త్రిమితీయ కనీస చతురస్రాల పద్ధతి. ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు

ఇది సైన్స్ మరియు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో విస్తృతమైన అనువర్తనాన్ని కనుగొంటుంది. ఇది భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, ఆర్థిక శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం, మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు మొదలైనవి కావచ్చు. విధి యొక్క సంకల్పం ప్రకారం, నేను తరచుగా ఆర్థిక వ్యవస్థతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది, అందువల్ల ఈ రోజు నేను మీ కోసం ఒక అద్భుతమైన దేశానికి ఒక యాత్రను ఏర్పాటు చేస్తాను. ఎకనామెట్రిక్స్=) ...మీరు కోరుకోకుండా ఎలా ఉంటారు?! ఇది అక్కడ చాలా బాగుంది - మీరు మీ మనస్సును ఏర్పరచుకోవాలి! ...కానీ మీరు ఖచ్చితంగా కోరుకునేది సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడమే కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి. మరియు ముఖ్యంగా శ్రద్ధగల పాఠకులు వాటిని ఖచ్చితంగా పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటారు, కానీ చాలా త్వరగా కూడా ;-) అయితే ముందుగా సమస్య యొక్క సాధారణ ప్రకటన+ అనుబంధ ఉదాహరణ:

పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్న నిర్దిష్ట సబ్జెక్ట్ ప్రాంతంలో సూచికలను అధ్యయనం చేద్దాం. అదే సమయంలో, సూచిక సూచికపై ఆధారపడి ఉంటుందని నమ్మడానికి ప్రతి కారణం ఉంది. ఈ ఊహ శాస్త్రీయ పరికల్పన కావచ్చు లేదా ప్రాథమిక ఇంగితజ్ఞానం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, సైన్స్‌ని పక్కన పెట్టి, మరింత ఆకలి పుట్టించే ప్రాంతాలను అన్వేషిద్దాం - అవి కిరాణా దుకాణాలు. దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

- కిరాణా దుకాణం యొక్క రిటైల్ ప్రాంతం, sq.m.,
- కిరాణా దుకాణం యొక్క వార్షిక టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు.

స్టోర్ ఏరియా ఎంత పెద్దదైతే, చాలా సందర్భాలలో దాని టర్నోవర్ అంత ఎక్కువగా ఉంటుందని ఖచ్చితంగా చెప్పవచ్చు.

టాంబురైన్‌తో పరిశీలనలు/ప్రయోగాలు/గణనలు/డ్యాన్స్‌లు చేసిన తర్వాత మన వద్ద సంఖ్యా డేటా ఉందని అనుకుందాం:

కిరాణా దుకాణాలతో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను: - ఇది 1 వ దుకాణం యొక్క ప్రాంతం, - దాని వార్షిక టర్నోవర్, - 2 వ దుకాణం యొక్క ప్రాంతం, - దాని వార్షిక టర్నోవర్ మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, వర్గీకృత పదార్థాలకు ప్రాప్యత అవసరం లేదు - వాణిజ్య టర్నోవర్ యొక్క ఖచ్చితమైన అంచనాను దీని ద్వారా పొందవచ్చు గణిత గణాంకాలు. అయితే, పరధ్యానంలో పడకండి, వాణిజ్య గూఢచర్యం కోర్సు ఇప్పటికే చెల్లించబడింది =)

పట్టిక డేటాను పాయింట్ల రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు మరియు సుపరిచితమైన రూపంలో చిత్రీకరించవచ్చు కార్టేసియన్ వ్యవస్థ .

ఒక ముఖ్యమైన ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వండి: గుణాత్మక అధ్యయనానికి ఎన్ని పాయింట్లు అవసరం?

పెద్దది, మంచిది. కనీస ఆమోదయోగ్యమైన సెట్ 5-6 పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది. అదనంగా, డేటా మొత్తం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, నమూనాలో "క్రమరహిత" ఫలితాలు చేర్చబడవు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఒక చిన్న ఎలైట్ స్టోర్ "దాని సహోద్యోగుల" కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్‌లను సంపాదించగలదు, తద్వారా మీరు కనుగొనవలసిన సాధారణ నమూనాను వక్రీకరిస్తుంది!

చాలా సరళంగా చెప్పాలంటే, మనం ఒక ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవాలి, షెడ్యూల్పాయింట్లకు వీలైనంత దగ్గరగా వెళుతుంది . ఈ ఫంక్షన్ అంటారు సుమారుగా (ఉజ్జాయింపు - ఉజ్జాయింపు)లేదా సైద్ధాంతిక విధి . సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఒక స్పష్టమైన “పోటీదారు” వెంటనే ఇక్కడ కనిపిస్తుంది - అధిక-స్థాయి బహుపది, దీని గ్రాఫ్ అన్ని పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది. కానీ ఈ ఎంపిక సంక్లిష్టమైనది మరియు తరచుగా తప్పు. (గ్రాఫ్ అన్ని సమయాలలో "లూప్" అవుతుంది మరియు ప్రధాన ధోరణిని పేలవంగా ప్రతిబింబిస్తుంది).

అందువల్ల, కోరిన ఫంక్షన్ చాలా సరళంగా ఉండాలి మరియు అదే సమయంలో ఆధారపడటాన్ని తగినంతగా ప్రతిబింబిస్తుంది. మీరు ఊహించినట్లుగా, అటువంటి ఫంక్షన్లను కనుగొనే పద్ధతుల్లో ఒకటి అంటారు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి. మొదట, సాధారణ పరంగా దాని సారాంశాన్ని చూద్దాం. కొన్ని ప్రయోగాత్మక డేటా సుమారుగా పని చేయనివ్వండి:


ఈ ఉజ్జాయింపు యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని ఎలా అంచనా వేయాలి? ప్రయోగాత్మక మరియు క్రియాత్మక విలువల మధ్య తేడాలను (విచలనాలు) కూడా గణిద్దాం (మేము డ్రాయింగ్ అధ్యయనం చేస్తాము). మనసులో వచ్చే మొదటి ఆలోచన మొత్తం ఎంత పెద్దది అని అంచనా వేయడమే, అయితే సమస్య ఏమిటంటే తేడాలు ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకి, ) మరియు అటువంటి సమ్మషన్ ఫలితంగా విచలనాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడతాయి. అందువల్ల, ఉజ్జాయింపు యొక్క ఖచ్చితత్వం యొక్క అంచనాగా, మొత్తాన్ని తీసుకోమని వేడుకుంటుంది మాడ్యూల్స్విచలనాలు:

లేదా కుప్పకూలింది: (ఎవరికైనా తెలియకపోతే: - ఇది మొత్తం చిహ్నం, మరియు - సహాయక "కౌంటర్" వేరియబుల్, ఇది 1 నుండి విలువలను తీసుకుంటుంది).

వేర్వేరు ఫంక్షన్‌లతో ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను అంచనా వేయడం ద్వారా, మేము వేర్వేరు విలువలను పొందుతాము మరియు స్పష్టంగా, ఈ మొత్తం ఎక్కడ తక్కువగా ఉంటే, ఆ ఫంక్షన్ మరింత ఖచ్చితమైనది.

అటువంటి పద్ధతి ఉంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు కనీసం మాడ్యులస్ పద్ధతి. అయితే, ఆచరణలో ఇది మరింత విస్తృతంగా మారింది కనీసం చదరపు పద్ధతి, దీనిలో సాధ్యమయ్యే ప్రతికూల విలువలు మాడ్యూల్ ద్వారా కాకుండా, విచలనాలను వర్గీకరించడం ద్వారా తొలగించబడతాయి:

, దీని తర్వాత స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం ఒక ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నాలు లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాయి వీలైనంత చిన్నది. వాస్తవానికి, ఈ పద్ధతి యొక్క పేరు ఇక్కడ నుండి వచ్చింది.

మరియు ఇప్పుడు మేము మరొక ముఖ్యమైన అంశానికి తిరిగి వస్తాము: పైన పేర్కొన్నట్లుగా, ఎంచుకున్న ఫంక్షన్ చాలా సరళంగా ఉండాలి - కానీ అలాంటి అనేక విధులు కూడా ఉన్నాయి: సరళ , అతిశయోక్తి, ఘాతాంక, లాగరిథమిక్, చతుర్భుజం మొదలైనవి మరియు, వాస్తవానికి, ఇక్కడ నేను వెంటనే "కార్యాచరణ రంగాన్ని తగ్గించాలనుకుంటున్నాను." పరిశోధన కోసం నేను ఏ తరగతి ఫంక్షన్‌లను ఎంచుకోవాలి? ఒక ప్రాచీనమైన కానీ ప్రభావవంతమైన సాంకేతికత:

- పాయింట్లను వర్ణించడం సులభమయిన మార్గం డ్రాయింగ్లో మరియు వారి స్థానాన్ని విశ్లేషించండి. వారు సరళ రేఖలో నడుస్తుంటే, మీరు వెతకాలి ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం సరైన విలువలతో మరియు . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉండేలా అటువంటి గుణకాలను కనుగొనడం పని.

పాయింట్లు ఉన్నట్లయితే, ఉదాహరణకు, వెంట అతిశయోక్తి, అప్పుడు లీనియర్ ఫంక్షన్ పేలవమైన ఉజ్జాయింపును ఇస్తుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము హైపర్బోలా సమీకరణం కోసం అత్యంత "అనుకూలమైన" గుణకాల కోసం చూస్తున్నాము - చతురస్రాల కనీస మొత్తాన్ని ఇచ్చేవి .

ఇప్పుడు మేము రెండు సందర్భాల్లో మాట్లాడుతున్నామని గమనించండి రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు, వీరి వాదనలు డిపెండెన్సీ పారామితులను శోధించారు:

మరియు తప్పనిసరిగా మేము ఒక ప్రామాణిక సమస్యను పరిష్కరించాలి - కనుగొనండి రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క కనీస ఫంక్షన్.

మన ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోండి: “స్టోర్” పాయింట్లు సరళ రేఖలో ఉన్నాయని అనుకుందాం మరియు నమ్మడానికి ప్రతి కారణం ఉంది. సరళ ఆధారపడటంరిటైల్ స్థలం నుండి టర్నోవర్. స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తంలో అటువంటి గుణకాలు “a” మరియు “be”ని కనుగొనండి అతి చిన్నది. ప్రతిదీ సాధారణమైనది - మొదటిది 1వ ఆర్డర్ పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. ప్రకారం సరళత నియమంమీరు మొత్తం చిహ్నం క్రింద వేరు చేయవచ్చు:

మీరు ఈ సమాచారాన్ని వ్యాసం లేదా టర్మ్ పేపర్ కోసం ఉపయోగించాలనుకుంటే, మూలాధారాల జాబితాలోని లింక్‌కు నేను చాలా కృతజ్ఞుడను; మీరు కొన్ని ప్రదేశాలలో అటువంటి వివరణాత్మక గణనలను కనుగొంటారు:

ప్రామాణిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని "రెండు" ద్వారా తగ్గిస్తాము మరియు అదనంగా, మొత్తాలను "విచ్ఛిన్నం" చేస్తాము:

గమనిక : "a" మరియు "be" మొత్తం చిహ్నానికి మించి ఎందుకు తీసుకోవచ్చో స్వతంత్రంగా విశ్లేషించండి. మార్గం ద్వారా, అధికారికంగా ఇది మొత్తంతో చేయవచ్చు

సిస్టమ్‌ను “అప్లైడ్” రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం:

దీని తర్వాత మా సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం ఉద్భవించడం ప్రారంభమవుతుంది:

పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు మనకు తెలుసా? మాకు తెలుసు. మొత్తాలు మేము దానిని కనుగొనగలమా? సులభంగా. సరళమైనది చేద్దాం రెండు తెలియని వాటిలో రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ("a" మరియు "be"). మేము వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము, ఉదాహరణకు, క్రామెర్ పద్ధతి, దీని ఫలితంగా మనం స్థిరమైన బిందువును పొందుతాము. తనిఖీ చేస్తోంది ఒక తీవ్రమైన కోసం తగినంత పరిస్థితి, మేము ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌ని ధృవీకరించవచ్చు సరిగ్గా చేరుకుంటుంది కనీస. చెక్ అదనపు గణనలను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి మేము దానిని తెరవెనుక వదిలివేస్తాము (అవసరమైతే, తప్పిపోయిన ఫ్రేమ్‌ను చూడవచ్చు). మేము తుది తీర్మానం చేస్తాము:

ఫంక్షన్ ఉత్తమ మార్గం (కనీసం ఏదైనా ఇతర లీనియర్ ఫంక్షన్‌తో పోలిస్తే)ప్రయోగాత్మక పాయింట్లను దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది . స్థూలంగా చెప్పాలంటే, దాని గ్రాఫ్ ఈ పాయింట్లకు వీలైనంత దగ్గరగా వెళుతుంది. సంప్రదాయంలో ఎకనామెట్రిక్స్ఫలితంగా వచ్చే ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ని కూడా అంటారు జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ .

పరిశీలనలో ఉన్న సమస్య గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉంది. మా ఉదాహరణ పరిస్థితిలో, Eq. వాణిజ్య టర్నోవర్‌ను అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ("ఇగ్రెక్")దుకాణం విక్రయ ప్రాంతం యొక్క ఒకటి లేదా మరొక విలువను కలిగి ఉంటుంది ("x" యొక్క ఒకటి లేదా మరొక అర్థం). అవును, ఫలిత సూచన సూచన మాత్రమే అవుతుంది, కానీ చాలా సందర్భాలలో ఇది చాలా ఖచ్చితమైనదిగా మారుతుంది.

నేను "వాస్తవ" సంఖ్యలతో కేవలం ఒక సమస్యను విశ్లేషిస్తాను, ఎందుకంటే అందులో ఎటువంటి ఇబ్బందులు లేవు - అన్ని లెక్కలు 7వ-8వ తరగతి పాఠశాల పాఠ్యాంశాల స్థాయిలో ఉంటాయి. 95 శాతం కేసులలో, మీరు కేవలం ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్‌ని కనుగొనమని అడగబడతారు, కానీ వ్యాసం చివరలో నేను ఆప్టిమల్ హైపర్‌బోలా, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు కొన్ని ఇతర ఫంక్షన్‌ల సమీకరణాలను కనుగొనడం కష్టమేమీ కాదని చూపిస్తాను.

వాస్తవానికి, వాగ్దానం చేసిన గూడీస్ పంపిణీ చేయడమే మిగిలి ఉంది - తద్వారా మీరు అలాంటి ఉదాహరణలను ఖచ్చితంగా మాత్రమే కాకుండా త్వరగా పరిష్కరించడానికి నేర్చుకోవచ్చు. మేము ప్రమాణాన్ని జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేస్తాము:

టాస్క్

రెండు సూచికల మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసిన ఫలితంగా, క్రింది జతల సంఖ్యలు పొందబడ్డాయి:

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, అనుభావికతను ఉత్తమంగా అంచనా వేసే లీనియర్ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి (అనుభవం)సమాచారం. కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను మరియు ఇంచుమించు ఫంక్షన్‌కి సంబంధించిన గ్రాఫ్‌ను నిర్మించే డ్రాయింగ్‌ను రూపొందించండి . అనుభావిక మరియు సైద్ధాంతిక విలువల మధ్య స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి. ఫీచర్ మెరుగ్గా ఉంటుందో లేదో తెలుసుకోండి (తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క కోణం నుండి)ప్రయోగాత్మక అంశాలను దగ్గరగా తీసుకురండి.

దయచేసి “x” అర్థాలు సహజమైనవని గమనించండి మరియు ఇది ఒక లక్షణమైన అర్థవంతమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంది, దాని గురించి నేను కొంచెం తరువాత మాట్లాడతాను; కానీ అవి, వాస్తవానికి, పాక్షికంగా కూడా ఉంటాయి. అదనంగా, నిర్దిష్ట పని యొక్క కంటెంట్‌పై ఆధారపడి, “X” మరియు “గేమ్” విలువలు రెండూ పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు. సరే, మాకు "ముఖం లేని" పని ఇవ్వబడింది మరియు మేము దానిని ప్రారంభిస్తాము పరిష్కారం:

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారంగా సరైన ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలను మేము కనుగొంటాము:

మరింత కాంపాక్ట్ రికార్డింగ్ ప్రయోజనం కోసం, "కౌంటర్" వేరియబుల్ విస్మరించబడవచ్చు, ఎందుకంటే సమ్మషన్ 1 నుండి వరకు నిర్వహించబడుతుందని ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది.

పట్టిక రూపంలో అవసరమైన మొత్తాలను లెక్కించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:


గణనలను మైక్రోకాలిక్యులేటర్‌లో నిర్వహించవచ్చు, కానీ ఎక్సెల్ ఉపయోగించడం చాలా మంచిది - వేగంగా మరియు లోపాలు లేకుండా; ఒక చిన్న వీడియో చూడండి:

అందువలన, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము వ్యవస్థ:

ఇక్కడ మీరు రెండవ సమీకరణాన్ని 3 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు పదం ద్వారా 1వ సమీకరణ పదం నుండి 2వ వ్యవకలనం. కానీ ఇది అదృష్టం - ఆచరణలో, వ్యవస్థలు తరచుగా బహుమతిగా ఉండవు మరియు అలాంటి సందర్భాలలో అది ఆదా అవుతుంది క్రామెర్ పద్ధతి:
, అంటే సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది.

తనిఖీ చేద్దాం. మీరు చేయకూడదని నేను అర్థం చేసుకున్నాను, కానీ తప్పులు తప్పవని వాటిని ఎందుకు దాటవేయాలి? సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

సంబంధిత సమీకరణాల యొక్క కుడి-భుజాలు పొందబడతాయి, అంటే సిస్టమ్ సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

అందువలన, కావలసిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్: – నుండి అన్ని సరళ విధులుప్రయోగాత్మక డేటాను ఉత్తమంగా అంచనా వేసేది ఆమె.

కాకుండా నేరుగా స్టోర్ యొక్క టర్నోవర్ దాని ప్రాంతంపై ఆధారపడటం, కనుగొనబడిన ఆధారపడటం రివర్స్ (సూత్రం "ఎక్కువ, తక్కువ"), మరియు ఈ వాస్తవం వెంటనే ప్రతికూలంగా వెల్లడి చేయబడుతుంది వాలు. ఫంక్షన్ ఒక నిర్దిష్ట సూచికలో 1 యూనిట్ పెరుగుదలతో, ఆధారిత సూచిక విలువ తగ్గుతుందని మాకు చెబుతుంది సగటు 0.65 యూనిట్ల ద్వారా. వారు చెప్పినట్లు, బుక్వీట్ ధర ఎక్కువ, అది తక్కువగా విక్రయించబడుతుంది.

ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మేము దాని రెండు విలువలను కనుగొంటాము:

మరియు డ్రాయింగ్‌ను అమలు చేయండి:


నిర్మించిన సరళ రేఖ అంటారు ట్రెండ్ లైన్ (అనగా, ఒక లీనియర్ ట్రెండ్ లైన్, అంటే సాధారణ సందర్భంలో, ట్రెండ్ అనేది సరళ రేఖ కానవసరం లేదు). "ట్రెండ్‌లో ఉండటం" అనే వ్యక్తీకరణ అందరికీ తెలుసు మరియు ఈ పదానికి అదనపు వ్యాఖ్యలు అవసరం లేదని నేను భావిస్తున్నాను.

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని గణిద్దాం అనుభావిక మరియు సైద్ధాంతిక విలువల మధ్య. రేఖాగణితంగా, ఇది "కోరిందకాయ" విభాగాల పొడవుల చతురస్రాల మొత్తం. (వీటిలో రెండు చాలా చిన్నవి, అవి కూడా కనిపించవు).

పట్టికలో లెక్కలను సంగ్రహిద్దాం:


మళ్ళీ, అవి మానవీయంగా చేయవచ్చు; ఒకవేళ, నేను 1వ పాయింట్ కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాను:

కానీ ఇప్పటికే తెలిసిన మార్గంలో దీన్ని చేయడం చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది:

మేము మరోసారి పునరావృతం చేస్తాము: పొందిన ఫలితం యొక్క అర్థం ఏమిటి?నుండి అన్ని సరళ విధులు y ఫంక్షన్ సూచిక చిన్నది, అంటే, దాని కుటుంబంలో ఇది ఉత్తమ ఉజ్జాయింపు. మరియు ఇక్కడ, మార్గం ద్వారా, సమస్య యొక్క చివరి ప్రశ్న ప్రమాదవశాత్తు కాదు: ప్రతిపాదిత ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అయితే ప్రయోగాత్మక అంశాలను దగ్గరగా తీసుకురావడం మంచిదేనా?

స్క్వేర్డ్ విచలనాల సంబంధిత మొత్తాన్ని కనుగొనండి - వేరు చేయడానికి, నేను వాటిని “ఎప్సిలాన్” అక్షరంతో సూచిస్తాను. సాంకేతికత సరిగ్గా అదే:


మరలా, 1వ పాయింట్ కోసం లెక్కలు:

Excel లో మేము ప్రామాణిక ఫంక్షన్ ఉపయోగిస్తాము ఎక్స్‌పి (సింటాక్స్‌ని Excel సహాయంలో చూడవచ్చు).

ముగింపు: , అంటే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ సరళ రేఖ కంటే అధ్వాన్నంగా ఉన్న ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను అంచనా వేస్తుంది .

కానీ ఇక్కడ అది "అధ్వాన్నమైనది" అని గమనించాలి ఇంకా అర్థం కాదు, ఏమి తప్పు. ఇప్పుడు నేను ఈ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ని నిర్మించాను - మరియు ఇది పాయింట్‌లకు దగ్గరగా కూడా వెళుతుంది - ఎంతగా అంటే విశ్లేషణాత్మక పరిశోధన లేకుండా ఏ ఫంక్షన్ మరింత ఖచ్చితమైనదో చెప్పడం కష్టం.

ఇది పరిష్కారాన్ని ముగించింది మరియు నేను వాదన యొక్క సహజ విలువల ప్రశ్నకు తిరిగి వస్తాను. వివిధ అధ్యయనాలలో, సాధారణంగా ఆర్థిక లేదా సామాజిక, సహజమైన "X" లు నెలలు, సంవత్సరాలు లేదా ఇతర సమాన సమయ వ్యవధిని లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఉదాహరణకు, కింది సమస్యను పరిగణించండి.

