మాతృక యొక్క గరిష్ట ఈజెన్‌వాల్యూ. మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణం

వికర్ణ మాత్రికలు సరళమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. లీనియర్ ఆపరేటర్ యొక్క మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉండే ఆధారాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమేనా అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది. అటువంటి ఆధారం ఉంది.
మాకు ఒక లీనియర్ స్పేస్ R n మరియు దానిలో ఒక లీనియర్ ఆపరేటర్ A యాక్టింగ్ ఇవ్వబడుతుంది; ఈ సందర్భంలో, ఆపరేటర్ A R n ను తనలోకి తీసుకుంటుంది, అంటే A:R n → R n .

నిర్వచనం. సున్నా కాని వెక్టార్‌ను ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్ అంటారు, ఒకవేళ ఆపరేటర్ A కొల్లినియర్ వెక్టర్‌గా అనువదిస్తే, అంటే. λ సంఖ్యను ఈజెన్‌వెక్టార్‌కు అనుగుణంగా ఉండే ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూ లేదా ఈజెన్‌వాల్యూ అంటారు.
ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను మనం గమనించండి.
1. ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక అదే ఈజెన్‌వాల్యూ λకి సంబంధించిన ఆపరేటర్ A అదే ఈజెన్‌వాల్యూతో కూడిన ఈజెన్‌వెక్టర్.
2. ఈజెన్‌వెక్టర్స్ λ 1 , λ 2 , …, λ m జతగా వేర్వేరు ఈజెన్‌వాల్యూలతో ఆపరేటర్ A సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.
3. ఈజెన్‌వాల్యూలు λ 1 =λ 2 = λ m = λ అయితే, ఈజెన్‌వాల్యూ λ m లీనియర్‌లీ ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కంటే ఎక్కువ కాదు.

కాబట్టి, n రేఖీయంగా స్వతంత్ర ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఉంటే , వివిధ ఈజెన్‌వాల్యూలకు అనుగుణంగా λ 1, λ 2, ..., λ n, అప్పుడు అవి సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, వాటిని స్పేస్ R n ఆధారంగా తీసుకోవచ్చు. లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక రూపాన్ని దాని ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల ఆధారంగా కనుగొంటాము, దీని కోసం మేము ఆపరేటర్ Aతో ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్‌తో పని చేస్తాము: అప్పుడు .
అందువల్ల, లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక దాని ఈజెన్‌వెక్టర్ల ఆధారంగా ఒక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు వికర్ణంలో ఉంటాయి.
మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉన్న మరొక ఆధారం ఉందా? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా ఇవ్వబడింది.

సిద్ధాంతం. ప్రాతిపదిక (i = 1..n)లోని లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఆధారంలోని అన్ని వెక్టర్‌లు ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు అయితే మాత్రమే.

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనే నియమం

. (*)

(1)
ఎక్కడ - లీనియర్ ఆపరేటర్ మ్యాట్రిక్స్.

సిస్టమ్ (1) దాని డిటర్మినెంట్ D సున్నాకి సమానం అయితే సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఉదాహరణ 12. లీనియర్ ఆపరేటర్ A చట్టం ప్రకారం R 3లో పనిచేస్తుంది, ఇక్కడ x 1, x 2, .., x n అనేవి వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు. , , . ఈ ఆపరేటర్ యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. మేము ఈ ఆపరేటర్ యొక్క మాతృకను రూపొందిస్తాము:
.
మేము ఈజెన్‌వెక్టర్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి ఒక వ్యవస్థను సృష్టిస్తాము:

మేము ఒక లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము మరియు దానిని పరిష్కరిస్తాము:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
సిస్టమ్‌లో λ = -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లేదా
ఎందుకంటే , అప్పుడు రెండు డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్ మరియు ఒక ఫ్రీ వేరియబుల్ ఉన్నాయి.
x 1 ఒక ఉచిత తెలియనిదిగా ఉండనివ్వండి మేము ఈ వ్యవస్థను ఏ విధంగానైనా పరిష్కరిస్తాము మరియు ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము: పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే n - r = 3 - 2 = 1.
ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -1కి అనుగుణమైన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల సమితి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , ఇక్కడ x 1 అనేది సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య. ఈ సెట్ నుండి ఒక వెక్టార్‌ని ఎంచుకుందాం, ఉదాహరణకు, x 1 = 1 పెట్టడం: .
అదేవిధంగా తర్కించడం, ఈజెన్‌వాల్యూ λ = 3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ని మేము కనుగొంటాము: .
స్పేస్ R 3లో, ఆధారం మూడు లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్ వెక్టార్‌లను కలిగి ఉంటుంది, అయితే మేము కేవలం రెండు లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను మాత్రమే అందుకున్నాము, వీటి నుండి R 3లో ఆధారం కంపోజ్ చేయబడదు. పర్యవసానంగా, మేము లీనియర్ ఆపరేటర్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ Aని వికర్ణ రూపానికి తగ్గించలేము.

