Ano ang anggulo sa pagitan ng mga vectors. Tuldok na produkto ng mga vector

Anggulo sa pagitan ng dalawang vectors , :

Kung ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay talamak, kung gayon ang kanilang tuldok na produkto ay positibo; kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay mahina, kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay negatibo. Ang scalar product ng dalawang non-zero vectors ay zero kung at kung orthogonal lang ang mga vector na ito.

Mag-ehersisyo. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at

Solusyon. Cosine ng nais na anggulo

16. Pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, isang tuwid na linya at isang eroplano

Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano Ang intersecting sa linyang ito at hindi patayo dito ay ang anggulo sa pagitan ng linya at ang projection nito papunta sa eroplanong ito.

Ang pagtukoy sa anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya: ang linya mismo at ang projection nito papunta sa eroplano. Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay isang matinding anggulo.

Ang anggulo sa pagitan ng isang patayo na linya at isang eroplano ay itinuturing na pantay, at ang anggulo sa pagitan ng isang parallel na linya at isang eroplano ay alinman sa hindi natukoy, o itinuturing na katumbas ng .

§ 69. Pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya.

Ang problema sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa espasyo ay nalutas sa parehong paraan tulad ng sa eroplano (§ 32). Tukuyin sa pamamagitan ng φ ang anggulo sa pagitan ng mga linya l 1 at l 2 , at sa pamamagitan ng ψ - ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon a at b itong mga tuwid na linya.

Tapos kung

ψ 90° (Larawan 206.6), pagkatapos ay φ = 180° - ψ. Malinaw na sa parehong mga kaso ang pagkakapantay-pantay cos φ = |cos ψ| ay totoo. Sa pamamagitan ng formula (1) § 20 mayroon tayo

Dahil dito,

Hayaang ibigay ang mga linya sa pamamagitan ng kanilang mga canonical equation

Pagkatapos ang anggulo φ sa pagitan ng mga linya ay tinutukoy gamit ang formula

Kung ang isa sa mga linya (o pareho) ay ibinibigay ng mga di-canonical na equation, pagkatapos ay upang makalkula ang anggulo, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga linyang ito, at pagkatapos ay gumamit ng formula (1).

17. Parallel lines, Theorems sa parallel lines

Kahulugan. Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel kung wala silang common points.

Dalawang linya sa tatlong dimensyon ang tinatawag parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector.

Mula sa kahulugan ng produkto ng tuldok:

Kondisyon ng orthogonality ng dalawang vectors:

Kondisyon ng collinearity para sa dalawang vectors:

Sumusunod mula sa kahulugan 5 - . Sa katunayan, mula sa kahulugan ng produkto ng isang vector sa pamamagitan ng isang numero, ito ay sumusunod. Samakatuwid, batay sa panuntunan ng pagkakapantay-pantay ng vector, isinusulat namin ang , , , na nagpapahiwatig . Ngunit ang vector na nagreresulta mula sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero ay collinear sa vector.

Vector-to-vector projection:

Halimbawa 4. Binigyan ng puntos , , , .

Hanapin ang scalar product.

Solusyon. nakikita natin sa pamamagitan ng formula ng scalar product ng mga vectors na ibinigay ng kanilang mga coordinate. Dahil ang

, ,

Halimbawa 5 Binigyan ng puntos , , , .

Maghanap ng projection.

Solusyon. Dahil ang

, ,

Batay sa formula ng projection, mayroon kami

Halimbawa 6 Binigyan ng puntos , , , .

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at .

Solusyon. Tandaan na ang mga vectors

, ,

ay hindi collinear, dahil ang kanilang mga coordinate ay hindi proporsyonal:

Ang mga vector na ito ay hindi rin patayo, dahil ang kanilang tuldok na produkto ay .

Hanapin natin,

Sulok hanapin mula sa formula:

Halimbawa 7 Tukuyin kung aling mga vector at collinear.

Solusyon. Sa kaso ng collinearity, ang kaukulang mga coordinate ng mga vectors at dapat ay proporsyonal, iyon ay:

Mula rito at .

Halimbawa 8. Tukuyin kung anong halaga ng vector at ay patayo.

Solusyon. Vector at patayo kung ang kanilang dot product ay zero. Mula sa kundisyong ito nakukuha natin ang: . Yan ay, .

Halimbawa 9. Hanapin , kung , , .

Solusyon. Dahil sa mga katangian ng scalar product, mayroon kaming:

Halimbawa 10. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kung saan at - unit vectors at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at katumbas ng 120o.

Solusyon. Meron kami: , ,

Sa wakas mayroon kaming: .

5 B. produkto ng vector.

Kahulugan 21.sining ng vector vector sa vector ay tinatawag na vector , o , tinukoy ng sumusunod na tatlong kundisyon:

1) Ang module ng vector ay , kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , i.e. .

Sinusunod nito na ang modulus ng isang cross product ay numerong katumbas ng lugar ng isang parallelogram na binuo sa mga vectors at bilang sa mga gilid.

2) Ang vector ay patayo sa bawat isa sa mga vector at ( ; ), i.e. patayo sa eroplano ng paralelogram na binuo sa mga vectors at .

3) Ang vector ay nakadirekta upang kung titingnan mula sa dulo nito, ang pinakamaikling pagliko mula sa vector patungo sa vector ay magiging counterclockwise (vectors , , bubuo ng right triple).

Paano makalkula ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector?

Kapag nag-aaral ng geometry, maraming mga katanungan ang lumitaw sa paksa ng mga vector. Ang mag-aaral ay nakakaranas ng mga partikular na paghihirap kapag ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga anggulo sa pagitan ng mga vectors.

Pangunahing termino

Bago isaalang-alang ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector, kinakailangan na maging pamilyar sa kahulugan ng isang vector at ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng mga vector.

Ang vector ay isang segment na may direksyon, iyon ay, isang segment kung saan tinukoy ang simula at pagtatapos nito.

