గాస్సియన్ పద్ధతి వివరణను ఉపయోగించి మాతృకను పరిష్కరించడం. గాస్సియన్ పద్ధతి (తెలియని వారి వరుస తొలగింపు)

1. సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ

1.1 సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేది అనేక వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి అనేక సమీకరణాలను ఏకకాలంలో అమలు చేసే స్థితి. m సమీకరణాలు మరియు n తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ (ఇకపై SLAE గా సూచిస్తారు) రూపం యొక్క వ్యవస్థ అంటారు:

ఇక్కడ a ij సంఖ్యలను సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్ అంటారు, b i సంఖ్యలను ఉచిత నిబంధనలు అంటారు, ఒక ijమరియు b i(i=1,..., m; b=1,..., n) కొన్ని తెలిసిన సంఖ్యలను సూచిస్తాయి మరియు x 1 ,..., x n- తెలియదు. గుణకాల హోదాలో ఒక ijమొదటి సూచిక i సమీకరణం సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు రెండవ j అనేది ఈ గుణకం ఉన్న తెలియని సంఖ్య. x n సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా కనుగొనబడాలి. అటువంటి వ్యవస్థను కాంపాక్ట్ మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది: AX=B.ఇక్కడ A అనేది సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క మాతృక, ప్రధాన మాతృక అని పిలుస్తారు;

మాతృక X (n ముక్కలు)లో అడ్డు వరుసలు ఉన్నంత వరకు మాతృక Aలో అనేక నిలువు వరుసలు ఉన్నందున, A*X మాత్రికల ఉత్పత్తి నిర్వచించబడింది.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక అనేది సిస్టమ్ యొక్క మాతృక A, ఇది ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో అనుబంధంగా ఉంటుంది.

1.2 సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం క్రమబద్ధమైన సంఖ్యల సమితి (వేరియబుల్స్ విలువలు), వాటిని వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాలు నిజమైన సమానత్వంగా మారుతాయి.

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం తెలియని x1=c1, x2=c2,..., xn=cn విలువలు, వీటికి ప్రత్యామ్నాయంగా సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు నిజమైన సమానాలుగా మారతాయి. సిస్టమ్‌కు ఏదైనా పరిష్కారాన్ని కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్‌గా వ్రాయవచ్చు

సమీకరణాల వ్యవస్థ కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే స్థిరంగా మరియు దానికి పరిష్కారం లేకుంటే అస్థిరత అని పిలుస్తారు.

స్థిరమైన వ్యవస్థ ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే నిర్ణయించబడుతుంది మరియు ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే నిరవధికంగా ఉంటుంది. తరువాతి సందర్భంలో, దాని పరిష్కారాలలో ప్రతి ఒక్కటి సిస్టమ్ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారంగా పిలువబడుతుంది. అన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారాల సమితిని సాధారణ పరిష్కారం అంటారు.

వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అంటే అది అనుకూలమైనదా లేదా అస్థిరమైనదా అని కనుగొనడం. సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటే, దాని సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

రెండు వ్యవస్థలు ఒకే సాధారణ పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే వాటిని సమానం (సమానమైనది) అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాటిలో ఒకదాని యొక్క ప్రతి పరిష్కారం మరొకదానికి పరిష్కారం అయితే వ్యవస్థలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటాయి.

ఒక పరివర్తన, దాని యొక్క అప్లికేషన్ సిస్టమ్‌ను అసలైన దానికి సమానమైన కొత్త సిస్టమ్‌గా మారుస్తుంది, దీనిని సమానమైన లేదా సమానమైన పరివర్తన అంటారు. సమానమైన పరివర్తనలకు ఉదాహరణలు క్రింది రూపాంతరాలను కలిగి ఉంటాయి: సిస్టమ్ యొక్క రెండు సమీకరణాలను పరస్పరం మార్చుకోవడం, అన్ని సమీకరణాల గుణకాలతో పాటు రెండు తెలియని వాటిని పరస్పరం మార్చుకోవడం, సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా సంఖ్యతో గుణించడం.

అన్ని ఉచిత పదాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సజాతీయంగా పిలుస్తారు:

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే x1=x2=x3=…=xn=0 అనేది సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం. ఈ పరిష్కారాన్ని సున్నా లేదా ట్రివియల్ అంటారు.

2. గాస్సియన్ తొలగింపు పద్ధతి

2.1 గాస్సియన్ తొలగింపు పద్ధతి యొక్క సారాంశం

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి శాస్త్రీయ పద్ధతి తెలియని వాటిని క్రమబద్ధంగా తొలగించే పద్ధతి - గాస్సియన్ పద్ధతి(దీన్ని గాస్సియన్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతి అని కూడా అంటారు). ఇది వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, సమీకరణాల వ్యవస్థ ఒక దశ (లేదా త్రిభుజాకార) రూపంలో సమానమైన వ్యవస్థకు తగ్గించబడుతుంది, దీని నుండి అన్ని ఇతర వేరియబుల్స్ చివరి (ద్వారా) నుండి వరుసగా కనుగొనబడతాయి. సంఖ్య) వేరియబుల్స్.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కార ప్రక్రియ రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది: ముందుకు మరియు వెనుకకు కదలికలు.

1. డైరెక్ట్ స్ట్రోక్.

మొదటి దశలో, డైరెక్ట్ మూవ్ అని పిలవబడేది, వరుసలపై ప్రాథమిక పరివర్తనల ద్వారా, సిస్టమ్ మెట్ల లేదా త్రిభుజాకార ఆకృతికి తీసుకురాబడినప్పుడు లేదా సిస్టమ్ అననుకూలంగా ఉందని నిర్ధారించబడినప్పుడు. అవి, మాతృక యొక్క మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలలో, సున్నా కానిదాన్ని ఎంచుకోండి, అడ్డు వరుసలను తిరిగి అమర్చడం ద్వారా దానిని ఎగువ స్థానానికి తరలించండి మరియు పునర్వ్యవస్థీకరణ తర్వాత మిగిలిన వరుసల నుండి ఫలిత మొదటి అడ్డు వరుసను తీసివేయండి, దానిని విలువతో గుణించండి. ఈ అడ్డు వరుసలలోని మొదటి మూలకం మొదటి వరుసలోని మొదటి మూలకం నిష్పత్తికి సమానం, ఆ విధంగా దాని దిగువ నిలువు వరుసను సున్నా చేస్తుంది.

సూచించిన రూపాంతరాలు పూర్తయిన తర్వాత, మొదటి అడ్డు వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలు మానసికంగా దాటవేయబడతాయి మరియు సున్నా పరిమాణం యొక్క మాతృక మిగిలిపోయే వరకు కొనసాగుతాయి. ఏదైనా పునరావృతంలో మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలలో సున్నా కాని మూలకం లేనట్లయితే, తదుపరి నిలువు వరుసకు వెళ్లి, అదే విధమైన ఆపరేషన్ చేయండి.

మొదటి దశలో (డైరెక్ట్ స్ట్రోక్), సిస్టమ్ స్టెప్డ్ (ముఖ్యంగా, త్రిభుజాకార) రూపానికి తగ్గించబడుతుంది.

దిగువ సిస్టమ్ దశలవారీ ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది:

కోఎఫీషియంట్స్ aii వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన (ప్రధాన) మూలకాలు అంటారు.

మొదటి (సిస్టమ్ యొక్క ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి) మినహా అన్ని సమీకరణాలలో తెలియని x1ని తొలగించడం ద్వారా సిస్టమ్‌ను మారుద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి

ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము సమానమైన వ్యవస్థను పొందుతాము:

అందువలన, మొదటి దశలో, మొదటి లీడింగ్ ఎలిమెంట్ a 11 కింద ఉన్న అన్ని గుణకాలు నాశనం చేయబడతాయి

సిస్టమ్‌ను దశలవారీగా తగ్గించే ప్రక్రియలో, సున్నా సమీకరణాలు కనిపిస్తే, అనగా. 0=0 రూపం యొక్క సమానతలు, అవి విస్మరించబడతాయి. రూపం యొక్క సమీకరణం కనిపించినట్లయితే

ఇక్కడే గాస్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతి ముగుస్తుంది.

