Derivative na may online na parameter. Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Isaalang-alang ang pagtukoy ng isang linya sa isang eroplano kung saan ang mga variable na x, y ay mga function ng isang ikatlong variable t (tinatawag na isang parameter):

Para sa bawat halaga t mula sa isang tiyak na agwat ang ilang mga halaga ay tumutugma x At y, a, samakatuwid, isang tiyak na punto M (x, y) ng eroplano. Kailan t tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang punto M (x, y) ay naglalarawan ng ilang linya L. Ang mga equation (2.2) ay tinatawag na parametric line equation L.

Kung ang function na x = φ(t) ay may kabaligtaran na t = Ф(x), pagkatapos ay palitan ang expression na ito sa equation na y = g(t), makuha namin ang y = g(Ф(x)), na tumutukoy y bilang isang katangian ng x. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang mga equation (2.2) ay tumutukoy sa function y parametrically.

Halimbawa 1. Hayaan M(x,y)– di-makatwirang punto sa isang bilog ng radius R at nakasentro sa pinanggalingan. Hayaan t– anggulo sa pagitan ng axis baka at radius OM(tingnan ang Fig. 2.3). Pagkatapos x, y ay ipinahayag sa pamamagitan ng t:

Ang mga equation (2.3) ay mga parametric equation ng isang bilog. Huwag nating isama ang parameter t sa mga equation (2.3). Upang gawin ito, parisukat namin ang bawat equation at idagdag ito, nakukuha namin: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) o x 2 + y 2 = R 2 – ang equation ng isang bilog sa Cartesian sistema ng coordinate. Tinutukoy nito ang dalawang function: Ang bawat isa sa mga function na ito ay ibinibigay ng mga parametric equation (2.3), ngunit para sa unang function , at para sa pangalawa .

Halimbawa 2. Parametric equation

tukuyin ang isang ellipse na may mga semi-axes a, b(Larawan 2.4). Hindi kasama ang parameter mula sa mga equation t, nakukuha natin ang canonical equation ng ellipse:

Halimbawa 3. Ang cycloid ay isang linya na inilalarawan ng isang puntong nakahiga sa isang bilog kung ang bilog na ito ay gumulong nang hindi dumudulas sa isang tuwid na linya (Larawan 2.5). Ipakilala natin ang mga parametric equation ng cycloid. Hayaang maging ang radius ng rolling circle a, tuldok M, na naglalarawan sa cycloid, sa simula ng kilusan ay kasabay ng pinagmulan ng mga coordinate.

Tukuyin natin ang mga coordinate x, y puntos M pagkatapos umikot ang bilog sa isang anggulo t
(Larawan 2.5), t = ÐMCB. Haba ng arko M.B. katumbas ng haba ng segment O.B. dahil ang bilog ay gumulong nang hindi nadulas, samakatuwid

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – gastos).

Kaya, ang mga parametric equation ng cycloid ay nakuha:

Kapag binabago ang isang parameter t mula 0 hanggang 2π ang bilog ay umiikot ng isang rebolusyon, at ang punto M naglalarawan ng isang arko ng isang cycloid. Ang mga equation (2.5) ay nagbibigay y bilang isang katangian ng x. Bagaman ang pag-andar x = a(t – sint) ay may kabaligtaran na pag-andar, ngunit hindi ito ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kaya ang pag-andar y = f(x) ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya function.

Isaalang-alang natin ang pagkakaiba-iba ng isang function na tinukoy sa parametrically ng mga equation (2.2). Ang function na x = φ(t) sa isang tiyak na pagitan ng pagbabago t ay may kabaligtaran na function t = Ф(x), Pagkatapos y = g(Ф(x)). Hayaan x = φ(t), y = g(t) may mga derivatives, at x"t≠0. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar y"x=y"t×t"x. Batay sa panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng inverse function, samakatuwid:

Ang resultang formula (2.6) ay nagpapahintulot sa isa na mahanap ang derivative para sa isang function na tinukoy sa parametrically.

