Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto: mga halimbawa, mga solusyon

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano: isaalang-alang ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Tukuyin natin ang isang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya. Pagsasama-samahin natin ang buong teorya gamit ang mga ilustrasyon at paglutas ng mga praktikal na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hayaang magbigay ng rectangular coordinate system O x y sa eroplano.

Teorama 1

Anumang equation ng unang degree, na may anyo na A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang A, B, C ay ilang mga tunay na numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Kaugnay nito, ang anumang linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano ay tinutukoy ng isang equation na may anyo na A x + B y + C = 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halaga A, B, C.

Patunay

Ang teorama na ito ay binubuo ng dalawang puntos, patunayan namin ang bawat isa sa kanila.

  1. Patunayan natin na ang equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa isang linya sa eroplano.

Hayaang magkaroon ng ilang punto M 0 (x 0 , y 0) na ang mga coordinate ay tumutugma sa equation na A x + B y + C = 0 . Kaya: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C \u003d 0 ang kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, nakakakuha kami ng bagong equation na mukhang A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ito ay katumbas ng A x + B y + C = 0 .

Ang resultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Kaya, ang hanay ng mga puntos na M (x, y) ay tumutukoy sa isang rectangular coordinate system ng isang tuwid na linya na patayo sa direksyon ng vector n → = (A, B) . Maaari nating ipagpalagay na hindi ito ganoon, ngunit ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay hindi magiging patayo, at ang pagkakapantay-pantay A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ay hindi magiging totoo.

Samakatuwid, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay tumutukoy sa ilang linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ang katumbas na equation A x + B y + C \u003d 0 ay tumutukoy ang parehong linya. Sa gayon ay napatunayan natin ang unang bahagi ng teorama.

  1. Patunayan natin na ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree na A x + B y + C = 0 .

Magtakda tayo ng isang tuwid na linya a sa isang rectangular coordinate system sa eroplano; punto M 0 (x 0 , y 0) kung saan dumadaan ang linyang ito, gayundin ang normal na vector ng linyang ito n → = (A , B) .

Hayaang mayroon ding ilang punto M (x , y) - isang lumulutang na punto ng linya. Sa kasong ito, ang mga vectors n → = (A , B) at M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ay patayo sa isa't isa, at ang kanilang scalar product ay zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Isulat muli natin ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tukuyin ang C: C = - A x 0 - B y 0 at sa wakas ay makuha ang equation A x + B y + C = 0 .

Kaya, napatunayan na natin ang ikalawang bahagi ng theorem, at napatunayan na natin ang buong theorem sa kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation na mukhang A x + B y + C = 0 - Ito pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate systemO x y .

Batay sa napatunayang teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang eroplano sa isang nakapirming rectangular coordinate system at ang pangkalahatang equation nito ay inextricably naka-link. Sa madaling salita, ang orihinal na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay tumutugma sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Sumusunod din ito mula sa patunay ng theorem na ang mga coefficients A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C = 0 .

Isaalang-alang ang isang tiyak na halimbawa ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaang ibigay ang equation na 2 x + 3 y - 2 = 0, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang ibinigay na rectangular coordinate system. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → = (2 , 3) ​​​​. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pagguhit.

Ang mga sumusunod ay maaari ding pagtalunan: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay tinutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 = 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Makukuha natin ang equation na λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang straight line equation sa isang non-zero number na λ. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ilalarawan nito ang parehong linya sa eroplano.

Kahulugan 2

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya- tulad ng isang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay hindi zero. Kung hindi, ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng tuwid na linya.

  1. Kapag A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay magiging B y + C \u003d 0. Ang ganitong hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na kahanay sa O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x, ang variable na y ay kukuha sa halaga - C B . Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kapag ang A \u003d 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa locus ng mga puntos (x, y) na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B .
  2. Kung A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang pangkalahatang equation ay magiging y \u003d 0. Ang ganitong hindi kumpletong equation ay tumutukoy sa x-axis O x .
  3. Kapag A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, nakakakuha kami ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C \u003d 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis.
  4. Hayaan ang A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, kung gayon ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng form x \u003d 0, at ito ang equation ng coordinate line O y.
  5. Sa wakas, kapag ang A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay nasa anyo na A x + B y \u003d 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0 , 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay A x + B y = 0 , dahil A · 0 + B · 0 = 0 .

