Mga halimbawa ng inverse matrix na may 3x3 na solusyon. Paraan ng elementarya na pagbabagong-anyo (Mga pamamaraan ng Gauss at Gauss-Jordan para sa paghahanap ng mga inverse matrice)

Ang paksang ito ay isa sa pinakakinasusuklaman ng mga mag-aaral. Ang mas masahol pa, malamang, ay ang mga kwalipikado.

Ang lansihin ay ang mismong konsepto ng isang kabaligtaran na elemento (at hindi lang ako nagsasalita tungkol sa mga matrice) ay tumutukoy sa atin sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Kahit na sa kurikulum ng paaralan, ang pagpaparami ay itinuturing na isang kumplikadong operasyon, at ang pagpaparami ng mga matrice ay karaniwang isang hiwalay na paksa, kung saan mayroon akong isang buong talata at aralin sa video na nakatuon.

Ngayon hindi kami pupunta sa mga detalye ng mga kalkulasyon ng matrix. Tandaan lamang natin: kung paano itinalaga ang mga matrice, kung paano sila pinaparami, at kung ano ang kasunod nito.

Balik-aral: Matrix Multiplication

Una sa lahat, magkasundo tayo sa notasyon. Ang isang matrix na $A$ na may sukat na $\left[ m\times n \right]$ ay simpleng talahanayan ng mga numero na may eksaktong $m$ na mga hilera at $n$ na mga column:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ ((( a)_(21)) at ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) at ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \kanan])_(n)\]

Upang maiwasan ang hindi sinasadyang paghahalo ng mga hilera at haligi (maniwala ka sa akin, sa isang pagsusulit maaari mong malito ang isa sa dalawa, pabayaan ang ilang mga hilera), tingnan lamang ang larawan:

Anong nangyayari? Kung ilalagay mo ang karaniwang coordinate system na $OXY$ sa kaliwang sulok sa itaas at idirekta ang mga axes upang masakop ng mga ito ang buong matrix, kung gayon ang bawat cell ng matrix na ito ay maaaring natatanging nauugnay sa mga coordinate $\left(x;y \right)$ - ito ang magiging row number at column number.

Bakit nakalagay ang coordinate system sa kaliwang sulok sa itaas? Oo, dahil doon tayo magsisimulang magbasa ng anumang mga teksto. Napakadaling tandaan.

Bakit ang $x$ axis ay nakadirekta pababa at hindi sa kanan? Muli, simple lang ito: kumuha ng karaniwang coordinate system (ang $x$ axis ay papunta sa kanan, ang $y$ axis ay pataas) at i-rotate ito upang masakop nito ang matrix. Ito ay 90 degree clockwise rotation - nakikita natin ang resulta sa larawan.

Sa pangkalahatan, naisip namin kung paano matukoy ang mga indeks ng mga elemento ng matrix. Ngayon tingnan natin ang multiplikasyon.

Kahulugan. Ang mga matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$, kapag ang bilang ng mga column sa una ay tumutugma sa bilang ng mga row sa pangalawa, ay tinatawag na pare-pareho.

Eksakto sa ayos na iyon. Maaaring malito ang isa at sabihin na ang mga matrice na $A$ at $B$ ay bumubuo ng nakaayos na pares $\left(A;B \right)$: kung pare-pareho ang mga ito sa pagkakasunud-sunod na ito, kung gayon hindi na kailangan na $B $ at $A$ ang mga iyon. pare-pareho din ang pares na $\left(B;A \right)$.

Ang mga katugmang matrice lamang ang maaaring i-multiply.

Kahulugan. Ang produkto ng mga katugmang matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$ ay ang bagong matrix $C=\left[ m\times k \right ]$ , ang mga elemento kung saan ang $((c)_(ij))$ ay kinakalkula ayon sa formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Sa madaling salita: para makuha ang elementong $((c)_(ij))$ ng matrix $C=A\cdot B$, kailangan mong kunin ang $i$-row ng unang matrix, ang $j$ -th column ng pangalawang matrix, at pagkatapos ay i-multiply sa mga pares na elemento mula sa row at column na ito. Idagdag ang mga resulta.

Oo, iyon ay isang malupit na kahulugan. Maraming mga katotohanan ang kaagad na sumusunod dito:

1. Ang pagpaparami ng matrix, sa pangkalahatan, ay hindi commutative: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Gayunpaman, ang multiplikasyon ay nag-uugnay: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. At kahit na distributively: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. At muli sa pamamahagi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Ang distributivity ng multiplication ay kailangang ilarawan nang hiwalay para sa kaliwa at kanang sum factor nang tumpak dahil sa non-commutativity ng multiplication operation.

Kung ito ay lumabas na $A\cdot B=B\cdot A$, ang mga naturang matrice ay tinatawag na commutative.

Sa lahat ng mga matrice na pinarami ng isang bagay doon, mayroong mga espesyal - yaong, kapag pinarami ng anumang matrix na $A$, muling nagbibigay ng $A$:

Kahulugan. Ang isang matrix na $E$ ay tinatawag na pagkakakilanlan kung $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Sa kaso ng isang square matrix $A$ maaari naming isulat:

Ang identity matrix ay isang madalas na panauhin kapag nilulutas ang mga equation ng matrix. At sa pangkalahatan, isang madalas na panauhin sa mundo ng mga matrice. :)

At dahil dito sa $E$, may nakaisip ng lahat ng kalokohan na susunod na isusulat.

Ano ang isang inverse matrix

Dahil ang matrix multiplication ay isang napaka-labor-intensive na operasyon (kailangan mong i-multiply ang isang bungkos ng mga row at column), ang konsepto ng isang inverse matrix ay lumalabas din na hindi ang pinakawalang halaga. At nangangailangan ng ilang paliwanag.

Pangunahing Kahulugan

Well, oras na para malaman ang totoo.

