ఉత్పన్నాలపై ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష శిక్షణ కేటాయింపులు. పరీక్షా టాస్క్‌లలో డెరివేటివ్‌ల అప్లికేషన్

ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం X Y 0 టాంజెంట్ α k – సరళ రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం (టాంజెంట్) ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం: అబ్సిస్సాతో పాయింట్ వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయగలిగితే , y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండదు, అప్పుడు అది టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది, అనగా ఇ. అప్పటి నుండి, సరళ రేఖ యొక్క సమానత్వం నిజం

X y అయితే α 0. α > 90° అయితే, k 90°, ఆ తర్వాత k 90°, తర్వాత k 90°, ఆ తర్వాత k 90°, అప్పుడు k శీర్షిక="х y అయితే α 0. అయితే α > 90°, తర్వాత k

X y టాస్క్ 1. ఫిగర్ ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది మరియు ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ను abscissa -1తో గీసారు. x = పాయింట్ వద్ద f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి

Y x x0x ఫిగర్ y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది మరియు అబ్సిస్సా x 0తో పాయింట్ వద్ద దానికి టాంజెంట్‌ను చూపుతుంది. x 0 పాయింట్ వద్ద f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి. సమాధానం: -0.25

ఫిగర్ f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది, విరామం (-6;6)పై నిర్వచించబడింది. f(x) ఫంక్షన్ పెరుగుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనండి. మీ సమాధానంలో, ఈ విరామాలలో చేర్చబడిన పూర్ణాంక పాయింట్ల మొత్తాన్ని సూచించండి. బి =...

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో కష్టమైన అంశాలలో ఒకటి. ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటి అనే ప్రశ్నకు ప్రతి గ్రాడ్యుయేట్ సమాధానం ఇవ్వరు.

ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎందుకు అవసరమో ఈ వ్యాసం సరళమైన మరియు స్పష్టమైన మార్గంలో వివరిస్తుంది.. మేము ఇప్పుడు ప్రదర్శనలో గణిత కఠినత కోసం ప్రయత్నించము. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం.

నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

ఉత్పన్నం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు.

బొమ్మ మూడు ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది. ఏది వేగంగా పెరుగుతోందని మీరు అనుకుంటున్నారు?

సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది - మూడవది. ఇది అత్యధిక మార్పు రేటును కలిగి ఉంది, అంటే అతిపెద్ద ఉత్పన్నం.

ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ.

కోస్త్య, గ్రిషా మరియు మాట్వీకి ఒకే సమయంలో ఉద్యోగాలు వచ్చాయి. సంవత్సరంలో వారి ఆదాయం ఎలా మారిందో చూద్దాం:

గ్రాఫ్ అన్నింటినీ ఒకేసారి చూపిస్తుంది, కాదా? ఆరు నెలల్లో కోస్త్యా ఆదాయం రెట్టింపు అయింది. మరియు గ్రిషా ఆదాయం కూడా పెరిగింది, కానీ కొంచెం. మరియు మాట్వే ఆదాయం సున్నాకి తగ్గింది. ప్రారంభ పరిస్థితులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కానీ ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు, అంటే ఉత్పన్నం, - భిన్నమైనది. మాట్వే విషయానికొస్తే, అతని ఆదాయ ఉత్పన్నం సాధారణంగా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

అకారణంగా, మేము ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును సులభంగా అంచనా వేస్తాము. కానీ మనం దీన్ని ఎలా చేయాలి?

మనం నిజంగా చూస్తున్నది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎంత నిటారుగా పెరుగుతుంది (లేదా క్రిందికి). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x మారినప్పుడు y ఎంత త్వరగా మారుతుంది? సహజంగానే, వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద ఒకే ఫంక్షన్ వేర్వేరు డెరివేటివ్ విలువలను కలిగి ఉంటుంది - అంటే, ఇది వేగంగా లేదా నెమ్మదిగా మారుతుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సూచించబడుతుంది.

గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి దాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మేము మీకు చూపుతాము.

కొంత ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ డ్రా చేయబడింది. దానిపై అబ్సిస్సా ఉన్న పాయింట్ తీసుకుందాం. ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయండి. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ఎంత బాగా పెరుగుతుందో మేము అంచనా వేయాలనుకుంటున్నాము. దీనికి అనుకూలమైన విలువ టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్.

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఈ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కి డ్రా అయిన టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణంగా మనం టాంజెంట్ మరియు అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య కోణాన్ని తీసుకుంటామని దయచేసి గమనించండి.

కొన్నిసార్లు విద్యార్థులు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి అని అడుగుతారు. ఇది ఈ విభాగంలోని గ్రాఫ్‌తో మరియు మా చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఒకే సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే సరళ రేఖ. ఇది వృత్తానికి టాంజెంట్ లాగా కనిపిస్తుంది.

దానిని కనుక్కోండి. లంబకోణ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుందని మేము గుర్తుంచుకోవాలి. త్రిభుజం నుండి:

ఫంక్షన్ యొక్క ఫార్ములా కూడా తెలియకుండా గ్రాఫ్ ఉపయోగించి ఉత్పన్నాన్ని మేము కనుగొన్నాము. ఇటువంటి సమస్యలు తరచుగా సంఖ్య కింద గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనిపిస్తాయి.

మరొక ముఖ్యమైన సంబంధం ఉంది. సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిందని గుర్తుంచుకోండి

ఈ సమీకరణంలోని పరిమాణాన్ని అంటారు సరళ రేఖ యొక్క వాలు. ఇది అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం.

.

మేము దానిని పొందుతాము

ఈ ఫార్ములాను గుర్తుంచుకుందాం. ఇది ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది.

ఒక బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు డ్రా అయిన టాంజెంట్ యొక్క వాలుకు సమానం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉత్పన్నం టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

ఒకే ఫంక్షన్ వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద వేర్వేరు ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుందని మేము ఇప్పటికే చెప్పాము. ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనకు ఉత్పన్నం ఎలా సంబంధం కలిగి ఉందో చూద్దాం.

కొంత ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి. ఈ ఫంక్షన్ కొన్ని ప్రాంతాలలో పెరగనివ్వండి మరియు మరికొన్నింటిలో తగ్గుతుంది మరియు వివిధ రేట్లలో. మరియు ఈ ఫంక్షన్ గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కలిగి ఉండనివ్వండి.

ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. పాయింట్ వద్ద గీసిన గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ తీవ్రమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది; సానుకూల అక్షం దిశతో. పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉందని దీని అర్థం.

ఆ సమయంలో మన పనితీరు తగ్గిపోతుంది. ఈ బిందువు వద్ద టాంజెంట్ ఒక మందమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది; సానుకూల అక్షం దిశతో. మందమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ ప్రతికూలంగా ఉన్నందున, పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఏమి జరుగుతుందో ఇక్కడ ఉంది:

ఒక ఫంక్షన్ పెరుగుతున్నట్లయితే, దాని ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

అది తగ్గితే, దాని ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్ల వద్ద ఏమి జరుగుతుంది? పాయింట్ల వద్ద (గరిష్ట బిందువు) మరియు (కనిష్ట బిందువు) టాంజెంట్ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్నట్లు మనం చూస్తాము. కాబట్టి, ఈ బిందువుల వద్ద టాంజెంట్ యొక్క టాంజెంట్ సున్నా, మరియు ఉత్పన్నం కూడా సున్నా.

