ఆన్‌లైన్‌లో సాధ్యమయ్యే అన్ని సంఖ్యల కలయికలను చేయండి. కాంబినేటరిక్స్: ప్రాథమిక నియమాలు మరియు సూత్రాలు

సాధారణ రూపంలో ఇచ్చిన సెట్ నుండి నమూనాల సంఖ్యను లెక్కించే సమస్యను పరిశీలిద్దాం. కొంత సెట్ ఉండనివ్వండి ఎన్, కలిగి n అంశాలు. ఏదైనా ఉపసమితి కలిగి ఉంటుంది m మూలకాలను వాటి క్రమాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా పరిగణించవచ్చు లేదా దానిని పరిగణనలోకి తీసుకోవచ్చు, అనగా. క్రమాన్ని మార్చేటప్పుడు, మరొకదానికి తరలించండి m- నమూనా.

కింది నిర్వచనాలను రూపొందిద్దాం:

పునరావృతం లేకుండా నియామకాలు

పునరావృతం లేకుండా ప్లేస్‌మెంట్n ద్వారా అంశాలుm ఎన్కలిగి ఉందిmవివిధ అంశాలు.

నిర్వచనం నుండి రెండు ఏర్పాట్లు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి, వాటి మూలకాలలో మరియు వాటి క్రమంలో, మూలకాలు ఒకేలా ఉన్నప్పటికీ.

సిద్ధాంతం 3. పునరావృతం లేకుండా ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్య ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది m కారకాలు, వీటిలో అతిపెద్దది సంఖ్య n . వ్రాయండి:

పునరావృతం లేకుండా ప్రస్తారణలు

నుండి ప్రస్తారణలుn మూలకాలను సెట్ యొక్క విభిన్న క్రమాలు అంటారుఎన్.

ఈ నిర్వచనం నుండి, రెండు ప్రస్తారణలు మూలకాల క్రమంలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి మరియు వాటిని ప్లేస్‌మెంట్‌ల ప్రత్యేక సందర్భంగా పరిగణించవచ్చు.

సిద్ధాంతం 4. పునరావృతం లేకుండా వివిధ ప్రస్తారణల సంఖ్య సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది

పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికలు

పునరావృతం లేకుండా కలయికn ద్వారా అంశాలుm ఒక సెట్ యొక్క ఏదైనా క్రమం లేని ఉపసమితి అంటారుఎన్కలిగి ఉందిm వివిధ అంశాలు.

నిర్వచనం ప్రకారం, రెండు కలయికలు మూలకాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి;

సిద్ధాంతం 5. పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికల సంఖ్య క్రింది సూత్రాలలో ఒకదానిని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

ఉదాహరణ 1. గదిలో 5 కుర్చీలు ఉన్నాయి. మీరు వాటిని ఎన్ని మార్గాల్లో ఉంచవచ్చు?

ఎ) 7 మంది వ్యక్తులు; బి) 5 మంది; సి) 3 వ్యక్తులు?

పరిష్కారం:ఎ) ముందుగా, మీరు కుర్చీలపై కూర్చోవడానికి 7 మందిలో 5 మందిని ఎంచుకోవాలి. ఇది చేయవచ్చు
మార్గం. నిర్దిష్ట ఐదు ఎంపికలతో, మీరు ఉత్పత్తి చేయవచ్చు
పునర్వ్యవస్థీకరణలు. గుణకార సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవసరమైన ల్యాండింగ్ పద్ధతుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.

వ్యాఖ్య:ఉత్పత్తి సిద్ధాంతాన్ని మాత్రమే ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు, ఈ క్రింది విధంగా తార్కికం చేయవచ్చు: 1 వ కుర్చీలో కూర్చోవడానికి 7 ఎంపికలు ఉన్నాయి, 2 వ కుర్చీలో 6 ఎంపికలు ఉన్నాయి, 3 వ -5, 4 వ -4 మరియు 5- వ -3. అప్పుడు 5 కుర్చీలపై 7 మందిని కూర్చోబెట్టే మార్గాల సంఖ్య. రెండు పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కారాలు స్థిరంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే

బి) పరిష్కారం స్పష్టంగా ఉంది -

V) - ఆక్రమిత కుర్చీల ఎన్నికల సంఖ్య.

- ఎంచుకున్న మూడు కుర్చీలపై ముగ్గురు వ్యక్తుల సీట్ల సంఖ్య.

మొత్తం ఎన్నికల సంఖ్య.

సూత్రాలను తనిఖీ చేయడం కష్టం కాదు
;

;

కలిగి ఉన్న సమితి యొక్క అన్ని ఉపసమితుల సంఖ్య nఅంశాలు.

పునరావృత నియామకాలు

నుండి పునరావృతంతో ఉంచడం ద్వారాn ద్వారా అంశాలుm సెట్ యొక్క ప్రతి ఆర్డర్ ఉపసమితి అంటారుఎన్, కలిగిm మూలకాలు 1 నుండి ఈ ఉపసమితిలో ఏదైనా మూలకాన్ని చేర్చవచ్చుmసార్లు, లేదా పూర్తిగా దూరంగా ఉండండి.

పునరావృతంతో ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్య దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇది గుణకార సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామం:

ఉదాహరణ 2. N = (a, b, c) మూడు అక్షరాల సమితిగా ఉండనివ్వండి. ఈ సెట్‌లో చేర్చబడిన ఏదైనా అక్షరాల సమితిని పదం అని పిలుద్దాం. ఈ అక్షరాల నుండి తయారు చేయగల పొడవు 2 పదాల సంఖ్యను కనుగొనండి:
.

వ్యాఖ్య:సహజంగానే, రిపీట్‌తో ప్లేస్‌మెంట్‌లు ఎప్పుడు కూడా పరిగణించబడతాయి
.

ఉదాహరణ 3. పొడవు గల అన్ని పదాలను సృష్టించడానికి మీరు అక్షరాలను (a, b) ఉపయోగించాలి 3. దీన్ని ఎన్ని విధాలుగా చేయవచ్చు?

సమాధానం:

ఈ వ్యాసంలో మేము కాంబినేటరిక్స్ అని పిలువబడే గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యేక విభాగం గురించి మాట్లాడుతాము. సూత్రాలు, నియమాలు, సమస్య పరిష్కార ఉదాహరణలు - మీరు కథనాన్ని చివరి వరకు చదవడం ద్వారా ఇక్కడ అన్నింటినీ కనుగొనవచ్చు.

కాబట్టి ఈ విభాగం ఏమిటి? కాంబినేటరిక్స్ ఏదైనా వస్తువులను లెక్కించే సమస్యతో వ్యవహరిస్తుంది. కానీ ఈ సందర్భంలో, వస్తువులు రేగు, బేరి లేదా ఆపిల్ల కాదు, కానీ ఏదో. కాంబినేటరిక్స్ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడంలో మాకు సహాయపడుతుంది. ఉదాహరణకు, కార్డులు ఆడుతున్నప్పుడు - ప్రత్యర్థి ట్రంప్ కార్డును కలిగి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి? లేదా ఈ ఉదాహరణ: ఇరవై గోళీల సంచి నుండి మీరు తెల్లటి రంగును పొందే సంభావ్యత ఏమిటి? ఈ రకమైన సమస్య కోసం మనం కనీసం ఈ గణిత శాఖ యొక్క ప్రాథమికాలను తెలుసుకోవాలి.

కాంబినేటోరియల్ కాన్ఫిగరేషన్‌లు

కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక భావనలు మరియు సూత్రాల సమస్యను పరిశీలిస్తే, మేము కాంబినేటోరియల్ కాన్ఫిగరేషన్‌లకు శ్రద్ధ చూపలేము. అవి సూత్రీకరించడానికి మాత్రమే కాకుండా, అటువంటి నమూనాల ఉదాహరణలు పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగించబడతాయి:

• వసతి;
• పునర్వ్యవస్థీకరణ;
• కలయిక;
• సంఖ్య కూర్పు;
• ఒక సంఖ్యను విభజించడం.

మేము మొదటి మూడు గురించి మరింత వివరంగా తరువాత మాట్లాడుతాము, అయితే ఈ విభాగంలో కూర్పు మరియు విభజనపై మేము శ్రద్ధ చూపుతాము. వారు నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క కూర్పు గురించి మాట్లాడినప్పుడు (ఉదాహరణకు, a), నిర్దిష్ట సానుకూల సంఖ్యల యొక్క ఆర్డర్ మొత్తంగా a సంఖ్యను సూచించడం అని అర్థం. మరియు విభజన అనేది క్రమం లేని మొత్తం.