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector sa isang eroplano na may isang karaniwang pinagmulan ay ang mas maliit sa mga anggulo, kung saan kinakailangan na ilipat ang isa sa mga vector sa paligid ng isang karaniwang punto, sa isang posisyon kung saan ang kanilang mga direksyon ay nag-tutugma.

Formula ng Solusyon

Kapag naunawaan mo kung ano ang isang vector at kung paano tinutukoy ang anggulo nito, maaari mong kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector. Ang formula ng solusyon para dito ay medyo simple, at ang resulta ng aplikasyon nito ay ang halaga ng cosine ng anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay katumbas ng quotient ng scalar product ng mga vectors at ang produkto ng kanilang mga haba.

Ang scalar product ng mga vectors ay itinuturing na kabuuan ng mga kaukulang coordinate ng multiplier vectors na pinarami ng bawat isa. Ang haba ng isang vector, o ang modulus nito, ay kinakalkula bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito.

Ang pagkakaroon ng natanggap na halaga ng cosine ng anggulo, maaari mong kalkulahin ang halaga ng anggulo mismo gamit ang isang calculator o gamit ang isang trigonometric table.

Halimbawa

Matapos mong malaman kung paano kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ang solusyon sa kaukulang problema ay nagiging simple at diretso. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang simpleng problema sa paghahanap ng magnitude ng isang anggulo.

Una sa lahat, magiging mas maginhawa upang kalkulahin ang mga halaga ng mga haba ng mga vector at ang kanilang scalar na produkto na kinakailangan para sa paglutas. Gamit ang paglalarawan sa itaas, makakakuha tayo ng:

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa formula, kinakalkula namin ang halaga ng cosine ng nais na anggulo:

Ang numerong ito ay hindi isa sa limang karaniwang halaga ng cosine, kaya para makuha ang halaga ng anggulo, kakailanganin mong gumamit ng calculator o ang bradis trigonometric table. Ngunit bago makuha ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ang formula ay maaaring gawing simple upang maalis ang labis na negatibong tanda:

Ang huling sagot ay maaaring iwan sa form na ito upang mapanatili ang katumpakan, o maaari mong kalkulahin ang halaga ng anggulo sa mga degree. Ayon sa talahanayan ng Bradis, ang halaga nito ay humigit-kumulang 116 degrees at 70 minuto, at ang calculator ay magpapakita ng halaga na 116.57 degrees.

Pagkalkula ng anggulo sa n-dimensional na espasyo

Kung isasaalang-alang ang dalawang vector sa three-dimensional na espasyo, mas mahirap maunawaan kung aling anggulo ang pinag-uusapan natin kung hindi sila nakahiga sa parehong eroplano. Upang gawing simple ang pang-unawa, maaari kang gumuhit ng dalawang intersecting na mga segment na bumubuo sa pinakamaliit na anggulo sa pagitan ng mga ito, at ito ang magiging ninanais. Sa kabila ng pagkakaroon ng ikatlong coordinate sa vector, ang proseso kung paano kinakalkula ang mga anggulo sa pagitan ng mga vectors ay hindi magbabago. Kalkulahin ang scalar product at modules ng mga vectors, ang arccosine ng kanilang quotient at magiging sagot sa problemang ito.

Sa geometry, kadalasang nangyayari ang mga problema sa mga puwang na may higit sa tatlong dimensyon. Ngunit para sa kanila, ang algorithm para sa paghahanap ng sagot ay mukhang magkatulad.

Pagkakaiba sa pagitan ng 0 at 180 degrees

Ang isa sa mga karaniwang pagkakamali kapag nagsusulat ng isang sagot sa isang problema na idinisenyo upang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay ang desisyon na isulat na ang mga vector ay magkatulad, iyon ay, ang nais na anggulo ay naging 0 o 180 degrees. Ang sagot na ito ay mali.

Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang anggulo na halaga ng 0 degrees bilang isang resulta ng solusyon, ang tamang sagot ay ang pagtatalaga ng mga vectors bilang co-directional, iyon ay, ang mga vector ay magkakaroon ng parehong direksyon. Sa kaso ng pagkuha ng 180 degrees, ang mga vector ay nasa likas na katangian ng magkasalungat na direksyon.

Mga Tukoy na Vector

Sa pamamagitan ng paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga vector, ang isa sa mga espesyal na uri ay matatagpuan, bilang karagdagan sa mga co-directed at oppositely directed na inilarawan sa itaas.

Ang ilang mga vectors na kahanay sa isang eroplano ay tinatawag na coplanar.
Ang mga vector na magkapareho ang haba at direksyon ay tinatawag na pantay.
Ang mga vector na nakahiga sa parehong tuwid na linya, anuman ang direksyon, ay tinatawag na collinear.
Kung ang haba ng vector ay zero, iyon ay, ang simula at pagtatapos nito ay nag-tutugma, kung gayon ito ay tinatawag na zero, at kung ito ay isa, kung gayon ito ay tinatawag na isa.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector?

tulungan mo ako please! Alam ko ang formula pero hindi ko maisip
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ibinigay ng kanilang mga coordinate ay matatagpuan ayon sa karaniwang algorithm. Una kailangan mong hanapin ang scalar product ng mga vectors a at b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Pinapalitan namin dito ang mga coordinate ng mga vector na ito at isinasaalang-alang:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Susunod, tinutukoy namin ang mga haba ng bawat isa sa mga vectors. Ang haba o modulus ng isang vector ay ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:
|a| = ugat ng (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ugat ng (8^2 + 10^2 + 4^2) = ugat ng (64 + 100 + 16) = ugat ng 180 = 6 ugat ng 5
|b| = square root ng (x2^2 + y2^2 + z2^2) = square root ng (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = square root ng (25 + 400 + 100 ) = square root sa 525 = 5 roots sa 21.
Pinaparami namin ang mga haba na ito. Nakukuha namin ang 30 ugat sa 105.
At sa wakas, hinahati namin ang scalar product ng mga vector sa produkto ng mga haba ng mga vector na ito. Nakukuha namin ang -200 / (30 ugat sa 105) o
- (4 na ugat ng 105) / 63. Ito ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector. At ang anggulo mismo ay katumbas ng arc cosine ng numerong ito
f \u003d arccos (-4 na ugat ng 105) / 63.
Kung nagbilang ako ng tama.