తక్కువ చదరపు పద్ధతి

అంశం యొక్క చివరి పాఠంలో, మేము అత్యంత ప్రసిద్ధ అప్లికేషన్తో పరిచయం చేస్తాము FNP, ఇది సైన్స్ మరియు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో విస్తృతమైన అనువర్తనాన్ని కనుగొంటుంది. ఇది భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, ఆర్థిక శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం, మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు మొదలైనవి కావచ్చు. విధి యొక్క సంకల్పం ప్రకారం, నేను తరచుగా ఆర్థిక వ్యవస్థతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది, అందువల్ల ఈ రోజు నేను మీ కోసం ఒక అద్భుతమైన దేశానికి ఒక యాత్రను ఏర్పాటు చేస్తాను. ఎకనామెట్రిక్స్=) ...మీరు కోరుకోకుండా ఎలా ఉంటారు?! ఇది అక్కడ చాలా బాగుంది - మీరు మీ మనస్సును ఏర్పరచుకోవాలి! ...కానీ మీరు ఖచ్చితంగా కోరుకునేది సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడమే కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి. మరియు ముఖ్యంగా శ్రద్ధగల పాఠకులు వాటిని ఖచ్చితంగా పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటారు, కానీ చాలా త్వరగా కూడా ;-) అయితే ముందుగా సమస్య యొక్క సాధారణ ప్రకటన+ అనుబంధ ఉదాహరణ:

పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్న నిర్దిష్ట సబ్జెక్ట్ ప్రాంతంలో సూచికలను అధ్యయనం చేద్దాం. అదే సమయంలో, సూచిక సూచికపై ఆధారపడి ఉంటుందని నమ్మడానికి ప్రతి కారణం ఉంది. ఈ ఊహ శాస్త్రీయ పరికల్పన కావచ్చు లేదా ప్రాథమిక ఇంగితజ్ఞానం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, సైన్స్‌ని పక్కన పెట్టి, మరింత ఆకలి పుట్టించే ప్రాంతాలను అన్వేషిద్దాం - అవి కిరాణా దుకాణాలు. దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

- కిరాణా దుకాణం యొక్క రిటైల్ ప్రాంతం, sq.m.,
- కిరాణా దుకాణం యొక్క వార్షిక టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు.

స్టోర్ ఏరియా ఎంత పెద్దదైతే, చాలా సందర్భాలలో దాని టర్నోవర్ అంత ఎక్కువగా ఉంటుందని ఖచ్చితంగా చెప్పవచ్చు.

టాంబురైన్‌తో పరిశీలనలు/ప్రయోగాలు/గణనలు/డ్యాన్స్‌లు చేసిన తర్వాత మన వద్ద సంఖ్యా డేటా ఉందని అనుకుందాం:

కిరాణా దుకాణాలతో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను: - ఇది 1 వ దుకాణం యొక్క ప్రాంతం, - దాని వార్షిక టర్నోవర్, - 2 వ దుకాణం యొక్క ప్రాంతం, - దాని వార్షిక టర్నోవర్ మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, వర్గీకృత పదార్థాలకు ప్రాప్యత అవసరం లేదు - వాణిజ్య టర్నోవర్ యొక్క ఖచ్చితమైన అంచనాను దీని ద్వారా పొందవచ్చు గణిత గణాంకాలు. అయితే, పరధ్యానంలో పడకండి, వాణిజ్య గూఢచర్యం కోర్సు ఇప్పటికే చెల్లించబడింది =)

పట్టిక డేటాను పాయింట్ల రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు మరియు సుపరిచితమైన రూపంలో చిత్రీకరించవచ్చు కార్టేసియన్ వ్యవస్థ .

ఒక ముఖ్యమైన ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వండి: గుణాత్మక అధ్యయనానికి ఎన్ని పాయింట్లు అవసరం?

పెద్దది, మంచిది. కనీస ఆమోదయోగ్యమైన సెట్ 5-6 పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది. అదనంగా, డేటా మొత్తం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, నమూనాలో "క్రమరహిత" ఫలితాలు చేర్చబడవు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఒక చిన్న ఎలైట్ స్టోర్ "దాని సహోద్యోగుల" కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్‌లను సంపాదించగలదు, తద్వారా మీరు కనుగొనవలసిన సాధారణ నమూనాను వక్రీకరిస్తుంది!

చాలా సరళంగా చెప్పాలంటే, మనం ఒక ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవాలి, షెడ్యూల్పాయింట్లకు వీలైనంత దగ్గరగా వెళుతుంది . ఈ ఫంక్షన్ అంటారు సుమారుగా (ఉజ్జాయింపు - ఉజ్జాయింపు)లేదా సైద్ధాంతిక విధి . సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఒక స్పష్టమైన “పోటీదారు” వెంటనే ఇక్కడ కనిపిస్తుంది - అధిక-స్థాయి బహుపది, దీని గ్రాఫ్ అన్ని పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది. కానీ ఈ ఎంపిక సంక్లిష్టమైనది మరియు తరచుగా తప్పు. (గ్రాఫ్ అన్ని సమయాలలో "లూప్" అవుతుంది మరియు ప్రధాన ధోరణిని పేలవంగా ప్రతిబింబిస్తుంది).

అందువల్ల, కోరిన ఫంక్షన్ చాలా సరళంగా ఉండాలి మరియు అదే సమయంలో ఆధారపడటాన్ని తగినంతగా ప్రతిబింబిస్తుంది. మీరు ఊహించినట్లుగా, అటువంటి ఫంక్షన్లను కనుగొనే పద్ధతుల్లో ఒకటి అంటారు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి. మొదట, సాధారణ పరంగా దాని సారాంశాన్ని చూద్దాం. కొన్ని ప్రయోగాత్మక డేటా సుమారుగా పని చేయనివ్వండి:


ఈ ఉజ్జాయింపు యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని ఎలా అంచనా వేయాలి? ప్రయోగాత్మక మరియు క్రియాత్మక విలువల మధ్య తేడాలను (విచలనాలు) కూడా గణిద్దాం (మేము డ్రాయింగ్ అధ్యయనం చేస్తాము). మనసులో వచ్చే మొదటి ఆలోచన మొత్తం ఎంత పెద్దది అని అంచనా వేయడమే, అయితే సమస్య ఏమిటంటే తేడాలు ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకి, ) మరియు అటువంటి సమ్మషన్ ఫలితంగా విచలనాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడతాయి. అందువల్ల, ఉజ్జాయింపు యొక్క ఖచ్చితత్వం యొక్క అంచనాగా, మొత్తాన్ని తీసుకోమని వేడుకుంటుంది మాడ్యూల్స్విచలనాలు:

లేదా కుప్పకూలింది: (ఎవరికైనా తెలియకపోతే: మొత్తం చిహ్నం, మరియు - సహాయక "కౌంటర్" వేరియబుల్, ఇది 1 నుండి విలువలను తీసుకుంటుంది ) .

వేర్వేరు ఫంక్షన్‌లతో ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను అంచనా వేయడం ద్వారా, మేము వేర్వేరు విలువలను పొందుతాము మరియు స్పష్టంగా, ఈ మొత్తం ఎక్కడ తక్కువగా ఉంటే, ఆ ఫంక్షన్ మరింత ఖచ్చితమైనది.

అటువంటి పద్ధతి ఉంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు కనీసం మాడ్యులస్ పద్ధతి. అయితే, ఆచరణలో ఇది మరింత విస్తృతంగా మారింది కనీసం చదరపు పద్ధతి, దీనిలో సాధ్యమయ్యే ప్రతికూల విలువలు మాడ్యూల్ ద్వారా కాకుండా, విచలనాలను వర్గీకరించడం ద్వారా తొలగించబడతాయి:

, దీని తర్వాత స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం ఒక ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నాలు లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాయి వీలైనంత చిన్నది. వాస్తవానికి, ఈ పద్ధతి యొక్క పేరు ఇక్కడ నుండి వచ్చింది.

మరియు ఇప్పుడు మేము మరొక ముఖ్యమైన అంశానికి తిరిగి వస్తాము: పైన పేర్కొన్నట్లుగా, ఎంచుకున్న ఫంక్షన్ చాలా సరళంగా ఉండాలి - కానీ అలాంటి అనేక విధులు కూడా ఉన్నాయి: సరళ , అతిశయోక్తి , ఘాతాంక , లాగరిథమిక్ , చతుర్భుజం మొదలైనవి మరియు, వాస్తవానికి, ఇక్కడ నేను వెంటనే "కార్యాచరణ రంగాన్ని తగ్గించాలనుకుంటున్నాను." పరిశోధన కోసం నేను ఏ తరగతి ఫంక్షన్‌లను ఎంచుకోవాలి? ఒక ప్రాచీనమైన కానీ ప్రభావవంతమైన సాంకేతికత:

- పాయింట్లను వర్ణించడం సులభమయిన మార్గం డ్రాయింగ్లో మరియు వారి స్థానాన్ని విశ్లేషించండి. వారు సరళ రేఖలో నడుస్తుంటే, మీరు వెతకాలి ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం సరైన విలువలతో మరియు . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉండేలా అటువంటి గుణకాలను కనుగొనడం పని.

పాయింట్లు ఉన్నట్లయితే, ఉదాహరణకు, వెంట అతిశయోక్తి, అప్పుడు లీనియర్ ఫంక్షన్ పేలవమైన ఉజ్జాయింపును ఇస్తుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము హైపర్బోలా సమీకరణం కోసం అత్యంత "అనుకూలమైన" గుణకాల కోసం చూస్తున్నాము - చతురస్రాల కనీస మొత్తాన్ని ఇచ్చేవి .

ఇప్పుడు మేము రెండు సందర్భాల్లో మాట్లాడుతున్నామని గమనించండి రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు, వీరి వాదనలు డిపెండెన్సీ పారామితులను శోధించారు:

మరియు తప్పనిసరిగా మేము ఒక ప్రామాణిక సమస్యను పరిష్కరించాలి - కనుగొనండి రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క కనీస ఫంక్షన్.

మన ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోండి: “స్టోర్” పాయింట్లు సరళ రేఖలో ఉన్నాయని అనుకుందాం మరియు నమ్మడానికి ప్రతి కారణం ఉంది. సరళ ఆధారపడటంరిటైల్ స్థలం నుండి టర్నోవర్. స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తంలో అటువంటి గుణకాలు “a” మరియు “be”ని కనుగొనండి అతి చిన్నది. ప్రతిదీ సాధారణమైనది - మొదటిది 1వ ఆర్డర్ పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. ప్రకారం సరళత నియమంమీరు మొత్తం చిహ్నం క్రింద వేరు చేయవచ్చు:

మీరు ఈ సమాచారాన్ని వ్యాసం లేదా టర్మ్ పేపర్ కోసం ఉపయోగించాలనుకుంటే, మూలాధారాల జాబితాలోని లింక్‌కు నేను చాలా కృతజ్ఞుడను; మీరు కొన్ని ప్రదేశాలలో అటువంటి వివరణాత్మక గణనలను కనుగొంటారు:

ప్రామాణిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని "రెండు" ద్వారా తగ్గిస్తాము మరియు అదనంగా, మొత్తాలను "విచ్ఛిన్నం" చేస్తాము:

గమనిక : "a" మరియు "be" మొత్తం చిహ్నానికి మించి ఎందుకు తీసుకోవచ్చో స్వతంత్రంగా విశ్లేషించండి. మార్గం ద్వారా, అధికారికంగా ఇది మొత్తంతో చేయవచ్చు

సిస్టమ్‌ను “అప్లైడ్” రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం:

దీని తర్వాత మా సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం ఉద్భవించడం ప్రారంభమవుతుంది:

పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు మనకు తెలుసా? మాకు తెలుసు. మొత్తాలు మేము దానిని కనుగొనగలమా? సులభంగా. సరళమైనది చేద్దాం రెండు తెలియని వాటిలో రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ("a" మరియు "be"). మేము వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము, ఉదాహరణకు, క్రామెర్ పద్ధతి, దీని ఫలితంగా మనం స్థిరమైన బిందువును పొందుతాము. తనిఖీ చేస్తోంది ఒక తీవ్రమైన కోసం తగినంత పరిస్థితి, మేము ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌ని ధృవీకరించవచ్చు సరిగ్గా చేరుకుంటుంది కనీస. చెక్ అదనపు గణనలను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి మేము దానిని తెరవెనుక వదిలివేస్తాము (అవసరమైతే, తప్పిపోయిన ఫ్రేమ్‌ను చూడవచ్చుఇక్కడ ) . మేము తుది తీర్మానం చేస్తాము:

ఫంక్షన్ ఉత్తమ మార్గం (కనీసం ఏదైనా ఇతర లీనియర్ ఫంక్షన్‌తో పోలిస్తే)ప్రయోగాత్మక పాయింట్లను దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది . స్థూలంగా చెప్పాలంటే, దాని గ్రాఫ్ ఈ పాయింట్లకు వీలైనంత దగ్గరగా వెళుతుంది. సంప్రదాయంలో ఎకనామెట్రిక్స్ఫలితంగా వచ్చే ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ని కూడా అంటారు జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఈక్వేషన్ .