విభాగాలు

మేము కాంబినేటరిక్స్ యొక్క సూత్రాలకు మరియు సమస్యల పరిశీలనకు నేరుగా వెళ్లడానికి ముందు, గణితశాస్త్రంలోని ఇతర శాఖల మాదిరిగానే కాంబినేటరిక్స్ దాని స్వంత ఉపవిభాగాలను కలిగి ఉన్నాయనే దానిపై దృష్టి పెట్టడం విలువ. వీటితొ పాటు:

• గణన;
• నిర్మాణ;
• తీవ్రమైన;
• రామ్సే సిద్ధాంతం;
• సంభావ్యత;
• టోపోలాజికల్;
• అనంతమైన.

మొదటి సందర్భంలో, మేము సమితుల మూలకాల ద్వారా ఏర్పడిన వివిధ కాన్ఫిగరేషన్‌ల గణన లేదా గణనను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. నియమం ప్రకారం, ఈ సెట్‌లపై కొన్ని పరిమితులు విధించబడతాయి (విలక్షణత, అస్పష్టత, పునరావృతమయ్యే అవకాశం మొదలైనవి). మరియు ఈ కాన్ఫిగరేషన్ల సంఖ్య అదనంగా లేదా గుణకారం యొక్క నియమాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇది మేము కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము. స్ట్రక్చరల్ కాంబినేటరిక్స్‌లో గ్రాఫ్‌లు మరియు మాట్రాయిడ్‌ల సిద్ధాంతాలు ఉంటాయి. తీవ్రమైన కాంబినేటరిక్స్ సమస్యకు ఉదాహరణ ఏమిటంటే, కింది లక్షణాలను సంతృప్తిపరిచే గ్రాఫ్ యొక్క అతిపెద్ద పరిమాణం ఏమిటి... నాల్గవ పేరాలో, యాదృచ్ఛిక కాన్ఫిగరేషన్‌లలో సాధారణ నిర్మాణాల ఉనికిని అధ్యయనం చేసే రామ్‌సే సిద్ధాంతాన్ని మేము ప్రస్తావించాము. ప్రాబబిలిస్టిక్ కాంబినేటరిక్స్ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వగలదు - ఇచ్చిన సెట్‌కు నిర్దిష్ట ఆస్తి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి. మీరు ఊహించినట్లుగా, టోపోలాజికల్ కాంబినేటరిక్స్ టోపోలాజీలో పద్ధతులను వర్తింపజేస్తుంది. చివరకు, ఏడవ పాయింట్ - ఇన్ఫినిటరీ కాంబినేటరిక్స్ అనంతమైన సెట్‌లకు కాంబినేటరిక్స్ పద్ధతుల అనువర్తనాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది.

అదనపు నియమం

కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలలో మీరు చాలా సరళమైన వాటిని కనుగొనవచ్చు, వాటితో మాకు చాలా కాలంగా సుపరిచితం. ఒక ఉదాహరణ మొత్తం నియమం. మనకు రెండు చర్యలు (C మరియు E) ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం, అవి పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి అయితే, C చర్యను అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు (ఉదాహరణకు, a), మరియు చర్య Eని b-మార్గాలలో నిర్వహించవచ్చు, అప్పుడు వాటిలో ఏదైనా ( C లేదా E) a + b మార్గాలలో నిర్వహించవచ్చు .

సిద్ధాంతంలో, ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం; మేము ఒక సాధారణ ఉదాహరణతో మొత్తం విషయాన్ని తెలియజేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. ఒక తరగతిలో సగటు విద్యార్థుల సంఖ్యను తీసుకుందాం - ఇరవై ఐదు అని అనుకుందాం. వారిలో పదిహేను మంది అమ్మాయిలు, పది మంది అబ్బాయిలు ఉన్నారు. డ్యూటీలో ఉన్న వ్యక్తిని ప్రతిరోజూ తరగతికి కేటాయించారు. ఈరోజు క్లాస్ మానిటర్‌ని నియమించడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి? సమస్యకు పరిష్కారం చాలా సులభం; మేము అదనపు నియమాన్ని ఆశ్రయిస్తాము. సమస్య యొక్క పాఠం అబ్బాయిలు మాత్రమే లేదా అమ్మాయిలు మాత్రమే డ్యూటీలో ఉండవచ్చని చెప్పలేదు. అందువల్ల, అది పదిహేను మంది అమ్మాయిలలో ఎవరైనా కావచ్చు లేదా పది మంది అబ్బాయిలలో ఎవరైనా కావచ్చు. మొత్తం నియమాన్ని వర్తింపజేస్తే, ప్రాథమిక పాఠశాల విద్యార్థి సులభంగా నిర్వహించగల సరళమైన ఉదాహరణను మేము పొందుతాము: 15 + 10. లెక్కించిన తర్వాత, మనకు సమాధానం వస్తుంది: ఇరవై ఐదు. అంటే, ఈ రోజు డ్యూటీకి తరగతిని కేటాయించడానికి ఇరవై ఐదు మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

గుణకార నియమం

కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు గుణకార నియమాన్ని కూడా కలిగి ఉంటాయి. సిద్ధాంతంతో ప్రారంభిద్దాం. మేము అనేక చర్యలను (a) చేయవలసి ఉందని అనుకుందాం: మొదటి చర్య 1 విధాలుగా, రెండవది - 2 విధాలుగా, మూడవది - 3 విధాలుగా, మరియు చివరి ఎ-యాక్షన్ వరకు, 3 మార్గాల్లో ప్రదర్శించబడుతుంది. అప్పుడు ఈ చర్యలన్నీ (వీటిలో మనకు మొత్తం ఉంది) N మార్గాల్లో నిర్వహించవచ్చు. తెలియని Nని ఎలా లెక్కించాలి? ఫార్ములా దీనితో మాకు సహాయం చేస్తుంది: N = c1 * c2 * c3 *…* ca.

మళ్ళీ, సిద్ధాంతంలో ఏమీ స్పష్టంగా లేదు, కాబట్టి గుణకారం నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. పదిహేను మంది అమ్మాయిలు, పది మంది అబ్బాయిలు ఉండే ఇరవై ఐదు మంది క్లాస్‌నే తీసుకుందాం. ఈసారి మాత్రమే మనం డ్యూటీలో ఇద్దరిని ఎంపిక చేసుకోవాలి. వారు కేవలం అబ్బాయిలు లేదా అమ్మాయిలు కావచ్చు లేదా అబ్బాయి మరియు అమ్మాయి కావచ్చు. సమస్య యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారానికి వెళ్దాం. మేము డ్యూటీలో మొదటి వ్యక్తిని ఎంచుకుంటాము, మేము చివరి పేరాలో నిర్ణయించినట్లుగా, మేము ఇరవై ఐదు సాధ్యమైన ఎంపికలను పొందుతాము. డ్యూటీలో ఉన్న రెండవ వ్యక్తి మిగిలిన వ్యక్తులలో ఎవరైనా కావచ్చు. మాకు ఇరవై ఐదు మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, మేము ఒకరిని ఎంచుకున్నాము, అంటే డ్యూటీలో ఉన్న రెండవ వ్యక్తి మిగిలిన ఇరవై నాలుగు మందిలో ఎవరైనా కావచ్చు. చివరగా, మేము గుణకార నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము మరియు విధుల్లో ఉన్న ఇద్దరు అధికారులను ఆరు వందల విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చని కనుగొన్నాము. ఇరవై ఐదు మరియు ఇరవై నాలుగు గుణించడం ద్వారా మేము ఈ సంఖ్యను పొందాము.

పునర్వ్యవస్థీకరణ

ఇప్పుడు మనం మరొక కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తాము. వ్యాసం యొక్క ఈ విభాగంలో మనం ప్రస్తారణల గురించి మాట్లాడుతాము. ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి సమస్యను వెంటనే పరిగణించాలని మేము ప్రతిపాదిస్తున్నాము. బిలియర్డ్ బంతులను తీసుకుందాం, వాటిలో nవ సంఖ్య ఉంది. వాటిని వరుసగా అమర్చడానికి, అంటే ఆర్డర్ చేసిన సెట్‌ను రూపొందించడానికి ఎన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయో మనం లెక్కించాలి.

ప్రారంభిద్దాం, మనకు బంతులు లేకుంటే, ప్లేస్‌మెంట్ కోసం మాకు సున్నా ఎంపికలు కూడా ఉన్నాయి. మరియు మనకు ఒక బంతి ఉంటే, అప్పుడు అమరిక కూడా అదే విధంగా ఉంటుంది (గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: P1 = 1). రెండు బంతులను రెండు రకాలుగా ఉంచవచ్చు: 1,2 మరియు 2,1. కాబట్టి, P2 = 2. మూడు బంతులను ఆరు విధాలుగా అమర్చవచ్చు (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. అలాంటి బంతులు మూడు కాదు, పది లేదా పదిహేను ఉంటే? సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను జాబితా చేయడానికి చాలా సమయం పడుతుంది, అప్పుడు కాంబినేటరిక్స్ మా సహాయానికి వస్తుంది. ప్రస్తారణ సూత్రం మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. Pn = n *P (n-1). మేము సూత్రాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. మరియు ఇది మొదటి సహజ సంఖ్యల ఉత్పత్తి. ఈ సంఖ్యను ఫాక్టోరియల్ అంటారు మరియు n గా సూచించబడుతుంది!