Paano makalkula ang sine ng isang anggulo sa pagitan ng mga vector mula sa mga coordinate ng mga vector

Mikhail Tkachev

Pinaparami namin ang mga vector na ito. Ang kanilang tuldok na produkto ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.
Ang anggulo ay hindi alam sa amin, ngunit ang mga coordinate ay kilala.
Isulat natin ito sa matematika tulad nito.
Hayaan, ibinigay na mga vectors a(x1;y1) at b(x2;y2)
Pagkatapos

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Nagtatalo kami.
a*b-scalar na produkto ng mga vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate ng mga coordinate ng mga vector na ito, ibig sabihin, katumbas ng x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produkto ng mga haba ng vector ay katumbas ng √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Kaya ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ay:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Ang pag-alam sa cosine ng isang anggulo, maaari nating kalkulahin ang sine nito. Talakayin natin kung paano ito gagawin:

Kung ang cosine ng isang anggulo ay positibo, ang anggulong ito ay nasa 1 o 4 na quarters, kaya ang sine nito ay positibo o negatibo. Ngunit dahil ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay mas mababa sa o katumbas ng 180 degrees, kung gayon ang sine nito ay positibo. Pareho kaming nagtatalo kung negatibo ang cosine.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Iyon lang)))) good luck sa pag-uunawa nito)))

Dmitry Levishchev

Ang katotohanan na imposibleng direktang sine ay hindi totoo.
Bilang karagdagan sa formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Mayroon ding isang ito:
||=|a|*|b|*sin A
Iyon ay, sa halip na ang scalar na produkto, maaari mong kunin ang module ng produkto ng vector.

Tuldok na produkto ng mga vector

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Mga vector para sa mga dummies isinaalang-alang namin ang konsepto ng isang vector, mga operasyon na may mga vector, mga coordinate ng vector at ang pinakasimpleng mga problema sa mga vector. Kung dumating ka sa pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa isang search engine, lubos kong inirerekumenda na basahin ang panimulang artikulo sa itaas, dahil upang ma-assimilate ang materyal, kailangan mong magabayan sa mga termino at notasyon na ginagamit ko, magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vectors at kayang lutasin ang mga problema sa elementarya. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa loob nito ay susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain na gumagamit ng scalar product ng mga vectors. Ito ay isang NAPAKAMAHALAGANG trabaho.. Subukan na huwag laktawan ang mga halimbawa, ang mga ito ay sinamahan ng isang kapaki-pakinabang na bonus - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyo na pagsamahin ang materyal na sakop at "makuha ang iyong kamay" sa paglutas ng mga karaniwang problema ng analytical geometry.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero…. Ito ay magiging walang muwang isipin na ang mga mathematician ay hindi nakabuo ng ibang bagay. Bilang karagdagan sa mga aksyon na isinasaalang-alang na, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vector, katulad: tuldok na produkto ng mga vector, cross product ng mga vectors at pinaghalong produkto ng mga vector. Ang scalar na produkto ng mga vector ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, ang iba pang dalawang produkto ay tradisyonal na nauugnay sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay stereotyped at naiintindihan. Ang tanging bagay. Mayroong isang disenteng halaga ng impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang makabisado at malutas ang LAHAT AT SABAY. Ito ay totoo lalo na para sa mga dummies, maniwala ka sa akin, ang may-akda ay talagang hindi nais na makaramdam ng Chikatilo mula sa matematika. Well, hindi mula sa matematika, siyempre, alinman =) Ang mga mas handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyales nang pili, sa isang tiyak na kahulugan, "kunin" ang nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Count Dracula =)

Sa wakas, buksan natin ng kaunti ang pinto at tingnan kung ano ang mangyayari kapag nagtagpo ang dalawang vectors….

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.
Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

Ang konsepto ng produkto ng tuldok

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector. Sa tingin ko lahat ay intuitively nauunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ngunit kung sakali, kaunti pa. Isaalang-alang ang mga libreng nonzero vectors at . Kung ipagpaliban natin ang mga vector na ito mula sa isang di-makatwirang punto, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang larawan na marami na ang naipakita sa isip:

Aaminin ko, dito ko inilarawan ang sitwasyon sa antas lamang ng pang-unawa. Kung kailangan mo ng mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vector, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit para sa mga praktikal na gawain, sa prinsipyo, hindi namin ito kailangan. Gayundin DITO AT DAGDAG, minsan ay hindi ko papansinin ang mga zero vector dahil sa kanilang mababang praktikal na kahalagahan. Gumawa ako ng reserbasyon na partikular para sa mga advanced na bisita sa site, na maaaring sisihin ako para sa teoretikal na hindi kumpleto ng ilan sa mga sumusunod na pahayag.

maaaring tumagal ng mga halaga mula 0 hanggang 180 degrees (mula 0 hanggang radians) kasama. Analytically, ang katotohanang ito ay nakasulat bilang isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay:

(sa radians).

Sa panitikan, ang icon ng anggulo ay madalas na tinanggal at nakasulat lamang.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vector ay isang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Ngayon iyon ay isang medyo mahigpit na kahulugan.

Nakatuon kami sa mahahalagang impormasyon:

pagtatalaga: ang scalar product ay tinutukoy ng o simpleng .

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: I-multiply ang isang vector sa isang vector upang makakuha ng isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vector ay mga numero, ang cosine ng anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto magiging isang numero din.

Ilan lamang sa mga halimbawa ng warm-up:

Halimbawa 1

Solusyon: Ginagamit namin ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan. Inirerekomenda ko ang pag-print nito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tore at kakailanganin ng maraming beses.

