Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Bakit ipinakilala ang mga konsepto ng "Greatest Common Divisor (GCD)" at "Least Common Multiple (LCM)" ng mga numero sa isang kurso sa matematika ng paaralan

Upang matutunan kung paano hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawa o higit pang mga numero, kailangan mong maunawaan kung ano ang natural, prime at complex na mga numero.


Ang natural na numero ay anumang numero na ginagamit sa pagbilang ng mga integer.


Kung ang isang natural na numero ay maaari lamang hatiin ng sarili at isa, kung gayon ito ay tinatawag na prime.


Ang lahat ng natural na numero ay maaaring hatiin sa pamamagitan ng kanilang sarili at isa, ngunit ang tanging kahit na prime number ay 2, lahat ng iba ay maaaring hatiin ng dalawa. Samakatuwid, ang mga kakaibang numero lamang ang maaaring maging prime.


Mayroong maraming mga pangunahing numero, walang kumpletong listahan ng mga ito. Upang mahanap ang GCD, maginhawang gumamit ng mga espesyal na talahanayan na may ganitong mga numero.


Karamihan sa mga natural na numero ay maaaring hatiin hindi lamang ng isa, sa kanilang sarili, kundi pati na rin ng iba pang mga numero. Kaya, halimbawa, ang numero 15 ay maaaring hatiin ng 3 at 5. Lahat sila ay tinatawag na mga divisors ng numero 15.


Kaya, ang divisor ng alinmang A ay ang bilang kung saan maaari itong hatiin nang walang nalalabi. Kung ang isang numero ay may higit sa dalawang natural na divisors, ito ay tinatawag na composite.


Ang numero 30 ay may mga divisors tulad ng 1, 3, 5, 6, 15, 30.


Makikita mo na ang 15 at 30 ay may parehong divisors 1, 3, 5, 15. Ang pinakamalaking common divisor ng dalawang numerong ito ay 15.


Kaya, ang karaniwang divisor ng mga numerong A at B ay ang bilang kung saan maaari mong ganap na hatiin ang mga ito. Ang maximum ay maaaring ituring na maximum na kabuuang bilang kung saan maaari silang hatiin.


Upang malutas ang mga problema, ginagamit ang sumusunod na pinaikling inskripsyon:


GCD (A; B).


Halimbawa, GCD (15; 30) = 30.


Upang isulat ang lahat ng mga divisors ng isang natural na numero, ginagamit ang notasyon:


D(15) = (1, 3, 5, 15)



gcd (9; 15) = 1


Sa halimbawang ito, ang mga natural na numero ay mayroon lamang isang karaniwang divisor. Ang mga ito ay tinatawag na coprime, ayon sa pagkakabanggit, ang yunit ay ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Paano mahahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero

Upang mahanap ang GCD ng ilang numero, kailangan mo:


Hanapin ang lahat ng mga divisors ng bawat natural na numero nang hiwalay, iyon ay, i-decompose ang mga ito sa mga kadahilanan (prime number);


Piliin ang lahat ng parehong mga kadahilanan para sa mga ibinigay na numero;


I-multiply ang mga ito nang sama-sama.


Halimbawa, upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 30 at 56, isusulat mo ang sumusunod:




Upang hindi malito sa , maginhawang isulat ang mga multiplier gamit ang mga vertical column. Sa kaliwang bahagi ng linya, kailangan mong ilagay ang dibidendo, at sa kanan - ang divisor. Sa ilalim ng dibidendo, dapat mong ipahiwatig ang resultang quotient.


Kaya, sa kanang hanay ay makikita ang lahat ng mga salik na kailangan para sa solusyon.


Maaaring salungguhitan ang magkaparehong divisors (nahanap na mga salik) para sa kaginhawahan. Dapat silang muling isulat at paramihin at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay dapat isulat.





GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10


Ito ay talagang na simple upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero. Sa kaunting pagsasanay, halos awtomatiko mo itong magagawa.


Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.