పరిశీలనలో ఉన్న సమస్య గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉంది. మా ఉదాహరణ పరిస్థితిలో, Eq. వాణిజ్య టర్నోవర్‌ను అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ("ఇగ్రెక్")దుకాణం విక్రయ ప్రాంతం యొక్క ఒకటి లేదా మరొక విలువను కలిగి ఉంటుంది ("x" యొక్క ఒకటి లేదా మరొక అర్థం). అవును, ఫలిత సూచన సూచన మాత్రమే అవుతుంది, కానీ చాలా సందర్భాలలో ఇది చాలా ఖచ్చితమైనదిగా మారుతుంది.

నేను "వాస్తవ" సంఖ్యలతో కేవలం ఒక సమస్యను విశ్లేషిస్తాను, ఎందుకంటే అందులో ఎటువంటి ఇబ్బందులు లేవు - అన్ని లెక్కలు 7వ-8వ తరగతి పాఠశాల పాఠ్యాంశాల స్థాయిలో ఉంటాయి. 95 శాతం కేసులలో, మీరు కేవలం ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్‌ని కనుగొనమని అడగబడతారు, కానీ వ్యాసం చివరలో నేను ఆప్టిమల్ హైపర్‌బోలా, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు కొన్ని ఇతర ఫంక్షన్‌ల సమీకరణాలను కనుగొనడం కష్టమేమీ కాదని చూపిస్తాను.

వాస్తవానికి, వాగ్దానం చేసిన గూడీస్ పంపిణీ చేయడమే మిగిలి ఉంది - తద్వారా మీరు అలాంటి ఉదాహరణలను ఖచ్చితంగా మాత్రమే కాకుండా త్వరగా పరిష్కరించడానికి నేర్చుకోవచ్చు. మేము ప్రమాణాన్ని జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేస్తాము:

టాస్క్

రెండు సూచికల మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసిన ఫలితంగా, క్రింది జతల సంఖ్యలు పొందబడ్డాయి:

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, అనుభావికతను ఉత్తమంగా అంచనా వేసే లీనియర్ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి (అనుభవం)సమాచారం. కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను మరియు ఇంచుమించు ఫంక్షన్‌కి సంబంధించిన గ్రాఫ్‌ను నిర్మించే డ్రాయింగ్‌ను రూపొందించండి . అనుభావిక మరియు సైద్ధాంతిక విలువల మధ్య స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి. ఫీచర్ మెరుగ్గా ఉంటుందో లేదో తెలుసుకోండి (తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క కోణం నుండి)ప్రయోగాత్మక అంశాలను దగ్గరగా తీసుకురండి.

దయచేసి “x” అర్థాలు సహజమైనవని గమనించండి మరియు ఇది ఒక లక్షణమైన అర్థవంతమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంది, దాని గురించి నేను కొంచెం తరువాత మాట్లాడతాను; కానీ అవి, వాస్తవానికి, పాక్షికంగా కూడా ఉంటాయి. అదనంగా, నిర్దిష్ట పని యొక్క కంటెంట్‌పై ఆధారపడి, “X” మరియు “గేమ్” విలువలు రెండూ పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు. సరే, మాకు "ముఖం లేని" పని ఇవ్వబడింది మరియు మేము దానిని ప్రారంభిస్తాము పరిష్కారం:

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారంగా సరైన ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలను మేము కనుగొంటాము:

మరింత కాంపాక్ట్ రికార్డింగ్ ప్రయోజనం కోసం, "కౌంటర్" వేరియబుల్ విస్మరించబడవచ్చు, ఎందుకంటే సమ్మషన్ 1 నుండి వరకు నిర్వహించబడుతుందని ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది.

పట్టిక రూపంలో అవసరమైన మొత్తాలను లెక్కించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:


గణనలను మైక్రోకాలిక్యులేటర్‌లో నిర్వహించవచ్చు, కానీ ఎక్సెల్ ఉపయోగించడం చాలా మంచిది - వేగంగా మరియు లోపాలు లేకుండా; ఒక చిన్న వీడియో చూడండి:

అందువలన, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము వ్యవస్థ:

ఇక్కడ మీరు రెండవ సమీకరణాన్ని 3 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు పదం ద్వారా 1వ సమీకరణ పదం నుండి 2వ వ్యవకలనం. కానీ ఇది అదృష్టం - ఆచరణలో, వ్యవస్థలు తరచుగా బహుమతిగా ఉండవు మరియు అలాంటి సందర్భాలలో అది ఆదా అవుతుంది క్రామెర్ పద్ధతి:
, అంటే సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది.

తనిఖీ చేద్దాం. మీరు చేయకూడదని నేను అర్థం చేసుకున్నాను, కానీ తప్పులు తప్పవని వాటిని ఎందుకు దాటవేయాలి? సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

సంబంధిత సమీకరణాల యొక్క కుడి-భుజాలు పొందబడతాయి, అంటే సిస్టమ్ సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది.

అందువలన, కావలసిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్: – నుండి అన్ని సరళ విధులుప్రయోగాత్మక డేటాను ఉత్తమంగా అంచనా వేసేది ఆమె.

కాకుండా నేరుగా స్టోర్ యొక్క టర్నోవర్ దాని ప్రాంతంపై ఆధారపడటం, కనుగొనబడిన ఆధారపడటం రివర్స్ (సూత్రం "ఎక్కువ, తక్కువ"), మరియు ఈ వాస్తవం వెంటనే ప్రతికూలంగా వెల్లడి చేయబడుతుంది వాలు. ఒక నిర్దిష్ట సూచిక 1 యూనిట్ ద్వారా పెరిగే కొద్దీ, డిపెండెంట్ ఇండికేటర్ విలువ తగ్గుతుందని ఫంక్షన్ చెబుతుంది సగటు 0.65 యూనిట్ల ద్వారా. వారు చెప్పినట్లు, బుక్వీట్ ధర ఎక్కువ, అది తక్కువగా విక్రయించబడుతుంది.

ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మేము దాని రెండు విలువలను కనుగొంటాము:

మరియు డ్రాయింగ్‌ను అమలు చేయండి:

నిర్మించిన సరళ రేఖ అంటారు ట్రెండ్ లైన్ (అనగా, ఒక లీనియర్ ట్రెండ్ లైన్, అంటే సాధారణ సందర్భంలో, ట్రెండ్ అనేది సరళ రేఖ కానవసరం లేదు). "ట్రెండ్‌లో ఉండటం" అనే వ్యక్తీకరణ అందరికీ తెలుసు మరియు ఈ పదానికి అదనపు వ్యాఖ్యలు అవసరం లేదని నేను భావిస్తున్నాను.

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని గణిద్దాం అనుభావిక మరియు సైద్ధాంతిక విలువల మధ్య. రేఖాగణితంగా, ఇది "కోరిందకాయ" విభాగాల పొడవుల చతురస్రాల మొత్తం. (వీటిలో రెండు చాలా చిన్నవి, అవి కూడా కనిపించవు).

పట్టికలో లెక్కలను సంగ్రహిద్దాం:


మళ్ళీ, అవి మానవీయంగా చేయవచ్చు; ఒకవేళ, నేను 1వ పాయింట్ కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాను:

కానీ ఇప్పటికే తెలిసిన మార్గంలో దీన్ని చేయడం చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది:

మేము మరోసారి పునరావృతం చేస్తాము: పొందిన ఫలితం యొక్క అర్థం ఏమిటి?నుండి అన్ని సరళ విధులుఫంక్షన్‌లో అతి చిన్న ఘాతాంకం ఉంది, అంటే, దాని కుటుంబంలో ఇది ఉత్తమమైన ఉజ్జాయింపు. మరియు ఇక్కడ, మార్గం ద్వారా, సమస్య యొక్క చివరి ప్రశ్న ప్రమాదవశాత్తు కాదు: ప్రతిపాదిత ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అయితే ప్రయోగాత్మక అంశాలను దగ్గరగా తీసుకురావడం మంచిదేనా?

స్క్వేర్డ్ విచలనాల సంబంధిత మొత్తాన్ని కనుగొనండి - వేరు చేయడానికి, నేను వాటిని “ఎప్సిలాన్” అక్షరంతో సూచిస్తాను. సాంకేతికత సరిగ్గా అదే:

మరలా, 1వ పాయింట్ కోసం లెక్కలు:

Excel లో మేము ప్రామాణిక ఫంక్షన్ ఉపయోగిస్తాము ఎక్స్‌పి (సింటాక్స్‌ని Excel సహాయంలో చూడవచ్చు).

ముగింపు: , అంటే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ సరళ రేఖ కంటే అధ్వాన్నమైన ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లను అంచనా వేస్తుంది.

కానీ ఇక్కడ అది "అధ్వాన్నమైనది" అని గమనించాలి ఇంకా అర్థం కాదు, ఏమి తప్పు. ఇప్పుడు నేను ఈ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాను - మరియు ఇది పాయింట్‌లకు దగ్గరగా కూడా వెళుతుంది - కాబట్టి విశ్లేషణాత్మక పరిశోధన లేకుండా ఏ ఫంక్షన్ మరింత ఖచ్చితమైనదో చెప్పడం కష్టం.

ఇది పరిష్కారాన్ని ముగించింది మరియు నేను వాదన యొక్క సహజ విలువల ప్రశ్నకు తిరిగి వస్తాను. వివిధ అధ్యయనాలలో, సాధారణంగా ఆర్థిక లేదా సామాజిక, సహజమైన "X" లు నెలలు, సంవత్సరాలు లేదా ఇతర సమాన సమయ వ్యవధిని లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఉదాహరణకు, కింది సమస్యను పరిగణించండి:

సంవత్సరం మొదటి అర్ధ భాగంలో స్టోర్ రిటైల్ టర్నోవర్‌పై క్రింది డేటా అందుబాటులో ఉంది:

విశ్లేషణాత్మక సరళ రేఖ సమలేఖనాన్ని ఉపయోగించి, జూలై టర్నోవర్ పరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి.

అవును, సమస్య లేదు: మేము 1, 2, 3, 4, 5, 6 నెలలను నంబర్ చేస్తాము మరియు సాధారణ అల్గోరిథంను ఉపయోగిస్తాము, దాని ఫలితంగా మనకు సమీకరణం లభిస్తుంది - ఒకే విషయం ఏమిటంటే, సమయానికి వచ్చినప్పుడు, వారు సాధారణంగా ఉపయోగిస్తారు "te" అనే అక్షరం (ఇది క్లిష్టమైనది కానప్పటికీ). ఫలితంగా సమీకరణం సంవత్సరం మొదటి అర్ధభాగంలో వాణిజ్య టర్నోవర్ సగటున 27.74 యూనిట్లు పెరిగింది. ఒక నెలకి. జులై నాటి సూచన తెలుసుకుందాం (నెల నం. 7): డి.ఇ.

