ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి. ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం: ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు

ఈ వ్యాసం ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క అంశాన్ని కొనసాగిస్తుంది: సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం వలె అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. ఒక సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించండి మరియు దాని రుజువును ఇద్దాం; సరళ రేఖ యొక్క అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం అంటే ఏమిటో మరియు సాధారణ సమీకరణం నుండి సరళ రేఖ యొక్క ఇతర రకాల సమీకరణాలకు ఎలా పరివర్తన చేయాలో గుర్తించండి. మేము దృష్టాంతాలు మరియు ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరిస్తూ మొత్తం సిద్ధాంతాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y ఇవ్వబడనివ్వండి.

సిద్ధాంతం 1

A x + B y + C \u003d 0 రూపాన్ని కలిగి ఉన్న మొదటి డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం, ఇక్కడ A, B, C కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు (A మరియు B ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానం కాదు) ఒక సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది ఒక విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్. ప్రతిగా, విమానంలోని దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని ఏదైనా పంక్తి A, B, C అనే నిర్దిష్ట విలువల కోసం A x + B y + C = 0 రూపాన్ని కలిగి ఉన్న సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

రుజువు

ఈ సిద్ధాంతం రెండు పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిరూపిస్తాము.

1. A x + B y + C = 0 సమీకరణం విమానంలో ఒక రేఖను నిర్వచిస్తుంది అని నిరూపిద్దాం.

కొన్ని పాయింట్ M 0 (x 0 , y 0) ఉండనివ్వండి, దీని కోఆర్డినేట్‌లు A x + B y + C = 0 సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి. అందువలన: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 సమీకరణాల ఎడమ మరియు కుడి వైపుల నుండి A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా తీసివేయండి, మనకు A లాగా కనిపించే కొత్త సమీకరణం వస్తుంది (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ఇది A x + B y + C = 0కి సమానం.

ఫలితంగా సమీకరణం A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 అనేది వెక్టర్స్ n → = (A, B) మరియు M 0 M → = (x - x) లంబంగా ఉండేందుకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు. 0, y - y 0 ) . అందువలన, పాయింట్ల సమితి M (x, y) దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో వెక్టర్ n → = (A, B) దిశకు లంబంగా ఉండే సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది. ఇది అలా కాదని మనం భావించవచ్చు, అయితే వెక్టర్స్ n → = (A, B) మరియు M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) లంబంగా ఉండవు మరియు సమానత్వం A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 నిజం కాదు.

కాబట్టి, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 సమీకరణం విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో కొంత రేఖను నిర్వచిస్తుంది మరియు అందువల్ల సమానమైన సమీకరణం A x + B y + C \u003d 0 నిర్వచిస్తుంది అదే లైన్. ఈ విధంగా మేము సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి భాగాన్ని నిరూపించాము.

1. విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని ఏదైనా సరళ రేఖను మొదటి డిగ్రీ A x + B y + C = 0 సమీకరణం ద్వారా అందించవచ్చని నిరూపిద్దాం.

విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖను సెట్ చేద్దాం; పాయింట్ M 0 (x 0 , y 0) ద్వారా ఈ రేఖ వెళుతుంది, అలాగే ఈ లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ n → = (A , B) .

కొన్ని పాయింట్ M (x , y) కూడా ఉండనివ్వండి - రేఖ యొక్క ఫ్లోటింగ్ పాయింట్. ఈ సందర్భంలో, వెక్టర్స్ n → = (A , B) మరియు M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి మరియు వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 అనే సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాసి, C: C = - A x 0 - B y 0ని నిర్వచించండి మరియు చివరకు A x + B y + C = 0 సమీకరణాన్ని పొందండి.

కాబట్టి, మేము సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ భాగాన్ని నిరూపించాము మరియు మేము మొత్తం సిద్ధాంతాన్ని మొత్తంగా నిరూపించాము.

నిర్వచనం 1

అనిపించే సమీకరణం A x + B y + C = 0 - ఇది సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో ఒక విమానంలోO x y.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం ఆధారంగా, స్థిరమైన దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక విమానంలో ఇచ్చిన సరళ రేఖ మరియు దాని సాధారణ సమీకరణం విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించగలము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసలు పంక్తి దాని సాధారణ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది; సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇచ్చిన సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

x మరియు y వేరియబుల్స్ కోసం A మరియు B గుణకాలు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు నుండి కూడా ఇది అనుసరిస్తుంది, ఇది సరళ రేఖ A x + B y + యొక్క సాధారణ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. సి = 0 .

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట ఉదాహరణను పరిగణించండి.

2 x + 3 y - 2 = 0 సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి, ఇది ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ వెక్టర్ n → = (2 , 3) ​​. డ్రాయింగ్‌లో ఇచ్చిన సరళ రేఖను గీయండి.