సమస్యను పరిశీలిద్దాం. ప్రతి ఉదయం కౌన్సెలర్ తన బృందాన్ని (ఇరవై మంది) వరుసలో ఉంచుతాడు. జట్టులో ముగ్గురు మంచి స్నేహితులు ఉన్నారు - కోస్త్యా, సాషా మరియు లేషా. వారు ఒకరికొకరు నిలబడటానికి సంభావ్యత ఏమిటి? ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు "మంచి" ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యతో విభజించాలి. మొత్తం ప్రస్తారణల సంఖ్య 20! = 2.5 క్విన్టిలియన్లు. "మంచి" ఫలితాల సంఖ్యను ఎలా లెక్కించాలి? కోస్త్య, సాషా మరియు లేషా ఒక సూపర్మ్యాన్ అని అనుకుందాం. అప్పుడు మాకు పద్దెనిమిది సబ్జెక్టులు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో ప్రస్తారణల సంఖ్య 18 = 6.5 క్వాడ్రిలియన్. వీటన్నిటితో, కోస్త్యా, సాషా మరియు లేషా తమ విడదీయరాని మూడింటిలో తమలో తాము ఏకపక్షంగా కదలగలరు మరియు అది మరో 3! = 6 ఎంపికలు. అంటే మనకు మొత్తం 18 “మంచి” ఏర్పాట్లు ఉన్నాయి! * 3! మనం చేయవలసిందల్లా కావలసిన సంభావ్యతను కనుగొనడమే: (18! * 3!) / 20! ఇది సుమారు 0.016కి సమానం. శాతాలుగా మార్చినట్లయితే, అది 1.6% మాత్రమే అవుతుంది.

వసతి

ఇప్పుడు మనం మరొక ముఖ్యమైన మరియు అవసరమైన కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తాము. ప్లేస్‌మెంట్ మా తదుపరి సంచిక, ఈ వ్యాసంలోని ఈ విభాగంలో పరిగణించమని మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము. మేము సంక్లిష్టతలకు వెళుతున్నాము. మేము మొత్తం సెట్ (n) నుండి కాకుండా, చిన్నది (m) నుండి సాధ్యమయ్యే ప్రస్తారణలను పరిగణించాలనుకుంటున్నాము. అంటే, మేము m ద్వారా n అంశాల ప్రస్తారణలను పరిశీలిస్తున్నాము.

కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు గుర్తుంచుకోవడమే కాదు, అర్థం చేసుకోవాలి. అవి మరింత క్లిష్టంగా మారినప్పటికీ, మనకు ఒక పరామితి లేదు, కానీ రెండు. m = 1, ఆపై A = 1, m = 2, ఆపై A = n * (n - 1) అని అనుకుందాం. మేము సూత్రాన్ని మరింత సరళీకృతం చేసి, కారకాన్ని ఉపయోగించి సంజ్ఞామానానికి మారినట్లయితే, మేము పూర్తిగా లాకోనిక్ సూత్రాన్ని పొందుతాము: A = n! / (n - m)!

కలయిక

మేము దాదాపు అన్ని ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలను ఉదాహరణలతో సమీక్షించాము. ఇప్పుడు ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్ కోర్సును పరిగణించే చివరి దశకు వెళ్దాం - కలయికలను తెలుసుకోవడం. ఇప్పుడు మనం కలిగి ఉన్న n నుండి m ఐటెమ్‌లను ఎంచుకుంటాము మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని మార్గాల్లో ప్రతిదాన్ని ఎంచుకుంటాము. ఇది ప్లేస్‌మెంట్ నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది? మేము ఆర్డర్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోము. ఈ క్రమం లేని సెట్ కలయికగా ఉంటుంది.

మేము వెంటనే సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: C. మేము n నుండి m బాల్‌ల ప్లేస్‌మెంట్‌ను తీసుకుంటాము. మేము ఆర్డర్‌పై శ్రద్ధ చూపడం మానేస్తాము మరియు పునరావృత కలయికలతో ముగించాము. కలయికల సంఖ్యను పొందడానికి మనం ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యను m ద్వారా విభజించాలి! (m కారకం). అంటే, C = A / m! అందువల్ల, n బంతుల నుండి ఎంచుకోవడానికి కొన్ని మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, ఇది దాదాపు అన్నింటిని ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్యకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. దీని కోసం ఒక తార్కిక వ్యక్తీకరణ ఉంది: కొంచెం ఎంచుకోవడం దాదాపు ప్రతిదీ విసిరేయడం వంటిది. సగం అంశాలను ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు గరిష్ట సంఖ్యలో కలయికలను సాధించవచ్చని ఈ సమయంలో పేర్కొనడం కూడా ముఖ్యం.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రాన్ని ఎలా ఎంచుకోవాలి?

మేము కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను వివరంగా పరిశీలించాము: ప్లేస్‌మెంట్, ప్రస్తారణ మరియు కలయిక. ఇప్పుడు మా పని కాంబినేటరిక్స్ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన ఫార్ములా ఎంపికను సులభతరం చేయడం. మీరు క్రింది సరళమైన పథకాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

1. మిమ్మల్ని మీరు ప్రశ్నించుకోండి: సమస్య యొక్క వచనంలో మూలకాల ప్లేస్‌మెంట్ క్రమం పరిగణనలోకి తీసుకుంటుందా?
2. సమాధానం లేదు అయితే, కలయిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి (C = n! / (m! * (n - m)!)).
3. సమాధానం లేదు అయితే, మరొక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: అన్ని అంశాలు కలయికలో చేర్చబడ్డాయా?
4. సమాధానం అవును అయితే, ప్రస్తారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి (P = n!).
5. సమాధానం లేదు అయితే, ప్లేస్‌మెంట్ ఫార్ములాను ఉపయోగించండి (A = n! / (n - m)!).

ఉదాహరణ

మేము కాంబినేటరిక్స్, ఫార్ములాలు మరియు కొన్ని ఇతర సమస్యలను పరిశీలించాము. ఇప్పుడు అసలు సమస్యను పరిశీలిద్దాం. మీ ముందు ఒక కివి, నారింజ మరియు అరటిపండు ఉన్నట్లు ఊహించుకోండి.

ప్రశ్న ఒకటి: వాటిని ఎన్ని విధాలుగా పునర్వ్యవస్థీకరించవచ్చు? దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రస్తారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: P = 3! = 6 మార్గాలు.

ప్రశ్న రెండు: మీరు ఒక పండును ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? ఇది స్పష్టంగా ఉంది, మాకు కేవలం మూడు ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి - కివి, నారింజ లేదా అరటిని ఎంచుకోండి, కానీ కలయిక సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: C = 3! / (2! * 1!) = 3.

ప్రశ్న మూడు: మీరు రెండు పండ్లను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? మనకు కూడా ఏ ఎంపికలు ఉన్నాయి? కివి మరియు నారింజ; కివి మరియు అరటి; నారింజ మరియు అరటి. అంటే, మూడు ఎంపికలు ఉన్నాయి, అయితే ఇది కలయిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం సులభం: C = 3! / (1! * 2!) = 3

ప్రశ్న నాలుగు: మీరు మూడు పండ్లను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మూడు పండ్లను ఎంచుకోవడానికి ఒకే ఒక మార్గం ఉంది: కివి, నారింజ మరియు అరటిని తీసుకోండి. సి = 3! / (0! * 3!) = 1.

ప్రశ్న ఐదు: మీరు కనీసం ఒక పండును ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? ఈ పరిస్థితి అంటే మనం ఒకటి, రెండు లేదా మూడు పండ్లను తీసుకోవచ్చు. అందువల్ల, మేము C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 ను కలుపుతాము. అంటే, టేబుల్ నుండి కనీసం ఒక పండు తీసుకోవడానికి మనకు ఏడు మార్గాలు ఉన్నాయి.