2. రివర్స్ స్ట్రోక్.

రెండవ దశలో, రివర్స్ మూవ్ అని పిలవబడేది నిర్వహించబడుతుంది, దీని సారాంశం ఏమిటంటే, ఫలితంగా వచ్చే అన్ని ప్రాథమిక వేరియబుల్స్‌ను నాన్-బేసిక్ వాటి పరంగా వ్యక్తీకరించడం మరియు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను నిర్మించడం లేదా, అన్ని వేరియబుల్స్ ప్రాథమికంగా ఉంటే. , అప్పుడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సంఖ్యాపరంగా ఏకైక పరిష్కారాన్ని వ్యక్తపరచండి.

ఈ విధానం చివరి సమీకరణంతో ప్రారంభమవుతుంది, దాని నుండి సంబంధిత ప్రాథమిక వేరియబుల్ వ్యక్తీకరించబడుతుంది (దానిలో ఒకటి మాత్రమే ఉంది) మరియు మునుపటి సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయబడుతుంది మరియు అందువలన, "దశలు" పైకి వెళుతుంది.

ప్రతి పంక్తి సరిగ్గా ఒక బేసిస్ వేరియబుల్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి చివరి (ఎగువ) మినహా ప్రతి దశలో పరిస్థితి సరిగ్గా చివరి పంక్తి విషయంలో పునరావృతమవుతుంది.

గమనిక: ఆచరణలో, సిస్టమ్‌తో కాకుండా దాని విస్తరించిన మాతృకతో పని చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, దాని వరుసలలో అన్ని ప్రాథమిక పరివర్తనలను ప్రదర్శిస్తుంది. గుణకం a11 1కి సమానంగా ఉండటం సౌకర్యంగా ఉంటుంది (సమీకరణాలను పునర్వ్యవస్థీకరించండి లేదా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా a11 ద్వారా విభజించండి).

2.2 గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి SLAEలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

ఈ విభాగంలో, మూడు వేర్వేరు ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, గాస్సియన్ పద్ధతి SLAEలను ఎలా పరిష్కరించగలదో మేము చూపుతాము.

ఉదాహరణ 1. 3వ ఆర్డర్ SLAEని పరిష్కరించండి.

వద్ద గుణకాలను రీసెట్ చేద్దాం

గాస్ పద్ధతిసరళ బీజగణిత సమీకరణాల (SLAEలు) వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సరైనది. ఇతర పద్ధతులతో పోలిస్తే ఇది అనేక ప్రయోజనాలను కలిగి ఉంది:

• మొదట, స్థిరత్వం కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థను మొదట పరిశీలించాల్సిన అవసరం లేదు;
• రెండవది, గాస్ పద్ధతి SLAEలను పరిష్కరించగలదు, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ఏకవచనం కాదు, కానీ సమీకరణాల సంఖ్య ఏకీభవించని సమీకరణాల వ్యవస్థలను కూడా పరిష్కరించగలదు. తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్య లేదా ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం;
• మూడవదిగా, గాస్సియన్ పద్ధతి సాపేక్షంగా తక్కువ సంఖ్యలో గణన కార్యకలాపాలతో ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది.

వ్యాసం యొక్క సంక్షిప్త అవలోకనం.

మొదట, మేము అవసరమైన నిర్వచనాలను ఇస్తాము మరియు సంజ్ఞామానాలను పరిచయం చేస్తాము.

తరువాత, మేము సరళమైన కేసు కోసం గాస్ పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథంను వివరిస్తాము, అనగా, సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థల కోసం, తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్య మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాత్మక సంఖ్యతో సమానంగా ఉండే సమీకరణాల సంఖ్య సున్నాకి సమానం కాదు. అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు, గాస్ పద్ధతి యొక్క సారాంశం చాలా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ఇది తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క వరుస తొలగింపు. కాబట్టి, గాస్సియన్ పద్ధతిని తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి అని కూడా పిలుస్తారు. మేము అనేక ఉదాహరణల వివరణాత్మక పరిష్కారాలను చూపుతాము.

ముగింపులో, మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థల యొక్క గాస్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారాన్ని పరిశీలిస్తాము, వీటిలో ప్రధాన మాతృక దీర్ఘచతురస్రాకార లేదా ఏకవచనం. అటువంటి వ్యవస్థలకు పరిష్కారం కొన్ని లక్షణాలను కలిగి ఉంది, మేము ఉదాహరణలను ఉపయోగించి వివరంగా పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

ప్రాథమిక నిర్వచనాలు మరియు సంకేతాలు.

n తెలియని వాటితో p సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి (p nకి సమానంగా ఉంటుంది):

తెలియని వేరియబుల్స్ ఎక్కడ ఉన్నాయి, అవి సంఖ్యలు (వాస్తవమైన లేదా సంక్లిష్టమైనవి) మరియు ఉచిత నిబంధనలు.

ఉంటే , అప్పుడు సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటారు సజాతీయమైన, లేకపోతే - విజాతీయమైన.

సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు గుర్తింపుగా మారే తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల సమితిని అంటారు SLAU యొక్క నిర్ణయం.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంటే, దానిని అంటారు ఉమ్మడి, లేకపోతే - కాని ఉమ్మడి.

SLAEకి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటే, దానిని అంటారు ఖచ్చితంగా. ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలు ఉంటే, అప్పుడు సిస్టమ్ అంటారు అనిశ్చిత.

వ్యవస్థ రాసి ఉందని అంటున్నారు సమన్వయ రూపం, అది రూపం కలిగి ఉంటే
.

ఈ వ్యవస్థలో మాతృక రూపంరికార్డులు ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటాయి, ఎక్కడ - SLAE యొక్క ప్రధాన మాతృక, - తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క కాలమ్ యొక్క మాతృక, - ఉచిత నిబంధనల మాతృక.

(n+1)వ కాలమ్‌గా మాతృక Aకి ఉచిత పదాల మాతృక కాలమ్‌ని జోడిస్తే, మనం పిలవబడేవి పొందుతాము పొడిగించిన మాతృకసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. సాధారణంగా, పొడిగించిన మాతృక T అక్షరంతో సూచించబడుతుంది మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ మిగిలిన నిలువు వరుసల నుండి నిలువు వరుస ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది, అనగా,

చతురస్ర మాతృక A అంటారు అధోకరణం చెందుతాయి, దాని నిర్ణాయకం సున్నా అయితే. అయితే, మాతృక A అంటారు క్షీణించని.

కింది అంశాన్ని గమనించాలి.

మీరు సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థతో కింది చర్యలను చేస్తే

• రెండు సమీకరణాలను మార్చుకోండి,
• ఏదైనా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఏకపక్ష మరియు సున్నా కాని వాస్తవ (లేదా సంక్లిష్ట) సంఖ్య kతో గుణించండి,
• ఏదైనా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా మరొక సమీకరణం యొక్క సంబంధిత భాగాలను జోడించండి, ఏకపక్ష సంఖ్య kతో గుణించబడుతుంది,

అప్పుడు మీరు అదే పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సమానమైన సిస్టమ్‌ను పొందుతారు (లేదా, అసలు దాని వలె, పరిష్కారాలు లేవు).

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క విస్తరించిన మాతృక కోసం, ఈ చర్యలు వరుసలతో ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహించడం అని అర్థం:

• రెండు పంక్తులు ఇచ్చిపుచ్చుకోవడం,
• మాతృక T యొక్క ఏదైనా వరుసలోని అన్ని మూలకాలను నాన్‌జీరో సంఖ్య kతో గుణించడం,
• మాతృకలోని ఏదైనా అడ్డు వరుసలోని మూలకాలకు మరొక అడ్డు వరుస యొక్క సంబంధిత మూలకాలను జోడించడం, ఏకపక్ష సంఖ్య kతో గుణించబడుతుంది.

