Ano ang volume ng triangular pyramid. Paano mahahanap ang dami ng isang pyramid

Teorama.

Ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base at taas..

Patunay:

1. Isaalang-alang ang isang tatsulok na pyramidOABCmay volume V, base areaS at taas h. Gumuhit ng isang axis ay (OM2- taas), isaalang-alang ang seksyonA1 B1 C1mga pyramid na may isang eroplanong patayo sa axisohat, samakatuwid, parallel sa eroplano ng base. Tukuyin sa pamamagitan ngX punto ng abscissa M1 intersection ng eroplanong ito sa x-axis, at sa pamamagitan ngS(x)- cross-sectional area. Express S(x) sa pamamagitan ng S, h at X. Tandaan na ang mga tatsulok A1 AT1 MULA SA1 at Ang ABC ay magkatulad. Talagang A1 AT1 II AB, kaya tatsulok OA 1 AT 1 katulad ng tatsulok na OAB. MULA SA dahil dito, PERO1 AT1 : PEROB= OA 1: OA .

kanang tatsulok OA 1 AT 1 at OAB ay magkatulad din (mayroon silang karaniwang talamak na anggulo na may vertex O). Kaya naman, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Sa ganitong paraan PERO 1 AT 1 : A B = x: h.Katulad nito, ito ay pinatunayan naB1 C1:araw = X: h at A1 C1:AC = X: h.Kaya ang tatsulokA1 B1 C1 at ABCkatulad ng coefficient of similarity X: h.Samakatuwid, S(x): S = (x: h)², o S(x) = S x²/ h².

Ilapat natin ngayon ang pangunahing pormula para sa pagkalkula ng mga volume ng katawan saa= 0, b=h nakukuha namin

Kaya, ang dami ng orihinal na pyramid ay 1/3Sh. Ang teorama ay napatunayan.

Bunga:

Volume V ng isang pinutol na pyramid na may taas na h at mga base na lugar S at S1 , ay kinakalkula ng formula

h - ang taas ng pyramid

S tuktok - lugar ng itaas na base

S mas mababa - lugar ng mas mababang base

Dito ay susuriin natin ang mga halimbawa na may kaugnayan sa konsepto ng volume. Upang malutas ang mga naturang gawain, dapat mong malaman ang formula para sa dami ng pyramid:

S

h - ang taas ng pyramid

Ang base ay maaaring maging anumang polygon. Ngunit sa karamihan ng mga gawain sa pagsusulit, ang kundisyon, bilang panuntunan, ay tungkol sa tamang mga pyramids. Hayaan akong ipaalala sa iyo ang isa sa mga katangian nito:

Ang tuktok ng isang regular na pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base nito

Tingnan ang projection ng regular na triangular, quadrangular at hexagonal pyramids (TOP VIEW):

Maaari mong sa blog, kung saan ang mga gawain na may kaugnayan sa paghahanap ng dami ng pyramid ay hinarap.Isaalang-alang ang mga gawain:

27087. Hanapin ang volume ng isang regular na triangular na pyramid na ang base na gilid ay katumbas ng 1 at ang taas ay katumbas ng ugat ng tatlo.

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Hanapin ang lugar ng base ng pyramid, ito ay isang regular na tatsulok. Ginagamit namin ang formula - ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang:

Sagot: 0.25

27088. Hanapin ang taas ng isang regular na triangular na pyramid na may base na gilid na katumbas ng 2 at volume na katumbas ng ugat ng tatlo.

Ang mga konsepto tulad ng taas ng pyramid at ang mga katangian ng base nito ay nauugnay sa formula ng volume:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Alam namin ang lakas ng tunog mismo, maaari naming mahanap ang lugar ng base, dahil ang mga gilid ng tatsulok, na kung saan ay ang base, ay kilala. Ang pag-alam sa mga halagang ito, madali nating mahahanap ang taas.

Upang mahanap ang lugar ng base, ginagamit namin ang formula - ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang:

Kaya, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa formula ng volume, maaari nating kalkulahin ang taas ng pyramid:

Tatlo ang taas.

Sagot: 3

27109. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang taas ay 6, ang gilid na gilid ay 10. Hanapin ang volume nito.