కాంబినేటరిక్స్ అనేది ఉన్నత గణిత శాస్త్రం (మరియు టెర్వర్‌లో భాగం కాదు) యొక్క స్వతంత్ర శాఖ అని గమనించాలి మరియు ఈ క్రమశిక్షణపై బరువైన పాఠ్యపుస్తకాలు వ్రాయబడ్డాయి, వీటిలో కంటెంట్, కొన్ని సమయాల్లో, నైరూప్య బీజగణితం కంటే సులభం కాదు. అయినప్పటికీ, సైద్ధాంతిక జ్ఞానం యొక్క ఒక చిన్న భాగం మాకు సరిపోతుంది మరియు ఈ వ్యాసంలో నేను సాధారణ కాంబినేటోరియల్ సమస్యలతో టాపిక్ యొక్క ప్రాథమికాలను ప్రాప్యత రూపంలో విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నిస్తాను. మరియు మీలో చాలా మంది నాకు సహాయం చేస్తారు ;-)

మనం ఏం చేయబోతున్నాం? ఇరుకైన అర్థంలో, కాంబినేటరిక్స్ అనేది ఒక నిర్దిష్ట సెట్ నుండి తయారు చేయగల వివిధ కలయికల గణన వివిక్తవస్తువులు. వస్తువులు ఏదైనా వివిక్త వస్తువులు లేదా జీవులుగా అర్థం చేసుకోబడతాయి - వ్యక్తులు, జంతువులు, పుట్టగొడుగులు, మొక్కలు, కీటకాలు మొదలైనవి. అదే సమయంలో, ఈ సెట్లో సెమోలినా గంజి యొక్క ప్లేట్, ఒక టంకం ఇనుము మరియు చిత్తడి కప్ప ఉంటాయి అని కాంబినేటరిక్స్ అస్సలు పట్టించుకోదు. ఈ వస్తువులను లెక్కించడం ప్రాథమికంగా ముఖ్యమైనది - వాటిలో మూడు ఉన్నాయి (విచక్షణ)మరియు ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే వాటిలో ఏవీ ఒకేలా ఉండవు.

మేము ఇప్పుడు కలయికల గురించి చాలా పరిష్కరించాము. కలయికల యొక్క అత్యంత సాధారణ రకాలు వస్తువుల ప్రస్తారణలు, సమితి (కలయిక) మరియు పంపిణీ (ప్లేస్‌మెంట్) నుండి వాటి ఎంపిక. ఇది ఇప్పుడు ఎలా జరుగుతుందో చూద్దాం:

పునరావృతం లేకుండా ప్రస్తారణలు, కలయికలు మరియు నియామకాలు

అస్పష్టమైన నిబంధనలకు భయపడవద్దు, ముఖ్యంగా వాటిలో కొన్ని చాలా మంచివి కావు. టైటిల్ తోకతో ప్రారంభిద్దాం - ఏమి చేస్తుంది “ పునరావృత్తులు లేవు"? దీని అర్థం ఈ విభాగంలో మేము కలిగి ఉన్న సెట్‌లను పరిశీలిస్తాము వివిధవస్తువులు. ఉదాహరణకు, ... లేదు, నేను టంకం ఇనుము మరియు కప్పతో గంజిని అందించను, రుచిగా ఉండేదాన్ని కలిగి ఉండటం మంచిది =) మీ ముందు ఉన్న టేబుల్‌పై ఒక ఆపిల్, పియర్ మరియు అరటిపండు సాకారమైనట్లు ఊహించుకోండి ( మీరు వాటిని కలిగి ఉంటే, పరిస్థితిని వాస్తవానికి అనుకరించవచ్చు). మేము ఈ క్రింది క్రమంలో పండ్లను ఎడమ నుండి కుడికి వేస్తాము:

ఆపిల్ / పియర్ / అరటి

ప్రశ్న ఒకటి: వాటిని ఎన్ని రకాలుగా పునర్వ్యవస్థీకరించవచ్చు?

ఒక కలయిక ఇప్పటికే పైన వ్రాయబడింది మరియు మిగిలిన వాటితో ఎటువంటి సమస్యలు లేవు:

ఆపిల్ / అరటి / పియర్
పియర్ / ఆపిల్ / అరటి
పియర్ / అరటి / ఆపిల్
అరటి / ఆపిల్ / పియర్
అరటి / పియర్ / ఆపిల్

మొత్తం: 6 కలయికలు లేదా 6 ప్రస్తారణలు.

సరే, సాధ్యమయ్యే అన్ని కేసులను జాబితా చేయడం కష్టం కాదు, అయితే మరిన్ని వస్తువులు ఉంటే ఏమి చేయాలి? కేవలం నాలుగు వేర్వేరు పండ్లతో, కలయికల సంఖ్య గణనీయంగా పెరుగుతుంది!

దయచేసి రిఫరెన్స్ మెటీరియల్‌ని తెరవండి (మాన్యువల్‌ను ప్రింట్ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది)మరియు పాయింట్ నం. 2లో, ప్రస్తారణల సంఖ్యకు సూత్రాన్ని కనుగొనండి.

అవాంతరం లేదు - 3 వస్తువులను వివిధ మార్గాల్లో మార్చవచ్చు.

ప్రశ్న రెండు: మీరు ఎ) ఒక పండు, బి) రెండు పండ్లు, సి) మూడు పండ్లు, డి) కనీసం ఒక పండ్లను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?

ఎందుకు ఎంచుకోవాలి? కాబట్టి మేము మునుపటి పాయింట్‌లో ఆకలిని పెంచుకున్నాము - తినడానికి! =)

ఎ) ఒక పండును మూడు విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు - ఒక ఆపిల్, పియర్ లేదా అరటిపండు తీసుకోండి. అధికారిక గణన ప్రకారం నిర్వహిస్తారు కలయికల సంఖ్యకు సూత్రం:

ఈ సందర్భంలో ఎంట్రీని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: "మీరు మూడు నుండి 1 పండును ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?"

బి) రెండు పండ్ల కలయికలన్నింటినీ జాబితా చేద్దాం:

ఆపిల్ మరియు పియర్;
ఆపిల్ మరియు అరటి;
పియర్ మరియు అరటి.

ఒకే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కలయికల సంఖ్యను సులభంగా తనిఖీ చేయవచ్చు:

ఎంట్రీని ఇదే విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు: "మీరు మూడు నుండి 2 పండ్లను ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?"

సి) చివరకు, మూడు పండ్లను ఎంచుకోవడానికి ఒకే ఒక మార్గం ఉంది:

మార్గం ద్వారా, కలయికల సంఖ్య కోసం సూత్రం ఖాళీ నమూనా కోసం అర్ధవంతంగా ఉంటుంది:
ఈ విధంగా, మీరు ఒక్క పండ్లను కూడా ఎంచుకోలేరు - వాస్తవానికి, ఏమీ తీసుకోకండి మరియు అంతే.

d) మీరు ఎన్ని విధాలుగా తీసుకోవచ్చు కనీసం ఒక్కటిపండు? "కనీసం ఒకటి" అనే షరతు మనం 1 పండు (ఏదైనా) లేదా ఏదైనా 2 పండ్లు లేదా మొత్తం 3 పండ్లతో సంతృప్తి చెందామని సూచిస్తుంది:
ఈ పద్ధతులను ఉపయోగించి మీరు కనీసం ఒక పండు ఎంచుకోవచ్చు.

న పరిచయ పాఠాన్ని జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేసిన పాఠకులు సంభావ్యత సిద్ధాంతం, మేము ఇప్పటికే ఏదో ఊహించాము. అయితే ప్లస్ గుర్తు యొక్క అర్థం గురించి మరింత తరువాత.

తదుపరి ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి నాకు ఇద్దరు వాలంటీర్లు కావాలి... ... సరే, ఎవరూ కోరుకోరు కాబట్టి, నేను మిమ్మల్ని బోర్డుకి పిలుస్తాను =)

ప్రశ్న మూడు: మీరు దశ మరియు నటాషాలకు ఒక్కొక్క పండ్లను ఎన్ని విధాలుగా పంపిణీ చేయవచ్చు?

రెండు పండ్లను పంపిణీ చేయడానికి, మీరు మొదట వాటిని ఎంచుకోవాలి. మునుపటి ప్రశ్న యొక్క పేరా "be" ప్రకారం, ఇది మార్గాల్లో చేయవచ్చు, నేను వాటిని తిరిగి వ్రాస్తాను:

ఆపిల్ మరియు పియర్;
ఆపిల్ మరియు అరటి;
పియర్ మరియు అరటి.

అయితే ఇప్పుడు అంతకంటే రెండింతలు కాంబినేషన్లు రానున్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి జత పండ్లను పరిగణించండి:
మీరు దశను ఒక ఆపిల్‌తో, మరియు నటాషాను పియర్‌తో చికిత్స చేయవచ్చు;
లేదా వైస్ వెర్సా - దశకు పియర్ లభిస్తుంది, మరియు నటాషా ఆపిల్‌ను పొందుతుంది.

మరియు అటువంటి ప్రస్తారణ ప్రతి జత పండ్లకు సాధ్యమవుతుంది.

నృత్యానికి వెళ్ళిన అదే విద్యార్థి సమూహాన్ని పరిగణించండి. అబ్బాయి మరియు అమ్మాయిని ఎన్ని రకాలుగా జత చేయవచ్చు?

మార్గాల్లో మీరు 1 యువకుడిని ఎంచుకోవచ్చు;
ఈ మార్గాల్లో మీరు 1 అమ్మాయిని ఎంచుకోవచ్చు.