Ilarawan natin nang grapiko ang lahat ng nasa itaas na uri ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa y-axis at dumadaan sa puntong 2 7 , - 11 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis ay ibinibigay ng isang equation ng form A x + C \u003d 0, kung saan A ≠ 0. Tinutukoy din ng kundisyon ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa mga kondisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C = 0 , i.e. tama ang pagkakapantay-pantay:

A 2 7 + C = 0

Posibleng matukoy ang C mula dito sa pamamagitan ng pagbibigay sa A ng ilang di-zero na halaga, halimbawa, A = 7 . Sa kasong ito, makakakuha tayo ng: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Alam natin ang parehong coefficients A at C, palitan ang mga ito sa equation A x + C = 0 at makuha ang kinakailangang equation ng linya: 7 x - 2 = 0

Sagot: 7 x - 2 = 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya, ito ay kinakailangan upang isulat ang equation nito.

Solusyon

Ang ibinigay na pagguhit ay nagpapahintulot sa amin na madaling kunin ang paunang data para sa paglutas ng problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa punto (0 , 3).

Ang tuwid na linya, na kahanay sa abscissa, ay tinutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation B y + С = 0. Hanapin ang mga halaga ng B at C. Ang mga coordinate ng punto (0, 3), dahil ang ibinigay na tuwid na linya ay dumaan dito, ay masisiyahan ang equation ng tuwid na linya B y + С = 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay wasto: В · 3 + С = 0. Itakda natin ang B sa ilang halaga maliban sa zero. Sabihin nating B \u003d 1, sa kasong ito, mula sa pagkakapantay-pantay B · 3 + C \u003d 0 mahahanap natin ang C: C \u003d - 3. Gamit ang kilalang mga halaga ng B at C, nakuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 = 0.

Sagot: y - 3 = 0 .

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ng eroplano

Hayaang dumaan ang ibinigay na linya sa puntong M 0 (x 0, y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, i.e. ang pagkakapantay-pantay ay totoo: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng pangkalahatang kumpletong equation ng tuwid na linya. Nakukuha namin ang: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong M 0 (x 0, y 0) at may normal na vector n → \u003d (A, B) .

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible na isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya para sa mga kilalang coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng tuwid na linya na ito.

Halimbawa 3

Ibinigay ang isang punto M 0 (- 3, 4) kung saan dumadaan ang linya, at ang normal na vector ng linyang ito n → = (1 , - 2) . Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang kinakailangang data para sa pag-compile ng equation: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ang problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyong A x + B y + C = 0 . Ang ibinigay na normal na vector ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang mga halaga ng mga coefficient A at B , pagkatapos:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ngayon hanapin natin ang halaga ng C, gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na ibinigay ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Kaya C = 11. Ang kinakailangang straight line equation ay nasa anyong: x - 2 · y + 11 = 0 .

Sagot: x - 2 y + 11 = 0 .

Halimbawa 4

Ibinigay ang isang linya 2 3 x - y - 1 2 = 0 at isang punto M 0 na nakahiga sa linyang ito. Tanging ang abscissa ng puntong ito ay kilala, at ito ay katumbas ng - 3. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ordinate ng ibinigay na punto.

Solusyon

Itakda natin ang pagtatalaga ng mga coordinate ng punto M 0 bilang x 0 at y 0 . Ang paunang data ay nagpapahiwatig na x 0 \u003d - 3. Dahil ang punto ay kabilang sa isang naibigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linyang ito. Pagkatapos ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tukuyin ang y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya at vice versa

Tulad ng alam natin, may ilang uri ng equation ng parehong tuwid na linya sa eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay depende sa mga kondisyon ng problema; posible na piliin ang isa na mas maginhawa para sa solusyon nito. Ito ay kung saan ang kakayahan ng pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri ay dumating sa napaka-madaling gamitin.

Una, isaalang-alang ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng anyong A x + B y + C = 0 patungo sa canonical equation x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kung A ≠ 0, ililipat namin ang terminong B y sa kanang bahagi ng pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi, kinuha namin ang A mula sa mga bracket. Bilang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A = - B y .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B = y A .

Kung B ≠ 0, iniiwan lamang namin ang terminong A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, inililipat namin ang iba sa kanang bahagi, nakukuha namin: A x \u003d - B y - C. Inalis namin ang - B mula sa mga bracket, pagkatapos ay: A x \u003d - B y + C B.

Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - B = y + C B A .

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga resultang formula. Sapat na malaman ang algorithm ng mga aksyon sa panahon ng paglipat mula sa pangkalahatang equation hanggang sa canonical.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng linya 3 y - 4 = 0 ay ibinigay. Kailangan itong i-convert sa isang canonical equation.

