Ang formula para sa dami ng isang regular na pinutol na pyramid. Mga formula ng volume para sa isang buo at pinutol na pyramid

09.10.2014
Ang preamplifier na ipinapakita sa figure ay idinisenyo para gamitin sa 4 na uri ng mga pinagmumulan ng tunog, tulad ng mikropono, CD player, radio tape recorder, atbp. Kasabay nito, ang preamplifier ay may isang input na maaaring baguhin ang sensitivity mula 50mV hanggang 500mV . ang output boltahe ng amplifier ay 1000mV. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng iba't ibang mga pinagmumulan ng signal kapag pinapalitan ang switch SA1, palagi kaming makakakuha ng ...
20.09.2014
Ang PSU ay dinisenyo para sa isang load na may kapangyarihan na 15 ... 20 watts. Ang pinagmulan ay ginawa ayon sa scheme ng isang single-cycle pulsed high-frequency converter. Ang isang oscillator na tumatakbo sa dalas ng 20 ... 40 kHz ay binuo sa transistor. Ang dalas ay inaayos ng capacitance C5. Ang mga elemento ng VD5, VD6 at C6 ay bumubuo ng isang circuit para sa pagsisimula ng isang oscillator. Sa pangalawang circuit, pagkatapos ng rectifier ng tulay, mayroong isang maginoo na linear stabilizer sa isang microcircuit, na nagpapahintulot sa iyo na magkaroon ...
28.09.2014
Ang figure ay nagpapakita ng isang generator sa isang K174XA11 chip, ang dalas nito ay kinokontrol ng boltahe. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng capacitance C1 mula 560 hanggang 4700pF, ang isang malawak na hanay ng dalas ay maaaring makuha, habang ang dalas ay nababagay sa pamamagitan ng pagbabago ng paglaban R4. Halimbawa, nalaman ng may-akda na, sa C1 \u003d 560pF, ang dalas ng generator ay maaaring baguhin gamit ang R4 mula 600Hz hanggang 200kHz, ...
03.10.2014
Ang yunit ay idinisenyo upang paganahin ang isang malakas na ULF, ito ay dinisenyo para sa isang output boltahe ng ± 27V at kaya naglo-load ng hanggang sa 3A sa bawat braso. Ang PSU ay bipolar, na ginawa sa kumpletong composite transistors KT825-KT827. Ang parehong mga braso ng stabilizer ay ginawa ayon sa parehong pamamaraan, ngunit sa kabilang braso (hindi ito ipinapakita), ang polarity ng mga capacitor ay binago at ang mga transistor ng iba ay ginagamit ...

Ang kakayahang kalkulahin ang dami ng spatial figure ay mahalaga sa paglutas ng ilang praktikal na problema sa geometry. Ang isa sa mga pinakakaraniwang hugis ay ang pyramid. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga pyramids, parehong puno at pinutol.

Pyramid bilang isang three-dimensional na pigura

Alam ng lahat ang tungkol sa Egyptian pyramids, kaya mayroon silang magandang ideya kung anong figure ang tatalakayin. Gayunpaman, ang mga istrukturang bato ng Egypt ay isang espesyal na kaso lamang ng isang malaking klase ng mga pyramids.

Ang geometric na bagay na isinasaalang-alang sa pangkalahatang kaso ay isang polygonal na base, ang bawat tuktok nito ay konektado sa ilang punto sa espasyo na hindi kabilang sa base plane. Ang kahulugan na ito ay humahantong sa isang figure na binubuo ng isang n-gon at n triangles.

Ang anumang pyramid ay binubuo ng n+1 mukha, 2*n gilid at n+1 vertices. Dahil ang figure na isinasaalang-alang ay isang perpektong polyhedron, ang mga bilang ng mga minarkahang elemento ay sumusunod sa Euler equation:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Ang polygon na matatagpuan sa base ay nagbibigay ng pangalan ng pyramid, halimbawa, triangular, pentagonal, at iba pa. Ang isang set ng mga pyramids na may iba't ibang base ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Ang punto kung saan konektado ang n triangles ng figure ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Kung ang isang patayo ay ibinaba mula dito hanggang sa base at ito ay intersects ito sa geometric center, kung gayon ang naturang figure ay tatawaging isang tuwid na linya. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay mayroong isang hilig na pyramid.