ఆ విధంగా, ఒక యువకుడు మరియుమీరు ఒక అమ్మాయిని ఎంచుకోవచ్చు: మార్గాలు.

ప్రతి సెట్ నుండి 1 వస్తువును ఎంచుకున్నప్పుడు, కలయికలను లెక్కించడానికి క్రింది సూత్రం చెల్లుబాటు అవుతుంది: " ప్రతిఒక సెట్ నుండి ఒక వస్తువు ఒక జతను ఏర్పరుస్తుంది ప్రతి తోమరొక సెట్ యొక్క వస్తువు."

అంటే, ఒలేగ్ 13 మంది అమ్మాయిలలో ఎవరినైనా నృత్యం చేయడానికి ఆహ్వానించవచ్చు, ఎవ్జెనీ పదమూడు మందిలో ఎవరినైనా ఆహ్వానించవచ్చు మరియు మిగిలిన యువకులకు ఇదే ఎంపిక ఉంటుంది. మొత్తం: సాధ్యమయ్యే జంటలు.

ఈ ఉదాహరణలో, జత ఏర్పడటానికి "చరిత్ర" పట్టింపు లేదని గమనించాలి; అయినప్పటికీ, మేము చొరవను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, కలయికల సంఖ్యను రెట్టింపు చేయాలి, ఎందుకంటే ప్రతి 13 మంది అమ్మాయిలు ఏ అబ్బాయినైనా నృత్యం చేయడానికి ఆహ్వానించవచ్చు. ఇదంతా ఒక నిర్దిష్ట పని యొక్క పరిస్థితులపై ఆధారపడి ఉంటుంది!

ఇదే విధమైన సూత్రం మరింత సంక్లిష్ట కలయికలకు చెల్లుతుంది, ఉదాహరణకు: మీరు ఇద్దరు యువకులను ఎన్ని మార్గాల్లో ఎంచుకోవచ్చు? మరియు KVN స్కిట్‌లో ఇద్దరు అమ్మాయిలు పాల్గొంటారా?

యూనియన్ మరియుకలయికలను గుణించాలి అని స్పష్టంగా సూచిస్తుంది:

కళాకారుల యొక్క సాధ్యమైన సమూహాలు.

వేరే పదాల్లో, ప్రతిఒక జత అబ్బాయిలు (45 ప్రత్యేకమైన జతలు)తో కలిసి ప్రదర్శన ఇవ్వగలరు ఏదైనాఒక జత అమ్మాయిలు (78 ప్రత్యేక జతలు). మరియు మేము పాల్గొనేవారి మధ్య పాత్రల పంపిణీని పరిశీలిస్తే, ఇంకా ఎక్కువ కలయికలు ఉంటాయి. ...నేను నిజంగా కోరుకుంటున్నాను, కానీ విద్యార్థి జీవితం పట్ల మీలో విరక్తి కలిగించకుండా ఉండటానికి నేను ఇంకా కొనసాగడం మానేస్తాను =).

కలయికలను గుణించే నియమం పెద్ద సంఖ్యలో మల్టిప్లైయర్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది:

సమస్య 8

5చే భాగించబడే మూడు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి?

పరిష్కారం: స్పష్టత కోసం, ఈ సంఖ్యను మూడు నక్షత్రాలతో సూచిస్తాం: ***

IN వందల స్థలంమీరు సంఖ్యలలో దేనినైనా వ్రాయవచ్చు (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేదా 9). సున్నా తగినది కాదు, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో సంఖ్య మూడు-అంకెలుగా ఉండదు.

కానీ లో పదుల స్థలం("మధ్యలో") మీరు 10 అంకెలలో దేనినైనా ఎంచుకోవచ్చు: .

షరతు ప్రకారం, సంఖ్య తప్పనిసరిగా 5తో భాగించబడాలి. ఒక సంఖ్య 5 లేదా 0తో ముగిస్తే అది 5తో భాగించబడుతుంది. అందువల్ల, మేము అతి తక్కువ ముఖ్యమైన అంకెలో 2 అంకెలతో సంతృప్తి చెందాము.

మొత్తంగా, ఉంది: 5చే భాగించబడే మూడు అంకెల సంఖ్యలు.

ఈ సందర్భంలో, పని ఈ క్రింది విధంగా అర్థాన్ని విడదీస్తుంది: “9 మార్గాల్లో మీరు సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు వందల స్థలం మరియుసంఖ్యను ఎంచుకోవడానికి 10 మార్గాలు పదుల స్థలం మరియు 2 మార్గాలు యూనిట్ల అంకెలు»

లేదా మరింత సరళమైనది: " ప్రతి 9 అంకెల నుండి వందల స్థలంకలుపుతుంది ప్రతి తో 10 అంకెలు పదుల స్థలం మరియు ప్రతిదానితోరెండు అంకెల నుండి యూనిట్ల అంకెలు».

సమాధానం: 180

ఇంక ఇప్పుడు…

అవును, సమస్య నం. 5పై వాగ్దానం చేసిన వ్యాఖ్యానం గురించి నేను దాదాపు మర్చిపోయాను, ఇందులో బోర్, డిమా మరియు వోలోడియా ఒక్కో కార్డును వివిధ మార్గాల్లో డీల్ చేయవచ్చు. ఇక్కడ గుణకారం ఒకే అర్థాన్ని కలిగి ఉంది: డెక్ నుండి 3 కార్డులను తొలగించే మార్గాలు మరియు ప్రతిదాంట్లోనమూనా వాటిని మార్గాల్లో క్రమాన్ని మార్చండి.

మరియు ఇప్పుడు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఒక సమస్య ఉంది... ఇప్పుడు నేను మరింత ఆసక్తికరమైన దానితో ముందుకు వస్తాను... బ్లాక్జాక్ యొక్క అదే రష్యన్ వెర్షన్ గురించి చెప్పనివ్వండి:

సమస్య 9

"పాయింట్" ఆడుతున్నప్పుడు 2 కార్డ్‌ల యొక్క ఎన్ని విన్నింగ్ కాంబినేషన్‌లు ఉన్నాయి?

తెలియని వారి కోసం: విజేత కలయిక 10 + ACE (11 పాయింట్లు) = 21 పాయింట్లు మరియు, రెండు ఏస్‌ల విజేత కలయికను పరిశీలిద్దాం.

(ఏదైనా జతలో కార్డుల క్రమం పట్టింపు లేదు)

పాఠం చివరిలో ఒక చిన్న పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

మార్గం ద్వారా, ఉదాహరణను ప్రాచీనమైనదిగా పరిగణించవద్దు. బ్లాక్‌జాక్ అనేది క్యాసినోను ఓడించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే గణితశాస్త్ర ఆధారిత అల్గోరిథం ఉన్న ఏకైక గేమ్. ఆసక్తి ఉన్నవారు సరైన వ్యూహం మరియు వ్యూహాల గురించి సమాచారాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు. నిజమే, అటువంటి మాస్టర్స్ చాలా త్వరగా అన్ని సంస్థల బ్లాక్ లిస్ట్‌లో చేరతారు =)

రెండు ఘన పనులతో కప్పబడిన పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి ఇది సమయం:

సమస్య 10

వాస్యకు ఇంట్లో 4 పిల్లులు ఉన్నాయి.

ఎ) గది మూలల్లో పిల్లులను ఎన్ని విధాలుగా కూర్చోబెట్టవచ్చు?
బి) మీరు పిల్లులను ఎన్ని విధాలుగా నడవడానికి అనుమతించవచ్చు?
సి) వాస్య రెండు పిల్లులను (ఒకటి ఎడమవైపు, మరొకటి అతని కుడివైపు) ఎన్ని విధాలుగా తీసుకోవచ్చు?

తేల్చుకుందాం: మొదటగా, సమస్య ఎలా ఉంటుందనే దానిపై మీరు మళ్ళీ శ్రద్ధ వహించాలి భిన్నమైనదివస్తువులు (పిల్లులు ఒకేలాంటి కవలలు అయినప్పటికీ). ఇది చాలా ముఖ్యమైన పరిస్థితి!

ఎ) పిల్లుల నిశ్శబ్దం. ఈ అమలుకు లోబడి ఉంటుంది అన్ని పిల్లులు ఒకేసారి
+ వాటి స్థానం ముఖ్యమైనది, కాబట్టి ఇక్కడ ప్రస్తారణలు ఉన్నాయి:
ఈ పద్ధతులను ఉపయోగించి మీరు గది మూలల్లో పిల్లులను ఉంచవచ్చు.