Kahulugan. Ang isang matrix na $B$ ay tinatawag na kabaligtaran ng isang matrix na $A$ kung

Ang kabaligtaran na matrix ay tinukoy ng $((A)^(-1))$ (hindi dapat malito sa antas!), kaya ang kahulugan ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Tila ang lahat ay napakasimple at malinaw. Ngunit kapag pinag-aaralan ang kahulugan na ito, maraming mga katanungan ang agad na lumitaw:

1. Lagi bang umiiral ang isang inverse matrix? At kung hindi palaging, kung gayon kung paano matukoy: kailan ito umiiral at kailan hindi?
2. At sino ang nagsabi na mayroong eksaktong isang ganoong matrix? Paano kung para sa ilang paunang matrix na $A$ mayroong isang buong karamihan ng mga inverses?
3. Ano ang hitsura ng lahat ng "reverses" na ito? At paano, eksakto, dapat nating bilangin ang mga ito?

Tulad ng para sa mga algorithm ng pagkalkula, pag-uusapan natin ito sa ibang pagkakataon. Ngunit sasagutin natin ang natitirang mga katanungan sa ngayon. Buuin natin ang mga ito sa anyo ng magkahiwalay na mga pahayag-lemmas.

Mga pangunahing katangian

Magsimula tayo sa kung paano dapat, sa prinsipyo, ang matrix na $A$, upang magkaroon ng $((A)^(-1))$ para dito. Ngayon ay titiyakin namin na ang parehong mga matrice na ito ay dapat na parisukat, at may parehong laki: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Pagkatapos ang parehong mga matrice na ito ay parisukat, at ng parehong pagkakasunud-sunod $n$.

Patunay. Simple lang. Hayaan ang matrix na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Dahil ang produktong $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ay umiiral ayon sa kahulugan, ang mga matrice na $A$ at $((A)^(-1))$ ay pare-pareho sa pagkakasunod-sunod na ipinapakita:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( ihanay)\]

Ito ay direktang kinahinatnan ng matrix multiplication algorithm: ang mga coefficient na $n$ at $a$ ay “transit” at dapat ay pantay.

Kasabay nito, ang inverse multiplication ay tinukoy din: $((A)^(-1))\cdot A=E$, samakatuwid ang mga matrice na $((A)^(-1))$ at $A$ ay pare-pareho din sa tinukoy na pagkakasunud-sunod:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( ihanay)\]

Kaya, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Gayunpaman, ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, samakatuwid ang mga sukat ng mga matrice ay mahigpit na nagtutugma:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Kaya lumalabas na ang lahat ng tatlong matrice - $A$, $((A)^(-1))$ at $E$ - ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Ang lemma ay napatunayan.

Buti na lang. Nakikita natin na ang mga square matrice lamang ang invertible. Ngayon, siguraduhin natin na ang inverse matrix ay palaging pareho.

Lemma 2. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Kung gayon ang kabaligtaran na matrix na ito ay isa lamang.

Patunay. Sumama sa kontradiksyon: hayaan ang matrix na $A$ na magkaroon ng hindi bababa sa dalawang inverses - $B$ at $C$. Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Mula sa Lemma 1, napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na matrice - $A$, $B$, $C$ at $E$ - ay mga parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod: $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, ang produkto ay tinukoy:

Dahil ang matrix multiplication ay nag-uugnay (ngunit hindi commutative!), maaari nating isulat ang:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Nakuha namin ang tanging posibleng opsyon: dalawang kopya ng inverse matrix ay pantay. Ang lemma ay napatunayan.

Ang mga argumento sa itaas ay inuulit halos verbatim ang patunay ng pagiging natatangi ng kabaligtaran na elemento para sa lahat ng tunay na numero $b\ne 0$. Ang tanging makabuluhang karagdagan ay isinasaalang-alang ang dimensyon ng mga matrice.

Gayunpaman, wala pa rin kaming alam tungkol sa kung ang bawat square matrix ay invertible. Narito ang determinant ay tumulong sa amin - ito ay isang pangunahing katangian para sa lahat ng square matrice.

Lemma 3. Binigyan ng matrix na $A$. Kung ang inverse matrix nito ay $((A)^(-1))$, kung gayon ang determinant ng orihinal na matrix ay nonzero:

\[\kaliwa| A\right|\ne 0\]

Patunay. Alam na natin na ang $A$ at $((A)^(-1))$ ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, para sa bawat isa sa kanila maaari nating kalkulahin ang determinant: $\left| A\kanan|$ at $\kaliwa| ((A)^(-1)) \right|$. Gayunpaman, ang determinant ng isang produkto ay katumbas ng produkto ng mga determinant:

\[\kaliwa| A\cdot B \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Ngunit ayon sa kahulugan, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, at ang determinant ng $E$ ay palaging katumbas ng 1, kaya

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kaliwa| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \kaliwa| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng isa lamang kung ang bawat isa sa mga numerong ito ay hindi zero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Kaya lumalabas na $\left| Isang \right|\ne 0$. Ang lemma ay napatunayan.

Sa katunayan, ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal. Ngayon ay susuriin natin ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix - at magiging ganap na malinaw kung bakit, na may zero determinant, walang inverse matrix sa prinsipyo ang maaaring umiral.

Ngunit una, bumalangkas tayo ng isang "pantulong" na kahulugan:

Kahulugan. Ang singular matrix ay isang square matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$ na ang determinant ay zero.

Kaya, maaari nating i-claim na ang bawat invertible matrix ay hindi isahan.

Paano hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang unibersal na algorithm para sa paghahanap ng mga kabaligtaran na matrice. Sa pangkalahatan, mayroong dalawang karaniwang tinatanggap na algorithm, at isasaalang-alang din namin ang pangalawa ngayon.

Ang tatalakayin ngayon ay napakabisa para sa mga matrice na may sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at - partially - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ngunit simula sa laki na $\left[ 4\times 4 \right]$ mas mabuting huwag na itong gamitin. Bakit - ngayon maiintindihan mo ang lahat sa iyong sarili.

Algebraic na mga karagdagan

Maghanda. Ngayon ay magkakaroon ng sakit. Hindi, huwag mag-alala: isang magandang nars sa isang palda, ang mga medyas na may puntas ay hindi lalapit sa iyo at bibigyan ka ng iniksyon sa puwit. Ang lahat ay mas prosaic: algebraic na mga karagdagan at Her Majesty ang "Union Matrix" ay darating sa iyo.

