సాధారణ త్రిభుజం ఆధారంతో పిరమిడ్ వాల్యూమ్. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్

సరళమైన త్రిమితీయ బొమ్మలలో ఒకటి త్రిభుజాకార పిరమిడ్, ఎందుకంటే ఇది అంతరిక్షంలో ఒక బొమ్మను రూపొందించగల అతి తక్కువ సంఖ్యలో ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ ఆర్టికల్‌లో త్రిభుజాకార సాధారణ పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలను పరిశీలిస్తాము.

త్రిభుజాకార పిరమిడ్

సాధారణ నిర్వచనం ప్రకారం, పిరమిడ్ అనేది బహుభుజి, దీని శీర్షాలన్నీ ఈ బహుభుజి యొక్క విమానంలో లేని ఒక బిందువుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. రెండోది త్రిభుజం అయితే, మొత్తం బొమ్మను త్రిభుజాకార పిరమిడ్ అంటారు.

ప్రశ్నలోని పిరమిడ్ ఒక బేస్ (త్రిభుజం) మరియు మూడు వైపుల ముఖాలు (త్రిభుజాలు) కలిగి ఉంటుంది. మూడు వైపుల ముఖాలు అనుసంధానించబడిన బిందువును ఫిగర్ యొక్క శీర్షం అంటారు. ఈ శీర్షం నుండి లంబంగా స్థావరానికి పడిపోయినది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు. బేస్‌తో లంబంగా ఖండన బిందువు బేస్ వద్ద ఉన్న త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థాల ఖండన బిందువుతో సమానంగా ఉంటే, మేము సాధారణ పిరమిడ్ గురించి మాట్లాడుతాము. లేదంటే ఏటవాలుగా ఉంటుంది.

చెప్పినట్లుగా, త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం త్రిభుజం యొక్క సాధారణ రకం కావచ్చు. అయినప్పటికీ, ఇది సమబాహుగా ఉంటే మరియు పిరమిడ్ నేరుగా ఉంటే, అప్పుడు వారు సాధారణ త్రిమితీయ వ్యక్తి గురించి మాట్లాడతారు.

ఏదైనా ఒకదానికి 4 ముఖాలు, 6 అంచులు మరియు 4 శీర్షాలు ఉంటాయి. అన్ని అంచుల పొడవు సమానంగా ఉంటే, అటువంటి బొమ్మను టెట్రాహెడ్రాన్ అంటారు.

సాధారణ రకం

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌ను వ్రాసే ముందు, మేము సాధారణ రకం పిరమిడ్ కోసం ఈ భౌతిక పరిమాణానికి వ్యక్తీకరణను ఇస్తాము. ఈ వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఇక్కడ S o అనేది బేస్ యొక్క ప్రాంతం, h అనేది బొమ్మ యొక్క ఎత్తు. ఈ సమానత్వం ఏ రకమైన పిరమిడ్ బహుభుజి స్థావరానికైనా అలాగే ఒక కోన్‌కి చెల్లుబాటు అవుతుంది. బేస్ వద్ద ఒక వైపు పొడవు a మరియు ఎత్తు h o ఉన్న త్రిభుజం ఉంటే, అప్పుడు వాల్యూమ్ కోసం సూత్రం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాలు

త్రిభుజాకారంలో బేస్ వద్ద సమబాహు త్రిభుజం ఉంటుంది. ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు సమానత్వం ద్వారా దాని వైపు పొడవుతో సంబంధం కలిగి ఉంటుందని తెలుసు:

మునుపటి పేరాలో వ్రాసిన త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్ యొక్క ఫార్ములాలో ఈ వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

త్రిభుజాకార ఆధారంతో సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ అనేది బేస్ వైపు పొడవు మరియు ఫిగర్ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఫంక్షన్.

