గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్‌ను పూర్తి చేయడానికి మూడు ఎంపికలు. గాస్సియన్ పద్ధతి ఆన్లైన్

గాస్సియన్ పద్ధతి సులభం!ఎందుకు? ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జోహాన్ కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గాస్ తన జీవితకాలంలో, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా, మేధావిగా మరియు "కింగ్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్" అనే మారుపేరుగా గుర్తింపు పొందాడు. మరియు తెలివిగల ప్రతిదీ, మీకు తెలిసినట్లుగా, సులభం!మార్గం ద్వారా, సక్కర్లు మాత్రమే డబ్బు పొందుతారు, కానీ మేధావులు కూడా - గాస్ యొక్క చిత్రం 10 డ్యూచ్‌మార్క్ బ్యాంక్ నోట్‌లో ఉంది (యూరోను ప్రవేశపెట్టడానికి ముందు), మరియు గౌస్ ఇప్పటికీ సాధారణ తపాలా స్టాంపుల నుండి జర్మన్లను చూసి రహస్యంగా నవ్వుతాడు.

గాస్ పద్ధతి చాలా సులభం, దీనిలో ప్రావీణ్యం సంపాదించడానికి ఐదవ తరగతి విద్యార్థి యొక్క జ్ఞానం సరిపోతుంది. మీరు జోడించడం మరియు గుణించడం ఎలాగో తెలుసుకోవాలి!పాఠశాల గణిత శాస్త్ర ఎంపికలలో తెలియని వ్యక్తులను వరుసగా మినహాయించే పద్ధతిని ఉపాధ్యాయులు తరచుగా పరిగణించడం యాదృచ్చికం కాదు. ఇది ఒక పారడాక్స్, కానీ విద్యార్థులు గాస్సియన్ పద్ధతిని చాలా కష్టంగా భావిస్తారు. ఆశ్చర్యం ఏమీ లేదు - ఇదంతా పద్దతి గురించి, మరియు నేను యాక్సెస్ చేయగల రూపంలో పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం గురించి మాట్లాడటానికి ప్రయత్నిస్తాను.

మొదట, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల గురించి కొంచెం జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించుకుందాం. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ వీటిని చేయగలదు:

1) ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండండి.
2) అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండండి.
3) పరిష్కారాలు లేవు (ఉండండి కాని ఉమ్మడి).

గాస్ పద్ధతి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి అత్యంత శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక సాధనం ఏదైనాసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. మనకు గుర్తున్నట్లుగా, క్రామెర్ నియమం మరియు మాతృక పద్ధతిసిస్టమ్ అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న లేదా అస్థిరంగా ఉన్న సందర్భాలలో అనుచితమైనవి. మరియు తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి ఏమైనాసమాధానం మాకు దారి తీస్తుంది! ఈ పాఠంలో, కేసు నంబర్ 1 (సిస్టమ్‌కు ఏకైక పరిష్కారం) కోసం గాస్ పద్ధతిని మేము మళ్లీ పరిశీలిస్తాము, వ్యాసం పాయింట్లు నం. 2-3 పరిస్థితులకు అంకితం చేయబడింది. పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం మూడు సందర్భాల్లోనూ ఒకే విధంగా పనిచేస్తుందని నేను గమనించాను.

పాఠం నుండి సరళమైన వ్యవస్థకు తిరిగి వెళ్దాం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి?
మరియు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి.

మొదటి దశ వ్రాయడం పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృక:
. గుణకాలు ఏ సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడతాయో ప్రతి ఒక్కరూ చూడగలరని నేను భావిస్తున్నాను. మాతృక లోపల నిలువు రేఖకు గణిత శాస్త్ర అర్థం లేదు - ఇది డిజైన్ సౌలభ్యం కోసం స్ట్రైక్‌త్రూ మాత్రమే.

సూచన :మీరు గుర్తుంచుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను నిబంధనలుసరళ బీజగణితం. సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్అనేది తెలియని వ్యక్తుల కోసం గుణకాలతో మాత్రమే రూపొందించబడిన మాతృక, ఈ ఉదాహరణలో సిస్టమ్ యొక్క మాతృక: . విస్తరించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్– ఇది సిస్టమ్ యొక్క అదే మాతృక మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్, ఈ సందర్భంలో: . సంక్షిప్తత కోసం, మాత్రికలలో దేనినైనా మాతృక అని పిలుస్తారు.

పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ వ్రాసిన తర్వాత, దానితో కొన్ని చర్యలను చేయడం అవసరం, వీటిని కూడా పిలుస్తారు ప్రాథమిక రూపాంతరాలు.

కింది ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ఉన్నాయి:

1) తీగలుమాత్రికలు చెయ్యవచ్చు తిరిగి అమర్చుకొన్ని చోట్ల. ఉదాహరణకు, పరిశీలనలో ఉన్న మాతృకలో, మీరు మొదటి మరియు రెండవ వరుసలను నొప్పిలేకుండా క్రమాన్ని మార్చవచ్చు:

2) మ్యాట్రిక్స్‌లో అనుపాత (ప్రత్యేక సందర్భంలో - ఒకేలా) వరుసలు ఉంటే (లేదా కనిపించినట్లయితే, మీరు చేయాలి తొలగించుఈ వరుసలన్నీ మాతృక నుండి ఒకటి తప్ప. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి . ఈ మాతృకలో, చివరి మూడు వరుసలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే వదిలివేయడం సరిపోతుంది: .

3) పరివర్తన సమయంలో మాతృకలో సున్నా అడ్డు వరుస కనిపించినట్లయితే, అది కూడా ఉండాలి తొలగించు. నేను డ్రా చేయను, అయితే, సున్నా రేఖ ఇందులోని రేఖ అన్ని సున్నాలు.

4) మాతృక అడ్డు వరుస కావచ్చు గుణించండి (భాగించండి)ఏదైనా సంఖ్యకు సున్నా కాని. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి. ఇక్కడ మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా విభజించి, రెండవ పంక్తిని 2 ద్వారా గుణించడం మంచిది: . ఈ చర్య చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే ఇది మాతృక యొక్క తదుపరి రూపాంతరాలను సులభతరం చేస్తుంది.

5) ఈ పరివర్తన చాలా ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. మీరు మాత్రిక యొక్క వరుసకు చేయవచ్చు సంఖ్యతో గుణించబడిన మరొక స్ట్రింగ్‌ను జోడించండి, సున్నాకి భిన్నంగా. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణ నుండి మన మాతృకను చూద్దాం: . మొదట నేను పరివర్తనను చాలా వివరంగా వివరిస్తాను. మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: , మరియు రెండవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి: . ఇప్పుడు మొదటి పంక్తిని “వెనుక” –2: ద్వారా విభజించవచ్చు. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, జోడించబడిన లైన్ LI – మారలేదు. ఎల్లప్పుడూజోడించబడిన లైన్ మారుతుంది UT.

ఆచరణలో, వారు దానిని అంత వివరంగా వ్రాయరు, కానీ క్లుప్తంగా వ్రాయండి:

మరోసారి: రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. ఒక లైన్ సాధారణంగా మౌఖికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో గుణించబడుతుంది, మానసిక గణన ప్రక్రియ ఇలా ఉంటుంది:

"నేను మాతృకను తిరిగి వ్రాస్తాను మరియు మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాను: »

“మొదటి కాలమ్. దిగువన నేను సున్నా పొందాలి. అందువల్ల, నేను ఎగువన ఉన్నదాన్ని –2: గుణించి, మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 2 + (–2) = 0. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

“ఇప్పుడు రెండవ కాలమ్. ఎగువన, నేను -1ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 1 + 2 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

“మరియు మూడవ కాలమ్. ఎగువన నేను -5ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను రెండవ పంక్తికి మొదటిదాన్ని జోడిస్తాను: –7 + 10 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

దయచేసి ఈ ఉదాహరణను జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి మరియు సీక్వెన్షియల్ లెక్కింపు అల్గారిథమ్‌ను అర్థం చేసుకోండి, మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకుంటే, గాస్సియన్ పద్ధతి ఆచరణాత్మకంగా మీ జేబులో ఉంటుంది. కానీ, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికీ ఈ పరివర్తనపై పని చేస్తాము.

ఎలిమెంటరీ పరివర్తనాలు సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని మార్చవు

! అటెన్షన్: అవకతవకలు పరిగణించబడతాయి ఉపయోగించలేరు, మాత్రికలు "వాటంతటవే" ఇవ్వబడే ఒక పనిని మీకు అందిస్తే. ఉదాహరణకు, "క్లాసికల్" తో మాత్రికలతో కార్యకలాపాలుఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు మాత్రికల లోపల ఏదైనా క్రమాన్ని మార్చకూడదు!

మన సిస్టమ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా ముక్కలుగా తీసుకోబడుతుంది.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని తగ్గించండి దశల వీక్షణ:

(1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మరలా: మనం మొదటి పంక్తిని –2తో ఎందుకు గుణించాలి? దిగువన సున్నాని పొందడానికి, అంటే రెండవ పంక్తిలోని ఒక వేరియబుల్‌ను వదిలించుకోవడం.

(2) రెండవ పంక్తిని 3 ద్వారా భాగించండి.

ప్రాథమిక రూపాంతరాల ప్రయోజనం – మాతృకను దశలవారీగా తగ్గించండి: . పని రూపకల్పనలో, వారు సాధారణ పెన్సిల్‌తో “మెట్లను” గుర్తించి, “స్టెప్స్” పై ఉన్న సంఖ్యలను కూడా సర్కిల్ చేస్తారు. "స్టెప్డ్ వ్యూ" అనే పదం పూర్తిగా సైద్ధాంతికమైనది కాదు; శాస్త్రీయ మరియు విద్యా సాహిత్యంలో దీనిని తరచుగా పిలుస్తారు. ట్రాపెజోయిడల్ వీక్షణలేదా త్రిభుజాకార వీక్షణ.

ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, మేము పొందాము సమానమైనఅసలు సమీకరణాల వ్యవస్థ:

ఇప్పుడు సిస్టమ్ వ్యతిరేక దిశలో “అన్‌వైండ్” చేయాలి - దిగువ నుండి పైకి, ఈ ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.

దిగువ సమీకరణంలో మేము ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఉన్న ఫలితాన్ని కలిగి ఉన్నాము: .

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దానిలో ఇప్పటికే తెలిసిన “y” విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

గాస్సియన్ పద్ధతికి మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అత్యంత సాధారణ పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం:

ఇప్పుడు నేను పరిష్కారం సమయంలో మనం వచ్చే ఫలితాన్ని వెంటనే గీస్తాను:

మరియు నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి మాతృకను దశలవారీగా తీసుకురావడమే మా లక్ష్యం. ఎక్కడ ప్రారంభించాలి?

ముందుగా, ఎగువ ఎడమవైపు సంఖ్యను చూడండి:

దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ఇక్కడే ఉండాలి యూనిట్. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, –1 (మరియు కొన్నిసార్లు ఇతర సంఖ్యలు) చేస్తాను, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా సాంప్రదాయకంగా ఒకటి సాధారణంగా అక్కడ ఉంచబడుతుంది. యూనిట్‌ను ఎలా నిర్వహించాలి? మేము మొదటి నిలువు వరుసను చూస్తాము - మాకు పూర్తి యూనిట్ ఉంది! రూపాంతరం ఒకటి: మొదటి మరియు మూడవ పంక్తులను మార్చుకోండి:

ఇప్పుడు మొదటి పంక్తి పరిష్కారం ముగిసే వరకు మారదు. ఇప్పుడు బాగానే ఉంది.

ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉన్న యూనిట్ నిర్వహించబడింది. ఇప్పుడు మీరు ఈ ప్రదేశాలలో సున్నాలను పొందాలి:

మేము "కష్టమైన" పరివర్తనను ఉపయోగించి సున్నాలను పొందుతాము. మొదట మేము రెండవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (2, –1, 3, 13). మొదటి స్థానంలో సున్నా రావాలంటే ఏం చేయాలి? అవసరం రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: (–2, –4, 2, –18). మరియు మేము స్థిరంగా (మళ్ళీ మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో) అదనంగా నిర్వహిస్తాము, రెండవ పంక్తికి మేము మొదటి పంక్తిని జోడిస్తాము, ఇప్పటికే –2 ద్వారా గుణించబడింది:

మేము రెండవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము:

మేము అదే విధంగా మూడవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (3, 2, -5, -1). మొదటి స్థానంలో సున్నా పొందడానికి, మీరు అవసరం మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా గుణించండి: (–3, –6, 3, –27). మరియు మూడవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి:

మేము మూడవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము:

ఆచరణలో, ఈ చర్యలు సాధారణంగా మౌఖికంగా నిర్వహించబడతాయి మరియు ఒక దశలో వ్రాయబడతాయి:

అన్నింటినీ ఒకేసారి మరియు అదే సమయంలో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. లెక్కల క్రమం మరియు ఫలితాలను "వ్రాయడం" స్థిరమైనమరియు సాధారణంగా ఇది ఇలా ఉంటుంది: మొదట మనం మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు నెమ్మదిగా మనల్ని మనం పఫ్ చేసుకుంటాము - స్థిరంగా మరియు శ్రద్ధగా:


మరియు పైన పేర్కొన్న లెక్కల యొక్క మానసిక ప్రక్రియ గురించి నేను ఇప్పటికే చర్చించాను.

ఈ ఉదాహరణలో, దీన్ని చేయడం చాలా సులభం; మేము రెండవ పంక్తిని –5 ద్వారా విభజిస్తాము (అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 5 ద్వారా భాగించబడతాయి కాబట్టి). అదే సమయంలో, మేము మూడవ పంక్తిని –2 ద్వారా విభజిస్తాము, ఎందుకంటే చిన్న సంఖ్యలు, సరళమైన పరిష్కారం:

ప్రాథమిక రూపాంతరాల చివరి దశలో, మీరు ఇక్కడ మరొక సున్నాని పొందాలి:

దీని కొరకు మూడవ పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని –2తో గుణించాలి:


ఈ చర్యను మీరే గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి - మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి మరియు అదనంగా చేయండి.

ప్రదర్శించిన చివరి చర్య ఫలితం యొక్క కేశాలంకరణ, మూడవ పంక్తిని 3 ద్వారా విభజించండి.

ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, సరళ సమీకరణాల యొక్క సమానమైన వ్యవస్థ పొందబడింది:

కూల్.

ఇప్పుడు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్ అమలులోకి వస్తుంది. సమీకరణాలు దిగువ నుండి పైకి "విడదీయబడతాయి".

మూడవ సమీకరణంలో మనకు ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఫలితం ఉంది:

రెండవ సమీకరణాన్ని చూద్దాం: . "zet" యొక్క అర్థం ఇప్పటికే తెలుసు, ఈ విధంగా:

చివరకు, మొదటి సమీకరణం: . "Igrek" మరియు "zet" అంటారు, ఇది కేవలం చిన్న విషయాల విషయం:

సమాధానం:

ఇప్పటికే అనేక సార్లు గుర్తించినట్లుగా, సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా వ్యవస్థ కోసం ఇది సాధ్యమే మరియు కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం అవసరం, అదృష్టవశాత్తూ, ఇది సులభం మరియు శీఘ్రమైనది.

ఉదాహరణ 2

ఇది స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఉదాహరణ, తుది రూపకల్పన యొక్క నమూనా మరియు పాఠం చివరిలో సమాధానం.

ఇది మీ అని గమనించాలి నిర్ణయం యొక్క పురోగతినా నిర్ణయ ప్రక్రియతో ఏకీభవించకపోవచ్చు, మరియు ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క లక్షణం. అయితే సమాధానాలు ఒకేలా ఉండాలి!