Ang dami ng pyramid ay kinakalkula ng formula:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Alam namin ang taas. Kailangan mong hanapin ang lugar ng base. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang tuktok ng isang regular na pyramid ay naka-project sa gitna ng base nito. Ang base ng isang regular na quadrangular pyramid ay isang parisukat. Mahahanap natin ang dayagonal nito. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok (naka-highlight sa asul):

Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng parisukat na may punto B ay isang binti, na katumbas ng kalahati ng dayagonal ng parisukat. Maaari nating kalkulahin ang leg na ito gamit ang Pythagorean theorem:

Kaya BD = 16. Kalkulahin ang lugar ng parisukat gamit ang quadrilateral area formula:

Dahil dito:

Kaya, ang dami ng pyramid ay:

Sagot: 256

27178. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang taas ay 12, ang volume ay 200. Hanapin ang gilid na gilid ng pyramid na ito.

Ang taas ng pyramid at ang dami nito ay kilala, upang mahanap natin ang lugar ng parisukat, na siyang base. Alam ang lugar ng isang parisukat, mahahanap natin ang dayagonal nito. Dagdag pa, sa pagsasaalang-alang ng isang right-angled triangle, gamit ang Pythagorean theorem, kinakalkula namin ang gilid ng gilid:

Hanapin ang lugar ng parisukat (ang base ng pyramid):

Kalkulahin ang dayagonal ng parisukat. Dahil ang lugar nito ay 50, kung gayon ang gilid ay magiging katumbas ng ugat ng limampu, at ayon sa Pythagorean theorem:

Hinahati ng puntong O ang dayagonal na BD sa kalahati, kaya ang binti ng tamang tatsulok OB = 5.

Kaya, maaari nating kalkulahin kung ano ang katumbas ng gilid na gilid ng pyramid:

Sagot: 13

245353. Hanapin ang volume ng pyramid na ipinapakita sa figure. Ang base nito ay isang polygon na ang mga katabing gilid ay patayo, at ang isa sa mga gilid ng gilid ay patayo sa eroplano ng base at katumbas ng 3.

Tulad ng paulit-ulit na sinabi - ang dami ng pyramid ay kinakalkula ng formula:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Ang gilid ng gilid patayo sa base ay tatlo, na nangangahulugan na ang taas ng pyramid ay tatlo. Ang base ng pyramid ay isang polygon na ang lugar ay:

Sa ganitong paraan:

Sagot: 27

27086. Ang base ng pyramid ay isang parihaba na may mga gilid 3 at 4. Ang volume nito ay 16. Hanapin ang taas ng pyramid na ito.

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga Layunin ng Aralin.

Pang-edukasyon: Kumuha ng formula para sa pagkalkula ng volume ng isang pyramid

Pagbuo: upang bumuo ng nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral sa mga akademikong disiplina, ang kakayahang magamit ang kanilang kaalaman sa pagsasanay.

Pang-edukasyon: upang linangin ang atensyon, katumpakan, upang palawakin ang abot-tanaw ng mga mag-aaral.

Kagamitan at materyales: computer, screen, projector, presentasyon na "Volume of the pyramid".

1. Pangharap na survey. Mga slide 2, 3

Ano ang tinatawag na pyramid, ang base ng pyramid, ribs, height, axis, apothem. Aling pyramid ang tinatawag na regular, tetrahedron, truncated pyramid?

Pyramid - isang polyhedron na binubuo ng isang patag polygon, puntos, hindi nakahiga sa eroplano ng polygon na ito at lahat ng mga segment, pagkonekta sa puntong ito sa mga punto ng polygon.

Ang puntong ito tinawag summit pyramid, at isang flat polygon ang base ng pyramid. Mga segment, na nagkokonekta sa tuktok ng pyramid sa tuktok ng base, ay tinatawag tadyang . taas mga piramide - patayo, ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Apothem - taas ng gilid ng gilid tamang pyramid. Ang pyramid, na sa base tama ang kasinungalingan n-gon, a base ng taas sumasabay sa sentro ng pundasyon tinawag tama n-gonal pyramid. aksis Ang isang regular na pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito. Ang regular na triangular na pyramid ay tinatawag na tetrahedron. Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplanong parallel sa eroplano ng base, pagkatapos ay puputulin nito ang pyramid, katulad binigay. Ang natitira ay tinatawag pinutol na pyramid.