పాయింట్ - గరిష్ట పాయింట్. ఈ సమయంలో, ఫంక్షన్ పెరుగుదల తగ్గుదల ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది. తత్ఫలితంగా, "ప్లస్" నుండి "మైనస్"కి పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మారుతుంది.

పాయింట్ వద్ద - కనిష్ట పాయింట్ - ఉత్పన్నం కూడా సున్నా, కానీ దాని గుర్తు “మైనస్” నుండి “ప్లస్”కి మారుతుంది.

ముగింపు: ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన గురించి మనకు ఆసక్తి కలిగించే ప్రతిదాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు.

ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

గరిష్ట పాయింట్ వద్ద, ఉత్పన్నం సున్నా మరియు చిహ్నాన్ని “ప్లస్” నుండి “మైనస్”కి మారుస్తుంది.

కనీస పాయింట్ వద్ద, ఉత్పన్నం కూడా సున్నా మరియు చిహ్నాన్ని "మైనస్" నుండి "ప్లస్"కి మారుస్తుంది.

ఈ తీర్మానాలను పట్టిక రూపంలో వ్రాస్దాం:

రెండు చిన్న స్పష్టీకరణలు చేద్దాం. సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు మీకు వాటిలో ఒకటి అవసరం. మరొకటి - మొదటి సంవత్సరంలో, విధులు మరియు ఉత్పన్నాల యొక్క మరింత తీవ్రమైన అధ్యయనంతో.

ఏదో ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండే అవకాశం ఉంది, అయితే ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌కు గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా ఉండదు. ఇది పిలవబడేది :

ఒక పాయింట్ వద్ద, గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్నం సున్నాగా ఉంటుంది. అయితే, పాయింట్‌కు ముందు ఫంక్షన్ పెరిగింది - మరియు పాయింట్ తర్వాత అది పెరుగుతూనే ఉంటుంది. ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మారదు - ఇది సానుకూలంగానే ఉంటుంది.

గరిష్ట లేదా కనిష్ట పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదని కూడా ఇది జరుగుతుంది. గ్రాఫ్‌లో, ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్‌ను గీయడం అసాధ్యం అయినప్పుడు ఇది పదునైన విరామానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ద్వారా కాకుండా ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడితే ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఈ సందర్భంలో, ఇది వర్తిస్తుంది

తిరిగి ముందుకు

శ్రద్ధ! స్లయిడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క అన్ని లక్షణాలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఈ పనిపై ఆసక్తి ఉంటే, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

పాఠం రకం:పునరావృతం మరియు సాధారణీకరణ.

పాఠం ఆకృతి:పాఠం-సంప్రదింపులు.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

• విద్యాసంబంధమైన: అంశాలపై సైద్ధాంతిక జ్ఞానాన్ని పునరావృతం చేయండి మరియు సాధారణీకరించండి: "ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం" మరియు "ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్"; గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఎదురయ్యే అన్ని రకాల B8 సమస్యలను పరిగణించండి; సమస్యలను స్వతంత్రంగా పరిష్కరించడం ద్వారా వారి జ్ఞానాన్ని పరీక్షించే అవకాశాన్ని విద్యార్థులకు అందించండి; పరీక్ష జవాబు ఫారమ్‌ను ఎలా పూరించాలో నేర్పండి;
• అభివృద్ధి చెందుతున్న: శాస్త్రీయ జ్ఞానం, అర్థ జ్ఞాపకశక్తి మరియు స్వచ్ఛంద శ్రద్ధ యొక్క పద్ధతిగా కమ్యూనికేషన్ అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించడానికి; పోలిక, సమ్మేళనం, వస్తువుల వర్గీకరణ, ఇచ్చిన అల్గారిథమ్‌ల ఆధారంగా విద్యా పనిని పరిష్కరించడానికి తగిన మార్గాలను నిర్ణయించడం, అనిశ్చితి పరిస్థితులలో స్వతంత్రంగా వ్యవహరించే సామర్థ్యం, ​​ఒకరి కార్యకలాపాలను పర్యవేక్షించడం మరియు మూల్యాంకనం చేయడం, కారణాలను కనుగొనడం మరియు తొలగించడం వంటి కీలక సామర్థ్యాల ఏర్పాటు కష్టాల;
• విద్యాసంబంధమైన: విద్యార్థుల కమ్యూనికేషన్ సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి (కమ్యూనికేషన్ సంస్కృతి, సమూహాలలో పని చేసే సామర్థ్యం); స్వీయ-విద్య అవసరం అభివృద్ధిని ప్రోత్సహిస్తుంది.

సాంకేతికతలు: అభివృద్ధి విద్య, ICT.

బోధనా పద్ధతులు:శబ్ద, దృశ్య, ఆచరణ, సమస్యాత్మక.

పని రూపాలు:వ్యక్తిగత, ఫ్రంటల్, సమూహం.

విద్యా మరియు పద్దతి మద్దతు:

1. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం 11వ తరగతి: పాఠ్య పుస్తకం. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ఫెడోరోవా, M. I. షబునిన్); A. B. Zhizhchenko ద్వారా సవరించబడింది. – 4వ ఎడిషన్. – M.: విద్య, 2011.

2. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్: గణితంలో సమాధానాలతో 3000 సమస్యలు. సమూహం B / A.L యొక్క అన్ని పనులు సెమెనోవ్, I.V. యష్చెంకో మరియు ఇతరులు; A.L చే సవరించబడింది. సెమియోనోవా, I.V. యష్చెంకో. – M.: పబ్లిషింగ్ హౌస్ “పరీక్ష”, 2011.

3. టాస్క్ బ్యాంక్ తెరవండి.

పాఠం కోసం సామగ్రి మరియు సామగ్రి:ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్, ప్రతి విద్యార్థికి PC, దానిపై ప్రెజెంటేషన్ ఇన్‌స్టాల్ చేయబడింది, విద్యార్థులందరికీ మెమో ప్రింటౌట్ (అనుబంధం 1)మరియు స్కోర్ షీట్ ( అనుబంధం 2) .

పాఠం కోసం ప్రాథమిక తయారీ:హోంవర్క్‌గా, విద్యార్థులను పాఠ్యపుస్తకం నుండి అంశాలకు సంబంధించిన సైద్ధాంతిక విషయాలను పునరావృతం చేయమని కోరతారు: "ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం", "ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్"; తరగతి సమూహాలుగా విభజించబడింది (ఒక్కొక్కటి 4 మంది వ్యక్తులు), ప్రతి దానిలో వివిధ స్థాయిల విద్యార్థులు ఉన్నారు.

పాఠం వివరణ:ఈ పాఠం 11వ తరగతిలో పునరావృతం మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు సిద్ధమయ్యే దశలో బోధించబడుతుంది. పాఠం సైద్ధాంతిక విషయాలను పునరావృతం చేయడం మరియు సాధారణీకరించడం, పరీక్ష సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దానిని వర్తింపజేయడం లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది. పాఠం వ్యవధి - 1.5 గంటలు .

