ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు
ఉదాహరణలు:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
ఘాతాంక సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి
ఏదైనా ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము దానిని \(a^(f(x))=a^(g(x))\) రూపంలోకి తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము, ఆపై ఘాతాంక సమానత్వానికి పరివర్తన చేస్తాము, అంటే:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
ఉదాహరణకి:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
ముఖ్యమైనది! అదే తర్కం నుండి, అటువంటి పరివర్తన కోసం రెండు అవసరాలు అనుసరించబడతాయి:
- సంఖ్య ఎడమ మరియు కుడి ఒకేలా ఉండాలి;
- ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న డిగ్రీలు తప్పనిసరిగా "స్వచ్ఛమైనవి", అంటే గుణకారం, భాగహారం మొదలైనవి ఉండకూడదు.
ఉదాహరణకి:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) రూపానికి సమీకరణాన్ని తగ్గించడానికి మరియు ఉపయోగించబడతాయి.
ఉదాహరణ
. ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
పరిష్కారం:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
\(27 = 3^3\) అని మాకు తెలుసు. దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, మేము సమీకరణాన్ని మారుస్తాము. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
మూలం యొక్క ఆస్తి ద్వారా \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) మేము దానిని పొందుతాము \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). తరువాత, డిగ్రీ యొక్క ఆస్తిని ఉపయోగించి \((a^b)^c=a^(bc)\), మేము \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ని పొందుతాము (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
\(a^b·a^c=a^(b+c)\) అని కూడా మనకు తెలుసు. దీన్ని ఎడమ వైపుకు వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
ఇప్పుడు గుర్తుంచుకోండి: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). ఈ సూత్రాన్ని వ్యతిరేక దిశలో కూడా ఉపయోగించవచ్చు: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). అప్పుడు \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\) |
ఆస్తిని \((a^b)^c=a^(bc)\) కుడి వైపుకు వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము: \((3^(-1))^(2x)=3^(-1) 2x) =3^(-2x)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\) |
మరియు ఇప్పుడు మా స్థావరాలు సమానంగా ఉన్నాయి మరియు అంతరాయం కలిగించే గుణకాలు మొదలైనవి లేవు. కాబట్టి మనం పరివర్తన చేయవచ్చు. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ఉదాహరణ
. ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
సమాధానం : \(-1; 1\). ప్రశ్న మిగిలి ఉంది - ఏ పద్ధతిని ఎప్పుడు ఉపయోగించాలో ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? ఇది అనుభవంతో వస్తుంది. మీరు దీన్ని అభివృద్ధి చేసే వరకు, సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ సిఫార్సును ఉపయోగించండి - "మీకు ఏమి చేయాలో తెలియకపోతే, మీరు చేయగలిగినది చేయండి." అంటే, మీరు సూత్రప్రాయంగా సమీకరణాన్ని ఎలా మార్చవచ్చో చూడండి మరియు దీన్ని చేయడానికి ప్రయత్నించండి - ఏమి జరిగితే? ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే గణిత ఆధారిత పరివర్తనలను మాత్రమే చేయడం. పరిష్కారాలు లేని ఘాతాంక సమీకరణాలువిద్యార్థులను తరచుగా గందరగోళపరిచే మరో రెండు పరిస్థితులను చూద్దాం: బ్రూట్ ఫోర్స్ ద్వారా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. x అనేది ధనాత్మక సంఖ్య అయితే, x పెరుగుతున్న కొద్దీ, మొత్తం శక్తి \(2^x\) మాత్రమే పెరుగుతుంది: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) ద్వారా కూడా. ప్రతికూల X లు మిగిలి ఉన్నాయి. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) ఆస్తిని గుర్తుంచుకోవడం, మేము తనిఖీ చేస్తాము: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) ప్రతి అడుగుతో సంఖ్య చిన్నదిగా మారినప్పటికీ, అది ఎప్పటికీ సున్నాకి చేరుకోదు. కాబట్టి ప్రతికూల డిగ్రీ మమ్మల్ని రక్షించలేదు. మేము తార్కిక ముగింపుకు వచ్చాము: ఏదైనా డిగ్రీకి ధనాత్మక సంఖ్య సానుకూల సంఖ్యగానే ఉంటుంది.కాబట్టి, పై రెండు సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు లేవు. విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన ఘాతాంక సమీకరణాలుఆచరణలో, కొన్నిసార్లు మేము ఒకదానికొకటి తగ్గించలేని విభిన్న స్థావరాలు మరియు అదే సమయంలో ఒకే ఘాతాంకాలతో ఘాతాంక సమీకరణాలను ఎదుర్కొంటాము. అవి ఇలా కనిపిస్తాయి: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), ఇక్కడ \(a\) మరియు \(b\) ధనాత్మక సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి: \(7^(x)=11^(x)\) అటువంటి సమీకరణాలను సమీకరణంలోని ఏదైనా భుజాల ద్వారా విభజించడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు (సాధారణంగా కుడి వైపు, అంటే \(b^(f(x))\) ద్వారా భాగించబడుతుంది. మీరు ఈ విధంగా విభజించవచ్చు ఎందుకంటే సానుకూల సంఖ్య ఏదైనా శక్తికి అనుకూలమైనది (అనగా, మేము సున్నాతో విభజించము) మనం పొందుతాము: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) ఉదాహరణ
. ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
సమాధానం : \(-7\). కొన్నిసార్లు ఘాతాంకాల యొక్క "సమానత్వం" స్పష్టంగా ఉండదు, కానీ ఘాతాంకాల లక్షణాలను నైపుణ్యంగా ఉపయోగించడం ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది. ఉదాహరణ
. ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
సమాధానం : \(2\). |
చాలా గణిత సమస్యలను ఒక విధంగా లేదా మరొక విధంగా పరిష్కరించడం అనేది సంఖ్యా, బీజగణిత లేదా క్రియాత్మక వ్యక్తీకరణలను మార్చడం. పైన పేర్కొన్నది ప్రత్యేకంగా నిర్ణయానికి వర్తిస్తుంది. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క సంస్కరణల్లో, ఈ రకమైన సమస్య ముఖ్యంగా టాస్క్ C3ని కలిగి ఉంటుంది. C3 టాస్క్లను పరిష్కరించడం నేర్చుకోవడం అనేది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి మాత్రమే కాకుండా, ఉన్నత పాఠశాలలో గణిత కోర్సు చదివేటప్పుడు ఈ నైపుణ్యం ఉపయోగపడుతుంది.
C3 పనులను పూర్తి చేసేటప్పుడు, మీరు వివిధ రకాల సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించాలి. వాటిలో హేతుబద్ధమైన, అహేతుక, ఘాతాంక, సంవర్గమాన, త్రికోణమితి, మాడ్యూల్స్ (సంపూర్ణ విలువలు) కలిగి ఉంటాయి, అలాగే మిళితమైనవి. ఈ వ్యాసం ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతల యొక్క ప్రధాన రకాలను అలాగే వాటిని పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను చర్చిస్తుంది. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ నుండి C3 సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులకు అంకితమైన కథనాలలో "" విభాగంలో ఇతర రకాల సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం గురించి చదవండి.
మేము నిర్దిష్టంగా విశ్లేషించడానికి ముందు ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు, గణిత బోధకునిగా, మాకు అవసరమైన కొన్ని సైద్ధాంతిక విషయాలను బ్రష్ చేయమని నేను మీకు సూచిస్తున్నాను.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి?
రూపం యొక్క ఫంక్షన్ వై = ఒక x, ఎక్కడ a> 0 మరియు a≠ 1 అంటారు ఘాతాంక విధి.
ప్రాథమిక ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు వై = ఒక x:
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఘాతాంకం:
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్లు (ఘాతాంకాలు)
ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
సూచికతెలియని వేరియబుల్ కొన్ని శక్తుల ఘాతాంకాలలో మాత్రమే కనుగొనబడే సమీకరణాలు అంటారు.
పరిష్కారాల కోసం ఘాతాంక సమీకరణాలుమీరు ఈ క్రింది సాధారణ సిద్ధాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి మరియు ఉపయోగించగలగాలి:
సిద్ధాంతం 1.ఘాతాంక సమీకరణం a f(x) = a g(x) (ఎక్కడ a > 0, a≠ 1) సమీకరణానికి సమానం f(x) = g(x).