Magsimula tayo sa pangunahing bagay. Hayaang magkaroon ng square matrix na may sukat na $A=\left[ n\times n \right]$, na ang mga elemento ay tinatawag na $((a)_(ij))$. Pagkatapos para sa bawat naturang elemento maaari nating tukuyin ang isang algebraic na pandagdag:

Kahulugan. Algebraic complement $((A)_(ij))$ sa elementong $((a)_(ij))$ na matatagpuan sa $i$th row at $j$th column ng matrix $A=\left[ n \times n \right]$ ay isang pagbuo ng form

\[((A)_(ij))=((\kaliwa(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kung saan ang $M_(ij)^(*)$ ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa orihinal na $A$ sa pamamagitan ng pagtanggal ng parehong $i$th row at $j$th column.

muli. Ang algebraic complement sa isang elemento ng matrix na may mga coordinate na $\left(i;j \right)$ ay tinutukoy bilang $((A)_(ij))$ at kinakalkula ayon sa scheme:

1. Una, tinanggal namin ang $i$-row at $j$-th column mula sa orihinal na matrix. Kumuha kami ng bagong square matrix, at tinutukoy namin ang determinant nito bilang $M_(ij)^(*)$.
2. Pagkatapos ay i-multiply natin ang determinant na ito sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - sa una ang expression na ito ay maaaring mukhang nakakagulat, ngunit sa esensya ay inaalam lang natin ang sign sa harap ng $M_(ij)^(*) $.
3. Nagbibilang kami at nakakakuha ng partikular na numero. Yung. ang algebraic na karagdagan ay tiyak na isang numero, at hindi ilang bagong matrix, atbp.

Ang matrix na $M_(ij)^(*)$ mismo ay tinatawag na karagdagang minor sa elementong $((a)_(ij))$. At sa ganitong kahulugan, ang kahulugan sa itaas ng isang algebraic complement ay isang espesyal na kaso ng isang mas kumplikadong kahulugan - kung ano ang aming tiningnan sa aralin tungkol sa determinant.

Mahalagang paalaala. Sa totoo lang, sa "pang-adulto" na matematika, ang mga pagdaragdag ng algebraic ay tinukoy bilang mga sumusunod:

1. Kumuha kami ng $k$ na mga hilera at $k$ na mga hanay sa isang parisukat na matrix. Sa kanilang intersection ay nakakakuha tayo ng matrix na may sukat na $\left[ k\times k \right]$ - ang determinant nito ay tinatawag na minor of order $k$ at ito ay denoted $((M)_(k))$.
2. Pagkatapos ay i-cross out namin ang mga "napiling" $k$ na row at $k$ na column. Muli kang makakuha ng isang parisukat na matrix - ang determinant nito ay tinatawag na isang karagdagang menor at ito ay tinukoy na $M_(k)^(*)$.
3. I-multiply ang $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, kung saan ang $t$ ay (pansin ngayon!) ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng napiling row at mga hanay. Ito ang magiging algebraic na karagdagan.

Tingnan ang pangatlong hakbang: mayroon talagang kabuuan ng $2k$ na termino! Ang isa pang bagay ay para sa $k=1$ makakakuha lamang tayo ng 2 termino - ang mga ito ay magiging pareho $i+j$ - ang “coordinate” ng elementong $((a)_(ij))$ kung saan tayo ay naghahanap ng algebraic complement.

Kaya ngayon gumagamit kami ng bahagyang pinasimple na kahulugan. Ngunit tulad ng makikita natin mamaya, ito ay higit pa sa sapat. Ang sumusunod na bagay ay mas mahalaga:

Kahulugan. Ang allied matrix na $S$ sa square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$, na nakuha mula sa $A$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $(( a)_(ij))$ ng mga algebraic na karagdagan $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \kanan]\]

Ang unang pag-iisip na lumitaw sa sandaling napagtanto ang kahulugan na ito ay "magkano ang kailangang bilangin!" Relax: kailangan mong magbilang, ngunit hindi gaanong. :)

Well, ang lahat ng ito ay napakabuti, ngunit bakit kailangan? Pero bakit.

Pangunahing teorama

Bumalik tayo ng kaunti. Tandaan, sa Lemma 3 sinabi na ang invertible matrix na $A$ ay palaging hindi isahan (iyon ay, ang determinant nito ay non-zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Kaya, ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix na $A$ ay hindi isahan, kung gayon ito ay palaging invertible. At mayroong kahit isang scheme ng paghahanap para sa $((A)^(-1))$. Tingnan ito:

Inverse matrix theorem. Hayaang magbigay ng square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$, at ang determinant nito ay nonzero: $\left| Isang \right|\ne 0$. Pagkatapos ay umiiral ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ at kinakalkula ng formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kaliwa| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

At ngayon - ang lahat ay pareho, ngunit sa nababasang sulat-kamay. Upang mahanap ang inverse matrix, kailangan mo:

1. Kalkulahin ang determinant na $\left| Isang \right|$ at tiyaking hindi ito zero.
2. Buuin ang union matrix $S$, ibig sabihin. bilangin ang 100500 algebraic na mga karagdagan $((A)_(ij))$ at ilagay ang mga ito sa lugar na $((a)_(ij))$.
3. Ilipat ang matrix na ito $S$, at pagkatapos ay i-multiply ito sa ilang numerong $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Iyon lang! Ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ ay natagpuan. Tingnan natin ang mga halimbawa:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Suriin natin ang reversibility. Kalkulahin natin ang determinant:

\[\kaliwa| A\kanan|=\kaliwa| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Ang determinant ay iba sa zero. Nangangahulugan ito na ang matrix ay invertible. Gumawa tayo ng matrix ng unyon:

Kalkulahin natin ang mga algebraic na karagdagan:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]

Pakitandaan: ang mga determinant |2|, |5|, |1| at |3| ay mga determinant ng mga matrice na may sukat na $\left[ 1\times 1 \right]$, at hindi mga module. Yung. Kung may mga negatibong numero sa mga determinant, hindi na kailangang alisin ang "minus".