2. Derivation ng formula para sa pagkalkula ng volume ng pyramid V=SH/3 Slides 4, 5, 6

1. Hayaang ang SABC ay isang triangular na pyramid na may vertex S at batayang ABC.

2. Kumpletuhin ang pyramid na ito sa isang tatsulok na prism na may parehong base at taas.

3. Ang prisma na ito ay binubuo ng tatlong pyramids:

1) itong pyramid SABC.

2) mga piramide SCC 1 B 1 .

3) at mga pyramids SCBB 1 .

4. Ang pangalawa at pangatlong pyramids ay may pantay na base CC 1 B 1 at B 1 BC at ang kabuuang taas na iginuhit mula sa vertex S hanggang sa mukha ng parallelogram na BB 1 C 1 C. Samakatuwid, mayroon silang pantay na volume.

5. Ang una at pangatlong pyramids ay mayroon ding pantay na mga base SAB at BB 1 S at magkatulad na taas na iginuhit mula sa vertex C hanggang sa mukha ng parallelogram ABB 1 S. Samakatuwid, mayroon din silang pantay na volume.

Nangangahulugan ito na ang lahat ng tatlong pyramid ay may parehong volume. Dahil ang kabuuan ng mga volume na ito ay katumbas ng volume ng prism, ang mga volume ng mga pyramids ay katumbas ng SH/3.

Ang volume ng anumang triangular pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng base area na pinarami ng taas.

3. Pagsasama-sama ng bagong materyal. Solusyon ng mga pagsasanay.

1) Gawain № 33 mula sa aklat-aralin A.N. Pogorelov. Slide 7, 8, 9

Sa gilid ng base? at gilid ng gilid b hanapin ang volume ng isang regular na pyramid, sa base nito ay:

1) tatsulok,

2) may apat na gilid,

3) heksagono.

Sa isang regular na pyramid, ang taas ay dumadaan sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base. Pagkatapos: (Apendise)

4. Makasaysayang impormasyon tungkol sa mga pyramids. Mga slide 15, 16, 17

Ang una sa aming mga kontemporaryo na nagtatag ng isang bilang ng mga hindi pangkaraniwang phenomena na nauugnay sa pyramid ay ang Pranses na siyentipiko na si Antoine Bovy. Sa paggalugad sa pyramid ng Cheops noong 30s ng ikadalawampu siglo, natuklasan niya na ang mga katawan ng maliliit na hayop na aksidenteng nakapasok sa royal room ay mummified. Ipinaliwanag ni Bovi ang dahilan nito para sa kanyang sarili sa pamamagitan ng hugis ng pyramid at, tulad ng nangyari, ay hindi nagkamali. Ang kanyang mga gawa ay naging batayan ng modernong pananaliksik, bilang isang resulta kung saan, sa nakalipas na 20 taon, maraming mga libro at publikasyon ang lumitaw na nagpapatunay na ang enerhiya ng mga pyramids ay maaaring maging praktikal na kahalagahan.

Misteryo ng Pyramids

Ang ilang mga mananaliksik ay nagtalo na ang pyramid ay naglalaman ng isang malaking halaga ng impormasyon tungkol sa istraktura ng Uniberso, ang solar system at tao, na naka-encode sa kanyang geometric na anyo, o sa halip, sa anyo ng isang octahedron, kalahati nito ay ang pyramid. Ang Pyramid top up ay sumisimbolo sa buhay, itaas pababa - kamatayan, ang kabilang mundo. Tulad ng mga bahagi ng Bituin ni David (Magen David), kung saan ang tatsulok na nakadirekta paitaas ay sumisimbolo sa pag-akyat sa Mas Mataas na Isip, Diyos, at ang tatsulok, na ibinaba kasama ang tuktok pababa, ay sumisimbolo sa pagbaba ng kaluluwa sa Earth, materyal na pag-iral. ...