కింది వాటిని కూడా వాదించవచ్చు: డ్రాయింగ్‌లో మనం చూసే సరళ రేఖ సాధారణ సమీకరణం 2 x + 3 y - 2 = 0 ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు ఈ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి.

సాధారణ సరళ రేఖ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్య λతో గుణించడం ద్వారా మనం λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. ఫలిత సమీకరణం అసలు సాధారణ సమీకరణానికి సమానం, కాబట్టి, ఇది విమానంలో అదే రేఖను వివరిస్తుంది.

సరళ రేఖ యొక్క పూర్తి సాధారణ సమీకరణం- A x + B y + C \u003d 0 పంక్తి యొక్క అటువంటి సాధారణ సమీకరణం, దీనిలో A, B, C సంఖ్యలు సున్నా కాదు. లేకపోతే, సమీకరణం అసంపూర్ణమైన.

సరళ రేఖ యొక్క అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం యొక్క అన్ని వైవిధ్యాలను విశ్లేషిద్దాం.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 అయినప్పుడు, సాధారణ సమీకరణం B y + C \u003d 0 అవుతుంది. అటువంటి అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y లో సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది, ఇది O x అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే x యొక్క ఏదైనా వాస్తవ విలువ కోసం, వేరియబుల్ y విలువను తీసుకుంటుంది. - సి బి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, A x + B y + C \u003d 0 పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం, A \u003d 0, B ≠ 0, పాయింట్ల స్థానాన్ని (x, y) నిర్వచిస్తుంది, దీని కోఆర్డినేట్‌లు ఒకే సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి. - సి బి.
2. A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 అయితే, సాధారణ సమీకరణం y \u003d 0 అవుతుంది. అటువంటి అసంపూర్ణ సమీకరణం x-అక్షం O xని నిర్వచిస్తుంది.
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 అయినప్పుడు, మేము అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం A x + C \u003d 0 ను పొందుతాము, ఇది y- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, అప్పుడు అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం x \u003d 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు ఇది O y కోఆర్డినేట్ లైన్ యొక్క సమీకరణం.
5. చివరగా, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 అయినప్పుడు, అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం A x + B y \u003d 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. మరియు ఈ సమీకరణం మూలం గుండా వెళ్ళే సరళ రేఖను వివరిస్తుంది. నిజానికి, సంఖ్యల జత (0 , 0) సమానత్వం A x + B y = 0 , నుండి A · 0 + B · 0 = 0 .

సరళ రేఖ యొక్క అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం యొక్క పైన పేర్కొన్న అన్ని రకాలను గ్రాఫికల్‌గా ఉదహరిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

ఇచ్చిన సరళ రేఖ y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు పాయింట్ 2 7, - 11 గుండా వెళుతుందని తెలుసు. ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఒక సరళ రేఖ A x + C \u003d 0 రూపం యొక్క సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, దీనిలో A ≠ 0. షరతు లైన్ పాస్ అయ్యే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కూడా నిర్దేశిస్తుంది మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం A x + C = 0 యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అనగా. సమానత్వం సరైనది:

A 2 7 + C = 0

A కొంత సున్నా కాని విలువను ఇవ్వడం ద్వారా దాని నుండి C ని నిర్ణయించడం సాధ్యమవుతుంది, ఉదాహరణకు, A = 7 . ఈ సందర్భంలో, మనకు లభిస్తుంది: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. A మరియు C రెండు గుణకాలు మాకు తెలుసు, వాటిని A x + C = 0 సమీకరణంలోకి మార్చండి మరియు పంక్తి యొక్క అవసరమైన సమీకరణాన్ని పొందండి: 7 x - 2 = 0

సమాధానం: 7 x - 2 = 0

ఉదాహరణ 2

డ్రాయింగ్ సరళ రేఖను చూపుతుంది, దాని సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

ఇచ్చిన డ్రాయింగ్ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రారంభ డేటాను సులభంగా తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇచ్చిన రేఖ O x అక్షానికి సమాంతరంగా ఉందని మరియు పాయింట్ (0 , 3) ​​గుండా వెళుతుందని మేము డ్రాయింగ్‌లో చూస్తాము.

అబ్సిస్సాకు సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ, అసంపూర్ణ సాధారణ సమీకరణం B y + С = 0 ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. B మరియు C విలువలను కనుగొనండి. పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (0, 3), ఇచ్చిన సరళ రేఖ దాని గుండా వెళుతుంది కాబట్టి, B y + С = 0 సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది, అప్పుడు సమానత్వం చెల్లుతుంది: В · 3 + С = 0. B ని సున్నా కాకుండా కొంత విలువకు సెట్ చేద్దాం. B \u003d 1 అనుకుందాం, ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం B · 3 + C \u003d 0 నుండి మనం C: C \u003d - 3ని కనుగొనవచ్చు. B మరియు C యొక్క తెలిసిన విలువలను ఉపయోగించి, మేము సరళ రేఖ యొక్క అవసరమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము: y - 3 = 0.

