Ano ang extrema ng isang function: mga kritikal na punto ng maximum at minimum.

Ano ang extremum ng isang function at ano ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum?

Ang extremum ng isang function ay ang maximum at minimum ng function.

Ang kinakailangang kondisyon para sa maximum at minimum (extremum) ng isang function ay ang mga sumusunod: kung ang function na f(x) ay may extremum sa puntong x = a, sa puntong ito ang derivative ay alinman sa zero, o infinite, o wala. hindi umiiral.

Ang kundisyong ito ay kinakailangan, ngunit hindi sapat. Ang derivative sa puntong x = a ay maaaring pumunta sa zero, infinity, o wala nang walang function na mayroong extremum sa puntong ito.

Ano ang sapat na kondisyon para sa extremum ng isang function (maximum o minimum)?

Unang kondisyon:

Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay positibo sa kaliwa ng a at negatibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may maximum

Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay negatibo sa kaliwa ng a at positibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may pinakamababa sa kondisyon na ang function na f(x) dito ay tuluy-tuloy.

Sa halip, maaari mong gamitin ang pangalawang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function:

Hayaang mawala sa puntong x = a ang unang derivative f?(x); kung ang pangalawang derivative f??(a) ay negatibo, kung gayon ang function na f(x) ay may pinakamataas sa puntong x = a, kung ito ay positibo, kung gayon ito ay may pinakamababa.

Ano ang kritikal na punto ng isang function at paano ito mahahanap?

Ito ang halaga ng argumento ng function kung saan may extremum ang function (i.e. maximum o minimum). Upang mahanap ito kailangan mo hanapin ang derivative function f?(x) at, equating ito sa zero, lutasin ang equation f?(x) = 0. Ang mga ugat ng equation na ito, pati na rin ang mga punto kung saan ang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, ay mga kritikal na punto, ibig sabihin, mga halaga ng argumento kung saan maaaring magkaroon ng extremum. Madali silang makilala sa pamamagitan ng pagtingin derivative graph: interesado kami sa mga halagang iyon ng argumento kung saan ang graph ng function ay nag-intersect sa abscissa axis (Ox axis) at ang mga kung saan ang graph ay dumaranas ng mga discontinuities.

Halimbawa, hanapin natin extremum ng isang parabola.

Function y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivative ng function: y?(x) = 6x + 2

Lutasin ang equation: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Sa kasong ito, ang kritikal na punto ay x0=-1/3. Ito ay kasama ang halaga ng argumento na mayroon ang function sukdulan. Upang makuha ito hanapin, palitan ang nahanap na numero sa expression para sa function sa halip na "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Paano matukoy ang maximum at minimum ng isang function, i.e. ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito?

Kung ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa kritikal na puntong x0 ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang x0 ay pinakamataas na punto; kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa minus hanggang plus, kung gayon ang x0 ay pinakamababang punto; kung ang tanda ay hindi nagbabago, pagkatapos ay sa puntong x0 ay walang maximum o minimum.

Para sa halimbawang isinasaalang-alang:

Kumuha kami ng di-makatwirang halaga ng argumento sa kaliwa ng kritikal na punto: x = -1

Sa x = -1, ang halaga ng derivative ay magiging y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (i.e. ang sign ay "minus").

Ngayon ay kumuha kami ng arbitrary na halaga ng argumento sa kanan ng kritikal na punto: x = 1

Sa x = 1, ang halaga ng derivative ay magiging y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (i.e. ang sign ay “plus”).

Gaya ng nakikita mo, binago ng derivative ang sign mula minus hanggang plus kapag dumadaan sa kritikal na punto. Nangangahulugan ito na sa kritikal na halaga x0 mayroon tayong pinakamababang punto.

Pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan(sa isang segment) ay matatagpuan gamit ang parehong pamamaraan, isinasaalang-alang lamang ang katotohanan na, marahil, hindi lahat ng mga kritikal na punto ay nasa loob ng tinukoy na agwat. Ang mga kritikal na punto na nasa labas ng agwat ay dapat na hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kung mayroon lamang isang kritikal na punto sa loob ng pagitan, magkakaroon ito ng maximum o minimum. Sa kasong ito, upang matukoy ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function, isinasaalang-alang din namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng agwat.