Puro mula sa isang mathematical point of view, ang scalar product ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, ay isang numero lamang at iyon na. Mula sa punto ng view ng mga problema sa pisika, ang scalar na produkto ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, ang isa o isa pang pisikal na yunit ay dapat ipahiwatig. Ang canonical na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang formula ay eksaktong produkto ng tuldok). Ang gawain ng isang puwersa ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, ang sagot ay isusulat nang partikular, halimbawa,.

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay .

Ito ay isang halimbawa para sa pagpapasya sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Sa Halimbawa 1, naging positibo ang produktong scalar, at sa Halimbawa 2, naging negatibo ito. Alamin natin kung saan nakasalalay ang sign ng scalar product. Tingnan natin ang aming formula: . Ang mga haba ng mga di-zero na vector ay palaging positibo: , kaya ang tanda ay maaaring depende lamang sa halaga ng cosine.

Tandaan: Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, mas mahusay na pag-aralan ang cosine graph sa manwal Mga graph at katangian ng function. Tingnan kung paano kumikilos ang cosine sa segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay maaaring mag-iba sa loob , at posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung sulok sa pagitan ng mga vector maanghang: (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , at dot product ay magiging positibo co-directed, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang scalar na produkto ay magiging positibo din. Dahil ang , kung gayon ang formula ay pinasimple: .

2) Kung sulok sa pagitan ng mga vector bobo: (mula 90 hanggang 180 degrees), pagkatapos , at kaugnay nito, dot product ay negatibo: . Espesyal na kaso: kung ang mga vectors itinuro sa tapat, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila ipinakalat: (180 degrees). Ang scalar product ay negatibo rin, dahil

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

1) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vector ay codirectional.

2) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay malabo. Bilang kahalili, ang mga vector ay nakadirekta sa tapat.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung sulok sa pagitan ng mga vector tuwid: (90 degrees) pagkatapos at dot product ay zero: . Totoo rin ang kabaligtaran: kung , kung gayon . Ang compact na pahayag ay nabuo tulad ng sumusunod: Ang scalar product ng dalawang vectors ay zero kung at kung ang mga ibinigay na vectors ay orthogonal. Maikling notasyon sa matematika:

! Tandaan : ulitin pundasyon ng lohika ng matematika: Ang icon ng double-sided na lohikal na kinahinatnan ay karaniwang binabasa "kung at pagkatapos lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula dito ay sumusunod dito, at sa kabaligtaran - mula dito ay sumusunod dito." Ano nga pala, ang pagkakaiba sa icon ng one-way na follow ? Icon claims yun lang na "mula rito ay sumusunod dito", at hindi ang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: , ngunit hindi lahat ng hayop ay panther, kaya hindi magagamit ang icon sa kasong ito. Kasabay nito, sa halip na ang icon pwede gumamit ng one-sided na icon. Halimbawa, habang nilulutas ang problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vector ay orthogonal: - ang nasabing talaan ay magiging tama, at mas angkop pa kaysa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan., dahil pinapayagan ka nitong suriin kung ang mga vector ay orthogonal o hindi. Lutasin natin ang problemang ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-directed. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay zero, , at ang scalar product formula ay nasa anyong: .

Ano ang mangyayari kung ang isang vector ay pinarami ng sarili nito? Malinaw na ang vector ay nakadirekta sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang pinasimpleng formula sa itaas:

Tinatawag ang numero scalar square vector , at tinutukoy bilang .

Sa ganitong paraan, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, maaari kang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Habang tila malabo, ngunit ang mga gawain ng aralin ay maglalagay ng lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema, kailangan din natin mga katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga arbitrary na vector at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) - displaceable o commutative batas ng produkto ng scalar.

2) - pamamahagi o distributive batas ng produkto ng scalar. Sa madaling salita, maaari mong buksan ang mga panaklong.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay batas ng produkto ng scalar. Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa scalar na produkto.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng mga ari-arian (na kailangan ding patunayan!) Ay itinuturing ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangan lamang isaulo at ligtas na makalimutan kaagad pagkatapos ng pagsusulit. Mukhang kung ano ang mahalaga dito, alam na ng lahat mula sa unang baitang na ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga kadahilanan:. Dapat kong bigyan ng babala, sa mas mataas na matematika na may ganitong diskarte ay madaling guluhin ang mga bagay. Kaya, halimbawa, ang commutative property ay hindi wasto para sa algebraic matrices. Ito ay hindi totoo para sa cross product ng mga vectors. Samakatuwid, ito ay hindi bababa sa mas mahusay na bungkalin ang anumang mga katangian na iyong matugunan sa kurso ng mas mataas na matematika upang maunawaan kung ano ang maaari at hindi maaaring gawin.

Halimbawa 3

Solusyon: Una, linawin natin ang sitwasyon gamit ang vector. Ano ang lahat ng ito? Ang kabuuan ng mga vector at ay isang mahusay na tinukoy na vector, na tinutukoy ng . Ang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vector ay matatagpuan sa artikulo Mga vector para sa mga dummies. Ang parehong perehil na may vector ay ang kabuuan ng mga vector at .

Kaya, ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang scalar product. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang formula , ngunit ang problema ay hindi natin alam ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit sa kondisyon, ang mga katulad na mga parameter ay ibinibigay para sa mga vector, kaya pupunta tayo sa ibang paraan:

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, ang isang bulgar na twister ng dila ay matatagpuan sa artikulo Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng isang fractional-rational function. Hindi ko na uulitin =) By the way, the distributive property of the scalar product allow us to open the brackets. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling mga termino, isinulat namin ang mga scalar square ng mga vectors: . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang commutability ng scalar product: .

(4) Narito ang mga katulad na termino: .

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang scalar square formula, na binanggit hindi pa katagal. Sa huling termino, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong bagay ay gumagana: . Ang pangalawang termino ay pinalawak ayon sa karaniwang formula .

(6) Palitan ang mga kundisyong ito , at MABUTI na isagawa ang mga huling kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng tuldok ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo.