Ang digital na halaga ng code kung saan ang impormasyon tungkol sa Uniberso ay naka-encrypt sa pyramid, ang numerong 365, ay hindi pinili ng pagkakataon. Una sa lahat, ito ang taunang siklo ng buhay ng ating planeta. Bilang karagdagan, ang bilang na 365 ay binubuo ng tatlong numero 3, 6 at 5. Ano ang ibig sabihin ng mga ito? Kung sa solar system ang Araw ay pumasa sa numero 1, Mercury - 2, Venus - 3, Earth - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptune - 9, Pluto - 10, pagkatapos ay 3 ay Venus, 6 - Jupiter at 5 - Mars. Samakatuwid, ang Earth ay konektado sa isang espesyal na paraan sa mga planeta. Ang pagdaragdag ng mga numero 3, 6 at 5, makakakuha tayo ng 14, kung saan ang 1 ay ang Araw, at ang 4 ay ang Earth.

Ang numero 14 sa pangkalahatan ay may pandaigdigang kahalagahan: ang istraktura ng mga kamay ng tao, sa partikular, ay batay dito, ang kabuuang bilang ng mga phalanges ng mga daliri ng bawat isa ay 14 din. Ang code na ito ay nauugnay din sa konstelasyon na Ursa Major, na kinabibilangan ng ating Araw, at kung saan ito ay dating isa pang bituin na sumira sa Phaeton, isang planeta na matatagpuan sa pagitan ng Mars at Jupiter, pagkatapos ay lumitaw si Pluto sa solar system, at nagbago ang mga katangian ng iba pang mga planeta.

Sinasabi ng maraming esoteric na mapagkukunan na ang sangkatauhan ng Earth ay nakaranas na ng isang sakuna sa buong mundo nang apat na beses. Alam ng ikatlong lahi ng Lemurian ang Banal na agham ng Uniberso, pagkatapos ang lihim na doktrinang ito ay ipinadala lamang sa mga nagsisimula. Sa simula ng mga cycle at kalahating cycle ng sidereal year, itinayo nila ang mga pyramids. Malapit na nilang matuklasan ang code ng buhay. Ang sibilisasyon ng Atlantis ay nagtagumpay sa maraming bagay, ngunit sa ilang antas ng kaalaman ay napigilan sila ng isa pang sakuna sa planeta, na sinamahan ng pagbabago ng mga lahi. Malamang, gustong iparating sa atin ng mga nagpasimula na ang kaalaman sa mga batas sa kosmiko ay nakapaloob sa mga pyramids...

Ang mga espesyal na aparato sa anyo ng mga pyramids ay neutralisahin ang negatibong electromagnetic radiation sa isang tao mula sa isang computer, TV, refrigerator at iba pang mga gamit sa bahay.

Sa isa sa mga libro, ang isang kaso ay inilarawan kapag ang isang pyramid na naka-install sa loob ng kotse ay nagbawas ng pagkonsumo ng gasolina at nabawasan ang nilalaman ng CO sa mga gas na tambutso.

Ang mga buto ng mga pananim sa hardin na may edad sa mga pyramids ay may mas mahusay na pagtubo at ani. Inirerekomenda pa ng mga publikasyon na ibabad ang mga buto bago itanim sa pyramidal water.

Napag-alaman na ang mga pyramids ay may kapaki-pakinabang na epekto sa ekolohikal na sitwasyon. Tanggalin ang mga pathogenic zone sa mga apartment, opisina at suburban area, na lumilikha ng positibong aura.

Ang Dutch researcher na si Paul Dickens sa kanyang aklat ay nagbibigay ng mga halimbawa ng mga katangian ng pagpapagaling ng mga pyramids. Napansin niya na maaari itong magamit upang mapawi ang pananakit ng ulo, pananakit ng kasukasuan, itigil ang pagdurugo na may maliliit na hiwa, at ang enerhiya ng mga pyramids ay nagpapasigla sa metabolismo at nagpapalakas ng immune system.

Sa ilang modernong publikasyon, nabanggit na ang mga gamot na nakatago sa pyramid ay nagpapaikli sa kurso ng paggamot, at ang dressing material, na puspos ng positibong enerhiya, ay nagtataguyod ng pagpapagaling ng sugat.

Ang mga kosmetikong cream at ointment ay nagpapabuti sa kanilang epekto.

Ang mga inumin, kabilang ang alkohol, ay nagpapabuti sa kanilang panlasa, at ang tubig na nakapaloob sa 40% vodka ay nagiging nakapagpapagaling. Totoo, upang singilin ang isang karaniwang 0.5 litro na bote na may positibong enerhiya, kailangan mo ng isang mataas na pyramid.