ఏదైనా సాధారణ బహుభుజిని ఒక వృత్తంలో చెక్కవచ్చు, దీని వ్యాసార్థం బహుభుజి వైపు పొడవును ప్రత్యేకంగా నిర్ణయిస్తుంది కాబట్టి, ఈ సూత్రాన్ని సంబంధిత వ్యాసార్థం r ప్రకారం వ్రాయవచ్చు:

ఈ ఫార్ములా మునుపటి నుండి సులభంగా పొందవచ్చు, త్రిభుజం యొక్క వైపు a పొడవు ద్వారా చుట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం r వ్యక్తీకరణ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

టెట్రాహెడ్రాన్ వాల్యూమ్‌ను నిర్ణయించడంలో సమస్య

నిర్దిష్ట జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు పై సూత్రాలను ఎలా ఉపయోగించాలో మేము చూపుతాము.

టెట్రాహెడ్రాన్ 7 సెంటీమీటర్ల అంచు పొడవును కలిగి ఉందని తెలుసు. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్-టెట్రాహెడ్రాన్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.

టెట్రాహెడ్రాన్ ఒక సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ అని గుర్తుంచుకోండి, దీనిలో అన్ని స్థావరాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు రెండు పరిమాణాలను లెక్కించాలి:

• త్రిభుజం వైపు పొడవు;
• బొమ్మ యొక్క ఎత్తు.

మొదటి పరిమాణం సమస్య పరిస్థితుల నుండి తెలుస్తుంది:

ఎత్తును నిర్ణయించడానికి, చిత్రంలో చూపిన బొమ్మను పరిగణించండి.

గుర్తించబడిన త్రిభుజం ABC ఒక లంబ త్రిభుజం, ఇక్కడ కోణం ABC 90 o. సైడ్ AC అనేది హైపోటెన్యూస్ మరియు దాని పొడవు a. సాధారణ రేఖాగణిత తార్కికాన్ని ఉపయోగించి, BC వైపు పొడవు ఉందని చూపవచ్చు:

BC పొడవు త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం అని గమనించండి.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3).

ఇప్పుడు మీరు వాల్యూమ్ కోసం సంబంధిత ఫార్ములాలోకి h మరియు aని ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

ఈ విధంగా, మేము టెట్రాహెడ్రాన్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని పొందాము. వాల్యూమ్ అంచు యొక్క పొడవుపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందని చూడవచ్చు. మేము సమస్య పరిస్థితుల నుండి వ్యక్తీకరణకు విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు సమాధానం లభిస్తుంది:

V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 cm 3.

మేము ఈ విలువను అదే అంచు కలిగిన క్యూబ్ వాల్యూమ్‌తో పోల్చినట్లయితే, టెట్రాహెడ్రాన్ వాల్యూమ్ 8.5 రెట్లు తక్కువగా ఉందని మేము కనుగొంటాము. టెట్రాహెడ్రాన్ కొన్ని సహజ పదార్ధాలలో సంభవించే ఒక కాంపాక్ట్ ఫిగర్ అని ఇది సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీథేన్ అణువు టెట్రాహెడ్రల్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు వజ్రంలోని ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు నాలుగు ఇతర అణువులతో అనుసంధానించబడి టెట్రాహెడ్రాన్‌ను ఏర్పరుస్తుంది.

హోమోథెటిక్ పిరమిడ్ సమస్య

ఒక ఆసక్తికరమైన రేఖాగణిత సమస్యను పరిష్కరిద్దాం. నిర్దిష్ట వాల్యూమ్ V 1తో త్రిభుజాకార సాధారణ పిరమిడ్ ఉందని అనుకుందాం. ఒరిజినల్ కంటే మూడు రెట్లు చిన్న వాల్యూమ్‌తో హోమోథెటిక్ పిరమిడ్‌ను పొందాలంటే ఈ సంఖ్య యొక్క పరిమాణాన్ని ఎన్ని సార్లు తగ్గించాలి?

అసలు సాధారణ పిరమిడ్ కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయడం ద్వారా సమస్యను పరిష్కరించడం ప్రారంభిద్దాం:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

గుణకం k ద్వారా దాని పారామితులను గుణించడం ద్వారా సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అవసరమైన ఫిగర్ వాల్యూమ్‌ను పొందనివ్వండి. మాకు ఉన్నాయి:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

బొమ్మల వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తి పరిస్థితి నుండి తెలిసినందున, మేము గుణకం k విలువను పొందుతాము:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0.693.