Ang gawain ay tipikal, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at , kung ito ay kilala na .

Ngayon ay isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula ng haba ng vector. Ang mga pagtatalaga dito ay magkakapatong ng kaunti, kaya para sa kalinawan, muling isusulat ko ito sa ibang titik:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Solusyon ay magiging ganito:

(1) Nagbibigay kami ng vector expression .

(2) Ginagamit namin ang formula ng haba: , habang mayroon kaming integer expression bilang vector na "ve".

(3) Ginagamit namin ang formula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Bigyang-pansin kung paano ito kakaibang gumagana dito: - sa katunayan, ito ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay gayon. Ang mga nagnanais ay maaaring muling ayusin ang mga vector sa mga lugar: - ito ay naging pareho hanggang sa muling pagsasaayos ng mga termino.

(4) Ang mga sumusunod ay pamilyar na sa dalawang nakaraang problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa scalar na produkto. Tingnan natin muli ang ating formula . Sa pamamagitan ng panuntunan ng proporsyon, i-reset namin ang mga haba ng mga vector sa denominator ng kaliwang bahagi:

Pagpalitin natin ang mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung ang mga haba ng dalawang vectors at ang kanilang scalar product ay kilala, kung gayon posible na kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito, at, dahil dito, ang anggulo mismo.

Ang scalar product ba ay isang numero? Numero. Mga numero ba ang haba ng vector? Numero. Kaya ang isang fraction ay isang numero din. At kung ang cosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang inverse function na madaling mahanap ang mismong anggulo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at , kung ito ay kilala na .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Sa huling yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang isang pamamaraan - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denominator. Upang maalis ang irrationality, pinarami ko ang numerator at denominator sa .

Kaya kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng inverse trigonometriko function ay matatagpuan sa pamamagitan ng trigonometriko talahanayan. Bagama't bihira itong mangyari. Sa mga problema ng analytical geometry, mas madalas na lumilitaw ang ilang clumsy na bear, at ang halaga ng anggulo ay kailangang hanapin nang humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa katunayan, muli at muli nating makikita ang larawang ito.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang tukuyin ang sukat - radian at degree. Sa personal, upang sadyang "alisin ang lahat ng mga katanungan", mas gusto kong ipahiwatig ang pareho (maliban kung, siyempre, ayon sa kondisyon, kinakailangan na ipakita ang sagot lamang sa mga radian o sa mga degree lamang).

Ngayon ay magagawa mong makayanan ang isang mas mahirap na gawain sa iyong sarili:

Halimbawa 7*

Ibinigay ang mga haba ng mga vectors, at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors , .

Ang gawain ay hindi gaanong mahirap bilang multi-way.
Suriin natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kaya kailangan mong gamitin ang formula .

2) Nahanap namin ang produktong scalar (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 5, 6).

4) Ang pagtatapos ng solusyon ay tumutugma sa Halimbawa No. 7 - alam natin ang numero , na nangangahulugang madaling mahanap ang mismong anggulo:

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng tuldok. Mga coordinate. Ito ay magiging mas madali kaysa sa unang bahagi.

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at kung

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dito maaari mong gamitin ang pagkakaugnay ng operasyon, iyon ay, huwag mabibilang, ngunit agad na kunin ang triple mula sa scalar na produkto at i-multiply ito sa huli. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa dulo ng talata, isang nakakapukaw na halimbawa ng pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Maghanap ng mga haba ng mga vector , kung

Solusyon: muli ang pamamaraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi mismo: ngunit may isa pang paraan:

Hanapin natin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang scalar na produkto ay hindi nauugnay dito sa lahat!

Gaano ito kahirap kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil ka. Bakit hindi samantalahin ang halatang haba ng pag-aari ng isang vector? Ano ang masasabi tungkol sa haba ng isang vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi mahalaga, dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero sa bawat haba ng vector:
- ang tanda ng module ay "kumakain" ng posibleng minus ng numero.

Sa ganitong paraan:

Sagot:

Ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ibinibigay ng mga coordinate

Ngayon ay mayroon na tayong kumpletong impormasyon upang ang dating nakuhang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ipahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate ng vector:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng eroplano at , ibinigay sa orthonormal na batayan , ay ipinahayag ng pormula:
.

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng espasyo, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Tatlong vertice ng isang tatsulok ang ibinigay. Hanapin (anggulo ng vertex ).

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon, ang pagguhit ay hindi kinakailangan, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng berdeng arko. Agad naming naaalala ang pagtatalaga ng paaralan ng anggulo: - espesyal na atensyon sa gitna letter - ito ang vertex ng anggulo na kailangan natin. Para sa maikli, maaari rin itong isulat nang simple.

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vector at , sa madaling salita: .

Ito ay kanais-nais na matutunan kung paano isagawa ang pagsusuri na isinagawa sa pag-iisip.

Hanapin natin ang mga vectors:

Kalkulahin natin ang scalar product:

At ang haba ng mga vectors:

Cosine ng isang anggulo:

Ito ang pagkakasunud-sunod ng gawain na inirerekumenda ko sa mga dummies. Maaaring isulat ng mas advanced na mga mambabasa ang mga kalkulasyon "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng cosine. Ang resultang halaga ay hindi pinal, kaya walang gaanong punto sa pag-alis ng irrationality sa denominator.

Hanapin natin ang anggulo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na makatwiran. Upang suriin ang anggulo ay maaari ding masukat sa isang protractor. Huwag sirain ang monitor coating =)

Sagot:

Sa sagot, huwag kalimutan iyon nagtanong tungkol sa anggulo ng tatsulok(at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: natagpuan gamit ang isang calculator.

