Dami ng isang figure na nililimitahan ng mga linya online na calculator. Aralin “Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral

Uri ng aralin: pinagsama-sama.

Layunin ng aralin: matutong kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral.

Mga gawain:

• pagsamahin ang kakayahang makilala ang mga curvilinear trapezoid mula sa isang bilang ng mga geometric na numero at bumuo ng kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng curvilinear trapezoids;
• kilalanin ang konsepto ng isang three-dimensional na pigura;
• matutong kalkulahin ang dami ng mga katawan ng rebolusyon;
• itaguyod ang pagbuo ng lohikal na pag-iisip, karampatang pagsasalita sa matematika, katumpakan kapag gumagawa ng mga guhit;
• upang linangin ang interes sa paksa, sa pagpapatakbo sa matematikal na mga konsepto at imahe, upang linangin ang kalooban, pagsasarili, at tiyaga sa pagkamit ng pangwakas na resulta.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Pagbati mula sa grupo. Ipaalam sa mga mag-aaral ang mga layunin ng aralin.

Pagninilay. Kalmadong himig.

– Nais kong simulan ang aralin ngayon sa isang talinghaga. “Noong unang panahon ay may nabuhay na isang matalinong tao na alam ang lahat. Isang lalaki ang gustong patunayan na hindi alam ng pantas ang lahat. Hawak ang isang butterfly sa kanyang mga palad, nagtanong siya: "Sabihin mo sa akin, sage, kung aling butterfly ang nasa aking mga kamay: patay o buhay?" At siya mismo ang nag-iisip: “Kung sasabihin ng buhay, papatayin ko siya; sasabihin ng patay, palalayain ko siya.” Ang pantas, pagkatapos mag-isip, ay sumagot: "Lahat sa iyong mga kamay". (Pagtatanghal.Slide)

– Samakatuwid, gumawa tayo ng mabunga ngayon, kumuha ng bagong tindahan ng kaalaman, at ilalapat natin ang mga nakuhang kasanayan at kakayahan sa hinaharap na buhay at sa mga praktikal na gawain. "Lahat sa iyong mga kamay".

II. Pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal.

– Alalahanin natin ang mga pangunahing punto ng naunang pinag-aralan na materyal. Upang gawin ito, kumpletuhin natin ang gawain "Alisin ang dagdag na salita."(Mag-slide.)

(Ang mag-aaral ay pumunta sa I.D. ay gumagamit ng isang pambura upang alisin ang dagdag na salita.)

- Tama "Differential". Subukang pangalanan ang natitirang mga salita gamit ang isang karaniwang salita. (Integral na calculus.)

– Tandaan natin ang mga pangunahing yugto at konsepto na nauugnay sa integral calculus..

"Matematical na grupo".

Mag-ehersisyo. Bawiin ang mga puwang. (Lalabas ang mag-aaral at isusulat ang mga kinakailangang salita gamit ang panulat.)

– Makakarinig tayo ng abstract sa aplikasyon ng mga integral mamaya.

Magtrabaho sa mga notebook.

– Ang pormula ng Newton-Leibniz ay hinango ng English physicist na si Isaac Newton (1643–1727) at ng German philosopher na si Gottfried Leibniz (1646–1716). At hindi ito nakakagulat, dahil ang matematika ay ang wikang sinasalita ng kalikasan mismo.

– Isaalang-alang natin kung paano ginagamit ang formula na ito upang malutas ang mga praktikal na problema.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Solusyon: Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa coordinate plane . Piliin natin ang lugar ng figure na kailangang matagpuan.

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

- Bigyang-pansin ang screen. Ano ang ipinapakita sa unang larawan? (Slide) (Ang figure ay nagpapakita ng isang flat figure.)

– Ano ang ipinapakita sa ikalawang larawan? Flat ba ang figure na ito? (Slide) (Ang figure ay nagpapakita ng isang three-dimensional na figure.)

- Sa kalawakan, sa lupa at sa pang-araw-araw na buhay, nakatagpo tayo hindi lamang ng mga flat figure, kundi pati na rin ang mga three-dimensional, ngunit paano natin makalkula ang dami ng naturang mga katawan? Halimbawa, ang dami ng isang planeta, kometa, meteorite, atbp.

