Pagpapalawak ng mga elementary function sa Taylor series. Maclaurin series at pagpapalawak ng ilang function

Hayaan akong gumawa ng isang reserbasyon kaagad na ang artikulo ay tatalakay sa pagpapalawak ng tangent sa zero, kung ano ang tinatawag na pagpapalawak ng Maclaurin sa maraming mga aklat-aralin.

Buweno, ang lahat ng mga pag-andar ay magiging walang katapusang pagkakaiba-iba kung saan kailangan natin ang mga ito.

Habang ang karamihan sa iba pang pinakasimpleng elementarya ay madaling mapalawak sa isang serye ng Taylor at ang batas kung saan nabuo ang mga tuntunin ng pagpapalawak ay kadalasang hindi kumplikado at maaari lamang hulaan, hindi ito ang kaso para sa tangent. Bagaman tila ang huli ay ang ratio lamang ng sine sa cosine, mga pag-andar kung saan walang mga problema na lumitaw sa panahon ng pagpapalawak. Samantala, upang ipahiwatig ang uri ng pangkalahatang termino para sa padaplis, kakailanganin nating magsimula sa malayo at gumamit ng mga artipisyal na pamamaraan. Ngunit, sa pagsasagawa, madalas na hindi kinakailangang malaman ang lahat ng mga coefficient ng isang serye; sapat na ang ilang mga termino ng pagpapalawak. Ito ang pahayag ng problema na kadalasang nakakaharap ng mga mag-aaral. So doon na tayo magsisimula. Upang hindi masyadong mag-abala, hahanapin namin ang pagpapalawak hanggang sa koepisyent ng ikalimang kapangyarihan.

Ang unang bagay na pumapasok sa isip dito ay ang subukang gamitin ang formula ni Taylor nang direkta. Kadalasan ang mga tao ay walang ideya tungkol sa iba pang mga paraan ng agnas sa isang serye. Siyanga pala, ang seminarista namin sa math. analysis, sa second year ko, naghanap ako ng decomposition in exactly this way, although wala akong masasabing masama sa kanya, matalino siyang tao, baka gusto lang niyang ipakita ang kakayahan niya sa pagkuha ng derivatives. Magkagayunman, ang pagkuha ng mga high-order derivatives ng tangent ay isang kasiyahan pa rin, isang lubhang nakakapagod na gawain, isa lamang sa mga mas madaling ipagkatiwala sa isang makina kaysa sa isang tao. Ngunit, bilang mga tunay na atleta, hindi kami interesado sa resulta, ngunit sa proseso, at ito ay kanais-nais na ang proseso ay mas simple. Ang mga derivatives ay ang mga sumusunod (kinakalkula sa maxima system): , , , , . Ang sinumang nag-iisip na ang mga derivative ay madaling makuha nang manu-mano, hayaan siyang gawin ito sa kanyang paglilibang. Maging iyon man, maaari na nating isulat ang pagpapalawak: .

Narito ang maaari naming pasimplehin dito: tandaan namin iyon at sa gayon, ang unang derivative ng tangent ay ipinahayag sa pamamagitan ng tangent, bilang karagdagan, ito ay sumusunod mula dito na ang lahat ng iba pang mga derivatives ng tangent ay magiging polynomials ng tangent, na nagpapahintulot sa amin na hindi magdusa sa mga derivatives ng quotient mula sa sines. at mga cosine:
,
,
,
.
Ang agnas, siyempre, ay lumalabas na pareho.

Natutunan ko ang tungkol sa isa pang paraan ng pagpapalawak ng serye nang direkta sa pagsusulit sa matematika. pagsusuri at dahil sa kamangmangan sa pamamaraang ito ay nakatanggap ako ng isang koro. sa halip na ex.-a. Ang kahulugan ng pamamaraan ay alam natin ang serye ng pagpapalawak ng parehong sine at cosine, pati na rin ang pag-andar, ang huli na pagpapalawak ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pagpapalawak ng pangalawa: . Sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket, nakakakuha tayo ng isang serye na kailangang i-multiply sa pagpapalawak ng sine. Ngayon kailangan lang nating i-multiply ang dalawang row. Kung pinag-uusapan natin ang pagiging kumplikado, kung gayon nagdududa ako na ito ay mas mababa sa unang paraan, lalo na dahil ang dami ng mga kalkulasyon ay mabilis na lumalaki sa pagtaas ng antas ng mga termino ng pagpapalawak na kailangang matagpuan.