ఈ పాఠం పాఠ్యపుస్తకానికి జోడించబడలేదు, కాబట్టి ఏదైనా బోధనా సామగ్రిపై పని చేస్తున్నప్పుడు దీనిని బోధించవచ్చు. ఈ పాఠాన్ని కూడా రెండు వేర్వేరు పాఠాలుగా విభజించి, కవర్ చేయబడిన అంశాలపై చివరి పాఠాలుగా బోధించవచ్చు.

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం.

II. లక్ష్యాలను నిర్దేశించడం పాఠం.

III. "ఉత్పన్నాల యొక్క రేఖాగణిత అర్థం" అనే అంశంపై పునరావృతం.

ప్రొజెక్టర్‌ని ఉపయోగించి ఓరల్ ఫ్రంటల్ వర్క్ (స్లయిడ్‌లు నం. 3-7)

సమూహాలలో పని చేయండి: ఉపాధ్యాయుల సంప్రదింపులతో సూచనలు, సమాధానాలతో సమస్యలను పరిష్కరించడం (స్లైడ్‌లు నం. 8-17)

IV. స్వతంత్ర పని 1.

విద్యార్థులు PCలో వ్యక్తిగతంగా పని చేస్తారు (స్లయిడ్‌లు నం. 18-26), మరియు వారి సమాధానాలను మూల్యాంకన షీట్‌లో నమోదు చేయండి. అవసరమైతే, మీరు ఉపాధ్యాయుడిని సంప్రదించవచ్చు, కానీ ఈ సందర్భంలో విద్యార్థి 0.5 పాయింట్లను కోల్పోతాడు. విద్యార్థి ముందుగా పనిని పూర్తి చేస్తే, అతను సేకరణ, pp. 242, 306-324 (అదనపు పనులు విడిగా అంచనా వేయబడతాయి) నుండి అదనపు పనులను పరిష్కరించడానికి ఎంచుకోవచ్చు.

V. పరస్పర ధృవీకరణ.

విద్యార్థులు అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లను మార్చుకుంటారు, స్నేహితుని పనిని తనిఖీ చేస్తారు మరియు పాయింట్‌లను కేటాయించారు (స్లయిడ్ నం. 27)

VI. జ్ఞానం యొక్క దిద్దుబాటు.

VII. "ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్" అనే అంశంపై పునరావృతం

ప్రొజెక్టర్‌ని ఉపయోగించి ఓరల్ ఫ్రంటల్ వర్క్ (స్లయిడ్‌లు నం. 28-30)

సమూహాలలో పని చేయండి: ఉపాధ్యాయుల సంప్రదింపులతో సూచనలు, సమాధానాలతో సమస్యలను పరిష్కరించడం (స్లైడ్‌లు నం. 31-33)

VIII. స్వతంత్ర పని 2.

విద్యార్థులు PCలో వ్యక్తిగతంగా పని చేస్తారు (స్లయిడ్‌లు నం. 34-46), మరియు వారి సమాధానాలను సమాధాన ఫారమ్‌లో నమోదు చేయండి. అవసరమైతే, మీరు ఉపాధ్యాయుడిని సంప్రదించవచ్చు, కానీ ఈ సందర్భంలో విద్యార్థి 0.5 పాయింట్లను కోల్పోతాడు. విద్యార్థి ముందుగా పనిని పూర్తి చేస్తే, అతను సేకరణ, pp. 243-305 (అదనపు పనులు విడిగా అంచనా వేయబడతాయి) నుండి అదనపు పనులను పరిష్కరించడానికి ఎంచుకోవచ్చు.

IX. పీర్ సమీక్ష.

విద్యార్థులు అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లను మార్పిడి చేసుకుంటారు, వారి స్నేహితుని పనిని తనిఖీ చేస్తారు మరియు పాయింట్లను కేటాయించారు (స్లయిడ్ నం. 47).

X. జ్ఞానం యొక్క దిద్దుబాటు.

విద్యార్థులు వారి సమూహాలలో మళ్లీ పని చేస్తారు, పరిష్కారాన్ని చర్చించారు మరియు తప్పులను సరిదిద్దుతారు.

XI. సంగ్రహించడం.

ప్రతి విద్యార్థి తమ పాయింట్లను లెక్కించి స్కోర్ షీట్‌లో గ్రేడ్‌ను ఉంచుతారు.

విద్యార్థులు అదనపు సమస్యలకు అసెస్‌మెంట్ షీట్ మరియు పరిష్కారాలను ఉపాధ్యాయులకు సమర్పించారు.

ప్రతి విద్యార్థి మెమోను అందుకుంటారు (స్లయిడ్ నం. 53-54).

XII. ప్రతిబింబం.

పదబంధాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా విద్యార్థులు తమ జ్ఞానాన్ని అంచనా వేయమని అడుగుతారు:

• నేను గెలుపొందాను!!!
• మేము మరికొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరించాలి.
• బాగా, ఈ గణితాన్ని ఎవరు కనుగొన్నారు!

XIII. ఇంటి పని.

హోంవర్క్ కోసం, విద్యార్థులు సేకరణ, pp. 242-334, అలాగే ఓపెన్ బ్యాంక్ ఆఫ్ టాస్క్‌ల నుండి టాస్క్‌లను ఎంచుకోవలసి ఉంటుంది.

ఒక కొండ ప్రాంతం గుండా నేరుగా రహదారిని ఊహించుకుందాం. అంటే, అది పైకి క్రిందికి వెళుతుంది, కానీ కుడి లేదా ఎడమవైపు తిరగదు. అక్షం రహదారి వెంట అడ్డంగా మరియు నిలువుగా నిర్దేశించబడితే, అప్పుడు రహదారి లైన్ కొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కి చాలా పోలి ఉంటుంది:

అక్షం అనేది సున్నా ఎత్తు యొక్క నిర్దిష్ట స్థాయి; జీవితంలో మనం సముద్ర మట్టాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

అటువంటి రహదారి వెంట మనం ముందుకు వెళుతున్నప్పుడు, మనం కూడా పైకి లేదా క్రిందికి వెళ్తాము. మేము కూడా చెప్పగలం: వాదన మారినప్పుడు (అబ్సిస్సా అక్షం వెంట కదలిక), ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మారుతుంది (ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట కదలిక). ఇప్పుడు మన రహదారి యొక్క “ఏటవాలు” ఎలా నిర్ణయించాలో ఆలోచిద్దాం? ఇది ఎలాంటి విలువ కావచ్చు? ఇది చాలా సులభం: ఒక నిర్దిష్ట దూరం ముందుకు వెళ్ళేటప్పుడు ఎత్తు ఎంత మారుతుంది. వాస్తవానికి, రహదారి యొక్క వివిధ విభాగాలలో, ఒక కిలోమీటరు ముందుకు (x- అక్షం వెంట) కదులుతున్నప్పుడు, మేము సముద్ర మట్టానికి (y- అక్షం వెంట) సంబంధించి వేరే సంఖ్యలో మీటర్లు పెరుగుతాము లేదా పడిపోతాము.

పురోగతిని సూచిస్తాము ("డెల్టా x" చదవండి).

గ్రీకు అక్షరం (డెల్టా) సాధారణంగా గణితంలో "మార్పు" అనే అర్థంలో ఉపసర్గగా ఉపయోగించబడుతుంది. అంటే - ఇది పరిమాణంలో మార్పు, - మార్పు; అప్పుడు అది ఏమిటి? అది నిజం, పరిమాణంలో మార్పు.

