోదు చేయబడ్డాయి.

ఫంక్షన్ f'(x) యొక్క ఉత్పన్నాన్ని సూచించే లైన్‌లో, ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సంబంధిత విలువలు వ్రాయబడ్డాయి: “+” - ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, “-” - ప్రతికూలంగా లేదా “0” - సున్నాకి సమానం. తదుపరి పంక్తిలో, అసలైన వ్యక్తీకరణ యొక్క మార్పును గమనించండి. పైకి బాణం పెరుగుదలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు దిగువ బాణం తగ్గుదలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. విధులను తనిఖీ చేయండి. ఉత్పన్నం సున్నాగా ఉండే పాయింట్లు ఇవి. ఎక్స్‌ట్రంమ్ గరిష్ట బిందువు లేదా కనిష్ట బిందువు కావచ్చు. ఫంక్షన్ యొక్క మునుపటి విభాగం పెరిగితే మరియు ప్రస్తుతము తగ్గినట్లయితే, ఇది గరిష్ట పాయింట్. ఇచ్చిన పాయింట్‌కు ముందు ఫంక్షన్ తగ్గుతున్నప్పుడు మరియు ఇప్పుడు అది పెరుగుతున్నప్పుడు, ఇది కనీస పాయింట్. టేబుల్‌లో ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువలను నమోదు చేయండి.

మూలాలు:

• మోనోటోని యొక్క నిర్వచనం ఏమిటి

ఆర్గ్యుమెంట్‌పై సంక్లిష్ట ఆధారపడటాన్ని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయబడుతుంది. ఉత్పన్నంలో మార్పు యొక్క స్వభావం ద్వారా, మీరు క్లిష్టమైన పాయింట్లు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల ప్రాంతాలను కనుగొనవచ్చు.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా

నిర్వచనం 2

ఒక పాయింట్ $x_0$ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది $f(x)$ ఈ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉన్నట్లయితే, ఈ పొరుగున ఉన్న మొత్తం $x$కి అసమానత $f(x)\le f(x_0) $ కలిగి ఉంది.

నిర్వచనం 3

ఒక పాయింట్ $x_0$ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది $f(x)$ ఈ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉన్నట్లయితే, ఈ పరిసర ప్రాంతంలోని మొత్తం $x$కి అసమానత $f(x)\ge f(x_0) $ కలిగి ఉంది.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క భావన ఒక ఫంక్షన్ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్ యొక్క భావనతో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. దాని నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 4

$x_0$ని ఫంక్షన్ $f(x)$ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్ అంటారు:

1) $x_0$ - నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క అంతర్గత పాయింట్;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ లేదా ఉనికిలో లేదు.

విపరీత భావన కోసం, దాని ఉనికికి తగిన మరియు అవసరమైన పరిస్థితులపై మేము సిద్ధాంతాలను రూపొందించవచ్చు.

సిద్ధాంతం 2

ఒక విపరీతానికి తగిన పరిస్థితి

$y=f(x)$ ఫంక్షన్‌కి $x_0$ పాయింట్ కీలకం మరియు $(a,b)$ విరామంలో ఉండనివ్వండి. ప్రతి విరామంలో $\ఎడమ(a,x_0\కుడి)\ మరియు\ (x_0,b)$ డెరివేటివ్ $f"(x)$ ఉండనివ్వండి మరియు స్థిరమైన గుర్తును నిర్వహిస్తుంది. తర్వాత:

1) విరామంలో $(a,x_0)$ డెరివేటివ్ $f"\left(x\right)>0$ అయితే $(x_0,b)$ అంతరంలో $f"\leఫ్ట్( x\కుడి)

2) విరామంలో $(a,x_0)$ $f"\left(x\right)0$ డెరివేటివ్ ఉంటే, అప్పుడు పాయింట్ $x_0$ ఈ ఫంక్షన్‌కి కనీస పాయింట్.