Halimbawa 4. Hayaan ang function y, depende sa x, ay tinukoy sa parametrically:

Solusyon. .
Halimbawa 5. Hanapin ang dalisdis k padaplis sa cycloid sa puntong M 0 na tumutugma sa halaga ng parameter.
Solusyon. Mula sa cycloid equation: y" t = asint, x" t = a(1 – gastos), kaya lang

Tangent slope sa isang punto M0 katumbas ng halaga sa t 0 = π/4:

DIFFERENTIAL FUNCTION

Hayaan ang pag-andar sa punto x 0 may derivative. A-priory:
samakatuwid, ayon sa mga katangian ng limitasyon (Seksyon 1.8), kung saan a– infinitesimal sa Δx → 0. Mula rito

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Bilang Δx → 0, ang pangalawang termino sa pagkakapantay-pantay (2.7) ay isang infinitesimal ng mas mataas na pagkakasunud-sunod, kumpara sa , samakatuwid Δy at f " (x 0)×Δx ay katumbas, infinitesimal (para sa f "(x 0) ≠ 0).

Kaya, ang pagtaas ng function na Δy ay binubuo ng dalawang termino, kung saan ang unang f "(x 0)×Δx ay pangunahing bahagi pagtaas ng Δy, linear na may paggalang sa Δx (para sa f "(x 0)≠ 0).

Differential Ang function na f(x) sa puntong x 0 ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas ng function at ipinapahiwatig: dy o df(x0). Kaya naman,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Halimbawa 1. Hanapin ang kaugalian ng isang function dy at ang pagtaas ng function Δy para sa function na y = x 2 sa:
1) arbitraryo x at Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

Solusyon

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Kung x 0 = 20, Δx = 0.1, pagkatapos ay Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Isulat natin ang pagkakapantay-pantay (2.7) sa anyo:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Ang pagtaas ng Δy ay iba sa kaugalian dy sa isang infinitesimal ng mas mataas na pagkakasunud-sunod, kumpara sa Δx, samakatuwid, sa tinatayang mga kalkulasyon, ang tinatayang pagkakapantay-pantay na Δy ≈ dy ay ginagamit kung ang Δx ay sapat na maliit.

Isinasaalang-alang na Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), nakakakuha tayo ng tinatayang formula:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Halimbawa 2. Kalkulahin ang humigit-kumulang.

Solusyon. Isaalang-alang:

Gamit ang formula (2.10), nakukuha natin ang:

Kaya, ≈ 2.025.

Isaalang-alang natin ang geometric na kahulugan ng kaugalian df(x 0)(Larawan 2.6).

Gumuhit tayo ng tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong M 0 (x0, f(x 0)), hayaang φ ang anggulo sa pagitan ng tangent KM0 at ng Ox axis, pagkatapos ay f"( x 0) = tanφ. Mula sa ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ngunit ang PN ay ang pagtaas ng tangent ordinate habang nagbabago ang x mula sa x 0 hanggang x 0 + Δx.

Dahil dito, ang pagkakaiba ng function na f(x) sa puntong x 0 ay katumbas ng pagtaas ng ordinate ng tangent.

Hanapin natin ang differential ng function
y = x. Dahil (x)" = 1, kung gayon ang dx = 1×Δx = Δx. Ipagpalagay natin na ang differential ng independent variable x ay katumbas ng pagtaas nito, i.e. dx = Δx.

Kung ang x ay isang di-makatwirang numero, kung gayon mula sa pagkakapantay-pantay (2.8) nakukuha natin ang df(x) = f "(x)dx, kung saan .
Kaya, ang derivative para sa isang function na y = f(x) ay katumbas ng ratio ng differential nito sa differential ng argument.

Isaalang-alang natin ang mga katangian ng kaugalian ng isang function.