ముఖ్యమైనది: వ్యక్తీకరణ అనేది ఒకే మొత్తం, ఒక వేరియబుల్. "డెల్టా"ని "x" లేదా మరేదైనా అక్షరం నుండి వేరు చేయవద్దు! అంటే, ఉదాహరణకు, .

కాబట్టి, మేము అడ్డంగా, ముందుకు వెళ్ళాము. మేము రహదారి రేఖను ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పోల్చినట్లయితే, మేము పెరుగుదలను ఎలా సూచిస్తాము? ఖచ్చితంగా, . అంటే, మనం ముందుకు సాగుతున్నప్పుడు, మనం పైకి లేస్తాము.

విలువను లెక్కించడం సులభం: ప్రారంభంలో మనం ఎత్తులో ఉంటే, మరియు కదిలిన తర్వాత మనం ఎత్తులో ఉన్నాము, అప్పుడు. ముగింపు బిందువు ప్రారంభ స్థానం కంటే తక్కువగా ఉంటే, అది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది - దీని అర్థం మనం ఆరోహణ కాదు, అవరోహణ.

"నిటారుగా"కి తిరిగి వెళ్దాం: ఇది దూరం యొక్క ఒక యూనిట్ ముందుకు వెళ్ళేటప్పుడు ఎత్తు ఎంత (నిటారుగా) పెరుగుతుందో చూపే విలువ:

రహదారిలోని కొంత భాగంలో, ఒక కిలోమీటరు ముందుకు వెళ్లినప్పుడు, రహదారి ఒక కిలోమీటరు పైకి లేచిందని అనుకుందాం. అప్పుడు ఈ స్థలంలో వాలు సమానంగా ఉంటుంది. మరియు రహదారి, m ద్వారా ముందుకు వెళుతున్నప్పుడు, km ద్వారా పడిపోయినట్లయితే? అప్పుడు వాలు సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు ఒక కొండ పైభాగాన్ని చూద్దాం. శిఖరానికి అరకిలోమీటరు ముందు సెక్షన్‌ బిగినింగ్‌ని, ఆ తర్వాత అర కిలోమీటరును తీసుకుంటే, ఎత్తు దాదాపుగా ఒకే విధంగా ఉండడం గమనించవచ్చు.

అంటే, మా తర్కం ప్రకారం, ఇక్కడ వాలు దాదాపు సున్నాకి సమానం అని తేలింది, ఇది స్పష్టంగా నిజం కాదు. కేవలం కిలోమీటర్ల దూరం చాలా మారవచ్చు. ఏటవాలు యొక్క మరింత తగినంత మరియు ఖచ్చితమైన అంచనా కోసం చిన్న ప్రాంతాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక మీటరును కదిలేటప్పుడు ఎత్తులో మార్పును కొలిస్తే, ఫలితం మరింత ఖచ్చితమైనదిగా ఉంటుంది. కానీ ఈ ఖచ్చితత్వం కూడా మనకు సరిపోకపోవచ్చు - అన్నింటికంటే, రహదారి మధ్యలో ఒక పోల్ ఉంటే, మనం దానిని దాటవచ్చు. అప్పుడు మనం ఏ దూరాన్ని ఎంచుకోవాలి? సెంటీమీటర్? మిల్లీమీటర్? తక్కువ ఉత్తమం!

నిజ జీవితంలో, సమీప మిల్లీమీటర్‌కు దూరాలను కొలవడం సరిపోతుంది. కానీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఎల్లప్పుడూ పరిపూర్ణత కోసం ప్రయత్నిస్తారు. అందువలన, భావన కనుగొనబడింది అనంతమైన, అంటే, సంపూర్ణ విలువ మనం పేరు పెట్టగల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ఇలా అంటారు: ఒక ట్రిలియన్! ఎంత తక్కువ? మరియు మీరు ఈ సంఖ్యను విభజించండి - మరియు అది కూడా తక్కువగా ఉంటుంది. మరియు అందువలన న. మేము ఒక పరిమాణం అనంతమైనదని వ్రాయాలనుకుంటే, మనం ఇలా వ్రాస్తాము: (మేము “x సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది” అని చదువుతాము). అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం ఈ సంఖ్య సున్నా కాదని!కానీ దానికి చాలా దగ్గరగా. దీని ద్వారా మీరు విభజించవచ్చని దీని అర్థం.

ఇన్ఫినిటీసిమల్‌కి వ్యతిరేక భావన అనంతంగా పెద్దది (). మీరు అసమానతలపై పని చేస్తున్నప్పుడు బహుశా మీరు దీన్ని ఇప్పటికే చూడవచ్చు: ఈ సంఖ్య మీరు ఆలోచించగలిగే సంఖ్య కంటే మాడ్యులో ఎక్కువగా ఉంటుంది. మీరు సాధ్యమైనంత పెద్ద సంఖ్యతో వచ్చినట్లయితే, దానిని రెండుతో గుణించండి మరియు మీరు మరింత పెద్ద సంఖ్యను పొందుతారు. మరియు అనంతం ఏమి జరుగుతుందో దాని కంటే గొప్పది. నిజానికి, అనంతమైన పెద్దవి మరియు అనంతమైన చిన్నవి ఒకదానికొకటి విలోమం, అంటే వద్ద, మరియు వైస్ వెర్సా: వద్ద.

ఇప్పుడు మన దారికి తిరిగి వద్దాం. ఆదర్శంగా లెక్కించబడిన వాలు అనేది మార్గం యొక్క అనంతమైన విభాగం కోసం లెక్కించబడిన వాలు, అంటే:

అనంతమైన స్థానభ్రంశంతో, ఎత్తులో మార్పు కూడా అనంతంగా ఉంటుందని నేను గమనించాను. కానీ అనంతం అంటే సున్నాకి సమానం కాదని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. మీరు ఒకదానికొకటి అనంతమైన సంఖ్యలను విభజించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యను పొందవచ్చు, ఉదాహరణకు, . అంటే, ఒక చిన్న విలువ మరొకదాని కంటే ఖచ్చితంగా రెట్లు పెద్దదిగా ఉంటుంది.

ఇదంతా దేనికి? రహదారి, ఏటవాలు... మేము కారు ర్యాలీకి వెళ్లడం లేదు, కానీ మేము గణితం బోధిస్తున్నాము. మరియు గణితశాస్త్రంలో ప్రతిదీ సరిగ్గా ఒకే విధంగా ఉంటుంది, విభిన్నంగా మాత్రమే పిలుస్తారు.

ఉత్పన్నం యొక్క భావన

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అనంతమైన ఇంక్రిమెంట్ కోసం ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి.

పెరుగుతూగణితంలో మార్పు అంటారు. ఆర్గ్యుమెంట్ () అక్షం వెంట కదులుతున్నప్పుడు ఎంత వరకు మారుతుందో అంటారు వాదన పెంపుమరియు నిర్దేశించబడింది.అక్షం వెంట దూరం ద్వారా ముందుకు వెళ్ళేటప్పుడు ఫంక్షన్ (ఎత్తు) ఎంత మారిపోయింది ఫంక్షన్ పెంపుమరియు నియమించబడినది.

కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎప్పుడు అనే నిష్పత్తి. మేము ఉత్పన్నాన్ని ఫంక్షన్ వలె అదే అక్షరంతో సూచిస్తాము, ఎగువ కుడి వైపున ఉన్న ప్రైమ్‌తో మాత్రమే: లేదా సరళంగా. కాబట్టి, ఈ సంజ్ఞామానాలను ఉపయోగించి ఉత్పన్న సూత్రాన్ని వ్రాద్దాం:

రహదారితో సారూప్యత వలె, ఇక్కడ ఫంక్షన్ పెరిగినప్పుడు, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు అది తగ్గినప్పుడు, అది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం కాగలదా? ఖచ్చితంగా. ఉదాహరణకు, మేము ఫ్లాట్ క్షితిజ సమాంతర రహదారిపై డ్రైవింగ్ చేస్తుంటే, ఏటవాలు సున్నా. మరియు ఇది నిజం, ఎత్తు అస్సలు మారదు. కాబట్టి ఇది ఉత్పన్నంతో ఉంటుంది: స్థిరమైన ఫంక్షన్ (స్థిరమైన) యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం:

అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ దేనికైనా సున్నాకి సమానం కాబట్టి.

కొండపై ఉదాహరణను గుర్తుచేసుకుందాం. సెగ్మెంట్ చివరలను శీర్షానికి ఎదురుగా అమర్చడం సాధ్యమేనని తేలింది, తద్వారా చివర్లలోని ఎత్తు ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అనగా, సెగ్మెంట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది:

కానీ పెద్ద భాగాలు సరికాని కొలతకు సంకేతం. మేము మా విభాగాన్ని సమాంతరంగా పెంచుతాము, అప్పుడు దాని పొడవు తగ్గుతుంది.

చివరికి, మనం పైభాగానికి అనంతంగా దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు, సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు అనంతంగా మారుతుంది. కానీ అదే సమయంలో, ఇది అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండిపోయింది, అనగా, దాని చివర్లలో ఎత్తుల వ్యత్యాసం సున్నాకి సమానం (ఇది మొగ్గు చూపదు, కానీ సమానంగా ఉంటుంది). కాబట్టి ఉత్పన్నం

దీన్ని ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు: మనం చాలా పైభాగంలో నిలబడి ఉన్నప్పుడు, ఎడమ లేదా కుడి వైపున చిన్న షిఫ్ట్ మన ఎత్తును నిర్లక్ష్యానికి మారుస్తుంది.

పూర్తిగా బీజగణిత వివరణ కూడా ఉంది: శీర్షం యొక్క ఎడమ వైపున ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది మరియు కుడి వైపున అది తగ్గుతుంది. మనం ఇంతకు ముందు కనుగొన్నట్లుగా, ఫంక్షన్ పెరిగినప్పుడు, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు అది తగ్గినప్పుడు అది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. కానీ అది జంప్‌లు లేకుండా సజావుగా మారుతుంది (రహదారి దాని వాలును ఎక్కడా తీవ్రంగా మార్చదు కాబట్టి). అందువల్ల, ప్రతికూల మరియు సానుకూల విలువల మధ్య ఉండాలి. ఫంక్షన్ పెరగదు లేదా తగ్గదు - శీర్ష బిందువు వద్ద ఇది ఉంటుంది.

పతనానికి కూడా ఇది వర్తిస్తుంది (ఎడమవైపు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది మరియు కుడివైపు పెరుగుతుంది):

ఇంక్రిమెంట్ల గురించి కొంచెం ఎక్కువ.

కాబట్టి మేము వాదనను మాగ్నిట్యూడ్‌కి మారుస్తాము. మనం ఏ విలువ నుండి మారుతాము? ఇప్పుడు అది (వాదన) ఏమైంది? మేము ఏదైనా పాయింట్ ఎంచుకోవచ్చు మరియు ఇప్పుడు మేము దాని నుండి నృత్యం చేస్తాము.

కోఆర్డినేట్‌తో ఒక పాయింట్‌ను పరిగణించండి. దానిలోని ఫంక్షన్ విలువ సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మేము అదే ఇంక్రిమెంట్ చేస్తాము: మేము కోఆర్డినేట్ను పెంచుతాము. ఇప్పుడు వాదన ఏమిటి? చాలా సులభం: . ఇప్పుడు ఫంక్షన్ విలువ ఎంత? ఆర్గ్యుమెంట్ ఎక్కడికి వెళ్తుందో, ఫంక్షన్ కూడా చేస్తుంది: . ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ గురించి ఏమిటి? కొత్తది ఏమీ లేదు: ఇది ఇప్పటికీ ఫంక్షన్ మారిన మొత్తం:

ఇంక్రిమెంట్లను కనుగొనడం ప్రాక్టీస్ చేయండి:

1. ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌ను కనుగొనండి.
2. ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్‌కి కూడా అదే జరుగుతుంది.

పరిష్కారాలు:

ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్ ఇంక్రిమెంట్‌తో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద, ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ భిన్నంగా ఉంటుంది. దీనర్థం ప్రతి పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం భిన్నంగా ఉంటుంది (దీనిని మేము ప్రారంభంలోనే చర్చించాము - వివిధ పాయింట్ల వద్ద రహదారి ఏటవాలు భిన్నంగా ఉంటుంది). కాబట్టి, మేము ఒక ఉత్పన్నాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మనం ఏ సమయంలో సూచించాలి:

పవర్ ఫంక్షన్.

పవర్ ఫంక్షన్ అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ కొంత వరకు ఉండే ఫంక్షన్ (తార్కికంగా, సరియైనదా?).

ఇంకా - ఏ మేరకు: .

ఘాతాంకం ఉన్నప్పుడు సరళమైన సందర్భం:

ఒక పాయింట్ వద్ద దాని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

కాబట్టి వాదన మారుతుంది. ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ ఎంత?

ఇంక్రిమెంట్ అంటే ఇదే. కానీ ఏదైనా పాయింట్ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ దాని వాదనకు సమానం. అందుకే:

ఉత్పన్నం దీనికి సమానం:

యొక్క ఉత్పన్నం దీనికి సమానం:

బి) ఇప్పుడు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ (): .

ఇప్పుడు అది గుర్తు చేసుకుందాం. ఇంక్రిమెంట్ విలువ విస్మరించబడుతుందని దీని అర్థం, ఇది అనంతమైనది మరియు ఇతర పదం యొక్క నేపథ్యానికి వ్యతిరేకంగా చాలా తక్కువగా ఉంటుంది:

కాబట్టి, మేము మరొక నియమంతో ముందుకు వచ్చాము:

సి) మేము తార్కిక శ్రేణిని కొనసాగిస్తాము: .

ఈ వ్యక్తీకరణను వివిధ మార్గాల్లో సరళీకృతం చేయవచ్చు: మొత్తం క్యూబ్ యొక్క సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి బ్రాకెట్‌ను తెరవండి లేదా ఘనాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి మొత్తం వ్యక్తీకరణను కారకం చేయండి. సూచించిన పద్ధతుల్లో దేనినైనా ఉపయోగించి దీన్ని మీరే చేయడానికి ప్రయత్నించండి.