Sa kabuuan, ganito ang hitsura ng aming matrix ng unyon:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK tapos na ang lahat Ngayon. Ang problema ay nalutas.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Solusyon. Kinakalkula namin muli ang determinant:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Ang determinant ay nonzero—ang matrix ay invertible. Ngunit ngayon ito ay magiging talagang matigas: kailangan nating magbilang ng kasing dami ng 9 (siyam, motherfucker!) na algebraic na mga karagdagan. At ang bawat isa sa kanila ay maglalaman ng determinant na $\left[ 2\times 2 \right]$. lumipad:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Sa madaling sabi, ang matrix ng unyon ay magiging ganito:

Samakatuwid, ang inverse matrix ay magiging:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Ayan yun. Narito ang sagot.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Tulad ng nakikita mo, sa dulo ng bawat halimbawa nagsagawa kami ng tseke. Sa bagay na ito, isang mahalagang tala:

Huwag tamad mag-check. I-multiply ang orihinal na matrix sa natagpuang inverse matrix - dapat kang makakuha ng $E$.

Ang pagsasagawa ng pagsusuring ito ay mas madali at mas mabilis kaysa sa paghahanap ng error sa mga karagdagang kalkulasyon kapag, halimbawa, nilulutas mo ang isang matrix equation.

Alternatibong paraan

Tulad ng sinabi ko, ang inverse matrix theorem ay gumagana nang mahusay para sa mga sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at $\left[ 3\times 3 \right]$ (sa huling kaso, hindi ito "mahusay" " ), ngunit para sa mas malalaking matrice nagsisimula ang kalungkutan.

Ngunit huwag mag-alala: may alternatibong algorithm kung saan mahinahon mong mahahanap ang inverse kahit para sa matrix na $\left[ 10\times 10 \right]$. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, upang isaalang-alang ang algorithm na ito kailangan namin ng kaunting teoretikal na panimula.

Mga pagbabago sa elementarya

Sa lahat ng posibleng pagbabagong-anyo ng matrix, mayroong ilang mga espesyal - tinatawag silang elementarya. Mayroong eksaktong tatlong gayong mga pagbabagong-anyo:

1. Pagpaparami. Maaari mong kunin ang $i$th row (column) at i-multiply ito sa anumang numerong $k\ne 0$;
2. Dagdag. Idagdag sa $i$-th row (column) ang anumang iba pang $j$-th row (column), na i-multiply sa anumang numero $k\ne 0$ (magagawa mo, siyempre, gawin ang $k=0$, ngunit ano ang ang punto?? Walang magbabago).
3. Muling pagsasaayos. Kunin ang $i$th at $j$th na row (column) at magpalit ng mga lugar.

Bakit ang mga pagbabagong ito ay tinatawag na elementarya (para sa malalaking matrice ay hindi sila mukhang elementarya) at kung bakit tatlo lamang ang mga ito - ang mga tanong na ito ay lampas sa saklaw ng aralin ngayon. Samakatuwid, hindi na kami magdetalye.

Ang isa pang bagay ay mahalaga: kailangan nating gawin ang lahat ng mga perversion na ito sa magkadugtong na matrix. Oo, oo: tama ang narinig mo. Ngayon ay magkakaroon ng isa pang kahulugan - ang huling isa sa aralin ngayon.

Kadugtong na matris

Tiyak na sa paaralan ay nalutas mo ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Well, doon, ibawas ang isa pa mula sa isang linya, i-multiply ang ilang linya sa isang numero - iyon lang.

Kaya: ngayon ang lahat ay magiging pareho, ngunit sa isang "pang-adulto" na paraan. handa na?

Kahulugan. Hayaan ang isang matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ at isang identity matrix na $E$ na may parehong laki na $n$. Pagkatapos ay ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times 2n \right]$ na ganito ang hitsura:

\[\left[ A\left| Tama. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Sa madaling salita, kinukuha namin ang matrix na $A$, sa kanan ay itinatalaga namin dito ang identity matrix na $E$ ng kinakailangang laki, pinaghihiwalay namin ang mga ito gamit ang isang vertical na bar para sa kagandahan - narito mayroon kang magkadugtong. :)

Ano ang catch? Narito kung ano:

Teorama. Hayaang ang matrix na $A$ ay mababaligtad. Isaalang-alang ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \tama]$. Kung gumagamit mga conversion ng elementarya na string dalhin ito sa form na $\left[ E\left| Maliwanag. \right]$, ibig sabihin. sa pamamagitan ng pagpaparami, pagbabawas at muling pagsasaayos ng mga hilera upang makuha mula sa $A$ ang matrix na $E$ sa kanan, pagkatapos ang matrix na $B$ na nakuha sa kaliwa ay ang kabaligtaran ng $A$:

\[\left[ A\left| Tama. \right]\sa \left[ E\left| Maliwanag. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ganun kasimple! Sa madaling salita, ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ganito ang hitsura:

1. Isulat ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$;
2. Magsagawa ng mga elementary string conversion hanggang sa lumitaw ang $E$ sa halip na $A$;
3. Siyempre, may lalabas din sa kaliwa - isang tiyak na matrix na $B$. Ito ang magiging kabaligtaran;
4. KITA! :)

Siyempre, ito ay mas madaling sabihin kaysa gawin. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa: para sa mga sukat na $\left[ 3\times 3 \right]$ at $\left[ 4\times 4 \right]$.

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Solusyon. Lumilikha kami ng magkadugtong na matrix:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 at 1 \\\end(array) \right]\]

Dahil ang huling haligi ng orihinal na matrix ay puno ng mga, ibawas ang unang hilera mula sa iba:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Wala nang mga unit, maliban sa unang linya. Ngunit hindi namin ito hinawakan, kung hindi, ang mga bagong tinanggal na yunit ay magsisimulang "mag-multiply" sa ikatlong hanay.