ఉదాహరణ 3

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:

మేము ఎగువ ఎడమ "అడుగు" వైపు చూస్తాము. మన దగ్గర ఒకటి ఉండాలి. సమస్య ఏమిటంటే, మొదటి నిలువు వరుసలో యూనిట్‌లు లేవు, కాబట్టి అడ్డు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం దేనినీ పరిష్కరించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, యూనిట్ తప్పనిసరిగా ప్రాథమిక పరివర్తనను ఉపయోగించి నిర్వహించబడాలి. ఇది సాధారణంగా అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. నేను ఇలా చేసాను:
(1) మొదటి పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని కలుపుతాము, అది –1తో గుణించబడుతుంది. అంటే, మేము మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –1 ద్వారా గుణించాము మరియు మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులను జోడించాము, రెండవ పంక్తి మారలేదు.

ఇప్పుడు ఎగువ ఎడమ వైపున "మైనస్ వన్" ఉంది, ఇది మాకు బాగా సరిపోతుంది. +1 పొందాలనుకునే ఎవరైనా అదనపు కదలికను చేయవచ్చు: మొదటి పంక్తిని –1తో గుణించండి (దాని గుర్తును మార్చండి).

(2) 5తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది.మొదటి పంక్తి 3తో గుణించబడినది మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది.

(3) మొదటి పంక్తి –1తో గుణించబడింది, సూత్రప్రాయంగా, ఇది అందం కోసం. మూడవ పంక్తి యొక్క సంకేతం కూడా మార్చబడింది మరియు అది రెండవ స్థానానికి తరలించబడింది, తద్వారా రెండవ "అడుగు"లో మనకు అవసరమైన యూనిట్ ఉంది.

(4) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 2తో గుణించబడుతుంది.

(5) మూడవ పంక్తి 3 ద్వారా విభజించబడింది.

గణనలలో లోపాన్ని సూచించే చెడ్డ సంకేతం (మరింత అరుదుగా, అక్షర దోషం) "చెడు" బాటమ్ లైన్. అంటే, మనకు , క్రింద, మరియు, తదనుగుణంగా, , అప్పుడు అధిక స్థాయి సంభావ్యతతో ప్రాథమిక పరివర్తనల సమయంలో లోపం జరిగిందని మనం చెప్పగలం.

మేము రివర్స్ వసూలు చేస్తాము, ఉదాహరణల రూపకల్పనలో వారు తరచుగా సిస్టమ్‌ను తిరిగి వ్రాయరు, కానీ సమీకరణాలు "ఇచ్చిన మాతృక నుండి నేరుగా తీసుకోబడతాయి." రివర్స్ స్ట్రోక్, నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను, దిగువ నుండి పైకి పని చేస్తుంది. అవును, ఇక్కడ బహుమతి ఉంది:

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 4

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ, ఇది కొంత క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఎవరైనా కంగారు పడితే ఫర్వాలేదు. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు నమూనా రూపకల్పన. మీ పరిష్కారం నా పరిష్కారానికి భిన్నంగా ఉండవచ్చు.

చివరి భాగంలో మేము గాస్సియన్ అల్గోరిథం యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము.
మొదటి లక్షణం ఏమిటంటే, కొన్నిసార్లు సిస్టమ్ సమీకరణాల నుండి కొన్ని వేరియబుల్స్ తప్పిపోతాయి, ఉదాహరణకు:

పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృకను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? నేను ఇప్పటికే ఈ విషయం గురించి క్లాసులో మాట్లాడాను. క్రామెర్ నియమం. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకలో, తప్పిపోయిన వేరియబుల్స్ స్థానంలో మేము సున్నాలను ఉంచుతాము:

మార్గం ద్వారా, ఇది చాలా సులభమైన ఉదాహరణ, ఎందుకంటే మొదటి నిలువు వరుసలో ఇప్పటికే ఒక సున్నా ఉంది మరియు నిర్వహించడానికి తక్కువ ప్రాథమిక పరివర్తనలు ఉన్నాయి.

రెండవ విశేషం ఇది. పరిగణించబడిన అన్ని ఉదాహరణలలో, మేము "స్టెప్స్"లో –1 లేదా +1ని ఉంచాము. అక్కడ ఇతర సంఖ్యలు ఉండవచ్చా? కొన్ని సందర్భాల్లో వారు చేయగలరు. వ్యవస్థను పరిగణించండి: .

ఇక్కడ ఎగువ ఎడమ "దశ"లో మనకు రెండు ఉన్నాయి. కానీ మొదటి నిలువు వరుసలోని అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 2 ద్వారా భాగించబడతాయని మేము గమనించాము - మరియు మరొకటి రెండు మరియు ఆరు. మరియు ఎడమ ఎగువన ఉన్న రెండు మనకు సరిపోతాయి! మొదటి దశలో, మీరు క్రింది పరివర్తనలను నిర్వహించాలి: రెండవ పంక్తికి –1 ద్వారా గుణించబడిన మొదటి పంక్తిని జోడించండి; మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. ఈ విధంగా మనం మొదటి నిలువు వరుసలో అవసరమైన సున్నాలను పొందుతాము.

లేదా మరొక సాంప్రదాయ ఉదాహరణ: . ఇక్కడ రెండవ “దశ”లోని మూడు కూడా మనకు సరిపోతాయి, ఎందుకంటే 12 (మనం సున్నా పొందవలసిన ప్రదేశం) శేషం లేకుండా 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది. కింది పరివర్తనను నిర్వహించడం అవసరం: మూడవ పంక్తికి రెండవ పంక్తిని జోడించండి, –4 ద్వారా గుణించబడుతుంది, దీని ఫలితంగా మనకు అవసరమైన సున్నా పొందబడుతుంది.

గాస్ యొక్క పద్ధతి సార్వత్రికమైనది, కానీ ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. మీరు ఇతర పద్ధతులను ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించడానికి నమ్మకంగా నేర్చుకోవచ్చు (క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి) అక్షరాలా మొదటిసారి - అవి చాలా కఠినమైన అల్గోరిథం కలిగి ఉంటాయి. కానీ గాస్సియన్ పద్ధతిలో నమ్మకంగా ఉండటానికి, మీరు దానిని బాగా పొందాలి మరియు కనీసం 5-10 వ్యవస్థలను పరిష్కరించాలి. అందువల్ల, మొదట గణనలలో గందరగోళం మరియు లోపాలు ఉండవచ్చు మరియు దీని గురించి అసాధారణమైన లేదా విషాదకరమైనది ఏమీ లేదు.

కిటికీ వెలుపల వర్షపు శరదృతువు వాతావరణం.... అందువల్ల, వారి స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను కోరుకునే ప్రతి ఒక్కరికీ:

ఉదాహరణ 5

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి నాలుగు తెలియని వాటితో నాలుగు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

ఆచరణలో ఇటువంటి పని చాలా అరుదు. ఈ పేజీని క్షుణ్ణంగా అధ్యయనం చేసిన టీపాట్ కూడా అటువంటి వ్యవస్థను అకారణంగా పరిష్కరించే అల్గోరిథంను అర్థం చేసుకుంటుందని నేను భావిస్తున్నాను. ప్రాథమికంగా, ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది - మరిన్ని చర్యలు ఉన్నాయి.

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేనప్పుడు (అస్థిరమైన) లేదా అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సందర్భాలు పాఠంలో సాధారణ పరిష్కారంతో అననుకూల వ్యవస్థలు మరియు వ్యవస్థలు చర్చించబడ్డాయి. అక్కడ మీరు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క పరిగణించబడిన అల్గోరిథంను పరిష్కరించవచ్చు.

మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 2: పరిష్కారం : సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి.


ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ప్రదర్శించబడ్డాయి:
(1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మొదటి పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –1తో గుణించబడింది. శ్రద్ధ!ఇక్కడ మీరు మూడవ పంక్తి నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేయడానికి శోదించబడవచ్చు; దానిని తీసివేయవద్దని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను - లోపం యొక్క ప్రమాదం బాగా పెరుగుతుంది. దాన్ని మడవండి!
(2) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). రెండవ మరియు మూడవ లైన్లు మార్చబడ్డాయి. గమనిక, "దశల"లో మేము ఒకదానితో మాత్రమే కాకుండా -1 తో కూడా సంతృప్తి చెందాము, ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
(3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 5తో గుణించబడుతుంది.
(4) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). మూడవ పంక్తి 14 ద్వారా విభజించబడింది.

రివర్స్:

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 4: పరిష్కారం : సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:

చేసిన మార్పిడులు:
(1) మొదటి పంక్తికి రెండవ పంక్తి జోడించబడింది. అందువలన, కావలసిన యూనిట్ ఎగువ ఎడమ "స్టెప్" పై నిర్వహించబడుతుంది.
(2) 7తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది.మొదటి పంక్తి 6తో గుణించబడినది మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది.

రెండవ "దశ" తో ప్రతిదీ అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది , దీనికి "అభ్యర్థులు" 17 మరియు 23 సంఖ్యలు, మరియు మనకు ఒకటి లేదా -1 అవసరం. పరివర్తనలు (3) మరియు (4) కావలసిన యూనిట్‌ను పొందడం లక్ష్యంగా ఉంటాయి

(3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –1తో గుణించబడుతుంది.
(4) మూడవ పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –3తో గుణించబడింది.
(3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 4 ద్వారా గుణించబడింది. రెండవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, –1తో గుణించబడింది.
(4) రెండవ పంక్తి గుర్తు మార్చబడింది. నాల్గవ లైన్ 3 ద్వారా విభజించబడింది మరియు మూడవ లైన్ స్థానంలో ఉంచబడింది.
(5) మూడవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –5తో గుణించబడింది.

రివర్స్:

ఈ వ్యాసంలో, సరళ సమీకరణాల (SLAEs) వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఈ పద్ధతి ఒక పద్ధతిగా పరిగణించబడుతుంది. పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది, అనగా, ఇది సాధారణ రూపంలో పరిష్కార అల్గోరిథంను వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఆపై నిర్దిష్ట ఉదాహరణల నుండి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా క్రామెర్ సూత్రాల వలె కాకుండా, గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న వాటితో కూడా పని చేయవచ్చు. లేదా వారికి అది అస్సలు లేదు.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

మొదట, మన సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇలా కనిపిస్తుంది అనే దానిలో వ్రాయాలి. వ్యవస్థను తీసుకోండి:

గుణకాలు పట్టిక రూపంలో వ్రాయబడతాయి మరియు ఉచిత నిబంధనలు కుడివైపున ప్రత్యేక నిలువు వరుసలో వ్రాయబడతాయి. ఉచిత నిబంధనలతో కూడిన నిలువు వరుస సౌలభ్యం కోసం వేరు చేయబడింది. ఈ నిలువు వరుసను కలిగి ఉన్న మాతృకను పొడిగించినది అంటారు.

తరువాత, గుణకాలతో కూడిన ప్రధాన మాతృక తప్పనిసరిగా ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గించబడాలి. గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించే ప్రధాన అంశం ఇది. సరళంగా చెప్పాలంటే, కొన్ని అవకతవకల తర్వాత, మాతృక దాని దిగువ ఎడమ భాగం సున్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉండేలా చూడాలి:

అప్పుడు, మీరు కొత్త మాతృకను మళ్లీ సమీకరణాల వ్యవస్థగా వ్రాస్తే, చివరి వరుసలో ఇప్పటికే మూలాలలో ఒకదాని విలువ ఉందని మీరు గమనించవచ్చు, అది పై సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది, మరొక మూలం కనుగొనబడింది మరియు మొదలైనవి.

ఇది చాలా సాధారణ పరంగా గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం యొక్క వివరణ. అకస్మాత్తుగా సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? లేదా వాటిలో అనంతంగా చాలా ఉన్నాయా? ఈ మరియు అనేక ఇతర ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వడానికి, గాస్సియన్ పద్ధతిని పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే అన్ని అంశాలను విడిగా పరిగణించడం అవసరం.

మాత్రికలు, వాటి లక్షణాలు

మాతృకలో దాచిన అర్థం లేదు. దానితో తదుపరి కార్యకలాపాల కోసం డేటాను రికార్డ్ చేయడానికి ఇది అనుకూలమైన మార్గం. పాఠశాల విద్యార్థులు కూడా వారికి భయపడాల్సిన అవసరం లేదు.

మాతృక ఎల్లప్పుడూ దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. గాస్ పద్ధతిలో కూడా, ప్రతిదీ త్రిభుజాకార రూపం యొక్క మాతృకను నిర్మించడానికి వస్తుంది, ఎంట్రీలో ఒక దీర్ఘచతురస్రం కనిపిస్తుంది, సంఖ్యలు లేని స్థానంలో సున్నాలతో మాత్రమే. సున్నాలు వ్రాయబడకపోవచ్చు, కానీ అవి సూచించబడతాయి.

మాతృకకు ఒక పరిమాణం ఉంది. దీని "వెడల్పు" అనేది అడ్డు వరుసల సంఖ్య (m), "పొడవు" అనేది నిలువు వరుసల సంఖ్య (n). అప్పుడు మాతృక పరిమాణం A (క్యాపిటల్ లాటిన్ అక్షరాలు సాధారణంగా వాటిని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు) A m×n గా సూచించబడుతుంది. m=n అయితే, ఈ మాతృక చతురస్రం మరియు m=n దాని క్రమం. దీని ప్రకారం, మాతృక A యొక్క ఏదైనా మూలకం దాని అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసల ద్వారా సూచించబడుతుంది: a xy ; x - అడ్డు వరుస సంఖ్య, మార్పులు, y - నిలువు వరుస సంఖ్య, మార్పులు.

B అనేది నిర్ణయం యొక్క ప్రధాన అంశం కాదు. సూత్రప్రాయంగా, అన్ని కార్యకలాపాలు నేరుగా సమీకరణాలతోనే నిర్వహించబడతాయి, కానీ సంజ్ఞామానం చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు దానిలో గందరగోళం చెందడం చాలా సులభం అవుతుంది.

నిర్ణాయకం

మాతృకలో నిర్ణయాధికారి కూడా ఉంటుంది. ఇది చాలా ముఖ్యమైన లక్షణం. ఇప్పుడు దాని అర్ధాన్ని కనుగొనవలసిన అవసరం లేదు; మీరు దానిని ఎలా లెక్కించాలో చూపవచ్చు, ఆపై మాతృక యొక్క ఏ లక్షణాలను నిర్ణయిస్తుందో చెప్పండి. నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనడానికి సులభమైన మార్గం వికర్ణాల ద్వారా. మాతృకలో ఊహాత్మక వికర్ణాలు డ్రా చేయబడతాయి; వాటిలో ప్రతిదానిపై ఉన్న మూలకాలు గుణించబడతాయి, ఆపై ఫలిత ఉత్పత్తులు జోడించబడతాయి: కుడి వైపున వాలుతో వికర్ణాలు - ప్లస్ గుర్తుతో, ఎడమవైపు వాలుతో - మైనస్ గుర్తుతో.

చతురస్ర మాతృక కోసం మాత్రమే డిటర్మినెంట్ లెక్కించబడుతుందని గమనించడం చాలా ముఖ్యం. దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృక కోసం, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయవచ్చు: అడ్డు వరుసల సంఖ్య మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య నుండి చిన్నదాన్ని ఎంచుకోండి (అది k అని ఉండనివ్వండి), ఆపై యాదృచ్ఛికంగా మాత్రికలో k నిలువు వరుసలు మరియు k అడ్డు వరుసలను గుర్తించండి. ఎంచుకున్న నిలువు వరుసలు మరియు అడ్డు వరుసల ఖండన వద్ద ఉన్న మూలకాలు కొత్త స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ను ఏర్పరుస్తాయి. అటువంటి మాత్రిక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నా కాని సంఖ్య అయితే, అది అసలు దీర్ఘచతురస్రాకార మాత్రిక యొక్క బేస్ మైనర్ అంటారు.

