Abstract: Quadratic equation at higher order equation. Mula sa kasaysayan ng quadratic equation at quadratic equation sa sinaunang Babylon

Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

nayon Kopevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Quadratic equation sa India

1.4 Quadratic equation ni al-Khorezmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay maaaring malutas sa paligid ng 2000 BC. e. Babylonians.

Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga cuneiform na teksto ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Diophantus' Arithmetic ay hindi naglalaman ng isang sistematikong presentasyon ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Suliranin 11."Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10 + x, ang isa ay mas mababa, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula rito x = 2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay katumbas ng 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa isang solusyon sa equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pinapasimple ni Diophantus ang solusyon; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Mga Quadratic Equation sa India

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang siyentipikong Indian, si Brahmagupta (ika-7 siglo), ay nagbalangkas ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban A, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

Sa sinaunang India, ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat ng India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian ng iba sa mga pampublikong asembliya, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraikong.” Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Suliranin 13.

“Isang kawan ng mga malikot na unggoy, at labindalawa sa tabi ng mga baging...

Ang mga awtoridad, pagkatapos kumain, ay nagsaya. Nagsimula silang tumalon, magbitin...

Nandiyan sila sa plaza, walong bahagi. Ilang unggoy ang naroon?

Nagsasaya ako sa clearing. Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga (Fig. 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

x 2 - 64x = -768

at, upang makumpleto ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa parisukat, idinagdag sa magkabilang panig 32 2 , pagkatapos ay makakakuha ng:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al - Khorezmi

Sa algebraic treatise ng al-Khorezmi, isang klasipikasyon ng linear at quadratic equation ang ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero", i.e. palakol 2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng mga numero", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c = palakol 2 .

Para kay al-Khorezmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga termino ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtatakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na problema ay hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ay mga geometric na patunay.

Suliranin 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 mula sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5 , makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang treatise ng al-Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII bb

Ang mga pormula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa mga linya ng al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa Book of Abacus, na isinulat noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonardo Fibonacci. Ang malaking gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, kapwa mula sa mga bansa ng Islam at mula sa sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa Aklat ng Abacus ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang solong canonical form:

x 2 + bx = c,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient sign b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Viète, ngunit ang Viète ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na pinangalanan sa Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D, pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, Iyon A katumbas SA at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat nating tandaan iyon A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang hindi alam (aming X), patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang nasa itaas na pagbabalangkas ng Vieta ay nangangahulugang: kung mayroon

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation na may mga pangkalahatang formula na nakasulat gamit ang mga simbolo, itinatag ni Viète ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ng Viet ay malayo pa rin sa modernong anyo nito. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero at samakatuwid, sa paglutas ng mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Ang mga quadratic equation ay malawakang ginagamit sa paglutas ng trigonometriko, exponential, logarithmic, irrational at transcendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (ika-8 baitang) hanggang sa pagtatapos.

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Republika ng Tatarstan

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Usad Secondary School

Vysokogorsky munisipal na distrito ng Republika ng Tatarstan"

Gawaing Pananaliksik:

"Kuwento paglitawparisukat mga equation»

Nakumpleto ni: Andreeva Ekaterina,

8B grade student

Siyentipikong tagapayo:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

guro sa matematika

Panimula

Sino ang gustong limitahan ang sarili sa kasalukuyan?

walang alam sa nakaraan,

hinding hindi niya siya maiintindihan.

G.V. Leibniz

Nangunguna ang mga equation sa kursong matematika ng paaralan, ngunit wala sa mga uri ng equation ang nakahanap ng malawak na aplikasyon gaya ng mga quadratic equation.

Nagawa ng mga tao na lutasin ang mga equation ng pangalawang degree o quadratic na equation pabalik sa Ancient Babylon noong ika-2 milenyo BC. Ang mga problemang humahantong sa mga quadratic equation ay tinatalakay sa maraming sinaunang mathematical na manuscript at treatise. At sa panahon ngayon, maraming problema sa algebra, geometry, at physics ang nalulutas din gamit ang mga quadratic equation. Sa pamamagitan ng paglutas sa mga ito, ang mga tao ay nakakahanap ng mga sagot sa iba't ibang tanong ng agham at teknolohiya.

Target Ang pag-aaral na ito ay upang pag-aralan ang kasaysayan ng paglitaw ng mga quadratic equation.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

Pag-aralan ang siyentipikong panitikan sa paksa.
Sundan ang kasaysayan ng paglitaw ng mga quadratic equation.

Layunin ng pag-aaral: quadratic equation.