Halimbawa, hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function

y (x) \u003d 3 kasalanan (x) - 0.5x

sa mga pagitan:

Kaya, ang derivative ng function ay

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Lutasin namin ang equation na 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Nakahanap kami ng mga kritikal na punto sa pagitan [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (hindi kasama sa pagitan)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (hindi kasama sa pagitan)

Nahanap namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na halaga ng argumento:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Makikita na sa pagitan [-9; 9] ang function ay may pinakamalaking halaga sa x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

at ang pinakamaliit - sa x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Sa pagitan [-6; -3] mayroon lamang tayong isang kritikal na punto: x = -4.88. Ang halaga ng function sa x = -4.88 ay katumbas ng y = 5.398.

Hanapin ang halaga ng function sa mga dulo ng pagitan:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Sa pagitan [-6; -3] mayroon kaming pinakamalaking halaga ng function

y = 5.398 sa x = -4.88

ang pinakamaliit na halaga ay

y = 1.077 sa x = -3

Paano mahahanap ang mga inflection point ng isang function graph at matukoy ang convex at concave na panig?

Upang mahanap ang lahat ng mga inflection point ng linya y = f(x), kailangan mong hanapin ang pangalawang derivative, equate ito sa zero (solve ang equation) at subukan ang lahat ng mga value ng x kung saan ang pangalawang derivative ay zero, walang hanggan o wala. Kung, kapag dumadaan sa isa sa mga value na ito, ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign, ang graph ng function ay may inflection sa puntong ito. Kung hindi ito nagbabago, pagkatapos ay walang liko.

Ang mga ugat ng equation f? (x) = 0, pati na rin ang posibleng mga punto ng discontinuity ng function at ang pangalawang derivative, hatiin ang domain ng kahulugan ng function sa isang bilang ng mga pagitan. Ang convexity sa bawat isa sa kanilang mga agwat ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-sign ng pangalawang derivative. Kung ang pangalawang derivative sa isang punto sa pagitan na pinag-aaralan ay positibo, ang linyang y = f(x) ay malukong paitaas, at kung negatibo, pagkatapos ay pababa.

Paano mahanap ang extrema ng isang function ng dalawang variable?

Upang mahanap ang extrema ng function na f(x,y), naiba-iba sa domain ng detalye nito, kailangan mo:

1) hanapin ang mga kritikal na puntos, at para dito - lutasin ang sistema ng mga equation

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) para sa bawat kritikal na punto P0(a;b) siyasatin kung ang tanda ng pagkakaiba ay nananatiling hindi nagbabago

para sa lahat ng puntos (x;y) na sapat na malapit sa P0. Kung ang pagkakaiba ay nananatiling positibo, pagkatapos ay sa puntong P0 mayroon tayong minimum, kung negatibo, mayroon tayong maximum. Kung ang pagkakaiba ay hindi nagpapanatili ng tanda nito, kung gayon walang extremum sa puntong P0.

Ang extrema ng isang function ay katulad na tinutukoy para sa mas malaking bilang ng mga argumento.

Ano ang opisyal na website ng mang-aawit na si Mika Newton at ng kanyang banda
Bagong Ukrainian na himala - Mika Newton! Isa itong 5-piece band na tumutugtog ng pop-rock, nag-e-enjoy sa buhay, nagbibigay ng drive at may positibong pananaw sa buhay. Nagtipon ang mga lalaki sa Kyiv, kung saan sila kasalukuyang nakatira. Ang mga lalaki ay hindi sumasang-ayon sa karaniwang mga pundasyon sa musika at buhay, na natuklasan ang kanilang bagong tunog at lumalabag sa lahat ng uri ng mga pamantayan. Pinuno ng pangkat -

Paano i-convert ang mililitro sa metro kubiko
Ang pangunahing yunit ng haba sa sistema ng SI ay ang metro. Batay dito, ang pangunahing yunit ng lakas ng tunog ay dapat ituring na isang metro kubiko, o, kung tawagin din ito, isang metro kubiko o kubo. Ito ang dami ng isang kubo na may mga gilid na katumbas ng isang metro. Gayunpaman, sa pagsasagawa ay hindi palaging maginhawa upang ipahayag ang dami sa metro kubiko. Halimbawa, ito ay maginhawa upang ipahayag ang dami ng isang silid sa metro kubiko: i-multiply ang haba ng

Ano ang calorie na nilalaman ng semolina?
Calorie content ng pagkain, calorie content table. Ang mga pangangailangan sa enerhiya ng tao ay sinusukat sa kilocalories (kcal). Ang salitang "calorie" ay nagmula sa Latin at nangangahulugang "init". Sa pisika, ang mga calorie ay sumusukat sa enerhiya. Ang isang kilocalorie ay ang dami ng enerhiya