Ang susunod na paraan ay isang variant ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient. Ibigay muna natin ang tanong: ano ang karaniwang alam natin tungkol sa padaplis na makakatulong sa atin na bumuo ng isang pagpapalawak, upang magsalita ng isang priori? Ang pinakamahalagang bagay dito ay ang pag-andar ng tangent ay kakaiba, at samakatuwid ang lahat ng mga coefficient sa kahit na mga kapangyarihan ay katumbas ng zero, sa madaling salita, ang paghahanap ng kalahati ng mga coefficient ay hindi kinakailangan. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang , o , pagpapalawak ng sine at cosine sa isang serye, makuha natin ang . At tinutumbasan ang mga koepisyent sa parehong antas na nakukuha natin, , at sa pangkalahatan . Kaya, gamit ang isang umuulit na proseso, mahahanap natin ang anumang bilang ng mga termino ng pagpapalawak.

Ang ika-apat na paraan ay ang paraan din ng mga hindi tiyak na coefficient, ngunit para dito hindi namin kailangan ang pagpapalawak ng anumang iba pang mga function. Isasaalang-alang namin ang differential equation para sa tangent. Nakita namin sa itaas na ang derivative ng tangent ay maaaring ipahayag bilang isang function ng tangent. Ang pagpapalit ng isang serye ng mga hindi natukoy na coefficient sa equation na ito, maaari nating isulat: Sa pamamagitan ng pag-squaring at mula rito, muli, sa pamamagitan ng isang umuulit na proseso, magiging posible na mahanap ang mga koepisyent ng pagpapalawak.

Ang mga pamamaraan na ito ay mas simple kaysa sa unang dalawa, ngunit ang paghahanap ng mga expression para sa karaniwang termino ng serye sa paraang ito ay hindi gagana, ngunit gusto ko. Gaya ng sinabi ko sa simula, kailangan mong magsimula sa malayo (susundan ko ang textbook ni Courant). Magsisimula tayo sa serye ng pagpapalawak ng function. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang serye na isusulat sa form , kung saan ang mga numero ay mga numero ng Bernoulli.
Sa una, ang mga numerong ito ay natagpuan ni Jacob Bernoulli nang mahanap ang mga kabuuan ng mth na kapangyarihan ng mga natural na numero . Mukhang, ano ang kinalaman ng trigonometry dito? Nang maglaon, si Euler, na nilulutas ang problema ng kabuuan ng kabaligtaran na mga parisukat ng isang serye ng mga natural na numero, ay nakatanggap ng sagot mula sa pagpapalawak ng sine sa isang walang katapusang produkto. Lumalabas na ang pagpapalawak ng cotangent ay naglalaman ng mga kabuuan ng anyo , para sa lahat ng natural n. At batay dito, nakakuha si Euler ng mga expression para sa mga naturang kabuuan sa mga tuntunin ng mga numero ng Bernoulli. Kaya may mga koneksyon dito, at hindi dapat nakakagulat na ang tangent expansion ay naglalaman ng sequence na ito.
Ngunit bumalik tayo sa fraction decomposition. Ang pagpapalawak ng exponent, pagbabawas ng isa at paghahati sa "x", sa huli ay makakakuha tayo ng . Mula dito ay halata na na ang una sa mga numero ng Bernoulli ay katumbas ng isa, ang pangalawang minus isang segundo, at iba pa. Isulat natin ang expression para sa kth Bernoulli number, simula sa pagkakaisa. I-multiply ang expression na ito sa pamamagitan ng, muling isusulat namin ang expression sa sumusunod na form. At mula sa expression na ito maaari nating makuha ang mga numero ng Bernoulli, sa partikular: , ,

Sa teorya ng functional series, ang sentral na lugar ay inookupahan ng seksyon na nakatuon sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Kaya, ang gawain ay nakatakda: para sa isang naibigay na function kailangan nating makahanap ng ganitong serye ng kapangyarihan

na nagtagpo sa isang tiyak na pagitan at ang kabuuan nito ay katumbas ng
, mga.