– Ang mga tao ay nag-iisip tungkol sa lakas ng tunog kapwa kapag nagtatayo ng mga bahay at kapag nagbubuhos ng tubig mula sa isang sisidlan patungo sa isa pa. Kailangang lumabas ang mga panuntunan at pamamaraan para sa pagkalkula ng mga volume; kung gaano katumpak at makatwiran ang mga ito ay ibang usapin.

Mensahe ng isang estudyante. (Tyurina Vera.)

Ang taong 1612 ay napakabunga para sa mga residente ng Austrian na lungsod ng Linz, kung saan nanirahan ang sikat na astronomer na si Johannes Kepler, lalo na para sa mga ubas. Ang mga tao ay naghahanda ng mga bariles ng alak at gustong malaman kung paano praktikal na matukoy ang kanilang mga volume. (Slide 2)

- Kaya, ang itinuturing na mga gawa ni Kepler ay naglatag ng pundasyon para sa isang buong stream ng pananaliksik na nagtapos sa huling quarter ng ika-17 siglo. disenyo sa mga gawa ni I. Newton at G.V. Leibniz ng differential at integral calculus. Mula sa oras na iyon, ang matematika ng mga variable ay kinuha ang nangungunang lugar sa sistema ng kaalaman sa matematika.

– Ngayon ikaw at ako ay makikibahagi sa gayong mga praktikal na aktibidad, samakatuwid,

Ang paksa ng ating aralin: "Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng pag-ikot gamit ang isang tiyak na integral." (Slide)

– Matututuhan mo ang kahulugan ng isang katawan ng pag-ikot sa pamamagitan ng pagkumpleto ng sumusunod na gawain.

"Labyrinth".

Labyrinth (salitang Griyego) ay nangangahulugang pagpunta sa ilalim ng lupa. Ang labyrinth ay isang masalimuot na network ng mga landas, daanan, at magkakaugnay na mga silid.

Ngunit ang kahulugan ay "nasira," nag-iiwan ng mga pahiwatig sa anyo ng mga arrow.

Mag-ehersisyo. Maghanap ng isang paraan mula sa nakalilitong sitwasyon at isulat ang kahulugan.

Slide. "Pagtuturo sa mapa" Pagkalkula ng mga volume.

Gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang dami ng isang partikular na katawan, sa partikular, isang katawan ng rebolusyon.

Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng base nito (Larawan 1, 2)

Ang dami ng katawan ng pag-ikot ay kinakalkula gamit ang isa sa mga formula:

1. sa paligid ng OX axis.

2. , kung ang pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng axis ng op-amp.

Ang bawat estudyante ay tumatanggap ng instruction card. Binibigyang-diin ng guro ang mga pangunahing punto.

– Ipinapaliwanag ng guro ang mga solusyon sa mga halimbawa sa pisara.

Isaalang-alang natin ang isang sipi mula sa sikat na fairy tale ni A. S. Pushkin "The Tale of Tsar Saltan, ng kanyang maluwalhati at makapangyarihang anak na si Prince Guidon Saltanovich at ng magandang Princess Swan" (Slide 4):

…..
At dinala ng lasing na sugo
Sa parehong araw ang order ay ang mga sumusunod:
"Inutusan ng hari ang kanyang mga boyars,
nang walang pag-aaksaya ng oras,
At ang reyna at ang supling
Palihim na itapon sa kailaliman ng tubig."
Walang magawa: boyars,
Nag-aalala tungkol sa soberanya
At sa batang reyna,
Dumating ang maraming tao sa kanyang kwarto.
Ipinahayag nila ang kalooban ng hari -
Siya at ang kanyang anak ay may masamang bahagi,
Binabasa namin nang malakas ang utos,
At ang reyna sa parehong oras
Inilagay nila ako sa isang bariles kasama ang aking anak,
Nagbubuhos sila ng alkitran at umalis
At pinapasok nila ako sa okiyan -
Ito ang iniutos ni Tsar Saltan.

Ano dapat ang volume ng bariles para magkasya rito ang reyna at ang kanyang anak?

– Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain

1. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng ordinate axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Sagot: 1163 cm 3 .

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabolic trapezoid sa paligid ng abscissa axis y = , x = 4, y = 0.

IV. Pagsasama-sama ng bagong materyal

Halimbawa 2. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng talulot sa paligid ng x-axis y = x 2 , y 2 = x.

Bumuo tayo ng mga graph ng function. y = x 2 , y 2 = x. Iskedyul y2 = x i-convert sa form y= .