మరియు ఇలాంటి పనులు లెక్కలేనన్ని ఉన్నాయి. కావలసిన వారు అదనపు సేవను ఉపయోగించవచ్చు, అవి నా ఎక్సెల్ కాలిక్యులేటర్ (డెమో వెర్షన్), ఏది విశ్లేషించబడిన సమస్యను దాదాపు తక్షణమే పరిష్కరిస్తుంది!ప్రోగ్రామ్ యొక్క వర్కింగ్ వెర్షన్ అందుబాటులో ఉంది బదులుగాలేదా కోసం సింబాలిక్ ఫీజు.

పాఠం ముగింపులో, కొన్ని ఇతర రకాల డిపెండెన్సీలను కనుగొనడం గురించి సంక్షిప్త సమాచారం. నిజానికి, చెప్పడానికి పెద్దగా ఏమీ లేదు, ఎందుకంటే ప్రాథమిక విధానం మరియు పరిష్కార అల్గోరిథం అలాగే ఉంటాయి.

ప్రయోగాత్మక బిందువుల అమరిక హైపర్బోలాను పోలి ఉంటుందని మనం అనుకుందాం. అప్పుడు, ఉత్తమ హైపర్బోలా యొక్క గుణకాలను కనుగొనడానికి, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టాన్ని కనుగొనాలి - ఎవరైనా వివరణాత్మక గణనలను నిర్వహించవచ్చు మరియు ఇదే విధమైన వ్యవస్థకు చేరుకోవచ్చు:

అధికారిక సాంకేతిక దృక్కోణం నుండి, ఇది "లీనియర్" సిస్టమ్ నుండి పొందబడింది (దీన్ని నక్షత్రంతో సూచిస్తాం)"x"ని తో భర్తీ చేస్తోంది. సరే, మొత్తాల సంగతేంటి? లెక్కించండి, దాని తర్వాత సరైన గుణకాలు “a” మరియు “be” చేతికి దగ్గరగా.

పాయింట్లు నమ్మడానికి ప్రతి కారణం ఉంటే సంవర్గమాన వక్రరేఖ వెంట ఉన్నాయి, ఆపై సరైన విలువలను కనుగొనడానికి మేము ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టాన్ని కనుగొంటాము . అధికారికంగా, సిస్టమ్‌లో (*)ని దీనితో భర్తీ చేయాలి:

Excel లో గణనలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ ఉపయోగించండి LN. పరిశీలనలో ఉన్న ప్రతి కేసుకు కాలిక్యులేటర్‌లను రూపొందించడం నాకు చాలా కష్టం కాదని నేను అంగీకరిస్తున్నాను, అయితే మీరు గణనలను మీరే “ప్రోగ్రామ్” చేస్తే ఇంకా మంచిది. సహాయం చేయడానికి పాఠం వీడియోలు.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ డిపెండెన్స్‌తో పరిస్థితి కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది. మ్యాటర్‌ను లీనియర్ కేస్‌కి తగ్గించడానికి, మేము ఫంక్షన్ లాగరిథమ్‌ని తీసుకొని ఉపయోగిస్తాము సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలు:

ఇప్పుడు, ఫలిత ఫంక్షన్‌ను లీనియర్ ఫంక్షన్‌తో పోల్చి చూస్తే, సిస్టమ్‌లో (*) తప్పనిసరిగా , మరియు – ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుందని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. సౌలభ్యం కోసం, మేము సూచిస్తాము:

సిస్టమ్ సంబంధించి పరిష్కరించబడిందని దయచేసి గమనించండి మరియు అందువల్ల, మూలాలను కనుగొన్న తర్వాత, మీరు గుణకాన్ని కనుగొనడం మర్చిపోకూడదు.

ప్రయోగాత్మక అంశాలను దగ్గరగా తీసుకురావడానికి సరైన పారాబొలా , కనుక్కోవాలి మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క కనీస ఫంక్షన్ . ప్రామాణిక చర్యలను చేసిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది "పని" పొందుతాము వ్యవస్థ:

అవును, వాస్తవానికి, ఇక్కడ ఎక్కువ మొత్తాలు ఉన్నాయి, కానీ మీకు ఇష్టమైన అప్లికేషన్‌ను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ఎటువంటి ఇబ్బందులు లేవు. చివరగా, ఎక్సెల్ ఉపయోగించి త్వరగా చెక్ చేయడం మరియు కావలసిన ట్రెండ్ లైన్‌ను ఎలా నిర్మించాలో నేను మీకు చెప్తాను: స్కాటర్ ప్లాట్‌ను సృష్టించండి, మౌస్‌తో ఏదైనా పాయింట్‌ను ఎంచుకోండి మరియు ఎంపికను ఎంచుకోండి కుడి క్లిక్ చేయండి "ట్రెండ్ లైన్‌ని జోడించు". తరువాత, చార్ట్ రకాన్ని మరియు ట్యాబ్‌లో ఎంచుకోండి "ఐచ్ఛికాలు"ఎంపికను సక్రియం చేయండి "రేఖాచిత్రంపై సమీకరణాన్ని చూపు". అలాగే

ఎప్పటిలాగే, నేను కథనాన్ని కొన్ని అందమైన పదబంధాలతో ముగించాలనుకుంటున్నాను మరియు నేను దాదాపుగా “బి ఇన్ ట్రెండ్!” అని టైప్ చేసాను. కానీ కాలక్రమేణా మనసు మార్చుకున్నాడు. మరియు అది మూస పద్ధతిలో ఉన్నందున కాదు. ఇది ఎవరికైనా ఎలా ఉంటుందో నాకు తెలియదు, కానీ నేను ప్రమోట్ చేయబడిన అమెరికన్ మరియు ముఖ్యంగా యూరోపియన్ ధోరణిని అనుసరించాలని అనుకోను =) కాబట్టి, మీలో ప్రతి ఒక్కరూ మీ స్వంత లైన్‌కు కట్టుబడి ఉండాలని నేను కోరుకుంటున్నాను!

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అత్యంత సాధారణమైనది మరియు దాని కారణంగా అత్యంత అభివృద్ధి చెందినది లీనియర్ ఎకనామెట్రిక్ మోడల్స్ యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడానికి పద్ధతుల యొక్క సరళత మరియు సామర్థ్యం. అదే సమయంలో, దానిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, కొన్ని జాగ్రత్తలు పాటించాలి, ఎందుకంటే దీనిని ఉపయోగించి నిర్మించిన నమూనాలు వాటి పారామితుల నాణ్యత కోసం అనేక అవసరాలను తీర్చకపోవచ్చు మరియు ఫలితంగా, ప్రక్రియ అభివృద్ధి యొక్క నమూనాలను "బాగా" ప్రతిబింబించవు. చాలు.

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ ఎకనామెట్రిక్ మోడల్ యొక్క పారామితులను అంచనా వేసే విధానాన్ని మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం. సాధారణంగా ఇటువంటి నమూనాను సమీకరణం (1.2) ద్వారా సూచించవచ్చు:

y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t.

పారామితులను అంచనా వేసేటప్పుడు ప్రారంభ డేటా a 0 , a 1 ,..., a n అనేది డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క విలువల వెక్టర్ వై= (y 1 , y 2 , ... , y T)" మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ విలువల మాతృక

దీనిలో మొదటి కాలమ్, వాటిని కలిగి ఉంటుంది, మోడల్ కోఎఫీషియంట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

దాని ఆధారంగా పొందిన పరామితి అంచనాలు తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాల్సిన ప్రాథమిక సూత్రం ఆధారంగా తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి దాని పేరును పొందింది: మోడల్ లోపం యొక్క చతురస్రాల మొత్తం తక్కువగా ఉండాలి.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 2.1.ట్రేడింగ్ ఎంటర్‌ప్రైజ్ 12 స్టోర్‌ల నెట్‌వర్క్‌ను కలిగి ఉంది, వాటి కార్యకలాపాలపై సమాచారం పట్టికలో ప్రదర్శించబడుతుంది. 2.1

ఎంటర్‌ప్రైజ్ నిర్వహణ వార్షిక టర్నోవర్ పరిమాణం స్టోర్ రిటైల్ స్థలంపై ఎలా ఆధారపడి ఉంటుందో తెలుసుకోవాలనుకుంటోంది.

పట్టిక 2.1

తక్కువ చతురస్రాల పరిష్కారం.మేము వ స్టోర్ వార్షిక టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు సూచిస్తాము; - స్టోర్ యొక్క రిటైల్ ప్రాంతం, వెయ్యి మీ 2.

Fig.2.1. ఉదాహరణ కోసం స్కాటర్‌ప్లాట్ 2.1

వేరియబుల్స్ మధ్య క్రియాత్మక సంబంధం యొక్క రూపాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు మేము స్కాటర్ రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మిస్తాము (Fig. 2.1).

స్కాటర్ రేఖాచిత్రం ఆధారంగా, వార్షిక టర్నోవర్ రిటైల్ స్థలంపై సానుకూలంగా ఆధారపడి ఉంటుందని మేము నిర్ధారించగలము (అంటే, పెరుగుతున్న కొద్దీ y పెరుగుతుంది ). ఫంక్షనల్ కనెక్షన్ యొక్క అత్యంత అనుకూలమైన రూపం సరళ.

తదుపరి గణనల కోసం సమాచారం పట్టికలో ప్రదర్శించబడింది. 2.2 అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, మేము సరళ వన్-ఫాక్టర్ ఎకనామెట్రిక్ మోడల్ యొక్క పారామితులను అంచనా వేస్తాము

పట్టిక 2.2

ఈ విధంగా,

అందువల్ల, రిటైల్ స్థలంలో 1 వేల m2 పెరుగుదలతో, ఇతర విషయాలు సమానంగా ఉంటాయి, సగటు వార్షిక టర్నోవర్ 67.8871 మిలియన్ రూబిళ్లు పెరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 2.2.వార్షిక టర్నోవర్ స్టోర్ విక్రయాల ప్రాంతంపై మాత్రమే కాకుండా (ఉదాహరణ 2.1 చూడండి), కానీ సందర్శకుల సగటు సంఖ్యపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుందని కంపెనీ యాజమాన్యం గమనించింది. సంబంధిత సమాచారం పట్టికలో ప్రదర్శించబడింది. 2.3

పట్టిక 2.3

పరిష్కారం.మనం సూచిస్తాం - రోజుకు స్టోర్‌కి వచ్చే సందర్శకుల సగటు సంఖ్య, వెయ్యి మంది.

వేరియబుల్స్ మధ్య క్రియాత్మక సంబంధం యొక్క రూపాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు మేము స్కాటర్ రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మిస్తాము (Fig. 2.2).

స్కాటర్‌ప్లాట్ ఆధారంగా, వార్షిక టర్నోవర్ రోజుకు సగటు సందర్శకుల సంఖ్యపై సానుకూలంగా ఆధారపడి ఉంటుందని మేము నిర్ధారించగలము (అంటే, పెరుగుతున్న కొద్దీ y పెరుగుతుంది ). క్రియాత్మక ఆధారపడటం యొక్క రూపం సరళంగా ఉంటుంది.

అన్నం. 2.2 ఉదాహరణ కోసం స్కాటర్‌ప్లాట్ 2.2

పట్టిక 2.4

సాధారణంగా, రెండు-కారకాల ఎకనోమెట్రిక్ మోడల్ యొక్క పారామితులను గుర్తించడం అవసరం

y t = a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t

తదుపరి గణనలకు అవసరమైన సమాచారం పట్టికలో ప్రదర్శించబడుతుంది. 2.4

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ టూ-ఫాక్టర్ ఎకనోమెట్రిక్ మోడల్ యొక్క పారామితులను మనం అంచనా వేద్దాం.