సాధారణ త్రిభుజాకారానికి మాత్రమే కాకుండా, ఏ రకమైన పిరమిడ్ కోసం కోఎఫీషియంట్ k కోసం సమానమైన విలువను పొందుతామని గమనించండి.

పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు అనేక సూత్రాలను తెలుసుకోవాలి. వాటిని చూద్దాం.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి - 1వ పద్ధతి

పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని దాని పునాది యొక్క ఎత్తు మరియు వైశాల్యాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు. V = 1/3*S*h. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ, మరియు దాని బేస్ వైశాల్యం 25 సెం.మీ 2 అయితే, వాల్యూమ్ V = 1/3*25*10 = 1/3*250కి సమానంగా ఉంటుంది. = 83.3 సెం.మీ 3

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి - 2వ పద్ధతి

ఒక సాధారణ బహుభుజి పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉంటే, దాని వాల్యూమ్ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: V = na 2 h/12*tg(180/n), ఇక్కడ a అనేది బేస్ వద్ద ఉన్న బహుభుజి వైపు , మరియు n అనేది దాని భుజాల సంఖ్య. ఉదాహరణకు: ఆధారం ఒక సాధారణ షడ్భుజి, అంటే n = 6. ఇది రెగ్యులర్ కాబట్టి, దాని భుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి, అంటే a అన్నీ సమానం. a = 10, మరియు h - 15 అనుకుందాం. మేము ఫార్ములాలోకి సంఖ్యలను చొప్పించాము మరియు సుమారుగా సమాధానం పొందుతాము - 1299 cm 3

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి - 3వ పద్ధతి

ఒక సమబాహు త్రిభుజం పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉంటే, దాని వాల్యూమ్ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: V = ha 2 /4√3, ఇక్కడ a అనేది సమబాహు త్రిభుజం వైపు. ఉదాహరణకు: పిరమిడ్ ఎత్తు 10 సెం.మీ., ఆధారం వైపు 5 సెం.మీ. వాల్యూమ్ V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3కి సమానంగా ఉంటుంది. సాధారణంగా, హారంలో ఉన్నది లెక్కించబడదు మరియు అదే రూపంలో వదిలివేయబడుతుంది. మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ కూడా 4√ 3తో గుణించవచ్చు. మనకు 1000√ 3/48 వస్తుంది. తగ్గించడం ద్వారా మనకు 125√ 3/6 cm 3 వస్తుంది.

పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని ఎలా కనుగొనాలి - 4 వ పద్ధతి

పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం ఉన్నట్లయితే, దాని వాల్యూమ్ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: V = 1/3*h*a 2, ఇక్కడ a అనేది చతురస్రం యొక్క భుజాలు. ఉదాహరణకు: ఎత్తు – 5 సెం.మీ., చదరపు వైపు – 3 సెం.మీ. V = 1/3*5*9 = 15 cm 3

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి - 5 వ పద్ధతి

పిరమిడ్ టెట్రాహెడ్రాన్ అయితే, దాని ముఖాలన్నీ సమబాహు త్రిభుజాలు అయితే, మీరు ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనవచ్చు: V = a 3 √2/12, ఇక్కడ a అనేది టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క అంచు. ఉదాహరణకు: టెట్రాహెడ్రాన్ అంచు = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3

పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి?

ఆమె ఎలా కనిపిస్తుంది?

మీరు చూడండి: పిరమిడ్ దిగువన (వారు " బేస్ వద్ద") కొన్ని బహుభుజి, మరియు ఈ బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాలు అంతరిక్షంలో ఏదో ఒక బిందువుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి (ఈ బిందువును అంటారు" శీర్షము»).

ఈ మొత్తం నిర్మాణం ఇప్పటికీ ఉంది పక్క ముఖాలు, పక్క పక్కటెముకలుమరియు బేస్ పక్కటెముకలు. మరోసారి, ఈ పేర్లతో పాటు పిరమిడ్‌ను గీయండి:

కొన్ని పిరమిడ్‌లు చాలా వింతగా అనిపించవచ్చు, కానీ అవి ఇప్పటికీ పిరమిడ్‌లు.

ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, పూర్తిగా "వాలుగా" ఉంది పిరమిడ్.