సమాధానం: y - 3 = 0 .

విమానం యొక్క ఇచ్చిన బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం

ఇచ్చిన పంక్తిని పాయింట్ M 0 (x 0, y 0) గుండా వెళ్లనివ్వండి, ఆపై దాని కోఆర్డినేట్‌లు లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి, అనగా. సమానత్వం నిజం: A x 0 + B y 0 + C = 0 . సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ పూర్తి సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల నుండి ఈ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా తీసివేయండి. మనకు లభిస్తుంది: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ఈ సమీకరణం అసలు సాధారణ దానికి సమానం, పాయింట్ M 0 (x 0, y 0) గుండా వెళుతుంది మరియు ఒక సాధారణ వెక్టార్ n → \u003d (A, B) .

మేము పొందిన ఫలితం సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క తెలిసిన కోఆర్డినేట్‌లు మరియు ఈ సరళ రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం సాధ్యం చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 3

పాయింట్ M 0 (- 3, 4) ద్వారా పంక్తి వెళుతుంది మరియు ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ ఇవ్వబడింది n → = (1 , - 2) . ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేయడానికి అవసరమైన డేటాను పొందడానికి ప్రారంభ పరిస్థితులు మాకు అనుమతిస్తాయి: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. అప్పుడు:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

సమస్యను వేరే విధంగా పరిష్కరించవచ్చు. సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం A x + B y + C = 0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇచ్చిన సాధారణ వెక్టర్ A మరియు B గుణకాల విలువలను పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, అప్పుడు:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ఇప్పుడు సమస్య యొక్క స్థితి ద్వారా అందించబడిన పాయింట్ M 0 (- 3, 4) ఉపయోగించి, C విలువను కనుగొనండి, దీని ద్వారా లైన్ పాస్ అవుతుంది. ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు x - 2 · y + C = 0 సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి, అనగా. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. కాబట్టి C = 11. అవసరమైన సరళ రేఖ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: x - 2 · y + 11 = 0 .

సమాధానం: x - 2 y + 11 = 0 .

ఉదాహరణ 4

ఒక పంక్తి 2 3 x - y - 1 2 = 0 మరియు ఈ రేఖపై ఉన్న పాయింట్ M 0 ఇవ్వబడింది. ఈ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా మాత్రమే తెలుసు, మరియు ఇది - 3కి సమానం. ఇచ్చిన పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించడం అవసరం.

పరిష్కారం

పాయింట్ M 0 యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల హోదాను x 0 మరియు y 0 గా సెట్ చేద్దాం. ప్రారంభ డేటా x 0 \u003d - 3 అని సూచిస్తుంది. పాయింట్ ఇచ్చిన రేఖకు చెందినది కాబట్టి, దాని కోఆర్డినేట్లు ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి. అప్పుడు కింది సమానత్వం నిజం అవుతుంది:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2ని నిర్వచించండి

సమాధానం: - 5 2

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం నుండి సరళ రేఖ యొక్క ఇతర రకాల సమీకరణాలకు మరియు వైస్ వెర్సాకు మారడం

మనకు తెలిసినట్లుగా, విమానంలో ఒకే సరళ రేఖ యొక్క అనేక రకాల సమీకరణాలు ఉన్నాయి. సమీకరణ రకం ఎంపిక సమస్య యొక్క పరిస్థితులపై ఆధారపడి ఉంటుంది; దాని పరిష్కారం కోసం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండేదాన్ని ఎంచుకోవడం సాధ్యపడుతుంది. ఇక్కడే ఒక రకమైన సమీకరణాన్ని మరొక రకమైన సమీకరణంగా మార్చే నైపుణ్యం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

ముందుగా, A x + B y + C = 0 రూపం యొక్క సాధారణ సమీకరణం నుండి కానానికల్ సమీకరణం x - x 1 a x = y - y 1 a yకి పరివర్తనను పరిగణించండి.

A ≠ 0 అయితే, మేము B y పదాన్ని సాధారణ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము. ఎడమ వైపున, మేము బ్రాకెట్ల నుండి A ను తీసుకుంటాము. ఫలితంగా, మనకు లభిస్తుంది: A x + C A = - B y .

ఈ సమానత్వాన్ని ఒక నిష్పత్తిగా వ్రాయవచ్చు: x + C A - B = y A .

B ≠ 0 అయితే, మేము సాధారణ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున A x అనే పదాన్ని మాత్రమే వదిలివేస్తాము, మేము ఇతరులను కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది: A x \u003d - B y - C. మేము బయటకు తీస్తాము - B బ్రాకెట్ల నుండి, ఆపై: A x \u003d - B y + C B.

సమానత్వాన్ని ఒక నిష్పత్తిగా తిరిగి వ్రాద్దాం: x - B = y + C B A .

వాస్తవానికి, ఫలిత సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు. సాధారణ సమీకరణం నుండి కానానికల్‌కు మారే సమయంలో చర్యల అల్గోరిథం తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ 5

లైన్ 3 y - 4 = 0 యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. దీనిని కానానికల్ ఈక్వేషన్‌గా మార్చాలి.

పరిష్కారం

మేము అసలు సమీకరణాన్ని 3 y - 4 = 0 గా వ్రాస్తాము. తరువాత, మేము అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము: 0 x అనే పదం ఎడమ వైపున ఉంటుంది; మరియు కుడి వైపున మేము బయటకు తీస్తాము - బ్రాకెట్లలో 3; మనకు లభిస్తుంది: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ఫలిత సమానత్వాన్ని ఒక నిష్పత్తిగా వ్రాద్దాం: x - 3 = y - 4 3 0 . ఈ విధంగా, మేము కానానికల్ రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందాము.

సమాధానం: x - 3 = y - 4 3 0.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని పారామెట్రిక్‌గా మార్చడానికి, మొదట, కానానికల్ రూపానికి పరివర్తన జరుగుతుంది, ఆపై సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం నుండి పారామెట్రిక్ సమీకరణాలకు పరివర్తన జరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 6

సరళ రేఖ సమీకరణం 2 x - 5 y - 1 = 0 ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఈ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను వ్రాయండి.

పరిష్కారం

సాధారణ సమీకరణం నుండి కానానికల్‌కు పరివర్తన చేద్దాం:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ఇప్పుడు λకి సమానమైన కానానికల్ సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను తీసుకుందాం:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

సమాధానం:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

సాధారణ సమీకరణాన్ని y = k x + b వాలుతో సరళ రేఖ సమీకరణంగా మార్చవచ్చు, కానీ B ≠ 0 ఉన్నప్పుడు మాత్రమే. ఎడమ వైపున పరివర్తన కోసం, మేము పదాన్ని వదిలివేస్తాము B y , మిగిలినవి కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి. మనకు లభిస్తుంది: B y = - A x - C . ఫలిత సమానత్వం యొక్క రెండు భాగాలను B ద్వారా భాగిద్దాం, ఇది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది: y = - A B x - C B .

ఉదాహరణ 7

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది: 2 x + 7 y = 0 . మీరు ఆ సమీకరణాన్ని స్లోప్ ఈక్వేషన్‌గా మార్చాలి.

పరిష్కారం

అల్గోరిథం ప్రకారం అవసరమైన చర్యలను చేద్దాం:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

సమాధానం: y = - 2 7 x .

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం నుండి, x a + y b \u003d 1 రూపంలోని విభాగాలలో సమీకరణాన్ని పొందడం సరిపోతుంది. అటువంటి పరివర్తన చేయడానికి, మేము C సంఖ్యను సమానత్వం యొక్క కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము, ఫలితంగా సమానత్వం యొక్క రెండు భాగాలను - С ద్వారా విభజించి, చివరకు, x మరియు y వేరియబుల్స్ కోసం గుణకాలను హారంకు బదిలీ చేస్తాము:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ఉదాహరణ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంగా మార్చడం అవసరం.

పరిష్కారం

1 2ని కుడి వైపుకు తరలిద్దాం: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా -1/2 ద్వారా విభజించండి: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

సమాధానం: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

సాధారణంగా, రివర్స్ ట్రాన్సిషన్ కూడా సులభం: ఇతర రకాల సమీకరణాల నుండి సాధారణమైనది.

విభాగాలలోని సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం మరియు వాలుతో సమీకరణం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని పదాలను సేకరించడం ద్వారా సులభంగా సాధారణమైనదిగా మార్చబడుతుంది:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

కింది పథకం ప్రకారం కానానికల్ సమీకరణం సాధారణమైనదిగా మార్చబడుతుంది:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x = y

పారామెట్రిక్ నుండి ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి, మొదట కానానికల్‌కు పరివర్తన జరుగుతుంది, ఆపై సాధారణమైనది:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ఉదాహరణ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

పారామెట్రిక్ సమీకరణాల నుండి కానానికల్‌కి పరివర్తన చేద్దాం:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

కానానికల్ నుండి జనరల్‌కి వెళ్దాం:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

సమాధానం: y - 4 = 0

ఉదాహరణ 10

x 3 + y 1 2 = 1 విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం ఇవ్వబడింది. సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపానికి పరివర్తనను నిర్వహించడం అవసరం.

పరిష్కారం:

సమీకరణాన్ని అవసరమైన రూపంలో మళ్లీ వ్రాద్దాం:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

సమాధానం: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని గీయడం

పైన, సాధారణ వెక్టార్ యొక్క తెలిసిన కోఆర్డినేట్‌లు మరియు లైన్ పాస్ అయ్యే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చని మేము చెప్పాము. అటువంటి సరళ రేఖ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది. అదే స్థలంలో మేము సంబంధిత ఉదాహరణను విశ్లేషించాము.

ఇప్పుడు మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను చూద్దాం, దీనిలో మొదట, సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను గుర్తించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 పంక్తికి సమాంతరంగా ఒక పంక్తి ఇవ్వబడింది. ఇచ్చిన పంక్తి పాస్ అయిన పాయింట్ M 0 (4 , 1) కూడా అంటారు. ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయని ప్రారంభ పరిస్థితులు మాకు తెలియజేస్తాయి, అయితే, సమీకరణం వ్రాయవలసిన పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టార్‌గా, మేము లైన్ n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్‌ను తీసుకుంటాము. y + 3 3 \u003d 0. సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయడానికి అవసరమైన మొత్తం డేటా ఇప్పుడు మనకు తెలుసు:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

సమాధానం: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ఉదాహరణ 12

ఇచ్చిన పంక్తి x - 2 3 = y + 4 5 లైన్‌కు లంబంగా మూలం గుండా వెళుతుంది. ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టార్ లైన్ x - 2 3 = y + 4 5 యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ అవుతుంది.

అప్పుడు n → = (3 , 5) . సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది, అనగా. పాయింట్ O (0, 0) ద్వారా. ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

సమాధానం: 3 x + 5 y = 0 .

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు సమీకరణాలు, ఇవి ఇచ్చిన బిందువు గుండా దిశ వెక్టర్‌కు సమాంతరంగా వెళుతున్న సరళ రేఖను నిర్వచించాయి.

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టార్ ఇవ్వబడనివ్వండి. ఒక ఏకపక్ష పాయింట్ ఒక రేఖపై ఉంటుంది ఎల్వెక్టర్స్ మరియు కొలినియర్ అయితే మాత్రమే, అవి షరతును సంతృప్తిపరుస్తాయి:

.

పై సమీకరణాలు రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు.

సంఖ్యలు m , nమరియు pకోఆర్డినేట్ అక్షాలపై దిశ వెక్టార్ యొక్క అంచనాలు. వెక్టార్ సున్నా కానిది కనుక, అన్ని సంఖ్యలు m , nమరియు pఅదే సమయంలో సున్నాగా ఉండకూడదు. కానీ వాటిలో ఒకటి లేదా రెండు సున్నా కావచ్చు. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, ఉదాహరణకు, కింది సంజ్ఞామానం అనుమతించబడుతుంది:

,

అంటే అక్షాలపై వెక్టర్ యొక్క అంచనాలు ఓయ్మరియు ఓజ్సున్నాకి సమానం. కాబట్టి, కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన వెక్టర్ మరియు సరళ రేఖ రెండూ అక్షాలకు లంబంగా ఉంటాయి. ఓయ్మరియు ఓజ్, అంటే విమానాలు yOz .

ఉదాహరణ 1ఒక విమానానికి లంబంగా అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయండి మరియు అక్షంతో ఈ విమానం యొక్క ఖండన బిందువు గుండా వెళుతుంది ఓజ్ .

పరిష్కారం. అక్షంతో ఇచ్చిన విమానం యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి ఓజ్. అక్షం మీద ఏదైనా పాయింట్ నుండి ఓజ్, కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు, విమానం యొక్క ఇచ్చిన సమీకరణంలో ఊహిస్తుంది x=y= 0, మనకు 4 వస్తుంది z- 8 = 0 లేదా z= 2 అందువల్ల, అక్షంతో ఇచ్చిన విమానం యొక్క ఖండన స్థానం ఓజ్కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (0; 0; 2) . కావలసిన రేఖ సమతలానికి లంబంగా ఉన్నందున, అది దాని సాధారణ వెక్టర్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, సాధారణ వెక్టార్ సరళ రేఖకు దర్శకత్వం వహించే వెక్టర్‌గా పనిచేస్తుంది ఇచ్చిన విమానం.

ఇప్పుడు మనం పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క కావలసిన సమీకరణాలను వ్రాస్తాము ఎ= (0; 0; 2) వెక్టర్ దిశలో:

ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలు

సరళ రేఖను దానిపై ఉన్న రెండు పాయింట్ల ద్వారా నిర్వచించవచ్చు మరియు ఈ సందర్భంలో, సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్ వెక్టర్ కావచ్చు. అప్పుడు లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు రూపాన్ని తీసుకుంటాయి

.

పై సమీకరణాలు రెండు ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను నిర్వచించాయి.

ఉదాహరణ 2పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న ప్రదేశంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి మరియు .

పరిష్కారం. మేము సైద్ధాంతిక సూచనలో పైన ఇచ్చిన రూపంలో సరళ రేఖ యొక్క కావలసిన సమీకరణాలను వ్రాస్తాము:

.

నుండి, కావలసిన పంక్తి అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది ఓయ్ .

విమానాల ఖండన రేఖ వలె నేరుగా

అంతరిక్షంలో ఒక సరళ రేఖను రెండు నాన్-సమాంతర విమానాల ఖండన రేఖగా నిర్వచించవచ్చు మరియు, అంటే, రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరిచే పాయింట్ల సమితిగా నిర్వచించవచ్చు.

వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాలు అని కూడా పిలుస్తారు.

ఉదాహరణ 3సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన స్థలంలో సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలను వ్రాయడానికి లేదా, ఇది రెండు ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి, మీరు సరళ రేఖపై ఏవైనా రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. అవి ఏవైనా రెండు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువులు కావచ్చు, ఉదాహరణకు yOzమరియు xOz .

ఒక విమానంతో లైన్ యొక్క ఖండన స్థానం yOz abscissa ఉంది x= 0. కాబట్టి, ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఊహిస్తూ x= 0 , మేము రెండు వేరియబుల్స్‌తో సిస్టమ్‌ను పొందుతాము:

ఆమె నిర్ణయం వై = 2 , z= 6 కలిసి x= 0 ఒక పాయింట్‌ను నిర్వచిస్తుంది ఎ(0; 2; 6) కావలసిన లైన్. ఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థలో అప్పుడు ఊహిస్తూ వై= 0 , మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము

ఆమె నిర్ణయం x = -2 , z= 0 కలిసి వై= 0 ఒక పాయింట్‌ను నిర్వచిస్తుంది బి(-2; 0; 0) ఒక విమానంతో ఒక రేఖ యొక్క ఖండన xOz .

ఇప్పుడు మనం పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను వ్రాస్తాము ఎ(0; 2; 6) మరియు బి (-2; 0; 0) :

,

లేదా హారంలను -2 ద్వారా విభజించిన తర్వాత:

,

M 1 (x 1; y 1) మరియు M 2 (x 2; y 2) పాయింట్ల గుండా సరళ రేఖను వెళ్లనివ్వండి. పాయింట్ M 1 గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం y- y 1 \u003d రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది కె (x - x 1), (10.6)

ఎక్కడ కె - ఇప్పటికీ తెలియని గుణకం.

సరళ రేఖ పాయింట్ M 2 (x 2 y 2) గుండా వెళుతుంది కాబట్టి, ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా సమీకరణాన్ని (10.6) సంతృప్తి పరచాలి: y 2 -y 1 \u003d కె (x 2 -x 1).

ఇక్కడ నుండి మనం కనుగొన్న విలువను ప్రత్యామ్నాయంగా కనుగొంటాము కె సమీకరణంలోకి (10.6), మేము M 1 మరియు M 2 పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఈ సమీకరణంలో x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 అని భావించబడుతుంది

x 1 \u003d x 2 అయితే, M 1 (x 1, y I) మరియు M 2 (x 2, y 2) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. దాని సమీకరణం x = x 1 .

y 2 \u003d y I అయితే, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని y \u003d y 1గా వ్రాయవచ్చు, M 1 M 2 సరళ రేఖ x- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

M 1 (a; 0) బిందువు వద్ద Ox అక్షాన్ని మరియు M 2 (0; b) పాయింట్ వద్ద Oy అక్షాన్ని సరళ రేఖ కలుస్తుంది. సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
ఆ.
. ఈ సమీకరణం అంటారు విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం, ఎందుకంటే a మరియు b సంఖ్యలు కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై సరళ రేఖ ఏ విభాగాలను కత్తిరించాలో సూచిస్తాయి.

ఇచ్చిన వెక్టర్‌కు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

ఇచ్చిన సున్నా కాని వెక్టర్ n = (A; B)కి లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ Mo (x O; y o) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

సరళ రేఖపై ఏకపక్ష బిందువు M(x; y)ని తీసుకోండి మరియు వెక్టర్ M 0 M (x - x 0; y - y o)ని పరిగణించండి (Fig. 1 చూడండి). వెక్టర్స్ n మరియు M o M లంబంగా ఉన్నందున, వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం: అంటే,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

సమీకరణం (10.8) అంటారు ఇచ్చిన వెక్టార్‌కు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం .

రేఖకు లంబంగా ఉండే వెక్టర్ n = (A; B)ని సాధారణ అంటారు ఈ లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ .

సమీకరణం (10.8) ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు అహ్ + వు + సి = 0 , (10.9)

ఇక్కడ A మరియు B అనేవి సాధారణ వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు, C \u003d -Ax o - Vu o - ఉచిత సభ్యుడు. సమీకరణం (10.9) అనేది సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం(Fig.2 చూడండి).

Fig.1 Fig.2

సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు

,

ఎక్కడ
లైన్ పాస్ అయిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు మరియు
- దిశ వెక్టర్.

రెండవ ఆర్డర్ సర్కిల్ యొక్క వక్రతలు

ఒక వృత్తం అనేది ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న సమతలం యొక్క అన్ని బిందువుల సమితి, దీనిని కేంద్రం అంటారు.

వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తం యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణం ఆర్ ఒక పాయింట్‌పై కేంద్రీకృతమై ఉంది
:

ప్రత్యేకించి, వాటా యొక్క కేంద్రం మూలంతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

దీర్ఘవృత్తాకారము

దీర్ఘవృత్తం అనేది ఒక సమతలంలోని బిందువుల సమితి, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నుండి రెండు ఇచ్చిన బిందువుల దూరాల మొత్తం మరియు , ఇది foci అని పిలువబడుతుంది, ఇది స్థిరమైన విలువ
, foci మధ్య దూరం కంటే ఎక్కువ
.

ఆక్స్ అక్షం మీద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తం యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణం మరియు దీని మూలం foci మధ్య మధ్యలో ఉంటుంది
జి డి a ప్రధాన సెమియాక్సిస్ యొక్క పొడవు;బి మైనర్ సెమీయాక్సిస్ యొక్క పొడవు (Fig. 2).

ఇచ్చిన దిశలో ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం. ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. రెండు పంక్తుల మధ్య కోణం. రెండు పంక్తుల సమాంతరత మరియు లంబంగా ఉండే పరిస్థితి. రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువును నిర్ణయించడం

1. ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం ఎ(x 1 , వై 1) ఇచ్చిన దిశలో, వాలు ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది కె,

వై - వై 1 = కె(x - x 1). (1)

ఈ సమీకరణం ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న పంక్తుల పెన్సిల్‌ను నిర్వచిస్తుంది ఎ(x 1 , వై 1), దీనిని పుంజం యొక్క కేంద్రం అంటారు.

2. రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం: ఎ(x 1 , వై 1) మరియు బి(x 2 , వై 2) ఇలా వ్రాయబడింది:

ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా సరళ రేఖ యొక్క వాలు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

3. సరళ రేఖల మధ్య కోణం ఎమరియు బిమొదటి సరళ రేఖను తిప్పవలసిన కోణం ఎఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు చుట్టూ అపసవ్య దిశలో ఇది రెండవ పంక్తితో సమానంగా ఉంటుంది బి. వాలు సమీకరణాల ద్వారా రెండు పంక్తులు ఇచ్చినట్లయితే

వై = కె 1 x + బి 1 ,

నిర్వచనం.విమానంలోని ఏదైనా పంక్తిని మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వవచ్చు

ఆహ్ + వు + సి = 0,

మరియు స్థిరాంకాలు A, B ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండవు. ఈ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం అంటారు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.స్థిరాంకాల A, B మరియు C విలువలపై ఆధారపడి, క్రింది ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధ్యమే:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - లైన్ మూలం గుండా వెళుతుంది

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - పంక్తి ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - రేఖ Oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - సరళ రేఖ Oy అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - సరళ రేఖ ఆక్స్ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది

ఏదైనా ప్రారంభ పరిస్థితులపై ఆధారపడి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వివిధ రూపాల్లో ప్రదర్శించవచ్చు.

ఒక బిందువు మరియు సాధారణ వెక్టర్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

నిర్వచనం.కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, భాగాలు (A, B) కలిగిన వెక్టర్ Ax + By + C = 0 సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. (3, -1)కి లంబంగా A(1, 2) పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. A = 3 మరియు B = -1 వద్ద, మేము సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము: 3x - y + C = 0. గుణకం Cని కనుగొనడానికి, మేము ఇచ్చిన పాయింట్ A యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఫలిత వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. 3 - 2 + C = 0, కాబట్టి, C = -1 . మొత్తం: కావలసిన సమీకరణం: 3x - y - 1 \u003d 0.

రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం

స్పేస్‌లో రెండు పాయింట్లు M 1 (x 1, y 1, z 1) మరియు M 2 (x 2, y 2, z 2) ఇవ్వబడనివ్వండి, ఆపై ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

ఏదైనా హారం సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, సంబంధిత సంఖ్యను సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయాలి. విమానంలో, పైన వ్రాసిన సరళ రేఖ సమీకరణం సరళీకృతం చేయబడింది:

x 1 ≠ x 2 మరియు x = x 1 అయితే x 1 = x 2.

భిన్నం = k అంటారు వాలు కారకంనేరుగా.

ఉదాహరణ. A(1, 2) మరియు B(3, 4) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.పై సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము:

ఒక బిందువు మరియు వాలు నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

మొత్తం Ax + Wu + C = 0 ఫారమ్‌కు దారితీస్తే:

మరియు నియమించండి , అప్పుడు ఫలిత సమీకరణం అంటారు వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంకె.

బిందువు మరియు దిశ వెక్టార్‌తో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

సాధారణ వెక్టార్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్న బిందువుతో సారూప్యత ద్వారా, మీరు ఒక బిందువు ద్వారా మరియు సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క కేటాయింపును నమోదు చేయవచ్చు.

నిర్వచనం.ప్రతి నాన్-జీరో వెక్టర్ (α 1, α 2), A α 1 + B α 2 = 0 పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే భాగాలు లైన్ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ అంటారు.

అహ్ + వు + సి = 0.

ఉదాహరణ. దిశ వెక్టర్ (1, -1) మరియు పాయింట్ A (1, 2) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.మేము రూపంలో కావలసిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము: Ax + By + C = 0. నిర్వచనం ప్రకారం, గుణకాలు షరతులను సంతృప్తి పరచాలి:

1 * A + (-1) * B = 0, అనగా. ఎ = బి.

అప్పుడు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: Ax + Ay + C = 0, లేదా x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 కోసం మేము C / A = -3, అనగా. కావలసిన సమీకరణం:

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

Ah + Wu + C = 0 C≠0 సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే, –C ద్వారా భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: లేదా

గుణకాల యొక్క రేఖాగణిత అర్థం గుణకం ఎ x-అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్, మరియు బి- Oy అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్.

ఉదాహరణ.లైన్ x - y + 1 = 0 యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. విభాగాలలో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం

Ax + Vy + C = 0 సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యతో గుణిస్తే , అని పిలుస్తారు సాధారణీకరణ కారకం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం. సాధారణీకరణ కారకం యొక్క సంకేతం ± తప్పక ఎంచుకోవాలి, తద్వారా μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ఉదాహరణ. పంక్తి 12x - 5y - 65 = 0 యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. ఈ రేఖకు వివిధ రకాల సమీకరణాలను వ్రాయడం అవసరం.

విభాగాలలో ఈ సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

వాలుతో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం: (5 ద్వారా భాగించండి)

; cos φ = 12/13; పాపం φ= -5/13; p=5.

ప్రతి సరళ రేఖను విభాగాలలోని సమీకరణం ద్వారా సూచించలేమని గమనించాలి, ఉదాహరణకు, అక్షాలకు సమాంతరంగా లేదా మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖలు.

ఉదాహరణ. సరళ రేఖ కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై సమాన సానుకూల విభాగాలను కత్తిరించింది. ఈ విభాగాల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం 8 సెం.మీ 2 అయితే సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం.సరళ రేఖ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంది: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ఉదాహరణ. పాయింట్ A (-2, -3) మరియు మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం. సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , ఇక్కడ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

విమానంలో పంక్తుల మధ్య కోణం

నిర్వచనం.రెండు పంక్తులు y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 ఇచ్చినట్లయితే, ఈ పంక్తుల మధ్య తీవ్రమైన కోణం ఇలా నిర్వచించబడుతుంది

.

k 1 = k 2 అయితే రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. k 1 = -1/ k 2 అయితే రెండు పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB గుణకాలు అనుపాతంలో ఉన్నప్పుడు Ax + Vy + C \u003d 0 మరియు A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 సరళ రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. С 1 = λС కూడా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి. రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఈ రేఖల సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనబడ్డాయి.

ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం

నిర్వచనం.పాయింట్ M 1 (x 1, y 1) మరియు y \u003d kx + b రేఖకు లంబంగా ఉన్న పంక్తి సమీకరణం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం

సిద్ధాంతం.పాయింట్ M(x 0, y 0) ఇచ్చినట్లయితే, Ax + Vy + C \u003d 0 రేఖకు దూరం ఇలా నిర్వచించబడుతుంది

.

రుజువు.పాయింట్ M 1 (x 1, y 1) పాయింట్ M నుండి ఇచ్చిన రేఖకు పడిపోయిన లంబానికి ఆధారం. అప్పుడు పాయింట్లు M మరియు M 1 మధ్య దూరం:

(1)

x 1 మరియు y 1 కోఆర్డినేట్‌లను సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనవచ్చు:

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం ఇచ్చిన సరళ రేఖకు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ M 0 గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని రూపానికి మార్చినట్లయితే:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + బై 0 + C = 0,

అప్పుడు, పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

ఈ వ్యక్తీకరణలను సమీకరణం (1)గా మార్చడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాము:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ. పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించండి: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

ఉదాహరణ. 3x - 5y + 7 = 0 మరియు 10x + 6y - 3 = 0 పంక్తులు లంబంగా ఉన్నాయని చూపండి.

పరిష్కారం. మేము కనుగొన్నాము: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, కాబట్టి, పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు ఇవ్వబడ్డాయి. శీర్షం C నుండి గీసిన ఎత్తు కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మేము AB వైపు సమీకరణాన్ని కనుగొంటాము: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

కావలసిన ఎత్తు సమీకరణం: Ax + By + C = 0 లేదా y = kx + b. k = . అప్పుడు y = . ఎందుకంటే ఎత్తు పాయింట్ C గుండా వెళుతుంది, అప్పుడు దాని అక్షాంశాలు ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి: ఎక్కడ నుండి b = 17. మొత్తం: .

సమాధానం: 3x + 2y - 34 = 0.