Kung ang u(x), v(x) ay mga differentiable function, ang mga sumusunod na formula ay valid:

Upang patunayan ang mga formula na ito, ginagamit ang mga derivative formula para sa kabuuan, produkto at quotient ng isang function. Patunayan natin, halimbawa, ang formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Isaalang-alang natin ang kaugalian ng isang kumplikadong function: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Pagkatapos dy = y" t dt, ngunit y" t = y" x ×x" t, kaya dy =y" x x" t dt. Isinasaalang-alang,

na x" t = dx, makuha namin ang dy = y" x dx =f "(x)dx.

Kaya, ang differential ng isang kumplikadong function na y = f(x), kung saan ang x =φ(t), ay may anyo na dy = f "(x)dx, katulad ng sa kaso kung ang x ay isang independent variable. Ang property na ito ay tinatawag na invariance ng anyo ng differential A.

Huwag nating i-stress, ang lahat sa talatang ito ay medyo simple din. Maaari mong isulat ang pangkalahatang formula para sa isang parametrically tinukoy na function, ngunit upang gawing malinaw, agad akong magsusulat ng isang partikular na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan ang mga equation ay nakasulat hindi sa ilalim ng mga kulot na bracket, ngunit sunud-sunod: , .

Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: . O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng para sa isang "regular" na function, para sa mga American Indian ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically na tinukoy na function, i-download ang aking geometric na programa sa pahina Mga formula at talahanayan ng matematika.

Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan nang tahasan ang function. Ipahayag natin ang parameter mula sa unang equation: – at palitan ito sa pangalawang equation: . Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.

Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil mayroong isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang parametric function:

Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":

Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, natural, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "X's" sa table ng letter "Te".

Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te":

Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula:

handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.

Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat ito sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ay isang "regular" na derivative "na may paggalang sa X". Ngunit sa panitikan ay palaging may pagpipilian, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.

Halimbawa 6

Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

kaya:

Ang isang espesyal na tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang ay kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, nang makita ko ito, binuksan ko ang mga panaklong sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan ang formula, maraming bagay ang mababawasan ng maayos. Bagaman, siyempre, may mga halimbawa na may mga clumsy na sagot.

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa mga derivatives tumingin kami sa mga halimbawa kung saan kailangan naming hanapin ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically tinukoy na function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: . Malinaw na para mahanap ang pangalawang derivative, kailangan mo munang hanapin ang unang derivative.

Halimbawa 8

Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically

Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

Pinapalitan ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa mga layunin ng pagpapasimple, ginagamit namin ang trigonometric formula:

Napansin ko na sa problema ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function, medyo madalas para sa layunin ng pagpapasimple kinakailangan na gamitin mga formula ng trigonometriko . Tandaan ang mga ito o panatilihing madaling gamitin, at huwag palampasin ang pagkakataong pasimplehin ang bawat intermediate na resulta at mga sagot. Para saan? Ngayon kailangan nating kunin ang derivative ng , at ito ay malinaw na mas mahusay kaysa sa paghahanap ng derivative ng .

Hanapin natin ang pangalawang derivative.
Ginagamit namin ang formula: .

Tingnan natin ang aming formula. Ang denominator ay natagpuan na sa nakaraang hakbang. Nananatili itong hanapin ang numerator - ang derivative ng unang derivative na may paggalang sa variable na "te":

Ito ay nananatiling gamitin ang formula:

Upang mapalakas ang materyal, nag-aalok ako ng ilang higit pang mga halimbawa para malutas mo nang mag-isa.

Halimbawa 9

Halimbawa 10

Maghanap at para sa isang function na tinukoy sa parametrically

Nais kong tagumpay ka!

Inaasahan kong naging kapaki-pakinabang ang araling ito, at madali mo na ngayong mahahanap ang mga derivatives ng mga function na tinukoy nang payak at mula sa mga parametric function.

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 3: Solusyon:

kaya:

Hanggang ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga equation ng mga linya sa isang eroplano na direktang kumokonekta sa kasalukuyang mga coordinate ng mga punto ng mga linyang ito. Gayunpaman, ang isa pang paraan ng pagtukoy ng isang linya ay madalas na ginagamit, kung saan ang kasalukuyang mga coordinate ay itinuturing bilang mga function ng isang ikatlong variable.