మరియు పేర్ల గురించి కొంచెం ఎక్కువ: పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక త్రిభుజం ఉంటే, పిరమిడ్‌ను త్రిభుజాకారంగా పిలుస్తారు, అది చతుర్భుజం అయితే, చతుర్భుజం, మరియు అది శతభుజి అయితే, అప్పుడు... మీరే ఊహించండి .

అదే సమయంలో, అది పడిపోయిన పాయింట్ ఎత్తు, అని పిలిచారు ఎత్తు బేస్. దయచేసి "వంకర" పిరమిడ్లలో గమనించండి ఎత్తుపిరమిడ్ వెలుపల కూడా ముగియవచ్చు. ఇలా:

మరియు దానిలో తప్పు ఏమీ లేదు. ఇది మందమైన త్రిభుజంలా కనిపిస్తుంది.

సరైన పిరమిడ్.

చాలా క్లిష్టమైన పదాలు? అర్థంచేసుకుందాం: “బేస్ వద్ద - సరైనది” - ఇది అర్థమయ్యేలా ఉంది. ఇప్పుడు మనం ఒక సాధారణ బహుభుజికి ఒక కేంద్రాన్ని కలిగి ఉందని గుర్తుంచుకోండి - అది మరియు , మరియు .

బాగా, "పైభాగం బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడింది" అనే పదాల అర్థం ఎత్తు యొక్క బేస్ సరిగ్గా బేస్ మధ్యలో వస్తుంది. ఇది ఎంత మృదువుగా మరియు అందంగా ఉందో చూడండి సాధారణ పిరమిడ్.

షట్కోణాకారం: బేస్ వద్ద ఒక సాధారణ షడ్భుజి ఉంది, శీర్షం బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది.

చతుర్భుజి: ఆధారం ఒక చతురస్రం, పైభాగం ఈ చతురస్రం యొక్క వికర్ణాల ఖండన బిందువు వరకు అంచనా వేయబడుతుంది.

త్రిభుజాకారము: బేస్ వద్ద ఒక సాధారణ త్రిభుజం ఉంది, ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుల (అవి మధ్యస్థాలు మరియు ద్విభాగాలు కూడా) ఖండన బిందువు వరకు శీర్షం అంచనా వేయబడుతుంది.

చాలా సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలు:

కుడి పిరమిడ్‌లో

• అన్ని వైపు అంచులు సమానంగా ఉంటాయి.
• అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు మరియు ఈ త్రిభుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ యొక్క ప్రధాన సూత్రం:

ఇది సరిగ్గా ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఇది అంత సులభం కాదు మరియు మొదట మీరు పిరమిడ్ మరియు కోన్ సూత్రంలో వాల్యూమ్ కలిగి ఉంటారని గుర్తుంచుకోవాలి, కానీ సిలిండర్ లేదు.

ఇప్పుడు అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పిరమిడ్ల పరిమాణాన్ని గణిద్దాం.

బేస్ వైపు సమానంగా మరియు వైపు అంచు సమానంగా ఉండనివ్వండి. మేము కనుగొనాలి మరియు.

ఇది సాధారణ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం.

ఈ ప్రాంతాన్ని ఎలా చూసుకోవాలో గుర్తుంచుకోండి. మేము ఏరియా సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

మాకు, "" ఇది, మరియు "" కూడా ఇదే, ఇహ్.

ఇప్పుడు దానిని వెతుకుదాం.

కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

తేడా ఏమిటి? ఇది చుట్టుకొలత ఎందుకంటే పిరమిడ్సరైనమరియు, అందువలన, కేంద్రం.

నుండి - మధ్యస్థాల ఖండన స్థానం కూడా.

(పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం)

దీనిని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం.

మరియు వాల్యూమ్ ఫార్ములాలో ప్రతిదీ ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

శ్రద్ధ:మీకు సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ఉంటే (అంటే), అప్పుడు ఫార్ములా ఇలా మారుతుంది:

బేస్ వైపు సమానంగా మరియు వైపు అంచు సమానంగా ఉండనివ్వండి.

ఇక్కడ చూడవలసిన అవసరం లేదు; అన్ని తరువాత, బేస్ ఒక చదరపు, అందువలన.