Halimbawa.

Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang kaugnayan sa pagitan ng LCM at GCD na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.

Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Sagot:

LCM(126, 70)=630 .

Halimbawa.

Ano ang LCM(68, 34) ?

Solusyon.

kasi Ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , pagkatapos ay gcd(68, 34)=34 . Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Sagot:

LCM(68, 34)=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b : kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga kadahilanang ito ay 3 at 5), kung gayon ang produkto ay kukuha ng anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 75 at 210, iyon ay, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Halimbawa.

Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.

Solusyon.

I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:

Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .

Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sa ganitong paraan, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Sagot:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagkabulok ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa pagpapalawak ng bilang 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa pagpapalawak ng bilang 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75 , 210).

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Solusyon.

Una nating makuha ang agnas ng mga numerong 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Sila ay parang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa pagpapalawak ng bilang 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa pagpapalawak ng bilang na 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.

Sagot:

LCM(84, 648)=4 536 .

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Teorama.

Hayaang ibigay ang mga positibong integer a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Una naming mahanap m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .

Ngayon nahanap namin m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.

Kaliwa para hanapin m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Upang gawin ito, makikita natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kung saan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

Sagot:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na patakaran. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solusyon.

Una, nakukuha natin ang mga pagpapalawak ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prime factor) at 143=11 13 .

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7 ) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang mga kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .

Isaalang-alang ang solusyon sa sumusunod na problema. Ang hakbang ng lalaki ay 75 cm, at ang hakbang ng babae ay 60 cm. Kinakailangang hanapin ang pinakamaliit na distansya kung saan pareho silang kukuha ng integer na bilang ng mga hakbang.

Solusyon. Ang buong landas na dadaanan ng mga lalaki ay dapat na mahahati sa 60 at 70 nang walang natitira, dahil dapat silang gumawa ng isang integer na bilang ng mga hakbang. Sa madaling salita, ang sagot ay dapat na isang multiple ng parehong 75 at 60.

Una, isusulat namin ang lahat ng multiple, para sa numerong 75. Nakukuha namin ang:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ngayon isulat natin ang mga numero na magiging multiple ng 60. Nakukuha natin ang:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ngayon nakita namin ang mga numero na nasa magkabilang row.

  • Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero, 300, 600, atbp.

Ang pinakamaliit sa mga ito ay ang bilang na 300. Sa kasong ito, ito ay tatawaging hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Pagbabalik sa kondisyon ng problema, ang pinakamaliit na distansya kung saan ang mga lalaki ay kumuha ng isang integer na bilang ng mga hakbang ay magiging 300 cm. Ang batang lalaki ay pupunta sa ganitong paraan sa 4 na hakbang, at ang babae ay kailangang gumawa ng 5 hakbang.

Paghahanap ng Least Common Multiple

  • Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng multiple para sa mga numerong ito nang sunud-sunod.

Maaari mong gamitin ang sumusunod na paraan.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang

Una, kailangan mong i-decompose ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Ngayon ay isulat natin ang lahat ng mga kadahilanan na nasa pagpapalawak ng unang numero (2,2,3,5) at idagdag dito ang lahat ng nawawalang mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (5).

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang serye ng mga pangunahing numero: 2,2,3,5,5. Ang produkto ng mga numerong ito ay ang hindi gaanong karaniwang kadahilanan para sa mga numerong ito. 2*2*3*5*5 = 300.

Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang

  • 1. I-decompose ang mga numero sa prime factors.
  • 2. Isulat ang mga pangunahing salik na bahagi ng isa sa mga ito.
  • 3. Idagdag sa mga salik na ito ang lahat ng nasa decomposition ng iba, ngunit hindi sa napili.
  • 4. Hanapin ang produkto ng lahat ng mga salik na nakasulat.

Ang pamamaraang ito ay pangkalahatan. Maaari itong magamit upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng anumang bilang ng mga natural na numero.