= ..

Ang gawaing ito ay tinatawag ang problema ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan.

Isang kinakailangang kondisyon para sa pagkabulok ng isang function sa isang power series ang pagkakaiba-iba nito ay isang walang katapusang bilang ng beses - ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng convergent power series. Ang kundisyong ito ay nasiyahan, bilang panuntunan, para sa mga elementarya na pag-andar sa kanilang domain ng kahulugan.

Kaya't ipagpalagay natin na ang function
ay may mga derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod. Posible bang palawakin ito sa isang serye ng kapangyarihan? Kung gayon, paano natin mahahanap ang seryeng ito? Ang ikalawang bahagi ng problema ay mas madaling lutasin, kaya magsimula tayo dito.

Ipagpalagay natin na ang function
ay maaaring kinakatawan bilang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan na nagtatagpo sa pagitan na naglalaman ng punto X 0 :

= .. (*)

saan A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – hindi alam (pa) koepisyent.

Ilagay natin sa pagkakapantay-pantay (*) ang halaga x = x 0 , pagkatapos makuha namin

Ibahin natin ang power series (*) term ayon sa termino

= ..

at naniniwala dito x = x 0 , nakukuha namin

Sa susunod na pagkita ng kaibhan makuha namin ang serye

= ..

naniniwala x = x 0 , nakukuha namin
, saan
.

Pagkatapos P-multiple differentiation ang nakukuha natin

Ipagpalagay sa huling pagkakapantay-pantay x = x 0 , nakukuha namin
, saan

Kaya, ang mga coefficient ay natagpuan

,
,
, …,
,….,

pagpapalit kung alin sa serye (*), nakukuha namin

Ang resultang serye ay tinatawag sa tabi ni Taylor para sa function
.

Kaya, itinatag namin iyon kung ang function ay maaaring palawakin sa isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan (x - x 0 ), kung gayon ang pagpapalawak na ito ay natatangi at ang resultang serye ay kinakailangang isang serye ng Taylor.

Tandaan na ang serye ng Taylor ay maaaring makuha para sa anumang function na may mga derivatives ng anumang order sa punto x = x 0 . Ngunit hindi ito nangangahulugan na ang isang pantay na tanda ay maaaring ilagay sa pagitan ng pag-andar at ang nagresultang serye, i.e. na ang kabuuan ng serye ay katumbas ng orihinal na function. Una, ang ganitong pagkakapantay-pantay ay maaari lamang magkaroon ng kahulugan sa rehiyon ng convergence, at ang Taylor series na nakuha para sa function ay maaaring mag-diverge, at pangalawa, kung ang Taylor series ay magtatagpo, kung gayon ang kabuuan nito ay maaaring hindi magkatugma sa orihinal na function.

3.2. Sapat na mga kondisyon para sa pagkabulok ng isang function sa isang serye ng Taylor

Bumuo tayo ng isang pahayag sa tulong kung saan malulutas ang gawain.

Kung ang function
sa ilang kapitbahayan ng point x 0 may mga derivatives hanggang sa (n+ 1) ng order inclusive, pagkatapos ay sa kapitbahayan na ito mayroon kamipormula Taylor

saanR n (X)-ang natitirang termino ng Taylor formula - ay may anyo (Lagrange form)

saan tuldokξ nasa pagitan ng x at x 0 .

Tandaan na may pagkakaiba sa pagitan ng Taylor series at ng Taylor formula: ang Taylor formula ay isang finite sum, i.e. P - nakapirming numero.

Alalahanin na ang kabuuan ng serye S(x) ay maaaring tukuyin bilang limitasyon ng isang functional sequence ng mga partial sums S P (x) sa ilang pagitan X:

Ayon dito, ang pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang serye na para sa alinman XX

Isulat natin ang formula ni Taylor sa anyo kung saan

pansinin mo yan
tumutukoy sa error na nakukuha natin, palitan ang function f(x) polinomyal S n (x).