ఇప్పుడు మనం గాస్ పద్ధతి యొక్క వివరణకు వెళ్లవచ్చు.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యకు సమానం మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ఏకవచనం కాదు, గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనే పనిని మాకు అప్పగిస్తే మేము పాఠశాలలో ఏమి చేస్తాము? .

కొందరు అలా చేసేవారు.

రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు మొదటి ఎడమ వైపు మరియు కుడి వైపున కుడి వైపుకు జోడించడం ద్వారా, మీరు తెలియని వేరియబుల్స్ x 2 మరియు x 3 నుండి బయటపడవచ్చు మరియు వెంటనే x 1ని కనుగొనవచ్చు:

మేము కనుగొన్న విలువ x 1 =1ని సిస్టమ్ యొక్క మొదటి మరియు మూడవ సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

మేము సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా -1 ద్వారా గుణించి, వాటిని మొదటి సమీకరణం యొక్క సంబంధిత భాగాలకు జోడిస్తే, మనకు తెలియని వేరియబుల్ x 3 నుండి బయటపడవచ్చు మరియు x 2ని కనుగొనవచ్చు:

మేము ఫలిత విలువ x 2 = 2ని మూడవ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు మిగిలిన తెలియని వేరియబుల్ x 3ని కనుగొంటాము:

మరికొందరు భిన్నంగా చేసి ఉండేవారు.

తెలియని వేరియబుల్ x 1కి సంబంధించి సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం మరియు ఈ వేరియబుల్‌ను వాటి నుండి మినహాయించడానికి ఫలితంగా వ్యక్తీకరణను సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలలోకి మారుద్దాం:

ఇప్పుడు x 2 కోసం సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం మరియు దాని నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 2 ను తొలగించడానికి మూడవ సమీకరణంలో పొందిన ఫలితాన్ని భర్తీ చేద్దాం:

సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణం నుండి x 3 =3 అని స్పష్టమవుతుంది. రెండవ సమీకరణం నుండి మనం కనుగొంటాము , మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాము.

తెలిసిన పరిష్కారాలు, సరియైనదా?

ఇక్కడ అత్యంత ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, రెండవ పరిష్కార పద్ధతి తప్పనిసరిగా తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి, అంటే గాస్సియన్ పద్ధతి. మేము తెలియని వేరియబుల్స్ (మొదటి x 1, తదుపరి దశలో x 2) వ్యక్తీకరించినప్పుడు మరియు వాటిని సిస్టమ్ యొక్క మిగిలిన సమీకరణాలలోకి మార్చినప్పుడు, మేము వాటిని మినహాయించాము. చివరి సమీకరణంలో ఒక తెలియని వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉండే వరకు మేము తొలగింపును నిర్వహించాము. వరుసగా తెలియని వాటిని తొలగించే ప్రక్రియ అంటారు ప్రత్యక్ష గాస్సియన్ పద్ధతి. ఫార్వర్డ్ మూవ్‌ని పూర్తి చేసిన తర్వాత, చివరి సమీకరణంలో కనుగొనబడిన తెలియని వేరియబుల్‌ను లెక్కించడానికి మనకు అవకాశం ఉంది. దాని సహాయంతో, మేము చివరి సమీకరణం నుండి తదుపరి తెలియని వేరియబుల్‌ను కనుగొంటాము మరియు మొదలైనవి. చివరి సమీకరణం నుండి మొదటిదానికి కదులుతున్నప్పుడు తెలియని వేరియబుల్స్‌ను వరుసగా కనుగొనే ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.

మేము మొదటి సమీకరణంలో x 2 మరియు x 3 పరంగా x 1ని వ్యక్తీకరించినప్పుడు, ఆపై ఫలిత వ్యక్తీకరణను రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలలోకి మార్చినప్పుడు, ఈ క్రింది చర్యలు అదే ఫలితానికి దారితీస్తాయని గమనించాలి:

నిజానికి, అటువంటి విధానం సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని తొలగించడాన్ని కూడా సాధ్యం చేస్తుంది:

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలు కొన్ని వేరియబుల్స్‌ను కలిగి లేనప్పుడు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి తెలియని వేరియబుల్స్ తొలగింపుతో సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు తలెత్తుతాయి.

ఉదాహరణకు, SLAUలో మొదటి సమీకరణంలో తెలియని వేరియబుల్ x 1 లేదు (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, దాని ముందు ఉన్న గుణకం సున్నా). కాబట్టి, ఈ తెలియని వేరియబుల్‌ను మిగిలిన సమీకరణాల నుండి తొలగించడానికి x 1 కోసం సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని మనం పరిష్కరించలేము. ఈ పరిస్థితి నుండి బయటపడటానికి మార్గం వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను మార్చుకోవడం. ప్రధాన మాత్రికల నిర్ణాయకాలు సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను మేము పరిశీలిస్తున్నందున, మనకు అవసరమైన వేరియబుల్ ఉన్న సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది మరియు ఈ సమీకరణాన్ని మనకు అవసరమైన స్థానానికి మార్చవచ్చు. మా ఉదాహరణ కోసం, సిస్టమ్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలను మార్చుకుంటే సరిపోతుంది , అప్పుడు మీరు x 1 కోసం మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు మరియు సిస్టమ్ యొక్క మిగిలిన సమీకరణాల నుండి దాన్ని మినహాయించవచ్చు (రెండవ సమీకరణంలో x 1 ఇకపై లేనప్పటికీ).

మీరు సారాంశాన్ని పొందుతారని మేము ఆశిస్తున్నాము.

వర్ణిద్దాం గాస్సియన్ పద్ధతి అల్గోరిథం.

ఫారమ్ యొక్క n తెలియని వేరియబుల్స్‌తో n లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను మనం పరిష్కరించాలి అనుకుందాం. , మరియు దాని ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినేంట్ సున్నాకి భిన్నంగా ఉండనివ్వండి.

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా మేము దీన్ని ఎల్లప్పుడూ సాధించగలము కాబట్టి మేము దానిని ఊహించుకుంటాము. రెండవదానితో ప్రారంభించి సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని తొలగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మూడవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు .

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో ఇతర తెలియని వేరియబుల్స్ పరంగా x 1ని వ్యక్తీకరించి, ఫలిత వ్యక్తీకరణను అన్ని ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చినట్లయితే మనం అదే ఫలితానికి చేరుకుంటాము. అందువలన, వేరియబుల్ x 1 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, రెండవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము ఇదే విధంగా కొనసాగుతాము, కానీ ఫలిత వ్యవస్థలో కొంత భాగం మాత్రమే, ఇది చిత్రంలో గుర్తించబడింది

దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి, నాల్గవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి గుణించాలి, మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు . అందువలన, వేరియబుల్ x 2 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, ఇది మూడవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము తెలియని x 3ని తొలగించడానికి కొనసాగుతాము, అదే సమయంలో చిత్రంలో గుర్తించబడిన సిస్టమ్ భాగంతో మేము అదే విధంగా వ్యవహరిస్తాము.

కాబట్టి సిస్టమ్ రూపాన్ని తీసుకునే వరకు మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతిని కొనసాగిస్తాము

ఈ క్షణం నుండి మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌ను ప్రారంభిస్తాము: మేము చివరి సమీకరణం నుండి x n ను గణిస్తాము, x n యొక్క పొందిన విలువను ఉపయోగించి మనం చివరి సమీకరణం నుండి x n-1ని కనుగొంటాము మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి x 1ని కనుగొంటాము .

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి అల్గోరిథం చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

గాస్ పద్ధతి.

పరిష్కారం.