మీరు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ప్రారంభించే ముందు, నిర్ణయాత్మకతను లెక్కించడం బాధించదు. ఇది సున్నాగా మారినట్లయితే, మాతృకకు అనంతమైన పరిష్కారాలు లేదా ఏదీ లేవని మేము వెంటనే చెప్పగలం. అటువంటి విచారకరమైన సందర్భంలో, మీరు మరింత ముందుకు వెళ్లి మాతృక యొక్క ర్యాంక్ గురించి తెలుసుకోవాలి.

సిస్టమ్ వర్గీకరణ

మాతృక యొక్క ర్యాంక్ వంటి విషయం ఉంది. ఇది దాని నాన్-జీరో డిటర్మినెంట్ యొక్క గరిష్ట క్రమం (మేము బేసిస్ మైనర్ గురించి గుర్తుంచుకుంటే, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ బేసిస్ మైనర్ యొక్క క్రమం అని చెప్పవచ్చు).

ర్యాంక్‌తో ఉన్న పరిస్థితి ఆధారంగా, SLAEని ఇలా విభజించవచ్చు:

• ఉమ్మడి. యుఉమ్మడి వ్యవస్థలలో, ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ (కోఎఫీషియంట్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది) పొడిగించిన మాతృక ర్యాంక్‌తో (ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో) సమానంగా ఉంటుంది. ఇటువంటి వ్యవస్థలు ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కానీ తప్పనిసరిగా ఒకటి కాదు, కాబట్టి, అదనంగా ఉమ్మడి వ్యవస్థలు విభజించబడ్డాయి:
• - ఖచ్చితంగా- ఒకే పరిష్కారం. నిర్దిష్ట వ్యవస్థలలో, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మరియు తెలియని వాటి సంఖ్య (లేదా నిలువు వరుసల సంఖ్య, అదే విషయం) సమానంగా ఉంటాయి;
• - నిర్వచించబడలేదు -అనంతమైన పరిష్కారాలతో. అటువంటి వ్యవస్థలలో మాత్రికల ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
• అననుకూలమైనది. యుఅటువంటి వ్యవస్థలలో, ప్రధాన మరియు పొడిగించిన మాత్రికల ర్యాంక్‌లు ఏకీభవించవు. అననుకూల వ్యవస్థలకు పరిష్కారం లేదు.

గాస్ పద్ధతి మంచిది, ఎందుకంటే పరిష్కారం సమయంలో ఇది సిస్టమ్ యొక్క అస్థిరతకు స్పష్టమైన రుజువును (పెద్ద మాత్రికల నిర్ణాయకాలను లెక్కించకుండా) లేదా అనంతమైన పరిష్కారాలతో కూడిన సిస్టమ్‌కు సాధారణ రూపంలో ఒక పరిష్కారాన్ని పొందటానికి అనుమతిస్తుంది.

ప్రాథమిక రూపాంతరాలు

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి నేరుగా కొనసాగే ముందు, మీరు దానిని తక్కువ గజిబిజిగా మరియు గణనలకు మరింత సౌకర్యవంతంగా చేయవచ్చు. ఇది ప్రాథమిక పరివర్తనల ద్వారా సాధించబడుతుంది - వాటి అమలు తుది సమాధానాన్ని ఏ విధంగానూ మార్చదు. ఇవ్వబడిన కొన్ని ప్రాథమిక పరివర్తనలు మాత్రికలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయని గమనించాలి, దీని మూలం SLAE. ఈ రూపాంతరాల జాబితా ఇక్కడ ఉంది:

1. పంక్తుల పునర్వ్యవస్థీకరణ. సహజంగానే, మీరు సిస్టమ్ రికార్డ్‌లోని సమీకరణాల క్రమాన్ని మార్చినట్లయితే, ఇది ఏ విధంగానూ పరిష్కారాన్ని ప్రభావితం చేయదు. పర్యవసానంగా, ఈ సిస్టమ్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్‌లోని అడ్డు వరుసలను కూడా మార్చుకోవచ్చు, వాస్తవానికి, ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌ను మర్చిపోకూడదు.
2. ఒక నిర్దిష్ట గుణకం ద్వారా స్ట్రింగ్ యొక్క అన్ని మూలకాలను గుణించడం. చాలా ఉపయోగకరం! ఇది మాతృకలో పెద్ద సంఖ్యలను తగ్గించడానికి లేదా సున్నాలను తీసివేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. అనేక నిర్ణయాలు, ఎప్పటిలాగే, మారవు, కానీ తదుపరి కార్యకలాపాలు మరింత సౌకర్యవంతంగా మారతాయి. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే గుణకం సున్నాకి సమానం కాదు.
3. అనుపాత కారకాలతో అడ్డు వరుసలను తీసివేయడం. ఇది పాక్షికంగా మునుపటి పేరా నుండి అనుసరిస్తుంది. మాతృకలోని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అడ్డు వరుసలు అనుపాత గుణకాలు కలిగి ఉంటే, ఆ వరుసలలో ఒకదానిని అనుపాత గుణకంతో గుణించిన/భాగించినప్పుడు, రెండు (లేదా, మళ్లీ, మరిన్ని) ఖచ్చితంగా ఒకే వరుసలు లభిస్తాయి మరియు అదనపు వాటిని తీసివేయవచ్చు, వదిలివేయవచ్చు. ఒకే ఒక్కటి.
4. శూన్య రేఖను తొలగిస్తోంది. పరివర్తన సమయంలో, ఉచిత పదంతో సహా అన్ని మూలకాలు సున్నాగా ఉండే వరుస ఎక్కడో పొందబడితే, అటువంటి అడ్డు వరుసను సున్నా అని పిలుస్తారు మరియు మాతృక నుండి విసిరివేయబడుతుంది.
5. ఒక అడ్డు వరుసలోని మూలకాలకు మరొక మూలకాలను జోడించడం (సంబంధిత నిలువు వరుసలలో), నిర్దిష్ట గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది. అన్నింటిలో అత్యంత స్పష్టమైన మరియు అత్యంత ముఖ్యమైన పరివర్తన. దానిపై మరింత వివరంగా నివసించడం విలువ.

కారకం ద్వారా గుణించబడిన స్ట్రింగ్‌ను జోడించడం

అవగాహన సౌలభ్యం కోసం, ఈ ప్రక్రియను దశలవారీగా విభజించడం విలువ. మాతృక నుండి రెండు వరుసలు తీసుకోబడ్డాయి:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | బి 2

గుణకం "-2" ద్వారా గుణించబడిన రెండవ దానికి మీరు మొదటిదాన్ని జోడించాలని అనుకుందాం.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

అప్పుడు మాతృకలోని రెండవ వరుస కొత్తదానితో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు మొదటిది మారదు.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

గుణకారం గుణకం రెండు వరుసలను జోడించడం వలన, కొత్త అడ్డు వరుసలోని మూలకాలలో ఒకటి సున్నాకి సమానంగా ఉండే విధంగా ఎంచుకోవచ్చని గమనించాలి. అందువల్ల, తక్కువ తెలియని ఒకటి ఉండే వ్యవస్థలో సమీకరణాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. మరియు మీరు అలాంటి రెండు సమీకరణాలను పొందినట్లయితే, ఆపరేషన్ మళ్లీ చేయవచ్చు మరియు రెండు తక్కువ తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. మరియు ప్రతిసారీ మీరు అసలైన దాని కంటే దిగువన ఉన్న అన్ని అడ్డు వరుసలలోని ఒక గుణకాన్ని సున్నాకి మార్చినట్లయితే, మీరు మెట్ల వలె, మాతృక యొక్క అత్యంత దిగువకు వెళ్లి, తెలియని ఒకదానితో సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. దీనిని గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అంటారు.

సాధారణంగా

ఒక వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి. దీనికి m సమీకరణాలు మరియు n తెలియని మూలాలు ఉన్నాయి. మీరు దీన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ప్రధాన మాతృక సిస్టమ్ గుణకాల నుండి సంకలనం చేయబడింది. ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ పొడిగించిన మాతృకకు జోడించబడింది మరియు సౌలభ్యం కోసం, ఒక లైన్ ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది.

• మాతృక యొక్క మొదటి వరుస k = (-a 21 /a 11) గుణకంతో గుణించబడుతుంది;
• మొదటి సవరించిన అడ్డు వరుస మరియు మాతృక యొక్క రెండవ వరుస జోడించబడ్డాయి;
• రెండవ వరుసకు బదులుగా, మునుపటి పేరా నుండి అదనంగా వచ్చిన ఫలితం మాతృకలో చేర్చబడుతుంది;
• ఇప్పుడు కొత్త రెండవ వరుసలో మొదటి గుణకం 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

ఇప్పుడు అదే పరివర్తనల శ్రేణి నిర్వహించబడుతుంది, మొదటి మరియు మూడవ వరుసలు మాత్రమే పాల్గొంటాయి. దీని ప్రకారం, అల్గోరిథం యొక్క ప్రతి దశలో, మూలకం a 21 స్థానంలో 31 ఉంటుంది. అప్పుడు ప్రతిదీ ఒక 41, ... ఒక m1 కోసం పునరావృతమవుతుంది. ఫలితం వరుసలలో మొదటి మూలకం సున్నా అయిన మాత్రిక. ఇప్పుడు మీరు పంక్తి నంబర్ వన్ గురించి మరచిపోయి, పంక్తి రెండు నుండి ప్రారంభించి అదే అల్గోరిథం చేయాలి:

• గుణకం k = (-a 32 /a 22);
• రెండవ సవరించిన లైన్ "ప్రస్తుత" లైన్కు జోడించబడింది;
• సంకలనం యొక్క ఫలితం మూడవ, నాల్గవ మరియు ఇతర పంక్తులలో భర్తీ చేయబడుతుంది, మొదటి మరియు రెండవది మారదు;
• మాతృక వరుసలలో మొదటి రెండు మూలకాలు ఇప్పటికే సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

గుణకం k = (-a m,m-1 /a mm) కనిపించే వరకు అల్గోరిథం పునరావృతం చేయాలి. దీనర్థం అల్గోరిథం చివరిసారి అమలు చేయబడినది తక్కువ సమీకరణం కోసం మాత్రమే. ఇప్పుడు మాతృక త్రిభుజం వలె కనిపిస్తుంది, లేదా మెట్ల ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. బాటమ్ లైన్‌లో a mn × x n = b m సమానత్వం ఉంది. కోఎఫీషియంట్ మరియు ఫ్రీ టర్మ్ అంటారు, మరియు రూట్ వాటి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది: x n = b m /a mn. ఫలితంగా రూట్ x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1ని కనుగొనడానికి ఎగువ పంక్తిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయబడింది. మరియు సారూప్యత ద్వారా: ప్రతి తదుపరి పంక్తిలో కొత్త రూట్ ఉంది మరియు సిస్టమ్ యొక్క “పైభాగానికి” చేరుకున్న తర్వాత, మీరు అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు. ఇది ఒక్కటే అవుతుంది.

పరిష్కారాలు లేనప్పుడు

మాతృక వరుసలలో ఒకదానిలో ఉచిత పదం మినహా అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానం అయితే, ఈ అడ్డు వరుసకు సంబంధించిన సమీకరణం 0 = b లాగా కనిపిస్తుంది. దానికి పరిష్కారం లేదు. మరియు అటువంటి సమీకరణం సిస్టమ్‌లో చేర్చబడినందున, మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి ఖాళీగా ఉంటుంది, అంటే అది క్షీణించింది.

అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నప్పుడు

ఇచ్చిన త్రిభుజాకార మాతృకలో సమీకరణం యొక్క ఒక గుణకం మూలకం మరియు ఒక ఉచిత పదంతో వరుసలు లేవు. తిరిగి వ్రాసినప్పుడు, రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం వలె కనిపించే పంక్తులు మాత్రమే ఉన్నాయి. సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉందని దీని అర్థం. ఈ సందర్భంలో, సమాధానం సాధారణ పరిష్కారం రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. ఇది ఎలా చెయ్యాలి?

మాతృకలోని అన్ని వేరియబుల్స్ బేసిక్ మరియు ఫ్రీగా విభజించబడ్డాయి. స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌లోని అడ్డు వరుసల "అంచుపై" నిలబడేవి ప్రాథమికమైనవి. మిగిలినవి ఉచితం. సాధారణ పరిష్కారంలో, ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ ఉచిత వాటి ద్వారా వ్రాయబడతాయి.

సౌలభ్యం కోసం, మాతృక మొదట సమీకరణాల వ్యవస్థలోకి తిరిగి వ్రాయబడుతుంది. అప్పుడు వాటిలో చివరిలో, సరిగ్గా ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉంటే, అది ఒక వైపున ఉంటుంది మరియు మిగతావన్నీ మరొకదానికి బదిలీ చేయబడతాయి. ఇది ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్‌తో ప్రతి సమీకరణం కోసం చేయబడుతుంది. అప్పుడు, మిగిలిన సమీకరణాలలో, సాధ్యమైన చోట, దాని కోసం పొందిన వ్యక్తీకరణ ప్రాథమిక వేరియబుల్‌కు బదులుగా భర్తీ చేయబడుతుంది. ఫలితం మళ్లీ ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ అయితే, అది మళ్లీ అక్కడ నుండి వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు ప్రతి ప్రాథమిక వేరియబుల్ ఉచిత వేరియబుల్‌లతో వ్యక్తీకరణగా వ్రాయబడే వరకు. ఇది SLAE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

మీరు సిస్టమ్ యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు - ఉచిత వేరియబుల్స్‌కు ఏదైనా విలువలను ఇవ్వండి, ఆపై ఈ నిర్దిష్ట సందర్భంలో ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను లెక్కించండి. అనంతమైన నిర్దిష్ట పరిష్కారాలు ఇవ్వవచ్చు.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో పరిష్కారం

ఇక్కడ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది.

సౌలభ్యం కోసం, వెంటనే దాని మాతృకను సృష్టించడం మంచిది

గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించబడినప్పుడు, మొదటి వరుసకు సంబంధించిన సమీకరణం పరివర్తనల ముగింపులో మారదు. అందువల్ల, మాతృక యొక్క ఎగువ ఎడమ మూలకం చిన్నదిగా ఉంటే అది మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది - అప్పుడు ఆపరేషన్ల తర్వాత మిగిలిన వరుసల మొదటి అంశాలు సున్నాకి మారుతాయి. కంపైల్డ్ మ్యాట్రిక్స్‌లో మొదటి వరుస స్థానంలో రెండవ వరుసను ఉంచడం ప్రయోజనకరంగా ఉంటుందని దీని అర్థం.

రెండవ పంక్తి: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

మూడవ పంక్తి: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

ఇప్పుడు, గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, మీరు పరివర్తనల యొక్క ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాలతో మాతృకను వ్రాయాలి.

సహజంగానే, అటువంటి మాతృక కొన్ని కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి అవగాహన కోసం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ప్రతి మూలకాన్ని "-1" ద్వారా గుణించడం ద్వారా రెండవ పంక్తి నుండి అన్ని "మైనస్‌లను" తీసివేయవచ్చు.

మూడవ పంక్తిలో అన్ని మూలకాలు మూడు గుణకాలు అని కూడా గమనించాలి. అప్పుడు మీరు ఈ సంఖ్య ద్వారా స్ట్రింగ్‌ను తగ్గించవచ్చు, ప్రతి మూలకాన్ని "-1/3" (మైనస్ - అదే సమయంలో, ప్రతికూల విలువలను తొలగించడానికి) ద్వారా గుణించాలి.