మేము దానిని కనుగొంటాము. కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

మనకు తెలుసా? దాదాపు. చూడండి:

(ఇది చూడటం ద్వారా మేము దీనిని చూశాము).

దీని కోసం ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

మరియు ఇప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు వాల్యూమ్ ఫార్ములాలోకి ప్రవేశిస్తాము.

బేస్ వైపు సమానంగా మరియు వైపు అంచు ఉండనివ్వండి.

ఎలా కనుగొనాలి? చూడండి, షడ్భుజి ఖచ్చితంగా ఆరు ఒకేలాంటి సాధారణ త్రిభుజాలను కలిగి ఉంటుంది. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించేటప్పుడు మేము ఇప్పటికే సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కోసం చూశాము; ఇక్కడ మనం కనుగొన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

ఇప్పుడు (అది) కనుగొనండి.

కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

కానీ అది పట్టింపు ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం ఎందుకంటే (మరియు అందరూ కూడా) సరైనది.

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

పిరమిడ్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

పిరమిడ్ అనేది ఏదైనా ఫ్లాట్ బహుభుజి (), బేస్ (పిరమిడ్ పైభాగం)లో లేని బిందువు మరియు పిరమిడ్ పైభాగాన్ని బేస్ (సైడ్ అంచులు) పాయింట్లతో అనుసంధానించే అన్ని విభాగాలను కలిగి ఉండే ఒక పాలిహెడ్రాన్.

పిరమిడ్ పై నుండి బేస్ యొక్క విమానం వరకు లంబంగా పడిపోయింది.

సరైన పిరమిడ్- ఒక పిరమిడ్, దీనిలో ఒక సాధారణ బహుభుజి బేస్ వద్ద ఉంటుంది మరియు పిరమిడ్ పైభాగం బేస్ మధ్యలో ఉంటుంది.

సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ఆస్తి:

• సాధారణ పిరమిడ్‌లో, అన్ని పార్శ్వ అంచులు సమానంగా ఉంటాయి.
• అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు మరియు ఈ త్రిభుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్:

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్ గా ఉన్నారని అర్థం.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివితే, మీరు ఈ 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకున్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించినందుకు, బడ్జెట్‌లో కాలేజీలో చేరినందుకు మరియు చాలా ముఖ్యమైనది జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని ఏదీ ఒప్పించను, ఒక్కటి మాత్రమే చెబుతాను...

మంచి విద్యను పొందిన వారు దానిని పొందని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా అవకాశాలు తెరుచుకుంటాయి మరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుంది? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇతరుల కంటే మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా మీ చేతిని పొందండి.

పరీక్ష సమయంలో మీరు సిద్ధాంతం కోసం అడగబడరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సమయానికి వ్యతిరేకంగా సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సమయం ఉండదు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - ఖచ్చితంగా గెలవడానికి మీరు దీన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి, తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణమరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (ఐచ్ఛికం) మరియు మేము వాటిని సిఫార్సు చేస్తాము.

మా టాస్క్‌లను ఉపయోగించడంలో మెరుగ్గా ఉండటానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులను అన్‌లాక్ చేయండి - 299 రబ్.
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి - 499 రబ్.

అవును, మా పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని టాస్క్‌లకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలో దాచిన అన్ని పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

అన్ని దాచిన పనులకు యాక్సెస్ సైట్ యొక్క మొత్తం జీవితానికి అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతం వద్ద ఆగవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "నేను పరిష్కరించగలను" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని వాటిని పరిష్కరించండి!