Kung
, Iyon
, mga. ang function ay pinalawak sa isang serye ng Taylor. Vice versa, kung
, Iyon
.

Kaya napatunayan namin criterion para sa decomposability ng isang function sa isang Taylor series.

Upang ang pag-andarf(x) lumalawak sa isang serye ng Taylor, ito ay kinakailangan at sapat na sa pagitan na ito
, SaanR n (x) ay ang natitirang termino ng serye ng Taylor.

Gamit ang formulated criterion, maaaring makuha ng isa sapatkundisyon para sa decomposability ng isang function sa isang serye ng Taylor.

Kung nasailang kapitbahayan ng point x 0 ang mga ganap na halaga ng lahat ng derivatives ng function ay limitado sa parehong numero M≥ 0, ibig sabihin.

, To sa lugar na ito, lumalawak ang function sa isang serye ng Taylor.

Mula sa itaas ito ay sumusunod algorithmpagpapalawak ng function f(x) sa seryeng Taylor sa paligid ng isang punto X 0 :

1. Paghahanap ng mga derivatives ng mga function f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Kalkulahin ang halaga ng function at ang mga halaga ng mga derivatives nito sa punto X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Pormal naming isinulat ang serye ng Taylor at hanapin ang rehiyon ng convergence ng nagresultang serye ng kapangyarihan.

4. Sinusuri namin ang katuparan ng sapat na mga kondisyon, i.e. itinatag namin para sa kung saan X mula sa convergence region, natitirang termino R n (x) may posibilidad na maging zero sa
o
.

Ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng Taylor gamit ang algorithm na ito ay tinatawag pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor ayon sa kahulugan o direktang pagkabulok.

Kung ang function f(x) ay may ilang pagitan na naglalaman ng punto A, derivatives ng lahat ng mga order, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:

saan r n– ang tinatawag na natitirang termino o natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:

, kung saan ang bilang x ay nasa pagitan X At A.

Kung para sa ilang halaga x r n®0 sa n®¥, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula ay nagiging convergent formula para sa value na ito Serye ni Taylor:

Kaya ang function f(x) maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa puntong pinag-uusapan X, Kung:

1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;

2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Sa A=0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:

Halimbawa 1 f(x)= 2x.

Solusyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x sa 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivative sa pormula ng serye ng Taylor, nakuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, samakatuwid ang pagpapalawak na ito ay wasto para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 2 X+4) para sa function f(x)= e x.

Solusyon. Paghahanap ng mga derivatives ng function e x at ang kanilang mga halaga sa punto X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Samakatuwid, ang kinakailangang serye ng Taylor ng function ay may anyo:

Ang pagpapalawak na ito ay may bisa din para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 3 . Palawakin ang isang function f(x)=ln x sa isang serye sa kapangyarihan ( X- 1),

(i.e. sa seryeng Taylor sa paligid ng punto X=1).

Solusyon. Hanapin ang mga derivatives ng function na ito.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, nakuha namin ang nais na serye ng Taylor:

Gamit ang pagsubok ni d'Alembert, maaari mong i-verify na ang serye ay nagtatagpo kung kailan

½ X- 1½<1. Действительно,

Ang serye ay nagtatagpo kung ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 nakakakuha tayo ng alternating series na nakakatugon sa mga kondisyon ng Leibniz criterion. Sa X=0 function ay hindi tinukoy. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye ng Taylor ay ang kalahating bukas na pagitan (0;2).

Ipakita natin ang mga pagpapalawak na nakuha sa ganitong paraan sa serye ng Maclaurin (i.e. sa paligid ng punto X=0) para sa ilang elementary function:

(2) ,

(3) ,

( ang huling agnas ay tinatawag binomial series)

Halimbawa 4 . Palawakin ang function sa isang serye ng kapangyarihan

Solusyon. Sa pagpapalawak (1) pinapalitan namin X sa - X 2, nakukuha namin:

Halimbawa 5 . Palawakin ang function sa isang Maclaurin series

Solusyon. Meron kami

Gamit ang formula (4), maaari nating isulat ang:

pagpapalit sa halip X sa formula -X, nakukuha natin ang:

Mula dito makikita natin:

Ang pagbubukas ng mga bracket, muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng serye at pagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha namin

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pagitan

(-1;1), dahil ito ay nakuha mula sa dalawang serye, ang bawat isa ay nagtatagpo sa pagitan na ito.