కాబట్టి, నేను ఈ క్రింది వాటిని పొందాను:

మరియు మరలా గుర్తు చేద్దాం. దీని అర్థం మనం కలిగి ఉన్న అన్ని నిబంధనలను విస్మరించవచ్చు:

మాకు దొరికింది: .

d) పెద్ద అధికారాల కోసం ఇలాంటి నియమాలను పొందవచ్చు:

ఇ) ఏకపక్ష ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ కోసం ఈ నియమాన్ని సాధారణీకరించవచ్చని తేలింది, పూర్ణాంకం కూడా కాదు:

నియమాన్ని పదాలలో రూపొందించవచ్చు: "డిగ్రీని గుణకం వలె ముందుకు తీసుకువస్తారు, ఆపై తగ్గించబడుతుంది."

మేము ఈ నియమాన్ని తరువాత నిరూపిస్తాము (దాదాపు చివరిలో). ఇప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

1. (రెండు విధాలుగా: ఫార్ములా ద్వారా మరియు ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా - ఫంక్షన్ యొక్క పెంపును లెక్కించడం ద్వారా);

త్రికోణమితి విధులు.

ఇక్కడ మేము ఉన్నత గణితంలో ఒక వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

వ్యక్తీకరణతో.

మీరు ఇన్స్టిట్యూట్ యొక్క మొదటి సంవత్సరంలో రుజువును నేర్చుకుంటారు (మరియు అక్కడికి చేరుకోవడానికి, మీరు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించాలి). ఇప్పుడు నేను దానిని గ్రాఫికల్‌గా చూపిస్తాను:

ఫంక్షన్ లేనప్పుడు - గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్ కత్తిరించబడిందని మేము చూస్తాము. కానీ విలువకు దగ్గరగా, ఫంక్షన్ దగ్గరగా ఉంటుంది.

అదనంగా, మీరు కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి ఈ నియమాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు. అవును, అవును, సిగ్గుపడకండి, కాలిక్యులేటర్ తీసుకోండి, మేము ఇంకా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో లేము.

కాబట్టి, ప్రయత్నిద్దాం: ;

మీ కాలిక్యులేటర్‌ని రేడియన్స్ మోడ్‌కి మార్చడం మర్చిపోవద్దు!

మొదలైనవి చిన్నది, నిష్పత్తి యొక్క విలువ దగ్గరగా ఉంటుందని మేము చూస్తాము.

ఎ) ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. ఎప్పటిలాగే, దాని పెరుగుదలను కనుగొనండి:

సైన్స్‌ల వ్యత్యాసాన్ని ఉత్పత్తిగా మారుద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము ("" అంశాన్ని గుర్తుంచుకోండి): .

ఇప్పుడు ఉత్పన్నం:

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: . అప్పుడు అనంతం కోసం అది కూడా అనంతం: . కోసం వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

మరియు ఇప్పుడు మేము దానిని వ్యక్తీకరణతో గుర్తుంచుకుంటాము. అలాగే, మొత్తంలో (అంటే వద్ద) అనంతమైన పరిమాణాన్ని విస్మరించినట్లయితే ఏమి చేయాలి.

కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందుతాము: సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం కొసైన్‌కు సమానం:

ఇవి ప్రాథమిక ("పట్టిక") ఉత్పన్నాలు. ఇక్కడ అవి ఒక జాబితాలో ఉన్నాయి:

తరువాత మేము వాటికి మరికొన్ని జోడిస్తాము, కానీ ఇవి చాలా ముఖ్యమైనవి, ఎందుకంటే అవి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి.

సాధన:

1. ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;
2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారాలు:

ఘాతాంకం మరియు సహజ సంవర్గమానం.

గణితంలో ఒక ఫంక్షన్ ఉంది, దీని ఉత్పన్నం ఏదైనా విలువ అదే సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువకు సమానంగా ఉంటుంది. దీనిని "ఘాతాంకం" అని పిలుస్తారు మరియు ఇది ఘాతాంక విధి

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారం - స్థిరాంకం - అనంతమైన దశాంశ భిన్నం, అంటే అహేతుక సంఖ్య (వంటివి). దీనిని "యూలర్ నంబర్" అని పిలుస్తారు, అందుకే దీనిని అక్షరంతో సూచిస్తారు.

కాబట్టి, నియమం:

గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం.

సరే, మనం చాలా దూరం వెళ్లవద్దు, వెంటనే విలోమ ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిద్దాం. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క విలోమం ఏ ఫంక్షన్? సంవర్గమానం:

మా విషయంలో, ఆధారం సంఖ్య:

అటువంటి సంవర్గమానం (అనగా, బేస్ ఉన్న సంవర్గమానం) "సహజమైనది" అని పిలుస్తారు మరియు దాని కోసం మేము ఒక ప్రత్యేక సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము: బదులుగా మేము వ్రాస్తాము.

ఇది దేనికి సమానం? వాస్తవానికి, .

సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం కూడా చాలా సులభం:

ఉదాహరణలు:

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఏమిటి?

సమాధానాలు: ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు నేచురల్ లాగరిథమ్ అనేది ఉత్పన్న దృక్పథం నుండి ప్రత్యేకంగా సరళమైన విధులు. ఏదైనా ఇతర బేస్‌తో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌లు వేరొక ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటాయి, మేము భేదం యొక్క నియమాల ద్వారా వెళ్ళిన తర్వాత దానిని విశ్లేషిస్తాము.

భేదం యొక్క నియమాలు

దేనికి సంబంధించిన నియమాలు? మళ్ళీ కొత్త పదం, మళ్ళీ?!...

భేదంఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియ.

అంతే. మీరు ఈ ప్రక్రియను ఒక్క మాటలో ఏమని పిలవగలరు? ఉత్పన్నం కాదు... గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అవకలనను ఫంక్షన్ యొక్క అదే ఇంక్రిమెంట్ అంటారు. ఈ పదం లాటిన్ భేదం - తేడా నుండి వచ్చింది. ఇక్కడ.

ఈ నియమాలన్నింటినీ ఉత్పన్నం చేసినప్పుడు, మేము రెండు ఫంక్షన్లను ఉపయోగిస్తాము, ఉదాహరణకు, మరియు. వాటి ఇంక్రిమెంట్‌ల కోసం మాకు ఫార్ములాలు కూడా అవసరం:

మొత్తం 5 నియమాలు ఉన్నాయి.

స్థిరాంకం ఉత్పన్న సంకేతం నుండి తీసివేయబడుతుంది.

ఒకవేళ - కొన్ని స్థిరమైన సంఖ్య (స్థిరమైన), అప్పుడు.

సహజంగానే, ఈ నియమం వ్యత్యాసం కోసం కూడా పనిచేస్తుంది: .

నిరూపిద్దాం. అది ఉండనివ్వండి, లేదా సరళంగా ఉండనివ్వండి.

ఉదాహరణలు.

ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

1. ఒక పాయింట్ వద్ద;
2. ఒక పాయింట్ వద్ద;
3. ఒక పాయింట్ వద్ద;
4. పాయింట్ వద్ద.

పరిష్కారాలు:

ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

ఇక్కడ ప్రతిదీ సారూప్యంగా ఉంది: కొత్త ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేద్దాం మరియు దాని ఇంక్రిమెంట్‌ను కనుగొనండి:

ఉత్పన్నం:

ఉదాహరణలు:

1. ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి మరియు;
2. ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారాలు:

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఘాతాంకాలు మాత్రమే కాకుండా ఏదైనా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడానికి ఇప్పుడు మీ జ్ఞానం సరిపోతుంది (అది ఏమిటో మీరు ఇంకా మర్చిపోయారా?).