పర్‌మ్యుట్ చేస్తున్నప్పుడు, విభిన్న వస్తువుల సంఖ్య మరియు వాటి సంబంధిత స్థానాలు మాత్రమే ముఖ్యమని నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను. వాస్య యొక్క మానసిక స్థితిని బట్టి, ఆమె జంతువులను సోఫాపై సెమిసర్కిల్‌లో, కిటికీలో వరుసలో కూర్చోవచ్చు. - అన్ని సందర్భాల్లోనూ 24 ప్రస్తారణలు ఉంటాయి, ఆసక్తి ఉన్నవారు పిల్లులు బహుళ-రంగులో ఉన్నాయని ఊహించవచ్చు (ఉదాహరణకు, తెలుపు, నలుపు, ఎరుపు మరియు టాబీ) మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని కలయికలను జాబితా చేయండి.

బి) మీరు పిల్లులను ఎన్ని విధాలుగా నడవడానికి అనుమతించవచ్చు?

పిల్లులు తలుపు ద్వారా మాత్రమే నడవడానికి వెళతాయని భావించబడుతుంది మరియు ప్రశ్న జంతువుల సంఖ్యకు సంబంధించి ఉదాసీనతను సూచిస్తుంది - 1, 2, 3 లేదా మొత్తం 4 పిల్లులు నడకకు వెళ్ళవచ్చు.

మేము సాధ్యమయ్యే అన్ని కలయికలను లెక్కిస్తాము:

మార్గాల్లో మీరు ఒక పిల్లిని (నాలుగులో ఏదైనా) నడవడానికి అనుమతించవచ్చు;
మీరు రెండు పిల్లులను నడవడానికి అనుమతించే మార్గాలు (మీరే ఎంపికలను జాబితా చేయండి);
మీరు మూడు పిల్లులను నడవడానికి అనుమతించవచ్చు (నలుగురిలో ఒకటి ఇంట్లో కూర్చుంటుంది);
ఈ విధంగా మీరు అన్ని పిల్లులను విడుదల చేయవచ్చు.

ఫలిత విలువలు సంగ్రహించబడాలని మీరు బహుశా ఊహించారు:
మీరు పిల్లులను నడవడానికి అనుమతించే మార్గాలు.

ఔత్సాహికుల కోసం, నేను సమస్య యొక్క సంక్లిష్టమైన సంస్కరణను అందిస్తున్నాను - ఏదైనా నమూనాలోని ఏదైనా పిల్లి యాదృచ్ఛికంగా తలుపు ద్వారా మరియు 10వ అంతస్తులో ఉన్న కిటికీ ద్వారా బయటికి వెళ్లగలిగినప్పుడు. కలయికలలో గుర్తించదగిన పెరుగుదల ఉంటుంది!

సి) వాస్య రెండు పిల్లులను ఎన్ని విధాలుగా తీసుకోవచ్చు?

పరిస్థితి 2 జంతువులను ఎన్నుకోవడమే కాకుండా, వాటిని ప్రతి చేతిలో ఉంచడం కూడా ఉంటుంది:
ఈ మార్గాల్లో మీరు 2 పిల్లులను తీసుకోవచ్చు.

రెండవ పరిష్కారం: మీరు పద్ధతులను ఉపయోగించి రెండు పిల్లులను ఎంచుకోవచ్చు మరియునాటడానికి మార్గాలు ప్రతిచేతిలో జంట:

సమాధానం: ఎ) 24, బి) 15, సి) 12

సరే, మీ మనస్సాక్షిని క్లియర్ చేయడానికి, కలయికలను గుణించడం గురించి మరింత నిర్దిష్టంగా... వాస్యకు 5 అదనపు పిల్లులు ఉండనివ్వండి =) మీరు 2 పిల్లులను ఎన్ని విధాలుగా నడవడానికి అనుమతించవచ్చు? మరియు 1 పిల్లి?

అంటే, తో ప్రతిఒక జంట పిల్లులను విడుదల చేయవచ్చు ప్రతిపిల్లి.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం మరొక బటన్ అకార్డియన్:

సమస్య 11

12 అంతస్తుల భవనంలోని లిఫ్ట్‌లో ముగ్గురు ప్రయాణికులు ఎక్కారు. ప్రతి ఒక్కరూ, ఇతరులతో సంబంధం లేకుండా, సమాన సంభావ్యతతో ఏదైనా (2వ నుండి ప్రారంభించి) అంతస్తు నుండి నిష్క్రమించవచ్చు. ఎన్ని విధాలుగా:

1) ప్రయాణికులు ఒకే అంతస్తులో దిగవచ్చు (నిష్క్రమణ ఆర్డర్ పట్టింపు లేదు);
2) ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒక అంతస్తులో దిగవచ్చు, మరియు మరొకటి మూడవది;
3) ప్రజలు వివిధ అంతస్తులలో నుండి నిష్క్రమించవచ్చు;
4) ప్రయాణికులు ఎలివేటర్ నుండి నిష్క్రమించవచ్చా?

మరియు ఇక్కడ వారు తరచుగా మళ్లీ అడుగుతాను, నేను స్పష్టం చేస్తున్నాను: 2 లేదా 3 వ్యక్తులు ఒకే అంతస్తులో నిష్క్రమిస్తే, నిష్క్రమణ క్రమం పట్టింపు లేదు. ఆలోచించండి, కలయికలను జోడించడం/గుణించడం కోసం సూత్రాలు మరియు నియమాలను ఉపయోగించండి. ఇబ్బందులు ఎదురైనప్పుడు, ప్రయాణీకులకు పేర్లు ఇవ్వడం మరియు వారు ఎలివేటర్ నుండి నిష్క్రమించగలరని ఊహించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఏదో పని చేయకపోతే కలత చెందాల్సిన అవసరం లేదు, ఉదాహరణకు, పాయింట్ నంబర్ 2 చాలా కృత్రిమమైనది.

పాఠం చివరిలో వివరణాత్మక వ్యాఖ్యలతో పూర్తి పరిష్కారం.

చివరి పేరా చాలా తరచుగా సంభవించే కలయికలకు అంకితం చేయబడింది - నా ఆత్మాశ్రయ అంచనా ప్రకారం, దాదాపు 20-30% కాంబినేటోరియల్ సమస్యలలో:

ప్రస్తారణలు, కలయికలు మరియు పునరావృతాలతో ప్లేస్‌మెంట్‌లు

జాబితా చేయబడిన రకాల కలయికలు రిఫరెన్స్ మెటీరియల్ యొక్క పేరా నం. 5లో వివరించబడ్డాయి కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు, అయితే, వాటిలో కొన్ని మొదటి పఠనంలో చాలా స్పష్టంగా ఉండకపోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలతో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవడం మొదట మంచిది, ఆపై మాత్రమే సాధారణ సూత్రీకరణను అర్థం చేసుకోండి. వెళ్ళండి:

పునరావృతాలతో ప్రస్తారణలు

పునరావృతాలతో కూడిన ప్రస్తారణలలో, "సాధారణ" ప్రస్తారణల వలె, అన్ని అనేక వస్తువులు ఒకేసారి, కానీ ఒక విషయం ఉంది: ఈ సెట్‌లో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంశాలు (వస్తువులు) పునరావృతమవుతాయి. తదుపరి ప్రమాణాన్ని చేరుకోండి:

సమస్య 12

క్రింది అక్షరాలతో కార్డ్‌లను క్రమాన్ని మార్చడం ద్వారా ఎన్ని విభిన్న అక్షరాల కలయికలను పొందవచ్చు: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

పరిష్కారం: అన్ని అక్షరాలు భిన్నంగా ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు ఒక చిన్న ఫార్ములా వర్తించవలసి ఉంటుంది, అయితే ప్రతిపాదిత కార్డుల సెట్ కోసం కొన్ని అవకతవకలు "నిష్క్రియంగా" పనిచేస్తాయని పూర్తిగా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఉదాహరణకు, మీరు ఏదైనా రెండు కార్డులను మార్చుకుంటే "K" "అక్షరాలతో ఏ పదంలోనైనా, మీరు అదే పదాన్ని పొందుతారు. అంతేకాకుండా, భౌతికంగా కార్డులు చాలా భిన్నంగా ఉంటాయి: ఒకటి దానిపై "K" అనే అక్షరంతో ముద్రించబడి గుండ్రంగా ఉంటుంది, మరొకటి దానిపై "K" అక్షరంతో గీయవచ్చు. కానీ పని యొక్క అర్థం ప్రకారం, అలాంటి కార్డులు కూడా అలాగే పరిగణిస్తారు, షరతు అక్షరాల కలయికల గురించి అడుగుతుంది కాబట్టి.

ప్రతిదీ చాలా సులభం - అక్షరంతో సహా 11 కార్డులు మాత్రమే:

K - 3 సార్లు పునరావృతం;
O - 3 సార్లు పునరావృతం;
L - 2 సార్లు పునరావృతం;
b - పునరావృతం 1 సమయం;
H - పునరావృతం 1 సమయం;
మరియు - 1 సారి పునరావృతం.

తనిఖీ చేయండి: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ఇది తనిఖీ చేయాల్సిన అవసరం ఉంది.