Maaaring kalkulahin ng mga nasiyahan sa proseso ang mga anggulo, at tiyaking totoo ang canonical equality

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay ibinibigay sa espasyo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertice nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin

Ang isang maliit na huling seksyon ay ilalaan sa mga projection, kung saan ang scalar na produkto ay "kasangkot" din:

Projection ng isang vector papunta sa isang vector. Vector projection sa coordinate axes.
Mga cosine ng direksyon ng vector

Isaalang-alang ang mga vector at:

Ipinapalabas namin ang vector sa vector , para dito ay tinanggal namin mula sa simula at dulo ng vector patayo bawat vector (mga berdeng tuldok na linya). Isipin na ang mga sinag ng liwanag ay bumabagsak nang patayo sa isang vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay magiging "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng isang vector sa isang vector ay ang LENGTH ng segment. Ibig sabihin, PROJECTION IS A NUMBER.

Ang NUMBER na ito ay tinutukoy bilang sumusunod: , "malaking vector" ay tumutukoy sa isang vector ALING ANG proyekto, "maliit na subscript vector" ay tumutukoy sa vector SA na inaasahang.

Ang entry mismo ay nagbabasa ng ganito: "ang projection ng vector "a" papunta sa vector "be"".

Ano ang mangyayari kung ang vector na "be" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". At ang vector na "a" ay ipapakita na sa direksyon ng vector "be", simple - sa isang tuwid na linya na naglalaman ng vector na "be". Ang parehong bagay ay mangyayari kung ang vector "a" ay itabi sa ikatatlumpung kaharian - madali pa rin itong mai-project sa linya na naglalaman ng vector "be".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector maanghang(tulad ng nasa larawan), pagkatapos

Kung ang mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay ipinapalagay na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector bobo(sa figure, itak na muling ayusin ang arrow ng vector), pagkatapos (parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

Itabi ang mga vector na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag gumagalaw ang isang vector, ang projection nito ay hindi nagbabago

Pagtuturo

Hayaang ibigay ang dalawang nonzero vector sa eroplano, na naka-plot mula sa isang punto: vector A na may mga coordinate (x1, y1) B na may mga coordinate (x2, y2). Sulok sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy bilang θ. Upang mahanap ang sukat ng antas ng anggulo θ, kailangan mong gamitin ang kahulugan ng scalar product.

Ang scalar product ng dalawang di-zero na vector ay isang numero na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito, iyon ay, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Ngayon ay kailangan mong ipahayag ang cosine ng anggulo mula dito: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Ang produktong scalar ay maaari ding matagpuan gamit ang formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, dahil ang produkto ng dalawang di-zero na vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga vector. Kung ang scalar product ng mga di-zero na vector ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga vector ay patayo (ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 degrees) at ang mga karagdagang kalkulasyon ay maaaring tanggalin. Kung ang scalar product ng dalawang vector ay positibo, ang anggulo sa pagitan ng mga ito mga vector talamak, at kung negatibo, kung gayon ang anggulo ay malabo.

Ngayon kalkulahin ang mga haba ng vectors A at B gamit ang mga formula: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Ang haba ng isang vector ay kinakalkula bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito.

Palitan ang mga nahanap na halaga ng scalar product at ang haba ng mga vector sa formula para sa anggulo na nakuha sa hakbang 2, iyon ay, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Ngayon, alam ang halaga ng , upang mahanap ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan mga vector kailangan mong gamitin ang talahanayan ng Bradis o kunin mula dito: θ=arccos(cos(θ)).

Kung ang mga vectors A at B ay ibinigay sa tatlong-dimensional na espasyo at may mga coordinate (x1, y1, z1) at (x2, y2, z2), ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay isa pang coordinate ang idinagdag kapag hinahanap ang cosine ng anggulo. Sa kasong ito, cosine: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Kapaki-pakinabang na payo

Kung ang dalawang vector ay hindi naka-plot mula sa isang punto, pagkatapos ay upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga ito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin, kailangan mong pagsamahin ang mga simula ng mga vector na ito.
Ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay hindi maaaring lumampas sa 180 degrees.

Mga Pinagmulan:

kung paano kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector
Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano

Upang malutas ang maraming mga problema, parehong inilapat at teoretikal, sa pisika at linear algebra, kinakailangan upang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector. Ang tila simpleng gawaing ito ay maaaring magdulot ng maraming paghihirap kung hindi mo malinaw na nauunawaan ang kakanyahan ng scalar na produkto at kung anong halaga ang lalabas bilang resulta ng produktong ito.

Pagtuturo

Ang anggulo sa pagitan ng mga vector sa isang linear na espasyo ng vector ay ang pinakamababang anggulo sa , kung saan nakakamit ang codirection ng mga vector. Ang isa sa mga vector ay dinadala sa paligid ng panimulang punto nito. Mula sa kahulugan, nagiging malinaw na ang halaga ng anggulo ay hindi maaaring lumampas sa 180 degrees (tingnan ang hakbang).

Sa kasong ito, tama na ipinapalagay na sa isang linear na espasyo, kapag ang mga vectors ay inilipat nang kahanay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay hindi nagbabago. Samakatuwid, para sa analytical na pagkalkula ng anggulo, ang spatial na oryentasyon ng mga vector ay hindi mahalaga.

Ang resulta ng produkto ng tuldok ay isang numero, kung hindi man ay isang scalar. Tandaan (ito ay mahalagang malaman) upang maiwasan ang mga error sa karagdagang mga kalkulasyon. Ang formula para sa scalar na produkto, na matatagpuan sa isang eroplano o sa espasyo ng mga vectors, ay may anyo (tingnan ang figure para sa hakbang).

Kung ang mga vector ay matatagpuan sa espasyo, pagkatapos ay gawin ang pagkalkula sa katulad na paraan. Ang tanging bagay ay ang hitsura ng termino sa dibidendo - ito ang termino para sa applicate, i.e. ang ikatlong bahagi ng vector. Alinsunod dito, kapag kinakalkula ang module ng mga vectors, dapat ding isaalang-alang ang z component, pagkatapos para sa mga vector na matatagpuan sa espasyo, ang huling expression ay binago tulad ng sumusunod (tingnan ang Larawan 6 hanggang sa hakbang).