Ngunit maaari nating ibawas ang pangalawang linya nang dalawang beses mula sa huli - makakakuha tayo ng isa sa ibabang kaliwang sulok:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay maaari nating ibawas ang huling hilera mula sa una at dalawang beses mula sa pangalawa - sa ganitong paraan ay "zero" natin ang unang hanay:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ sa \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I-multiply ang pangalawang linya sa −1, at pagkatapos ay ibawas ito ng 6 na beses mula sa una at magdagdag ng 1 beses sa huli:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ang natitira na lang ay ang magpalit ng mga linya 1 at 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

handa na! Sa kanan ay ang kinakailangang inverse matrix.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Binubuo namin muli ang magkadugtong:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Umiyak tayo ng kaunti, malungkot sa dami ng dapat nating bilangin ngayon... at magsimulang magbilang. Una, "zero out" natin ang unang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 1 sa row 2 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Masyadong maraming "cons" ang nakikita natin sa mga linya 2-4. I-multiply ang lahat ng tatlong row sa −1, at pagkatapos ay sunugin ang ikatlong column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 3 mula sa iba pa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon na ang oras upang "iprito" ang huling hanay ng orihinal na matrix: ibawas ang linya 4 mula sa natitira:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Panghuling paghagis: "i-burn out" ang pangalawang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng linya 2 mula sa linya 1 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

At muli ang identity matrix ay nasa kaliwa, na nangangahulugang ang kabaligtaran ay nasa kanan. :)

Sagot. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Ipagpatuloy natin ang pag-uusap tungkol sa mga aksyon na may mga matrice. Ibig sabihin, sa panahon ng pag-aaral ng panayam na ito matututunan mo kung paano hanapin ang inverse matrix. Matuto. Kahit mahirap ang math.

Ano ang isang inverse matrix? Dito maaari tayong gumuhit ng isang pagkakatulad sa mga kabaligtaran na numero: isaalang-alang, halimbawa, ang optimistikong numero 5 at ang kabaligtaran na numero nito. Ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng isa: . Ang lahat ay katulad sa matrices! Ang produkto ng isang matrix at ang inverse matrix nito ay katumbas ng - matrix ng pagkakakilanlan, na siyang matrix analogue ng numerical unit. Gayunpaman, una sa lahat - lutasin muna natin ang isang mahalagang praktikal na isyu, ibig sabihin, alamin kung paano hanapin ang napakabaligtad na matrix na ito.

Ano ang kailangan mong malaman at magagawa upang mahanap ang inverse matrix? Dapat marunong kang magdesisyon mga kwalipikasyon. Dapat mong maunawaan kung ano ito matris at makapagsagawa ng ilang mga aksyon sa kanila.

Mayroong dalawang pangunahing pamamaraan para sa paghahanap ng inverse matrix:
sa pamamagitan ng paggamit algebraic na mga karagdagan At gamit ang elementarya na pagbabago.

Ngayon ay pag-aaralan natin ang una, mas simpleng paraan.

Magsimula tayo sa pinaka-kahila-hilakbot at hindi maintindihan. Isaalang-alang natin parisukat matris. Ang inverse matrix ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

Saan ang determinant ng matrix, ay ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

Ang konsepto ng isang inverse matrix ay umiiral lamang para sa mga square matrice, matrice "dalawa sa dalawa", "tatlo sa tatlo", atbp.

Mga pagtatalaga: Tulad ng maaaring napansin mo na, ang inverse matrix ay tinutukoy ng isang superscript

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - isang two-by-two matrix. Kadalasan, siyempre, kinakailangan ang "tatlo sa tatlo", ngunit, gayunpaman, masidhi kong inirerekumenda ang pag-aaral ng isang mas simpleng gawain upang maunawaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon.

Halimbawa:

Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Magdesisyon tayo. Ito ay maginhawa upang masira ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon point sa punto.

1) Una naming mahanap ang determinant ng matrix.

Kung ang iyong pag-unawa sa aksyon na ito ay hindi maganda, basahin ang materyal Paano makalkula ang determinant?

Mahalaga! Kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng ZERO– baligtad na matris WALA NA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, tulad ng nangyari, , na nangangahulugan na ang lahat ay nasa ayos.

2) Hanapin ang matrix ng mga menor de edad.

Upang malutas ang aming problema, hindi kinakailangang malaman kung ano ang isang menor de edad, gayunpaman, ipinapayong basahin ang artikulo Paano makalkula ang determinant.

Ang matrix ng mga menor de edad ay may parehong mga sukat ng matrix, iyon ay, sa kasong ito.
Ang tanging bagay na natitira upang gawin ay maghanap ng apat na numero at ilagay ang mga ito sa halip na mga asterisk.

Bumalik tayo sa ating matrix
Tingnan muna natin ang itaas na kaliwang elemento:

Paano ito mahahanap menor de edad?
At ito ay ginagawa tulad nito: MENTALly i-cross out ang row at column kung saan matatagpuan ang elementong ito:

Ang natitirang numero ay minor ng elementong ito, na isinusulat namin sa aming matrix ng mga menor de edad:

Isaalang-alang ang sumusunod na elemento ng matrix:

Itawid sa isip ang row at column kung saan lumalabas ang elementong ito:

Ang natitira ay ang menor de edad ng elementong ito, na isinusulat namin sa aming matrix:

Katulad nito, isinasaalang-alang namin ang mga elemento ng pangalawang hilera at hinahanap ang kanilang mga menor de edad:


handa na.

Simple lang. Sa matrix ng mga menor de edad na kailangan mo PAGBABAGO NG MGA ALAMAT dalawang numero:

Ito ang mga numero na inikot ko!

– matrix ng mga algebraic na pagdaragdag ng mga kaukulang elemento ng matrix.

At basta...

4) Hanapin ang transposed matrix ng mga algebraic na karagdagan.

– transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

5) Sagot.

Tandaan natin ang ating formula
Ang lahat ay natagpuan!

Kaya ang inverse matrix ay:

Ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot bilang ay. HINDI NA KAILANGAN hatiin ang bawat elemento ng matrix ng 2, dahil ang resulta ay mga fractional na numero. Ang nuance na ito ay tinalakay nang mas detalyado sa parehong artikulo. Mga aksyon na may mga matrice.

Paano suriin ang solusyon?