ఉదాహరణ 13. మాతృక ఇవ్వబడింది .
1. వెక్టర్ అని నిరూపించండి మాతృక A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టార్. ఈ ఈజెన్‌వెక్టర్‌కు సంబంధించిన ఈజెన్‌వాల్యూని కనుగొనండి.
2. మాతృక A వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉన్న ఆధారాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
1. అయితే, అది ఈజెన్‌వెక్టర్

.
వెక్టర్ (1, 8, -1) ఒక ఈజెన్‌వెక్టర్. ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -1.
మాతృక ఈజెన్‌వెక్టర్‌లతో కూడిన ఆధారంలో వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో ఒకటి ప్రసిద్ధమైనది. మిగిలినవి కనుక్కొందాం.
మేము సిస్టమ్ నుండి ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కోసం చూస్తున్నాము:

లక్షణ సమీకరణం: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:

ఈ సిస్టమ్ యొక్క మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండు మరియు తెలియని వారి సంఖ్యకు సమానం, కాబట్టి ఈ సిస్టమ్ సున్నా పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది x 1 = x 3 = 0. ఇక్కడ x 2 సున్నా కాకుండా ఏదైనా కావచ్చు, ఉదాహరణకు, x 2 = 1. ఈ విధంగా, వెక్టార్ (0 ,1,0) అనేది λ = -3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్. తనిఖీ చేద్దాం:
.
λ = 1 అయితే, మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము
మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండు. మేము చివరి సమీకరణాన్ని దాటుతాము.
x 3 ఉచిత తెలియనిదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 అని ఊహిస్తే, మనకు (-3,-9,1) ఉంది - ఈజెన్‌వాల్యూ λ = 1కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్. తనిఖీ చేయండి:

.
ఈజెన్‌వాల్యూలు నిజమైనవి మరియు విభిన్నమైనవి కాబట్టి, వాటికి సంబంధించిన వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిని R 3లో ప్రాతిపదికగా తీసుకోవచ్చు. అందువలన, ఆధారంగా , , మాతృక A రూపాన్ని కలిగి ఉంది:
.
లీనియర్ ఆపరేటర్ A:R n → R n యొక్క ప్రతి మాతృక వికర్ణ రూపానికి తగ్గించబడదు, ఎందుకంటే కొంతమంది లీనియర్ ఆపరేటర్లకు n లీనియర్ ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కంటే తక్కువగా ఉండవచ్చు. అయితే, మాతృక సుష్టంగా ఉంటే, గుణకారం m యొక్క లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం ఖచ్చితంగా m సరళ స్వతంత్ర వెక్టర్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం. సిమెట్రిక్ మాతృక అనేది ఒక చదరపు మాతృక, దీనిలో ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించిన మూలకాలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే ఇందులో .
గమనికలు. 1. సమరూప మాతృక యొక్క అన్ని ఈజెన్‌వాల్యూలు నిజమైనవి.
2. సమరూప మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు జత వైపు వేర్వేరు ఈజెన్‌వాల్యూలకు సంబంధించినవి ఆర్తోగోనల్.
అధ్యయనం చేయబడిన ఉపకరణం యొక్క అనేక అనువర్తనాల్లో ఒకటిగా, మేము రెండవ-ఆర్డర్ వక్రరేఖ యొక్క రకాన్ని నిర్ణయించే సమస్యను పరిశీలిస్తాము.

నిర్వచనం 9.3.వెక్టర్ X అని పిలిచారు ఈజెన్‌వెక్టర్మాత్రికలు ఎ, అటువంటి సంఖ్య ఉంటే λ, సమానత్వం కలిగి ఉంది: ఎ X= λ X, అంటే, దరఖాస్తు చేసిన ఫలితం X మాతృక ద్వారా పేర్కొనబడిన సరళ పరివర్తన ఎ, ఈ వెక్టార్‌ని సంఖ్యతో గుణించడం λ . సంఖ్య కూడా λ అని పిలిచారు ఈజెన్వాల్యూమాత్రికలు ఎ.

సూత్రాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం (9.3) x` j = λx j ,ఈజెన్‌వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:

. (9.5)

ఈ సరళ సజాతీయ వ్యవస్థ దాని ప్రధాన నిర్ణయాధికారి 0 (క్రామెర్ నియమం) అయితే మాత్రమే నాన్‌ట్రివియల్ సొల్యూషన్‌ను కలిగి ఉంటుంది. ఈ షరతును రూపంలో వ్రాయడం ద్వారా:

ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడానికి మేము ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము λ , అని పిలిచారు లక్షణ సమీకరణం. క్లుప్తంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

| A - λE | = 0, (9.6)

ఎందుకంటే దాని ఎడమ వైపు మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కలిగి ఉంటుంది A-λE. బహుపది బంధువు λ | A - λE| అని పిలిచారు లక్షణ బహుపదిమాత్రికలు A.