అదనంగా, డిగ్రీలతో ప్రాథమిక సూత్రాలు మరియు కార్యకలాపాలను గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:
శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది">!}
ఉదాహరణ 1.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:మేము పై సూత్రాలు మరియు ప్రత్యామ్నాయాలను ఉపయోగిస్తాము:
అప్పుడు సమీకరణం అవుతుంది:
ఫలిత వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష సానుకూలంగా ఉంటుంది:
శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది">!}
అంటే ఈ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి. మేము వాటిని కనుగొంటాము:
రివర్స్ సబ్స్టిట్యూషన్కు వెళితే, మనకు లభిస్తుంది:
డెఫినిషన్ యొక్క మొత్తం డొమైన్లో ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉన్నందున రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. రెండవదాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
సిద్ధాంతం 1లో చెప్పబడిన వాటిని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము సమానమైన సమీకరణానికి వెళ్తాము: x= 3. ఇది పనికి సమాధానంగా ఉంటుంది.
సమాధానం: x = 3.
ఉదాహరణ 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:సమీకరణానికి అనుమతించదగిన విలువల శ్రేణిపై ఎటువంటి పరిమితులు లేవు, ఎందుకంటే రాడికల్ వ్యక్తీకరణ ఏదైనా విలువకు అర్ధమే. x(ఘాతాంక విధి వై = 9 4 -xసానుకూల మరియు సున్నాకి సమానం కాదు).
గుణకారం మరియు అధికారాల విభజన నియమాలను ఉపయోగించి సమానమైన పరివర్తనల ద్వారా మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
చివరి పరివర్తన సిద్ధాంతం 1 ప్రకారం జరిగింది.
సమాధానం:x= 6.
ఉదాహరణ 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 0.2 ద్వారా విభజించవచ్చు x. ఏ విలువకైనా ఈ వ్యక్తీకరణ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున ఈ పరివర్తన సమానంగా ఉంటుంది x(ఘాతాంక ఫంక్షన్ దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్లో ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంటుంది). అప్పుడు సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
సమాధానం: x = 0.
ఉదాహరణ 4.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:వ్యాసం ప్రారంభంలో ఇవ్వబడిన అధికారాల విభజన మరియు గుణకారం యొక్క నియమాలను ఉపయోగించి సమానమైన పరివర్తనల ద్వారా మేము సమీకరణాన్ని ప్రాథమికంగా సరళీకృతం చేస్తాము:
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4 ద్వారా విభజించడం x, మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, సమానమైన రూపాంతరం, ఎందుకంటే ఈ వ్యక్తీకరణ ఏ విలువలకు సున్నాకి సమానం కాదు x.
సమాధానం: x = 0.
ఉదాహరణ 5.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:ఫంక్షన్ వై = 3x, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున నిలబడి, పెరుగుతోంది. ఫంక్షన్ వై = —xసమీకరణం యొక్క కుడి వైపున -2/3 తగ్గుతోంది. దీనర్థం ఈ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్లు కలుస్తుంటే, గరిష్టంగా ఒక పాయింట్ వద్ద. ఈ సందర్భంలో, గ్రాఫ్లు పాయింట్లో కలుస్తాయని ఊహించడం సులభం x= -1. వేరే మూలాలు ఉండవు.
సమాధానం: x = -1.
ఉదాహరణ 6.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:ఏ విలువకైనా ఘాతాంక ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని ప్రతిచోటా దృష్టిలో ఉంచుకుని సమానమైన పరివర్తనల ద్వారా మేము సమీకరణాన్ని సులభతరం చేస్తాము xమరియు వ్యాసం ప్రారంభంలో ఇవ్వబడిన అధికారాల ఉత్పత్తి మరియు పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి నియమాలను ఉపయోగించడం:
సమాధానం: x = 2.
ఘాతాంక అసమానతలను పరిష్కరించడం
సూచికతెలియని వేరియబుల్ కొన్ని శక్తుల ఘాతాంకాలలో మాత్రమే ఉండే అసమానతలు అంటారు.