గుణకం a 11 సున్నా కాదు, కాబట్టి గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతికి వెళ్దాం, అంటే మొదటిది మినహా సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1 మినహాయించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా, మొదటి సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను వరుసగా గుణించండి. మరియు:

తెలియని వేరియబుల్ x 1 తొలగించబడింది, x 2ని తొలగించడానికి వెళ్దాం. సిస్టమ్ యొక్క మూడవ మరియు నాల్గవ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా మేము రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా వరుసగా గుణించాము మరియు :

గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ ప్రోగ్రెస్‌ను పూర్తి చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మనకు తెలియని వేరియబుల్ x 3ని తొలగించాలి. నాల్గవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలకు వరుసగా, మూడవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించి, జత చేద్దాం :

మీరు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్ ప్రారంభించవచ్చు.

మేము కలిగి ఉన్న చివరి సమీకరణం నుండి ,
మూడవ సమీకరణం నుండి మనకు లభిస్తుంది,
రెండవ నుండి,
మొదటి నుండి.

తనిఖీ చేయడానికి, మీరు తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క పొందిన విలువలను అసలు సమీకరణాల వ్యవస్థలో భర్తీ చేయవచ్చు. అన్ని సమీకరణాలు గుర్తింపులుగా మారుతాయి, ఇది గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడిందని సూచిస్తుంది.

సమాధానం:

ఇప్పుడు మ్యాట్రిక్స్ నొటేషన్‌లో గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి అదే ఉదాహరణకి పరిష్కారం ఇద్దాం.

ఉదాహరణ.

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి గాస్ పద్ధతి.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది . ప్రతి నిలువు వరుస ఎగువన మాతృక మూలకాలకు అనుగుణంగా తెలియని వేరియబుల్స్ ఉంటాయి.

ఇక్కడ గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష విధానం ప్రాథమిక రూపాంతరాలను ఉపయోగించి వ్యవస్థ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను ట్రాపెజోయిడల్ రూపానికి తగ్గించడం. ఈ ప్రక్రియ మేము సిస్టమ్‌తో కోఆర్డినేట్ రూపంలో చేసిన తెలియని వేరియబుల్‌ల తొలగింపును పోలి ఉంటుంది. ఇప్పుడు మీరు దీన్ని చూస్తారు.

మాతృకను రూపాంతరం చేద్దాం, తద్వారా మొదటి నిలువు వరుసలోని అన్ని మూలకాలు, రెండవది నుండి ప్రారంభించి, సున్నాగా మారతాయి. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ పంక్తుల మూలకాలకు మేము మొదటి పంక్తి యొక్క సంబంధిత మూలకాలను గుణించి , మరియు తదనుగుణంగా:

తరువాత, మేము ఫలిత మాతృకను మారుస్తాము, తద్వారా రెండవ నిలువు వరుసలో అన్ని మూలకాలు, మూడవది నుండి ప్రారంభించి, సున్నాగా మారతాయి. ఇది తెలియని వేరియబుల్ x 2ను తొలగించడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, మూడవ మరియు నాల్గవ వరుసల మూలకాలకు మేము మాతృక యొక్క మొదటి వరుస యొక్క సంబంధిత మూలకాలను వరుసగా గుణించాము. మరియు :

సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 3ని మినహాయించడం మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, ఫలిత మాతృక యొక్క చివరి వరుసలోని మూలకాలకు మేము చివరి వరుస యొక్క సంబంధిత మూలకాలను జోడిస్తాము, దీని ద్వారా గుణించాలి :

ఈ మాతృక సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుందని గమనించాలి

ఇది ముందుకు సాగిన తర్వాత ముందుగా పొందబడింది.

ఇది వెనుదిరిగే సమయం. మాతృక సంజ్ఞామానంలో, గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం, ఫలిత మాతృకను చిత్రంలో గుర్తించిన విధంగా మార్చడాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

వికర్ణంగా మారింది, అంటే రూపాన్ని తీసుకుంది

కొన్ని సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

ఈ రూపాంతరాలు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ పరివర్తనలను పోలి ఉంటాయి, కానీ మొదటి పంక్తి నుండి చివరి వరకు కాకుండా చివరి నుండి మొదటి వరకు నిర్వహించబడతాయి.

మూడవ, రెండవ మరియు మొదటి పంక్తుల మూలకాలకు చివరి పంక్తి యొక్క సంబంధిత మూలకాలను గుణించండి , మరియు న వరుసగా:

ఇప్పుడు రెండవ మరియు మొదటి పంక్తుల మూలకాలకు మూడవ పంక్తి యొక్క సంబంధిత మూలకాలను వరుసగా గుణించండి:

రివర్స్ గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క చివరి దశలో, మొదటి వరుసలోని మూలకాలకు మేము రెండవ వరుస యొక్క సంబంధిత మూలకాలను జోడిస్తాము, దీని ద్వారా గుణించాలి:

ఫలిత మాతృక సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది , ఎక్కడ నుండి మనకు తెలియని వేరియబుల్స్ కనిపిస్తాయి.

సమాధానం:

గమనిక.

లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, సుమారుగా గణనలను నివారించాలి, ఎందుకంటే ఇది పూర్తిగా తప్పు ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది. దశాంశాలను పూర్తి చేయవద్దని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. దశాంశ భిన్నాల నుండి సాధారణ భిన్నాలకు మారడం మంచిది.

ఉదాహరణ.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి .

పరిష్కారం.

ఈ ఉదాహరణలో తెలియని వేరియబుల్స్ వేరే హోదాను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి (x 1, x 2, x 3 కాదు, కానీ x, y, z). సాధారణ భిన్నాలకు వెళ్దాం:

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి తెలియని xని మినహాయిద్దాం:

ఫలిత వ్యవస్థలో, తెలియని వేరియబుల్ y రెండవ సమీకరణంలో లేదు, కానీ y మూడవ సమీకరణంలో ఉంది, కాబట్టి, రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలను మార్చుకుందాం:

ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతిని పూర్తి చేస్తుంది (మూడవ సమీకరణం నుండి yని మినహాయించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఈ తెలియని వేరియబుల్ ఉనికిలో లేదు).

రివర్స్ కదలికను ప్రారంభిద్దాం.

చివరి సమీకరణం నుండి మనం కనుగొన్నాము ,
చివరి నుండి


మేము కలిగి ఉన్న మొదటి సమీకరణం నుండి

సమాధానం:

X = 10, y = 5, z = -20.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వ్యక్తుల సంఖ్యతో ఏకీభవించదు లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ఏకవచనం.

సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వీటిలో ప్రధాన మాతృక దీర్ఘచతురస్రాకార లేదా చతురస్రాకార ఏకవచనం, పరిష్కారాలను కలిగి ఉండకపోవచ్చు, ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు లేదా అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉండవచ్చు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలత లేదా అస్థిరతను స్థాపించడానికి గాస్ పద్ధతి ఎలా అనుమతిస్తుంది మరియు దాని అనుకూలత విషయంలో, అన్ని పరిష్కారాలను (లేదా ఒకే పరిష్కారం) నిర్ణయించడం ఇప్పుడు మనం అర్థం చేసుకుంటాము.

సూత్రప్రాయంగా, అటువంటి SLAEల విషయంలో తెలియని వేరియబుల్‌లను తొలగించే ప్రక్రియ అలాగే ఉంటుంది. అయితే, తలెత్తే కొన్ని పరిస్థితుల గురించి వివరంగా చెప్పడం విలువ.

అత్యంత ముఖ్యమైన దశకు వెళ్దాం.

కాబట్టి, గాస్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వార్డ్ ప్రోగ్రెస్‌ను పూర్తి చేసిన తర్వాత, లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపాన్ని తీసుకుంటుందని మనం అనుకుందాం. మరియు ఒక్క సమీకరణం కూడా కుదించబడలేదు (ఈ సందర్భంలో సిస్టమ్ అననుకూలంగా ఉందని మేము నిర్ధారించాము). ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: "తరువాత ఏమి చేయాలి"?

ఫలిత సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలలో ముందుగా వచ్చే తెలియని వేరియబుల్స్‌ను వ్రాస్దాం:

మా ఉదాహరణలో ఇవి x 1, x 4 మరియు x 5. సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున మేము వ్రాతపూర్వక తెలియని వేరియబుల్స్ x 1, x 4 మరియు x 5 కలిగి ఉన్న పదాలను మాత్రమే వదిలివేస్తాము, మిగిలిన పదాలు వ్యతిరేక గుర్తుతో సమీకరణాల కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి:

సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపున ఉన్న తెలియని వేరియబుల్స్ ఏకపక్ష విలువలను ఇద్దాం, ఇక్కడ - ఏకపక్ష సంఖ్యలు:

దీని తరువాత, మా SLAE యొక్క అన్ని సమీకరణాల యొక్క కుడి-భుజాలు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి మరియు మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌కు వెళ్లవచ్చు.

వ్యవస్థ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి, మనం కనుగొన్న చివరి సమీకరణం నుండి, మనకు లభించే మొదటి సమీకరణం నుండి

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల సమితి

నంబర్లు ఇవ్వడం విభిన్న విలువలు, మేము సమీకరణాల వ్యవస్థకు వేర్వేరు పరిష్కారాలను పొందుతాము. అంటే, మన సమీకరణాల వ్యవస్థలో అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

సమాధానం:

ఎక్కడ - ఏకపక్ష సంఖ్యలు.

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము మరిన్ని ఉదాహరణల పరిష్కారాలను వివరంగా విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థను పరిష్కరించండి గాస్ పద్ధతి.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ xని మినహాయిద్దాం. ఇది చేయుటకు, రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా, మేము వరుసగా, మొదటి సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించి, మూడవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా కలుపుతాము, మేము ఎడమ మరియు మొదటి సమీకరణం యొక్క కుడి వైపులా, దీని ద్వారా గుణించబడుతుంది:

ఇప్పుడు ఫలిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క మూడవ సమీకరణం నుండి y ని మినహాయిద్దాం:

ఫలితంగా వచ్చే SLAE సిస్టమ్‌కి సమానం .

మేము సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున తెలియని వేరియబుల్స్ x మరియు y కలిగి ఉన్న పదాలను మాత్రమే వదిలివేస్తాము మరియు తెలియని వేరియబుల్ zతో ఉన్న నిబంధనలను కుడి వైపుకు తరలిస్తాము:

సరళ బీజగణిత వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సార్వత్రిక మరియు సమర్థవంతమైన పద్ధతుల్లో ఒకటి గాస్సియన్ పద్ధతి , తెలియని వారి వరుస తొలగింపును కలిగి ఉంటుంది.

రెండు వ్యవస్థలు అని గుర్తు సమానమైన (సమానమైనది) వాటి పరిష్కారాల సెట్‌లు ఏకీభవిస్తే. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాటిలో ఒకదాని యొక్క ప్రతి పరిష్కారం మరొకదానికి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటే వ్యవస్థలు సమానంగా ఉంటాయి. సమానమైన వ్యవస్థలు ఎప్పుడు లభిస్తాయి ప్రాథమిక రూపాంతరాలు వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలు:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం;

కొన్ని సమీకరణాలకు మరొక సమీకరణం యొక్క సంబంధిత భాగాలను జోడించడం, సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం;

రెండు సమీకరణాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం.

సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించే ప్రక్రియ రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటి దశలో (డైరెక్ట్ మోషన్), సిస్టమ్, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, తగ్గించబడుతుంది దశలవారీగా , లేదా త్రిభుజాకార రూపం, మరియు రెండవ దశలో (రివర్స్) ఒక సీక్వెన్షియల్ ఉంది, చివరి వేరియబుల్ సంఖ్య నుండి ప్రారంభమవుతుంది, ఫలితంగా దశల వ్యవస్థ నుండి తెలియని వాటిని నిర్ణయించడం.

ఈ వ్యవస్థ యొక్క గుణకం అని అనుకుందాం
, లేకపోతే సిస్టమ్‌లో మొదటి అడ్డు వరుసను ఏదైనా ఇతర అడ్డు వరుసతో మార్చుకోవచ్చు, తద్వారా గుణకం వద్ద సున్నాకి భిన్నంగా ఉంది.

తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా వ్యవస్థను మారుద్దాం మొదటిది తప్ప అన్ని సమీకరణాలలో. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి మరియు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంతో పదం ద్వారా పదాన్ని జోడించండి. అప్పుడు మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి మరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణానికి జోడించండి. ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము సమానమైన వ్యవస్థను పొందుతాము

ఇక్కడ
- మొదటి దశ తర్వాత పొందిన గుణకాలు మరియు ఉచిత నిబంధనల యొక్క కొత్త విలువలు.

అదేవిధంగా, ప్రధాన అంశాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు
, తెలియని వాటిని మినహాయించండి సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి, మొదటి మరియు రెండవది తప్ప. వీలైనంత కాలం ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిద్దాం, ఫలితంగా మనం దశలవారీ వ్యవస్థను పొందుతాము

,

ఎక్కడ ,
,…,- వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన అంశాలు
.

సిస్టమ్‌ను దశలవారీగా తగ్గించే ప్రక్రియలో, సమీకరణాలు కనిపిస్తాయి, అనగా, రూపం యొక్క సమానతలు
, అవి ఏవైనా సంఖ్యల సెట్ ద్వారా సంతృప్తి చెందినందున అవి విస్మరించబడతాయి
. వద్ద ఉంటే
పరిష్కారాలు లేని రూపం యొక్క సమీకరణం కనిపించినట్లయితే, ఇది సిస్టమ్ యొక్క అననుకూలతను సూచిస్తుంది.

రివర్స్ స్ట్రోక్ సమయంలో, మొదటి తెలియనిది రూపాంతరం చెందిన దశ వ్యవస్థ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించబడుతుంది అన్ని ఇతర తెలియని వారి ద్వారా
అంటారు ఉచిత . అప్పుడు వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణ సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి చివరి సమీకరణంలోకి భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు దాని నుండి వేరియబుల్ వ్యక్తీకరించబడుతుంది
. వేరియబుల్స్ ఇదే విధంగా వరుసగా నిర్వచించబడతాయి
. వేరియబుల్స్
, ఉచిత వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది, అంటారు ప్రాథమిక (ఆశ్రిత). ఫలితం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారం.

కనుగొనేందుకు ప్రైవేట్ పరిష్కారం వ్యవస్థలు, ఉచిత తెలియదు
సాధారణ పరిష్కారంలో ఏకపక్ష విలువలు కేటాయించబడతాయి మరియు వేరియబుల్స్ విలువలు లెక్కించబడతాయి
.

ప్రాథమిక పరివర్తనలకు లోబడి సాంకేతికంగా మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, సిస్టమ్ సమీకరణాలు కాకుండా, సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక

.

గాస్ పద్ధతి అనేది సార్వత్రిక పద్ధతి, ఇది చదరపు మాత్రమే కాకుండా దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థలను కూడా పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దీనిలో తెలియని వారి సంఖ్య
సమీకరణాల సంఖ్యకు సమానం కాదు
.

ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనం ఏమిటంటే, పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మేము ఏకకాలంలో అనుకూలత కోసం సిస్టమ్‌ను పరిశీలిస్తాము, ఎందుకంటే, పొడిగించిన మాతృకను అందించడం ద్వారా
దశలవారీగా రూపొందించడానికి, మాతృక యొక్క ర్యాంకులను గుర్తించడం సులభం మరియు పొడిగించిన మాతృక
మరియు దరఖాస్తు చేయండి క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం .

ఉదాహరణ 2.1గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణాల సంఖ్య
మరియు తెలియని వారి సంఖ్య
.

మాతృక యొక్క కుడి వైపున గుణకాలను కేటాయించడం ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను సృష్టిద్దాం ఉచిత సభ్యుల కాలమ్ .

మాతృకను ప్రజెంట్ చేద్దాం త్రిభుజాకార వీక్షణకు; దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న మూలకాల క్రింద "0"ని పొందుతాము.

మొదటి నిలువు వరుస యొక్క రెండవ స్థానంలో "0"ని పొందడానికి, మొదటి అడ్డు వరుసను (-1) ద్వారా గుణించి రెండవ వరుసకు జోడించండి.

మేము ఈ పరివర్తనను మొదటి పంక్తికి వ్యతిరేకంగా సంఖ్య (-1)గా వ్రాస్తాము మరియు దానిని మొదటి పంక్తి నుండి రెండవ పంక్తికి వెళ్లే బాణంతో సూచిస్తాము.

మొదటి నిలువు వరుస యొక్క మూడవ స్థానంలో "0" పొందడానికి, మొదటి అడ్డు వరుసను (-3) ద్వారా గుణించి, మూడవ వరుసకు జోడించండి; మొదటి పంక్తి నుండి మూడవ పంక్తికి వెళ్లే బాణాన్ని ఉపయోగించి ఈ చర్యను చూపిద్దాం.

.

ఫలిత మాత్రికలో, మాత్రికల గొలుసులో రెండవది వ్రాయబడింది, మేము మూడవ స్థానంలో రెండవ నిలువు వరుసలో "0" పొందుతాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము రెండవ పంక్తిని (-4) ద్వారా గుణించి, దానిని మూడవదానికి చేర్చాము. ఫలిత మాతృకలో, రెండవ వరుసను (-1) గుణించి, మూడవదాన్ని (-8) ద్వారా భాగించండి. వికర్ణ మూలకాల క్రింద ఉన్న ఈ మాతృక యొక్క అన్ని మూలకాలు సున్నాలు.

ఎందుకంటే , వ్యవస్థ సహకారంతో మరియు నిర్వచించబడింది.

చివరి మాతృకకు సంబంధించిన సమీకరణాల వ్యవస్థ త్రిభుజాకార రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

చివరి (మూడవ) సమీకరణం నుండి
. రెండవ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి పొందండి
.

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
మరియు
మొదటి సమీకరణంలో, మేము కనుగొంటాము


.

గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క నిర్వచనం మరియు వివరణ

లీనియర్ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్సియన్ పరివర్తన పద్ధతి (సమీకరణం లేదా మాతృక నుండి తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ తొలగింపు పద్ధతి అని కూడా పిలుస్తారు) బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను (SLAE) పరిష్కరించడానికి ఒక శాస్త్రీయ పద్ధతి. విలోమ మాత్రికలను పొందడం మరియు మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను నిర్ణయించడం వంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఈ సాంప్రదాయిక పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరివర్తన అనేది సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు చిన్న (ప్రాథమిక) వరుస మార్పులను కలిగి ఉంటుంది, ఇది అసలైన దానికి సమానమైన కొత్త త్రిభుజాకార సమీకరణాల వ్యవస్థను ఏర్పరచడంతో పై నుండి క్రిందికి వేరియబుల్స్ తొలగించడానికి దారి తీస్తుంది. ఒకటి.

నిర్వచనం 1

పరిష్కారం యొక్క ఈ భాగాన్ని ఫార్వర్డ్ గాస్సియన్ ద్రావణం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే మొత్తం ప్రక్రియ పై నుండి క్రిందికి నిర్వహించబడుతుంది.

అసలైన సమీకరణాల వ్యవస్థను త్రిభుజాకారానికి తగ్గించిన తర్వాత, సిస్టమ్ యొక్క అన్ని వేరియబుల్స్ దిగువ నుండి పైకి కనుగొనబడతాయి (అనగా, కనుగొనబడిన మొదటి వేరియబుల్స్ సిస్టమ్ లేదా మ్యాట్రిక్స్ యొక్క చివరి పంక్తులపై ఖచ్చితంగా ఉంటాయి). పరిష్కారం యొక్క ఈ భాగాన్ని గాస్సియన్ ద్రావణం యొక్క విలోమం అని కూడా పిలుస్తారు. అతని అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంది: మొదట, సమీకరణాలు లేదా మాతృక వ్యవస్థ యొక్క దిగువకు దగ్గరగా ఉన్న వేరియబుల్స్ లెక్కించబడతాయి, ఆపై ఫలిత విలువలు ఎక్కువగా భర్తీ చేయబడతాయి మరియు తద్వారా మరొక వేరియబుల్ కనుగొనబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.

గాస్సియన్ పద్ధతి అల్గోరిథం యొక్క వివరణ

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం కోసం చర్యల క్రమం SLAE ఆధారంగా మాతృకకు ప్రత్యామ్నాయంగా ఫార్వర్డ్ మరియు బ్యాక్‌వర్డ్ స్ట్రోక్‌లను వర్తింపజేయడంలో ఉంటుంది. సమీకరణాల ప్రారంభ వ్యవస్థ కింది రూపాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి:

$\begin(కేసులు) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \ ముగింపు(కేసులు)$

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి SLAEలను పరిష్కరించడానికి, మాతృక రూపంలో సమీకరణాల యొక్క అసలు వ్యవస్థను వ్రాయడం అవసరం:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

$A$ మాతృకను ప్రధాన మాతృక అని పిలుస్తారు మరియు క్రమంలో వ్రాసిన వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలను సూచిస్తుంది మరియు $b$ దాని ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ అని పిలుస్తారు. ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో బార్ ద్వారా వ్రాయబడిన $A$ మాతృకను పొడిగించిన మాతృక అంటారు:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

ఇప్పుడు, సమీకరణాల వ్యవస్థపై ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించడం (లేదా మాతృకపై, ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది కాబట్టి), దానిని క్రింది రూపానికి తీసుకురావడం అవసరం:

$\ ప్రారంభం(కేసులు) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ ముగింపు(కేసులు)$ (1)

పరివర్తన చెందిన సమీకరణ వ్యవస్థ (1) యొక్క గుణకాల నుండి పొందిన మాతృకను స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్ అంటారు; ఇది సాధారణంగా దశ మాత్రికలు ఇలా కనిపిస్తుంది:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

ఈ మాత్రికలు క్రింది లక్షణాల ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి:

1. దాని అన్ని సున్నా పంక్తులు నాన్-జీరో లైన్ల తర్వాత వస్తాయి
2. $k$ సంఖ్యతో ఉన్న మాతృకలోని కొంత అడ్డు వరుస సున్నా కానిది అయితే, అదే మాత్రిక యొక్క మునుపటి అడ్డు వరుస $k$తో ఉన్న దాని కంటే తక్కువ సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది.

స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌ను పొందిన తర్వాత, ఫలిత వేరియబుల్‌లను మిగిలిన సమీకరణాలలో (చివరి నుండి ప్రారంభించి) భర్తీ చేయడం మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క మిగిలిన విలువలను పొందడం అవసరం.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ప్రాథమిక నియమాలు మరియు అనుమతించబడిన పరివర్తనాలు

ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి మాతృక లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు, మీరు ప్రాథమిక పరివర్తనలను మాత్రమే ఉపయోగించాలి.

ఇటువంటి పరివర్తనలు దాని అర్థాన్ని మార్చకుండా మాతృక లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థకు వర్తించే ఆపరేషన్‌లుగా పరిగణించబడతాయి:

• అనేక పంక్తుల పునర్వ్యవస్థీకరణ,
• మాతృక యొక్క ఒక వరుస నుండి మరొక అడ్డు వరుసను జోడించడం లేదా తీసివేయడం,
• సున్నాకి సమానం కాని స్థిరాంకంతో స్ట్రింగ్‌ను గుణించడం లేదా విభజించడం,
• సిస్టమ్‌ను గణించే మరియు సరళీకృతం చేసే ప్రక్రియలో పొందిన సున్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉన్న లైన్ తప్పనిసరిగా తొలగించబడాలి,
• మీరు అనవసరమైన అనుపాత పంక్తులను కూడా తీసివేయాలి, సిస్టమ్ కోసం మరింత సరిఅయిన మరియు తదుపరి గణనలకు అనుకూలమైన కోఎఫీషియంట్‌లను మాత్రమే ఎంచుకోవాలి.