Paksa ng pag-aaral: kasaysayan ng paglitaw ng mga quadratic equation.

Kaugnayan ng paksa :

Nilulutas ng mga tao ang mga quadratic equation mula pa noong sinaunang panahon. Nais kong malaman ang kasaysayan ng mga quadratic equation.
Walang impormasyon sa mga aklat-aralin sa paaralan tungkol sa kasaysayan ng mga quadratic equation.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Paggawa gamit ang pang-edukasyon at tanyag na panitikan sa agham.
Pagmamasid, paghahambing, pagsusuri.

Ang pang-agham na halaga ng trabaho, sa aking opinyon, ay nakasalalay sa katotohanan na ang materyal na ito ay maaaring maging interesado sa mga mag-aaral na interesado sa matematika, at sa mga guro sa mga ekstrakurikular na klase.

Quadratic equation sa Sinaunang Babylon.

Sa Sinaunang Babylon, ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na nauugnay sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, gayundin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo.

x 2 - x = 14.5

Isang halimbawa na kinuha mula sa isa sa mga clay tablet mula sa panahong ito.

"Ang lugar ng kabuuan ng dalawang parisukat ay 1000. Ang gilid ng isa sa mga parisukat ay ang gilid ng isa pang parisukat na nababawasan ng 10. Ano ang mga gilid ng mga parisukat?"

Ito ay humahantong sa mga equation na ang solusyon ay bumababa sa paglutas ng isang quadratic equation na may positibong ugat.

Sa katotohanan, ang solusyon sa cuneiform text ay limitado, tulad ng sa lahat ng mga problema sa Silangan, sa isang simpleng listahan ng mga hakbang ng pagkalkula na kinakailangan upang malutas ang quadratic equation:

“Kuwadrado 10; nagbibigay ito ng 100; ibawas ang 100 sa 1000; nagbibigay ito ng 900" atbp

Paano binubuo at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

Ipinakikita ni Diophantus ang isa sa pinakamahirap na misteryo sa kasaysayan ng agham. Isa siya sa pinaka orihinal na sinaunang Greek mathematician, si Diophantus ng Alexandria, na ang mga gawa ay may malaking kahalagahan para sa algebra at teorya ng numero. Ni ang taon ng kapanganakan o ang petsa ng pagkamatay ni Diophantus ay hindi pa nilinaw. Ang yugto ng panahon kung kailan maaaring nabuhay si Diophantus ay kalahating milenyo! Ito ay pinaniniwalaan na siya ay nabuhay noong ika-3 siglo AD. Ngunit ang lugar ng paninirahan ng Diophantus ay kilala - ito ang sikat na Alexandria, ang sentro ng siyentipikong pag-iisip ng Hellenistic na mundo.

Sa mga akda ni Diophantus, ang pinakamahalaga ay ang Arithmetic, kung saan 13 aklat lamang 6 ang nakaligtas hanggang ngayon.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Gawain: "Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa isang solusyon sa equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Quadratic equation mula sa arithmetic ni Diophantus:

12x 2 +x = 1
630x 2 +73x=6.

Kahit noong sinaunang panahon, ang India ay tanyag sa kaalaman nito sa larangan ng astronomiya, gramatika at iba pang agham.

Nakamit ng mga siyentipikong Indian ang pinakamalaking tagumpay sa larangan mga mathematician. Sila ang mga nagtatag ng aritmetika at algebra, sa pag-unlad kung saan sila ay lumayo pa kaysa sa mga Griyego.

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499. Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang Indian scientist, Brahmagupta (VII century), ay nagbalangkas ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form: ax 2 + bx = c, a> 0.

Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.
Ang mga pampublikong kumpetisyon ay karaniwan sa sinaunang India
sa paglutas ng mahihirap na problema. Sinasabi ng isa sa mga lumang aklat ng India ang sumusunod tungkol sa mga naturang kumpetisyon: "Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa kanyang ningning, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian ng iba sa mga pampublikong pagtitipon, na nagmumungkahi at naglutas ng mga problema sa algebra."

Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.
Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Bhaskars:

« Isang kawan ng mga malikot na unggoy,

Kumain ako ng busog, nagsaya ako.

May walong bahagi sa kanila na parisukat,

Nagsasaya ako sa clearing.

At labindalawa sa kahabaan ng mga baging...

Nagsimula silang tumalon, magbitin...

Ilang unggoy ang naroon?

Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga.