Kailangan mong magsagawa ng matrix multiplication o

Pagsusuri:

Natanggap na nabanggit na matrix ng pagkakakilanlan ay isang matrix na may mga by pangunahing dayagonal at mga sero sa ibang mga lugar.

Kaya, ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama.

Kung gagawin mo ang aksyon, ang resulta ay isang identity matrix din. Ito ay isa sa ilang mga kaso kung saan ang matrix multiplication ay commutative, higit pang mga detalye ay matatagpuan sa artikulo Mga katangian ng mga operasyon sa mga matrice. Mga Ekspresyon ng Matrix. Tandaan din na sa panahon ng tseke, ang pare-pareho (fraction) ay dinadala at pinoproseso sa pinakadulo - pagkatapos ng pagpaparami ng matrix. Ito ay isang karaniwang pamamaraan.

Lumipat tayo sa isang mas karaniwang kaso sa pagsasanay - ang three-by-three matrix:

Halimbawa:

Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Ang algorithm ay eksaktong kapareho ng para sa "dalawa sa dalawa" na kaso.

Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula: , kung saan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

1) Hanapin ang determinant ng matrix.

Dito ipinahayag ang determinant sa unang linya.

Gayundin, huwag kalimutan iyon, na nangangahulugan na ang lahat ay maayos - umiiral ang inverse matrix.

2) Hanapin ang matrix ng mga menor de edad.

Ang matrix ng mga menor de edad ay may sukat na "tatlo sa tatlo" , at kailangan nating maghanap ng siyam na numero.

Titingnan ko nang detalyado ang ilang menor de edad:

Isaalang-alang ang sumusunod na elemento ng matrix:

MENTAL na i-cross out ang row at column kung saan matatagpuan ang elementong ito:

Isinulat namin ang natitirang apat na numero sa determinant na "dalawa sa dalawa".

Itong two-by-two determinant at ay ang menor de edad ng elementong ito. Kailangan itong kalkulahin:


Iyon lang, natagpuan ang menor de edad, isinulat namin ito sa aming matrix ng mga menor de edad:

Tulad ng malamang na nahulaan mo, kailangan mong kalkulahin ang siyam na dalawa-sa-dalawang determinant. Ang proseso, siyempre, ay nakakapagod, ngunit ang kaso ay hindi ang pinakamalubha, maaari itong maging mas masahol pa.

Well, para pagsama-samahin – paghahanap ng isa pang menor de edad sa mga larawan:

Subukang kalkulahin ang natitirang mga menor de edad.

Panghuling resulta:
– matrix ng mga menor de edad ng mga kaukulang elemento ng matrix.

Ang katotohanan na ang lahat ng mga menor de edad ay naging negatibo ay isang aksidente lamang.

3) Hanapin ang matrix ng mga algebraic na karagdagan.

Sa matrix ng mga menor de edad ito ay kinakailangan PAGBABAGO NG MGA ALAMAT mahigpit para sa mga sumusunod na elemento:

Sa kasong ito:

Hindi namin isinasaalang-alang ang paghahanap ng inverse matrix para sa isang "four by four" na matrix, dahil ang ganitong gawain ay maaari lamang ibigay ng isang sadistic na guro (para makalkula ng estudyante ang isang "four by four" determinant at 16 "three by three" determinants ). Sa aking pagsasanay, mayroon lamang isang ganoong kaso, at ang customer ng pagsubok ay nagbayad ng medyo mahal para sa aking paghihirap =).

Sa isang bilang ng mga aklat-aralin at manwal maaari kang makahanap ng isang bahagyang naiibang diskarte sa paghahanap ng inverse matrix, ngunit inirerekumenda ko ang paggamit ng algorithm ng solusyon na nakabalangkas sa itaas. Bakit? Dahil ang posibilidad na malito sa mga kalkulasyon at mga palatandaan ay mas mababa.

Para sa anumang non-singular na matrix A mayroong isang natatanging matrix A -1 tulad na

A*A -1 =A -1 *A = E,

kung saan ang E ay ang identity matrix ng parehong mga order bilang A. Ang matrix A -1 ay tinatawag na inverse ng matrix A.

Kung sakaling may nakalimutan, sa matrix ng pagkakakilanlan, maliban sa diagonal na puno ng mga iyon, ang lahat ng iba pang mga posisyon ay puno ng mga zero, isang halimbawa ng isang identity matrix:

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang adjoint matrix method

Ang inverse matrix ay tinukoy ng formula:

kung saan A ij - elemento a ij.

Yung. Upang kalkulahin ang inverse matrix, kailangan mong kalkulahin ang determinant ng matrix na ito. Pagkatapos ay hanapin ang algebraic complements para sa lahat ng elemento nito at bumuo ng bagong matrix mula sa kanila. Susunod na kailangan mong dalhin ang matrix na ito. At hatiin ang bawat elemento ng bagong matrix ng determinant ng orihinal na matrix.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Hanapin ang A -1 para sa isang matrix

Solusyon. Hanapin natin ang A -1 gamit ang magkadugtong na pamamaraan ng matrix. Mayroon kaming det A = 2. Hanapin natin ang mga algebraic complements ng mga elemento ng matrix A. Sa kasong ito, ang algebraic complements ng mga elemento ng matrix ay ang mga kaukulang elemento ng matrix mismo, na kinuha gamit ang isang sign alinsunod sa formula

Mayroon kaming A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Binubuo namin ang magkadugtong na matrix

Dinadala namin ang matrix A*:

Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula:

Nakukuha namin:

Gamit ang adjoint matrix method, hanapin ang A -1 kung

Solusyon. Una sa lahat, kinakalkula namin ang kahulugan ng matrix na ito upang i-verify ang pagkakaroon ng inverse matrix. Meron kami

Dito namin idinagdag sa mga elemento ng pangalawang hilera ang mga elemento ng ikatlong hilera, na dati ay pinarami ng (-1), at pagkatapos ay pinalawak ang determinant para sa pangalawang hilera. Dahil ang kahulugan ng matrix na ito ay nonzero, ang inverse matrix nito ay umiiral. Upang mabuo ang magkadugtong na matrix, makikita natin ang mga algebraic na pandagdag ng mga elemento ng matrix na ito. Meron kami

Ayon sa formula

transport matrix A*:

Pagkatapos ay ayon sa formula

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang paraan ng elementarya na pagbabago

Bilang karagdagan sa paraan ng paghahanap ng inverse matrix, na sumusunod mula sa formula (ang adjoint matrix method), mayroong isang paraan para sa paghahanap ng inverse matrix, na tinatawag na paraan ng elementarya na pagbabago.