ఈ విధంగా,

గుణకం =61.6583 అంచనా ప్రకారం, ఇతర విషయాలు సమానంగా ఉంటాయి, రిటైల్ స్థలంలో 1 వేల m 2 పెరుగుదలతో, వార్షిక టర్నోవర్ సగటున 61.6583 మిలియన్ రూబిళ్లు పెరుగుతుంది.

కోఎఫీషియంట్ అంచనా = 2.2748 చూపిస్తుంది, 1 వేల మందికి సగటు సందర్శకుల సంఖ్య పెరుగుదలతో ఇతర విషయాలు సమానంగా ఉంటాయి. రోజుకు, వార్షిక టర్నోవర్ సగటున 2.2748 మిలియన్ రూబిళ్లు పెరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 2.3.పట్టికలో అందించిన సమాచారాన్ని ఉపయోగించడం. 2.2 మరియు 2.4, వన్-ఫాక్టర్ ఎకనోమెట్రిక్ మోడల్ యొక్క పరామితిని అంచనా వేయండి

వ స్టోర్ వార్షిక టర్నోవర్ యొక్క కేంద్రీకృత విలువ, మిలియన్ రూబిళ్లు; - t-th స్టోర్‌కి సగటు రోజువారీ సందర్శకుల సంఖ్య, వెయ్యి మంది కేంద్రీకృత విలువ. (ఉదాహరణలు 2.1-2.2 చూడండి).

పరిష్కారం.లెక్కల కోసం అవసరమైన అదనపు సమాచారం పట్టికలో ప్రదర్శించబడింది. 2.5

పట్టిక 2.5

ఫార్ములా (2.35) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

ఈ విధంగా,

http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html

ఉదాహరణ.

వేరియబుల్స్ విలువలపై ప్రయోగాత్మక డేటా Xమరియు వద్దపట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

వారి అమరిక ఫలితంగా, ఫంక్షన్ పొందబడుతుంది

ఉపయోగించి కనీసం చదరపు పద్ధతి, ఈ డేటాను లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా అంచనా వేయండి y=ax+b(పారామితులను కనుగొనండి ఎమరియు బి) రెండు పంక్తులలో ఏది మెరుగ్గా ఉంటుందో (కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిలో) ప్రయోగాత్మక డేటాను సమలేఖనం చేస్తుందో కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.

పరిష్కారం.

మా ఉదాహరణలో n=5. అవసరమైన గుణకాల సూత్రాలలో చేర్చబడిన మొత్తాలను లెక్కించే సౌలభ్యం కోసం మేము పట్టికను పూరించాము.

పట్టికలోని నాల్గవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుస యొక్క విలువలను 3వ వరుస విలువలతో గుణించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టికలోని ఐదవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుసలోని విలువలను వర్గీకరించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలోని విలువలు అడ్డు వరుసల అంతటా ఉన్న విలువల మొత్తాలు.

మేము గుణకాలను కనుగొనడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ఎమరియు బి. మేము పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుస నుండి సంబంధిత విలువలను వాటికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

అందుకే, y = 0.165x+2.184- కావలసిన ఉజ్జాయింపు సరళ రేఖ.

ఏ పంక్తులు ఉన్నాయో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది y = 0.165x+2.184లేదా మెరుగ్గా ఒరిజినల్ డేటాను అంచనా వేస్తుంది, అంటే అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి అంచనా వేస్తుంది.

రుజువు.

కనుక దొరికినప్పుడు ఎమరియు బిఫంక్షన్ అతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ కోసం రెండవ ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్ యొక్క క్వాడ్రాటిక్ రూపం యొక్క మాతృక అవసరం. ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంది. చూపిద్దాం.

రెండవ ఆర్డర్ అవకలన రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

అంటే

కాబట్టి, చతుర్భుజ రూపం యొక్క మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

మరియు మూలకాల విలువలు ఆధారపడి ఉండవు ఎమరియు బి.

మాతృక సానుకూల ఖచ్చితమైనదని చూపిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, కోణీయ మైనర్లు సానుకూలంగా ఉండాలి.

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క కోణీయ మైనర్ . పాయింట్ల నుండి అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది

లెవలింగ్ తర్వాత, మేము కింది ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పొందుతాము: g (x) = x + 1 3 + 1 .

సంబంధిత పారామితులను లెక్కించడం ద్వారా y = a x + b సరళ సంబంధాన్ని ఉపయోగించి మేము ఈ డేటాను అంచనా వేయవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మేము కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి అని పిలవబడే పద్ధతిని వర్తింపజేయాలి. ప్రయోగాత్మక డేటాను ఏ లైన్ ఉత్తమంగా సమలేఖనం చేస్తుందో తనిఖీ చేయడానికి మీరు డ్రాయింగ్‌ను కూడా రూపొందించాలి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

సరిగ్గా OLS అంటే ఏమిటి (తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి)

F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 అనే రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్ విలువ ఉండే లీనియర్ డిపెండెన్స్ యొక్క అటువంటి గుణకాలను కనుగొనడం మనం చేయవలసిన ప్రధాన విషయం. అతి చిన్నది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a మరియు b యొక్క నిర్దిష్ట విలువలకు, ఫలిత సరళ రేఖ నుండి సమర్పించబడిన డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం కనిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది. ఇది తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క అర్థం. ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మనం చేయాల్సిందల్లా రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనడం.

గుణకాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలను ఎలా పొందాలి

గుణకాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలను రూపొందించడానికి, మీరు రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. దీన్ని చేయడానికి, a మరియు bకి సంబంధించి F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 వ్యక్తీకరణ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను మేము లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని 0కి సమం చేస్తాము.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n i ∑ i = 1 n i ∑ ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఏదైనా పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ప్రత్యామ్నాయం లేదా క్రామెర్ పద్ధతి. ఫలితంగా, తక్కువ స్క్వేర్‌ల పద్ధతిని ఉపయోగించి గుణకాలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలను మనం కలిగి ఉండాలి.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a 1 ∑ i =

మేము ఫంక్షన్ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను లెక్కించాము
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 కనిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. సరిగ్గా ఇలా ఎందుకు ఉందో మూడో పేరాలో నిరూపిస్తాం.

ఇది ఆచరణలో తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్. పరామితిని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే దాని ఫార్ములా, ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, అలాగే పరామితిని కలిగి ఉంటుంది
n - ఇది ప్రయోగాత్మక డేటా మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది. ప్రతి మొత్తాన్ని విడిగా లెక్కించమని మేము మీకు సలహా ఇస్తున్నాము. గుణకం b విలువ a తర్వాత వెంటనే లెక్కించబడుతుంది.

అసలు ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1

ఇక్కడ మనకు ఐదుకి సమానమైన n ఉంది. గుణకం సూత్రాలలో చేర్చబడిన అవసరమైన మొత్తాలను లెక్కించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా చేయడానికి, పట్టికను పూరించండి.

పరిష్కారం

నాల్గవ వరుసలో ప్రతి వ్యక్తికి రెండవ అడ్డు వరుస నుండి మూడవ విలువలతో గుణించడం ద్వారా పొందిన డేటా ఉంటుంది i. ఐదవ పంక్తి రెండవ స్క్వేర్డ్ నుండి డేటాను కలిగి ఉంటుంది. చివరి నిలువు వరుస వ్యక్తిగత అడ్డు వరుసల విలువల మొత్తాలను చూపుతుంది.

మనకు అవసరమైన a మరియు b గుణకాలను లెక్కించడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, చివరి నిలువు వరుస నుండి అవసరమైన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు మొత్తాలను లెక్కించండి:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a = ∑ 3, a = ∑ 3 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

అవసరమైన ఉజ్జాయింపు సరళ రేఖ y = 0, 165 x + 2, 184 లాగా కనిపిస్తుంది. ఇప్పుడు మనం ఏ పంక్తి డేటాను బాగా అంచనా వేయగలదో గుర్తించాలి - g (x) = x + 1 3 + 1 లేదా 0, 165 x + 2, 184. కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి అంచనా వేద్దాం.

లోపాన్ని లెక్కించడానికి, మేము σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 మరియు σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) సరళ రేఖల నుండి డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి - g (x i)) 2, కనిష్ట విలువ మరింత సరిఅయిన లైన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096

సమాధానం:σ 1 నుండి< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0.165 x + 2.184.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి గ్రాఫికల్ ఇలస్ట్రేషన్‌లో స్పష్టంగా చూపబడింది. ఎరుపు రేఖ సరళ రేఖ g (x) = x + 1 3 + 1, నీలం రేఖ y = 0, 165 x + 2, 184 అని సూచిస్తుంది. అసలు డేటా గులాబీ చుక్కల ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఈ రకమైన ఖచ్చితమైన ఉజ్జాయింపులు ఎందుకు అవసరమో వివరిస్తాము.

డేటాను సులభతరం చేయడం అవసరమయ్యే పనులలో, అలాగే డేటా తప్పనిసరిగా ఇంటర్‌పోలేట్ లేదా ఎక్స్‌ట్రాపోలేట్ చేయబడిన వాటిలో వాటిని ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, పైన చర్చించిన సమస్యలో, గమనించిన పరిమాణం y విలువను x = 3 వద్ద లేదా x = 6 వద్ద కనుగొనవచ్చు. అటువంటి ఉదాహరణలకు మేము ప్రత్యేక కథనాన్ని అంకితం చేసాము.

OLS పద్ధతి యొక్క రుజువు

a మరియు b గణించబడినప్పుడు ఫంక్షన్ కనీస విలువను తీసుకోవడానికి, ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద F (a, b) = ∑ i = ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క చతుర్భుజ రూపం యొక్క మాతృక అవసరం. 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ఖచ్చితంగా ధనాత్మకం. అది ఎలా కనిపించాలో మీకు చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 2

మేము ఈ క్రింది ఫారమ్‌లో రెండవ ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్‌ని కలిగి ఉన్నాము:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 బి

పరిష్కారం

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

మేము M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n అనే చతురస్రాకార రూపం యొక్క మాతృకను పొందాము.

ఈ సందర్భంలో, a మరియు b లను బట్టి వ్యక్తిగత మూలకాల విలువలు మారవు. ఈ మాతృక సానుకూలంగా ఉందా? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, దాని కోణీయ మైనర్‌లు సానుకూలంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.

మేము మొదటి ఆర్డర్ యొక్క కోణీయ మైనర్‌ను గణిస్తాము: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i పాయింట్లు ఏకీభవించనందున, అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది. మేము తదుపరి గణనలలో దీనిని దృష్టిలో ఉంచుకుంటాము.

మేము రెండవ ఆర్డర్ కోణీయ మైనర్‌ను గణిస్తాము:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i

దీని తరువాత, మేము గణిత ప్రేరణను ఉపయోగించి n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 అసమానతను నిరూపించడానికి కొనసాగుతాము.

1. ఈ అసమానత ఏకపక్ష n కోసం చెల్లుబాటు అవుతుందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. 2 తీసుకొని గణిద్దాం:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

మేము సరైన సమానత్వాన్ని పొందాము (విలువలు x 1 మరియు x 2 ఏకీభవించకపోతే).

1. ఈ అసమానత n కోసం నిజం అవుతుందని ఊహిద్దాం, అనగా. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – నిజం.
2. ఇప్పుడు మనం n + 1 కోసం చెల్లుబాటును నిరూపిస్తాము, అనగా. అది (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, అయితే n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

మేము లెక్కిస్తాము:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1∑ x n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

కర్లీ బ్రేస్‌లలో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (దశ 2లో మనం ఊహించిన దాని ఆధారంగా), మరియు మిగిలిన నిబంధనలు 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవన్నీ సంఖ్యల వర్గాలు. మేము అసమానతలను నిరూపించాము.