Meron kami V = V 1 – V 2 Kalkulahin natin ang volume ng bawat function

– Ngayon, tingnan natin ang tore para sa istasyon ng radyo sa Moscow sa Shabolovka, na itinayo ayon sa disenyo ng kahanga-hangang inhinyero ng Russia, honorary academician na si V. G. Shukhov. Binubuo ito ng mga bahagi - hyperboloids ng pag-ikot. Bukod dito, ang bawat isa sa kanila ay gawa sa mga tuwid na metal rod na kumokonekta sa mga katabing bilog (Larawan 8, 9).

- Isaalang-alang natin ang problema.

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga hyperbola arc sa paligid ng haka-haka na axis nito, tulad ng ipinapakita sa Fig. 8, saan

kubo mga yunit

Mga pangkatang takdang-aralin. Ang mga mag-aaral ay gumuhit ng palabunutan sa mga gawain, gumuhit ng mga guhit sa whatman paper, at isa sa mga kinatawan ng grupo ang nagtatanggol sa gawain.

1st group.

Hit! Hit! Isa pang suntok!
Lumipad ang bola sa goal - BOLA!
At ito ay isang pakwan na bola
Berde, bilog, malasa.
Tingnang mabuti - anong bola!
Ito ay gawa sa walang anuman kundi mga bilog.
Gupitin ang pakwan sa mga bilog
At tikman ang mga ito.

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng OX axis ng function na limitado

Error! Ang bookmark ay hindi tinukoy.

- Mangyaring sabihin sa akin kung saan tayo nagkikita ng figure na ito?

Bahay. gawain para sa 1 pangkat. CYLINDER (slide) .

"Silindro - ano ito?" - tanong ko sa tatay ko.
Ang ama ay tumawa: Ang tuktok na sumbrero ay isang sumbrero.
Upang magkaroon ng tamang ideya,
Ang isang silindro, sabihin natin, ay isang lata.
Steamboat pipe - silindro,
Ang tubo din sa aming bubong,

Ang lahat ng mga tubo ay katulad ng isang silindro.
At nagbigay ako ng isang halimbawa tulad nito -
Aking minamahal na kaleydoskopo,
Hindi mo maalis ang iyong mga mata sa kanya,
At parang cylinder din.

- Mag-ehersisyo. Takdang-Aralin: i-graph ang function at kalkulahin ang volume.

2nd group. CONE (slide).

Sabi ni Nanay: At ngayon
Ang aking kwento ay tungkol sa kono.
Stargazer sa isang mataas na sumbrero
Binibilang ang mga bituin sa buong taon.
CONE - sumbrero ng stargazer.
Ganyan siya. Naiintindihan? Ayan yun.
Si nanay ay nakatayo sa mesa,
Nagsalin ako ng langis sa mga bote.
-Nasaan ang funnel? Walang funnel.
Hanapin mo. Huwag tumayo sa gilid.
- Inay, hindi ako magpapatinag.
Sabihin sa amin ang higit pa tungkol sa kono.
– Ang funnel ay nasa anyo ng watering can cone.
Halika, hanapin mo siya para sa akin dali.
Hindi ko mahanap ang funnel
Ngunit gumawa si nanay ng isang bag,
Ibinalot ko sa daliri ko ang karton
At deftly niya itong sinigurado gamit ang isang paper clip.
Umaagos ang langis, masaya si nanay,
Sakto namang lumabas ang kono.

Mag-ehersisyo. Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis

Bahay. gawain para sa 2nd group. PYRAMID(slide).

Nakita ko yung picture. Sa litratong ito
May PYRAMID sa mabuhanging disyerto.
Lahat ng nasa pyramid ay pambihira,
Mayroong ilang uri ng misteryo at misteryo sa loob nito.
At ang Spasskaya Tower sa Red Square
Ito ay napaka pamilyar sa parehong mga bata at matatanda.
Kung titingnan mo ang tore, mukhang ordinaryo,
Ano ang nasa ibabaw nito? Pyramid!

Mag-ehersisyo. Takdang-Aralin: i-graph ang function at kalkulahin ang volume ng pyramid

– Kinakalkula namin ang mga volume ng iba't ibang mga katawan batay sa pangunahing formula para sa mga volume ng mga katawan gamit ang isang integral.

Ito ay isa pang kumpirmasyon na ang tiyak na integral ay ilang pundasyon para sa pag-aaral ng matematika.

- Well, ngayon magpahinga tayo ng kaunti.