పిరమిడ్ అనేది పాలీహెడ్రాన్, దాని బేస్ వద్ద బహుభుజి ఉంటుంది. అన్ని ముఖాలు, క్రమంగా, ఒక శీర్షంలో కలిసే త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తాయి. పిరమిడ్లు త్రిభుజాకారం, చతుర్భుజాకారం మొదలైనవి. మీ ముందు ఏ పిరమిడ్ ఉందో గుర్తించడానికి, దాని బేస్ వద్ద కోణాల సంఖ్యను లెక్కించడం సరిపోతుంది. "పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు" యొక్క నిర్వచనం చాలా తరచుగా పాఠశాల పాఠ్యాంశాలలో జ్యామితి సమస్యలలో కనుగొనబడింది. ఈ వ్యాసంలో మేము దానిని కనుగొనడానికి వివిధ మార్గాలను పరిశీలించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

పిరమిడ్ యొక్క భాగాలు

ప్రతి పిరమిడ్ క్రింది అంశాలను కలిగి ఉంటుంది:

• వైపు ముఖాలు, ఇవి మూడు మూలలను కలిగి ఉంటాయి మరియు శిఖరం వద్ద కలుస్తాయి;
• అపోథెమ్ దాని శిఖరం నుండి దిగే ఎత్తును సూచిస్తుంది;
• పిరమిడ్ పైభాగం పక్క పక్కటెముకలను కలిపే పాయింట్, కానీ బేస్ యొక్క విమానంలో ఉండదు;
• ఆధారం ఒక బహుభుజి, దానిపై శీర్షం ఉండదు;
• పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అనేది పిరమిడ్ పైభాగాన్ని కలుస్తుంది మరియు దాని ఆధారంతో లంబ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

పిరమిడ్ పరిమాణం తెలిస్తే దాని ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి

V = (S*h)/3 సూత్రం ద్వారా (ఫార్ములాలో V అనేది వాల్యూమ్, S అనేది బేస్ యొక్క వైశాల్యం, h అనేది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు) h = (3*V)/ ఎస్. పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, వెంటనే సమస్యను పరిష్కరిద్దాం. త్రిభుజాకార ఆధారం 50 సెం.మీ 2, అయితే దాని వాల్యూమ్ 125 సెం.మీ. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు తెలియదు, ఇది మనం కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం: మేము మా ఫార్ములాలో డేటాను ఇన్సర్ట్ చేస్తాము. మేము h = (3*125)/50 = 7.5 సెం.మీ.

వికర్ణం మరియు దాని అంచుల పొడవు తెలిసినట్లయితే పిరమిడ్ ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి

మనకు గుర్తున్నట్లుగా, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు దాని బేస్తో లంబ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. దీని అర్థం వికర్ణం యొక్క ఎత్తు, అంచు మరియు సగం కలిసి చాలా మంది, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి. రెండు కోణాలను తెలుసుకోవడం, మూడవ పరిమాణాన్ని కనుగొనడం కష్టం కాదు. a² = b² + c² అనే సుప్రసిద్ధ సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం, ఇక్కడ a అనేది హైపోటెన్యూస్ మరియు మన విషయంలో పిరమిడ్ అంచు; b - మొదటి పాదం లేదా వికర్ణం యొక్క సగం మరియు c - వరుసగా, రెండవ పాదం, లేదా పిరమిడ్ ఎత్తు. ఈ ఫార్ములా నుండి c² = a² - b².

ఇప్పుడు సమస్య: సాధారణ పిరమిడ్‌లో వికర్ణం 20 సెం.మీ., అంచు యొక్క పొడవు 30 సెం.మీ ఉన్నప్పుడు.. మీరు ఎత్తును కనుగొనాలి. మేము పరిష్కరిస్తాము: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. అందుకే c = √ 500 = సుమారు 22.4.

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి

ఇది ఒక బహుభుజి, దాని పునాదికి సమాంతరంగా క్రాస్ సెక్షన్ ఉంటుంది. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు దాని రెండు స్థావరాలను కలిపే విభాగం. రెండు స్థావరాల వికర్ణాల పొడవు, అలాగే పిరమిడ్ అంచు తెలిసినట్లయితే సాధారణ పిరమిడ్ కోసం ఎత్తును కనుగొనవచ్చు. పెద్ద బేస్ యొక్క వికర్ణం d1గా ఉండనివ్వండి, అయితే చిన్న బేస్ యొక్క వికర్ణం d2 మరియు అంచు పొడవు l ఉంటుంది. ఎత్తును కనుగొనడానికి, మీరు రేఖాచిత్రం యొక్క రెండు ఎగువ వ్యతిరేక పాయింట్ల నుండి దాని బేస్ వరకు ఎత్తులను తగ్గించవచ్చు. మనకు రెండు లంబ త్రిభుజాలు ఉన్నాయని మనం చూస్తాము; వాటి కాళ్ళ పొడవును కనుగొనడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, పెద్ద వికర్ణం నుండి చిన్నదాన్ని తీసివేసి 2 ద్వారా భాగించండి. కాబట్టి మనం ఒక కాలును కనుగొంటాము: a = (d1-d2)/2. దీని తరువాత, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనం చేయాల్సిందల్లా పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అయిన రెండవ పాదాన్ని కనుగొనడం.