సూత్రం ప్రకారం పునరావృతాలతో ప్రస్తారణల సంఖ్య:
వివిధ అక్షరాల కలయికలను పొందవచ్చు. అర మిలియన్ కంటే ఎక్కువ!

పెద్ద కారకమైన విలువను త్వరగా లెక్కించడానికి, ప్రామాణిక Excel ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది: ఏదైనా సెల్‌లోకి ప్రవేశించండి = వాస్తవం (11)మరియు నొక్కండి నమోదు చేయండి.

ఆచరణలో, సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయకపోవడం మరియు అదనంగా, యూనిట్ కారకాలను వదిలివేయడం చాలా ఆమోదయోగ్యమైనది:

కానీ పదేపదే లేఖల గురించి ప్రాథమిక వ్యాఖ్యలు అవసరం!

సమాధానం: 554400

చెస్ పీస్ ప్లేస్‌మెంట్ సమస్యలో పునరావృతంతో ప్రస్తారణలకు మరొక విలక్షణ ఉదాహరణ ఏర్పడుతుంది, ఇది గిడ్డంగిలో కనుగొనబడుతుంది. రెడీమేడ్ పరిష్కారాలుసంబంధిత pdfలో. మరియు స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం, నేను తక్కువ సూత్రబద్ధమైన పనితో ముందుకు వచ్చాను:

సమస్య 13

అలెక్సీ క్రీడల కోసం వెళ్తాడు, మరియు వారానికి 4 రోజులు - అథ్లెటిక్స్, 2 రోజులు - శక్తి వ్యాయామాలు మరియు 1 రోజు విశ్రాంతి. అతను తన కోసం వారపు షెడ్యూల్‌ను ఎన్ని విధాలుగా సృష్టించుకోగలడు?

ఫార్ములా ఇక్కడ పని చేయదు ఎందుకంటే ఇది యాదృచ్ఛిక మార్పిడులను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది (ఉదాహరణకు, బుధవారం నాటి శక్తి వ్యాయామాలను గురువారం శక్తి వ్యాయామాలతో మార్చుకోవడం). మరియు మళ్ళీ - వాస్తవానికి, అదే 2 బలం శిక్షణా సెషన్లు ఒకదానికొకటి చాలా భిన్నంగా ఉంటాయి, కానీ పని సందర్భంలో (షెడ్యూల్ యొక్క దృక్కోణం నుండి) అవి ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించబడతాయి.

పాఠం చివరిలో రెండు లైన్ల పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

పునరావృతాలతో కలయికలు

ఈ రకమైన కలయిక యొక్క విలక్షణమైన లక్షణం ఏమిటంటే, నమూనా అనేక సమూహాల నుండి తీసుకోబడింది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఒకేలాంటి వస్తువులను కలిగి ఉంటుంది.

ఈ రోజు అందరూ కష్టపడి పని చేసారు, కాబట్టి మిమ్మల్ని మీరు రిఫ్రెష్ చేసుకునే సమయం వచ్చింది:

సమస్య 14

స్టూడెంట్ క్యాంటీన్ సాసేజ్‌లను డౌ, చీజ్‌కేక్‌లు మరియు డోనట్స్‌లో విక్రయిస్తుంది. మీరు ఐదు పైలను ఎన్ని విధాలుగా కొనుగోలు చేయవచ్చు?

పరిష్కారం: పునరావృతాలతో కలయికల కోసం విలక్షణమైన ప్రమాణానికి వెంటనే శ్రద్ధ వహించండి - షరతు ప్రకారం, ఇది ఎంపిక కోసం అందించబడే వస్తువుల సమితి కాదు, కానీ వేరువేరు రకాలువస్తువులు; కనీసం ఐదు హాట్ డాగ్‌లు, 5 చీజ్‌కేక్‌లు మరియు 5 డోనట్స్ అమ్మకానికి ఉన్నాయని భావించబడుతుంది. ప్రతి సమూహంలోని పైస్, వాస్తవానికి, విభిన్నంగా ఉంటాయి - ఎందుకంటే ఖచ్చితంగా ఒకేలా ఉండే డోనట్‌లను కంప్యూటర్‌లో మాత్రమే అనుకరించవచ్చు =) అయినప్పటికీ, పైస్ యొక్క భౌతిక లక్షణాలు సమస్య యొక్క ప్రయోజనం కోసం ముఖ్యమైనవి కావు మరియు హాట్ డాగ్‌లు / చీజ్‌కేక్‌లు / వారి సమూహాలలో డోనట్స్ ఒకేలా పరిగణించబడతాయి.

నమూనాలో ఏమి ఉండవచ్చు? అన్నింటిలో మొదటిది, నమూనాలో ఖచ్చితంగా ఒకే విధమైన పైస్ ఉంటాయని గమనించాలి (మేము 5 ముక్కలను ఎంచుకుంటున్నాము మరియు ఎంచుకోవడానికి 3 రకాలు ఉన్నాయి). ప్రతి రుచికి ఇక్కడ ఎంపికలు ఉన్నాయి: 5 హాట్ డాగ్‌లు, 5 చీజ్‌కేక్‌లు, 5 డోనట్స్, 3 హాట్ డాగ్‌లు + 2 చీజ్‌కేక్‌లు, 1 హాట్ డాగ్ + 2 చీజ్‌కేక్‌లు + 2 డోనట్స్, మొదలైనవి.

“రెగ్యులర్” కాంబినేషన్‌ల మాదిరిగా, ఎంపికలో పైస్ ఎంపిక మరియు ప్లేస్‌మెంట్ క్రమం పట్టింపు లేదు - మీరు కేవలం 5 ముక్కలను ఎంచుకున్నారు మరియు అంతే.

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము పునరావృతాలతో కలయికల సంఖ్య:
మీరు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి 5 పైస్ కొనుగోలు చేయవచ్చు.

బాన్ అపెటిట్!

సమాధానం: 21

అనేక కాంబినేటోరియల్ సమస్యల నుండి ఏ ముగింపును తీసుకోవచ్చు?

కొన్నిసార్లు కష్టతరమైన విషయం ఏమిటంటే పరిస్థితిని అర్థం చేసుకోవడం.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఇదే ఉదాహరణ:

సమస్య 15

వాలెట్ చాలా పెద్ద సంఖ్యలో 1-, 2-, 5- మరియు 10-రూబుల్ నాణేలను కలిగి ఉంది. వాలెట్ నుండి మూడు నాణేలను ఎన్ని విధాలుగా తొలగించవచ్చు?

స్వీయ నియంత్రణ ప్రయోజనాల కోసం, కొన్ని సాధారణ ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వండి:

1) నమూనాలోని అన్ని నాణేలు భిన్నంగా ఉండవచ్చా?
2) "చౌకైన" మరియు అత్యంత "ఖరీదైన" నాణేల కలయికకు పేరు పెట్టండి.

పాఠం చివరిలో పరిష్కారం మరియు సమాధానాలు.

నా వ్యక్తిగత అనుభవం నుండి, పునరావృత్తులు కలయికలు ఆచరణలో అరుదైన అతిథి అని నేను చెప్పగలను, ఈ క్రింది రకాల కలయికల గురించి చెప్పలేము:

పునరావృతాలతో ప్లేస్‌మెంట్‌లు

మూలకాలతో కూడిన సెట్ నుండి, మూలకాలు ఎంపిక చేయబడతాయి మరియు ప్రతి ఎంపికలోని మూలకాల క్రమం ముఖ్యమైనది. మరియు ప్రతిదీ బాగానే ఉంటుంది, కానీ ఊహించని జోక్ ఏమిటంటే, అసలు సెట్‌లోని ఏదైనా వస్తువును మనకు కావలసినన్ని సార్లు ఎంచుకోవచ్చు. అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, “సమూహం తగ్గదు.”

ఇది ఎప్పుడు జరుగుతుంది? ఒక సాధారణ ఉదాహరణ అనేక డిస్క్‌లతో కూడిన కలయిక లాక్, కానీ సాంకేతిక పరిణామాల కారణంగా, దాని డిజిటల్ వారసుడిని పరిగణించడం మరింత సందర్భోచితంగా ఉంటుంది:

సమస్య 16

ఎన్ని నాలుగు అంకెల పిన్ కోడ్‌లు ఉన్నాయి?

పరిష్కారం: వాస్తవానికి, సమస్యను పరిష్కరించడానికి, కాంబినేటరిక్స్ నియమాల పరిజ్ఞానం సరిపోతుంది: మార్గాల్లో మీరు PIN కోడ్ యొక్క మొదటి అంకెను ఎంచుకోవచ్చు మరియుమార్గాలు - పిన్ కోడ్ యొక్క రెండవ అంకె మరియుఅనేక విధాలుగా - మూడవది మరియుఅదే సంఖ్య - నాల్గవది. ఈ విధంగా, కలయికలను గుణించే నియమం ప్రకారం, నాలుగు అంకెల పిన్ కోడ్‌ను ఇలా కంపోజ్ చేయవచ్చు: మార్గాలు.