3) విరామం $(a,x_0)$ మరియు విరామం $(x_0,b)$ రెండింటిలో $f"\left(x\right) >0$ లేదా డెరివేటివ్ $f"\left(x) \కుడి)

ఈ సిద్ధాంతం మూర్తి 1లో వివరించబడింది.

మూర్తి 1. ఎక్స్‌ట్రీమా ఉనికికి తగిన పరిస్థితి

విపరీతమైన ఉదాహరణలు (Fig. 2).

మూర్తి 2. తీవ్ర పాయింట్ల ఉదాహరణలు

ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి నియమం

2) $f"(x)$ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;

7) సిద్ధాంతం 2ని ఉపయోగించి ప్రతి విరామంలో గరిష్ట మరియు కనిష్ట ఉనికి గురించి తీర్మానాలు చేయండి.

ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం

ముందుగా ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క నిర్వచనాలను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 5

$X$ విరామంలో నిర్వచించబడిన $y=f(x)$ ఏదైనా పాయింట్ల కోసం $x_1,x_2\n X$లో $x_1 వద్ద పెరుగుతుందని చెప్పబడింది.

నిర్వచనం 6

ఏదైనా పాయింట్ల కోసం $x_1,x_2\in X$లో $x_1f(x_2)$ కోసం $X$ విరామంలో $y=f(x)$ నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ తగ్గుతుందని చెప్పబడింది.

పెంచడం మరియు తగ్గించడం కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడం

మీరు ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం గురించి అధ్యయనం చేయవచ్చు.

పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాల కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ని పరిశీలించడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:

1) ఫంక్షన్ $f(x)$ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి;

2) $f"(x)$ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;

3) సమానత్వం $f"\left(x\right)=0$ కలిగి ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి;

4) $f"(x)$ ఉనికిలో లేని పాయింట్లను కనుగొనండి;

5) కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కనుగొనబడిన అన్ని పాయింట్లను మరియు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను గుర్తించండి;

6) ప్రతి ఫలిత విరామంపై $f"(x)$ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి;

7) ముగింపును గీయండి: $f"\ఎడమ(x\కుడి)0$ ఫంక్షన్ పెరిగే వ్యవధిలో.

విపరీత బిందువుల పెరుగుదల, తగ్గుదల మరియు ఉనికి కోసం విధులను అధ్యయనం చేయడంలో సమస్యల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

పెంచడం మరియు తగ్గించడం మరియు గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్ల ఉనికిని పరిశీలించండి: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

మొదటి 6 పాయింట్లు ఒకేలా ఉన్నందున, ముందుగా వాటిని అమలు చేద్దాం.

1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ - అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు;

2) $f"\ఎడమ(x\కుడి)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ఎడమ(x\కుడి)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద ఉంది;

5) కోఆర్డినేట్ లైన్:

మూర్తి 3.

6) ప్రతి విరామంలో $f"(x)$ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి:

\ \ .

- ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమమ్ పాయింట్లు. ఒక విపరీతానికి తగిన పరిస్థితులు

f(x) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి, దానిలో మోనోటోనిక్ ఉండకూడదు. అంతర్గత బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ ద్వారా అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలు సాధించబడే విరామం యొక్క భాగాలు [, ] ఉన్నాయి, అనగా. మధ్య మరియు.

ఒక ఫంక్షన్ f(x) ఒక పాయింట్‌లో గరిష్టంగా (లేదా కనిష్టంగా) ఈ బిందువును చుట్టుముట్టగలిగితే, అటువంటి పొరుగు (x 0 - ,x 0 +) ఆ ఫంక్షన్‌కి ఇవ్వబడిన విరామంలో అసమానత ఉంటుంది. దాని అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కొన్నింటిలో ఫంక్షన్ ఆమోదించిన విలువలలో f(x 0) పెద్దది (చిన్నది) అయినట్లయితే, పాయింట్ x 0 ఫంక్షన్ f(x)కి గరిష్టంగా (కనిష్టంగా) ఇస్తుంది. (కనీసం చిన్నది) ఈ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం. గరిష్ట (కనిష్ట) యొక్క నిర్వచనం x 0 పాయింట్ యొక్క రెండు వైపులా ఫంక్షన్ పేర్కొనబడిందని గమనించండి.