Ang isang tuwid na pigura, ang base nito ay nabuo ng isang equilateral (equiangular) n-gon, ay tinatawag na regular.

Pyramid volume formula

Upang kalkulahin ang dami ng pyramid, ginagamit namin ang integral calculus. Upang gawin ito, hinati namin ang figure sa pamamagitan ng mga secant na eroplano na kahanay sa base sa isang walang katapusang bilang ng mga manipis na layer. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng quadrangular pyramid na may taas na h at side length L, kung saan ang manipis na sectional layer ay minarkahan ng quadrilateral.

Ang lugar ng bawat naturang layer ay maaaring kalkulahin ng formula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Narito ang A 0 ay ang lugar ng base, ang z ay ang halaga ng vertical coordinate. Makikita na kung z = 0, ang formula ay nagbibigay ng halaga A 0 .

Upang makuha ang formula para sa dami ng pyramid, dapat mong kalkulahin ang integral sa buong taas ng figure, iyon ay:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ang pagpapalit sa dependence A(z) at pagkalkula ng antiderivative, dumating tayo sa expression:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Nakuha namin ang formula para sa dami ng isang pyramid. Upang mahanap ang halaga ng V, sapat na upang i-multiply ang taas ng figure sa pamamagitan ng lugar ng base, at pagkatapos ay hatiin ang resulta ng tatlo.

Tandaan na ang resultang expression ay wasto para sa pagkalkula ng volume ng isang pyramid ng isang arbitrary na uri. Iyon ay, maaari itong maging hilig, at ang base nito ay maaaring isang arbitrary n-gon.

at ang dami nito

Ang pangkalahatang formula para sa volume na nakuha sa talata sa itaas ay maaaring pinuhin sa kaso ng isang pyramid na may regular na base. Ang lugar ng naturang base ay kinakalkula ng sumusunod na formula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Narito ang L ay ang haba ng gilid ng isang regular na polygon na may n vertices. Ang simbolong pi ay ang numerong pi.

Ang pagpapalit ng expression para sa A 0 sa pangkalahatang formula, nakuha namin ang dami ng isang regular na pyramid:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Halimbawa, para sa isang triangular na pyramid, ang formula na ito ay humahantong sa sumusunod na expression:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Para sa isang regular na quadrangular pyramid, ang volume formula ay nasa anyo:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Ang pagtukoy sa mga volume ng mga regular na pyramids ay nangangailangan ng pag-alam sa gilid ng kanilang base at ang taas ng figure.

Pyramid pinutol

Ipagpalagay na kumuha tayo ng arbitrary pyramid at pinutol ang isang bahagi ng lateral surface nito na naglalaman ng vertex. Ang natitirang figure ay tinatawag na truncated pyramid. Binubuo na ito ng dalawang n-gonal base at n trapezoid na nag-uugnay sa kanila. Kung ang cutting plane ay parallel sa base ng figure, kung gayon ang isang pinutol na pyramid ay nabuo na may magkatulad na mga base. Iyon ay, ang mga haba ng mga gilid ng isa sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng isa sa ilang koepisyent k.

Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng pinutol na regular. Makikita na ang itaas na base nito, tulad ng ibaba, ay nabuo ng isang regular na hexagon.

Ang formula na maaaring makuha gamit ang integral calculus na katulad ng nasa itaas ay:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Kung saan ang A 0 at A 1 ay ang mga lugar ng lower (malaki) at upper (maliit) na base, ayon sa pagkakabanggit. Ang variable na h ay tumutukoy sa taas ng pinutol na pyramid.

Ang dami ng pyramid ng Cheops

Ito ay kakaiba upang malutas ang problema ng pagtukoy sa dami na naglalaman ng pinakamalaking Egyptian pyramid.

Noong 1984, itinatag ng mga British Egyptologist na sina Mark Legner (Mark Lehner) at John Goodman (Jon Goodman) ang eksaktong sukat ng pyramid ng Cheops. Ang orihinal na taas nito ay 146.50 metro (kasalukuyang mga 137 metro). Ang average na haba ng bawat isa sa apat na gilid ng istraktura ay 230.363 metro. Ang base ng pyramid ay parisukat na may mataas na katumpakan.