Solusyon

Isinulat namin ang orihinal na equation bilang 3 y - 4 = 0 . Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm: ang terminong 0 x ay nananatili sa kaliwang bahagi; at sa kanang bahagi ay inilabas namin - 3 sa mga bracket; makuha natin ang: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Isulat natin ang resultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 = y - 4 3 0 . Kaya, nakuha namin ang isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 = y - 4 3 0.

Upang baguhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa mga parametric, una, ang paglipat sa canonical form ay isinasagawa, at pagkatapos ay ang paglipat mula sa canonical equation ng tuwid na linya sa parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na 2 x - 5 y - 1 = 0 . Isulat ang mga parametric equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ngayon kunin natin ang parehong bahagi ng resultang canonical equation na katumbas ng λ, pagkatapos:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Sagot:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring ma-convert sa isang straight line equation na may slope y \u003d k x + b, ngunit kapag B ≠ 0 lamang. Para sa paglipat sa kaliwang bahagi, iniiwan namin ang terminong B y , ang natitira ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y = - A x - C . Hatiin natin ang parehong bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay sa B , na iba sa zero: y = - A B x - C B .

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay: 2 x + 7 y = 0 . Kailangan mong i-convert ang equation na iyon sa isang slope equation.

Solusyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Sagot: y = - 2 7 x .

Mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form x a + y b \u003d 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inilipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang parehong bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng - С at, sa wakas, ilipat ang mga koepisyent para sa mga variable na x at y sa mga denominador:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Halimbawa 8

Kinakailangang i-convert ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya x - 7 y + 1 2 = 0 sa equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Solusyon

Ilipat natin ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hatiin sa -1/2 magkabilang panig ng equation: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Sa pangkalahatan, madali din ang reverse transition: mula sa iba pang uri ng equation hanggang sa pangkalahatan.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment at ang equation na may slope ay madaling ma-convert sa isang pangkalahatan sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ang canonical equation ay na-convert sa pangkalahatan ayon sa sumusunod na scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Upang pumasa mula sa parametric, una ang paglipat sa canonical ay isinasagawa, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 9

Ang mga parametric equation ng tuwid na linya x = - 1 + 2 · λ y = 4 ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa canonical:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lumipat tayo mula sa canonical hanggang sa pangkalahatan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Sagot: y - 4 = 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 = 1 ay ibinigay. Kinakailangang isagawa ang paglipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Solusyon:

Isulat na lang natin ang equation sa kinakailangang form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Pagguhit ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Sa itaas, sinabi namin na ang pangkalahatang equation ay maaaring isulat sa mga kilalang coordinate ng normal na vector at mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya. Ang nasabing tuwid na linya ay tinukoy ng equation na A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Sa parehong lugar sinuri namin ang kaukulang halimbawa.

Ngayon tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa kung saan, una, kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Ibinigay ang isang linyang parallel sa linyang 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Kilala rin ang puntong M 0 (4 , 1) kung saan dumadaan ang ibinigay na linya. Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagsasabi sa amin na ang mga linya ay parallel, samantalang, bilang isang normal na vector ng linya na ang equation ay kailangang isulat, kinuha namin ang nagdidirekta na vector ng linya n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ngayon alam na natin ang lahat ng kinakailangang data upang mabuo ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Halimbawa 12

Ang ibinigay na linya ay dumadaan sa pinanggalingan patayo sa linyang x - 2 3 = y + 4 5 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang normal na vector ng ibinigay na linya ay ang directing vector ng linya x - 2 3 = y + 4 5 .

Pagkatapos n → = (3 , 5) . Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan, i.e. sa pamamagitan ng puntong O (0, 0) . Buuin natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Sagot: 3 x + 5 y = 0 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay mga equation na tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto nang collinearly sa isang vector ng direksyon.

Hayaang magbigay ng isang punto at isang vector ng direksyon. Ang isang arbitrary na punto ay namamalagi sa isang linya l lamang kung ang mga vector at ay collinear, ibig sabihin, natutugunan nila ang kundisyon:

.

Ang mga equation sa itaas ay ang mga canonical equation ng linya.

Numero m , n At p ay mga projection ng vector ng direksyon papunta sa mga coordinate axes. Dahil ang vector ay hindi zero, kung gayon ang lahat ng mga numero m , n At p hindi maaaring maging zero sa parehong oras. Ngunit ang isa o dalawa sa mga ito ay maaaring zero. Sa analytical geometry, halimbawa, pinapayagan ang sumusunod na notasyon:

,

na nangangahulugan na ang mga projection ng vector sa mga axes Oy At Oz ay katumbas ng zero. Samakatuwid, pareho ang vector at ang tuwid na linya na ibinigay ng mga canonical equation ay patayo sa mga axes Oy At Oz, ibig sabihin, mga eroplano yOz .