లక్షణ బహుపది యొక్క లక్షణాలు:

1) సరళ పరివర్తన యొక్క లక్షణం బహుపది ఆధారం ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు. రుజువు. (చూడండి (9.4)), కానీ అందుకే, . అందువలన, ఇది ఆధారం ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు. దీని అర్థం | A-λE| కొత్త ప్రాతిపదికన మారినప్పుడు మారదు.

2) మాతృక అయితే ఎసరళ పరివర్తన ఉంది సుష్టమైన(అవి. మరియు ij =a ji), అప్పుడు లక్షణ సమీకరణం (9.6) యొక్క అన్ని మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలు.

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క లక్షణాలు:

1) మీరు ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల నుండి ఆధారాన్ని ఎంచుకుంటే x 1, x 2, x 3 , ఈజెన్‌వాల్యూస్‌కు అనుగుణంగా λ 1, λ 2, λ 3మాత్రికలు ఎ, ఈ ప్రాతిపదికన సరళ పరివర్తన A వికర్ణ రూపం యొక్క మాతృకను కలిగి ఉంటుంది:

(9.7) ఈ ఆస్తి యొక్క రుజువు ఈజెన్‌వెక్టర్స్ నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.

2) పరివర్తన యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూస్ అయితే ఎభిన్నంగా ఉంటాయి, అప్పుడు వాటి సంబంధిత ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.

3) మాతృక యొక్క లక్షణ బహుపది అయితే ఎమూడు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, తర్వాత కొంత ప్రాతిపదికన మాతృక ఎవికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి లక్షణ సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

కనుగొనబడిన ప్రతి విలువకు సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి λ. (9.5) నుండి అది ఉంటే X (1) ={x 1, x 2, x 3) – ఈజెన్‌వెక్టర్ సంబంధిత λ 1 =-2, అప్పుడు

- ఒక సహకార కానీ అనిశ్చిత వ్యవస్థ. దాని పరిష్కారం రూపంలో వ్రాయవచ్చు X (1) ={a,0,-a), ఇక్కడ a అనేది ఏదైనా సంఖ్య. ముఖ్యంగా, మనకు అది అవసరమైతే | x (1) |=1, X (1) =

వ్యవస్థలో ప్రత్యామ్నాయం (9.5) λ 2 =3, మేము రెండవ ఈజెన్‌వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి ఒక వ్యవస్థను పొందుతాము - x (2) ={y 1,y 2,y 3}:

, ఎక్కడ X (2) ={b,-b,b) లేదా, అందించిన | x (2) |=1, x (2) =

కోసం λ 3 = 6 ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={సి,2c,c) లేదా సాధారణ సంస్కరణలో

x (3) = అని గమనించవచ్చు X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = క్రీ.పూ- 2bc + bc= 0. ఈ విధంగా, ఈ మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు పెయిర్‌వైస్ ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటాయి.

ఉపన్యాసం 10.

చతురస్రాకార రూపాలు మరియు సౌష్టవ మాత్రికలతో వాటి కనెక్షన్. ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క లక్షణాలు మరియు సిమెట్రిక్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూస్. చతుర్భుజ రూపాన్ని కానానికల్ రూపానికి తగ్గించడం.

నిర్వచనం 10.1.చతుర్భుజ ఆకారంనిజమైన వేరియబుల్స్ x 1, x 2,..., x nమొదటి డిగ్రీ యొక్క ఉచిత పదం మరియు నిబంధనలను కలిగి లేని ఈ వేరియబుల్స్‌లో రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది అని పిలుస్తారు.

చతుర్భుజ రూపాల ఉదాహరణలు:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

గత ఉపన్యాసంలో ఇచ్చిన సిమెట్రిక్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

నిర్వచనం 10.2.స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ అంటారు సుష్టమైన, ఉంటే , అంటే, ప్రధాన వికర్ణం గురించి సుష్టంగా ఉండే మాతృక మూలకాలు సమానంగా ఉంటే.

సమరూప మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క లక్షణాలు:

1) సమరూప మాతృక యొక్క అన్ని ఈజెన్‌వాల్యూలు నిజమైనవి.

రుజువు (కోసం n = 2).

మాతృకను లెట్ ఎరూపం ఉంది: . లక్షణ సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం:

(10.2) వివక్షను కనుగొనండి:

కాబట్టి, సమీకరణం నిజమైన మూలాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

2) సమరూప మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటాయి.

రుజువు (కోసం n= 2).

ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు మరియు సమీకరణాలను తప్పనిసరిగా సంతృప్తి పరచాలి.

సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ

సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేది రూపం యొక్క వ్యవస్థ

ఈ విషయంలో స్పష్టమైంది , ఎందుకంటే ఈ నిర్ణాయకాలలోని ఒక నిలువు వరుసలోని అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానం.