అన్ని ప్రాథమిక పరివర్తనాలు రివర్సబుల్.

సాధారణ గాస్సియన్ పరివర్తనల పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే మూడు ప్రధాన కేసుల విశ్లేషణ

వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించినప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే మూడు సందర్భాలు ఉన్నాయి:

1. ఒక వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉన్నప్పుడు, అంటే దానికి ఎలాంటి పరిష్కారాలు ఉండవు
2. సమీకరణాల వ్యవస్థ ఒక పరిష్కారం మరియు ప్రత్యేకమైనది, మరియు మాతృకలోని సున్నా కాని వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటుంది.
3. సిస్టమ్ నిర్దిష్ట సంఖ్యలో లేదా సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాల సమితిని కలిగి ఉంది మరియు దానిలోని వరుసల సంఖ్య నిలువు వరుసల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

అస్థిరమైన వ్యవస్థతో పరిష్కారం యొక్క ఫలితం

ఈ ఐచ్ఛికం కోసం, గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మాతృక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, సమానత్వాన్ని నెరవేర్చడం అసంభవంతో కొంత లైన్‌ను పొందడం విలక్షణమైనది. అందువల్ల, కనీసం ఒక సరికాని సమానత్వం సంభవించినట్లయితే, ఫలితంగా మరియు అసలైన వ్యవస్థలు కలిగి ఉన్న ఇతర సమీకరణాలతో సంబంధం లేకుండా పరిష్కారాలను కలిగి ఉండవు. అస్థిరమైన మాతృక యొక్క ఉదాహరణ:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

చివరి పంక్తిలో అసాధ్యమైన సమానత్వం ఏర్పడింది: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సమీకరణాల వ్యవస్థ

ఈ సిస్టమ్‌లు, స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌కి తగ్గించబడిన తర్వాత మరియు సున్నాలతో అడ్డు వరుసలను తీసివేసిన తర్వాత, ప్రధాన మాత్రికలో అదే సంఖ్యలో వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలు ఉంటాయి. అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క సరళమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది:

$\begin(కేసులు) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(కేసులు)$

దానిని మాతృక రూపంలో వ్రాస్దాం:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

రెండవ అడ్డు వరుసలోని మొదటి గడిని సున్నాకి తీసుకురావడానికి, మేము ఎగువ అడ్డు వరుసను $-2$తో గుణించి, మాతృక యొక్క దిగువ వరుస నుండి తీసివేసి, ఎగువ వరుసను దాని అసలు రూపంలో వదిలివేస్తాము, ఫలితంగా మనకు ఈ క్రిందివి ఉన్నాయి :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

ఈ ఉదాహరణను వ్యవస్థగా వ్రాయవచ్చు:

$\begin(కేసులు) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(కేసులు)$

దిగువ సమీకరణం $x$కి క్రింది విలువను అందిస్తుంది: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. ఎగువ సమీకరణంలో ఈ విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, మనకు $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ వస్తుంది.

అనేక సాధ్యమైన పరిష్కారాలతో కూడిన వ్యవస్థ

ఈ వ్యవస్థ దానిలోని నిలువు వరుసల సంఖ్య కంటే తక్కువ సంఖ్యలో ముఖ్యమైన వరుసల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది (ప్రధాన మాతృక యొక్క వరుసలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడతాయి).

అటువంటి వ్యవస్థలోని వేరియబుల్స్ రెండు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి: ప్రాథమిక మరియు ఉచితం. అటువంటి వ్యవస్థను మార్చేటప్పుడు, దానిలో ఉన్న ప్రధాన వేరియబుల్స్ ఎడమ ప్రాంతంలో "=" గుర్తు వరకు వదిలివేయబడాలి మరియు మిగిలిన వేరియబుల్స్ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించబడాలి.

అటువంటి వ్యవస్థ ఒక నిర్దిష్ట సాధారణ పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

కింది సమీకరణాల వ్యవస్థను విశ్లేషిద్దాం:

$\begin(కేసులు) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ ముగింపు(కేసులు)$

దానిని మాతృక రూపంలో వ్రాస్దాం:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end(array)$

వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం మా పని. ఈ మాతృక కోసం, ఆధార వేరియబుల్స్ $y_1$ మరియు $y_3$ ($y_1$ కోసం - ఇది మొదట వస్తుంది మరియు $y_3$ విషయంలో - ఇది సున్నాల తర్వాత ఉంటుంది).

ప్రాతిపదిక వేరియబుల్స్‌గా, మేము ఖచ్చితంగా వరుసలో మొదటివి మరియు సున్నాకి సమానం కాని వాటిని ఎంచుకుంటాము.

మిగిలిన వేరియబుల్స్‌ను ఫ్రీ అని పిలుస్తారు; వాటి ద్వారా మనం ప్రాథమిక వాటిని వ్యక్తపరచాలి.

రివర్స్ స్ట్రోక్ అని పిలవబడేది ఉపయోగించి, మేము సిస్టమ్‌ను దిగువ నుండి పైకి విశ్లేషిస్తాము; దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట సిస్టమ్ దిగువ పంక్తి నుండి $y_3$ని వ్యక్తపరుస్తాము:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

ఇప్పుడు మేము $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ + y_4 = 1$

ఉచిత వేరియబుల్స్ $y_2$ మరియు $y_4$ పరంగా మేము $y_1$ని వ్యక్తపరుస్తాము:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

పరిష్కారం సిద్ధంగా ఉంది.

ఉదాహరణ 1

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మందగింపును పరిష్కరించండి. ఉదాహరణలు. గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి 3 బై 3 మ్యాట్రిక్స్ ద్వారా ఇవ్వబడిన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించే ఉదాహరణ

$\begin(కేసులు) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \ end(కేసులు)$

మన సిస్టమ్‌ని ఎక్స్‌టెన్డెడ్ మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో వ్రాద్దాం:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

ఇప్పుడు, సౌలభ్యం మరియు ఆచరణాత్మకత కోసం, మీరు $1$ బయటి నిలువు వరుస ఎగువ మూలలో ఉండేలా మాతృకను మార్చాలి.

దీన్ని చేయడానికి, 1 వ పంక్తికి మీరు మధ్య నుండి పంక్తిని జోడించాలి, $-1$ ద్వారా గుణించాలి మరియు మధ్య పంక్తిని అలాగే వ్రాయండి, అది మారుతుంది:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \ end(array) $

ఎగువ మరియు చివరి పంక్తులను $-1$తో గుణించండి మరియు చివరి మరియు మధ్య పంక్తులను కూడా మార్చుకోండి:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \ end(array)$

మరియు చివరి పంక్తిని $3$తో విభజించండి:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \ end(array)$

మేము ఈ క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము, ఇది అసలైన దానికి సమానం:

$\begin(కేసులు) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ ముగింపు(కేసులు)$

ఎగువ సమీకరణం నుండి మేము $x_1$ని వ్యక్తపరుస్తాము:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

ఉదాహరణ 2

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి 4 బై 4 మాతృకను ఉపయోగించి నిర్వచించబడిన వ్యవస్థను పరిష్కరించే ఉదాహరణ

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి)$.

ప్రారంభంలో, ఎగువ ఎడమ మూలలో $1$ పొందడానికి మేము దానిని అనుసరించే ఎగువ పంక్తులను మార్చుకుంటాము:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి)$.