Hayaang ibigay ang dalawang function ng isang variable

isinasaalang-alang para sa parehong mga halaga ng t. Pagkatapos ang alinman sa mga halagang ito ng t ay tumutugma sa isang tiyak na halaga at isang tiyak na halaga ng y, at samakatuwid sa isang tiyak na punto. Kapag ang variable t ay tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula sa domain ng kahulugan ng mga function (73), ang punto ay naglalarawan ng isang tiyak na linya C sa eroplano. Ang mga equation (73) ay tinatawag na parametric equation ng linyang ito, at ang variable ay tinatawag na isang parameter.

Ipagpalagay natin na ang function ay may kabaligtaran na function. Ang pagpapalit ng function na ito sa pangalawa ng mga equation (73), makuha natin ang equation

pagpapahayag ng y bilang isang function

Sumang-ayon tayo na sabihin na ang function na ito ay ibinibigay sa parametrically ng mga equation (73). Ang paglipat mula sa mga equation na ito sa equation (74) ay tinatawag na parameter elimination. Kapag isinasaalang-alang ang mga function na tinukoy sa parametrically, ang pagbubukod ng parameter ay hindi lamang hindi kinakailangan, ngunit hindi rin palaging posible.

Sa maraming mga kaso, ito ay mas maginhawa, bibigyan ng iba't ibang mga halaga ng parameter, upang pagkatapos ay kalkulahin, gamit ang mga formula (73), ang kaukulang mga halaga ng argumento at function na y.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1. Hayaan ay isang arbitrary na punto sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at radius R. Ang Cartesian coordinate x at y ng puntong ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng polar radius at polar angle nito, na tinutukoy natin dito sa pamamagitan ng t, tulad ng sumusunod ( tingnan ang Kabanata I, § 3, talata 3):

Ang mga equation (75) ay tinatawag na parametric equation ng isang bilog. Ang parameter sa kanila ay ang polar angle, na nag-iiba mula 0 hanggang .

Kung ang mga equation (75) ay squared term sa pamamagitan ng term at idinagdag, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkakakilanlan ang parameter ay tinanggal at ang equation ng isang bilog sa Cartesian coordinate system ay nakuha, na tumutukoy sa dalawang elementarya na function:

Ang bawat isa sa mga function na ito ay tinukoy sa parametrically ng mga equation (75), ngunit ang mga hanay ng parameter para sa mga function na ito ay iba. Para sa una sa kanila; Ang graph ng function na ito ay ang itaas na kalahating bilog. Para sa pangalawang function, ang graph nito ay ang lower semicircle.

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang sabay-sabay na isang ellipse

at isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at radius a (Larawan 138).

Sa bawat punto M ng ellipse iniuugnay namin ang isang punto N ng bilog, na may parehong abscissa bilang ang punto M at matatagpuan kasama nito sa parehong bahagi ng axis ng Ox. Ang posisyon ng point N, at samakatuwid ay point M, ay ganap na tinutukoy ng polar angle t ng point. Sa kasong ito, para sa kanilang karaniwang abscissa makuha natin ang sumusunod na expression: x = a. Nahanap namin ang ordinate sa punto M mula sa equation ng ellipse:

Ang sign ay pinili dahil ang ordinate ng point M at ang ordinate ng point N ay dapat magkaroon ng parehong mga palatandaan.

Kaya, ang mga sumusunod na parametric equation ay nakuha para sa ellipse:

Dito ang parameter t ay nag-iiba mula 0 hanggang .

Halimbawa 3. Isaalang-alang ang isang bilog na may sentro sa punto a) at radius a, na malinaw na humahawak sa x-axis sa pinanggalingan (Larawan 139). Ipagpalagay natin na ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadudulas sa x-axis. Pagkatapos ang punto M ng bilog, na sa unang sandali ay nag-tutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, ay naglalarawan ng isang linya na tinatawag na cycloid.