Magkomento .

Ang mga formula (1)-(5) ay maaari ding gamitin upang palawakin ang kaukulang mga function sa isang serye ng Taylor, i.e. para sa pagpapalawak ng mga function sa positive integer powers ( Ha). Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng mga katulad na pagbabago sa isang naibigay na function upang makuha ang isa sa mga function (1)-(5), kung saan sa halip X gastos k( Ha) m , kung saan ang k ay isang pare-parehong numero, ang m ay isang positibong integer. Madalas na maginhawang gumawa ng pagbabago ng variable t=Ha at palawakin ang resultang function na may paggalang sa t sa serye ng Maclaurin.

Ang pamamaraang ito ay naglalarawan ng teorama sa pagiging natatangi ng isang serye ng kapangyarihan na pagpapalawak ng isang function. Ang kakanyahan ng teorama na ito ay na sa kapitbahayan ng parehong punto ay hindi maaaring makuha ang dalawang magkakaibang serye ng kapangyarihan na magsasama-sama sa parehong pag-andar, gaano man ang pagpapalawak nito ay ginanap.

Halimbawa 6 . Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa isang kapitbahayan ng isang punto X=3.

Solusyon. Ang problemang ito ay maaaring malutas, tulad ng dati, gamit ang kahulugan ng serye ng Taylor, kung saan kailangan nating hanapin ang mga derivatives ng function at ang kanilang mga halaga sa X=3. Gayunpaman, magiging mas madaling gamitin ang kasalukuyang pagpapalawak (5):

Ang resultang serye ay nagtatagpo sa o –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Halimbawa 7 . Isulat ang serye ng Taylor sa mga kapangyarihan ( X-1) mga function .

Solusyon.

Ang serye ay nagtatagpo sa , o 2< x£5.

Dapat malaman ng mga mag-aaral ng mas mataas na matematika na ang kabuuan ng isang tiyak na serye ng kapangyarihan na kabilang sa pagitan ng tagpo ng serye na ibinigay sa atin ay lumalabas na isang tuluy-tuloy at walang limitasyong bilang ng mga beses na may pagkakaiba-iba. Ang tanong ay lumitaw: posible bang sabihin na ang isang ibinigay na arbitrary function na f(x) ay ang kabuuan ng isang tiyak na serye ng kapangyarihan? Iyon ay, sa ilalim ng anong mga kundisyon maaaring ang function na f(x) ay kinakatawan ng isang serye ng kapangyarihan? Ang kahalagahan ng tanong na ito ay nakasalalay sa katotohanan na posible na humigit-kumulang na palitan ang function na f(x) ng kabuuan ng unang ilang termino ng isang serye ng kapangyarihan, iyon ay, isang polynomial. Ang pagpapalit na ito ng isang function na may medyo simpleng expression - isang polynomial - ay maginhawa din kapag nilutas ang ilang mga problema, lalo na: kapag nilulutas ang mga integral, kapag nagkalkula, atbp.

Napatunayan na para sa isang partikular na function f(x), kung saan posibleng kalkulahin ang mga derivatives hanggang sa (n+1)th order, kabilang ang huli, sa kapitbahayan ng (α - R; x 0 + R ) ilang punto x = α, totoo na ang formula:

Ang formula na ito ay ipinangalan sa sikat na siyentipiko na si Brooke Taylor. Ang serye na nakuha mula sa nauna ay tinatawag na serye ng Maclaurin:

Ang panuntunan na ginagawang posible na magsagawa ng pagpapalawak sa isang serye ng Maclaurin:

Tukuyin ang mga derivatives ng una, pangalawa, pangatlo... mga order.
Kalkulahin kung ano ang katumbas ng mga derivatives sa x=0.
Isulat ang serye ng Maclaurin para sa function na ito, at pagkatapos ay tukuyin ang pagitan ng convergence nito.
Tukuyin ang pagitan (-R;R), kung saan ang natitira sa formula ng Maclaurin

R n (x) -> 0 sa n -> infinity. Kung mayroon, ang function na f(x) dito ay dapat na tumutugma sa kabuuan ng serye ng Maclaurin.