కాబట్టి, కొంత సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మాకు ఇప్పటికే తెలుసు, కాబట్టి మన ఫంక్షన్‌ను కొత్త స్థావరానికి తగ్గించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

దీన్ని చేయడానికి, మేము ఒక సాధారణ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము: . అప్పుడు:

బాగా, అది పని చేసింది. ఇప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి మరియు ఈ ఫంక్షన్ సంక్లిష్టమైనదని మర్చిపోవద్దు.

జరిగిందా?

ఇక్కడ, మిమ్మల్ని మీరు తనిఖీ చేసుకోండి:

ఫార్ములా ఘాతాంకం యొక్క ఉత్పన్నానికి చాలా పోలి ఉంటుంది: అది అలాగే ఉంటుంది, ఒక కారకం మాత్రమే కనిపించింది, ఇది కేవలం ఒక సంఖ్య, కానీ వేరియబుల్ కాదు.

ఉదాహరణలు:
ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

సమాధానాలు:

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఇది ఇక్కడ సారూప్యంగా ఉంది: సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం మీకు ఇప్పటికే తెలుసు:

కాబట్టి, వేరే బేస్‌తో ఏకపక్ష లాగరిథమ్‌ని కనుగొనడానికి, ఉదాహరణకు:

మేము ఈ సంవర్గమానాన్ని ఆధారానికి తగ్గించాలి. మీరు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని ఎలా మారుస్తారు? మీరు ఈ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవాలని నేను ఆశిస్తున్నాను:

ఇప్పుడు మాత్రమే మేము బదులుగా వ్రాస్తాము:

హారం కేవలం స్థిరాంకం (స్థిరమైన సంఖ్య, వేరియబుల్ లేకుండా). ఉత్పన్నం చాలా సరళంగా పొందబడుతుంది:

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌ల డెరివేటివ్‌లు దాదాపు ఎప్పుడూ కనిపించవు, కానీ వాటిని తెలుసుకోవడం నిరుపయోగంగా ఉండదు.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

"కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్" అంటే ఏమిటి? లేదు, ఇది సంవర్గమానం కాదు మరియు ఆర్క్టాంజెంట్ కాదు. ఈ ఫంక్షన్‌లను అర్థం చేసుకోవడం కష్టంగా ఉంటుంది (అయితే మీరు లాగరిథమ్‌ని కష్టతరంగా భావిస్తే, "లాగరిథమ్స్" అనే అంశాన్ని చదవండి మరియు మీరు బాగానే ఉంటారు), కానీ గణిత శాస్త్ర కోణం నుండి, "కాంప్లెక్స్" అనే పదానికి "కష్టం" అని అర్థం కాదు.

ఒక చిన్న కన్వేయర్ బెల్ట్‌ను ఊహించుకోండి: ఇద్దరు వ్యక్తులు కూర్చుని కొన్ని వస్తువులతో కొన్ని చర్యలు చేస్తున్నారు. ఉదాహరణకు, మొదటిది చాక్లెట్ బార్‌ను రేపర్‌లో చుట్టి, రెండవది రిబ్బన్‌తో కట్టివేస్తుంది. ఫలితంగా ఒక మిశ్రమ వస్తువు: ఒక చాక్లెట్ బార్ చుట్టి మరియు రిబ్బన్తో ముడిపడి ఉంటుంది. చాక్లెట్ బార్ తినడానికి, మీరు రివర్స్ క్రమంలో రివర్స్ దశలను చేయాలి.

ఇదే విధమైన గణిత పైప్‌లైన్‌ను రూపొందిద్దాం: ముందుగా మనం ఒక సంఖ్య యొక్క కొసైన్‌ని కనుగొంటాము, ఆపై ఫలిత సంఖ్యను వర్గీకరిస్తాము. కాబట్టి, మాకు ఒక సంఖ్య (చాక్లెట్) ఇవ్వబడింది, నేను దాని కొసైన్ (రేపర్)ని కనుగొన్నాను, ఆపై నాకు లభించిన దాన్ని మీరు స్క్వేర్ చేయండి (దానిని రిబ్బన్‌తో కట్టండి). ఏం జరిగింది? ఫంక్షన్. ఇది సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌కి ఉదాహరణ: ఎప్పుడు, దాని విలువను కనుగొనడానికి, మేము మొదటి చర్యను వేరియబుల్‌తో నేరుగా చేస్తాము, ఆపై మొదటి చర్యతో రెండవ చర్య చేస్తాము.

మేము అదే దశలను రివర్స్ ఆర్డర్‌లో సులభంగా చేయవచ్చు: మొదట మీరు దాన్ని స్క్వేర్ చేయండి మరియు నేను ఫలిత సంఖ్య యొక్క కొసైన్ కోసం వెతుకుతాను: . ఫలితం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ భిన్నంగా ఉంటుందని ఊహించడం సులభం. సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణం: చర్యల క్రమం మారినప్పుడు, ఫంక్షన్ మారుతుంది.

వేరే పదాల్లో, ఒక కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని వాదన మరొక ఫంక్షన్: .

మొదటి ఉదాహరణ కోసం, .

రెండవ ఉదాహరణ: (అదే విషయం). .

మనం చివరిగా చేసే చర్య అంటారు "బాహ్య" ఫంక్షన్, మరియు మొదట ప్రదర్శించిన చర్య - తదనుగుణంగా "అంతర్గత" ఫంక్షన్(ఇవి అనధికారిక పేర్లు, నేను వాటిని సాధారణ భాషలో విషయాన్ని వివరించడానికి మాత్రమే ఉపయోగిస్తాను).

ఏ ఫంక్షన్ బాహ్యమైనది మరియు ఏది అంతర్గతమైనది అని మీరే నిర్ణయించుకోవడానికి ప్రయత్నించండి:

సమాధానాలు:అంతర్గత మరియు బాహ్య ఫంక్షన్‌లను వేరు చేయడం వేరియబుల్స్‌ను మార్చడానికి చాలా పోలి ఉంటుంది: ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్‌లో

మేము వేరియబుల్స్‌ని మారుస్తాము మరియు ఫంక్షన్‌ని పొందుతాము.

సరే, ఇప్పుడు మేము మా చాక్లెట్ బార్‌ను సంగ్రహించి, ఉత్పన్నం కోసం చూస్తాము. విధానం ఎల్లప్పుడూ తారుమారు అవుతుంది: మొదట మనం బాహ్య ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం చూస్తాము, ఆపై ఫలితాన్ని అంతర్గత ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ద్వారా గుణిస్తాము. అసలు ఉదాహరణకి సంబంధించి, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

మరొక ఉదాహరణ:

కాబట్టి, చివరకు అధికారిక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం:

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే అల్గోరిథం:

ఇది సరళంగా అనిపిస్తుంది, సరియైనదా?