పొరుగు ప్రాంతంలో ఉంటే (x=x 0 వద్ద) కఠినమైన అసమానత

f(x) f(x 0)

అప్పుడు x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ దాని స్వంత గరిష్ట (కనీస)ని కలిగి ఉందని, లేకుంటే అది సరికానిదిగా ఉందని వారు చెప్పారు.

ఒక ఫంక్షన్ పాయింట్లు x 0 మరియు x 1 వద్ద గరిష్ట స్థాయిని కలిగి ఉన్నట్లయితే, రెండవ వీర్‌స్ట్రాస్ సిద్ధాంతాన్ని విరామానికి వర్తింపజేస్తే, x 0 మరియు x 1 మధ్య ఏదో ఒక పాయింట్ x 2 వద్ద ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ దాని అతి చిన్న విలువను చేరుకుంటుంది మరియు ఒక అక్కడ కనీస. అదేవిధంగా, రెండు కనిష్టాల మధ్య ఖచ్చితంగా గరిష్టంగా ఉంటుంది. సరళమైన (మరియు ఆచరణలో అత్యంత ముఖ్యమైనది) సందర్భంలో, ఒక ఫంక్షన్ సాధారణంగా పరిమిత సంఖ్యలో గరిష్ట సంఖ్య మరియు కనిష్టాన్ని కలిగి ఉన్నప్పుడు, అవి కేవలం ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి.

గరిష్ట లేదా కనిష్టాన్ని సూచించడానికి, వాటిని ఏకం చేసే పదం కూడా ఉందని గమనించండి - ఎక్స్‌ట్రీమ్.

గరిష్ట (గరిష్ట f(x)) మరియు కనిష్ట (min f(x)) యొక్క భావనలు ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక లక్షణాలు మరియు నిర్దిష్ట పాయింట్ x 0 వద్ద జరుగుతాయి. అతిపెద్ద (sup f(x)) మరియు అతిచిన్న (inf f(x)) విలువల భావనలు పరిమిత విభాగాన్ని సూచిస్తాయి మరియు సెగ్మెంట్‌లోని ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రపంచ లక్షణాలు.

మూర్తి 1 నుండి x 1 మరియు x 3 పాయింట్ల వద్ద లోకల్ గరిష్టం ఉన్నాయని మరియు x 2 మరియు x 4 పాయింట్ల వద్ద లోకల్ మినిమా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. అయితే, ఫంక్షన్ దాని కనిష్ట విలువను పాయింట్ x=a వద్ద మరియు గరిష్ట విలువ పాయింట్ x=b వద్ద చేరుకుంటుంది.

ఫంక్షన్‌కు విపరీతమైన విలువను అందించే వాదన యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనడంలో సమస్యను చూద్దాం. దాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ఉత్పన్నం ప్రధాన పాత్ర పోషిస్తుంది.

f(x) ఫంక్షన్ విరామం (a,b)లో పరిమిత ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉందని ముందుగా అనుకుందాం. x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్‌కు అంత్యభాగం ఉంటే, పైన చర్చించిన విరామానికి (x 0 - , x 0 +) ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, f (x) = 0 ఇది అంత్య భాగాలకు అవసరమైన షరతు అని మేము నిర్ధారించాము. . ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం అయిన పాయింట్ల వద్ద మాత్రమే ఎక్స్‌ట్రంమ్‌ని వెతకాలి.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన ప్రతి బిందువు ఫంక్షన్‌కు ఒక విపరీతాన్ని ఇస్తుందని భావించకూడదు: ఇప్పుడు సూచించిన అవసరమైన పరిస్థితి సరిపోదు