చాలా అందంగా కనిపిస్తుంది. ఇప్పుడు మనం మొదటి పంక్తిని ఒంటరిగా వదిలి రెండవ మరియు మూడవ వాటితో పని చేయాలి. మూడవ పంక్తికి రెండవ పంక్తిని జోడించడం పని, అటువంటి గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది, తద్వారా మూలకం a 32 సున్నాకి సమానంగా మారుతుంది.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (కొన్ని పరివర్తనల సమయంలో సమాధానం పూర్ణాంకంగా మారకపోతే, వదిలివేయడానికి లెక్కల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని కొనసాగించాలని సిఫార్సు చేయబడింది ఇది సాధారణ భిన్నాల రూపంలో "ఉన్నట్లుగా", మరియు అప్పుడు మాత్రమే, సమాధానాలు అందుకున్నప్పుడు, రౌండ్ చేసి మరొక రికార్డింగ్ రూపానికి మార్చాలా వద్దా అని నిర్ణయించుకోండి)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

మాతృక మళ్లీ కొత్త విలువలతో వ్రాయబడింది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఫలిత మాతృక ఇప్పటికే దశల ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది. అందువల్ల, గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క మరిన్ని రూపాంతరాలు అవసరం లేదు. మీరు ఇక్కడ చేయగలిగేది మూడవ పంక్తి నుండి మొత్తం గుణకం "-1/7"ని తీసివేయడం.

ఇప్పుడు అంతా అందంగా ఉంది. మాతృకను మళ్లీ సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపంలో వ్రాయడం మరియు మూలాలను లెక్కించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

మూలాలు ఇప్పుడు కనుగొనబడే అల్గారిథమ్‌ను గాస్సియన్ పద్ధతిలో రివర్స్ మూవ్ అంటారు. సమీకరణం (3) z విలువను కలిగి ఉంది:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

మరియు మొదటి సమీకరణం xని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

అటువంటి వ్యవస్థను జాయింట్ అని పిలవడానికి మాకు హక్కు ఉంది, మరియు ఖచ్చితమైనది, అంటే, ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సమాధానం క్రింది రూపంలో వ్రాయబడింది:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

అనిశ్చిత వ్యవస్థకు ఉదాహరణ

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్దిష్ట వ్యవస్థను పరిష్కరించే వైవిధ్యం విశ్లేషించబడింది; ఇప్పుడు సిస్టమ్ అనిశ్చితంగా ఉంటే కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం, అంటే, దాని కోసం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

సిస్టమ్ యొక్క రూపమే ఇప్పటికే ఆందోళనకరంగా ఉంది, ఎందుకంటే తెలియని వారి సంఖ్య n = 5, మరియు సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ర్యాంక్ ఇప్పటికే ఈ సంఖ్య కంటే ఖచ్చితంగా తక్కువగా ఉంది, ఎందుకంటే అడ్డు వరుసల సంఖ్య m = 4, అంటే, డిటర్మినెంట్-స్క్వేర్ యొక్క అతిపెద్ద క్రమం 4. దీని అర్థం అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు మీరు దాని సాధారణ రూపాన్ని చూడాలి. సరళ సమీకరణాల కోసం గాస్ పద్ధతి దీన్ని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

మొదట, ఎప్పటిలాగే, పొడిగించిన మాతృక సంకలనం చేయబడింది.

రెండవ పంక్తి: గుణకం k = (-a 21 /a 11) = -3. మూడవ పంక్తిలో, మొదటి మూలకం పరివర్తనలకు ముందు ఉంటుంది, కాబట్టి మీరు దేనినీ తాకవలసిన అవసరం లేదు, మీరు దానిని అలాగే వదిలివేయాలి. నాల్గవ పంక్తి: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

మొదటి వరుసలోని మూలకాలను వాటి ప్రతి గుణకం ద్వారా గుణించడం ద్వారా మరియు వాటిని అవసరమైన అడ్డు వరుసలకు జోడించడం ద్వారా, మేము ఈ క్రింది ఫారమ్ యొక్క మాతృకను పొందుతాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ వరుసలు ఒకదానికొకటి అనులోమానుపాతంలో ఉండే అంశాలను కలిగి ఉంటాయి. రెండవ మరియు నాల్గవ సాధారణంగా ఒకేలా ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకటి తక్షణమే తీసివేయబడుతుంది మరియు మిగిలిన ఒక గుణకం "-1" ద్వారా గుణించబడుతుంది మరియు లైన్ సంఖ్య 3ని పొందవచ్చు. మరియు మళ్లీ, రెండు సారూప్య పంక్తులలో, ఒకదాన్ని వదిలివేయండి.

ఫలితం ఇలాంటి మాతృక. సిస్టమ్ ఇంకా వ్రాయబడనప్పటికీ, ఇక్కడ ప్రాథమిక వేరియబుల్‌లను గుర్తించడం అవసరం - కోఎఫీషియంట్స్ వద్ద నిలబడి ఉన్నవి a 11 = 1 మరియు a 22 = 1, మరియు ఉచిత వాటిని - మిగిలినవి.

రెండవ సమీకరణంలో ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్ మాత్రమే ఉంది - x 2. దీనర్థం x 3 , x 4 , x 5 , వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్రాయడం ద్వారా దానిని అక్కడ నుండి వ్యక్తీకరించవచ్చు.

మేము ఫలిత వ్యక్తీకరణను మొదటి సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.

ఫలితం ఒక సమీకరణం, దీనిలో ప్రాథమిక వేరియబుల్ x 1 మాత్రమే. దీనితో x 2తో కూడా చేద్దాం.

అన్ని ప్రాథమిక వేరియబుల్స్, వీటిలో రెండు ఉన్నాయి, మూడు ఉచిత వాటి పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి; ఇప్పుడు మనం సమాధానాన్ని సాధారణ రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

మీరు సిస్టమ్ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాలలో ఒకదానిని కూడా పేర్కొనవచ్చు. అటువంటి సందర్భాలలో, సున్నాలు సాధారణంగా ఉచిత వేరియబుల్స్ కోసం విలువలుగా ఎంపిక చేయబడతాయి. అప్పుడు సమాధానం ఇలా ఉంటుంది:

16, 23, 0, 0, 0.

సహకారేతర వ్యవస్థకు ఉదాహరణ

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల అననుకూల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అత్యంత వేగవంతమైనది. ఇది ఒక దశలో పరిష్కారం లేని సమీకరణాన్ని పొందిన వెంటనే ముగుస్తుంది. అంటే, చాలా పొడవుగా మరియు దుర్భరమైన మూలాలను లెక్కించే దశ తొలగించబడుతుంది. కింది వ్యవస్థ పరిగణించబడుతుంది:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ఎప్పటిలాగే, మాతృక సంకలనం చేయబడింది:

మరియు అది స్టెప్‌వైస్ ఫారమ్‌కి తగ్గించబడింది:

k 1 = -2k 2 = -4

మొదటి రూపాంతరం తర్వాత, మూడవ పంక్తి రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది

పరిష్కారం లేకుండా. పర్యవసానంగా, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది మరియు సమాధానం ఖాళీ సెట్ అవుతుంది.

పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు మరియు అప్రయోజనాలు

మీరు పెన్నుతో కాగితంపై SLAEలను పరిష్కరించే పద్ధతిని ఎంచుకుంటే, ఈ వ్యాసంలో చర్చించబడిన పద్ధతి అత్యంత ఆకర్షణీయంగా కనిపిస్తుంది. మీరు నిర్ణాయకం లేదా కొన్ని గమ్మత్తైన విలోమ మాతృక కోసం మాన్యువల్‌గా శోధించాల్సిన అవసరం కంటే ప్రాథమిక పరివర్తనలలో గందరగోళం చెందడం చాలా కష్టం. అయితే, మీరు ఈ రకమైన డేటాతో పని చేయడానికి ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగిస్తే, ఉదాహరణకు, స్ప్రెడ్‌షీట్‌లు, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లు ఇప్పటికే మాత్రికల యొక్క ప్రధాన పారామితులను లెక్కించడానికి అల్గోరిథంలను కలిగి ఉన్నాయని తేలింది - డిటర్మినెంట్, మైనర్లు, విలోమం మరియు మొదలైనవి. మరియు యంత్రం ఈ విలువలను స్వయంగా లెక్కిస్తుందని మరియు తప్పులు చేయదని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే, మాతృక పద్ధతి లేదా క్రామర్ సూత్రాలను ఉపయోగించడం మంచిది, ఎందుకంటే వాటి అప్లికేషన్ డిటర్మినేట్‌లు మరియు విలోమ మాత్రికల గణనతో ప్రారంభమవుతుంది మరియు ముగుస్తుంది. .

అప్లికేషన్

గాస్సియన్ పరిష్కారం ఒక అల్గోరిథం మరియు మాతృక నిజానికి ద్విమితీయ శ్రేణి కాబట్టి, దీనిని ప్రోగ్రామింగ్‌లో ఉపయోగించవచ్చు. కానీ వ్యాసం "డమ్మీస్ కోసం" గైడ్‌గా ఉన్నందున, పద్ధతిని ఉంచడానికి సులభమైన ప్రదేశం స్ప్రెడ్‌షీట్‌లు అని చెప్పాలి, ఉదాహరణకు, ఎక్సెల్. మళ్ళీ, ఏదైనా SLAE మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో పట్టికలోకి ప్రవేశించినట్లయితే, Excel ద్వారా ద్విమితీయ శ్రేణిగా పరిగణించబడుతుంది. మరియు వాటితో కార్యకలాపాల కోసం చాలా మంచి ఆదేశాలు ఉన్నాయి: అదనంగా (మీరు ఒకే పరిమాణంలోని మాత్రికలను మాత్రమే జోడించగలరు!), సంఖ్యతో గుణించడం, మాత్రికల గుణకారం (కొన్ని పరిమితులతో కూడా), విలోమ మరియు బదిలీ చేయబడిన మాత్రికలను కనుగొనడం మరియు, ముఖ్యంగా , డిటర్మినెంట్‌ను గణించడం. ఈ సమయం తీసుకునే పనిని ఒకే ఆదేశంతో భర్తీ చేస్తే, మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను చాలా త్వరగా నిర్ణయించడం సాధ్యమవుతుంది మరియు అందువల్ల, దాని అనుకూలత లేదా అననుకూలతను ఏర్పరుస్తుంది.

మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. ఈ పాఠం అంశంపై మూడవది. సాధారణంగా సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఏమిటో మీకు అస్పష్టమైన ఆలోచన ఉంటే, మీరు టీపాట్ లాగా భావిస్తే, తదుపరి పేజీలోని ప్రాథమిక అంశాలతో ప్రారంభించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను, పాఠాన్ని అధ్యయనం చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

గాస్సియన్ పద్ధతి సులభం!ఎందుకు? ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జోహాన్ కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గాస్ తన జీవితకాలంలో, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా, మేధావిగా మరియు "కింగ్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్" అనే మారుపేరుగా గుర్తింపు పొందాడు. మరియు తెలివిగల ప్రతిదీ, మీకు తెలిసినట్లుగా, సులభం!మార్గం ద్వారా, సక్కర్లు మాత్రమే డబ్బు పొందుతారు, కానీ మేధావులు కూడా - గాస్ యొక్క చిత్రం 10 డ్యూచ్‌మార్క్ బ్యాంక్ నోట్‌లో ఉంది (యూరోను ప్రవేశపెట్టడానికి ముందు), మరియు గౌస్ ఇప్పటికీ సాధారణ తపాలా స్టాంపుల నుండి జర్మన్లను చూసి రహస్యంగా నవ్వుతాడు.

గాస్ పద్ధతి చాలా సులభం, దీనిలో ప్రావీణ్యం సంపాదించడానికి ఐదవ తరగతి విద్యార్థి యొక్క జ్ఞానం సరిపోతుంది. మీరు జోడించడం మరియు గుణించడం ఎలాగో తెలుసుకోవాలి!పాఠశాల గణిత శాస్త్ర ఎంపికలలో తెలియని వ్యక్తులను వరుసగా మినహాయించే పద్ధతిని ఉపాధ్యాయులు తరచుగా పరిగణించడం యాదృచ్చికం కాదు. ఇది ఒక పారడాక్స్, కానీ విద్యార్థులు గాస్సియన్ పద్ధతిని చాలా కష్టంగా భావిస్తారు. ఆశ్చర్యం ఏమీ లేదు - ఇదంతా పద్దతి గురించి, మరియు నేను యాక్సెస్ చేయగల రూపంలో పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం గురించి మాట్లాడటానికి ప్రయత్నిస్తాను.

మొదట, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల గురించి కొంచెం జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించుకుందాం. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ వీటిని చేయగలదు:

1) ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండండి. 2) అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండండి. 3) పరిష్కారాలు లేవు (ఉండండి కాని ఉమ్మడి).

గాస్ పద్ధతి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి అత్యంత శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక సాధనం ఏదైనాసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. మనకు గుర్తున్నట్లుగా, క్రామెర్ నియమం మరియు మాతృక పద్ధతిసిస్టమ్ అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న లేదా అస్థిరంగా ఉన్న సందర్భాలలో అనుచితమైనవి. మరియు తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి ఏమైనాసమాధానం మాకు దారి తీస్తుంది! ఈ పాఠంలో, కేసు సంఖ్య 1 (సిస్టమ్‌కు ఏకైక పరిష్కారం) కోసం గాస్ పద్ధతిని మేము మళ్లీ పరిశీలిస్తాము, పాయింట్లు నం. 2-3 యొక్క పరిస్థితులకు ఒక వ్యాసం అంకితం చేయబడింది. పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం మూడు సందర్భాల్లోనూ ఒకే విధంగా పనిచేస్తుందని నేను గమనించాను.

పాఠం నుండి సరళమైన వ్యవస్థకు తిరిగి వెళ్దాం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి?మరియు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి.

మొదటి దశ వ్రాయడం పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృక: . గుణకాలు ఏ సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడతాయో ప్రతి ఒక్కరూ చూడగలరని నేను భావిస్తున్నాను. మాతృక లోపల నిలువు రేఖకు గణిత శాస్త్ర అర్థం లేదు - ఇది డిజైన్ సౌలభ్యం కోసం స్ట్రైక్‌త్రూ మాత్రమే.

సూచన : మీరు గుర్తుంచుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను నిబంధనలు సరళ బీజగణితం. సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ అనేది తెలియని వ్యక్తుల కోసం గుణకాలతో మాత్రమే రూపొందించబడిన మాతృక, ఈ ఉదాహరణలో సిస్టమ్ యొక్క మాతృక: . విస్తరించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ – ఇది సిస్టమ్ యొక్క అదే మాతృక మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్, ఈ సందర్భంలో: . సంక్షిప్తత కోసం, మాత్రికలలో దేనినైనా మాతృక అని పిలుస్తారు.

పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ వ్రాసిన తర్వాత, దానితో కొన్ని చర్యలను చేయడం అవసరం, వీటిని కూడా పిలుస్తారు ప్రాథమిక రూపాంతరాలు.

కింది ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ఉన్నాయి:

1) తీగలుమాత్రికలు చెయ్యవచ్చు తిరిగి అమర్చుకొన్ని చోట్ల. ఉదాహరణకు, పరిశీలనలో ఉన్న మాతృకలో, మీరు మొదటి మరియు రెండవ వరుసలను నొప్పిలేకుండా క్రమాన్ని మార్చవచ్చు:

2) మ్యాట్రిక్స్‌లో అనుపాత (ప్రత్యేక సందర్భంలో - ఒకేలా) వరుసలు ఉంటే (లేదా కనిపించినట్లయితే, మీరు చేయాలి తొలగించుఈ వరుసలన్నీ మాతృక నుండి ఒకటి తప్ప. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి . ఈ మాతృకలో, చివరి మూడు వరుసలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే వదిలివేయడం సరిపోతుంది: .