Isaalang-alang natin ngayon ang serye ng Maclaurin para sa mga indibidwal na function.

1. Kaya, ang una ay magiging f(x) = e x. Siyempre, sa pamamagitan ng mga katangian nito, ang naturang function ay may mga derivatives ng napakakaibang mga order, at f (k) (x) = e x , kung saan ang k ay katumbas ng lahat. Palitan ang x = 0. Nakukuha namin ang f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Batay sa itaas, ang serye e x ay magiging ganito:

2. Maclaurin series para sa function na f(x) = sin x. Agad nating linawin na ang function para sa lahat ng hindi alam ay magkakaroon ng mga derivatives, bilang karagdagan, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kung saan ang k ay katumbas ng anumang natural na numero. Ibig sabihin, pagkatapos gumawa ng mga simpleng kalkulasyon, maaari tayong makarating sa ang konklusyon na ang serye para sa f(x) = sin x ay magiging ganito:

3. Ngayon subukan nating isaalang-alang ang function na f(x) = cos x. Para sa lahat ng hindi alam, mayroon itong mga derivatives ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod, at |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Kaya, inilista namin ang pinakamahalagang mga function na maaaring mapalawak sa isang serye ng Maclaurin, ngunit ang mga ito ay pupunan ng serye ng Taylor para sa ilang mga function. Ngayon ay ililista natin sila. Nararapat ding tandaan na ang serye ng Taylor at Maclaurin ay isang mahalagang bahagi ng praktikal na gawain sa paglutas ng mga serye sa mas mataas na matematika. Kaya, serye ni Taylor.

1. Ang una ay ang serye para sa function na f(x) = ln(1+x). Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, para sa ibinigay na f(x) = ln(1+x) maaari nating idagdag ang serye gamit ang pangkalahatang anyo ng serye ng Maclaurin. gayunpaman, para sa function na ito ang serye ng Maclaurin ay maaaring makuha nang mas simple. Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang partikular na geometric na serye, nakakakuha kami ng isang serye para sa f(x) = ln(1+x) ng naturang sample:

2. At ang pangalawa, na magiging pangwakas sa aming artikulo, ay ang serye para sa f(x) = arctan x. Para sa x na kabilang sa pagitan [-1;1] ang pagpapalawak ay wasto:

Iyon lang. Sinuri ng artikulong ito ang pinakaginagamit na serye ng Taylor at Maclaurin sa mas mataas na matematika, partikular sa mga unibersidad sa ekonomiya at teknikal.

16.1. Pagpapalawak ng mga elementary function sa Taylor series at

Maclaurin

Ipakita natin na kung ang isang arbitrary function ay tinukoy sa isang set
, sa paligid ng punto
ay may maraming derivatives at ang kabuuan ng isang power series:

pagkatapos ay mahahanap mo ang mga coefficient ng seryeng ito.

Palitan natin sa isang serye ng kapangyarihan
. Pagkatapos
.

Hanapin natin ang unang derivative ng function
:

Sa
:
.

Para sa pangalawang derivative makuha namin:

Sa
:
.

Ang pagpapatuloy ng pamamaraang ito n sa sandaling makuha natin:
.

Kaya, nakuha namin ang isang serye ng kapangyarihan ng form:

na tinatawag na sa tabi ni Taylor para sa function
sa paligid ng punto
.

Ang isang espesyal na kaso ng serye ng Taylor ay Serye ng Maclaurin sa
:

Ang natitira sa serye ng Taylor (Maclaurin) ay nakuha sa pamamagitan ng pagtatapon sa pangunahing serye n unang miyembro at tinutukoy bilang
. Pagkatapos ang function
maaaring isulat bilang kabuuan n unang miyembro ng serye
at ang natitira
:,

Ang natitira ay karaniwang
ipinahayag sa iba't ibang mga formula.

Ang isa sa kanila ay nasa Lagrange form:

, Saan
.
.