Kunin natin ang mga parametric equation ng cycloid, na kinuha bilang parameter t ang anggulo ng MSV ng pag-ikot ng bilog kapag inililipat ang nakapirming punto nito mula sa posisyon O patungo sa posisyon M. Pagkatapos ay para sa mga coordinate at y ng point M makuha natin ang mga sumusunod na expression:

Dahil sa ang katunayan na ang bilog ay gumulong sa kahabaan ng axis nang hindi dumudulas, ang haba ng segment na OB ay katumbas ng haba ng arc BM. Dahil ang haba ng arko BM ay katumbas ng produkto ng radius a at ang gitnang anggulo t, kung gayon . kaya lang . Ngunit samakatuwid,

Ang mga equation na ito ay ang mga parametric equation ng cycloid. Kapag nagbago ang parameter t mula 0 hanggang sa bilog ay gagawa ng isang buong rebolusyon. Ilalarawan ng Point M ang isang arko ng cycloid.

Ang pagbubukod ng parameter t dito ay humahantong sa mga masalimuot na expression at halos hindi praktikal.

Ang parametric na kahulugan ng mga linya ay kadalasang ginagamit sa mekanika, at ang papel ng parameter ay nilalaro ng oras.

Halimbawa 4. Alamin natin ang trajectory ng projectile na pinaputok mula sa isang baril na may paunang bilis sa isang anggulo a sa pahalang. Pinapabayaan namin ang paglaban ng hangin at ang mga sukat ng projectile, isinasaalang-alang ito na isang materyal na punto.

Pumili tayo ng coordinate system. Kunin natin ang punto ng pag-alis ng projectile mula sa muzzle bilang pinagmulan ng mga coordinate. Idirekta natin ang Ox axis nang pahalang, at ang Oy axis nang patayo, ilagay ang mga ito sa parehong eroplano na may nguso ng baril. Kung walang puwersa ng gravity, kung gayon ang projectile ay kikilos sa isang tuwid na linya, na gagawa ng isang anggulo a sa Ox axis, at sa oras na t ito ay maglalakbay sa layo. sa: . Dahil sa gravity, ang projectile ay dapat sa sandaling ito ay patayo na bumaba ng isang halaga. Samakatuwid, sa katotohanan, sa oras t, ang mga coordinate ng projectile ay tinutukoy ng mga formula:

Ang mga equation na ito ay naglalaman ng pare-parehong dami. Kapag nagbago ang t, magbabago din ang mga coordinate sa projectile trajectory point. Ang mga equation ay parametric equation ng projectile trajectory, kung saan ang parameter ay oras

Pagpapahayag mula sa unang equation at pagpapalit nito sa

ang pangalawang equation, nakuha namin ang equation ng projectile trajectory sa anyo Ito ang equation ng isang parabola.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Sa artikulong ito, titingnan natin ang dalawa pang karaniwang gawain na kadalasang matatagpuan sa mga pagsusulit sa mas mataas na matematika. Upang matagumpay na makabisado ang materyal, kailangan mong makahanap ng mga derivative kahit man lang sa isang intermediate na antas. Maaari mong matutunang maghanap ng mga derivative mula sa simula sa dalawang pangunahing aralin at Derivative ng isang kumplikadong function. Kung okay ang iyong differentiation skills, then let's go.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

O, sa madaling salita, ang derivative ng isang implicit function. Ano ang isang implicit function? Alalahanin muna natin ang mismong kahulugan ng isang function ng isang variable:

Single variable function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function.

Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function .

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Magsagawa tayo ng isang debriefing gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Isaalang-alang ang function

Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "manlalaro", at sa kanan - "X's" lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa pamamagitan ng malayang baryabol.

Tingnan natin ang isa pang function:

Ito ay kung saan ang mga variable ay halo-halong up. At saka imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" lamang sa pamamagitan ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paghagis ng mga salik ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan: . Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.