Sinasabi ng isang artikulo sa pahayagan na kung mag-iimbak ka ng mga alahas sa ilalim ng isang pyramid, sila ay naglilinis ng sarili at nakakakuha ng isang espesyal na kinang, habang ang mga mahalagang at semi-mahalagang mga bato ay nag-iipon ng positibong bioenergy at pagkatapos ay unti-unting ibibigay ito.

Ayon sa mga Amerikanong siyentipiko, ang mga produktong pagkain, tulad ng mga cereal, harina, asin, asukal, kape, tsaa, pagkatapos na nasa pyramid, ay nagpapabuti sa kanilang panlasa, at ang murang sigarilyo ay nagiging katulad ng kanilang marangal na katapat.

Maaaring hindi ito nauugnay para sa marami, ngunit ang mga lumang razor blades ay nagpapatalas sa sarili sa isang maliit na pyramid, at ang tubig ay hindi nagyeyelo sa isang malaking pyramid sa -40 degrees Celsius.

Ayon sa karamihan ng mga mananaliksik, ang lahat ng ito ay patunay ng pagkakaroon ng enerhiya ng mga pyramids.

Sa loob ng 5000 taon ng pagkakaroon nito, ang mga pyramid ay naging isang uri ng simbolo na nagpapakilala sa pagnanais ng tao na maabot ang tugatog ng kaalaman.

5. Pagbubuod ng aralin.

Bibliograpiya.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, publishing house na "Enlightenment".

3) Encyclopedia "Tree of Knowledge" Marshall K.

Upang mahanap ang dami ng isang pyramid, kailangan mong malaman ang ilang mga formula. Isaalang-alang natin sila.

Paano mahahanap ang dami ng isang pyramid - 1st way

Ang dami ng isang pyramid ay matatagpuan gamit ang taas at lugar ng base nito. V = 1/3*S*h. Kaya, halimbawa, kung ang taas ng pyramid ay 10 cm, at ang lugar ng base nito ay 25 cm 2, kung gayon ang dami ay magiging katumbas ng V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83.3 cm 3

Paano mahahanap ang dami ng isang pyramid - 2nd method

Kung ang isang regular na polygon ay namamalagi sa base ng pyramid, kung gayon ang dami nito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), kung saan ang a ay ang gilid ng polygon na nakahiga sa base, at n ang bilang ng mga gilid nito. Halimbawa: Ang base ay isang regular na heksagono, iyon ay, n = 6. Dahil ito ay regular, lahat ng panig nito ay pantay, iyon ay, lahat ng a ay pantay. Sabihin nating a = 10 at h - 15. Ipinasok namin ang mga numero sa formula at nakakuha kami ng tinatayang sagot - 1299 cm 3

Paano mahahanap ang dami ng isang pyramid - ika-3 paraan

Kung ang isang equilateral triangle ay nasa base ng pyramid, kung gayon ang volume nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula: V = ha 2 /4√3, kung saan ang a ay ang gilid ng equilateral triangle. Halimbawa: ang taas ng pyramid ay 10 cm, ang gilid ng base ay 5 cm. Ang dami ay magiging katumbas ng V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Karaniwan, kung ano ang nangyari sa ang denominator ay hindi kinakalkula at iniiwan sa parehong anyo. Maaari mo ring i-multiply ang numerator at denominator sa 4√3 upang makakuha ng 1000√3/48. Ang pagbabawas ay makakakuha tayo ng 125√ 3/6 cm 3.

Paano mahahanap ang dami ng isang pyramid - ika-4 na paraan

Kung ang isang parisukat ay nasa base ng pyramid, kung gayon ang dami nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula: V = 1/3*h*a 2, kung saan ang a ay ang mga gilid ng parisukat. Halimbawa: taas - 5 cm, gilid ng parisukat - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Paano mahanap ang dami ng isang pyramid - ika-5 paraan

Kung ang pyramid ay isang tetrahedron, iyon ay, ang lahat ng mga mukha nito ay equilateral triangles, maaari mong mahanap ang volume ng pyramid gamit ang sumusunod na formula: V = a 3 √2/12, kung saan ang a ay isang gilid ng tetrahedron. Halimbawa: tetrahedron edge \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3