Pinakamahusay na Common Divisor

Kahulugan 2

Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​o \ D \ (a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:

  1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

    $gcd=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:

    I-decompose natin ang mga numero sa prime factors

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

    $gcd=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NOC

Kahulugan 3

karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang natitira. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.

Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:

  1. I-decompose ang mga numero sa prime factor
  2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

    I-decompose ang mga numero sa prime factor

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Isulat ang mga salik na kasama sa una

    idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi napupunta sa una

    Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.

    Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:

    Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

    Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay nahahati sa isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

  1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
  2. Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$

    3. Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

    Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$

    Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$

Lancinova Aisa

I-download:

Preview:

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com


Mga slide caption:

Mga Gawain para sa GCD at LCM ng mga numero Ang gawain ng isang mag-aaral sa ika-6 na baitang ng MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Supervisor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, guro ng matematika p. Kamyshovo, 2013

Isang halimbawa ng paghahanap ng GCD ng mga numerong 50, 75 at 325. 1) I-decompose natin ang mga numerong 50, 75 at 325 sa prime factor. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 hatiin nang walang nalalabi ang mga numerong a at b ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito.

Isang halimbawa ng paghahanap ng LCM ng mga numero 72, 99 at 117. 1) I-factor natin ang mga numerong 72, 99 at 117. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 at idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik ng natitirang mga numero. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Hanapin ang produkto ng mga resultang salik. . at b.

Ang isang sheet ng karton ay may hugis ng isang parihaba, ang haba nito ay 48 cm at ang lapad ay 40 cm. Ang sheet na ito ay dapat i-cut nang walang basura sa pantay na mga parisukat. Ano ang pinakamalaking mga parisukat na maaaring makuha mula sa sheet na ito at ilan? Solusyon: 1) S = a ∙ b ay ang lugar ng rektanggulo. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². ay ang lugar ng karton. 2) a - gilid ng parisukat 48: a - ang bilang ng mga parisukat na maaaring ilagay sa haba ng karton. 40: a - ang bilang ng mga parisukat na maaaring ilagay sa lapad ng karton. 3) GCD (40 at 48) \u003d 8 (cm) - ang gilid ng parisukat. 4) S \u003d a² - ang lugar ng isang parisukat. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - ang lugar ng isang parisukat. 5) 1960: 64 = 30 (bilang ng mga parisukat). Sagot: 30 parisukat na may gilid na 8 cm bawat isa. Mga gawain para sa GCD

Ang fireplace sa silid ay dapat na inilatag sa pagtatapos ng mga tile sa hugis ng isang parisukat. Ilang tile ang kailangan para sa 195 ͯ 156 cm fireplace at ano ang pinakamalaking sukat ng tile? Solusyon: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S ng ibabaw ng fireplace. 2) GCD (195 at 156) = 39 (cm) - gilid ng tile. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - lugar ng 1 tile. 4) 30420: = 20 (piraso). Sagot: 20 tiles na may sukat na 39 ͯ 39 (cm). Mga gawain para sa GCD

Ang isang plot ng hardin na may sukat na 54 ͯ 48 m sa paligid ng perimeter ay dapat na nabakuran, para dito, ang mga kongkretong haligi ay dapat ilagay sa mga regular na pagitan. Gaano karaming mga poste ang dapat dalhin para sa site, at sa anong maximum na distansya mula sa bawat isa ay tatayo ang mga poste? Solusyon: 1) P = 2(a + b) – perimeter ng site. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 at 48) \u003d 6 (m) - ang distansya sa pagitan ng mga haligi. 3) 204: 6 = 34 (mga haligi). Sagot: 34 na haligi, sa layong 6 m. Mga Gawain para sa GCD