తెలియనివి ఫార్ములాల ప్రకారం దొరుకుతాయి కాబట్టి , అప్పుడు Δ ≠ 0 ఉన్నప్పుడు, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన సున్నా పరిష్కారం ఉంటుంది x = వై = z= 0. అయితే, అనేక సమస్యలలో సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాకుండా ఇతర పరిష్కారాలను కలిగి ఉందా అనేది ఆసక్తికరమైన ప్రశ్న.

సిద్ధాంతం.సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండటానికి, ఇది Δ ≠ 0 అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

కాబట్టి, డిటర్మినెంట్ Δ ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది. Δ ≠ 0 అయితే, సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణలు.

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్స్ మరియు ఈజెన్‌వాల్యూస్

ఒక చతురస్ర మాత్రికను ఇవ్వనివ్వండి , X- కొన్ని మాతృక కాలమ్, దీని ఎత్తు మాతృక క్రమంతో సమానంగా ఉంటుంది ఎ. .

అనేక సమస్యలలో మనం సమీకరణాన్ని పరిగణించాలి X

ఇక్కడ λ అనేది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య. ఏదైనా λ కోసం ఈ సమీకరణం సున్నా పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఈ సమీకరణం సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సంఖ్యను λ అంటారు ఈజెన్వాల్యూమాత్రికలు ఎ, ఎ Xఅటువంటి కోసం λ అంటారు ఈజెన్‌వెక్టర్మాత్రికలు ఎ.

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి ఎ. ఎందుకంటే ఇ∙X = X, అప్పుడు మాతృక సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు లేదా . విస్తరించిన రూపంలో, ఈ సమీకరణాన్ని సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. నిజంగా .

ఇందుమూలంగా

కాబట్టి, కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి మేము సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందాము x 1, x 2, x 3వెక్టర్ X. వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉండాలంటే, సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారం సున్నాకి సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది, అనగా.

ఇది λకి 3వ డిగ్రీ సమీకరణం. దీనిని ఇలా లక్షణ సమీకరణంమాత్రికలు ఎమరియు λ యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

ప్రతి ఈజెన్‌వాల్యూ λ ఈజెన్‌వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది X, దీని కోఆర్డినేట్లు λ యొక్క సంబంధిత విలువ వద్ద సిస్టమ్ నుండి నిర్ణయించబడతాయి.

ఉదాహరణలు.

వెక్టర్ బీజగణితం. ది కాన్సెప్ట్ ఆఫ్ వెక్టర్

భౌతికశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, వాటి సంఖ్యా విలువలను పేర్కొనడం ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడే పరిమాణాలు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, పొడవు, ప్రాంతం, ద్రవ్యరాశి, ఉష్ణోగ్రత మొదలైనవి. అటువంటి పరిమాణాలను స్కేలార్ అంటారు. అయినప్పటికీ, వాటితో పాటు, పరిమాణాలు కూడా ఉన్నాయి, సంఖ్యా విలువతో పాటు, అంతరిక్షంలో వాటి దిశను తెలుసుకోవడం కూడా అవసరం, ఉదాహరణకు, శరీరంపై పనిచేసే శక్తి, వేగం మరియు త్వరణం శరీరం అంతరిక్షంలో కదులుతున్నప్పుడు, అంతరిక్షంలో ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద అయస్కాంత క్షేత్ర బలం మరియు మొదలైనవి. ఇటువంటి పరిమాణాలను వెక్టర్ పరిమాణాలు అంటారు.

కఠినమైన నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

దర్శకత్వం వహించిన విభాగంవాటిలో ఏది మొదటిది మరియు ఏది రెండవది అని తెలిసిన చివరలకు సంబంధించి ఒక విభాగాన్ని పిలుద్దాం.

వెక్టర్నిర్ణీత పొడవు కలిగిన నిర్దేశిత విభాగం అని పిలుస్తారు, అనగా. ఇది ఒక నిర్దిష్ట పొడవు యొక్క విభాగం, దీనిలో దానిని పరిమితం చేసే పాయింట్లలో ఒకటి ప్రారంభంగా మరియు రెండవది ముగింపుగా తీసుకోబడుతుంది. ఉంటే ఎ- వెక్టర్ ప్రారంభం, బిదాని ముగింపు, అప్పుడు వెక్టర్ చిహ్నంతో సూచించబడుతుంది; అదనంగా, వెక్టర్ తరచుగా ఒకే అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. చిత్రంలో, వెక్టర్ ఒక విభాగం ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు దాని దిశ బాణం ద్వారా సూచించబడుతుంది.

మాడ్యూల్లేదా పొడవువెక్టార్‌ని నిర్వచించే నిర్దేశిత విభాగం యొక్క పొడవు అంటారు. సూచించినది || లేదా ||.

మేము సున్నా వెక్టర్ అని పిలవబడే వాటిని కూడా చేర్చుతాము, దీని ప్రారంభం మరియు ముగింపు సమానంగా ఉంటాయి, వెక్టర్‌లుగా. ఇది నియమించబడింది. సున్నా వెక్టార్‌కు నిర్దిష్ట దిశ లేదు మరియు దాని మాడ్యులస్ సున్నా ||=0.