3) పరివర్తన సమయంలో మాతృకలో సున్నా అడ్డు వరుస కనిపించినట్లయితే, అది కూడా ఉండాలి తొలగించు. నేను డ్రా చేయను, అయితే, సున్నా రేఖ ఇందులోని రేఖ అన్ని సున్నాలు.

4) మాతృక అడ్డు వరుస కావచ్చు గుణించండి (భాగించండి)ఏదైనా సంఖ్యకు సున్నా కాని. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి. ఇక్కడ మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా విభజించి, రెండవ పంక్తిని 2 ద్వారా గుణించడం మంచిది: . ఈ చర్య చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే ఇది మాతృక యొక్క తదుపరి రూపాంతరాలను సులభతరం చేస్తుంది.

5) ఈ పరివర్తన చాలా ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. మీరు మాత్రిక యొక్క వరుసకు చేయవచ్చు సంఖ్యతో గుణించబడిన మరొక స్ట్రింగ్‌ను జోడించండి, సున్నాకి భిన్నంగా. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణ నుండి మన మాతృకను చూద్దాం: . మొదట నేను పరివర్తనను చాలా వివరంగా వివరిస్తాను. మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: , మరియు రెండవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి: . ఇప్పుడు మొదటి పంక్తిని “వెనుక” –2: ద్వారా విభజించవచ్చు. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, జోడించబడిన లైన్ LI – మారలేదు. ఎల్లప్పుడూజోడించబడిన లైన్ మారుతుంది UT.

ఆచరణలో, వారు దానిని అంత వివరంగా వ్రాయరు, కానీ క్లుప్తంగా వ్రాయండి: మరోసారి: రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. ఒక లైన్ సాధారణంగా మౌఖికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో గుణించబడుతుంది, మానసిక గణన ప్రక్రియ ఇలా ఉంటుంది:

"నేను మాతృకను తిరిగి వ్రాస్తాను మరియు మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాను: »

“మొదటి కాలమ్. దిగువన నేను సున్నా పొందాలి. అందువల్ల, నేను ఎగువన ఉన్నదాన్ని –2: గుణించి, మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 2 + (–2) = 0. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

“ఇప్పుడు రెండవ కాలమ్. ఎగువన, నేను -1ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 1 + 2 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

“మరియు మూడవ కాలమ్. ఎగువన నేను -5ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను రెండవ పంక్తికి మొదటిదాన్ని జోడిస్తాను: –7 + 10 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: »

దయచేసి ఈ ఉదాహరణను జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి మరియు సీక్వెన్షియల్ లెక్కింపు అల్గారిథమ్‌ను అర్థం చేసుకోండి, మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకుంటే, గాస్సియన్ పద్ధతి ఆచరణాత్మకంగా మీ జేబులో ఉంటుంది. కానీ, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికీ ఈ పరివర్తనపై పని చేస్తాము.

ఎలిమెంటరీ పరివర్తనాలు సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని మార్చవు

! అటెన్షన్: అవకతవకలు పరిగణించబడతాయి ఉపయోగించలేరు, మాత్రికలు "వాటంతటవే" ఇవ్వబడే ఒక పనిని మీకు అందిస్తే. ఉదాహరణకు, "క్లాసికల్" తో మాత్రికలతో కార్యకలాపాలుఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు మాత్రికల లోపల ఏదైనా క్రమాన్ని మార్చకూడదు! మన సిస్టమ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా ముక్కలుగా తీసుకోబడుతుంది.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని తగ్గించండి దశల వీక్షణ:

(1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మరలా: మనం మొదటి పంక్తిని –2తో ఎందుకు గుణించాలి? దిగువన సున్నాని పొందడానికి, అంటే రెండవ పంక్తిలోని ఒక వేరియబుల్‌ను వదిలించుకోవడం.

(2) రెండవ పంక్తిని 3 ద్వారా భాగించండి.

ప్రాథమిక రూపాంతరాల ప్రయోజనం – మాతృకను దశలవారీగా తగ్గించండి: . పని రూపకల్పనలో, వారు సాధారణ పెన్సిల్‌తో “మెట్లను” గుర్తించి, “స్టెప్స్” పై ఉన్న సంఖ్యలను కూడా సర్కిల్ చేస్తారు. "స్టెప్డ్ వ్యూ" అనే పదం పూర్తిగా సైద్ధాంతికమైనది కాదు; శాస్త్రీయ మరియు విద్యా సాహిత్యంలో దీనిని తరచుగా పిలుస్తారు. ట్రాపెజోయిడల్ వీక్షణలేదా త్రిభుజాకార వీక్షణ.

ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, మేము పొందాము సమానమైనఅసలు సమీకరణాల వ్యవస్థ:

ఇప్పుడు సిస్టమ్ వ్యతిరేక దిశలో “అన్‌వైండ్” చేయాలి - దిగువ నుండి పైకి, ఈ ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.

దిగువ సమీకరణంలో మేము ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఉన్న ఫలితాన్ని కలిగి ఉన్నాము: .

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దానిలో ఇప్పటికే తెలిసిన “y” విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

గాస్సియన్ పద్ధతికి మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అత్యంత సాధారణ పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం:

ఇప్పుడు నేను పరిష్కారం సమయంలో మనం వచ్చే ఫలితాన్ని వెంటనే గీస్తాను: మరియు నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి మాతృకను దశలవారీగా తీసుకురావడమే మా లక్ష్యం. ఎక్కడ ప్రారంభించాలి?

ముందుగా, ఎగువ ఎడమవైపు సంఖ్యను చూడండి: దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ఇక్కడే ఉండాలి యూనిట్. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, –1 (మరియు కొన్నిసార్లు ఇతర సంఖ్యలు) చేస్తాను, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా సాంప్రదాయకంగా ఒకటి సాధారణంగా అక్కడ ఉంచబడుతుంది. యూనిట్‌ను ఎలా నిర్వహించాలి? మేము మొదటి నిలువు వరుసను చూస్తాము - మాకు పూర్తి యూనిట్ ఉంది! రూపాంతరం ఒకటి: మొదటి మరియు మూడవ పంక్తులను మార్చుకోండి:

ఇప్పుడు మొదటి పంక్తి పరిష్కారం ముగిసే వరకు మారదు. ఇప్పుడు బాగానే ఉంది.

ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉన్న యూనిట్ నిర్వహించబడింది. ఇప్పుడు మీరు ఈ ప్రదేశాలలో సున్నాలను పొందాలి:

మేము "కష్టమైన" పరివర్తనను ఉపయోగించి సున్నాలను పొందుతాము. మొదట మేము రెండవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (2, –1, 3, 13). మొదటి స్థానంలో సున్నా రావాలంటే ఏం చేయాలి? అవసరం రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: (–2, –4, 2, –18). మరియు మేము స్థిరంగా (మళ్ళీ మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో) అదనంగా నిర్వహిస్తాము, రెండవ పంక్తికి మేము మొదటి పంక్తిని జోడిస్తాము, ఇప్పటికే –2 ద్వారా గుణించబడింది:

మేము రెండవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము:

మేము అదే విధంగా మూడవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (3, 2, -5, -1). మొదటి స్థానంలో సున్నా పొందడానికి, మీరు అవసరం మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా గుణించండి: (–3, –6, 3, –27). మరియు మూడవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి:

మేము మూడవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము:

ఆచరణలో, ఈ చర్యలు సాధారణంగా మౌఖికంగా నిర్వహించబడతాయి మరియు ఒక దశలో వ్రాయబడతాయి:

అన్నింటినీ ఒకేసారి మరియు అదే సమయంలో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. లెక్కల క్రమం మరియు ఫలితాలను "వ్రాయడం" స్థిరమైనమరియు సాధారణంగా ఇది ఇలా ఉంటుంది: మొదట మనం మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు నెమ్మదిగా మనల్ని మనం పఫ్ చేసుకుంటాము - స్థిరంగా మరియు శ్రద్ధగా:
మరియు పైన పేర్కొన్న లెక్కల యొక్క మానసిక ప్రక్రియ గురించి నేను ఇప్పటికే చర్చించాను.

ఈ ఉదాహరణలో, దీన్ని చేయడం చాలా సులభం; మేము రెండవ పంక్తిని –5 ద్వారా విభజిస్తాము (అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 5 ద్వారా భాగించబడతాయి కాబట్టి). అదే సమయంలో, మేము మూడవ పంక్తిని –2 ద్వారా విభజిస్తాము, ఎందుకంటే చిన్న సంఖ్యలు, సరళమైన పరిష్కారం:

ప్రాథమిక రూపాంతరాల చివరి దశలో, మీరు ఇక్కడ మరొక సున్నాని పొందాలి:

దీని కొరకు మూడవ పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని –2తో గుణించాలి:
ఈ చర్యను మీరే గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి - మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి మరియు అదనంగా చేయండి.

ప్రదర్శించిన చివరి చర్య ఫలితం యొక్క కేశాలంకరణ, మూడవ పంక్తిని 3 ద్వారా విభజించండి.

ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, సరళ సమీకరణాల యొక్క సమానమైన వ్యవస్థ పొందబడింది: కూల్.

ఇప్పుడు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్ అమలులోకి వస్తుంది. సమీకరణాలు దిగువ నుండి పైకి "విడదీయబడతాయి".

మూడవ సమీకరణంలో మనకు ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఫలితం ఉంది:

రెండవ సమీకరణాన్ని చూద్దాం: . "zet" యొక్క అర్థం ఇప్పటికే తెలుసు, ఈ విధంగా:

చివరకు, మొదటి సమీకరణం: . "Igrek" మరియు "zet" అంటారు, ఇది కేవలం చిన్న విషయాల విషయం:

సమాధానం:

ఇప్పటికే అనేక సార్లు గుర్తించినట్లుగా, సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా వ్యవస్థ కోసం ఇది సాధ్యమే మరియు కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం అవసరం, అదృష్టవశాత్తూ, ఇది సులభం మరియు శీఘ్రమైనది.

ఉదాహరణ 2

ఇది స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఉదాహరణ, తుది రూపకల్పన యొక్క నమూనా మరియు పాఠం చివరిలో సమాధానం.

ఇది మీ అని గమనించాలి నిర్ణయం యొక్క పురోగతినా నిర్ణయ ప్రక్రియతో ఏకీభవించకపోవచ్చు, మరియు ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క లక్షణం. అయితే సమాధానాలు ఒకేలా ఉండాలి!

ఉదాహరణ 3

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

మేము ఎగువ ఎడమ "అడుగు" వైపు చూస్తాము. మన దగ్గర ఒకటి ఉండాలి. సమస్య ఏమిటంటే, మొదటి నిలువు వరుసలో యూనిట్‌లు లేవు, కాబట్టి అడ్డు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం దేనినీ పరిష్కరించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, యూనిట్ తప్పనిసరిగా ప్రాథమిక పరివర్తనను ఉపయోగించి నిర్వహించబడాలి. ఇది సాధారణంగా అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. నేను ఇలా చేసాను: (1) మొదటి పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని కలుపుతాము, అది –1తో గుణించబడుతుంది. అంటే, మేము మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –1 ద్వారా గుణించాము మరియు మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులను జోడించాము, రెండవ పంక్తి మారలేదు.

ఇప్పుడు ఎగువ ఎడమ వైపున "మైనస్ వన్" ఉంది, ఇది మాకు బాగా సరిపోతుంది. +1 పొందాలనుకునే ఎవరైనా అదనపు కదలికను చేయవచ్చు: మొదటి పంక్తిని –1తో గుణించండి (దాని గుర్తును మార్చండి).

(2) 5తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది.మొదటి పంక్తి 3తో గుణించబడినది మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది.

(3) మొదటి పంక్తి –1తో గుణించబడింది, సూత్రప్రాయంగా, ఇది అందం కోసం. మూడవ పంక్తి యొక్క సంకేతం కూడా మార్చబడింది మరియు అది రెండవ స్థానానికి తరలించబడింది, తద్వారా రెండవ "అడుగు"లో మనకు అవసరమైన యూనిట్ ఉంది.

(4) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 2తో గుణించబడుతుంది.

(5) మూడవ పంక్తి 3 ద్వారా విభజించబడింది.

గణనలలో లోపాన్ని సూచించే చెడ్డ సంకేతం (మరింత అరుదుగా, అక్షర దోషం) "చెడు" బాటమ్ లైన్. అంటే, మనకు , క్రింద, మరియు, తదనుగుణంగా, , అప్పుడు అధిక స్థాయి సంభావ్యతతో ప్రాథమిక పరివర్తనల సమయంలో లోపం జరిగిందని మనం చెప్పగలం.

మేము రివర్స్ వసూలు చేస్తాము, ఉదాహరణల రూపకల్పనలో వారు తరచుగా సిస్టమ్‌ను తిరిగి వ్రాయరు, కానీ సమీకరణాలు "ఇచ్చిన మాతృక నుండి నేరుగా తీసుకోబడతాయి." రివర్స్ స్ట్రోక్, నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను, దిగువ నుండి పైకి పని చేస్తుంది. అవును, ఇక్కడ బహుమతి ఉంది:

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 4

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ, ఇది కొంత క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఎవరైనా కంగారు పడితే ఫర్వాలేదు. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు నమూనా రూపకల్పన. మీ పరిష్కారం నా పరిష్కారానికి భిన్నంగా ఉండవచ్చు.

చివరి భాగంలో మేము గాస్సియన్ అల్గోరిథం యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము. మొదటి లక్షణం ఏమిటంటే, కొన్నిసార్లు సిస్టమ్ సమీకరణాల నుండి కొన్ని వేరియబుల్స్ తప్పిపోతాయి, ఉదాహరణకు: పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృకను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? నేను ఇప్పటికే ఈ విషయం గురించి క్లాసులో మాట్లాడాను. క్రామెర్ నియమం. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకలో, తప్పిపోయిన వేరియబుల్స్ స్థానంలో మేము సున్నాలను ఉంచుతాము: మార్గం ద్వారా, ఇది చాలా సులభమైన ఉదాహరణ, ఎందుకంటే మొదటి నిలువు వరుసలో ఇప్పటికే ఒక సున్నా ఉంది మరియు నిర్వహించడానికి తక్కువ ప్రాథమిక పరివర్తనలు ఉన్నాయి.

రెండవ విశేషం ఇది. పరిగణించబడిన అన్ని ఉదాహరణలలో, మేము "స్టెప్స్"లో –1 లేదా +1ని ఉంచాము. అక్కడ ఇతర సంఖ్యలు ఉండవచ్చా? కొన్ని సందర్భాల్లో వారు చేయగలరు. వ్యవస్థను పరిగణించండి: .

ఇక్కడ ఎగువ ఎడమ "దశ"లో మనకు రెండు ఉన్నాయి. కానీ మొదటి నిలువు వరుసలోని అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 2 ద్వారా భాగించబడతాయని మేము గమనించాము - మరియు మరొకటి రెండు మరియు ఆరు. మరియు ఎడమ ఎగువన ఉన్న రెండు మనకు సరిపోతాయి! మొదటి దశలో, మీరు క్రింది పరివర్తనలను నిర్వహించాలి: రెండవ పంక్తికి –1 ద్వారా గుణించబడిన మొదటి పంక్తిని జోడించండి; మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. ఈ విధంగా మనం మొదటి నిలువు వరుసలో అవసరమైన సున్నాలను పొందుతాము.