Mula sa 210 burgundy, 126 puti, 294 pulang rosas, mga bouquet ang nakolekta, at sa bawat palumpon ang bilang ng mga rosas ng parehong kulay ay pantay. Ano ang pinakamalaking bilang ng mga bouquet na ginawa mula sa mga rosas na ito at ilang mga rosas ng bawat kulay ang nasa isang palumpon? Solusyon: 1) GCD (210, 126 at 294) = 42 (mga bouquet). 2) 210: 42 = 5 (burgundy roses). 3) 126: 42 = 3 (mga puting rosas). 4) 294: 42 = 7 (mga pulang rosas). Sagot: 42 bouquets: 5 burgundy, 3 puti, 7 pulang rosas sa bawat bouquet. Mga gawain para sa GCD

Binili nina Tanya at Masha ang parehong bilang ng mga mailbox. Nagbayad si Tanya ng 90 rubles, at si Masha ay nagbayad ng 5 rubles. higit pa. Magkano ang halaga ng isang set? Ilang set ang binili ng bawat isa? Solusyon: 1) Nagbayad si Masha ng 90 + 5 = 95 (rubles). 2) GCD (90 at 95) = 5 (rubles) - ang presyo ng 1 set. 3) 980: 5 = 18 (sets) - binili ni Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sets) - Bumili si Masha. Sagot: 5 rubles, 18 set, 19 set. Mga gawain para sa GCD

Nagsisimula ang tatlong biyahe sa bangka ng turista sa port city, ang una ay tumatagal ng 15 araw, ang pangalawa - 20 at ang pangatlo - 12 araw. Pagbalik sa daungan, ang mga barko sa parehong araw ay muling naglalakbay. Ang mga barkong de-motor ay umalis sa daungan sa lahat ng tatlong ruta ngayon. Ilang araw silang maglalayag sa unang pagkakataon? Ilang biyahe ang gagawin ng bawat barko? Solusyon: 1) NOC (15.20 at 12) = 60 (araw) - oras ng pagpupulong. 2) 60: 15 = 4 (paglalayag) - 1 barko. 3) 60: 20 = 3 (paglalayag) - 2 barkong de-motor. 4) 60: 12 = 5 (paglalayag) - 3 barkong de-motor. Sagot: 60 araw, 4 na flight, 3 flight, 5 flight. Mga gawain para sa NOC

Bumili si Masha ng mga itlog para sa Bear sa tindahan. Sa daan patungo sa kagubatan, napagtanto niya na ang bilang ng mga itlog ay nahahati sa 2,3,5,10 at 15. Ilang itlog ang binili ni Masha? Solusyon: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (itlog) Sagot: Bumili si Masha ng 30 itlog. Mga gawain para sa NOC

Kinakailangang gumawa ng isang kahon na may parisukat na ilalim para sa pagsasalansan ng mga kahon na may sukat na 16 ͯ 20 cm Ano ang dapat na pinakamaikling bahagi ng parisukat na ibaba upang magkasya nang mahigpit ang mga kahon sa kahon? Solusyon: 1) NOC (16 at 20) = 80 (mga kahon). 2) S = a ∙ b ay ang lugar ng 1 kahon. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - ang lugar sa ilalim ng 1 kahon. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - square bottom area. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ isang 25600 \u003d 160 ∙ 160 - ang mga sukat ng kahon. Sagot: 160 cm ang gilid ng square bottom. Mga gawain para sa NOC

Sa kahabaan ng kalsada mula sa punto K mayroong mga poste ng kuryente tuwing 45 m. Napagpasyahan na palitan ang mga poste na ito ng iba, na inilalagay ang mga ito sa layo na 60 m mula sa bawat isa. Ilang poste ang naroon at ilan ang tatayo? Solusyon: 1) NOK (45 at 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - may mga haligi. 3) 180: 60 = 3 - may mga haligi. Sagot: 4 pillars, 3 pillars. Mga gawain para sa NOC

Gaano karaming mga sundalo ang nagmamartsa sa parade ground kung sila ay magmartsa sa pagbuo ng 12 katao sa isang linya at magiging isang hanay ng 18 katao sa isang linya? Solusyon: 1) NOC (12 at 18) = 36 (tao) - nagmamartsa. Sagot: 36 katao. Mga gawain para sa NOC