Halimbawa 1 Bumuo ng mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na patayo sa isang eroplano at dumadaan sa punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz .

Solusyon. Hanapin ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz. Dahil sa anumang punto sa axis Oz, ay may mga coordinate , kung gayon, ipagpalagay sa ibinigay na equation ng eroplano x=y= 0, nakakakuha tayo ng 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Samakatuwid, ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz ay may mga coordinate (0; 0; 2) . Dahil ang nais na linya ay patayo sa eroplano, ito ay parallel sa normal na vector nito. Samakatuwid, ang normal na vector ay maaaring magsilbi bilang ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya binigay na eroplano.

Ngayon ay isinusulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto A= (0; 0; 2) sa direksyon ng vector :

Mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng dalawang puntos na nakahiga dito At Sa kasong ito, ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay maaaring ang vector . Pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linya ay kunin ang anyo

.

Ang mga equation sa itaas ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.

Halimbawa 2 Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na dumadaan sa mga puntos at .

Solusyon. Isinulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya sa form na ibinigay sa itaas sa teoretikal na sanggunian:

.

Dahil , pagkatapos ay ang nais na linya ay patayo sa axis Oy .

Tuwid bilang isang linya ng intersection ng mga eroplano

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring tukuyin bilang isang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano at, ibig sabihin, bilang isang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa isang sistema ng dalawang linear equation

Ang mga equation ng system ay tinatawag ding pangkalahatang equation ng tuwid na linya sa espasyo.

Halimbawa 3 Bumuo ng mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

Solusyon. Upang isulat ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya o, na pareho, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng anumang dalawang puntos sa tuwid na linya. Maaari silang maging mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may anumang dalawang coordinate na eroplano, halimbawa yOz At xOz .

Punto ng intersection ng isang linya na may eroplano yOz may abscissa x= 0 . Samakatuwid, ipagpalagay sa sistemang ito ng mga equation x= 0 , nakakakuha tayo ng system na may dalawang variable:

Ang kanyang desisyon y = 2 , z= 6 kasama ang x= 0 ay tumutukoy sa isang punto A(0; 2; 6) ng gustong linya. Ipagpalagay na sa ibinigay na sistema ng mga equation y= 0 , nakukuha namin ang system

Ang kanyang desisyon x = -2 , z= 0 kasama ng y= 0 ay tumutukoy sa isang punto B(-2; 0; 0) intersection ng isang linya na may eroplano xOz .

Ngayon isinusulat namin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos A(0; 2; 6) at B (-2; 0; 0) :

,

o pagkatapos hatiin ang mga denominador sa -2:

,

Hayaang dumaan ang tuwid na linya sa mga puntos na M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2:

Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y I) at M 2 (x 2, y 2) ay kahanay sa y-axis. Ang equation nito ay x = x 1 .

Kung y 2 \u003d y I, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay maaaring isulat bilang y \u003d y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay kahanay sa x-axis.

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a; 0), at sa axis ng Oy sa puntong M 2 (0; b). Ang equation ay kukuha ng anyo:
mga.
. Ang equation na ito ay tinatawag ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil ang mga numerong a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng tuwid na linya sa mga coordinate axes.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hanapin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto Mo (x O; y o) patayo sa isang ibinigay na di-zero na vector n = (A; B).

Kumuha ng arbitrary point M(x; y) sa tuwid na linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .

Ang vector n = (A; B) patayo sa linya ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .

Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C \u003d -Ax o - Vu o - libreng miyembro. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya(tingnan ang Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Canonical equation ng tuwid na linya

,

saan
ay ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at
- vector ng direksyon.

Mga kurba ng pangalawang order na Circle

Ang isang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Canonical equation ng isang bilog ng radius R nakasentro sa isang punto
:

Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinagmulan, ang equation ay magiging ganito:

Ellipse

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto At , na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci
.

Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa axis ng Ox at ang pinagmulan ay nasa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo
G de a ang haba ng pangunahing semiaxis; b ay ang haba ng minor semiaxis (Larawan 2).

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A At B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope

y = k 1 x + B 1 ,

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Ox axis

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa eroplano, ang straight line equation na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2 makuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient A ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Solusyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Solusyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya na Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.