Hayaan akong ipakilala sa iyo: – halimbawa implicit function.

Sa kurso ng mathematical analysis napatunayan na ang implicit function umiiral(gayunpaman, hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ang implicit function ay eksaktong pareho umiiral first derivative, second derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.

At sa araling ito matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Hindi naman ganoon kahirap! Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay nananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang sandali, na titingnan natin ngayon.

Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo mahigpit at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.

Halimbawa 1

1) Sa unang yugto, ikinakabit namin ang mga stroke sa parehong bahagi:

2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):

3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Kung paano ang pagkakaiba ay ganap na malinaw. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?

- hanggang sa punto ng kahihiyan, ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .

Paano mag-iba
Nandito na tayo kumplikadong pag-andar. Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit ang katotohanan ay mayroon lamang isang titik na "y" - AY MISMONG FUNCTION(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function at isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Iniiba namin ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin :

Pakitandaan na – isa ring kumplikadong function, anumang "laro na may mga kampana at sipol" ay isang kumplikadong function:

Ang solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:

Kung mayroong mga bracket, palawakin ang mga ito:

4) Sa kaliwang bahagi kinokolekta namin ang mga terminong naglalaman ng "Y" na may prime. Ilipat ang lahat ng iba pa sa kanang bahagi:

5) Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang derivative sa mga bracket:

6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:

Nahanap na ang derivative. handa na.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function maaaring isulat muli tulad nito: . At ibahin ito gamit ang algorithm na tinalakay lang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly specified function" ay mas pangkalahatan at tama, – ang function na ito ay implicitly na tinukoy, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "laro" at ipakita ang function na tahasan. Ang pariralang "implicit function" ay tumutukoy sa "classical" implicit function kapag ang "y" ay hindi maipahayag.

Pangalawang solusyon

Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na maghanap mga partial derivatives. Calculus beginners and dummies, please huwag basahin at laktawan ang puntong ito, kung hindi ay magiging ganap na gulo ang iyong ulo.

Hanapin natin ang derivative ng implicit function gamit ang pangalawang paraan.

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:

Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan gamit ang formula
Hanapin natin ang mga partial derivatives:

kaya:

Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi ipinapayong isulat nila ang huling bersyon ng takdang-aralin, dahil ang mga partial derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi pa dapat alam ng mga partial derivatives.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Magdagdag ng mga stroke sa parehong bahagi:

Gumagamit kami ng mga panuntunan sa linearity:

Paghahanap ng mga derivatives:

Pagbubukas ng lahat ng mga bracket:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira sa kanang bahagi:

Panghuling sagot:

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Buong solusyon at sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong alisin ang mga fraction. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Isinama namin ang parehong bahagi sa ilalim ng mga stroke at ginagamit ang linearity rule:

Magkaiba gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient :

Pagpapalawak ng mga bracket:

Ngayon kailangan nating alisin ang fraction. Magagawa ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas makatwiran na gawin ito kaagad. Ang denominator ng fraction ay naglalaman ng . Paramihin sa . Sa detalye, magiging ganito ang hitsura:

Minsan pagkatapos ng pagkita ng kaibhan 2-3 fraction ang lilitaw. Kung mayroon tayong isa pang fraction, halimbawa, kung gayon ang operasyon ay kailangang ulitin - multiply bawat termino ng bawat bahagi sa

Sa kaliwang bahagi ay inilabas namin ito sa mga bracket:

Panghuling sagot:

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang tanging bagay ay bago mo maalis ang fraction, kakailanganin mo munang alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction mismo. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: . O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng para sa isang "regular" na function, para sa mga American Indian ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function, maaari mong gamitin ang aking programa.

Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil mayroong isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang parametric function:

Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":

Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te":

Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula:

handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.

Halimbawa 6

Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

kaya:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 8

Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically

Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa mga layunin ng pagpapasimple, ginagamit namin ang trigonometric formula:

Derivative na may online na parameter. Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function