వెక్టర్స్ అంటారు కొలినియర్, అవి ఒకే లైన్‌లో లేదా సమాంతర రేఖలపై ఉన్నట్లయితే. అంతేకాకుండా, వెక్టర్స్ మరియు అదే దిశలో ఉంటే, మేము వ్రాస్తాము , సరసన.

ఒకే సమతలానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖలపై ఉన్న వెక్టర్స్ అంటారు కొప్లానార్.

రెండు వెక్టర్స్ అంటారు సమానం, అవి కొలినియర్ అయితే, ఒకే దిశను కలిగి ఉంటాయి మరియు పొడవు సమానంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, వారు వ్రాస్తారు.

వెక్టర్స్ యొక్క సమానత్వం యొక్క నిర్వచనం నుండి, వెక్టార్‌ని సమాంతరంగా రవాణా చేయవచ్చు, దాని మూలాన్ని అంతరిక్షంలో ఏ ప్రదేశంలోనైనా ఉంచవచ్చు.

ఉదాహరణకి.

వెక్టర్స్‌లో లీనియర్ ఆపరేషన్‌లు

1. వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం.

   వెక్టార్ మరియు సంఖ్య λ యొక్క ఉత్పత్తి కొత్త వెక్టర్:

   వెక్టార్ మరియు సంఖ్య λ యొక్క ఉత్పత్తిని .

   

   ఉదాహరణకి,వెక్టార్ యొక్క అదే దిశలో నిర్దేశించబడిన ఒక వెక్టర్ ఉంది మరియు వెక్టర్ యొక్క సగం పొడవును కలిగి ఉంటుంది.

   ప్రవేశపెట్టిన ఆపరేషన్ కింది వాటిని కలిగి ఉంది లక్షణాలు:

2. వెక్టర్ అదనంగా.

   లెట్ మరియు రెండు ఏకపక్ష వెక్టర్స్. ఒక ఏకపక్ష పాయింట్ తీసుకుందాం ఓమరియు వెక్టర్‌ను నిర్మించండి. పాయింట్ నుండి ఆ తర్వాత ఎవెక్టార్‌ని పక్కన పెడదాం. మొదటి వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభాన్ని రెండవ ముగింపుతో కలుపుతున్న వెక్టర్ అంటారు మొత్తంఈ వెక్టర్స్ మరియు సూచించబడుతుంది .

   

   వెక్టర్ జోడింపు యొక్క సూత్రీకరించబడిన నిర్వచనం అంటారు సమాంతర చతుర్భుజం నియమం, వెక్టర్స్ యొక్క అదే మొత్తాన్ని ఈ క్రింది విధంగా పొందవచ్చు. పాయింట్ నుండి వాయిదా వేద్దాం ఓవెక్టర్స్ మరియు . ఈ వెక్టర్లపై సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మిస్తాం OABC. వెక్టర్స్ నుండి, వెక్టర్, ఇది శీర్షం నుండి గీసిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం ఓ, స్పష్టంగా వెక్టర్స్ మొత్తం అవుతుంది.

   

   కింది వాటిని తనిఖీ చేయడం సులభం వెక్టర్ జోడింపు యొక్క లక్షణాలు.

3. వెక్టర్ వ్యత్యాసం.

   ఇచ్చిన వెక్టార్‌కు వెక్టార్ కొలినియర్, పొడవుతో సమానంగా మరియు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది ఎదురుగావెక్టర్ కోసం వెక్టర్ మరియు దీనిచే సూచించబడుతుంది. వ్యతిరేక వెక్టార్‌ని λ = –1: సంఖ్యతో వెక్టార్‌ని గుణించడం ఫలితంగా పరిగణించబడుతుంది.

స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్ అనేది, ఇచ్చిన మాతృకతో గుణించినప్పుడు, కొలినియర్ వెక్టార్‌కి దారి తీస్తుంది. సరళంగా చెప్పాలంటే, మాతృకను ఈజెన్‌వెక్టర్‌తో గుణించినప్పుడు, రెండోది అలాగే ఉంటుంది, కానీ నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది.

నిర్వచనం

ఈజెన్‌వెక్టర్ అనేది సున్నా కాని వెక్టార్ V, ఇది ఒక చదరపు మాతృక Mతో గుణించినప్పుడు, కొంత సంఖ్య λ ద్వారా పెరుగుతుంది. బీజగణిత సంజ్ఞామానంలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

M × V = λ × V,

ఇక్కడ λ అనేది మాతృక M యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూ.