Tandaan na sa pagsasanay ang serye ng Maclaurin ay mas madalas na ginagamit. Kaya, upang maisulat ang function
sa anyo ng isang power series sum ito ay kinakailangan:

1) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin (Taylor);

2) hanapin ang rehiyon ng convergence ng nagresultang serye ng kapangyarihan;

3) patunayan na ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function
.

Teorama1 (isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa convergence ng serye ng Maclaurin). Hayaan ang radius ng convergence ng serye
. Upang ang seryeng ito ay magtagpo sa pagitan
upang gumana
, ito ay kinakailangan at sapat para matugunan ang kundisyon:
sa tinukoy na agwat.

Teorama 2. Kung derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod ng function
sa ilang pagitan
limitado sa ganap na halaga sa parehong numero M, yan ay
, pagkatapos ay sa pagitan na ito ang function
maaaring palawakin sa isang serye ng Maclaurin.

Halimbawa1 . Palawakin sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto
function.

Solusyon.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Rehiyon ng convergence
.

Halimbawa2 . Palawakin ang isang function sa isang serye ng Taylor sa paligid ng isang punto
.

Solusyon:

Hanapin ang halaga ng function at mga derivatives nito sa
.

,
;

...........……………………………

,
.

Ilagay natin ang mga halagang ito sa isang hilera. Nakukuha namin:

o
.

Hanapin natin ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito. Ayon sa pagsubok ni d'Alembert, ang isang serye ay nagtatagpo kung

Samakatuwid, para sa anumang ang limitasyong ito ay mas mababa sa 1, at samakatuwid ang hanay ng convergence ng serye ay magiging:
.

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng pagpapalawak ng serye ng Maclaurin ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Alalahanin na ang serye ng Maclaurin:

nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
.

Tandaan na upang mapalawak ang isang function sa isang serye ito ay kinakailangan:

a) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin para sa function na ito;

b) kalkulahin ang radius ng convergence para sa resultang serye;

c) patunayan na ang resultang serye ay nagtatagpo sa function
.

Halimbawa 3. Isaalang-alang ang function
.

Solusyon.

Kalkulahin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
.

Pagkatapos ang mga numerical coefficient ng serye ay may anyo:

para kahit kanino n. Ipalit natin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang:

Hanapin natin ang radius ng convergence ng nagresultang serye, katulad:

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function para sa anumang mga halaga , dahil sa anumang pagitan
function at ang absolute value derivatives nito ay limitado sa bilang .

Halimbawa4 . Isaalang-alang ang function
.

Solusyon.

Madaling makita ang mga derivatives ng pantay na pagkakasunud-sunod
, at ang mga derivative ay may kakaibang pagkakasunud-sunod. Palitan natin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak:

Hanapin natin ang pagitan ng convergence ng seryeng ito. Ayon sa tanda ni d'Alembert:

para kahit kanino . Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa pagkakaisa.

Halimbawa5 .
.

Solusyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Kaya, ang mga coefficient ng seryeng ito:
At
, kaya:

Katulad ng nakaraang hilera, ang lugar ng convergence
. Ang serye ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa pagkakaisa.

Mangyaring tandaan na ang function
kakaiba at serye pagpapalawak sa kakaibang kapangyarihan, pag-andar
– pantay at pagpapalawak sa isang serye sa pantay na kapangyarihan.

Halimbawa6 . Binomial na serye:
.

Solusyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Mula dito makikita na:

Palitan natin ang mga coefficient value na ito sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak ng function na ito sa isang serye ng kapangyarihan:

Hanapin natin ang radius ng convergence ng seryeng ito:

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
. Sa paglilimita ng mga punto sa
At
ang isang serye ay maaaring magtagpo o hindi depende sa exponent
.

Ang pinag-aralan na serye ay nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
, iyon ay, ang kabuuan ng serye
sa
.

Halimbawa7 . Palawakin natin ang function sa serye ng Maclaurin
.

Solusyon.