ఇప్పుడు ఎగువ పంక్తిని $-2$తో గుణించి, 2వ మరియు 3వ వాటికి జోడించండి. 4వ దానికి మనం $-3$తో గుణించబడిన 1వ పంక్తిని జోడిస్తాము:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి) $

ఇప్పుడు పంక్తి సంఖ్య 3కి మనం $4$తో గుణించిన పంక్తి 2ని కలుపుతాము మరియు 4వ పంక్తికి $-1$తో గుణించిన పంక్తి 2ని జోడిస్తాము.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి) $

మేము పంక్తిని 2ని $-1$తో గుణిస్తాము మరియు లైన్ 4ని $3$తో భాగించి, లైన్ 3ని భర్తీ చేస్తాము.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి)$

ఇప్పుడు మనం చివరి పంక్తికి $-5$తో గుణించబడిన చివరి వరుసను జోడిస్తాము.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి)$

మేము సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము:

$\begin(కేసులు) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(కేసులు)$

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మార్గాలలో ఒకటి డిటర్మినేట్ల గణన ఆధారంగా ఒక సాంకేతికత ( క్రామెర్ నియమం) దీని ప్రయోజనం ఏమిటంటే, ఇది వెంటనే పరిష్కారాన్ని రికార్డ్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది; సిస్టమ్ యొక్క గుణకాలు సంఖ్యలు కాకుండా కొన్ని పారామితులు ఉన్న సందర్భాల్లో ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. పెద్ద సంఖ్యలో సమీకరణాల విషయంలో గణనల గజిబిజిగా ఉండటం దీని ప్రతికూలత; అంతేకాకుండా, సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో ఏకీభవించని వ్యవస్థలకు క్రామెర్ నియమం నేరుగా వర్తించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, ఇది సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది గాస్సియన్ పద్ధతి.

ఒకే విధమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను అంటారు సమానమైన. సహజంగానే, ఏదైనా సమీకరణాలు మార్చబడినా లేదా సమీకరణాలలో ఒకదానిని కొన్ని సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించినా లేదా ఒక సమీకరణం మరొకదానికి జోడించబడినా సరళ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి మారదు.

గాస్ పద్ధతి (తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి) అంటే ప్రాథమిక పరివర్తనల సహాయంతో సిస్టమ్ దశల రకానికి సమానమైన వ్యవస్థకు తగ్గించబడుతుంది. మొదట, 1 వ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మేము తొలగిస్తాము xసిస్టమ్ యొక్క అన్ని తదుపరి సమీకరణాలలో 1. అప్పుడు, 2 వ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మేము తొలగిస్తాము x 3వ మరియు అన్ని తదుపరి సమీకరణాల నుండి 2. ఈ ప్రక్రియ, అంటారు ప్రత్యక్ష గాస్సియన్ పద్ధతి, చివరి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒక తెలియనిది మాత్రమే మిగిలి ఉండే వరకు కొనసాగుతుంది x n. దీని తరువాత ఇది జరుగుతుంది గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం- చివరి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం, మేము కనుగొంటాము x n; ఆ తర్వాత, ఈ విలువను ఉపయోగించి, చివరి సమీకరణం నుండి మనం గణిస్తాము x n-1, మొదలైనవి. మేము చివరిదాన్ని కనుగొంటాము xమొదటి సమీకరణం నుండి 1.

పరివర్తనలను సమీకరణాలతో కాకుండా, వాటి గుణకాల మాత్రికలతో చేయడం ద్వారా గాస్సియన్ పరివర్తనలను నిర్వహించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. మాతృకను పరిగణించండి:

అని పిలిచారు సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక,ఎందుకంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకతో పాటు, ఇది ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక యొక్క ప్రాథమిక వరుస రూపాంతరాలను (!) ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి (లేదా చతురస్రాకార వ్యవస్థల విషయంలో ట్రాపెజోయిడల్ రూపం) తగ్గించడంపై గాస్సియన్ పద్ధతి ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5.1.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం మరియు మొదటి వరుసను ఉపయోగించి, ఆ తర్వాత మేము మిగిలిన మూలకాలను రీసెట్ చేస్తాము:

మేము మొదటి నిలువు వరుసలో 2వ, 3వ మరియు 4వ వరుసలలో సున్నాలను పొందుతాము:

ఇప్పుడు మనకు 2వ అడ్డు వరుస క్రింద ఉన్న రెండవ నిలువు వరుసలోని అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు రెండవ పంక్తిని –4/7 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు దానిని 3 వ పంక్తికి జోడించవచ్చు. అయితే, భిన్నాలతో వ్యవహరించకుండా ఉండటానికి, రెండవ నిలువు వరుసలోని 2వ వరుసలో ఒక యూనిట్‌ని సృష్టిద్దాం మరియు మాత్రమే

ఇప్పుడు, త్రిభుజాకార మాతృకను పొందడానికి, మీరు 3వ నిలువు వరుస యొక్క నాల్గవ వరుస యొక్క మూలకాన్ని రీసెట్ చేయాలి; దీన్ని చేయడానికి, మీరు మూడవ వరుసను 8/54తో గుణించి, దానిని నాల్గవదానికి జోడించవచ్చు. అయితే, భిన్నాలతో వ్యవహరించకుండా ఉండటానికి, మేము 3వ మరియు 4వ వరుసలు మరియు 3వ మరియు 4వ నిలువు వరుసలను మార్చుకుంటాము మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే మేము పేర్కొన్న మూలకాన్ని రీసెట్ చేస్తాము. నిలువు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు, సంబంధిత వేరియబుల్స్ స్థలాలను మారుస్తాయని గమనించండి మరియు ఇది తప్పనిసరిగా గుర్తుంచుకోవాలి; నిలువు వరుసలతో ఇతర ప్రాథమిక పరివర్తనలు (సంఖ్య ద్వారా జోడించడం మరియు గుణించడం) చేయడం సాధ్యం కాదు!

చివరి సరళీకృత మాతృక అసలైన దానికి సమానమైన సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ నుండి, గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమాన్ని ఉపయోగించి, మేము నాల్గవ సమీకరణం నుండి కనుగొంటాము x 3 = –1; మూడవ నుండి x 4 = –2, రెండవది నుండి x 2 = 2 మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి x 1 = 1. మాతృక రూపంలో, సమాధానం ఇలా వ్రాయబడుతుంది

సిస్టమ్ ఖచ్చితంగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము, అనగా. ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉన్నప్పుడు. సిస్టమ్ అస్థిరంగా లేదా అనిశ్చితంగా ఉంటే ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం.

ఉదాహరణ 5.2.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి:

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి మారుస్తాము

మేము సమీకరణాల సరళీకృత వ్యవస్థను వ్రాస్తాము:

ఇక్కడ, చివరి సమీకరణంలో 0=4 అని తేలింది, అనగా. వైరుధ్యం. పర్యవసానంగా, వ్యవస్థకు పరిష్కారం లేదు, అనగా. ఆమె అననుకూలమైనది. à

ఉదాహరణ 5.3.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి మరియు పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి మారుస్తాము:

పరివర్తనల ఫలితంగా, చివరి పంక్తిలో సున్నాలు మాత్రమే ఉంటాయి. అంటే సమీకరణాల సంఖ్య ఒకటి తగ్గింది:

ఈ విధంగా, సరళీకరణల తర్వాత, రెండు సమీకరణాలు మిగిలి ఉన్నాయి మరియు నాలుగు తెలియనివి, అనగా. రెండు తెలియని "అదనపు". వాటిని "మితిమీరిన" గా ఉండనివ్వండి, లేదా, వారు చెప్పినట్లు, ఉచిత వేరియబుల్స్, రెడీ x 3 మరియు x 4 . అప్పుడు

నమ్మకం x 3 = 2aమరియు x 4 = బి, మాకు దొరికింది x 2 = 1–aమరియు x 1 = 2బి–a; లేదా మాతృక రూపంలో

ఈ విధంగా వ్రాసిన పరిష్కారం అంటారు సాధారణ, ఎందుకంటే, పారామితులను ఇవ్వడం aమరియు బివిభిన్న విలువలు, సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన పరిష్కారాలను వివరించవచ్చు. a