పరిష్కారాల కోసం ఘాతాంక అసమానతలుకింది సిద్ధాంతం యొక్క జ్ఞానం అవసరం:
సిద్ధాంతం 2.ఉంటే a> 1, తర్వాత అసమానత a f(x) > a g(x) అదే అర్థం యొక్క అసమానతకు సమానం: f(x) > g(x) 0 అయితే< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) వ్యతిరేక అర్థంతో అసమానతతో సమానం: f(x) < g(x).
ఉదాహరణ 7.అసమానతలను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:అసలు అసమానతను రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము:
ఈ అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 3 2 ద్వారా విభజించండి x, ఈ సందర్భంలో (ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత కారణంగా వై= 3 2x) అసమానత గుర్తు మారదు:
ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
అప్పుడు అసమానత రూపం తీసుకుంటుంది:
కాబట్టి, అసమానతకు పరిష్కారం విరామం:
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయానికి వెళితే, మనకు లభిస్తుంది:
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత కారణంగా, ఎడమ అసమానత స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది. సంవర్గమానం యొక్క బాగా తెలిసిన ఆస్తిని ఉపయోగించి, మేము సమానమైన అసమానతకి వెళ్తాము:
డిగ్రీ యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువ సంఖ్య అయినందున, సమానమైన (సిద్ధాంతము 2 ద్వారా) క్రింది అసమానతకు పరివర్తన అవుతుంది:
కాబట్టి, మేము చివరకు పొందుతాము సమాధానం:
ఉదాహరణ 8.అసమానతలను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:గుణకారం మరియు శక్తుల విభజన యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము అసమానతను రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము:
కొత్త వేరియబుల్ని పరిచయం చేద్దాం:
ఈ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అసమానత రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం 7 ద్వారా గుణించడం, మేము క్రింది సమానమైన అసమానతను పొందుతాము:
కాబట్టి, వేరియబుల్ యొక్క క్రింది విలువలు అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి t:
అప్పుడు, రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయానికి వెళితే, మనకు లభిస్తుంది:
ఇక్కడ డిగ్రీ యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, అసమానతకు పరివర్తన సమానంగా ఉంటుంది (సిద్ధాంతము 2 ద్వారా):
చివరకు మనకు లభిస్తుంది సమాధానం:
ఉదాహరణ 9.అసమానతలను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:
మేము వ్యక్తీకరణ ద్వారా అసమానత యొక్క రెండు వైపులా విభజిస్తాము:
ఇది ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత కారణంగా), కాబట్టి అసమానత గుర్తును మార్చవలసిన అవసరం లేదు. మాకు దొరికింది:
t విరామంలో ఉంది:
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం వైపు వెళుతున్నప్పుడు, అసలు అసమానత రెండు సందర్భాలలో విడిపోయిందని మేము కనుగొన్నాము:
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత కారణంగా మొదటి అసమానతకి పరిష్కారాలు లేవు. రెండవదాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
ఉదాహరణ 10.అసమానతలను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం:
పారాబోలా శాఖలు వై = 2x+2-x 2 క్రిందికి మళ్లించబడ్డాయి, కాబట్టి ఇది దాని శీర్షంలో చేరే విలువ ద్వారా పై నుండి పరిమితం చేయబడింది:
పారాబోలా శాఖలు వై = x 2 -2xసూచికలోని +2 పైకి మళ్లించబడింది, అంటే అది దాని శీర్షంలో చేరే విలువ ద్వారా దిగువ నుండి పరిమితం చేయబడింది:
అదే సమయంలో, ఫంక్షన్ కూడా దిగువ నుండి కట్టుబడి ఉంటుంది వై = 3 x 2 -2x+2, ఇది సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉంది. ఇది ఘాతాంకంలోని పారాబొలా వలె అదే పాయింట్ వద్ద దాని అతి చిన్న విలువను చేరుకుంటుంది మరియు ఈ విలువ 3 1 = 3. కాబట్టి, ఎడమ వైపున ఉన్న ఫంక్షన్ మరియు కుడి వైపున ఉన్న ఫంక్షన్ విలువను తీసుకుంటే మాత్రమే అసలు అసమానత నిజమవుతుంది. , 3కి సమానం (ఈ ఫంక్షన్ల విలువల పరిధుల ఖండన ఈ సంఖ్య మాత్రమే). ఈ పరిస్థితి ఒకే పాయింట్ వద్ద సంతృప్తి చెందుతుంది x = 1.