ఇప్పుడు ఈ మొత్తం విషయాన్ని ఆచరణలో చూద్దాం. మన ముందు ఒక పని ఉంది. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రాన్ని కలిగి ఉంటుంది, పెద్ద బేస్ యొక్క వికర్ణ పొడవు 10 సెం.మీ ఉంటుంది, చిన్నది 6 సెం.మీ, మరియు అంచు 4 సెం.మీ. మీరు ఎత్తును కనుగొనాలి. మొదట, మేము ఒక కాలును కనుగొంటాము: a = (10-6)/2 = 2 సెం.మీ. ఒక కాలు 2 సెం.మీ.కు సమానం, మరియు హైపోటెన్యూస్ 4 సెం.మీ. ఇది రెండవ కాలు లేదా ఎత్తు 16-కి సమానంగా ఉంటుందని తేలింది. 4 = 12, అంటే, h = √12 = సుమారు 3.5 సెం.మీ.

"పిరమిడ్" అనే పదం అసంకల్పితంగా ఈజిప్ట్‌లోని గంభీరమైన జెయింట్స్‌తో సంబంధం కలిగి ఉంది, ఫారోల శాంతిని విశ్వసనీయంగా కాపాడుతుంది. బహుశా అందుకే ప్రతి ఒక్కరూ, పిల్లలు కూడా పిరమిడ్‌ను నిస్సందేహంగా గుర్తిస్తారు.

అయినప్పటికీ, దీనికి రేఖాగణిత నిర్వచనం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం. విమానంలో అనేక పాయింట్లు (A1, A2,..., An) మరియు దానికి చెందని మరో (E)ని ఊహించుకుందాం. కాబట్టి, పాయింట్ E (శీర్షం) పాయింట్లు A1, A2,..., An (బేస్) ద్వారా ఏర్పడిన బహుభుజి యొక్క శీర్షాలకు అనుసంధానించబడి ఉంటే, మీరు ఒక పాలిహెడ్రాన్‌ను పొందుతారు, దీనిని పిరమిడ్ అని పిలుస్తారు. సహజంగానే, పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉన్న బహుభుజి ఎన్ని శీర్షాలను కలిగి ఉండవచ్చు మరియు వాటి సంఖ్యను బట్టి, పిరమిడ్‌ను త్రిభుజాకార, చతుర్భుజ, పెంటగోనల్, మొదలైనవి అని పిలుస్తారు.

మీరు పిరమిడ్‌ను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, అది మరొక విధంగా ఎందుకు నిర్వచించబడిందో స్పష్టమవుతుంది - దాని బేస్ వద్ద బహుభుజితో కూడిన రేఖాగణిత బొమ్మగా మరియు దాని వైపు ముఖాలుగా ఒక సాధారణ శీర్షంతో ఏకం చేయబడిన త్రిభుజాలుగా.

పిరమిడ్ ఒక ప్రాదేశిక వ్యక్తి కాబట్టి, పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం మరియు దాని ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తిలో బాగా తెలిసిన సమానమైన మూడవ భాగం నుండి లెక్కించబడినట్లుగా, ఇది క్రింది పరిమాణాత్మక లక్షణాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది:

సూత్రాన్ని ఉత్పన్నం చేసేటప్పుడు, పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ మొదట త్రిభుజాకారానికి లెక్కించబడుతుంది, ఈ విలువను ఒకే బేస్ మరియు ఎత్తును కలిగి ఉన్న త్రిభుజాకార ప్రిజం యొక్క వాల్యూమ్‌తో అనుసంధానించే స్థిరమైన నిష్పత్తిని ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటుంది, ఇది తేలినట్లుగా, ఈ వాల్యూమ్‌కి మూడు రెట్లు.

మరియు ఏదైనా పిరమిడ్ త్రిభుజాకారంగా విభజించబడింది మరియు దాని వాల్యూమ్ రుజువు సమయంలో చేసిన నిర్మాణాలపై ఆధారపడి ఉండదు కాబట్టి, ఇచ్చిన వాల్యూమ్ ఫార్ములా యొక్క ప్రామాణికత స్పష్టంగా ఉంటుంది.

అన్ని పిరమిడ్‌ల మధ్య వేరుగా ఉండటం సరైనవి, అవి వాటి స్థావరంలో ఉంటాయి, ఇది బేస్ మధ్యలో "ముగించాలి".

బేస్ వద్ద క్రమరహిత బహుభుజి విషయంలో, బేస్ వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి మీకు ఇది అవసరం:

• దానిని త్రిభుజాలు మరియు చతురస్రాలుగా విభజించండి;

• వాటిలో ప్రతి ప్రాంతాన్ని లెక్కించండి;

• అందుకున్న డేటాను జోడించండి.

పిరమిడ్ బేస్ వద్ద ఉన్న సాధారణ బహుభుజి విషయంలో, దాని వైశాల్యం రెడీమేడ్ ఫార్ములాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, కాబట్టి సాధారణ పిరమిడ్ వాల్యూమ్ చాలా సరళంగా లెక్కించబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించేందుకు, అది సక్రమంగా ఉంటే, బేస్ వద్ద ఉన్న ఒక సాధారణ చతుర్భుజం (చదరపు) వైపు పొడవు స్క్వేర్ చేయబడుతుంది మరియు పిరమిడ్ ఎత్తుతో గుణిస్తే, ఫలిత ఉత్పత్తి దీని ద్వారా విభజించబడుతుంది. మూడు.

పిరమిడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని ఇతర పారామితులను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

• పిరమిడ్ మరియు దాని మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యంలో చెక్కబడిన బంతి వ్యాసార్థం యొక్క ఉత్పత్తిలో మూడవ వంతుగా;

• రెండు ఏకపక్షంగా ఎంచుకున్న క్రాసింగ్ అంచులు మరియు మిగిలిన నాలుగు అంచుల మధ్య బిందువులను ఏర్పరిచే సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం మధ్య దూరం యొక్క ఉత్పత్తిలో మూడింట రెండు వంతులు.

పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ దాని ఎత్తు పక్క అంచులలో ఒకదానితో సమానంగా ఉన్నప్పుడు, అంటే దీర్ఘచతురస్రాకార పిరమిడ్ విషయంలో లెక్కించబడుతుంది.

పిరమిడ్ల గురించి మాట్లాడుతూ, మేము కత్తిరించిన పిరమిడ్లను విస్మరించలేము, పిరమిడ్ను బేస్కు సమాంతరంగా ఒక విమానంతో కత్తిరించడం ద్వారా పొందవచ్చు. వాటి వాల్యూమ్ మొత్తం పిరమిడ్ మరియు కట్ ఆఫ్ టాప్ యొక్క వాల్యూమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది.

డెమోక్రిటస్ పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను మొదటిసారిగా కనుగొన్నాడు, అయితే దాని ఆధునిక రూపంలో సరిగ్గా లేకపోయినా, మనకు తెలిసిన ప్రిజం పరిమాణంలో 1/3కి సమానం. ఆర్కిమెడిస్ తన గణన పద్ధతిని "రుజువు లేకుండా" అని పిలిచాడు, ఎందుకంటే డెమోక్రిటస్ పిరమిడ్‌ను అనంతమైన సన్నని, సారూప్య పలకలతో రూపొందించిన వ్యక్తిగా చేరుకున్నాడు.

వెక్టర్ బీజగణితం దాని శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనే సమస్యను కూడా "ప్రస్తావిస్తుంది". ట్రిపుల్ వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన పిరమిడ్ a, b, c ఇచ్చిన వెక్టర్‌ల మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్‌లో ఆరవ వంతుకు సమానం.