సంఖ్యాపరమైన ఉదాహరణను చూద్దాం. రికార్డింగ్ సౌలభ్యం కోసం, మాతృకలోని సంఖ్యలు సెమికోలన్‌తో వేరు చేయబడతాయి. మాతృకను కలిగి ఉండనివ్వండి:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

దానిని కాలమ్ వెక్టర్ ద్వారా గుణిద్దాం:

• V = -2;

మేము మాతృకను కాలమ్ వెక్టర్ ద్వారా గుణించినప్పుడు, మనకు నిలువు వెక్టర్ కూడా వస్తుంది. కఠినమైన గణిత భాషలో, నిలువు వెక్టర్ ద్వారా 2 × 2 మాతృకను గుణించే సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 అంటే మొదటి అడ్డు వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో ఉన్న మాతృక M యొక్క మూలకం, మరియు M22 అంటే రెండవ వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుసలో ఉన్న మూలకం. మా మాతృక కోసం, ఈ మూలకాలు M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10కి సమానం. నిలువు వెక్టర్ కోసం, ఈ విలువలు V11 = –2, V21 = 1. ఈ సూత్రం ప్రకారం, వెక్టర్ ద్వారా చదరపు మాతృక యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క క్రింది ఫలితాన్ని మేము పొందుతాము:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

సౌలభ్యం కోసం, నిలువు వరుస వెక్టార్‌ని వ్రాద్దాం. కాబట్టి, మేము స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ను వెక్టర్ (-2; 1) ద్వారా గుణించాము, ఫలితంగా వెక్టర్ (4; -2) వస్తుంది. సహజంగానే, ఇదే వెక్టర్ λ = -2తో గుణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో లాంబ్డా మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూని సూచిస్తుంది.

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టార్ అనేది కొల్లినియర్ వెక్టర్, అంటే మాతృకతో గుణించినప్పుడు అంతరిక్షంలో దాని స్థానాన్ని మార్చుకోని వస్తువు. వెక్టర్ బీజగణితంలో కోలినియారిటీ భావన జ్యామితిలో సమాంతరత అనే పదాన్ని పోలి ఉంటుంది. రేఖాగణిత వివరణలో, కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ అనేది వివిధ పొడవుల సమాంతర నిర్దేశిత విభాగాలు. యూక్లిడ్ కాలం నుండి, ఒక పంక్తికి సమాంతరంగా అనంతమైన పంక్తులు ఉన్నాయని మనకు తెలుసు, కాబట్టి ప్రతి మాతృకకు అనంతమైన ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఉన్నాయని భావించడం తార్కికం.

మునుపటి ఉదాహరణ నుండి ఈజెన్‌వెక్టర్స్ (-8; 4), మరియు (16; -8), మరియు (32, -16) కావచ్చునని స్పష్టమవుతుంది. ఇవన్నీ ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -2కి అనుగుణంగా ఉండే కొలినియర్ వెక్టార్‌లు. ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా ఒరిజినల్ మ్యాట్రిక్స్‌ని గుణించినప్పుడు, అసలు నుండి 2 రెట్లు తేడా ఉన్న వెక్టర్‌తో మనం ఇంకా ముగుస్తుంది. అందుకే, ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సరళంగా స్వతంత్ర వెక్టర్ వస్తువులను మాత్రమే కనుగొనడం అవసరం. చాలా తరచుగా, n × n మాతృక కోసం, ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల n సంఖ్య ఉంటుంది. మా కాలిక్యులేటర్ సెకండ్-ఆర్డర్ స్క్వేర్ మాత్రికల విశ్లేషణ కోసం రూపొందించబడింది, కాబట్టి దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ఫలితం రెండు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొంటుంది, అవి కలిసినప్పుడు మినహా.

పై ఉదాహరణలో, అసలు మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను మేము ముందుగానే తెలుసుకొని లాంబ్డా సంఖ్యను స్పష్టంగా నిర్ణయించాము. అయితే, ఆచరణలో, ప్రతిదీ ఇతర మార్గంలో జరుగుతుంది: ఈజెన్‌వాల్యూలు మొదట కనుగొనబడతాయి మరియు తరువాత మాత్రమే ఈజెన్‌వెక్టర్లు.

పరిష్కార అల్గోరిథం

అసలు మ్యాట్రిక్స్ Mని మళ్లీ చూద్దాం మరియు దాని రెండు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. కాబట్టి మాతృక ఇలా కనిపిస్తుంది:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

ముందుగా మనం ఈజెన్‌వాల్యూ λని గుర్తించాలి, దీనికి కింది మాతృక యొక్క డిటర్‌మినెంట్‌ను లెక్కించడం అవసరం:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల నుండి తెలియని λని తీసివేయడం ద్వారా ఈ మాతృక పొందబడుతుంది. నిర్ణయాధికారి ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

మా వెక్టార్ తప్పనిసరిగా సున్నా కానిదిగా ఉండాలి కాబట్టి, మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని సరళ ఆధారితంగా అంగీకరిస్తాము మరియు మా డిటర్మినెంట్ detAని సున్నాకి సమం చేస్తాము.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

బ్రాకెట్లను తెరిచి, మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణాన్ని పొందండి:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

ఇది వివక్షను ఉపయోగించి పరిష్కరించాల్సిన ప్రామాణిక వర్గ సమీకరణం.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

వివక్షత యొక్క మూలం sqrt(D) = 14, కాబట్టి λ1 = -2, λ2 = 12. ఇప్పుడు ప్రతి లాంబ్డా విలువకు మనం ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనాలి. λ = -2 కోసం సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్‌లను వ్యక్తపరుద్దాం.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

ఈ ఫార్ములాలో, E అనేది గుర్తింపు మాతృక. ఫలిత మాతృక ఆధారంగా, మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టిస్తాము:

2x + 4y = 6x + 12y,

ఇక్కడ x మరియు y ఈజెన్‌వెక్టర్ మూలకాలు.

ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని X లను మరియు కుడి వైపున ఉన్న అన్ని Y లను సేకరిద్దాం. సహజంగానే - 4x = 8y. వ్యక్తీకరణను - 4 ద్వారా విభజించి x = –2y పొందండి. ఇప్పుడు మనం తెలియని వాటి యొక్క ఏదైనా విలువలను తీసుకొని మాతృక యొక్క మొదటి ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను గుర్తించవచ్చు (రేఖీయంగా ఆధారపడిన ఈజెన్‌వెక్టర్ల అనంతాన్ని గుర్తుంచుకోండి). y = 1 తీసుకుందాం, ఆపై x = –2. కాబట్టి, మొదటి ఈజెన్‌వెక్టర్ V1 = (–2; 1) లాగా కనిపిస్తుంది. వ్యాసం ప్రారంభానికి తిరిగి వెళ్ళు. ఈ వెక్టార్ ఆబ్జెక్ట్‌నే ఈజెన్‌వెక్టర్ భావనను ప్రదర్శించడానికి మాతృకను గుణించాము.

ఇప్పుడు λ = 12 కోసం ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

సరళ సమీకరణాల యొక్క అదే వ్యవస్థను సృష్టిద్దాం;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

ఇప్పుడు మనం x = 1 తీసుకుంటాము, కాబట్టి y = 3. కాబట్టి, రెండవ ఈజెన్‌వెక్టర్ V2 = (1; 3) లాగా కనిపిస్తుంది. ఇచ్చిన వెక్టర్ ద్వారా అసలు మాతృకను గుణించినప్పుడు, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ అదే వెక్టర్ 12తో గుణించబడుతుంది. ఇక్కడే సొల్యూషన్ అల్గోరిథం ముగుస్తుంది. మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను మాన్యువల్‌గా ఎలా గుర్తించాలో ఇప్పుడు మీకు తెలుసు.

• నిర్ణయాత్మక;
• ట్రేస్, అంటే, ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల మొత్తం;
• ర్యాంక్, అంటే, సరళ స్వతంత్ర వరుసలు/నిలువు వరుసల గరిష్ట సంఖ్య.

ప్రోగ్రామ్ పైన పేర్కొన్న అల్గోరిథం ప్రకారం పనిచేస్తుంది, సాధ్యమైనంతవరకు పరిష్కార ప్రక్రియను తగ్గిస్తుంది. ప్రోగ్రామ్‌లో లాంబ్డా “సి” అక్షరంతో సూచించబడిందని సూచించడం ముఖ్యం. సంఖ్యాపరమైన ఉదాహరణను చూద్దాం.

కార్యక్రమం ఎలా పని చేస్తుందో ఉదాహరణ

కింది మాతృక కోసం ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను నిర్ణయించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

కాలిక్యులేటర్ యొక్క కణాలలో ఈ విలువలను నమోదు చేసి, కింది రూపంలో సమాధానాన్ని పొందండి:

• మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్: 2;
• మ్యాట్రిక్స్ డిటర్మినెంట్: 18;
• మ్యాట్రిక్స్ ట్రేస్: 19;
• ఈజెన్‌వెక్టార్ యొక్క గణన: c 2 - 19.00c + 18.00 (లక్షణ సమీకరణం);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ గణన: 18 (మొదటి లాంబ్డా విలువ);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ గణన: 1 (రెండవ లాంబ్డా విలువ);
• వెక్టర్ 1 కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థ: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• వెక్టర్ 2 కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థ: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ఈజెన్‌వెక్టర్ 1: (1; 1);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ 2: (-3.25; 1).

ఈ విధంగా, మేము రెండు సరళ స్వతంత్ర ఈజెన్‌వెక్టర్లను పొందాము.