Ang vector ay isang line segment na may ibinigay na direksyon. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay may pisikal na kahulugan, halimbawa, kapag hinahanap ang haba ng projection ng isang vector sa isang axis.

Pagtuturo

Anggulo sa pagitan ng dalawang di-zero na vector gamit ang pagkalkula ng tuldok na produkto. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ay katumbas ng produkto ng mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa kabilang banda, ang panloob na produkto para sa dalawang vectors na may mga coordinate (x1; y1) at b na may mga coordinate (x2; y2) ay kinakalkula: ab = x1x2 + y1y2. Sa dalawang paraan na ito, ang produkto ng tuldok ay madaling i-anggulo sa pagitan ng mga vector.

Hanapin ang mga haba o module ng mga vector. Para sa aming mga vectors a at b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Hanapin ang panloob na produkto ng mga vector sa pamamagitan ng pagpaparami ng kanilang mga coordinate sa mga pares: ab = x1x2 + y1y2. Mula sa kahulugan ng tuldok na produkto ab = |a|*|b|*cos α, kung saan ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga vector. Pagkatapos ay makukuha natin na x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Pagkatapos ay cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Hanapin ang anggulo α gamit ang mga talahanayan ng Bradys.

Mga kaugnay na video

tala

Ang scalar product ay isang scalar na katangian ng mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Ang eroplano ay isa sa mga pangunahing konsepto sa geometry. Ang eroplano ay isang ibabaw kung saan totoo ang pahayag - anumang tuwid na linya na nagdudugtong sa dalawa sa mga punto nito ay ganap na kabilang sa ibabaw na ito. Ang mga eroplano ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang Griyego na α, β, γ, atbp. Ang dalawang eroplano ay laging nag-intersect sa isang tuwid na linya na kabilang sa magkabilang eroplano.

Pagtuturo

Isaalang-alang ang kalahating eroplanong α at β na nabuo sa intersection ng . Anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya a at dalawang kalahating eroplano na α at β sa pamamagitan ng isang dihedral na anggulo. Sa kasong ito, ang kalahating eroplano na bumubuo ng isang dihedral na anggulo sa pamamagitan ng mga mukha, ang linya na kung saan ang mga eroplano ay nagsalubong ay tinatawag na gilid ng dihedral na anggulo.

Ang anggulo ng dihedral, tulad ng isang patag na anggulo, sa mga degree. Upang makagawa ng isang dihedral na anggulo, kinakailangan na pumili ng isang di-makatwirang punto O sa mukha nito. Sa pareho, dalawang ray a ang iginuhit sa puntong O. Ang resultang anggulo na AOB ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle a.

Kaya, hayaan ang vector V = (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z = 0, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ay ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vectors V at N ay: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Upang kalkulahin ang halaga ng anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang function na kabaligtaran sa cosine mula sa nagresultang expression, i.e. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Halimbawa: hanapin sulok sa pagitan vector(5, -3, 8) at eroplano, na ibinigay ng pangkalahatang equation 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat ng kilalang halaga sa formula sa itaas: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Mga kaugnay na video

Sumulat ng isang equation at ihiwalay ang cosine mula dito. Ayon sa isang formula, ang scalar product ng mga vector ay katumbas ng kanilang mga haba na pinarami ng bawat isa at ng cosine. anggulo, at sa kabilang banda - ang kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate sa bawat isa sa mga axes. Ang equating parehong mga formula, maaari naming tapusin na ang cosine anggulo ay dapat na katumbas ng ratio ng kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate sa produkto ng mga haba ng mga vectors.

Isulat ang resultang equation. Upang gawin ito, kailangan nating italaga ang parehong mga vector. Sabihin nating ibinigay ang mga ito sa isang 3D Cartesian system at ang kanilang mga panimulang punto ay nasa isang grid. Ang direksyon at magnitude ng unang vector ay ibibigay ng punto (X₁,Y₁,Z₁), ang pangalawa - (X₂,Y₂,Z₂), at ang anggulo ay ilalarawan ng titik γ. Kung gayon ang mga haba ng bawat isa sa mga vector ay maaaring, halimbawa, ayon sa Pythagorean theorem para sa nabuo sa pamamagitan ng kanilang mga projection sa bawat isa sa mga coordinate axes: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) at √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Palitan ang mga expression na ito sa formula na nabuo sa nakaraang hakbang at makuha mo ang pagkakapantay-pantay: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Gamitin ang katotohanan na ang kabuuan ng squared sinus at co sinus mula sa anggulo ang isang halaga ay palaging nagbibigay ng isa. Samakatuwid, sa pamamagitan ng pagtaas ng nakuha sa nakaraang hakbang para sa co sinus squared at pagbabawas mula sa pagkakaisa, at pagkatapos ay ang square root, malulutas mo ang problema. Isulat ang gustong formula sa pangkalahatang anyo: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * + Y₁² ) )).

Pangunahing termino

Bago isaalang-alang ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector, kinakailangan na maging pamilyar sa kahulugan ng isang vector at ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng mga vector.

Ang vector ay isang segment na may direksyon, iyon ay, isang segment kung saan tinukoy ang simula at pagtatapos nito.

Formula ng Solusyon

Ang pagkakaroon ng natanggap na halaga ng cosine ng anggulo, maaari mong kalkulahin ang halaga ng anggulo mismo gamit ang isang calculator o gamit ang isang trigonometric table.

Halimbawa

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa formula, kinakalkula namin ang halaga ng cosine ng nais na anggulo:

Pagkalkula ng anggulo sa n-dimensional na espasyo

Sa geometry, kadalasang nangyayari ang mga problema sa mga puwang na may higit sa tatlong dimensyon. Ngunit para sa kanila, ang algorithm para sa paghahanap ng sagot ay mukhang magkatulad.

Pagkakaiba sa pagitan ng 0 at 180 degrees

Mga Tukoy na Vector

Ang ilang mga vectors na kahanay sa isang eroplano ay tinatawag na coplanar.
Ang mga vector na magkapareho ang haba at direksyon ay tinatawag na pantay.
Ang mga vector na nakahiga sa parehong tuwid na linya, anuman ang direksyon, ay tinatawag na collinear.
Kung ang haba ng vector ay zero, iyon ay, ang simula at pagtatapos nito ay nag-tutugma, kung gayon ito ay tinatawag na zero, at kung ito ay isa, kung gayon ito ay tinatawag na isa.

Ang scalar na produkto ng mga vectors (simula dito sa teksto ng joint venture). Mahal na mga kaibigan! Kasama sa pagsusulit sa matematika ang isang pangkat ng mga problema para sa paglutas ng mga vector. Napag-isipan na namin ang ilang mga problema. Maaari mong makita ang mga ito sa kategoryang "Mga Vector." Sa pangkalahatan, ang teorya ng mga vector ay simple, ang pangunahing bagay ay pag-aralan ito nang tuluy-tuloy. Ang mga kalkulasyon at aksyon na may mga vector sa kurso ng matematika ng paaralan ay simple, ang mga formula ay hindi kumplikado. Tumingin sa . Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga gawain sa joint venture ng mga vectors (kasama sa pagsusulit). Ngayon ay "immersion" sa teorya:

H Upang mahanap ang mga coordinate ng isang vector, kailangan mong ibawas mula sa mga coordinate ng dulo nitokaukulang mga coordinate ng simula nito

At higit pa:

*Ang haba ng vector (modulus) ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Dapat kabisaduhin ang mga formula na ito!!!

Ipakita natin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:

Malinaw na maaari itong mag-iba mula 0 hanggang 180 0(o sa mga radian mula 0 hanggang Pi).

Maaari tayong gumuhit ng ilang konklusyon tungkol sa tanda ng scalar product. Ang mga haba ng mga vector ay positibo, malinaw naman. Kaya ang tanda ng scalar product ay nakasalalay sa halaga ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors.

Mga posibleng kaso:

1. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay matalim (mula 0 0 hanggang 90 0), kung gayon ang cosine ng anggulo ay magkakaroon ng positibong halaga.

2. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo (mula 90 0 hanggang 180 0), kung gayon ang cosine ng anggulo ay magkakaroon ng negatibong halaga.

*Sa zero degrees, iyon ay, kapag ang mga vector ay may parehong direksyon, ang cosine ay katumbas ng isa at, nang naaayon, ang resulta ay magiging positibo.

Sa 180 o, iyon ay, kapag ang mga vector ay may magkasalungat na direksyon, ang cosine ay katumbas ng minus one,at magiging negatibo ang resulta.

Ngayon ang MAHALAGANG PUNTO!

Sa 90 o, iyon ay, kapag ang mga vector ay patayo sa isa't isa, ang cosine ay zero, at samakatuwid ang joint venture ay zero. Ang katotohanang ito (kinahinatnan, konklusyon) ay ginagamit sa paglutas ng maraming mga problema kung saan pinag-uusapan natin ang magkaparehong pag-aayos ng mga vector, kabilang ang mga problema na kasama sa bukas na bangko ng mga gawain sa matematika.

Binubuo namin ang pahayag: ang scalar na produkto ay katumbas ng zero kung at kung ang ibinigay na mga vector ay namamalagi sa mga patayong linya.

Kaya, ang mga formula para sa SP vectors ay:

Kung ang mga coordinate ng mga vectors o ang mga coordinate ng mga punto ng kanilang mga simula at dulo ay kilala, pagkatapos ay maaari naming palaging mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:

Isaalang-alang ang mga gawain:

27724 Hanapin ang panloob na produkto ng mga vectors a at b .

Mahahanap natin ang scalar product ng mga vector gamit ang isa sa dalawang formula:

Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi alam, ngunit madali nating mahanap ang mga coordinate ng mga vector at pagkatapos ay gamitin ang unang formula. Dahil ang mga simula ng parehong mga vector ay nag-tutugma sa pinagmulan, ang mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng mga coordinate ng kanilang mga dulo, iyon ay

Paano mahanap ang mga coordinate ng isang vector ay inilarawan sa.

Kinakalkula namin:

Sagot: 40

Hanapin ang mga coordinate ng mga vector at gamitin ang formula:

Upang mahanap ang mga coordinate ng isang vector, kinakailangan upang ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula nito mula sa mga coordinate ng dulo ng vector, na nangangahulugang

Kinakalkula namin ang scalar product:

Sagot: 40

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b . Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Hayaang magkaroon ng anyo ang mga coordinate ng mga vector:

Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ginagamit namin ang formula para sa scalar product ng mga vectors:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector:

Dahil dito:

Ang mga coordinate ng mga vector na ito ay:

Isaksak natin ang mga ito sa formula:

Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay 45 degrees.

Sagot: 45

Ano ang anggulo sa pagitan ng mga vectors. Tuldok na produkto ng mga vector

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector.

Paano makalkula ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector?

Pangunahing termino

Formula ng Solusyon

Halimbawa

Pagkalkula ng anggulo sa n-dimensional na espasyo

Pagkakaiba sa pagitan ng 0 at 180 degrees

Mga Tukoy na Vector

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector?

Paano makalkula ang sine ng isang anggulo sa pagitan ng mga vector mula sa mga coordinate ng mga vector

Tuldok na produkto ng mga vector

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

Ang konsepto ng produkto ng tuldok

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Mga katangian ng produkto ng tuldok

tuldok na produkto ng mga vector, ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ibinibigay ng mga coordinate

Projection ng isang vector papunta sa isang vector. Vector projection sa coordinate axes.Mga cosine ng direksyon ng vector

Pangunahing termino

Formula ng Solusyon

Halimbawa

Pagkalkula ng anggulo sa n-dimensional na espasyo

Pagkakaiba sa pagitan ng 0 at 180 degrees

Mga Tukoy na Vector

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.
Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Projection ng isang vector papunta sa isang vector. Vector projection sa coordinate axes.
Mga cosine ng direksyon ng vector