Ang equation na naaayon sa problema

Nagsusulat si Bhaskara sa anyong x 2 - 64x = -768 at, upang kumpletuhin ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa isang parisukat, magdagdag ng 32 2 sa magkabilang panig, pagkatapos ay makuha ang:

x 2 -64x+32 2 = -768+1024,

x 1 =16, x 2 =48.

Quadratic equation sa China (1st millennium BC).

Ang unang nakasulat na mga monumento ng Tsino na nakarating sa atin ay nagmula sa panahon ng Shang (XVIII-XII siglo BC). At na sa kapalaran na nagsasabi ng mga buto ng ika-14 na siglo. BC BC, na natagpuan sa Henan, ang mga pagtatalaga ng mga numero ay napanatili. Ngunit ang tunay na pag-unlad ng agham ay nagsimula pagkatapos ng ika-12 siglo. BC e. Ang China ay nasakop ng mga lagalag ng Zhou. Sa mga taong ito, umusbong ang matematika at astronomiya ng Tsino at umabot sa kahanga-hangang taas. Lumitaw ang unang tumpak na mga kalendaryo at mga aklat-aralin sa matematika. Sa kasamaang palad, ang "pagpuksa sa mga aklat" ni Emperor Qin Shi Huang (Shi Huangdi) ay hindi pinahintulutan na makarating sa amin ang mga naunang aklat, ngunit malamang na sila ang naging batayan para sa mga sumunod na gawa.

Ang "Mathematics in Nine Books" ay ang unang gawaing matematika mula sa isang bilang ng mga klasiko sa sinaunang Tsina, isang kahanga-hangang monumento ng sinaunang Tsina noong Unang Dinastiyang Han (206 BC - 7 AD). Ang sanaysay na ito ay naglalaman ng iba't-ibang at mayamang mathematical na materyal, kabilang ang mga quadratic equation.

hamon ng Chinese: "May isang reservoir na may gilid na 10 cm. Sa gitna nito ay may isang tambo na nakausli sa ibabaw ng tubig ng 1 cm. Kung hihilahin mo ang tambo patungo sa dalampasigan, hahawakan lang ito. Ang tanong ay: ano ang lalim ng tubig at ano ang haba ng mga tambo?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x 2 +2x+1= x 2 +25,

Sagot: 12chi; 13pm

Quadratic equation ni al-Khwarizmi

"Nag-compile ako ng isang maikling libro sa calculus ng algebra at almukabala, na naglalaman ng simple at kumplikadong mga tanong ng aritmetika, dahil ito ay kinakailangan para sa mga tao." Al-Khorezmi Mohammed ben Musa.

Si Al-Khorezmi (Uzbekistan) ay kilala sa kanyang “Aklat ng Pagkumpleto at Pagsalungat” (“Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala”), mula sa pangalan kung saan ang salitang “algebra” ay nagmula. Ang treatise na ito ay ang unang aklat na dumating sa amin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

Sa teoretikal na bahagi ng kanyang treatise, si al-Khorezmi ay nagbigay ng Klasipikasyon ng mga equation ng 1st at 2nd degree at kinilala ang anim sa kanilang mga uri:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax 2 = bx. (halimbawa:)

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero," ibig sabihin, ax 2 = s. (halimbawa:)

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ax = c. (halimbawa:)

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax 2 + c = bx. (halimbawa:)

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang," ibig sabihin, ax 2 + bx = c.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," ibig sabihin, bx + c == ax 2. (halimbawa:)

Para kay al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-mukabal. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician hanggang sa ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa tiyak na praktikal na ito ay hindi mahalaga sa mga gawain. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.

Magbigay tayo ng halimbawa.

“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat"(nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: “Hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5, makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat . O magdagdag ng 2 sa 5, na nagbibigay ng 7, ito ay isang ugat din."

Ang sikat na equation ni Al-Khwarizmi: "Ang isang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39." x 2 + 10x= 39 (IX siglo). Sa kanyang treatise ay sumulat siya: "Ang panuntunan ay ito: doble ang bilang ng mga ugat, makakakuha ka ng lima sa problemang ito. Idagdag mo pa yan sa thirty-nine, nagiging sixty-four. Kunin ang ugat nito, ito ay nagiging walo, at ibawas ang kalahati ng bilang ng mga ugat mula dito, i.e. lima, na mag-iiwan ng tatlo: ito ang magiging ugat ng parisukat na iyong hinahanap."

Quadratic equation sa Europe noong ika-12-17 siglo.

Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation na sumusunod sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa "Book of the Abacus," na isinulat noong 1202. Ang Italyano na matematiko na si Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.

Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa aklat na ito ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa anyo na x 2 + bх = с para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan at coefficients b, c ay binuo sa Europa noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Viète, ngunit ang Viète ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa mga gawa ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

Konklusyon.

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Ang iba't ibang equation, parehong quadratic at equation ng mas mataas na degree, ay nalutas ng ating malalayong ninuno. Ang mga equation na ito ay nalutas sa ibang-iba at malalayong bansa. Ang pangangailangan para sa mga equation ay malaki. Ang mga equation ay ginamit sa konstruksiyon, sa mga gawaing militar, at sa pang-araw-araw na sitwasyon.

Sa panahong ito, ang kakayahang malutas ang mga quadratic equation ay kinakailangan para sa lahat. Ang kakayahang mabilis, makatwiran at wastong paglutas ng mga quadratic equation ay nagpapadali sa pagkumpleto ng maraming paksa sa isang kurso sa matematika. Ang mga quadratic na equation ay nireresolba hindi lamang sa mga aralin sa matematika, kundi pati na rin sa mga aralin sa physics, chemistry, at computer science. Karamihan sa mga praktikal na problema sa totoong mundo ay bumababa din sa paglutas ng mga quadratic equation.

Panitikan

Bashmakova I. G. Diophantus at Diophantine equation. M.: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Matematika ng sinaunang Tsina - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. Sa likod ng mga pahina ng isang algebra textbook: Book. para sa mga mag-aaral

7-9 baitang average ng paaralan - M.: Edukasyon, 1990

Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa mga baitang VII - VIII ng paaralan. Manwal para sa mga guro. - M.: Edukasyon, 1982.

Quadratic equation sa Sinaunang Babylon Ang pangangailangan na lutasin ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan na lutasin ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang kalikasang militar, gayundin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Nalutas ng mga Babylonians ang mga quadratic equation mga 2000 taon bago ang ating pananampalataya. Gamit ang modernong algebraic notation, masasabi natin na sa kanilang mga cuneiform na teksto, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, mayroong, halimbawa, kumpletong quadratic equation: Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating roon ang mga taga-Babilonia ng mga panuntunan. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagpapakita lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylonia, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Paano binubuo at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation "Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96." Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging 96, ngunit 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit sa kalahati ng kanilang kabuuan, i.e. 10+X, mas kaunti ang isa, i.e. 10-X. Ang pagkakaiba sa pagitan nila ay 2X Kaya X=2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay 12, ang isa ay 8. Ang solusyon X = -2 ay hindi umiiral para sa Diophantus, dahil ang Griyegong matematika ay alam lamang ang mga positibong numero. EQUATION: o:

Quadratic equation sa India Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan din sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Binalangkas ng isa pang siyentipikong Indian, si Brahmagupta, ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang kanonikal na anyo: ax ² +bx=c, a>0 Isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo na si Bhaskara Isang kawan ng mga malikot na unggoy , na nakakain sa laman ng kanilang puso, ay nagsaya. Ika-walong bahagi nila sa plaza ay nagsasaya ako sa clearing. At labindalawa sa mga baging... Nagsimula silang tumalon habang nakabitin... Ilang unggoy ang naroon, sabihin mo sa akin, sa kawan na ito? Ang equation na tumutugma sa problema: Sumulat si Baskara sa ilalim ng form: Nakumpleto ang kaliwang bahagi sa isang parisukat, 0 Isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo na si Bhaskara Isang kawan ng mga malikot na unggoy, na nakakain hanggang sa nilalaman ng kanilang puso, ay nagsaya. Ika-walong bahagi nila sa plaza ay nagsasaya ako sa clearing. At labindalawa sa mga baging... Nagsimula silang tumalon habang nakabitin... Ilang unggoy ang naroon, sabihin mo sa akin, sa kawan na ito? Ang equation na tumutugma sa problema: Sumulat si Baskara sa ilalim ng form: Nakumpleto ang kaliwang bahagi sa isang parisukat,">

Quadratic equation sa Ancient Asia Ganito ang paraan ng Central Asian scientist na si al-Khwarizmi na nilutas ang equation na ito: Isinulat niya: “Ang panuntunan ay: doblehin ang bilang ng mga ugat, x = 2x 5, makakakuha ka ng lima sa problemang ito, i-multiply ang 5 sa katumbas na ito. dito, magiging dalawampu't lima, 5 ·5=25 idagdag ito sa tatlumpu't siyam, magkakaroon ng animnapu't apat, 64 kunin ang ugat mula rito, magiging walo, 8 at ibawas dito ang kalahati ng bilang ng ugat, ibig sabihin, lima, 8-5 ay mananatili 3 ito ang magiging ugat ng parisukat, na hinahanap ko." Paano ang pangalawang ugat? Ang pangalawang ugat ay hindi natagpuan, dahil ang mga negatibong numero ay hindi kilala. x x = 39