ముగింపు

లీనియర్ బీజగణితం మరియు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి ఏదైనా ఫ్రెష్మాన్ ఇంజనీరింగ్ విద్యార్థికి ప్రామాణిక సబ్జెక్టులు. పెద్ద సంఖ్యలో వెక్టర్స్ మరియు మాత్రికలు భయానకంగా ఉన్నాయి మరియు అటువంటి గజిబిజిగా ఉన్న గణనలలో తప్పులు చేయడం సులభం. మా ప్రోగ్రామ్ విద్యార్థులు వారి గణనలను తనిఖీ చేయడానికి లేదా ఈజెన్‌వెక్టార్‌ను కనుగొనే సమస్యను స్వయంచాలకంగా పరిష్కరించేందుకు అనుమతిస్తుంది. మా కేటలాగ్‌లో ఇతర లీనియర్ ఆల్జీబ్రా కాలిక్యులేటర్‌లు ఉన్నాయి; వాటిని మీ చదువులు లేదా పనిలో ఉపయోగించండి.

www.siteకనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సైట్ గణనను నిర్వహిస్తుంది. కొన్ని సెకన్లలో సర్వర్ సరైన పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది. మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణండిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణ అవుతుంది మాత్రికలు మాత్రికలు, ప్రధాన వికర్ణంలో వికర్ణ మూలకాలు మరియు వేరియబుల్ విలువలలో తేడాలు ఉంటాయి. లెక్కించేటప్పుడు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం, ప్రతి మూలకం మాత్రికలుసంబంధిత ఇతర అంశాలతో గుణించబడుతుంది మాత్రికలు. మోడ్‌లో కనుగొనండి ఆన్లైన్చతురస్రానికి మాత్రమే సాధ్యం మాత్రికలు. ఆపరేషన్‌ను కనుగొనడం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంమూలకాల ఉత్పత్తి యొక్క బీజగణిత మొత్తాన్ని గణించడానికి తగ్గిస్తుంది మాత్రికలునిర్ణయాధికారిని కనుగొనడం ఫలితంగా మాత్రికలు, నిర్ణయించే ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. ఈ ఆపరేషన్ సిద్ధాంతంలో ప్రత్యేక స్థానాన్ని ఆక్రమించింది మాత్రికలు, మూలాలను ఉపయోగించి ఈజెన్‌వాల్యూలు మరియు వెక్టర్‌లను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కనుగొనే పని ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంగుణించే మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది మాత్రికలుఒక నిర్దిష్ట నియమం ప్రకారం ఈ ఉత్పత్తులను సంగ్రహించడం ద్వారా అనుసరించబడింది. www.siteతెలుసుకుంటాడు మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణంమోడ్‌లో డైమెన్షన్ ఇవ్వబడింది ఆన్లైన్. లెక్కింపు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణందాని కోణాన్ని బట్టి, ఇది సంఖ్యాపరమైన లేదా సింబాలిక్ కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన బహుపదిని కనుగొనడం, డిటర్మినెంట్‌ను గణించే నియమం ప్రకారం కనుగొనబడింది మాత్రికలు- సంబంధిత మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మాత్రికలు, నిర్ణయించే ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. చతుర్భుజం కోసం వేరియబుల్‌కు సంబంధించి బహుపదిని కనుగొనడం మాత్రికలు, నిర్వచనంగా మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణం, సిద్ధాంతంలో సాధారణం మాత్రికలు. బహుపది మూలాల అర్థం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంఈజెన్‌వెక్టర్లు మరియు ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగిస్తారు మాత్రికలు. అంతేకాక, నిర్ణయాధికారి అయితే మాత్రికలుఅప్పుడు సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణంరివర్స్ వలె కాకుండా ఇప్పటికీ ఉనికిలో ఉంటుంది మాత్రికలు. లెక్కించేందుకు మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణంలేదా ఒకేసారి అనేక కోసం కనుగొనండి మాత్రికల లక్షణ సమీకరణాలు, మీరు చాలా సమయం మరియు కృషిని వెచ్చించవలసి ఉంటుంది, అయితే మా సర్వర్ కొన్ని సెకన్లలో కనుగొంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. ఈ సందర్భంలో, కనుగొనడానికి సమాధానం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంసరిగ్గా మరియు తగినంత ఖచ్చితత్వంతో, కనుగొనేటప్పుడు సంఖ్యలు ఉన్నప్పటికీ ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంఅహేతుకంగా ఉంటుంది. సైట్లో www.siteమూలకాలలో అక్షర ప్రవేశాలు అనుమతించబడతాయి మాత్రికలు, అంటే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంలెక్కించేటప్పుడు సాధారణ సింబాలిక్ రూపంలో సూచించవచ్చు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క లక్షణ సమీకరణం. కనుగొనడంలో సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంసైట్ ఉపయోగించి www.site. బహుపదిని లెక్కించే ఆపరేషన్ చేస్తున్నప్పుడు - మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణం, ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు జాగ్రత్తగా మరియు అత్యంత దృష్టి కేంద్రీకరించాలి. ప్రతిగా, అంశంపై మీ నిర్ణయాన్ని తనిఖీ చేయడానికి మా సైట్ మీకు సహాయం చేస్తుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క లక్షణ సమీకరణం. పరిష్కరించబడిన సమస్యల యొక్క సుదీర్ఘ తనిఖీలకు మీకు సమయం లేకపోతే, అప్పుడు www.siteకనుగొనడంలో మరియు లెక్కించేటప్పుడు తనిఖీ చేయడానికి ఖచ్చితంగా అనుకూలమైన సాధనంగా ఉంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం.