Quadrangular pyramid sa problema C2. Ang mga pangunahing kaalaman sa geometry: ang tamang pyramid ay

Sa paglutas ng problema C2 gamit ang coordinate method, maraming estudyante ang nahaharap sa parehong problema. Hindi nila makalkula mga coordinate ng punto kasama sa scalar product formula. Ang pinakamalaking paghihirap ay mga pyramid. At kung ang mga base point ay itinuturing na mas o mas normal, kung gayon ang mga tuktok ay isang tunay na impiyerno.

Ngayon ay haharapin natin ang isang regular na quadrangular pyramid. Mayroon ding tatsulok na pyramid (aka - tetrahedron). Ito ay isang mas kumplikadong disenyo, kaya isang hiwalay na aralin ang ilalaan dito.

Magsimula tayo sa kahulugan:

Ang isang regular na pyramid ay isa kung saan:

Ang base ay isang regular na polygon: tatsulok, parisukat, atbp.;

Ang taas na iginuhit sa base ay dumadaan sa gitna nito.

Sa partikular, ang base ng isang quadrangular pyramid ay parisukat. Tulad ng Cheops, mas maliit lang ng kaunti.

Nasa ibaba ang mga kalkulasyon para sa isang pyramid na ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kung hindi ito ang kaso sa iyong problema, ang mga kalkulasyon ay hindi nagbabago - ang mga numero lamang ang magkakaiba.

Vertices ng isang quadrangular pyramid

Kaya, hayaan ang isang regular na quadrangular pyramid SABCD, kung saan ang S ay ang tuktok, ang base ng ABCD ay isang parisukat. Ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kinakailangang magpasok ng isang coordinate system at hanapin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto. Meron kami:

Ipinakilala namin ang isang coordinate system na may pinagmulan sa punto A:

Ang axis OX ay nakadirekta parallel sa gilid AB ;
Axis OY - parallel sa AD . Dahil ang ABCD ay isang parisukat, AB ⊥ AD ;
Sa wakas, ang OZ axis ay nakadirekta paitaas, patayo sa eroplanong ABCD.

Ngayon isaalang-alang namin ang mga coordinate. Karagdagang konstruksiyon: SH - taas na iginuhit sa base. Para sa kaginhawahan, kukunin namin ang base ng pyramid sa isang hiwalay na pigura. Dahil ang mga puntong A , B , C at D ay nasa OXY plane, ang kanilang coordinate ay z = 0. Mayroon kaming:

A = (0; 0; 0) - tumutugma sa pinanggalingan;
B = (1; 0; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 kasama ang OX axis mula sa pinanggalingan;
C = (1; 1; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 sa kahabaan ng OX axis at sa pamamagitan ng 1 sa kahabaan ng OY axis;
D = (0; 1; 0) - hakbang lamang sa kahabaan ng OY axis.
H \u003d (0.5; 0.5; 0) - ang gitna ng parisukat, ang gitna ng segment AC.

Ito ay nananatili upang mahanap ang mga coordinate ng punto S. Tandaan na ang mga x at y na coordinate ng mga puntos na S at H ay pareho, dahil nakahiga sila sa isang tuwid na linya na kahanay sa OZ axis. Ito ay nananatiling mahanap ang z coordinate para sa puntong S .

Isaalang-alang ang mga tatsulok na ASH at ABH :

AS = AB = 1 ayon sa kondisyon;
Anggulo AHS = AHB = 90° dahil ang SH ay ang taas at AH ⊥ HB bilang mga dayagonal ng isang parisukat;
Side AH - karaniwan.

Samakatuwid right triangles ASH at ABH pantay isang paa at isang hypotenuse. Kaya SH = BH = 0.5 BD . Ngunit ang BD ay ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid 1. Samakatuwid, mayroon tayong:

Kabuuang mga coordinate ng point S:

Sa konklusyon, isinulat namin ang mga coordinate ng lahat ng mga vertices ng isang regular na hugis-parihaba na pyramid:

Ano ang gagawin kapag iba ang tadyang

Ngunit paano kung ang mga gilid na gilid ng pyramid ay hindi katumbas ng mga gilid ng base? Sa kasong ito, isaalang-alang ang tatsulok na AHS:

Triangle AHS- hugis-parihaba, at ang hypotenuse AS ay isa ring gilid na gilid ng orihinal na pyramid SABCD. Ang binti AH ay madaling isaalang-alang: AH = 0.5 AC. Hanapin ang natitirang binti SH ayon sa Pythagorean theorem. Ito ang magiging z coordinate para sa punto S.

Isang gawain. Given a regular quadrangular pyramid SABCD , sa base kung saan namamalagi ang isang parisukat na may gilid 1. Gilid na gilid BS = 3. Hanapin ang mga coordinate ng point S .

Alam na natin ang x at y coordinate ng puntong ito: x = y = 0.5. Ito ay sumusunod mula sa dalawang katotohanan:

Ang projection ng point S papunta sa OXY plane ay ang point H;
Kasabay nito, ang puntong H ay ang sentro ng parisukat na ABCD, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng 1.

Ito ay nananatili upang mahanap ang coordinate ng punto S. Isaalang-alang ang tatsulok na AHS. Ito ay hugis-parihaba, na may hypotenuse AS = BS = 3, ang binti AH ay kalahati ng dayagonal. Para sa karagdagang mga kalkulasyon, kailangan namin ang haba nito:

Pythagorean theorem para sa tatsulok AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Meron kami:

Kaya, ang mga coordinate ng punto S.

quadrangular pyramid Ang polyhedron ay tinatawag na polyhedron na ang base ay isang parisukat, at ang lahat ng mga gilid na mukha ay magkaparehong isosceles triangles.

Ang polyhedron na ito ay may maraming iba't ibang mga katangian:

Ang mga lateral ribs at katabing dihedral na mga anggulo nito ay pantay sa isa't isa;
Ang mga lugar ng mga gilid na mukha ay pareho;
Sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay namamalagi ang isang parisukat;
Ang taas ay bumaba mula sa tuktok ng pyramid intersects sa punto ng intersection ng diagonals ng base.

Ang lahat ng mga katangiang ito ay ginagawang madaling mahanap. Gayunpaman, medyo madalas, bilang karagdagan dito, kinakailangan upang kalkulahin ang dami ng polyhedron. Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa dami ng isang quadrangular pyramid:

Iyon ay, ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang third ng produkto ng taas ng pyramid at ang lugar ng base. Dahil ito ay katumbas ng produkto ng magkapantay na panig nito, agad naming ipinasok ang square area formula sa expression ng volume.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng volume ng isang quadrangular pyramid.

Hayaang magbigay ng quadrangular pyramid, sa base nito ay may isang parisukat na may gilid a = 6 cm. Ang gilid na mukha ng pyramid ay b = 8 cm. Hanapin ang volume ng pyramid.

Upang mahanap ang dami ng isang ibinigay na polyhedron, kailangan namin ang haba ng taas nito. Samakatuwid, mahahanap natin ito sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean theorem. Una, kalkulahin natin ang haba ng dayagonal. Sa asul na tatsulok, ito ang magiging hypotenuse. Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang mga diagonal ng parisukat ay katumbas ng bawat isa at nahahati sa kalahati sa intersection point:

Ngayon mula sa pulang tatsulok nakita namin ang taas na kailangan namin h. Ito ay magiging katumbas ng:

Palitan ang mga kinakailangang halaga at hanapin ang taas ng pyramid:

Ngayon, alam ang taas, maaari nating palitan ang lahat ng mga halaga sa formula para sa dami ng pyramid at kalkulahin ang kinakailangang halaga:

Ito ay kung paano, alam ang ilang simpleng mga formula, nagawa naming kalkulahin ang dami ng isang regular na quadrangular pyramid. Huwag kalimutan na ang halagang ito ay sinusukat sa mga yunit ng kubiko.

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya tungkol sa tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bigyan ito ng kahulugan. Isaalang-alang kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem sa lateral surface ng isang regular na pyramid.

Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bigyan ito ng kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na nasa eroplano α, at isang punto P, na hindi namamalagi sa eroplano α (Larawan 1). Ikonekta natin ang tuldok P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n. Kunin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R at iba pa.

Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ... A n, binubuo ng n-gon A 1 A 2...Isang n at n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tinawag n- pyramid ng karbon. kanin. isa.

kanin. isa

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- gilid tadyang.

AB- gilid ng base.

Mula sa isang punto R ihulog ang patayo RN sa ground plane A B C D. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang kabuuang ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral na mukha, at ang base area:

S full \u003d S side + S main

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

ang base nito ay isang regular na polygon;
ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag sa halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).

R- tuktok ng pyramid. base ng pyramid A B C D- isang regular na may apat na gilid, iyon ay, isang parisukat. Dot O, ang intersection point ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.

kanin. 3

Paliwanag: sa kanan n-gon, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumscribed na bilog ay magkasabay. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi nila na ang tuktok ay naka-project sa gitna.

Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag apothema at ipinapahiwatig h a.

1. lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Patunayan natin ang mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: RABSD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO ay ang taas ng pyramid.

Patunayan:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Tingnan ang Fig. apat.

kanin. apat

Patunay.

RO ay ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta AO, VO, SO at GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya ang mga tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD- hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D. Ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng isang parisukat na AO = BO = CO = GAWIN.

Pagkatapos ay ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD binti RO- pangkalahatan at mga binti AO, VO, SO at GAWIN pantay, kaya ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang binti. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga segment, RA = PB = PC = PD. Ang punto 1 ay napatunayan.

Mga segment AB at araw ay pantay-pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = RV = PC. Kaya ang mga tatsulok AVR at VCR - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Katulad nito, nakuha namin na ang mga tatsulok ABP, BCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, na kinakailangan upang patunayan sa aytem 2.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:

Para sa patunay, pumili kami ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS ay isang regular na triangular na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: . Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

RAVS ay isang regular na triangular na pyramid. Yan ay AB= AC = BC. Hayaan O- ang gitna ng tatsulok ABC, pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Ang base ng pyramid ay isang equilateral triangle. ABC. Pansinin, na .

mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang isang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA. Kaya, ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay:

S gilid = 3S RAB

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- ang taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Solusyon.

Ayon sa napatunayang teorama, .

Hanapin muna ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitnang bahagi DC. kasi O- gitna BD, dami).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. Yan ay, RM- ang median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.

RO ay ang taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ang direktang OM nakahiga sa loob nito. Maghanap tayo ng apothem RM mula sa isang kanang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang gilid na ibabaw ng pyramid:

Sagot: 60 m2.

Ang radius ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay m. Ang lateral surface area ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S gilid = 18 m 2.

Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Solusyon.

Sa isang kanang tatsulok ABC ibinigay ang radius ng circumscribed circle. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang sine theorem.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Ayon sa theorem sa lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, sinuri namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, napatunayan namin ang teorama sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Sa susunod na aralin, makikilala natin ang pinutol na pyramid.

Bibliograpiya

Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit.
Geometry. Baitang 10-11: Isang aklat-aralin para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
Geometry. Baitang 10: Textbook para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon na may malalim at profile na pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.

Internet portal na "Yaklass" ()
Internet portal na "Festival of Pedagogical Ideas" Una ng Setyembre ()
Internet portal na "Slideshare.net" ()

Takdang aralin

Maaari bang maging base ng isang iregular na pyramid ang isang regular na polygon?
Patunayan na ang mga di-nagsalubong na gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid, kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
RAVS ay isang regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.

Nalaman ng mga mag-aaral ang konsepto ng isang pyramid bago pa mag-aral ng geometry. Sisihin ang sikat na dakilang Egyptian wonders of the world. Samakatuwid, simula sa pag-aaral ng kahanga-hangang polyhedron na ito, ang karamihan sa mga mag-aaral ay malinaw na naiisip ito. Ang lahat ng mga tanawin sa itaas ay nasa tamang hugis. Ano kanang pyramid, at kung anong mga katangian mayroon ito at tatalakayin pa.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Kahulugan

Mayroong maraming mga kahulugan ng isang pyramid. Mula noong sinaunang panahon, ito ay napakapopular.

Halimbawa, tinukoy ito ni Euclid bilang isang solidong pigura, na binubuo ng mga eroplano, na, simula sa isa, ay nagtatagpo sa isang tiyak na punto.

Nagbigay si Heron ng mas tumpak na pagbabalangkas. Iginiit niya na ito ay isang pigura na ay may base at mga eroplano sa anyo ng mga tatsulok, nagtatagpo sa isang punto.

Batay sa modernong interpretasyon, ang pyramid ay ipinakita bilang isang spatial polyhedron, na binubuo ng isang tiyak na k-gon at k flat triangular figure na may isang karaniwang punto.

Tingnan natin nang maigi, Anong mga elemento ang binubuo nito?

k-gon ay itinuturing na batayan ng figure;
Ang mga 3-angled na figure ay nakausli habang ang mga gilid ng gilid na bahagi;
ang itaas na bahagi, kung saan nagmula ang mga elemento sa gilid, ay tinatawag na tuktok;
lahat ng mga segment na nagkokonekta sa vertex ay tinatawag na mga gilid;
kung ang isang tuwid na linya ay ibinaba mula sa itaas hanggang sa eroplano ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees, kung gayon ang bahagi nito na nakapaloob sa panloob na espasyo ay ang taas ng pyramid;
sa anumang panig na elemento sa gilid ng aming polyhedron, maaari kang gumuhit ng patayo, na tinatawag na apothem.

Ang bilang ng mga gilid ay kinakalkula gamit ang formula na 2*k, kung saan ang k ay ang bilang ng mga gilid ng k-gon. Kung gaano karaming mga mukha ang isang polyhedron tulad ng isang pyramid ay maaaring matukoy ng expression na k + 1.

Mahalaga! Ang regular na hugis na pyramid ay isang stereometric figure na ang base plane ay isang k-gon na may pantay na panig.

Mga pangunahing katangian

Tamang pyramid ay maraming katangian na kakaiba sa kanya. Ilista natin sila:

Ang base ay isang pigura ng tamang anyo.
Ang mga gilid ng pyramid, na nililimitahan ang mga elemento sa gilid, ay may pantay na mga halaga ng numero.
Ang mga elemento sa gilid ay isosceles triangles.
Ang base ng taas ng figure ay nahuhulog sa gitna ng polygon, habang ito ay sabay-sabay na gitnang punto ng inscribed at inilarawan.
Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa base plane sa parehong anggulo.
Ang lahat ng mga gilid na ibabaw ay may parehong anggulo ng pagkahilig na may paggalang sa base.

Salamat sa lahat ng nakalistang katangian, ang pagganap ng mga kalkulasyon ng elemento ay lubos na pinasimple. Batay sa mga katangian sa itaas, binibigyang pansin namin dalawang palatandaan:

Sa kaso kapag ang polygon ay magkasya sa isang bilog, ang mga gilid na mukha ay magkakaroon ng pantay na mga anggulo sa base.
Kapag naglalarawan ng isang bilog sa paligid ng isang polygon, ang lahat ng mga gilid ng pyramid na nagmumula sa vertex ay magkakaroon ng parehong haba at pantay na mga anggulo sa base.

Nakabatay ang parisukat

Regular na quadrangular pyramid - isang polyhedron batay sa isang parisukat.

Mayroon itong apat na gilid na mukha, na isosceles ang hitsura.

Sa isang eroplano, ang isang parisukat ay inilalarawan, ngunit ang mga ito ay batay sa lahat ng mga katangian ng isang regular na may apat na gilid.

Halimbawa, kung kinakailangan upang ikonekta ang gilid ng isang parisukat na may dayagonal nito, pagkatapos ay ginagamit ang sumusunod na formula: ang dayagonal ay katumbas ng produkto ng gilid ng parisukat at ang parisukat na ugat ng dalawa.

Batay sa isang regular na tatsulok

Ang regular na triangular na pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang regular na 3-gon.

Kung ang base ay isang regular na tatsulok, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng mga gilid ng base, kung gayon ang isang figure tinatawag na tetrahedron.

Ang lahat ng mga mukha ng isang tetrahedron ay equilateral 3-gons. Sa kasong ito, kailangan mong malaman ang ilang mga punto at huwag mag-aksaya ng oras sa mga ito kapag kinakalkula:

ang anggulo ng pagkahilig ng mga buto-buto sa anumang base ay 60 degrees;
ang halaga ng lahat ng panloob na mukha ay 60 degrees din;
anumang mukha ay maaaring kumilos bilang isang base;
iginuhit sa loob ng pigura ay pantay na elemento.

Mga seksyon ng isang polyhedron

Sa anumang polyhedron mayroong ilang uri ng mga seksyon eroplano. Kadalasan sa isang kursong geometry ng paaralan ay nagtatrabaho sila sa dalawa:

ng ehe;
parallel na batayan.

Ang isang seksyon ng axial ay nakuha sa pamamagitan ng intersecting isang polyhedron na may isang eroplano na dumadaan sa vertex, gilid gilid at axis. Sa kasong ito, ang axis ay ang taas na iginuhit mula sa vertex. Ang cutting plane ay limitado sa pamamagitan ng mga linya ng intersection sa lahat ng mga mukha, na nagreresulta sa isang tatsulok.

Pansin! Sa isang regular na pyramid, ang axial section ay isang isosceles triangle.

Kung ang cutting plane ay tumatakbo parallel sa base, kung gayon ang resulta ay ang pangalawang pagpipilian. Sa kasong ito, mayroon kami sa konteksto ng isang figure na katulad ng base.

Halimbawa, kung ang base ay isang parisukat, kung gayon ang seksyon na parallel sa base ay magiging isang parisukat din, na may mas maliit na sukat.

Kapag nilutas ang mga problema sa ilalim ng kondisyong ito, ginagamit ang mga palatandaan at katangian ng pagkakatulad ng mga numero, batay sa Thales theorem. Una sa lahat, kinakailangan upang matukoy ang koepisyent ng pagkakatulad.

Kung ang eroplano ay iginuhit parallel sa base, at pinutol nito ang itaas na bahagi ng polyhedron, pagkatapos ay ang isang regular na pinutol na pyramid ay nakuha sa ibabang bahagi. Pagkatapos ang mga base ng pinutol na polyhedron ay sinasabing magkatulad na mga polygon. Sa kasong ito, ang mga gilid na mukha ay isosceles trapezoids. Ang seksyon ng axial ay isosceles din.

Upang matukoy ang taas ng isang pinutol na polyhedron, kinakailangan upang iguhit ang taas sa isang seksyon ng axial, iyon ay, sa isang trapezoid.

Mga lugar sa ibabaw

Ang mga pangunahing problemang geometriko na kailangang lutasin sa kursong geometry ng paaralan ay paghahanap ng surface area at volume ng isang pyramid.

Mayroong dalawang uri ng surface area:

lugar ng mga elemento sa gilid;
ang buong lugar sa ibabaw.

Mula sa pamagat mismo ay malinaw kung tungkol saan ito. Ang gilid na ibabaw ay kinabibilangan lamang ng mga elemento sa gilid. Mula dito ay sumusunod na upang mahanap ito, kailangan mo lamang magdagdag ng mga lugar ng mga lateral na eroplano, iyon ay, ang mga lugar ng isosceles 3-gons. Subukan nating makuha ang formula para sa lugar ng mga elemento sa gilid:

Ang lugar ng isosceles 3-gon ay Str=1/2(aL), kung saan ang a ay ang gilid ng base, ang L ay ang apothem.
Ang bilang ng mga side plane ay depende sa uri ng k-gon sa base. Halimbawa, ang isang regular na quadrangular pyramid ay may apat na lateral planes. Samakatuwid, kinakailangang pagsamahin ang mga lugar ng apat na figure Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Ang expression ay pinasimple sa ganitong paraan dahil ang halaga 4a=POS, kung saan ang POS ay ang perimeter ng base. At ang expression na 1/2 * Rosn ay ang semi-perimeter nito.
Kaya, napagpasyahan namin na ang lugar ng mga elemento sa gilid ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng semi-perimeter ng base at ang apothem: Sside \u003d Rosn * L.

Ang lugar ng buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng kabuuan ng mga lugar ng mga lateral na eroplano at ang base: Sp.p. = Sside + Sbase.

Tulad ng para sa lugar ng base, narito ang formula ay ginagamit ayon sa uri ng polygon.

Dami ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng base plane area at ang taas na hinati sa tatlo: V=1/3*Sbase*H, kung saan ang H ay ang taas ng polyhedron.

Ano ang isang regular na pyramid sa geometry

Mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid

Narito ang mga nakolektang pangunahing impormasyon tungkol sa mga pyramids at mga kaugnay na formula at konsepto. Lahat sila ay pinag-aaralan sa isang tutor sa matematika bilang paghahanda sa pagsusulit.

Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon nakahiga dito at isang punto S na hindi nakahiga dito. Ikonekta ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges. Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Alternatibong pangalan para sa triangular na pyramid - tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa base plane.

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung isang regular na polygon, at ang base ng taas ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.

Komento ng tutor:
Huwag malito ang konsepto ng "regular pyramid" at "regular tetrahedron". Sa isang regular na pyramid, ang mga gilid ng gilid ay hindi kinakailangang katumbas ng mga gilid ng base, ngunit sa isang regular na tetrahedron, lahat ng 6 na gilid ng mga gilid ay pantay. Ito ang kanyang kahulugan. Madaling patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang sentro P ng polygon na may base ng taas, kaya ang regular na tetrahedron ay isang regular na pyramid.

Ano ang apothem?
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito. Kung regular ang pyramid, pantay ang lahat ng apothems nito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Tutor sa matematika tungkol sa kanyang terminolohiya: ang pagtatrabaho sa mga pyramids ay 80% na binuo sa pamamagitan ng dalawang uri ng mga tatsulok:
1) Naglalaman ng apothem SK at taas SP
2) Naglalaman ng lateral edge SA at ang projection na PA nito

Upang gawing simple ang mga sanggunian sa mga tatsulok na ito, mas maginhawa para sa isang math tutor na pangalanan ang una sa mga ito apothemic, at pangalawa costal. Sa kasamaang palad, hindi mo makikita ang terminolohiya na ito sa alinman sa mga aklat-aralin, at kailangang ipakilala ito ng guro nang unilaterally.

Pyramid volume formula:
1), kung saan ang lugar ng base ng pyramid, at ang taas ng pyramid
2) , nasaan ang radius ng inscribed sphere, at ang kabuuang surface area ng pyramid.
3) , kung saan ang MN ay ang distansya ng alinmang dalawang crossing edge, at ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga midpoint ng apat na natitirang mga gilid.

Pyramid Height Base Property:

Ang punto P (tingnan ang figure) ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng pyramid kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) Ang lahat ng apothems ay pantay
2) Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng apothems ay pantay na nakahilig sa taas ng pyramid
4) Ang taas ng pyramid ay pantay na nakahilig sa lahat ng panig na mukha

komento ng math tutor: tandaan na ang lahat ng mga punto ay pinagsama ng isang karaniwang pag-aari: isang paraan o iba pa, ang mga mukha sa gilid ay lumahok sa lahat ng dako (ang mga apothem ay ang kanilang mga elemento). Samakatuwid, ang tagapagturo ay maaaring mag-alok ng isang hindi gaanong tumpak, ngunit mas maginhawang pagbabalangkas para sa pagsasaulo: ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng naka-inscribe na bilog, ang base ng pyramid, kung mayroong anumang pantay na impormasyon tungkol sa mga lateral na mukha nito. Upang patunayan ito, sapat na upang ipakita na ang lahat ng apothemic triangles ay pantay.

Ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base ng pyramid, kung ang isa sa tatlong kundisyon ay totoo:
1) Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay
2) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa taas