లేదా మరొక సాంప్రదాయ ఉదాహరణ: . ఇక్కడ రెండవ “దశ”లోని మూడు కూడా మనకు సరిపోతాయి, ఎందుకంటే 12 (మనం సున్నా పొందవలసిన ప్రదేశం) శేషం లేకుండా 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది. కింది పరివర్తనను నిర్వహించడం అవసరం: మూడవ పంక్తికి రెండవ పంక్తిని జోడించండి, –4 ద్వారా గుణించబడుతుంది, దీని ఫలితంగా మనకు అవసరమైన సున్నా పొందబడుతుంది.

గాస్ యొక్క పద్ధతి సార్వత్రికమైనది, కానీ ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. మీరు ఇతర పద్ధతులను ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించడానికి నమ్మకంగా నేర్చుకోవచ్చు (క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి) అక్షరాలా మొదటిసారి - అవి చాలా కఠినమైన అల్గోరిథం కలిగి ఉంటాయి. కానీ గాస్సియన్ పద్ధతిలో నమ్మకంగా ఉండటానికి, మీరు "మీ దంతాలను పొందండి" మరియు కనీసం 5-10 పది వ్యవస్థలను పరిష్కరించాలి. అందువల్ల, మొదట గణనలలో గందరగోళం మరియు లోపాలు ఉండవచ్చు మరియు దీని గురించి అసాధారణమైన లేదా విషాదకరమైనది ఏమీ లేదు.

కిటికీ వెలుపల వర్షపు శరదృతువు వాతావరణం.... అందువల్ల, వారి స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను కోరుకునే ప్రతి ఒక్కరికీ:

ఉదాహరణ 5

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి నాలుగు తెలియని వాటితో 4 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

ఆచరణలో ఇటువంటి పని చాలా అరుదు. ఈ పేజీని క్షుణ్ణంగా అధ్యయనం చేసిన టీపాట్ కూడా అటువంటి వ్యవస్థను అకారణంగా పరిష్కరించే అల్గోరిథంను అర్థం చేసుకుంటుందని నేను భావిస్తున్నాను. ప్రాథమికంగా, ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది - మరిన్ని చర్యలు ఉన్నాయి.

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేనప్పుడు (అస్థిరమైన) లేదా అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సందర్భాలు పాఠంలో చర్చించబడ్డాయి ఒక సాధారణ పరిష్కారంతో అననుకూల వ్యవస్థలు మరియు వ్యవస్థలు. అక్కడ మీరు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క పరిగణించబడిన అల్గోరిథంను పరిష్కరించవచ్చు.

మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 2: పరిష్కారం : సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి.
ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ప్రదర్శించబడ్డాయి: (1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మొదటి పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –1తో గుణించబడింది. శ్రద్ధ! ఇక్కడ మీరు మూడవ పంక్తి నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేయడానికి శోదించబడవచ్చు; దానిని తీసివేయవద్దని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను - లోపం యొక్క ప్రమాదం బాగా పెరుగుతుంది. దాన్ని మడవండి! (2) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). రెండవ మరియు మూడవ లైన్లు మార్చబడ్డాయి. గమనిక , "దశల"లో మేము ఒకదానితో మాత్రమే కాకుండా -1 తో కూడా సంతృప్తి చెందాము, ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. (3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 5తో గుణించబడుతుంది. (4) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). మూడవ పంక్తి 14 ద్వారా విభజించబడింది.

రివర్స్:

సమాధానం : .

ఉదాహరణ 4: పరిష్కారం : సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:

చేసిన మార్పిడులు: (1) మొదటి పంక్తికి రెండవ పంక్తి జోడించబడింది. అందువలన, కావలసిన యూనిట్ ఎగువ ఎడమ "స్టెప్" పై నిర్వహించబడుతుంది. (2) 7తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది.మొదటి పంక్తి 6తో గుణించబడినది మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది.

రెండవ "దశ" తో ప్రతిదీ అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది , దీనికి "అభ్యర్థులు" 17 మరియు 23 సంఖ్యలు, మరియు మనకు ఒకటి లేదా -1 అవసరం. పరివర్తనలు (3) మరియు (4) కావలసిన యూనిట్‌ను పొందడం లక్ష్యంగా ఉంటాయి (3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –1తో గుణించబడుతుంది. (4) మూడవ పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –3తో గుణించబడింది. రెండవ దశలో అవసరమైన అంశం స్వీకరించబడింది. . (5) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 6తో గుణించబడింది. (6) రెండవ పంక్తి –1తో గుణించబడింది, మూడవ పంక్తి -83తో భాగించబడింది.

రివర్స్:

సమాధానం :

ఉదాహరణ 5: పరిష్కారం : సిస్టమ్ యొక్క మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:

చేసిన మార్పిడులు: (1) మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులు మార్చబడ్డాయి. (2) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడింది. మొదటి పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –2తో గుణించబడింది. మొదటి పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –3తో గుణించబడింది. (3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 4 ద్వారా గుణించబడింది. రెండవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, –1తో గుణించబడింది. (4) రెండవ పంక్తి గుర్తు మార్చబడింది. నాల్గవ లైన్ 3 ద్వారా విభజించబడింది మరియు మూడవ లైన్ స్థానంలో ఉంచబడింది. (5) మూడవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –5తో గుణించబడింది.

రివర్స్:

సమాధానం :

పరిష్కరించాల్సిన సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి (సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సమానత్వంగా మార్చే తెలియని xi యొక్క అటువంటి విలువలను కనుగొనండి).

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ వీటిని చేయగలదని మనకు తెలుసు:

1) పరిష్కారాలు లేవు (ఉండాలి కాని ఉమ్మడి).
2) అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండండి.
3) ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండండి.

మనకు గుర్తున్నట్లుగా, సిస్టమ్ అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న లేదా అస్థిరమైన సందర్భాల్లో క్రామెర్ నియమం మరియు మాతృక పద్ధతి తగినది కాదు. గాస్ పద్ధతి – సరళ సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి అత్యంత శక్తివంతమైన మరియు బహుముఖ సాధనం, ఏది ప్రతి సందర్భంలోసమాధానం మాకు దారి తీస్తుంది! మెథడ్ అల్గోరిథం మూడు సందర్భాల్లోనూ అదే పని చేస్తుంది. క్రామర్ మరియు మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతులకు నిర్ణయాధికారుల పరిజ్ఞానం అవసరమైతే, గాస్ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి మీకు అంకగణిత కార్యకలాపాల పరిజ్ఞానం మాత్రమే అవసరం, ఇది ప్రాథమిక పాఠశాల విద్యార్థులకు కూడా అందుబాటులో ఉంటుంది.

ఆగ్మెంటెడ్ మ్యాట్రిక్స్ ట్రాన్స్‌ఫార్మేషన్స్ ( ఇది సిస్టమ్ యొక్క మాతృక - తెలియని వాటి యొక్క గుణకాలు మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో మాత్రమే రూపొందించబడిన మాతృక)గాస్ పద్ధతిలో సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలు:

1) తో ట్రోకిమాత్రికలు చెయ్యవచ్చు తిరిగి అమర్చుకొన్ని చోట్ల.

2) మ్యాట్రిక్స్‌లో అనుపాత (ప్రత్యేక సందర్భంలో – ఒకేలా) అడ్డు వరుసలు కనిపిస్తే (లేదా ఉనికిలో) ఉంటే, మీరు చేయాలి తొలగించుఈ వరుసలన్నీ మాతృక నుండి ఒకటి తప్ప.

3) పరివర్తన సమయంలో మాతృకలో సున్నా అడ్డు వరుస కనిపించినట్లయితే, అది కూడా ఉండాలి తొలగించు.

4) మాతృక వరుస కావచ్చు గుణించండి (భాగించండి)సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్యకు.

5) మీరు చేయగలిగిన మాతృక వరుసకు సంఖ్యతో గుణించబడిన మరొక స్ట్రింగ్‌ను జోడించండి, సున్నాకి భిన్నంగా.

గాస్ పద్ధతిలో, ప్రాథమిక పరివర్తనలు సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని మార్చవు.

గాస్ పద్ధతి రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. “డైరెక్ట్ మూవ్” - ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను “త్రిభుజాకార” దశ రూపానికి తీసుకురండి: ప్రధాన వికర్ణానికి దిగువన ఉన్న పొడిగించిన మాతృక మూలకాలు సున్నాకి సమానం (పై నుండి క్రిందికి తరలింపు). ఉదాహరణకు, ఈ రకానికి:

దీన్ని చేయడానికి, ఈ క్రింది దశలను చేయండి:

1) సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు x 1 కోసం గుణకం K. రెండవది, మూడవది, మొదలైనవి. మేము సమీకరణాలను ఈ క్రింది విధంగా మారుస్తాము: ప్రతి సమీకరణంలోని తెలియని x 1 యొక్క గుణకం ద్వారా ప్రతి సమీకరణాన్ని (తెలియని గుణకాలు, ఉచిత నిబంధనలతో సహా) విభజించి, K ద్వారా గుణించాలి. దీని తర్వాత, మేము రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటి దాన్ని తీసివేస్తాము ( తెలియని మరియు ఉచిత నిబంధనల గుణకాలు). రెండవ సమీకరణంలో x 1 కోసం మనం గుణకం 0ని పొందుతాము. మూడవ రూపాంతరం చెందిన సమీకరణం నుండి మొదటి సమీకరణాన్ని మినహాయించి అన్ని సమీకరణాలు తెలియని x 1 కోసం, గుణకం 0 ఉండే వరకు మేము మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేస్తాము.

2) తదుపరి సమీకరణానికి వెళ్దాం. ఇది రెండవ సమీకరణం మరియు M కి సమానమైన x 2 కోసం గుణకం కావచ్చు. పైన వివరించిన విధంగా మేము అన్ని "తక్కువ" సమీకరణాలతో కొనసాగుతాము. అందువలన, తెలియని x 2 "కింద" అన్ని సమీకరణాలలో సున్నాలు ఉంటాయి.

3) చివరిగా తెలియని మరియు రూపాంతరం చెందిన ఉచిత పదం మిగిలిపోయే వరకు తదుపరి సమీకరణానికి వెళ్లండి.

1. గాస్ పద్ధతి యొక్క "రివర్స్ మూవ్" అనేది లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు ("దిగువ-పైకి" కదలిక) పరిష్కారాన్ని పొందడం. చివరి "దిగువ" సమీకరణం నుండి మనం ఒక మొదటి పరిష్కారాన్ని పొందుతాము - తెలియని x n. దీన్ని చేయడానికి, మేము A * x n = B అనే ప్రాథమిక సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలో, x 3 = 4. మేము కనుగొన్న విలువను "ఎగువ" తదుపరి సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు తదుపరి తెలియని వాటికి సంబంధించి దాన్ని పరిష్కరిస్తాము. ఉదాహరణకు, x 2 – 4 = 1, అనగా. x 2 = 5. మరియు మనకు తెలియని వాటిని కనుగొనే వరకు.

ఉదాహరణ.

కొంతమంది రచయితలు సలహా ఇస్తున్నట్లుగా, గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:

మేము ఎగువ ఎడమ "అడుగు" వైపు చూస్తాము. మన దగ్గర ఒకటి ఉండాలి. సమస్య ఏమిటంటే, మొదటి నిలువు వరుసలో యూనిట్‌లు లేవు, కాబట్టి అడ్డు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం దేనినీ పరిష్కరించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, యూనిట్ తప్పనిసరిగా ప్రాథమిక పరివర్తనను ఉపయోగించి నిర్వహించబడాలి. ఇది సాధారణంగా అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. ఇలా చేద్దాం:
1 అడుగు . మొదటి పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని కలుపుతాము, అది –1తో గుణించబడుతుంది. అంటే, మేము మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –1 ద్వారా గుణించాము మరియు మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులను జోడించాము, రెండవ పంక్తి మారలేదు.

ఇప్పుడు ఎగువ ఎడమ వైపున "మైనస్ వన్" ఉంది, ఇది మాకు బాగా సరిపోతుంది. +1 పొందాలనుకునే ఎవరైనా అదనపు చర్యను చేయవచ్చు: మొదటి పంక్తిని –1తో గుణించండి (దాని గుర్తును మార్చండి).

దశ 2 . 5తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది.మొదటి పంక్తిని 3తో గుణిస్తే మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది.

దశ 3 . మొదటి పంక్తి –1తో గుణించబడింది, సూత్రప్రాయంగా, ఇది అందం కోసం. మూడవ పంక్తి యొక్క సంకేతం కూడా మార్చబడింది మరియు అది రెండవ స్థానానికి తరలించబడింది, తద్వారా రెండవ "అడుగు"లో మనకు అవసరమైన యూనిట్ ఉంది.

దశ 4 . మూడవ పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, 2 ద్వారా గుణించబడింది.

దశ 5 . మూడవ పంక్తి 3 ద్వారా విభజించబడింది.

గణనలలో లోపాన్ని సూచించే సంకేతం (మరింత అరుదుగా, అక్షర దోషం) "చెడు" బాటమ్ లైన్. అంటే, మనకు దిగువన (0 0 11 |23) మరియు తదనుగుణంగా, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 లాంటివి వచ్చినట్లయితే, అధిక స్థాయి సంభావ్యతతో ప్రాథమిక దశలో లోపం జరిగిందని చెప్పవచ్చు. రూపాంతరాలు.

రివర్స్ చేద్దాం; ఉదాహరణల రూపకల్పనలో, సిస్టమ్ తరచుగా తిరిగి వ్రాయబడదు, కానీ సమీకరణాలు "ఇచ్చిన మాతృక నుండి నేరుగా తీసుకోబడతాయి." రివర్స్ మూవ్, నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను, దిగువ నుండి పైకి పని చేస్తుంది. ఈ ఉదాహరణలో, ఫలితం బహుమతి:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, కాబట్టి x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

సమాధానం:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

ప్రతిపాదిత అల్గోరిథం ఉపయోగించి అదే వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం. మాకు దొరికింది

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

రెండవ సమీకరణాన్ని 5తో మరియు మూడవది 3తో భాగించండి. మనకు లభిస్తుంది:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలను 4 ద్వారా గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేయండి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

మూడవ సమీకరణాన్ని 0.64తో భాగించండి:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

మూడవ సమీకరణాన్ని 0.4తో గుణించండి

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

మూడవ సమీకరణం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేస్తే, మేము "స్టెప్డ్" పొడిగించిన మాతృకను పొందుతాము:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ఈ విధంగా, గణనల సమయంలో లోపం పేరుకుపోయినందున, మేము x 3 = 0.96 లేదా సుమారు 1ని పొందుతాము.

x 2 = 3 మరియు x 1 = –1.

ఈ విధంగా పరిష్కరించడం ద్వారా, మీరు గణనలలో ఎప్పటికీ గందరగోళం చెందలేరు మరియు గణన లోపాలు ఉన్నప్పటికీ, మీరు ఫలితాన్ని పొందుతారు.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించే ఈ పద్ధతి సులభంగా ప్రోగ్రామబుల్ మరియు తెలియని వ్యక్తుల కోసం గుణకాల యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోదు, ఎందుకంటే ఆచరణలో (ఆర్థిక మరియు సాంకేతిక గణనలలో) పూర్ణాంక గుణకాలు కాని గుణకాలతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది.

మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను! క్లాసులో కలుద్దాం! బోధకుడు.

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఈ వ్యాసంలో, సరళ సమీకరణాల (SLAEs) వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఈ పద్ధతి ఒక పద్ధతిగా పరిగణించబడుతుంది. పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది, అనగా, ఇది సాధారణ రూపంలో పరిష్కార అల్గోరిథంను వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఆపై నిర్దిష్ట ఉదాహరణల నుండి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా క్రామెర్ సూత్రాల వలె కాకుండా, గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న వాటితో కూడా పని చేయవచ్చు. లేదా వారికి అది అస్సలు లేదు.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

మొదట, మన సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇలా కనిపిస్తుంది అనే దానిలో వ్రాయాలి. వ్యవస్థను తీసుకోండి:

గుణకాలు పట్టిక రూపంలో వ్రాయబడతాయి మరియు ఉచిత నిబంధనలు కుడివైపున ప్రత్యేక నిలువు వరుసలో వ్రాయబడతాయి. ఉచిత నిబంధనలతో కూడిన నిలువు వరుస సౌలభ్యం కోసం వేరు చేయబడింది. ఈ నిలువు వరుసను కలిగి ఉన్న మాతృకను పొడిగించినది అంటారు.

తరువాత, గుణకాలతో కూడిన ప్రధాన మాతృక తప్పనిసరిగా ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గించబడాలి. గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించే ప్రధాన అంశం ఇది. సరళంగా చెప్పాలంటే, కొన్ని అవకతవకల తర్వాత, మాతృక దాని దిగువ ఎడమ భాగం సున్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉండేలా చూడాలి:

అప్పుడు, మీరు కొత్త మాతృకను మళ్లీ సమీకరణాల వ్యవస్థగా వ్రాస్తే, చివరి వరుసలో ఇప్పటికే మూలాలలో ఒకదాని విలువ ఉందని మీరు గమనించవచ్చు, అది పై సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది, మరొక మూలం కనుగొనబడింది మరియు మొదలైనవి.

ఇది చాలా సాధారణ పరంగా గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం యొక్క వివరణ. అకస్మాత్తుగా సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? లేదా వాటిలో అనంతంగా చాలా ఉన్నాయా? ఈ మరియు అనేక ఇతర ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వడానికి, గాస్సియన్ పద్ధతిని పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే అన్ని అంశాలను విడిగా పరిగణించడం అవసరం.

మాత్రికలు, వాటి లక్షణాలు

మాతృకలో దాచిన అర్థం లేదు. దానితో తదుపరి కార్యకలాపాల కోసం డేటాను రికార్డ్ చేయడానికి ఇది అనుకూలమైన మార్గం. పాఠశాల విద్యార్థులు కూడా వారికి భయపడాల్సిన అవసరం లేదు.

మాతృక ఎల్లప్పుడూ దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. గాస్ పద్ధతిలో కూడా, ప్రతిదీ త్రిభుజాకార రూపం యొక్క మాతృకను నిర్మించడానికి వస్తుంది, ఎంట్రీలో ఒక దీర్ఘచతురస్రం కనిపిస్తుంది, సంఖ్యలు లేని స్థానంలో సున్నాలతో మాత్రమే. సున్నాలు వ్రాయబడకపోవచ్చు, కానీ అవి సూచించబడతాయి.

మాతృకకు ఒక పరిమాణం ఉంది. దీని "వెడల్పు" అనేది అడ్డు వరుసల సంఖ్య (m), "పొడవు" అనేది నిలువు వరుసల సంఖ్య (n). అప్పుడు మాతృక పరిమాణం A (క్యాపిటల్ లాటిన్ అక్షరాలు సాధారణంగా వాటిని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు) A m×n గా సూచించబడుతుంది. m=n అయితే, ఈ మాతృక చతురస్రం మరియు m=n దాని క్రమం. దీని ప్రకారం, మాతృక A యొక్క ఏదైనా మూలకం దాని అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసల ద్వారా సూచించబడుతుంది: a xy ; x - అడ్డు వరుస సంఖ్య, మార్పులు, y - నిలువు వరుస సంఖ్య, మార్పులు.

B అనేది నిర్ణయం యొక్క ప్రధాన అంశం కాదు. సూత్రప్రాయంగా, అన్ని కార్యకలాపాలు నేరుగా సమీకరణాలతోనే నిర్వహించబడతాయి, కానీ సంజ్ఞామానం చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు దానిలో గందరగోళం చెందడం చాలా సులభం అవుతుంది.

నిర్ణాయకం

మాతృకలో నిర్ణయాధికారి కూడా ఉంటుంది. ఇది చాలా ముఖ్యమైన లక్షణం. ఇప్పుడు దాని అర్ధాన్ని కనుగొనవలసిన అవసరం లేదు; మీరు దానిని ఎలా లెక్కించాలో చూపవచ్చు, ఆపై మాతృక యొక్క ఏ లక్షణాలను నిర్ణయిస్తుందో చెప్పండి. నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనడానికి సులభమైన మార్గం వికర్ణాల ద్వారా. మాతృకలో ఊహాత్మక వికర్ణాలు డ్రా చేయబడతాయి; వాటిలో ప్రతిదానిపై ఉన్న మూలకాలు గుణించబడతాయి, ఆపై ఫలిత ఉత్పత్తులు జోడించబడతాయి: కుడి వైపున వాలుతో వికర్ణాలు - ప్లస్ గుర్తుతో, ఎడమవైపు వాలుతో - మైనస్ గుర్తుతో.

చతురస్ర మాతృక కోసం మాత్రమే డిటర్మినెంట్ లెక్కించబడుతుందని గమనించడం చాలా ముఖ్యం. దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృక కోసం, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయవచ్చు: అడ్డు వరుసల సంఖ్య మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య నుండి చిన్నదాన్ని ఎంచుకోండి (అది k అని ఉండనివ్వండి), ఆపై యాదృచ్ఛికంగా మాత్రికలో k నిలువు వరుసలు మరియు k అడ్డు వరుసలను గుర్తించండి. ఎంచుకున్న నిలువు వరుసలు మరియు అడ్డు వరుసల ఖండన వద్ద ఉన్న మూలకాలు కొత్త స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ను ఏర్పరుస్తాయి. అటువంటి మాత్రిక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నా కాని సంఖ్య అయితే, అది అసలు దీర్ఘచతురస్రాకార మాత్రిక యొక్క బేస్ మైనర్ అంటారు.

మీరు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ప్రారంభించే ముందు, నిర్ణయాత్మకతను లెక్కించడం బాధించదు. ఇది సున్నాగా మారినట్లయితే, మాతృకకు అనంతమైన పరిష్కారాలు లేదా ఏదీ లేవని మేము వెంటనే చెప్పగలం. అటువంటి విచారకరమైన సందర్భంలో, మీరు మరింత ముందుకు వెళ్లి మాతృక యొక్క ర్యాంక్ గురించి తెలుసుకోవాలి.

సిస్టమ్ వర్గీకరణ

మాతృక యొక్క ర్యాంక్ వంటి విషయం ఉంది. ఇది దాని నాన్-జీరో డిటర్మినెంట్ యొక్క గరిష్ట క్రమం (మేము బేసిస్ మైనర్ గురించి గుర్తుంచుకుంటే, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ బేసిస్ మైనర్ యొక్క క్రమం అని చెప్పవచ్చు).

ర్యాంక్‌తో ఉన్న పరిస్థితి ఆధారంగా, SLAEని ఇలా విభజించవచ్చు:

• ఉమ్మడి. యుఉమ్మడి వ్యవస్థలలో, ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ (కోఎఫీషియంట్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది) పొడిగించిన మాతృక ర్యాంక్‌తో (ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో) సమానంగా ఉంటుంది. ఇటువంటి వ్యవస్థలు ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కానీ తప్పనిసరిగా ఒకటి కాదు, కాబట్టి, అదనంగా ఉమ్మడి వ్యవస్థలు విభజించబడ్డాయి:
• - ఖచ్చితంగా- ఒకే పరిష్కారం. నిర్దిష్ట వ్యవస్థలలో, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మరియు తెలియని వాటి సంఖ్య (లేదా నిలువు వరుసల సంఖ్య, అదే విషయం) సమానంగా ఉంటాయి;
• - నిర్వచించబడలేదు -అనంతమైన పరిష్కారాలతో. అటువంటి వ్యవస్థలలో మాత్రికల ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
• అననుకూలమైనది. యుఅటువంటి వ్యవస్థలలో, ప్రధాన మరియు పొడిగించిన మాత్రికల ర్యాంక్‌లు ఏకీభవించవు. అననుకూల వ్యవస్థలకు పరిష్కారం లేదు.

గాస్ పద్ధతి మంచిది, ఎందుకంటే పరిష్కారం సమయంలో ఇది సిస్టమ్ యొక్క అస్థిరతకు స్పష్టమైన రుజువును (పెద్ద మాత్రికల నిర్ణాయకాలను లెక్కించకుండా) లేదా అనంతమైన పరిష్కారాలతో కూడిన సిస్టమ్‌కు సాధారణ రూపంలో ఒక పరిష్కారాన్ని పొందటానికి అనుమతిస్తుంది.

ప్రాథమిక రూపాంతరాలు

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి నేరుగా కొనసాగే ముందు, మీరు దానిని తక్కువ గజిబిజిగా మరియు గణనలకు మరింత సౌకర్యవంతంగా చేయవచ్చు. ఇది ప్రాథమిక పరివర్తనల ద్వారా సాధించబడుతుంది - వాటి అమలు తుది సమాధానాన్ని ఏ విధంగానూ మార్చదు. ఇవ్వబడిన కొన్ని ప్రాథమిక పరివర్తనలు మాత్రికలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయని గమనించాలి, దీని మూలం SLAE. ఈ రూపాంతరాల జాబితా ఇక్కడ ఉంది:

1. పంక్తుల పునర్వ్యవస్థీకరణ. సహజంగానే, మీరు సిస్టమ్ రికార్డ్‌లోని సమీకరణాల క్రమాన్ని మార్చినట్లయితే, ఇది ఏ విధంగానూ పరిష్కారాన్ని ప్రభావితం చేయదు. పర్యవసానంగా, ఈ సిస్టమ్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్‌లోని అడ్డు వరుసలను కూడా మార్చుకోవచ్చు, వాస్తవానికి, ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌ను మర్చిపోకూడదు.
2. ఒక నిర్దిష్ట గుణకం ద్వారా స్ట్రింగ్ యొక్క అన్ని మూలకాలను గుణించడం. చాలా ఉపయోగకరం! ఇది మాతృకలో పెద్ద సంఖ్యలను తగ్గించడానికి లేదా సున్నాలను తీసివేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. అనేక నిర్ణయాలు, ఎప్పటిలాగే, మారవు, కానీ తదుపరి కార్యకలాపాలు మరింత సౌకర్యవంతంగా మారతాయి. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే గుణకం సున్నాకి సమానం కాదు.
3. అనుపాత కారకాలతో అడ్డు వరుసలను తీసివేయడం. ఇది పాక్షికంగా మునుపటి పేరా నుండి అనుసరిస్తుంది. మాతృకలోని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అడ్డు వరుసలు అనుపాత గుణకాలు కలిగి ఉంటే, ఆ వరుసలలో ఒకదానిని అనుపాత గుణకంతో గుణించిన/భాగించినప్పుడు, రెండు (లేదా, మళ్లీ, మరిన్ని) ఖచ్చితంగా ఒకే వరుసలు లభిస్తాయి మరియు అదనపు వాటిని తీసివేయవచ్చు, వదిలివేయవచ్చు. ఒకే ఒక్కటి.
4. శూన్య రేఖను తొలగిస్తోంది. పరివర్తన సమయంలో, ఉచిత పదంతో సహా అన్ని మూలకాలు సున్నాగా ఉండే వరుస ఎక్కడో పొందబడితే, అటువంటి అడ్డు వరుసను సున్నా అని పిలుస్తారు మరియు మాతృక నుండి విసిరివేయబడుతుంది.
5. ఒక అడ్డు వరుసలోని మూలకాలకు మరొక మూలకాలను జోడించడం (సంబంధిత నిలువు వరుసలలో), నిర్దిష్ట గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది. అన్నింటిలో అత్యంత స్పష్టమైన మరియు అత్యంత ముఖ్యమైన పరివర్తన. దానిపై మరింత వివరంగా నివసించడం విలువ.

కారకం ద్వారా గుణించబడిన స్ట్రింగ్‌ను జోడించడం

అవగాహన సౌలభ్యం కోసం, ఈ ప్రక్రియను దశలవారీగా విభజించడం విలువ. మాతృక నుండి రెండు వరుసలు తీసుకోబడ్డాయి:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | బి 2

గుణకం "-2" ద్వారా గుణించబడిన రెండవ దానికి మీరు మొదటిదాన్ని జోడించాలని అనుకుందాం.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

అప్పుడు మాతృకలోని రెండవ వరుస కొత్తదానితో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు మొదటిది మారదు.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

గుణకారం గుణకం రెండు వరుసలను జోడించడం వలన, కొత్త అడ్డు వరుసలోని మూలకాలలో ఒకటి సున్నాకి సమానంగా ఉండే విధంగా ఎంచుకోవచ్చని గమనించాలి. అందువల్ల, తక్కువ తెలియని ఒకటి ఉండే వ్యవస్థలో సమీకరణాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. మరియు మీరు అలాంటి రెండు సమీకరణాలను పొందినట్లయితే, ఆపరేషన్ మళ్లీ చేయవచ్చు మరియు రెండు తక్కువ తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. మరియు ప్రతిసారీ మీరు అసలైన దాని కంటే దిగువన ఉన్న అన్ని అడ్డు వరుసలలోని ఒక గుణకాన్ని సున్నాకి మార్చినట్లయితే, మీరు మెట్ల వలె, మాతృక యొక్క అత్యంత దిగువకు వెళ్లి, తెలియని ఒకదానితో సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. దీనిని గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అంటారు.

సాధారణంగా

ఒక వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి. దీనికి m సమీకరణాలు మరియు n తెలియని మూలాలు ఉన్నాయి. మీరు దీన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ప్రధాన మాతృక సిస్టమ్ గుణకాల నుండి సంకలనం చేయబడింది. ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ పొడిగించిన మాతృకకు జోడించబడింది మరియు సౌలభ్యం కోసం, ఒక లైన్ ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది.

• మాతృక యొక్క మొదటి వరుస k = (-a 21 /a 11) గుణకంతో గుణించబడుతుంది;
• మొదటి సవరించిన అడ్డు వరుస మరియు మాతృక యొక్క రెండవ వరుస జోడించబడ్డాయి;
• రెండవ వరుసకు బదులుగా, మునుపటి పేరా నుండి అదనంగా వచ్చిన ఫలితం మాతృకలో చేర్చబడుతుంది;
• ఇప్పుడు కొత్త రెండవ వరుసలో మొదటి గుణకం 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

ఇప్పుడు అదే పరివర్తనల శ్రేణి నిర్వహించబడుతుంది, మొదటి మరియు మూడవ వరుసలు మాత్రమే పాల్గొంటాయి. దీని ప్రకారం, అల్గోరిథం యొక్క ప్రతి దశలో, మూలకం a 21 స్థానంలో 31 ఉంటుంది. అప్పుడు ప్రతిదీ ఒక 41, ... ఒక m1 కోసం పునరావృతమవుతుంది. ఫలితం వరుసలలో మొదటి మూలకం సున్నా అయిన మాత్రిక. ఇప్పుడు మీరు పంక్తి నంబర్ వన్ గురించి మరచిపోయి, పంక్తి రెండు నుండి ప్రారంభించి అదే అల్గోరిథం చేయాలి:

• గుణకం k = (-a 32 /a 22);
• రెండవ సవరించిన లైన్ "ప్రస్తుత" లైన్కు జోడించబడింది;
• సంకలనం యొక్క ఫలితం మూడవ, నాల్గవ మరియు ఇతర పంక్తులలో భర్తీ చేయబడుతుంది, మొదటి మరియు రెండవది మారదు;
• మాతృక వరుసలలో మొదటి రెండు మూలకాలు ఇప్పటికే సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

గుణకం k = (-a m,m-1 /a mm) కనిపించే వరకు అల్గోరిథం పునరావృతం చేయాలి. దీనర్థం అల్గోరిథం చివరిసారి అమలు చేయబడినది తక్కువ సమీకరణం కోసం మాత్రమే. ఇప్పుడు మాతృక త్రిభుజం వలె కనిపిస్తుంది, లేదా మెట్ల ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. బాటమ్ లైన్‌లో a mn × x n = b m సమానత్వం ఉంది. కోఎఫీషియంట్ మరియు ఫ్రీ టర్మ్ అంటారు, మరియు రూట్ వాటి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది: x n = b m /a mn. ఫలితంగా రూట్ x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1ని కనుగొనడానికి ఎగువ పంక్తిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయబడింది. మరియు సారూప్యత ద్వారా: ప్రతి తదుపరి పంక్తిలో కొత్త రూట్ ఉంది మరియు సిస్టమ్ యొక్క “పైభాగానికి” చేరుకున్న తర్వాత, మీరు అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు. ఇది ఒక్కటే అవుతుంది.