సమాధానం: x= 1.
నిర్ణయించుకోవడం నేర్చుకోవడానికి ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు,వాటిని పరిష్కరించడంలో నిరంతరం శిక్షణ పొందడం అవసరం. వివిధ బోధనా సహాయాలు, ప్రాథమిక గణితంలో సమస్య పుస్తకాలు, పోటీ సమస్యల సేకరణలు, పాఠశాలలో గణిత తరగతులు, అలాగే ప్రొఫెషనల్ ట్యూటర్తో వ్యక్తిగత పాఠాలు ఈ కష్టమైన పనిలో మీకు సహాయపడతాయి. మీ ప్రిపరేషన్లో మీరు విజయం సాధించాలని మరియు పరీక్షలో అద్భుతమైన ఫలితాలను పొందాలని నేను హృదయపూర్వకంగా కోరుకుంటున్నాను.
సెర్గీ వాలెరివిచ్
P.S. ప్రియమైన అతిథులారా! దయచేసి వ్యాఖ్యలలో మీ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అభ్యర్థనలను వ్రాయవద్దు. దురదృష్టవశాత్తు, దీని కోసం నాకు ఖచ్చితంగా సమయం లేదు. అలాంటి సందేశాలు తొలగించబడతాయి. దయచేసి కథనాన్ని చదవండి. మీ పనిని మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించని ప్రశ్నలకు మీరు బహుశా సమాధానాలను కనుగొంటారు.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ a కి సమానమైన n సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సాధారణీకరణ:
వై (n) = a n = a·a·a··a,
వాస్తవ సంఖ్యల సమితికి x:
వై (x) = గొడ్డలి.
ఇక్కడ a అనేది స్థిరమైన వాస్తవ సంఖ్య, దీనిని అంటారు ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారం.
బేస్ aతో కూడిన ఘాతాంక విధిని కూడా అంటారు ఆధారం నుండి ఘాతాంకం a.
సాధారణీకరణ క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది.
సహజ x = కోసం 1, 2, 3,...
, ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అనేది x కారకాల ఉత్పత్తి:
.
అంతేకాకుండా, ఇది లక్షణాలను కలిగి ఉంది (1.5-8) (), ఇది సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమాల నుండి అనుసరిస్తుంది. పూర్ణాంకాల యొక్క సున్నా మరియు ప్రతికూల విలువల కోసం, ఘాతాంక ఫంక్షన్ సూత్రాలను (1.9-10) ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది. పాక్షిక విలువలకు x = m/n హేతుబద్ధ సంఖ్యలు, , ఇది ఫార్ములా (1.11) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. వాస్తవం కోసం, ఘాతాంక ఫంక్షన్ క్రమం యొక్క పరిమితిగా నిర్వచించబడింది:
,
x:కి కలుస్తున్న హేతుబద్ధ సంఖ్యల యొక్క ఏకపక్ష క్రమం ఎక్కడ ఉంది.
ఈ నిర్వచనంతో, ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అందరికీ నిర్వచించబడింది మరియు సహజ x కోసం లక్షణాలను (1.5-8) సంతృప్తిపరుస్తుంది.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు దాని లక్షణాల రుజువు యొక్క కఠినమైన గణిత సూత్రీకరణ "ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాల నిర్వచనం మరియు రుజువు" పేజీలో ఇవ్వబడింది.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు
ఘాతాంక ఫంక్షన్ y = a x వాస్తవ సంఖ్యల సెట్లో క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది ():
(1.1)
నిర్వచించబడిన మరియు నిరంతర, కోసం , అందరికీ ;
(1.2)
ఒక ≠ కోసం 1
అనేక అర్ధాలు ఉన్నాయి;
(1.3)
వద్ద ఖచ్చితంగా పెరుగుతుంది, వద్ద ఖచ్చితంగా తగ్గుతుంది,
వద్ద స్థిరంగా ఉంటుంది;
(1.4)
వద్ద ;
వద్ద ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
ఇతర ఉపయోగకరమైన సూత్రాలు.