Gamitin natin ang ibinigay na mga numero upang matukoy ang dami ng higanteng bato na ito. Dahil ang pyramid ay isang regular na quadrangular, kung gayon ang formula ay wasto para dito:

Ang pag-plug sa mga numero, makakakuha tayo ng:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Ang dami ng pyramid ng Cheops ay halos 2.6 milyong m3. Para sa paghahambing, tandaan namin na ang Olympic pool ay may dami ng 2.5 thousand m 3. Ibig sabihin, upang mapunan ang buong Cheops pyramid, higit sa 1000 mga pool ang kakailanganin!

- Ito ay isang polyhedron, na nabuo sa pamamagitan ng base ng pyramid at isang seksyon na kahanay nito. Masasabi nating ang pinutol na pyramid ay isang pyramid na may cut off na tuktok. Ang figure na ito ay may maraming natatanging katangian:

Ang mga gilid na mukha ng pyramid ay mga trapezoid;
Ang mga lateral ribs ng isang regular na pinutol na pyramid ay may parehong haba at nakahilig sa base sa parehong anggulo;
Ang mga base ay magkatulad na polygons;
Sa isang regular na pinutol na pyramid, ang mga mukha ay magkaparehong isosceles trapezoids, ang lugar kung saan ay pantay. Ang mga ito ay hilig din sa base sa isang anggulo.

Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng truncated pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid nito:

Dahil ang mga gilid ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid, kakailanganin mong gamitin ang formula upang kalkulahin ang mga parameter lugar ng trapezoid. Para sa isang regular na pinutol na pyramid, maaaring ilapat ang isa pang formula para sa pagkalkula ng lugar. Dahil ang lahat ng panig, mukha, at anggulo nito sa base ay pantay, posibleng ilapat ang mga perimeter ng base at apothem, at nakukuha din ang lugar sa pamamagitan ng anggulo sa base.

Kung, ayon sa mga kondisyon sa isang regular na pinutol na pyramid, ang apothem (taas ng gilid) at ang mga haba ng mga gilid ng base ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng ang mga base at ang apothem:

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang pinutol na pyramid.
Nabigyan ng regular na pentagonal pyramid. Apothem l\u003d 5 cm, ang haba ng mukha sa malaking base ay a\u003d 6 cm, at ang mukha ay nasa mas maliit na base b\u003d 4 cm. Kalkulahin ang lugar ng pinutol na pyramid.

Una, hanapin natin ang mga perimeter ng mga base. Dahil binigyan tayo ng pentagonal pyramid, naiintindihan natin na ang mga base ay mga pentagon. Nangangahulugan ito na ang mga base ay isang pigura na may limang magkaparehong panig. Hanapin ang perimeter ng mas malaking base:

Sa parehong paraan, nakita namin ang perimeter ng mas maliit na base:

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid. Pinapalitan namin ang data sa formula:

Kaya, kinakalkula namin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid sa pamamagitan ng mga perimeter at apothem.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang lateral surface area ng isang regular na pyramid ay ang formula sa pamamagitan ng mga sulok sa base at sa lugar ng mismong mga baseng ito.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula. Tandaan na ang formula na ito ay nalalapat lamang sa isang regular na pinutol na pyramid.

Hayaang magbigay ng regular na quadrangular pyramid. Ang mukha ng ibabang base ay a = 6 cm, at ang mukha ng itaas na b = 4 cm. Ang dihedral na anggulo sa base ay β = 60°. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid.

Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base. Dahil ang pyramid ay regular, ang lahat ng mga mukha ng mga base ay pantay sa bawat isa. Dahil ang base ay isang quadrilateral, naiintindihan namin na kakailanganing kalkulahin parisukat na lugar. Ito ay produkto ng lapad at haba, ngunit parisukat, ang mga halagang ito ay pareho. Hanapin ang lugar ng mas malaking base:

Ngayon ginagamit namin ang mga nahanap na halaga upang makalkula ang lateral surface area.

Alam ang ilang simpleng mga formula, madali naming kinakalkula ang lugar ng lateral trapezoid ng isang pinutol na pyramid sa pamamagitan ng iba't ibang mga halaga.