ఉదాహరణలతో తనిఖీ చేద్దాం:

ఉత్పన్నం. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం- ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అనంతమైన ఇంక్రిమెంట్ కోసం ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ నిష్పత్తి:

ప్రాథమిక ఉత్పన్నాలు:

భేదం యొక్క నియమాలు:

స్థిరాంకం ఉత్పన్న సంకేతం నుండి తీసివేయబడుతుంది:

మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం:

ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం:

గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం:

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం:

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే అల్గోరిథం:

1. మేము "అంతర్గత" ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించాము మరియు దాని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము.
2. మేము "బాహ్య" ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించాము మరియు దాని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము.
3. మేము మొదటి మరియు రెండవ పాయింట్ల ఫలితాలను గుణిస్తాము.

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్ గా ఉన్నారని అర్థం.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివితే, మీరు ఈ 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకున్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించినందుకు, బడ్జెట్‌లో కాలేజీలో చేరినందుకు మరియు చాలా ముఖ్యమైనది జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని ఏదీ ఒప్పించను, ఒక్కటి మాత్రమే చెబుతాను...

మంచి విద్యను పొందిన వారు దానిని పొందని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా అవకాశాలు తెరుచుకుంటాయి మరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుంది? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇతరుల కంటే మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా మీ చేతిని పొందండి.

పరీక్ష సమయంలో మీరు సిద్ధాంతం కోసం అడగబడరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సమయానికి వ్యతిరేకంగా సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సమయం ఉండదు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - ఖచ్చితంగా గెలవడానికి మీరు దీన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి, తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణమరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (ఐచ్ఛికం) మరియు మేము వాటిని సిఫార్సు చేస్తాము.

మా టాస్క్‌లను ఉపయోగించడంలో మెరుగ్గా ఉండటానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులను అన్‌లాక్ చేయండి -
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి - పాఠ్యపుస్తకాన్ని కొనండి - 499 RUR

అవును, మా పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని టాస్క్‌లకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలో దాచిన అన్ని పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

అన్ని దాచిన పనులకు యాక్సెస్ సైట్ యొక్క మొత్తం జీవితానికి అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతం వద్ద ఆగవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "నేను పరిష్కరించగలను" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని వాటిని పరిష్కరించండి!

y=-12x^2+bx-10 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు సరళ రేఖ y=3x+2 టాంజెంట్. టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున bని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

y=-12x^2+bx-10 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌పై ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ పాస్ అయ్యే పాయింట్‌కి x_0 అబ్సిస్సాగా ఉండనివ్వండి.

పాయింట్ x_0 వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువ టాంజెంట్ యొక్క వాలుకు సమానం, అంటే, y"(x_0)=-24x_0+b=3. మరోవైపు, టాంజెన్సీ పాయింట్ గ్రాఫ్ రెండింటికీ ఏకకాలంలో ఉంటుంది ఫంక్షన్ మరియు టాంజెంట్, అంటే -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము \begin(కేసులు) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \ ముగింపు (కేసులు)

ఈ సిస్టమ్‌ను పరిష్కరిస్తే, మనకు x_0^2=1 వస్తుంది, అంటే x_0=-1 లేదా x_0=1. abscissa పరిస్థితి ప్రకారం, టాంజెంట్ పాయింట్లు సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటాయి, కాబట్టి x_0=-1, ఆపై b=3+24x_0=-21.

సమాధానం

పరిస్థితి

ఫిగర్ y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది (ఇది మూడు వరుస విభాగాలతో రూపొందించబడిన విరిగిన పంక్తి). ఫిగర్‌ని ఉపయోగించి, F(9)-F(5)ని లెక్కించండి, ఇక్కడ F(x) అనేది f(x) ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి.

పరిష్కారం

న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా ప్రకారం, వ్యత్యాసం F(9)-F(5), ఇక్కడ F(x) అనేది f(x) ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి, ఇది కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ లిమిటెడ్ వైశాల్యానికి సమానం. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా y=f(x), సరళ రేఖలు y=0 , x=9 మరియు x=5. గ్రాఫ్ నుండి మేము సూచించిన వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ 4 మరియు 3 మరియు ఎత్తు 3కి సమానమైన స్థావరాలు కలిగిన ట్రాపెజాయిడ్ అని నిర్ధారిస్తాము.

దాని వైశాల్యం సమానం \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

సమాధానం

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. Yu. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఫిగర్ y=f"(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది - f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, విరామంపై నిర్వచించబడింది (-4; 10). మీ సమాధానంలో, తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ f(x) యొక్క విరామాలను కనుగొనండి. వాటిలో అతిపెద్ద పొడవును సూచిస్తాయి.

పరిష్కారం

తెలిసినట్లుగా, f"(x) ఉత్పన్నం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉండే ప్రతి బిందువు వద్ద ఆ విరామాలపై f(x) ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది. వాటిలో పెద్దదాని పొడవును కనుగొనడం అవసరమని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అటువంటి మూడు విరామాలు సహజంగా ఫిగర్ నుండి వేరు చేయబడింది: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

వాటిలో అతిపెద్ద పొడవు - (5; 9) 4.

సమాధానం

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. Yu. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఫిగర్ y=f"(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది - f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, విరామంలో నిర్వచించబడింది (-8; 7) విరామం [-6; -2].

పరిష్కారం

f(x) ఫంక్షన్ యొక్క డెరివేటివ్ f"(x) సంకేతాన్ని ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మారుస్తుందని గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది (అటువంటి పాయింట్ల వద్ద గరిష్టంగా ఉంటుంది) విరామం నుండి సరిగ్గా ఒక పాయింట్ వద్ద (-5 మరియు -4 మధ్య) -6; -2 ] కాబట్టి, విరామంలో [-6; -2] ఖచ్చితంగా ఒక గరిష్ట పాయింట్ ఉంది.

సమాధానం

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. Yu. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఫిగర్ విరామం (-2; 8)పై నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ f(x) యొక్క ఉత్పన్నం 0కి సమానమైన పాయింట్ల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

సున్నాకి ఒక బిందువు వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క సమానత్వం అంటే ఈ బిందువు వద్ద గీసిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే పాయింట్‌లను మేము కనుగొంటాము. ఈ చార్ట్‌లో, అటువంటి పాయింట్లు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు (గరిష్ట లేదా కనిష్ట పాయింట్లు). మీరు గమనిస్తే, 5 తీవ్ర పాయింట్లు ఉన్నాయి.

సమాధానం

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. Yu. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

సరళ రేఖ y=-3x+4 y=-x^2+5x-7 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

ఏకపక్ష పాయింట్ x_0 వద్ద y=-x^2+5x-7 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌కు సరళ రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం y"(x_0)కి సమానం. కానీ y"=-2x+5, అంటే y" (x_0)=-2x_0+5. కండిషన్‌లో పేర్కొన్న y=-3x+4 రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం -3కి సమానం. సమాంతర రేఖలు ఒకే వాలు గుణకాలను కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి, మేము x_0 విలువను =- 2x_0 +5=-3.

మనకు లభిస్తుంది: x_0 = 4.

సమాధానం

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. Yu. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఫిగర్ y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది మరియు పాయింట్లు -6, -1, 1, 4 అబ్సిస్సాపై గుర్తించబడ్డాయి. వీటిలో ఏ పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం చిన్నది? దయచేసి మీ సమాధానంలో ఈ అంశాన్ని సూచించండి.