.
వేరే ఘాతాంకం బేస్తో ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్కి మార్చడానికి ఫార్ములా:
b = e అయినప్పుడు, ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను ఎక్స్పోనెన్షియల్ ద్వారా పొందుతాము:
ప్రైవేట్ విలువలు
, , , , .
ఫిగర్ ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్లను చూపుతుంది
వై (x) = గొడ్డలి
నాలుగు విలువల కోసం డిగ్రీ స్థావరాలు: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
మరియు a = 1/8
. ఇది ఒక > కోసం చూడవచ్చు 1
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మోనోటోనికల్గా పెరుగుతుంది. డిగ్రీ a యొక్క పెద్ద పునాది, బలమైన పెరుగుదల. వద్ద 0
< a < 1
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మోనోటోనికల్గా తగ్గుతుంది. చిన్న ఘాతాంకం a, తగ్గుదల బలంగా ఉంటుంది.
ఆరోహణ, అవరోహణ
కోసం ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా మోనోటోనిక్ మరియు అందువల్ల ఎక్స్ట్రీమా లేదు. దీని ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
y = a x , a > 1 | y = గొడ్డలి, 0 < a < 1 | |
డొమైన్ | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
విలువల పరిధి | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
మోనోటోన్ | ఏకధాటిగా పెరుగుతుంది | ఏకధాటిగా తగ్గుతుంది |
సున్నాలు, y = 0 | నం | నం |
ఆర్డినేట్ అక్షంతో బిందువులను అడ్డగించు, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
విలోమ ఫంక్షన్
బేస్ aతో ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క విలోమం a బేస్ చేయడానికి సంవర్గమానం.
ఉంటే, అప్పుడు
.
ఉంటే, అప్పుడు
.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క భేదం
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ను వేరు చేయడానికి, దాని ఆధారాన్ని తప్పనిసరిగా సంఖ్య eకి తగ్గించాలి, డెరివేటివ్ల పట్టికను మరియు కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ను వేరు చేయడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి.
దీన్ని చేయడానికి మీరు లాగరిథమ్ల లక్షణాన్ని ఉపయోగించాలి
మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి సూత్రం:
.
ఘాతాంక విధిని ఇవ్వనివ్వండి:
.
మేము దానిని బేస్ ఇకి తీసుకువస్తాము:
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్ను పరిచయం చేయండి
అప్పుడు
మేము కలిగి ఉన్న ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి (వేరియబుల్ xని zతో భర్తీ చేయండి):
.
స్థిరాంకం కనుక, xకి సంబంధించి z యొక్క ఉత్పన్నం సమానం
.
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం:
.
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
.
n వ ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం:
.
సూత్రాలను పొందడం >>>
ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ను భేదించే ఉదాహరణ
ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
y = 3 5 x
పరిష్కారం
ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారాన్ని సంఖ్య e ద్వారా వ్యక్తపరుద్దాం.
3 = ఇ ఎల్ఎన్ 3
అప్పుడు
.
వేరియబుల్ని నమోదు చేయండి
.
అప్పుడు
ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి మనం కనుగొంటాము:
.
ఎందుకంటే 5ln 3స్థిరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు xకి సంబంధించి z యొక్క ఉత్పన్నం దీనికి సమానం:
.
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
.
సమాధానం
సమగ్ర
సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలు
సంక్లిష్ట సంఖ్య ఫంక్షన్ను పరిగణించండి z:
f (z) = a z
ఇక్కడ z = x + iy; i 2 = - 1
.
మాడ్యులస్ r మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ φ పరంగా సంక్లిష్ట స్థిరాంకం aని వ్యక్తపరుస్తాము:
a = r e i φ
అప్పుడు
.
వాదన φ ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడలేదు. సాధారణంగా
φ = φ 0 + 2 πn,
ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం. కాబట్టి ఫంక్షన్ f (z)అనేది కూడా స్పష్టంగా లేదు. దీని ప్రధాన ప్రాముఖ్యత తరచుగా పరిగణించబడుతుంది
.
సిరీస్ విస్తరణ
.
ప్రస్తావనలు:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్బుక్, "లాన్", 2009.
మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం
వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.
మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.
మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:
- మీరు సైట్లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:
- మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్లు మరియు ఇతర ఈవెంట్లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
- ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
- మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.
మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం
మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.
మినహాయింపులు:
- అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
- పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.
కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం
మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.
చివరి పరీక్షకు సన్నద్ధమయ్యే దశలో, హైస్కూల్ విద్యార్థులు "ఎక్స్పోనెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్" అనే అంశంపై తమ జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవాలి. ఇటువంటి పనులు పాఠశాల పిల్లలకు కొన్ని ఇబ్బందులను కలిగిస్తాయని గత సంవత్సరాల అనుభవం సూచిస్తుంది. అందువల్ల, ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులు, వారి తయారీ స్థాయితో సంబంధం లేకుండా, సిద్ధాంతాన్ని పూర్తిగా నేర్చుకోవాలి, సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవాలి మరియు అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించే సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ రకమైన సమస్యను ఎదుర్కోవడం నేర్చుకున్న తరువాత, గ్రాడ్యుయేట్లు గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్లో ఉత్తీర్ణత సాధించేటప్పుడు అధిక స్కోర్లను లెక్కించవచ్చు.
Shkolkovoతో పరీక్ష పరీక్ష కోసం సిద్ధంగా ఉండండి!
వారు కవర్ చేసిన పదార్థాలను సమీక్షించేటప్పుడు, చాలా మంది విద్యార్థులు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన సూత్రాలను కనుగొనడంలో సమస్యను ఎదుర్కొంటారు. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకం ఎల్లప్పుడూ చేతిలో ఉండదు మరియు ఇంటర్నెట్లో ఒక అంశంపై అవసరమైన సమాచారాన్ని ఎంచుకోవడానికి చాలా సమయం పడుతుంది.
Shkolkovo ఎడ్యుకేషనల్ పోర్టల్ మా నాలెడ్జ్ బేస్ని ఉపయోగించమని విద్యార్థులను ఆహ్వానిస్తుంది. తుది పరీక్షకు సిద్ధమయ్యేలా పూర్తిగా కొత్త పద్ధతిని అమలు చేస్తున్నాం. మా వెబ్సైట్లో అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, మీరు జ్ఞానంలో అంతరాలను గుర్తించగలరు మరియు చాలా కష్టాలను కలిగించే పనులకు శ్రద్ధ చూపగలరు.
ష్కోల్కోవో ఉపాధ్యాయులు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి అవసరమైన అన్ని విషయాలను సేకరించి, క్రమబద్ధీకరించారు మరియు సరళమైన మరియు అత్యంత ప్రాప్యత రూపంలో సమర్పించారు.
ప్రాథమిక నిర్వచనాలు మరియు సూత్రాలు "సైద్ధాంతిక నేపథ్యం" విభాగంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
మెటీరియల్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు అసైన్మెంట్లను పూర్తి చేయడం ప్రాక్టీస్ చేయాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. గణన అల్గారిథమ్ను అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పేజీలో అందించిన పరిష్కారాలతో ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలను జాగ్రత్తగా సమీక్షించండి. ఆ తరువాత, "డైరెక్టరీలు" విభాగంలో పనులను నిర్వహించడానికి కొనసాగండి. మీరు సులభమైన పనులతో ప్రారంభించవచ్చు లేదా అనేక తెలియని వాటితో సంక్లిష్టమైన ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నేరుగా వెళ్లవచ్చు లేదా . మా వెబ్సైట్లోని వ్యాయామాల డేటాబేస్ నిరంతరం అనుబంధంగా మరియు నవీకరించబడుతుంది.
మీకు ఇబ్బందులు కలిగించిన సూచికలతో ఉన్న ఉదాహరణలు "ఇష్టమైనవి"కి జోడించబడతాయి. ఈ విధంగా మీరు వాటిని త్వరగా కనుగొనవచ్చు మరియు మీ గురువుతో పరిష్కారాన్ని చర్చించవచ్చు.
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి, ప్రతిరోజూ ష్కోల్కోవో పోర్టల్లో అధ్యయనం చేయండి!