Upang palawakin ang function na ito sa isang serye, ginagamit namin ang binomial na serye sa
. Nakukuha namin:

Batay sa pag-aari ng power series (maaaring isama ang power series sa rehiyon ng convergence nito), nakita namin ang integral ng kaliwa at kanang bahagi ng seryeng ito:

Hanapin natin ang lugar ng convergence ng seryeng ito:
,

ibig sabihin, ang lugar ng convergence ng seryeng ito ay ang agwat
. Tukuyin natin ang convergence ng serye sa mga dulo ng interval. Sa

. Ang seryeng ito ay isang maayos na serye, iyon ay, ito ay nag-iiba. Sa
nakakakuha kami ng serye ng numero na may karaniwang termino
.

Ang serye ay nagtatagpo ayon sa pagsubok ni Leibniz. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito ay ang pagitan
.

16.2. Application ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon

Sa tinatayang mga kalkulasyon, ang serye ng kapangyarihan ay may napakahalagang papel. Sa kanilang tulong, ang mga talahanayan ng mga pag-andar ng trigonometriko, mga talahanayan ng logarithms, mga talahanayan ng mga halaga ng iba pang mga pag-andar ay naipon, na ginagamit sa iba't ibang larangan ng kaalaman, halimbawa, sa teorya ng posibilidad at istatistika ng matematika. Bilang karagdagan, ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng kapangyarihan ay kapaki-pakinabang para sa kanilang teoretikal na pag-aaral. Ang pangunahing isyu kapag gumagamit ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon ay ang tanong ng pagtantya ng error kapag pinapalitan ang kabuuan ng isang serye ng kabuuan ng una nito. n mga miyembro.

Isaalang-alang natin ang dalawang kaso:

ang function ay pinalawak sa isang sign-alternating series;

ang function ay pinalawak sa isang serye ng pare-parehong pag-sign.

Pagkalkula gamit ang alternating series

Hayaan ang function
pinalawak sa isang alternating power series. Pagkatapos ay kapag kinakalkula ang function na ito para sa isang tiyak na halaga nakakakuha kami ng serye ng numero kung saan maaari naming ilapat ang pamantayan ng Leibniz. Alinsunod sa pamantayang ito, kung ang kabuuan ng isang serye ay papalitan ng kabuuan ng una nito n mga tuntunin, kung gayon ang ganap na error ay hindi lalampas sa unang termino ng natitira sa seryeng ito, iyon ay:
.

Halimbawa8 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Solusyon.

Gagamitin namin ang serye ng Maclaurin para sa
, pinapalitan ang halaga ng anggulo sa radians:

Kung ihahambing natin ang una at pangalawang termino ng serye na may ibinigay na katumpakan, kung gayon: .

Ikatlong termino ng pagpapalawak:

mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan ng pagkalkula. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng dalawang termino ng serye, iyon ay

Sa gayon
.

Halimbawa9 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.001.

Solusyon.

Gagamitin namin ang formula ng binomial series. Upang gawin ito, sumulat tayo
bilang:
.

Sa ekspresyong ito
,

Ihambing natin ang bawat isa sa mga tuntunin ng serye sa katumpakan na tinukoy. Malinaw na iyon
. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng tatlong termino ng serye.

o
.

Pagkalkula gamit ang positibong serye

Halimbawa10 . Kalkulahin ang numero na may katumpakan na 0.001.

Solusyon.

Sa isang hilera para sa isang function
palitan natin
. Nakukuha namin:

Tantyahin natin ang error na lumitaw kapag pinapalitan ang kabuuan ng isang serye ng kabuuan ng una mga miyembro. Isulat natin ang halatang hindi pagkakapantay-pantay:

iyon ay 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ayon sa problema, kailangan mong hanapin n na ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
o
.

Madaling suriin iyon kung kailan n= 6:
.

Kaya naman,
.

Halimbawa11 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Solusyon.

Tandaan na upang makalkula ang logarithms ay maaaring gumamit ng isang serye para sa function
, ngunit ang seryeng ito ay nagsasama-sama nang napakabagal at upang makamit ang ibinigay na katumpakan kakailanganing kumuha ng 9999 na termino! Samakatuwid, upang makalkula ang mga logarithms, bilang isang panuntunan, isang serye para sa function ay ginagamit
, na nagtatagpo sa pagitan
.