పరిష్కారాలు లేనప్పుడు

మాతృక వరుసలలో ఒకదానిలో ఉచిత పదం మినహా అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానం అయితే, ఈ అడ్డు వరుసకు సంబంధించిన సమీకరణం 0 = b లాగా కనిపిస్తుంది. దానికి పరిష్కారం లేదు. మరియు అటువంటి సమీకరణం సిస్టమ్‌లో చేర్చబడినందున, మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి ఖాళీగా ఉంటుంది, అంటే అది క్షీణించింది.

అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నప్పుడు

ఇచ్చిన త్రిభుజాకార మాతృకలో సమీకరణం యొక్క ఒక గుణకం మూలకం మరియు ఒక ఉచిత పదంతో వరుసలు లేవు. తిరిగి వ్రాసినప్పుడు, రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం వలె కనిపించే పంక్తులు మాత్రమే ఉన్నాయి. సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉందని దీని అర్థం. ఈ సందర్భంలో, సమాధానం సాధారణ పరిష్కారం రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. ఇది ఎలా చెయ్యాలి?

మాతృకలోని అన్ని వేరియబుల్స్ బేసిక్ మరియు ఫ్రీగా విభజించబడ్డాయి. స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌లోని అడ్డు వరుసల "అంచుపై" నిలబడేవి ప్రాథమికమైనవి. మిగిలినవి ఉచితం. సాధారణ పరిష్కారంలో, ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ ఉచిత వాటి ద్వారా వ్రాయబడతాయి.

సౌలభ్యం కోసం, మాతృక మొదట సమీకరణాల వ్యవస్థలోకి తిరిగి వ్రాయబడుతుంది. అప్పుడు వాటిలో చివరిలో, సరిగ్గా ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉంటే, అది ఒక వైపున ఉంటుంది మరియు మిగతావన్నీ మరొకదానికి బదిలీ చేయబడతాయి. ఇది ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్‌తో ప్రతి సమీకరణం కోసం చేయబడుతుంది. అప్పుడు, మిగిలిన సమీకరణాలలో, సాధ్యమైన చోట, దాని కోసం పొందిన వ్యక్తీకరణ ప్రాథమిక వేరియబుల్‌కు బదులుగా భర్తీ చేయబడుతుంది. ఫలితం మళ్లీ ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ అయితే, అది మళ్లీ అక్కడ నుండి వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు ప్రతి ప్రాథమిక వేరియబుల్ ఉచిత వేరియబుల్‌లతో వ్యక్తీకరణగా వ్రాయబడే వరకు. ఇది SLAE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

మీరు సిస్టమ్ యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు - ఉచిత వేరియబుల్స్‌కు ఏదైనా విలువలను ఇవ్వండి, ఆపై ఈ నిర్దిష్ట సందర్భంలో ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను లెక్కించండి. అనంతమైన నిర్దిష్ట పరిష్కారాలు ఇవ్వవచ్చు.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో పరిష్కారం

ఇక్కడ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది.

సౌలభ్యం కోసం, వెంటనే దాని మాతృకను సృష్టించడం మంచిది

గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించబడినప్పుడు, మొదటి వరుసకు సంబంధించిన సమీకరణం పరివర్తనల ముగింపులో మారదు. అందువల్ల, మాతృక యొక్క ఎగువ ఎడమ మూలకం చిన్నదిగా ఉంటే అది మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది - అప్పుడు ఆపరేషన్ల తర్వాత మిగిలిన వరుసల మొదటి అంశాలు సున్నాకి మారుతాయి. కంపైల్డ్ మ్యాట్రిక్స్‌లో మొదటి వరుస స్థానంలో రెండవ వరుసను ఉంచడం ప్రయోజనకరంగా ఉంటుందని దీని అర్థం.

రెండవ పంక్తి: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

మూడవ పంక్తి: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

ఇప్పుడు, గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, మీరు పరివర్తనల యొక్క ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాలతో మాతృకను వ్రాయాలి.

సహజంగానే, అటువంటి మాతృక కొన్ని కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి అవగాహన కోసం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ప్రతి మూలకాన్ని "-1" ద్వారా గుణించడం ద్వారా రెండవ పంక్తి నుండి అన్ని "మైనస్‌లను" తీసివేయవచ్చు.

మూడవ పంక్తిలో అన్ని మూలకాలు మూడు గుణకాలు అని కూడా గమనించాలి. అప్పుడు మీరు ఈ సంఖ్య ద్వారా స్ట్రింగ్‌ను తగ్గించవచ్చు, ప్రతి మూలకాన్ని "-1/3" (మైనస్ - అదే సమయంలో, ప్రతికూల విలువలను తొలగించడానికి) ద్వారా గుణించాలి.

చాలా అందంగా కనిపిస్తుంది. ఇప్పుడు మనం మొదటి పంక్తిని ఒంటరిగా వదిలి రెండవ మరియు మూడవ వాటితో పని చేయాలి. మూడవ పంక్తికి రెండవ పంక్తిని జోడించడం పని, అటువంటి గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది, తద్వారా మూలకం a 32 సున్నాకి సమానంగా మారుతుంది.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (కొన్ని పరివర్తనల సమయంలో సమాధానం పూర్ణాంకంగా మారకపోతే, వదిలివేయడానికి లెక్కల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని కొనసాగించాలని సిఫార్సు చేయబడింది ఇది సాధారణ భిన్నాల రూపంలో "ఉన్నట్లుగా", మరియు అప్పుడు మాత్రమే, సమాధానాలు అందుకున్నప్పుడు, రౌండ్ చేసి మరొక రికార్డింగ్ రూపానికి మార్చాలా వద్దా అని నిర్ణయించుకోండి)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

మాతృక మళ్లీ కొత్త విలువలతో వ్రాయబడింది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఫలిత మాతృక ఇప్పటికే దశల ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది. అందువల్ల, గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క మరిన్ని రూపాంతరాలు అవసరం లేదు. మీరు ఇక్కడ చేయగలిగేది మూడవ పంక్తి నుండి మొత్తం గుణకం "-1/7"ని తీసివేయడం.

ఇప్పుడు అంతా అందంగా ఉంది. మాతృకను మళ్లీ సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపంలో వ్రాయడం మరియు మూలాలను లెక్కించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

మూలాలు ఇప్పుడు కనుగొనబడే అల్గారిథమ్‌ను గాస్సియన్ పద్ధతిలో రివర్స్ మూవ్ అంటారు. సమీకరణం (3) z విలువను కలిగి ఉంది:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

మరియు మొదటి సమీకరణం xని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

అటువంటి వ్యవస్థను జాయింట్ అని పిలవడానికి మాకు హక్కు ఉంది, మరియు ఖచ్చితమైనది, అంటే, ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సమాధానం క్రింది రూపంలో వ్రాయబడింది:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

అనిశ్చిత వ్యవస్థకు ఉదాహరణ

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్దిష్ట వ్యవస్థను పరిష్కరించే వైవిధ్యం విశ్లేషించబడింది; ఇప్పుడు సిస్టమ్ అనిశ్చితంగా ఉంటే కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం, అంటే, దాని కోసం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

సిస్టమ్ యొక్క రూపమే ఇప్పటికే ఆందోళనకరంగా ఉంది, ఎందుకంటే తెలియని వారి సంఖ్య n = 5, మరియు సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ర్యాంక్ ఇప్పటికే ఈ సంఖ్య కంటే ఖచ్చితంగా తక్కువగా ఉంది, ఎందుకంటే అడ్డు వరుసల సంఖ్య m = 4, అంటే, డిటర్మినెంట్-స్క్వేర్ యొక్క అతిపెద్ద క్రమం 4. దీని అర్థం అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు మీరు దాని సాధారణ రూపాన్ని చూడాలి. సరళ సమీకరణాల కోసం గాస్ పద్ధతి దీన్ని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

మొదట, ఎప్పటిలాగే, పొడిగించిన మాతృక సంకలనం చేయబడింది.

రెండవ పంక్తి: గుణకం k = (-a 21 /a 11) = -3. మూడవ పంక్తిలో, మొదటి మూలకం పరివర్తనలకు ముందు ఉంటుంది, కాబట్టి మీరు దేనినీ తాకవలసిన అవసరం లేదు, మీరు దానిని అలాగే వదిలివేయాలి. నాల్గవ పంక్తి: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

మొదటి వరుసలోని మూలకాలను వాటి ప్రతి గుణకం ద్వారా గుణించడం ద్వారా మరియు వాటిని అవసరమైన అడ్డు వరుసలకు జోడించడం ద్వారా, మేము ఈ క్రింది ఫారమ్ యొక్క మాతృకను పొందుతాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ వరుసలు ఒకదానికొకటి అనులోమానుపాతంలో ఉండే అంశాలను కలిగి ఉంటాయి. రెండవ మరియు నాల్గవ సాధారణంగా ఒకేలా ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకటి తక్షణమే తీసివేయబడుతుంది మరియు మిగిలిన ఒక గుణకం "-1" ద్వారా గుణించబడుతుంది మరియు లైన్ సంఖ్య 3ని పొందవచ్చు. మరియు మళ్లీ, రెండు సారూప్య పంక్తులలో, ఒకదాన్ని వదిలివేయండి.

ఫలితం ఇలాంటి మాతృక. సిస్టమ్ ఇంకా వ్రాయబడనప్పటికీ, ఇక్కడ ప్రాథమిక వేరియబుల్‌లను గుర్తించడం అవసరం - కోఎఫీషియంట్స్ వద్ద నిలబడి ఉన్నవి a 11 = 1 మరియు a 22 = 1, మరియు ఉచిత వాటిని - మిగిలినవి.

రెండవ సమీకరణంలో ఒక ప్రాథమిక వేరియబుల్ మాత్రమే ఉంది - x 2. దీనర్థం x 3 , x 4 , x 5 , వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్రాయడం ద్వారా దానిని అక్కడ నుండి వ్యక్తీకరించవచ్చు.

మేము ఫలిత వ్యక్తీకరణను మొదటి సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.

ఫలితం ఒక సమీకరణం, దీనిలో ప్రాథమిక వేరియబుల్ x 1 మాత్రమే. దీనితో x 2తో కూడా చేద్దాం.

అన్ని ప్రాథమిక వేరియబుల్స్, వీటిలో రెండు ఉన్నాయి, మూడు ఉచిత వాటి పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి; ఇప్పుడు మనం సమాధానాన్ని సాధారణ రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

మీరు సిస్టమ్ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాలలో ఒకదానిని కూడా పేర్కొనవచ్చు. అటువంటి సందర్భాలలో, సున్నాలు సాధారణంగా ఉచిత వేరియబుల్స్ కోసం విలువలుగా ఎంపిక చేయబడతాయి. అప్పుడు సమాధానం ఇలా ఉంటుంది:

16, 23, 0, 0, 0.

సహకారేతర వ్యవస్థకు ఉదాహరణ

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల అననుకూల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అత్యంత వేగవంతమైనది. ఇది ఒక దశలో పరిష్కారం లేని సమీకరణాన్ని పొందిన వెంటనే ముగుస్తుంది. అంటే, చాలా పొడవుగా మరియు దుర్భరమైన మూలాలను లెక్కించే దశ తొలగించబడుతుంది. కింది వ్యవస్థ పరిగణించబడుతుంది:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ఎప్పటిలాగే, మాతృక సంకలనం చేయబడింది:

మరియు అది స్టెప్‌వైస్ ఫారమ్‌కి తగ్గించబడింది:

k 1 = -2k 2 = -4

మొదటి రూపాంతరం తర్వాత, మూడవ పంక్తి రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది

పరిష్కారం లేకుండా. పర్యవసానంగా, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది మరియు సమాధానం ఖాళీ సెట్ అవుతుంది.

పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు మరియు అప్రయోజనాలు

మీరు పెన్నుతో కాగితంపై SLAEలను పరిష్కరించే పద్ధతిని ఎంచుకుంటే, ఈ వ్యాసంలో చర్చించబడిన పద్ధతి అత్యంత ఆకర్షణీయంగా కనిపిస్తుంది. మీరు నిర్ణాయకం లేదా కొన్ని గమ్మత్తైన విలోమ మాతృక కోసం మాన్యువల్‌గా శోధించాల్సిన అవసరం కంటే ప్రాథమిక పరివర్తనలలో గందరగోళం చెందడం చాలా కష్టం. అయితే, మీరు ఈ రకమైన డేటాతో పని చేయడానికి ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగిస్తే, ఉదాహరణకు, స్ప్రెడ్‌షీట్‌లు, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లు ఇప్పటికే మాత్రికల యొక్క ప్రధాన పారామితులను లెక్కించడానికి అల్గోరిథంలను కలిగి ఉన్నాయని తేలింది - డిటర్మినెంట్, మైనర్లు, విలోమం మరియు మొదలైనవి. మరియు యంత్రం ఈ విలువలను స్వయంగా లెక్కిస్తుందని మరియు తప్పులు చేయదని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే, మాతృక పద్ధతి లేదా క్రామర్ సూత్రాలను ఉపయోగించడం మంచిది, ఎందుకంటే వాటి అప్లికేషన్ డిటర్మినేట్‌లు మరియు విలోమ మాత్రికల గణనతో ప్రారంభమవుతుంది మరియు ముగుస్తుంది. .

అప్లికేషన్

గాస్సియన్ పరిష్కారం ఒక అల్గోరిథం మరియు మాతృక నిజానికి ద్విమితీయ శ్రేణి కాబట్టి, దీనిని ప్రోగ్రామింగ్‌లో ఉపయోగించవచ్చు. కానీ వ్యాసం "డమ్మీస్ కోసం" గైడ్‌గా ఉన్నందున, పద్ధతిని ఉంచడానికి సులభమైన ప్రదేశం స్ప్రెడ్‌షీట్‌లు అని చెప్పాలి, ఉదాహరణకు, ఎక్సెల్. మళ్ళీ, ఏదైనా SLAE మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో పట్టికలోకి ప్రవేశించినట్లయితే, Excel ద్వారా ద్విమితీయ శ్రేణిగా పరిగణించబడుతుంది. మరియు వాటితో కార్యకలాపాల కోసం చాలా మంచి ఆదేశాలు ఉన్నాయి: అదనంగా (మీరు ఒకే పరిమాణంలోని మాత్రికలను మాత్రమే జోడించగలరు!), సంఖ్యతో గుణించడం, మాత్రికల గుణకారం (కొన్ని పరిమితులతో కూడా), విలోమ మరియు బదిలీ చేయబడిన మాత్రికలను కనుగొనడం మరియు, ముఖ్యంగా , డిటర్మినెంట్‌ను గణించడం. ఈ సమయం తీసుకునే పనిని ఒకే ఆదేశంతో భర్తీ చేస్తే, మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను చాలా త్వరగా నిర్ణయించడం సాధ్యమవుతుంది మరియు అందువల్ల, దాని అనుకూలత లేదా అననుకూలతను ఏర్పరుస్తుంది.