Mga pagbabago sa elementarya na matrix

Ang mga sumusunod na pagbabago ay tinatawag na elementarya na pagbabagong-anyo ng matrix:

1) muling pagsasaayos ng mga hilera (mga haligi);

2) pagpaparami ng row (column) sa isang numero maliban sa zero;

3) pagdaragdag sa mga elemento ng isang row (column) ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (column), na dati nang pinarami ng isang tiyak na numero.

Upang mahanap ang matrix A -1, bumuo kami ng isang rectangular matrix B = (A|E) ng mga order (n; 2n), na itinatalaga sa matrix A sa kanan ang identity matrix E sa pamamagitan ng isang linyang naghahati:

Tingnan natin ang isang halimbawa.

Gamit ang paraan ng elementarya na pagbabago, hanapin ang A -1 kung

Solusyon. Bumubuo tayo ng matrix B:

Tukuyin natin ang mga hilera ng matrix B ng α 1, α 2, α 3. Isagawa natin ang mga sumusunod na pagbabago sa mga hilera ng matrix B.

Paghahanap ng inverse matrix.

Sa artikulong ito mauunawaan natin ang konsepto ng isang inverse matrix, mga katangian nito at mga paraan ng paghahanap. Isaalang-alang natin ang detalye sa paglutas ng mga halimbawa kung saan kinakailangan na bumuo ng isang kabaligtaran na matrix para sa isang naibigay na isa.

Pag-navigate sa pahina.

Inverse matrix - kahulugan.

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic complements.

Mga katangian ng isang inverse matrix.

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang Gauss-Jordan method.

Ang paghahanap ng mga elemento ng inverse matrix sa pamamagitan ng paglutas ng mga kaukulang sistema ng linear algebraic equation.

Inverse matrix - kahulugan.

Ang konsepto ng isang inverse matrix ay ipinakilala lamang para sa mga square matrice na ang determinant ay nonzero, iyon ay, para sa non-singular square matrice.

Kahulugan.

Matrixtinatawag na kabaligtaran ng isang matris, na ang determinant ay naiiba sa zero kung ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo , Saan E– unit order matrix n sa n.

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic complements.

Paano mahahanap ang inverse matrix para sa isang naibigay na isa?

Una, kailangan natin ang mga konsepto transposed matrix, matrix minor at algebraic complement ng isang elemento ng matrix.

Kahulugan.

menor de edadkth utos matrice A utos m sa n ay ang determinant ng order matrix k sa k, na nakuha mula sa mga elemento ng matrix A matatagpuan sa napili k mga linya at k mga hanay. ( k hindi lalampas sa pinakamaliit na bilang m o n).

menor de edad (n-1) ika order, na binubuo ng mga elemento ng lahat ng row maliban sa i-th, at lahat ng column maliban sa jth, parisukat na matris A utos n sa n tukuyin natin ito bilang .

Sa madaling salita, ang menor de edad ay nakuha mula sa isang square matrix A utos n sa n sa pamamagitan ng pagtawid ng mga elemento i-th mga linya at jth hanay.

Halimbawa, magsulat tayo, menor de edad ika-2 order, na nakuha mula sa matrix pagpili ng mga elemento ng pangalawa, pangatlong hanay at una, pangatlong hanay nito . Ipapakita din namin ang menor de edad, na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtawid sa ikalawang linya at ikatlong hanay . Ilarawan natin ang pagtatayo ng mga menor de edad na ito: at .

Kahulugan.

Algebraic na pandagdag Ang elemento ng isang square matrix ay tinatawag na minor (n-1) ika order, na nakuha mula sa matrix A, tinatawid ang mga elemento nito i-th mga linya at jth column na pinarami ng .

Ang algebraic complement ng isang elemento ay tinutukoy bilang . kaya, .

Halimbawa, para sa matrix ang algebraic complement ng isang elemento ay .

Pangalawa, kakailanganin natin ng dalawang katangian ng determinant, na tinalakay natin sa seksyon pagkalkula ng determinant ng isang matrix:

Batay sa mga katangiang ito ng determinant, ang kahulugan mga operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero at ang konsepto ng isang inverse matrix ay totoo: , kung saan ang isang transposed matrix na ang mga elemento ay algebraic complements.

Matrix ay talagang kabaligtaran ng matris A, dahil nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay . Ipakita natin

Mag-compose tayo algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix gamit ang pagkakapantay-pantay .

Tingnan natin ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Binigyan ng matrix . Hanapin ang inverse matrix.

Solusyon.

Kalkulahin natin ang determinant ng matrix A, nabubulok ito sa mga elemento ng ikatlong hanay:

Ang determinant ay nonzero, kaya ang matrix A nababaligtad.

Maghanap tayo ng matrix ng mga algebraic na karagdagan:

kaya lang

I-transpose natin ang matrix mula sa mga algebraic na pagdaragdag:

Ngayon nakita namin ang inverse matrix bilang :

Tingnan natin ang resulta:

Mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, samakatuwid, ang inverse matrix ay natagpuan nang tama.

Mga katangian ng isang inverse matrix.

Ang konsepto ng isang inverse matrix, pagkakapantay-pantay , ang mga kahulugan ng mga operasyon sa mga matrice at mga katangian ng determinant ng isang matrix ay ginagawang posible na bigyang-katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng inverse matrix:

Ang paghahanap ng mga elemento ng inverse matrix sa pamamagitan ng paglutas ng mga kaukulang sistema ng linear algebraic equation.

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang mahanap ang inverse matrix para sa isang square matrix A utos n sa n.