సమాధానం:కనుగొనబడిన a మరియు b ఫంక్షన్ F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 యొక్క అతిచిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అంటే అవి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతికి అవసరమైన పారామితులు. (LSM).

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి (OLS) యాదృచ్ఛిక లోపాలను కలిగి ఉన్న అనేక కొలతల ఫలితాలను ఉపయోగించి వివిధ పరిమాణాలను అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

MNE ల లక్షణాలు

ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రధాన ఆలోచన ఏమిటంటే, స్క్వేర్డ్ లోపాల మొత్తం సమస్యను పరిష్కరించే ఖచ్చితత్వానికి ప్రమాణంగా పరిగణించబడుతుంది, అవి తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాయి. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, సంఖ్యా మరియు విశ్లేషణాత్మక విధానాలు రెండింటినీ ఉపయోగించవచ్చు.

ప్రత్యేకించి, సంఖ్యాపరమైన అమలుగా, అతితక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిలో తెలియని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైనంత ఎక్కువ కొలతలు తీసుకోవడం ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, ఎక్కువ లెక్కలు, మరింత ఖచ్చితమైన పరిష్కారం ఉంటుంది. ఈ లెక్కల సెట్ (ప్రారంభ డేటా) ఆధారంగా, మరొక అంచనా పరిష్కారాల సమితి పొందబడుతుంది, దాని నుండి ఉత్తమమైనది ఎంపిక చేయబడుతుంది. పరిష్కారాల సమితి పారామితి చేయబడితే, పారామితుల యొక్క సరైన విలువను కనుగొనడానికి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి తగ్గించబడుతుంది.

ప్రారంభ డేటా (కొలతలు) మరియు ఊహించిన పరిష్కారాల సమితిపై LSM అమలుకు విశ్లేషణాత్మక విధానంగా, ఒక నిర్దిష్ట (ఫంక్షనల్) నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది నిర్ధారణ అవసరమయ్యే నిర్దిష్ట పరికల్పనగా పొందిన ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఒరిజినల్ డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ ఎర్రర్‌ల సెట్‌లో ఈ ఫంక్షనల్ యొక్క కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి అతి తక్కువ స్క్వేర్‌ల పద్ధతి వస్తుంది.

ఇది తప్పులు కాదని దయచేసి గమనించండి, కానీ లోపాల వర్గాలు. ఎందుకు? వాస్తవం ఏమిటంటే, ఖచ్చితమైన విలువ నుండి కొలతల యొక్క విచలనాలు తరచుగా సానుకూలంగా మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి. సగటును నిర్ణయించేటప్పుడు, సాధారణ సమ్మషన్ అంచనా నాణ్యత గురించి తప్పు నిర్ధారణకు దారితీయవచ్చు, ఎందుకంటే సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువల రద్దు బహుళ కొలతల నమూనా శక్తిని తగ్గిస్తుంది. మరియు, తత్ఫలితంగా, అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వం.

ఇది జరగకుండా నిరోధించడానికి, స్క్వేర్డ్ విచలనాలు సంగ్రహించబడ్డాయి. అంతేకాకుండా, కొలిచిన విలువ మరియు తుది అంచనా యొక్క పరిమాణాన్ని సమం చేయడానికి, స్క్వేర్డ్ ఎర్రర్‌ల మొత్తం సంగ్రహించబడుతుంది

కొన్ని MNC అప్లికేషన్లు

MNC వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాలలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అటువంటి లక్షణాన్ని ప్రామాణిక విచలనం వలె నిర్ణయించడానికి ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల పరిధి యొక్క వెడల్పును నిర్ణయిస్తుంది.

• ట్యుటోరియల్

పరిచయం

నేను గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిని మరియు ప్రోగ్రామర్‌ని. నేను చెప్పడం నేర్చుకున్నప్పుడు నా కెరీర్‌లో నేను తీసుకున్న అతి పెద్ద ఎత్తు: "నాకేమీ అర్థం కావటం లేదు!"ఇప్పుడు శాస్త్రోక్తమైన ఆయన నాకు ఉపన్యాసాలు ఇస్తున్నారని, ఆ జ్యోతిష్యుడు నాకు ఏమి చెబుతున్నాడో అర్థం కావడం లేదని చెప్పడానికి నేను సిగ్గుపడను. మరియు ఇది చాలా కష్టం. అవును, మీ అజ్ఞానాన్ని అంగీకరించడం కష్టం మరియు ఇబ్బందికరమైనది. తనకు ఏదైనా ప్రాథమిక అంశాలు తెలియవని ఒప్పుకోవడానికి ఎవరు ఇష్టపడతారు? నా వృత్తి కారణంగా, నేను పెద్ద సంఖ్యలో ప్రెజెంటేషన్లు మరియు ఉపన్యాసాలకు హాజరు కావాలి, అక్కడ, నేను అంగీకరిస్తున్నాను, చాలా సందర్భాలలో నేను నిద్రపోవాలనుకుంటున్నాను ఎందుకంటే నాకు ఏమీ అర్థం కాలేదు. కానీ నాకు అర్థం కాలేదు ఎందుకంటే సైన్స్‌లో ప్రస్తుత పరిస్థితి యొక్క భారీ సమస్య గణితంలో ఉంది. శ్రోతలందరికీ గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అన్ని రంగాలు (ఇది అసంబద్ధం) గురించి బాగా తెలుసునని ఇది ఊహిస్తుంది. ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటో మీకు తెలియదని అంగీకరించడం (అది కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము) సిగ్గుచేటు.

కానీ గుణకారం అంటే ఏమిటో నాకు తెలియదని చెప్పడం నేర్చుకున్నాను. అవును, లై బీజగణితంపై సబ్‌వాల్జీబ్రా అంటే ఏమిటో నాకు తెలియదు. అవును, జీవితంలో క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు ఎందుకు అవసరమో నాకు తెలియదు. మార్గం ద్వారా, మీకు తెలుసని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే, మేము మాట్లాడటానికి ఏదైనా ఉంది! గణితం అనేది ఉపాయాల శ్రేణి. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రజలను గందరగోళపరచడానికి మరియు భయపెట్టడానికి ప్రయత్నిస్తారు; గందరగోళం లేని చోట కీర్తి, అధికారం ఉండదు. అవును, సాధ్యమైనంత వియుక్త భాషలో మాట్లాడటం ప్రతిష్టాత్మకమైనది, ఇది పూర్తి అర్ధంలేనిది.

ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటో తెలుసా? చాలా మటుకు మీరు తేడా నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి గురించి నాకు చెబుతారు. సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ స్టేట్ యూనివర్శిటీలో గణితం మరియు మెకానిక్స్ మొదటి సంవత్సరంలో, విక్టర్ పెట్రోవిచ్ ఖావిన్ నాకు చెప్పారు నిర్ణయించారుఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క టేలర్ సిరీస్ యొక్క మొదటి పదం యొక్క గుణకం వలె ఉత్పన్నం (డెరివేటివ్‌లు లేకుండా టేలర్ సిరీస్‌ను నిర్ణయించడానికి ఇది ఒక ప్రత్యేక జిమ్నాస్టిక్స్). నేను ఈ నిర్వచనాన్ని చూసి చాలా సేపు నవ్వాను, చివరికి దాని గురించి ఏమిటో అర్థం చేసుకునే వరకు. వ్యుత్పన్నం అనేది y=x, y=x^2, y=x^3 అనే ఫంక్షన్‌కి మనం భేదం చేస్తున్న ఫంక్షన్ ఎంత సారూప్యంగా ఉందో చెప్పే సాధారణ కొలత తప్ప మరొకటి కాదు.

విద్యార్థులకు ఉపన్యాసాలు ఇచ్చే గౌరవం ఇప్పుడు నాకు దక్కింది భయపడటంగణితం. మీకు గణితం అంటే భయం ఉంటే మేము కూడా అదే బాటలో ఉన్నాము. మీరు కొంత వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నించినప్పుడు మరియు అది చాలా క్లిష్టంగా ఉన్నట్లు మీకు అనిపించిన వెంటనే, అది పేలవంగా వ్రాయబడిందని తెలుసుకోండి. ఖచ్చితత్వాన్ని కోల్పోకుండా “వేళ్లపై” చర్చించలేని గణిత శాస్త్రం ఒక్కటి కూడా లేదని నేను నొక్కి చెబుతున్నాను.

సమీప భవిష్యత్తు కోసం అసైన్‌మెంట్: లీనియర్ క్వాడ్రాటిక్ రెగ్యులేటర్ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి నేను నా విద్యార్థులకు కేటాయించాను. సిగ్గుపడకండి, మీ జీవితంలో మూడు నిమిషాలు గడపండి మరియు లింక్‌ని అనుసరించండి. మీకు ఏమీ అర్థం కాకపోతే, మేము అదే మార్గంలో ఉన్నాము. నాకు (ప్రొఫెషనల్ మ్యాథమేటీషియన్-ప్రోగ్రామర్) కూడా ఏమీ అర్థం కాలేదు. మరియు నేను మీకు భరోసా ఇస్తున్నాను, మీరు దీన్ని "మీ వేళ్లపై" గుర్తించవచ్చు. ప్రస్తుతానికి అది ఏమిటో నాకు తెలియదు, కానీ మేము దానిని గుర్తించగలమని నేను మీకు హామీ ఇస్తున్నాను.

కాబట్టి, నా విద్యార్థులు భయాందోళనతో నా వద్దకు పరుగెత్తుకుంటూ వచ్చి, లీనియర్-క్వాడ్రాటిక్ రెగ్యులేటర్ అనేది మీ జీవితంలో మీరు ఎప్పటికీ ప్రావీణ్యం పొందలేని భయంకరమైన విషయం అని చెప్పిన తర్వాత నేను వారికి ఇవ్వబోయే మొదటి ఉపన్యాసం. కనీసం చతురస్రాల పద్ధతులు. మీరు సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించగలరా? మీరు ఈ వచనాన్ని చదువుతుంటే, చాలా మటుకు కాదు.

కాబట్టి, రెండు పాయింట్లు (x0, y0), (x1, y1) ఇచ్చినట్లయితే, ఉదాహరణకు, (1,1) మరియు (3,2), ఈ రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం పని:

ఉదాహరణ

ఈ పంక్తి కింది విధంగా సమీకరణాన్ని కలిగి ఉండాలి:

ఇక్కడ ఆల్ఫా మరియు బీటా మనకు తెలియవు, కానీ ఈ రేఖలోని రెండు పాయింట్లు తెలుసు:

మేము ఈ సమీకరణాన్ని మాతృక రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

ఇక్కడ మనం లిరికల్ డైగ్రెషన్ చేయాలి: మ్యాట్రిక్స్ అంటే ఏమిటి? మాతృక అనేది రెండు డైమెన్షనల్ శ్రేణి కంటే ఎక్కువ కాదు. ఇది డేటాను నిల్వ చేయడానికి ఒక మార్గం; దీనికి తదుపరి అర్థాలు జోడించకూడదు. నిర్దిష్ట మాతృకను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలో అది మనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. క్రమానుగతంగా నేను దానిని లీనియర్ మ్యాపింగ్‌గా, క్రమానుగతంగా చతుర్భుజ రూపంగా మరియు కొన్నిసార్లు వెక్టర్‌ల సమితిగా అర్థం చేసుకుంటాను. ఇవన్నీ సందర్భానుసారంగా స్పష్టం చేయబడతాయి.