Maghanap ng isang pares.

Tumutugtog ng melody na domino sa matematika.

"Ang daan na hinahanap ko ay hindi malilimutan..."

Gawaing pananaliksik. Paglalapat ng integral sa ekonomiya at teknolohiya.

Mga pagsusulit para sa malalakas na estudyante at mathematical football.

Simulator ng matematika.

2. Ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function ay tinatawag

A) isang hindi tiyak na integral,

B) function,

B) pagkita ng kaibhan.

7. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya:

D/Z. Kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon.

Pagninilay.

Pagtanggap ng pagmuni-muni sa anyo syncwine(limang linya).

1st line – pangalan ng paksa (isang pangngalan).

2nd line – paglalarawan ng paksa sa dalawang salita, dalawang adjectives.

3rd line – paglalarawan ng aksyon sa loob ng paksang ito sa tatlong salita.

Ang ika-4 na linya ay isang parirala ng apat na salita na nagpapakita ng saloobin sa paksa (isang buong pangungusap).

Ang ika-5 linya ay isang kasingkahulugan na inuulit ang kakanyahan ng paksa.

1. Dami.
2. Tiyak na integral, integrable function.
3. Bumubuo kami, umiikot kami, kinakalkula namin.
4. Isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hubog na trapezoid (sa paligid ng base nito).
5. Katawan ng pag-ikot (volumetric geometric body).

Konklusyon (slide).

• Ang isang tiyak na integral ay isang tiyak na pundasyon para sa pag-aaral ng matematika, na gumagawa ng isang hindi mapapalitang kontribusyon sa paglutas ng mga praktikal na problema.
• Ang paksang "Integral" ay malinaw na nagpapakita ng koneksyon sa pagitan ng matematika at pisika, biology, ekonomiya at teknolohiya.
• Ang pag-unlad ng modernong agham ay hindi maiisip nang walang paggamit ng integral. Kaugnay nito, kinakailangang simulan ang pag-aaral nito sa loob ng balangkas ng pangalawang espesyalisadong edukasyon!

Grading. (Na may komentaryo.)

Ang dakilang Omar Khayyam - matematiko, makata, pilosopo. Hinihikayat niya tayong maging panginoon ng ating sariling kapalaran. Makinig tayo sa isang sipi mula sa kanyang trabaho:

Sasabihin mo, ang buhay na ito ay isang sandali.
Pahalagahan ito, kumuha ng inspirasyon mula dito.
Habang ginagastos mo ito, lilipas din ito.
Huwag kalimutan: siya ang iyong nilikha.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot
gamit ang isang tiyak na integral?

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, ang haba ng isang arko, ang ibabaw na lugar ng pag-ikot at marami pang iba. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring manatiling optimistiko!

Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Ipinakilala? ... I wonder kung sino ang nagpresenta ng ano... =))) Nakahanap na kami ng area nito. Ngunit, bilang karagdagan, ang figure na ito ay maaari ding paikutin, at paikutin sa dalawang paraan:

- sa paligid ng abscissa axis;
- sa paligid ng ordinate axis.

Susuriin ng artikulong ito ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili; ito ay nagiging sanhi ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus babalik ako sa problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura, at sasabihin ko sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Ito ay hindi gaanong bonus dahil ang materyal ay angkop sa paksa.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang figure na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , at huwag kalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis. Kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mas mahusay at mabilis ay makikita sa mga pahina Mga graph at katangian ng mga function sa Elementarya At . Ito ay isang paalala ng Tsino, at sa puntong ito ay hindi na ako magtatagal pa.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang ninanais na flat figure ay may kulay na asul; ito ang umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang resulta ay isang bahagyang ovoid flying saucer na simetriko tungkol sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may isang mathematical na pangalan, ngunit ako ay masyadong tamad upang linawin ang anumang bagay sa reference na libro, kaya magpatuloy kami.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang figure ng eroplano ay nililimitahan ng graph ng parabola sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay naka-squad: , kaya ang integral ay palaging hindi negatibo, na napaka-lohikal.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa iyong sagot dapat mong ipahiwatig ang dimensyon - cubic units. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit cubic mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming berdeng lalaki ang mailalagay ng iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na may hangganan ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang flat figure na nililimitahan ng mga linya , , , , nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng pag-ikot bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng .

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng nais na katawan ng pag-ikot:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Nakakaaliw na geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao ay umiinom ng katumbas ng isang silid na 18 metro kuwadrado ng likido sa kanyang buong buhay, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Pakitandaan na ang lahat ng mga kaso ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, ang mga handa na limitasyon ng pagsasama ay talagang ibinibigay. Iguhit nang tama ang mga graph ng trigonometriko function, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph: kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat nang dalawang beses sa kahabaan ng axis. Maipapayo na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang makumpleto ang pagguhit nang mas tumpak. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis ay isang medyo karaniwang panauhin sa pagsubok na trabaho. Sa daan ito ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan ay ang pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo upang mahanap ang pinaka kumikitang landas ng solusyon. Mayroon ding praktikal na kahulugan ng buhay dito! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at mahusay na namamahala ng mga kawani." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Inirerekomenda ko ito sa lahat, kahit na kumpletong dummies. Bukod dito, ang materyal na natutunan sa ikalawang talata ay magbibigay ng napakahalagang tulong sa pagkalkula ng dobleng integral.

Given a flat figure bounded by the lines , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, siguraduhing basahin muna ang una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola na "nakahiga sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na tinalakay sa klase Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

kaya naman:

Bakit masama ang karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, nakakuha kami ng dalawang integral. Pangalawa, may mga ugat sa ilalim ng mga integral, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, at bukod pa, maaari kang malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi mamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay maaaring maging mas malungkot, pinili ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa problema.

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito ng paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Sa kasong ito, sa segment ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang at wala nang iba pa.

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakda mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, isasama namin sa kahabaan ng axis. Una kailangan nating pumunta sa mga inverse function. Nagawa na ito at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay dapat makita bilang pagkakaiba sa mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Ipahiwatig natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang figure na bilog sa berde sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Ano ang pagkakaiba sa pormula sa nakaraang talata? Sa sulat lang.

Ngunit ang bentahe ng pagsasama, na kamakailan kong pinag-usapan, ay mas madaling mahanap , sa halip na itaas muna ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Pakitandaan na kung ang parehong flat figure ay iikot sa paligid ng axis, makakakuha ka ng ganap na naiibang katawan ng pag-ikot, na may ibang volume, natural.

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang plane figure na nakatali sa mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable.
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang mga interesado ay maaari ring mahanap ang lugar ng isang figure sa "karaniwan" na paraan, sa gayon ay suriin ang punto 1). Ngunit kung, ulitin ko, paikutin mo ang isang flat figure sa paligid ng axis, makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot na may ibang dami, sa pamamagitan ng paraan, ang tamang sagot (para rin sa mga gustong malutas ang mga problema).

Ang kumpletong solusyon sa dalawang iminungkahing punto ng gawain ay nasa katapusan ng aralin.

Oo, at huwag kalimutang ikiling ang iyong ulo sa kanan upang maunawaan ang mga katawan ng pag-ikot at ang mga limitasyon ng pagsasama!

Tatapusin ko na sana ang artikulo, ngunit ngayon ay nagdala sila ng isang kawili-wiling halimbawa para lamang sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis. sariwa:

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na nililimitahan ng mga kurba at .

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Sa daan, nakikilala natin ang mga graph ng ilang iba pang mga function. Narito ang isang kawili-wiling graph ng isang even function...

I. Dami ng mga katawan ng rebolusyon. Paunang pag-aralan ang Kabanata XII, mga parapo 197, 198 mula sa aklat-aralin ni G. M. Fikhtengolts * Suriin nang detalyado ang mga halimbawang ibinigay sa parapo 198.

508. Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang ellipse sa paligid ng axis ng Ox.

kaya,

530. Hanapin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng Ox axis ng sinusoid arc y = sin x mula sa point X = 0 hanggang point X = It.

531. Kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang kono na may taas h at radius r.

532. Kalkulahin ang surface area na nabuo

pag-ikot ng astroid x3 -)- y* - a3 sa paligid ng Ox axis.

533. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng loop ng curve 18 ug - x (6 - x) z sa paligid ng Ox axis.

534. Hanapin ang ibabaw ng torus na ginawa ng pag-ikot ng bilog X2 - j - (y-3)2 = 4 sa paligid ng Ox axis.

535. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog X = isang gastos, y = asint sa paligid ng Ox axis.

536. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng loop ng curve x = 9t2, y = St - 9t3 sa paligid ng Ox axis.