Ano ang mga yugto ng pag-unlad ng realismo sa panitikan?
Ang Realismo (Latin: materyal, tunay) ay isang kalakaran sa panitikan at sining na naglalayong totohanang kopyahin ang realidad sa mga tipikal na katangian nito. Pangkalahatang mga tampok: Masining na paglalarawan ng buhay sa mga imahe na tumutugma sa kakanyahan ng mga phenomena ng buhay mismo. Ang katotohanan ay isang paraan upang maunawaan ng isang tao ang kanyang sarili at ang mundo sa paligid niya. Nagta-type

Ano ang kaugnayan sa pagitan ng berkelium at elemento 117 ng periodic table
Ang Berkelium, Berkelium, Bk ay ang ika-97 na elemento ng periodic table. Natuklasan noong Disyembre 1949 nina Thompson, Ghiorso at Seaborg sa Unibersidad ng California sa Berkeley. Kapag na-irradiated na may 241Am alpha particle, nakuha nila ang berkelium isotope 243Bk. Dahil ang Bk ay may pagkakatulad sa istruktura sa terbium, na natanggap ang pangalan nito mula kay G. Ytterby noong

Ano ang sikat kay Yaroslav the Wise?
Yaroslav the Wise (980-1054), Grand Duke ng Kiev (1019). Anak ni Vladimir I Svyatoslavovich. Pinatalsik niya si Svyatopolk I the Accursed, nakipaglaban sa kanyang kapatid na si Mstislav, hinati ang estado sa kanya (1025), at noong 1035 ay pinag-isa itong muli. Sa pamamagitan ng isang serye ng mga tagumpay ay nakuha niya ang timog at kanlurang hangganan ng Rus'. Itinatag ang dynastic ties sa maraming bansa sa Ev

Paano nabuo ang tradisyon ng pagsigaw ng “Mapait!” sa isang kasal?
Noong unang panahon, may tradisyon na ang pagsigaw sa isang piging ng kasal: "Mapait!", na pinipilit ang mga bagong kasal na tumayo mula sa kanilang mga upuan at humalik. Ngayon, maraming tao ang hindi na alam kung ano ang kahulugan ng ritwal na ito. Noong unang panahon, sa mga kasalan ay sumisigaw sila ng "Mapait!", na nilinaw na ang alak sa mga tasa ay diumano'y hindi matamis. A

Ano ang mga sintomas ng laryngitis
Ang laryngitis (mula sa sinaunang Greek λ?ρυγξ - larynx) ay isang pamamaga ng larynx, kadalasang nauugnay sa isang sipon o mga nakakahawang sakit tulad ng tigdas, iskarlata na lagnat, whooping cough. Ang pag-unlad ng sakit ay itinataguyod ng hypothermia, paghinga sa pamamagitan ng bibig, maalikabok

Natutukoy ba ang kasarian at pagbabawas para sa mga pangngalan na mayroon lamang plural na anyo?
Ang numero ay isang kategorya ng gramatika na nagpapahayag ng mga quantitative na katangian ng isang bagay. 1. Karamihan sa mga pangngalan ay nagbabago ayon sa mga numero, i.e. ay may dalawang anyo - isahan at maramihan. Sa isahan na anyo, ang isang pangngalan ay nagsasaad ng isang bagay, sa plural na anyo - ilang mga bagay:

Ano ang mga pakinabang ng sinigang na Ruso?
Sinigang na Buckwheat Ang Buckwheat ay isang espesyal na cereal. Ito ay lumiliko, marahil, ang isa sa mga pinaka-kapaki-pakinabang na porridges. Hindi nakakagulat na tinawag namin itong una. Ang Buckwheat ay naglalaman ng hibla, isang buong hanay ng mga bitamina - E, PP, B1, B2, folic at organic acids, pati na rin ang isang malaking porsyento ng starch, na tumutulong sa katawan na makuha ang tamang dami ng neo

Ang interactive na mapa ng lungsod ng Arkhangelsk ay maaaring matingnan sa mga sumusunod na site: Map1 - satellite at standard na mapa; Map2 - standard na mapa (1:350,000); Map3 - may mga pangalan ng kalye, numero ng bahay, maaari kang maghanap sa pamamagitan ng kalye; Map4 - isang mapa na may mga pangalan ng kalye; Map5 - isang interactive na mapa ng lungsod; Map6 - isang interactive na mapa ng lungsod.