కాంక్రీట్ మాత్రికలను వాటి సింబాలిక్ ప్రాతినిధ్యంతో భర్తీ చేద్దాం:

అప్పుడు (ఆల్ఫా, బీటా) సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

మా మునుపటి డేటా కోసం మరింత ప్రత్యేకంగా:

ఇది పాయింట్లు (1,1) మరియు (3,2) గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క క్రింది సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది:

సరే, ఇక్కడ ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది. రేఖ గుండా వెళుతున్న సమీకరణాన్ని కనుగొనండి మూడుపాయింట్లు: (x0,y0), (x1,y1) మరియు (x2,y2):

ఓహ్-ఓహ్-ఓహ్, కానీ మనకు తెలియని ఇద్దరు వ్యక్తులకు మూడు సమీకరణాలు ఉన్నాయి! దీనికి పరిష్కారం లేదని ఒక ప్రామాణిక గణిత శాస్త్రవేత్త చెబుతారు. ప్రోగ్రామర్ ఏమి చెబుతాడు? మరియు అతను మొదట ఈ క్రింది రూపంలో మునుపటి సమీకరణాల వ్యవస్థను తిరిగి వ్రాస్తాడు:

మా విషయంలో, వెక్టర్స్ i, j, b త్రిమితీయంగా ఉంటాయి, కాబట్టి (సాధారణ సందర్భంలో) ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం లేదు. ఏదైనా వెక్టర్ (ఆల్ఫా\*i + బీటా\*j) వెక్టర్స్ (i, j) ద్వారా విస్తరించిన విమానంలో ఉంటుంది. b ఈ సమతలానికి చెందినది కాకపోతే, అప్పుడు పరిష్కారం లేదు (సమీకరణంలో సమానత్వం సాధించబడదు). ఏం చేయాలి? రాజీ కోసం చూద్దాం. ద్వారా సూచిస్తాం ఇ(ఆల్ఫా, బీటా)మనం ఎంతవరకు సమానత్వాన్ని సాధించలేదు:

మరియు మేము ఈ లోపాన్ని తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాము:

చతురస్రాకారం ఎందుకు?

మేము కట్టుబాటు యొక్క కనిష్టం కోసం మాత్రమే కాకుండా, ప్రమాణం యొక్క కనిష్ట స్క్వేర్ కోసం చూస్తున్నాము. ఎందుకు? కనిష్ట బిందువు సమానంగా ఉంటుంది మరియు చతురస్రం ఒక మృదువైన విధిని ఇస్తుంది (ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ (ఆల్ఫా, బీటా)), అయితే పొడవు కేవలం కోన్-ఆకారపు ఫంక్షన్‌ను ఇస్తుంది, కనిష్ట బిందువు వద్ద తేడా ఉండదు. Brr. ఒక చదరపు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

సహజంగానే, వెక్టర్ ఉన్నప్పుడు లోపం తగ్గించబడుతుంది ఇవెక్టర్స్ ద్వారా విస్తరించి ఉన్న విమానానికి ఆర్తోగోనల్ iమరియు j.

ఇలస్ట్రేషన్

మరో మాటలో చెప్పాలంటే: మేము సరళ రేఖ కోసం చూస్తున్నాము అంటే అన్ని పాయింట్ల నుండి ఈ సరళ రేఖకు దూరాల స్క్వేర్డ్ పొడవుల మొత్తం తక్కువగా ఉంటుంది:

అప్‌డేట్: నాకు ఇక్కడ సమస్య ఉంది, సరళ రేఖకు దూరం నిలువుగా కొలవబడాలి మరియు ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ ద్వారా కాదు. ఈ వ్యాఖ్యాత సరైనదే.

ఇలస్ట్రేషన్

పూర్తిగా భిన్నమైన పదాలలో (జాగ్రత్తగా, పేలవంగా అధికారికీకరించబడింది, కానీ స్పష్టంగా ఉండాలి): మేము అన్ని జతల పాయింట్ల మధ్య సాధ్యమయ్యే అన్ని పంక్తులను తీసుకుంటాము మరియు అన్నింటి మధ్య సగటు రేఖ కోసం చూస్తాము:

ఇలస్ట్రేషన్

మరొక వివరణ సూటిగా ఉంటుంది: మేము అన్ని డేటా పాయింట్ల మధ్య ఒక స్ప్రింగ్‌ను జతచేస్తాము (ఇక్కడ మనకు మూడు ఉన్నాయి) మరియు మనం వెతుకుతున్న సరళ రేఖ, మరియు సమతౌల్య స్థితి యొక్క సరళ రేఖ మనం వెతుకుతున్నది.

కనిష్ట చతుర్భుజ రూపం

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము వెక్టర్ x=(ఆల్ఫా, బీటా) కోసం చూస్తున్నాము:

ఈ వెక్టార్ x=(ఆల్ఫా, బీటా) క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ||e(alpha, beta)||^2: అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను.

ఇక్కడ మాతృకను చతుర్భుజ రూపంగా కూడా అర్థం చేసుకోవచ్చని గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, గుర్తింపు మాతృక ((1,0),(0,1)) ఫంక్షన్ x^2 + y^ 2:

చతుర్భుజ రూపం

ఈ జిమ్నాస్టిక్స్ అంతా లీనియర్ రిగ్రెషన్ పేరుతో పిలువబడుతుంది.

డిరిచ్లెట్ సరిహద్దు పరిస్థితితో లాప్లేస్ సమీకరణం

అసలు కమిట్ అందుబాటులో ఉంది. బాహ్య డిపెండెన్సీలను తగ్గించడానికి, నేను ఇప్పటికే Habéలో ఉన్న నా సాఫ్ట్‌వేర్ రెండరర్ కోడ్‌ని తీసుకున్నాను. లీనియర్ సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి, నేను OpenNLని ఉపయోగిస్తాను, ఇది అద్భుతమైన పరిష్కరిణి, అయితే, ఇన్‌స్టాల్ చేయడం చాలా కష్టం: మీరు మీ ప్రాజెక్ట్‌తో ఫోల్డర్‌కి రెండు ఫైల్‌లను (.h+.c) కాపీ చేయాలి. అన్ని సున్నితత్వం క్రింది కోడ్‌తో చేయబడుతుంది:

కోసం (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i& ముఖం = ముఖాలు[i]; కోసం (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y మరియు Z కోఆర్డినేట్‌లు వేరు చేయబడతాయి, నేను వాటిని విడిగా సున్నితంగా చేస్తాను. అంటే, నేను సరళ సమీకరణాల యొక్క మూడు వ్యవస్థలను పరిష్కరిస్తాను, ప్రతి ఒక్కటి నా మోడల్‌లోని శీర్షాల సంఖ్యకు సమానమైన అనేక వేరియబుల్స్‌తో ఉంటాయి. మాతృక A యొక్క మొదటి n వరుసలు ప్రతి అడ్డు వరుసకు ఒక 1 మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి మరియు వెక్టర్ b యొక్క మొదటి n వరుసలు అసలైన మోడల్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి. అంటే, నేను శీర్షం యొక్క కొత్త స్థానానికి మరియు శీర్షం యొక్క పాత స్థానానికి మధ్య ఒక వసంతాన్ని కట్టివేస్తాను - కొత్తవి పాత వాటి నుండి చాలా దూరం కదలకూడదు.

మాతృక A యొక్క అన్ని తదుపరి వరుసలు (faces.size()*3 = మెష్‌లోని అన్ని త్రిభుజాల అంచుల సంఖ్య) 1 యొక్క ఒక సంఘటనను మరియు -1 యొక్క ఒక సంఘటనను కలిగి ఉంటాయి, వెక్టార్ b సున్నా భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. దీని అర్థం నేను మా త్రిభుజాకార మెష్ యొక్క ప్రతి అంచున ఒక స్ప్రింగ్ ఉంచాను: అన్ని అంచులు వాటి ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువు వలె ఒకే శీర్షాన్ని పొందడానికి ప్రయత్నిస్తాయి.

మరోసారి: అన్ని శీర్షాలు వేరియబుల్స్, మరియు అవి వాటి అసలు స్థానం నుండి చాలా దూరం కదలలేవు, కానీ అదే సమయంలో అవి ఒకదానికొకటి సమానంగా మారడానికి ప్రయత్నిస్తాయి.

ఇక్కడ ఫలితం ఉంది:

ప్రతిదీ బాగానే ఉంటుంది, మోడల్ నిజంగా సున్నితంగా ఉంటుంది, కానీ దాని అసలు అంచు నుండి దూరంగా ఉంది. కోడ్‌ని కొద్దిగా మారుద్దాం:

కోసం (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

మా మాతృక Aలో, అంచున ఉన్న శీర్షాల కోసం, నేను v_i = verts[i][d] వర్గం నుండి అడ్డు వరుసను కాదు, 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. ఇది ఏమి మారుతుంది? మరియు ఇది మన చతురస్రాకార దోష రూపాన్ని మారుస్తుంది. ఇప్పుడు అంచు వద్ద ఎగువ నుండి ఒక విచలనం మునుపటి వలె ఒక యూనిట్ కాదు, కానీ 1000*1000 యూనిట్లు ఖర్చు అవుతుంది. అంటే, మేము తీవ్రమైన శీర్షాలపై బలమైన వసంతాన్ని వేలాడదీశాము, పరిష్కారం ఇతరులను మరింత బలంగా సాగదీయడానికి ఇష్టపడుతుంది. ఇక్కడ ఫలితం ఉంది:

శీర్షాల మధ్య వసంత బలాన్ని రెట్టింపు చేద్దాం:
nlCoficiency(ముఖం[ j ], 2); nlCoficiency(ముఖం[(j+1)%3], -2);

ఉపరితలం సున్నితంగా మారడం తార్కికం:

మరియు ఇప్పుడు వంద రెట్లు బలంగా ఉంది:

ఇది ఏమిటి? మనం ఒక వైర్ రింగ్‌ని సబ్బు నీటిలో ముంచినట్లు ఊహించుకోండి. ఫలితంగా, ఫలితంగా సబ్బు చిత్రం సాధ్యమైనంత తక్కువ వక్రతను కలిగి ఉండటానికి ప్రయత్నిస్తుంది, సరిహద్దును తాకడం - మా వైర్ రింగ్. సరిహద్దును పరిష్కరించడం మరియు లోపల మృదువైన ఉపరితలం కోసం అడగడం ద్వారా మేము సరిగ్గా ఇదే పొందాము. అభినందనలు, మేము ఇప్పుడే లాప్లేస్ సమీకరణాన్ని డిరిచ్లెట్ సరిహద్దు పరిస్థితులతో పరిష్కరించాము. వినటానికి బాగానేవుంది? కానీ వాస్తవానికి, మీరు సరళ సమీకరణాల యొక్క ఒక వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి.

పాయిసన్ సమీకరణం

నాకు ఇలాంటి చిత్రం ఉందని చెప్పండి:

అందరికీ మంచిగా కనిపిస్తుంది, కానీ నాకు కుర్చీ ఇష్టం లేదు.

నేను చిత్రాన్ని సగానికి కట్ చేస్తాను:

మరియు నేను నా చేతులతో ఒక కుర్చీని ఎంచుకుంటాను:

అప్పుడు నేను ముసుగులో తెల్లగా ఉన్న ప్రతిదాన్ని చిత్రం యొక్క ఎడమ వైపుకు లాగుతాను మరియు అదే సమయంలో చిత్రం అంతటా రెండు పొరుగు పిక్సెల్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం కుడి వైపున ఉన్న రెండు పొరుగు పిక్సెల్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉండాలని చెబుతాను. చిత్రం:

కోసం (int i=0; i

ఇక్కడ ఫలితం ఉంది:

కోడ్ మరియు చిత్రాలు అందుబాటులో ఉన్నాయి