537. Hanapin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng arc ng curve x = e*sint, y = el cost sa paligid ng Ox axis

mula t = 0 hanggang t = -.

538. Ipakita na ang ibabaw na ginawa ng pag-ikot ng cycloid arc x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) sa paligid ng Oy axis ay katumbas ng 16 u2 o2.

539. Hanapin ang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

540. Hanapin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng lemniscate Sa paligid ng polar axis.

Mga karagdagang gawain para sa Kabanata IV

Mga lugar ng mga figure ng eroplano

541. Hanapin ang buong lugar ng rehiyon na napapaligiran ng kurba At ang axis Ox.

542. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At ang axis Ox.

543. Hanapin ang bahagi ng lugar ng rehiyon na matatagpuan sa unang kuwadrante at hangganan ng kurba

l coordinate axes.

544. Hanapin ang lugar ng rehiyon na nakapaloob sa loob

mga loop:

545. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng isang loop ng curve:

546. Hanapin ang lugar ng rehiyon na nasa loob ng loop:

547. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At ang axis Ox.

548. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At ang axis Ox.

549. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng axis ng Oxr

tuwid at kurba

Hayaang ang T ay isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng isang curvilinear trapezoid na matatagpuan sa upper half-plane at limitado ng abscissa axis, mga tuwid na linya x=a at x=b at ang graph ng isang tuluy-tuloy na function y= f(x) .

Patunayan natin na ito nga ang katawan ng rebolusyon ay nakakubo at ang dami nito ay ipinahayag ng pormula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Una, pinatutunayan natin na ang katawan ng rebolusyong ito ay regular kung pipiliin natin ang Oyz plane na patayo sa axis ng pag-ikot bilang \Pi. Tandaan na ang seksyong matatagpuan sa layong x mula sa eroplanong Oyz ay isang bilog na radius f(x) at ang lugar nito na S(x) ay katumbas ng \pi f^2(x) (Fig. 46). Samakatuwid, ang function na S(x) ay tuloy-tuloy dahil sa pagpapatuloy ng f(x). Susunod, kung S(x_1)\leqslant S(x_2), kung gayon ang ibig sabihin nito ay . Ngunit ang mga projection ng mga seksyon papunta sa Oyz plane ay mga bilog ng radii f(x_1) at f(x_2) na may center O, at mula sa f(x_1)\leqslant f(x_2) sumusunod na ang isang bilog na radius f(x_1) ay nakapaloob sa isang bilog na radius f(x_2) .

Kaya, ang katawan ng rebolusyon ay regular. Samakatuwid, ito ay nakakubo at ang dami nito ay kinakalkula ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nakatali sa ibaba at sa itaas ng mga kurba y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), kung gayon

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ang formula (3) ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa kaso kapag ang hangganan ng isang umiikot na pigura ay tinukoy ng mga parametric equation. Sa kasong ito, kailangan mong gumamit ng pagbabago ng variable sa ilalim ng tiyak na integral sign.

Sa ilang mga kaso, ito ay nagiging maginhawa upang mabulok ang mga katawan ng pag-ikot hindi sa mga tuwid na pabilog na cylinder, ngunit sa mga figure ng ibang uri.

Halimbawa, hanapin natin dami ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng ordinate axis. Una, hanapin natin ang volume na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may taas na y#, sa base kung saan matatagpuan ang segment . Ang volume na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa mga volume ng dalawang tuwid na pabilog na silindro

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ngunit ngayon ay malinaw na ang kinakailangang dami ay tinatantya mula sa itaas at ibaba tulad ng sumusunod:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Madali itong sumusunod dito formula para sa dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Halimbawa 4. Hanapin natin ang volume ng bola na may radius R.

Solusyon. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, isasaalang-alang namin ang isang bilog ng radius R na ang sentro nito sa pinanggalingan. Ang bilog na ito, na umiikot sa paligid ng Ox axis, ay bumubuo ng bola. Ang equation ng isang bilog ay x^2+y^2=R^2, kaya y^2=R^2-x^2. Isinasaalang-alang ang mahusay na proporsyon ng bilog na nauugnay sa ordinate axis, una naming nakita ang kalahati ng kinakailangang dami

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kaliwa.(\pi\!\kaliwa(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kaliwa(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Samakatuwid, ang dami ng buong bola ay katumbas ng \frac(4)(3)\pi R^3.