మరియు ఇప్పుడు సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తోంది. షరతు ప్రకారం, మేము సంఖ్యల సమితిని అందిస్తాము, దాని నుండి సంఖ్యలు ఎంపిక చేయబడతాయి మరియు అమర్చబడతాయి ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో, నమూనాలోని సంఖ్యలు పునరావృతం కావచ్చు (అనగా అసలు సెట్‌లోని ఏదైనా అంకెను ఏకపక్షంగా ఎన్నిసార్లు ఉపయోగించవచ్చు). పునరావృతాలతో ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్య కోసం సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం: 10000

ఇక్కడ గుర్తుకు వచ్చేది ఏమిటంటే... ... PIN కోడ్‌ని నమోదు చేయడానికి మూడవసారి విఫల ప్రయత్నం చేసిన తర్వాత ATM కార్డ్‌ను “తింటున్నట్లయితే”, అప్పుడు దాన్ని యాదృచ్ఛికంగా తీసుకునే అవకాశాలు చాలా తక్కువగా ఉంటాయి.

మరియు కాంబినేటరిక్స్‌కు ఆచరణాత్మక అర్ధం లేదని ఎవరు చెప్పారు? సైట్ యొక్క పాఠకులందరికీ అభిజ్ఞా పని:

సమస్య 17

రాష్ట్ర ప్రమాణం ప్రకారం, కారు లైసెన్స్ ప్లేట్ 3 సంఖ్యలు మరియు 3 అక్షరాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మూడు సున్నాలు ఉన్న సంఖ్య ఆమోదయోగ్యం కాదు మరియు A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X సెట్ నుండి అక్షరాలు ఎంపిక చేయబడతాయి. (సిరిలిక్ అక్షరాలు మాత్రమే ఉపయోగించబడతాయి, దీని స్పెల్లింగ్ లాటిన్ అక్షరాలతో సమానంగా ఉంటుంది).

ఒక ప్రాంతం కోసం ఎన్ని విభిన్న లైసెన్స్ ప్లేట్‌లను సృష్టించవచ్చు?

వాటిలో చాలా కాదు, మార్గం ద్వారా. పెద్ద ప్రాంతాలలో తగినంత పరిమాణం లేదు, అందువల్ల వారికి శాసనం RUS కోసం అనేక సంకేతాలు ఉన్నాయి.

పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి. కాంబినేటరిక్స్ నియమాలను ఉపయోగించడం మర్చిపోవద్దు ;-) ...నేను ప్రత్యేకమైనది ఏమిటో చూపించాలనుకున్నాను, కానీ అది ప్రత్యేకమైనది కాదని తేలింది =) నేను వికీపీడియాను చూశాను - వ్యాఖ్యలు లేకపోయినా అక్కడ లెక్కలు ఉన్నాయి. విద్యా ప్రయోజనాల కోసం అయినప్పటికీ, బహుశా, కొంతమంది దీనిని పరిష్కరించారు.

మా ఉత్తేజకరమైన పాఠం ముగిసింది, చివరకు మీరు మీ సమయాన్ని వృధా చేసుకోలేదని నేను చెప్పాలనుకుంటున్నాను - కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలు మరొక ముఖ్యమైన ఆచరణాత్మక అనువర్తనాన్ని కనుగొనే కారణంతో: అవి వివిధ సమస్యలలో కనిపిస్తాయి. సంభావ్యత సిద్ధాంతం,
మరియు లోపల సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్ధారణకు సంబంధించిన సమస్యలు- ముఖ్యంగా తరచుగా =)

మీరు చురుకుగా పాల్గొన్నందుకు అందరికీ ధన్యవాదాలు మరియు త్వరలో కలుద్దాం!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

టాస్క్ 2: పరిష్కారం: 4 కార్డ్‌ల యొక్క అన్ని ప్రస్తారణల సంఖ్యను కనుగొనండి:

సున్నాతో కూడిన కార్డును 1వ స్థానంలో ఉంచినప్పుడు, ఆ సంఖ్య మూడు-అంకెలుగా మారుతుంది, కాబట్టి ఈ కలయికలను మినహాయించాలి. సున్నా 1వ స్థానంలో ఉండనివ్వండి, ఆపై దిగువ అంకెలలో మిగిలిన 3 అంకెలను వివిధ మార్గాల్లో మార్చవచ్చు.

గమనిక : ఎందుకంటే కొన్ని కార్డ్‌లు మాత్రమే ఉన్నందున, ఇక్కడ అన్ని ఎంపికలను జాబితా చేయడం సులభం:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

అందువలన, ప్రతిపాదిత సెట్ నుండి మనం చేయవచ్చు:
24 – 6 = 18 నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు
సమాధానం : 18

టాస్క్ 4: పరిష్కారం: మీరు 36లో 3 కార్డ్‌లను ఎంచుకోవచ్చు.
సమాధానం : 7140

టాస్క్ 6: పరిష్కారం: మార్గాలు.
మరొక పరిష్కారం : మీరు సమూహం నుండి ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎంచుకోగల మార్గాలు మరియు మరియు
2) "చౌకైన" సెట్లో 3 రూబుల్ నాణేలు ఉన్నాయి, మరియు అత్యంత "ఖరీదైనవి" - 3 పది-రూబుల్ నాణేలు.

సమస్య 17: పరిష్కారం: ఈ పద్ధతులను ఉపయోగించి, మీరు కారు నంబర్ యొక్క డిజిటల్ కలయికను సృష్టించవచ్చు, అయితే వాటిలో ఒకటి (000) మినహాయించాలి: .
ఈ పద్ధతులను ఉపయోగించి, మీరు లైసెన్స్ ప్లేట్ నంబర్ యొక్క అక్షరాల కలయికను సృష్టించవచ్చు.
కలయికలను గుణించే నియమం ప్రకారం, మొత్తం చేయవచ్చు:
లైసెన్స్ ప్లేట్లు
(ప్రతిడిజిటల్ కలయిక కలిపి ఉంటుంది ప్రతి తోఅక్షరాల కలయిక).
సమాధానం : 1726272

k ద్వారా n మూలకాల కలయికల సంఖ్యను MS EXCELలో లెక్కిద్దాం. సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము కలయికల యొక్క అన్ని వైవిధ్యాలను షీట్‌లో ప్రదర్శిస్తాము (పదం యొక్క ఆంగ్ల అనువాదం: పునరావృతం లేకుండా కలయికలు).

k మూలకాల యొక్క n విభిన్న మూలకాల కలయికలు కనీసం ఒక మూలకంలో తేడా ఉండే కలయికలు. ఉదాహరణకు, 5 మూలకాలను (1; 2; 3; 4; 5) కలిగి ఉన్న సెట్ నుండి తీసుకోబడిన అన్ని 3-మూలకాల కలయికలు క్రింద ఉన్నాయి:

(1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5)

గమనిక: ఇది MS EXCELని ఉపయోగించి కలయికల సంఖ్యను లెక్కించడం గురించిన కథనం. ప్రత్యేక పాఠ్యపుస్తకంలో సైద్ధాంతిక పునాదులను చదవమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. ఈ కథనం నుండి కలయికలను నేర్చుకోవడం చెడ్డ ఆలోచన.

కలయికలు మరియు ప్లేస్‌మెంట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం

కలయికల యొక్క అన్ని కలయికలను ప్రదర్శిస్తోంది

ఉదాహరణ ఫైల్‌లో, ఇచ్చిన n మరియు k కోసం అన్ని కాంబినేషన్‌లను ప్రదర్శించడానికి సూత్రాలు సృష్టించబడతాయి.

సెట్ (n) యొక్క మూలకాల సంఖ్యను మరియు దాని నుండి మనం ఎంచుకున్న మూలకాల సంఖ్యను పేర్కొనడం ద్వారా (k), ఫార్ములాలను ఉపయోగించి మేము అన్ని కలయికలను ప్రదర్శిస్తాము.

టాస్క్

ఒక కార్ ట్రాన్స్‌పోర్టర్ 4 కార్లను రవాణా చేయగలదు. 7 వేర్వేరు కార్లను (LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo, Lada Largus) రవాణా చేయడం అవసరం. మొదటి కారు రవాణాదారుని ఎన్ని రకాలుగా నింపవచ్చు? కారు ట్రాన్స్పోర్టర్లో కారు యొక్క నిర్దిష్ట స్థలం ముఖ్యమైనది కాదు.

మేము సంఖ్యను నిర్ణయించాలి కలయికలుకార్ ట్రాన్స్పోర్టర్ యొక్క 4 ప్రదేశాలలో 7 కార్లు. ఆ. n=7, మరియు k=4. అటువంటి 35 ఎంపికలు ఉన్నాయి =NUMBERCOMB(7,4).