Extrema ng function

Kahulugan 2

Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na pinakamataas na punto ng isang function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\le f(x_0) hawak ni $.

Kahulugan 3

Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang kritikal na punto ng isang function. Ipakilala natin ang kahulugan nito.

Kahulugan 4

Ang $x_0$ ay tinatawag na kritikal na punto ng function na $f(x)$ kung:

1) $x_0$ - panloob na punto ng domain ng kahulugan;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o wala.

Para sa konsepto ng extremum, maaari tayong magbalangkas ng mga theorems sa sapat at kinakailangang mga kondisyon para sa pagkakaroon nito.

Teorama 2

Sapat na kondisyon para sa isang extremum

Hayaang maging kritikal ang puntong $x_0$ para sa function na $y=f(x)$ at nasa pagitan ng $(a,b)$. Hayaan sa bawat pagitan na $\left(a,x_0\right)\ at\ (x_0,b)$ ang derivative na $f"(x)$ ay umiiral at nagpapanatili ng pare-parehong sign. Pagkatapos:

1) Kung sa pagitan ng $(a,x_0)$ ang derivative ay $f"\left(x\right)>0$, at sa interval $(x_0,b)$ ang derivative ay $f"\left( x\right)

2) Kung sa pagitan ng $(a,x_0)$ ang derivative na $f"\left(x\right)0$, kung gayon ang puntong $x_0$ ay ang pinakamababang punto para sa function na ito.

3) Kung pareho sa interval $(a,x_0)$ at sa interval $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\right) >0$ o ang derivative $f"\left(x \right)

Ang theorem na ito ay inilalarawan sa Figure 1.

Figure 1. Sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extrema

Mga halimbawa ng mga sukdulan (Fig. 2).

Figure 2. Mga halimbawa ng extreme point

Panuntunan para sa pag-aaral ng isang function para sa extremum

2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;

7) Gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng maxima at minima sa bawat pagitan, gamit ang Theorem 2.

Ang pagtaas at pagbaba ng mga function

Ipakilala muna natin ang mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.

Kahulugan 5

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa pagitan na $X$ ay sinasabing tataas kung para sa anumang puntos na $x_1,x_2\in X$ sa $x_1

Kahulugan 6

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa pagitan na $X$ ay sinasabing bumababa kung para sa anumang puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1f(x_2)$.

Pag-aaral ng isang function para sa pagtaas at pagbaba

Maaari mong pag-aralan ang pagtaas at pagbaba ng mga function gamit ang derivative.

Upang masuri ang isang function para sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, dapat mong gawin ang sumusunod:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan ng function na $f(x)$;

2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;

3) Hanapin ang mga punto kung saan hawak ang pagkakapantay-pantay na $f"\left(x\right)=0$;

4) Hanapin ang mga punto kung saan wala ang $f"(x)$;

5) Markahan sa linya ng coordinate ang lahat ng mga puntos na natagpuan at ang domain ng kahulugan ng function na ito;

6) Tukuyin ang sign ng derivative na $f"(x)$ sa bawat resultang interval;

7) Gumuhit ng konklusyon: sa mga pagitan kung saan ang $f"\left(x\right)0$ ay tumataas ang function.

Mga halimbawa ng mga problema para sa pag-aaral ng mga function para sa pagtaas, pagbaba at pagkakaroon ng mga extrema point

Halimbawa 1

Suriin ang function para sa pagtaas at pagbaba, at ang pagkakaroon ng maximum at minimum na puntos: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Dahil pareho ang unang 6 na puntos, una naming ibubunot ang mga ito.

1) Domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ay umiiral sa lahat ng mga punto ng domain ng kahulugan;

5) Coordinate line:

Larawan 3.

6) Tukuyin ang tanda ng derivative na $f"(x)$ sa bawat pagitan:

\\. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa pinakamataas at pinakamababang halaga nito, alinman sa hangganan ng segment o sa loob nito. Kung ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function ay nakamit sa isang panloob na punto ng segment, kung gayon ang halagang ito ay ang maximum o minimum ng function, iyon ay, ito ay nakakamit sa mga kritikal na punto.

Kaya, nakukuha namin ang sumusunod panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment[ a, b] :

Hanapin ang lahat ng kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b) at kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito.
Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment kung kailan x = a, x = b.
Mula sa lahat ng nakuhang halaga, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.