Halimbawa 5. Kalkulahin ang volume ng isang kono na ang taas h at base radius r.

Solusyon. Pumili tayo ng coordinate system upang ang Ox axis ay tumutugma sa taas h (Fig. 47), at kunin ang vertex ng cone bilang pinagmulan ng mga coordinate. Pagkatapos ang equation ng straight line OA ay isusulat sa form na y=\frac(r)(h)\,x.

Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kaliwa.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Halimbawa 6. Hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis ng astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Larawan 48).

Solusyon. Bumuo tayo ng astroid. Isaalang-alang natin ang kalahati ng itaas na bahagi ng astroid, na matatagpuan sa simetriko na nauugnay sa ordinate axis. Gamit ang formula (3) at binabago ang variable sa ilalim ng definite integral sign, makikita natin ang mga limitasyon ng integration para sa bagong variable t.

Kung x=a\cos^3t=0 , kung gayon t=\frac(\pi)(2) , at kung x=a\cos^3t=a , kung gayon t=0 . Isinasaalang-alang na ang y^2=a^2\sin^6t at dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Ang dami ng buong katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay magiging \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Halimbawa 7. Hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng ordinate axis ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng x-axis at ang unang arc ng cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Solusyon. Gamitin natin ang formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, at palitan ang variable sa ilalim ng integral sign, na isinasaalang-alang na ang unang arc ng cycloid ay nabuo kapag ang variable t ay nagbabago mula 0 hanggang 2\pi. kaya,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kaliwa(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(aligned)

Paggamit ng mga integral upang mahanap ang mga volume ng katawan ng rebolusyon

Ang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang ng matematika ay dahil sa ang katunayan na walang

Ang partikular na kaalaman sa matematika ay nagpapahirap na maunawaan ang mga prinsipyo ng aparato at ang paggamit ng modernong teknolohiya. Ang bawat tao sa kanyang buhay ay kailangang magsagawa ng medyo kumplikadong mga kalkulasyon, gumamit ng karaniwang ginagamit na kagamitan, hanapin ang mga kinakailangang formula sa mga sangguniang libro, at lumikha ng mga simpleng algorithm para sa paglutas ng mga problema. Sa modernong lipunan, parami nang parami ang mga specialty na nangangailangan ng mataas na antas ng edukasyon ay nauugnay sa direktang aplikasyon ng matematika. Kaya, ang matematika ay nagiging isang propesyonal na makabuluhang paksa para sa isang mag-aaral. Ang nangungunang papel ay nabibilang sa matematika sa pagbuo ng algorithmic na pag-iisip; ito ay bubuo ng kakayahang kumilos ayon sa isang ibinigay na algorithm at upang bumuo ng mga bagong algorithm.

Habang pinag-aaralan ang paksa ng paggamit ng integral upang kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon, iminumungkahi ko na isaalang-alang ng mga mag-aaral sa mga elektibong klase ang paksang: "Mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral." Nasa ibaba ang mga rekomendasyong metodolohikal para sa pagsasaalang-alang sa paksang ito:

1. Lugar ng isang patag na pigura.

Mula sa kursong algebra alam natin na ang mga problemang praktikal ay humantong sa konsepto ng isang tiyak na integral..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid sa paligid ng axis ng Ox, na nalilimitahan ng isang putol na linya y=f(x), ang axis ng Ox, mga tuwid na linya x=a at x=b, kinakalkula namin gamit ang formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Dami ng silindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Nakukuha ang cone sa pamamagitan ng pag-ikot ng right triangle ABC (C = 90) sa paligid ng Ox axis kung saan nakahiga ang leg AC.

Ang Segment AB ay nasa tuwid na linya y=kx+c, kung saan https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Hayaan ang a=0, b=H (H ang taas ng cone), pagkatapos ay Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Dami ng isang pinutol na kono.

Ang pinutol na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihabang trapezoid ABCD (CDOx) sa paligid ng axis ng Ox.

Ang segment AB ay nasa tuwid na linya y=kx+c, kung saan , c=r.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto A (0;r).

Kaya, ang tuwid na linya ay mukhang https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Hayaan ang a=0, b=H (H ang taas ng pinutol na kono), pagkatapos ay https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Dami ng bola.

Maaaring makuha ang bola sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog na may gitnang (0;0) sa paligid ng axis ng Ox. Ang kalahating bilog na matatagpuan sa itaas ng axis ng Ox ay ibinibigay ng equation

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.