Ang pamamaraang ito ay batay sa solusyon n sistema ng linear inhomogeneous algebraic equation sa n hindi kilala. Ang hindi kilalang mga variable sa mga sistemang ito ng mga equation ay ang mga elemento ng inverse matrix.

Ang ideya ay napaka-simple. Tukuyin natin ang inverse matrix bilang X, yan ay, . Dahil sa pamamagitan ng kahulugan ng inverse matrix, kung gayon

Equating ang kaukulang mga elemento sa pamamagitan ng mga haligi, makuha namin n sistema ng mga linear na equation

Nilulutas namin ang mga ito sa anumang paraan at bumubuo ng isang kabaligtaran na matrix mula sa mga nahanap na halaga.

Tingnan natin ang pamamaraang ito na may isang halimbawa.

Halimbawa.

Binigyan ng matrix . Hanapin ang inverse matrix.

Solusyon.

Tanggapin natin . Ang pagkakapantay-pantay ay nagbibigay sa atin ng tatlong sistema ng linear inhomogeneous algebraic equation:

Hindi namin ilalarawan ang solusyon sa mga sistemang ito; kung kinakailangan, sumangguni sa seksyon paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation.

Mula sa unang sistema ng mga equation na mayroon tayo, mula sa pangalawa - , mula sa pangatlo - . Samakatuwid, ang kinakailangang inverse matrix ay may anyo . Inirerekomenda namin na suriin ito upang matiyak na tama ang resulta.

Ibuod.

Tiningnan namin ang konsepto ng isang inverse matrix, ang mga katangian nito, at tatlong pamamaraan para sa paghahanap nito.

Halimbawa ng mga solusyon gamit ang inverse matrix method

Ehersisyo 1. Lutasin ang SLAE gamit ang inverse matrix method. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Simula ng form

Katapusan ng anyo

Solusyon. Isulat natin ang matrix sa anyo: Vector B: B T = (1,2,3,4) Pangunahing determinant Minor para sa (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor para sa (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor para sa (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor para sa (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinant ng minor ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transposed matrix Algebraic na mga karagdagan ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverse matrix Resulta ng vector X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

Tingnan din mga solusyon ng SLAE gamit ang inverse matrix method online. Upang gawin ito, ipasok ang iyong data at makatanggap ng solusyon na may mga detalyadong komento.

Gawain 2. Isulat ang sistema ng mga equation sa anyong matrix at lutasin ito gamit ang inverse matrix. Suriin ang resultang solusyon. Solusyon:xml:xls

Halimbawa 2. Isulat ang sistema ng mga equation sa anyong matrix at lutasin gamit ang inverse matrix. Solusyon:xml:xls

Halimbawa. Ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam ay ibinigay. Kinakailangan: 1) hanapin ang solusyon nito gamit ang Mga formula ng Cramer; 2) isulat ang sistema sa anyong matrix at lutasin ito gamit ang matrix calculus. Mga Alituntunin. Pagkatapos mag-solve sa pamamagitan ng Cramer's method, hanapin ang "Solving by inverse matrix method para sa source data" na button. Makakatanggap ka ng naaangkop na solusyon. Kaya, hindi mo na kailangang punan muli ang data. Solusyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A ang matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam; X - matrix-column ng mga hindi alam; B - matrix-column ng mga libreng miyembro:

Vector B: B T =(4,-3,-3) Kung isasaalang-alang ang mga notasyong ito, ang sistema ng mga equation na ito ay kumukuha ng sumusunod na matrix form: A*X = B. Kung ang matrix A ay hindi isahan (ang determinant nito ay hindi zero , pagkatapos ay mayroon itong inverse matrix A -1... Pag-multiply ng magkabilang panig ng equation sa A -1, makuha natin ang: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A = E. Ito pagkakapantay-pantay ang tawag matrix notation ng solusyon sa isang sistema ng mga linear equation. Upang makahanap ng solusyon sa sistema ng mga equation, kinakailangan upang kalkulahin ang inverse matrix A -1. Ang sistema ay magkakaroon ng solusyon kung ang determinant ng matrix A ay nonzero. Hanapin natin ang pangunahing determinant. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Kaya, determinant 14 ≠ 0, kaya tayo ipagpatuloy ang solusyon. Upang gawin ito, makikita natin ang inverse matrix sa pamamagitan ng mga algebraic na pagdaragdag. Magkaroon tayo ng non-singular matrix A:

Kinakalkula namin ang algebraic complements.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Pagsusulit. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Sagot: -1,1,2.

Upang mahanap ang inverse matrix online, kakailanganin mong ipahiwatig ang laki ng mismong matrix. Upang gawin ito, mag-click sa mga icon na “+” o “-” hanggang sa masiyahan ka sa bilang ng mga column at row. Susunod, ipasok ang mga kinakailangang elemento sa mga patlang. Nasa ibaba ang pindutang "Kalkulahin" - sa pamamagitan ng pag-click dito, makakatanggap ka ng sagot sa screen na may detalyadong solusyon.

Sa linear algebra, madalas na kailangang harapin ng isa ang proseso ng pagkalkula ng inverse matrix. Umiiral lamang ito para sa mga hindi naipahayag na matrice at para sa mga square matrice sa kondisyon na ang determinant ay nonzero. Sa prinsipyo, ang pagkalkula nito ay hindi partikular na mahirap, lalo na kung ikaw ay nakikitungo sa isang maliit na matrix. Ngunit kung kailangan mo ng mas kumplikadong mga kalkulasyon o isang masusing pag-double-check ng iyong desisyon, mas mahusay na gamitin ang online na calculator na ito. Sa tulong nito, maaari mong mabilis at tumpak na malutas ang isang kabaligtaran na matrix.

Gamit ang online na calculator na ito, maaari mong gawing mas madali ang iyong mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, nakakatulong ito upang pagsamahin ang materyal na nakuha sa teorya - ito ay isang uri ng simulator para sa utak. Hindi ito dapat ituring bilang isang kapalit para sa mga manu-manong kalkulasyon; maaari itong magbigay sa iyo ng higit pa, na ginagawang mas madaling maunawaan ang algorithm mismo. Bukod dito, hindi kailanman masakit na i-double-check ang iyong sarili.