Quadratic equation sa Europa XIII-XVII siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form x2+inx+c=0 ay binuo sa Europe lamang noong 1544 ni Stiefel. Ang mga formula para sa paglutas ng quadratic equation sa Europe ay unang sinabi noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonard Fibonacci. Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Viète, ngunit ang Viète ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Noong ika-17 siglo lamang. salamat sa mga gawa ni Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo

Tungkol sa teorama ni Vieta Ang theorem na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na may pangalang Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: “Kung ang B + D na pinarami ng A-A ay katumbas ng BD, kung gayon ang A ay katumbas ng B at katumbas ng D." Upang maunawaan ang Vieta, dapat tandaan na ang A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang ang hindi alam (aming x), habang ang mga patinig B, D ay mga koepisyent para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang nasa itaas na pagbabalangkas ng Vieta ay nangangahulugang: Kung ang ibinigay na quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng -p, at ang produkto ay katumbas ng q, iyon ay, x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (ang kabuuan ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang coefficient na kinuha na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino ).

Ang paraan ng factorization ay nagdadala ng pangkalahatang quadratic equation sa anyo: A(x)·B(x)=0, kung saan ang A(x) at B(x) ay mga polynomial na may kinalaman sa x. Layunin: Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket; Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami; Paraan ng pagpapangkat. Paraan: Halimbawa:

Mga ugat ng isang quadratic equation: Kung D>0, Kung D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="Roots of a quadratic equation: If D>0, If D"> title="Mga ugat ng isang quadratic equation: Kung D>0, Kung D"> !}

X 1 at x 2 – mga ugat ng equation Paglutas ng mga equation gamit ang teorama ni Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10, na nangangahulugang ang mga ugat ay may iba't ibang palatandaan X 1 + X 2 = – 3, na nangangahulugang ang ugat ay may mas malaking modulus - negatibo Sa pamamagitan ng pagpili ay makikita natin ang mga ugat: X 1 = – 5, X 2 = 2 Halimbawa:

0, sa pamamagitan ng theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation" title="Solve the equation: 2x 2 - 11x +15 = 0. Ilipat natin ang coefficient 2 sa free term na 2 - 11y +30= 0. D>0, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation" class="link_thumb"> 14 !} Lutasin ang equation: 2x x +15 = 0. Ilipat natin ang coefficient 2 sa libreng term y y +30= 0. D>0, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, nakukuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik sa mga ugat ng orihinal na equation: 2, 5; 3. Sagot: 2.5; 3. Paglutas ng mga equation gamit ang "throw" method 0, sa pamamagitan ng theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation "> 0, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng mga equation gamit ang "transfer" method." > 0, sa pamamagitan ng theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation" title="Solve the equation: 2x 2 - 11x +15 = 0. Ilipat natin ang coefficient 2 sa free term na 2 - 11y +30= 0. D>0, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation"> title="Lutasin ang equation: 2x 2 - 11x +15 = 0. Ilipat natin ang coefficient 2 sa libreng term y 2 - 11y +30= 0. D>0, sa pamamagitan ng theorem inverse sa Vieta's theorem, makuha natin ang mga ugat: 5; 6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na mga equation: 2.5; 3. Sagot: 2.5; 3. Solusyon ng equation"> !}

Kung sa isang quadratic equation a+b+c=0, kung gayon ang isa sa mga ugat ay katumbas ng 1, at ang pangalawa sa pamamagitan ng Vieta's theorem ay katumbas ng pangalawa sa pamamagitan ng Vieta's theorem ay katumbas ng Kung sa isang quadratic equation a+c=b , kung gayon ang isa sa mga ugat ay katumbas ng (-1), at ang pangalawa ayon sa teorama ni Vieta ay katumbas ng Halimbawa: Mga katangian ng mga coefficient ng quadratic equation 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Sagot: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Sagot: 1;

Graphical na paraan para sa paglutas ng isang quadratic equation Nang hindi gumagamit ng mga formula, ang isang quadratic equation ay maaaring lutasin nang grapiko. Lutasin natin ang equation. Para magawa ito, bubuo tayo ng dalawang graph: X Y X 01 Y012 Sagot: Ang abscissas ng mga punto ng intersection ng mga graph ay magiging mga ugat ng equation. Kung ang mga graph ay nagsalubong sa dalawang punto, ang equation ay may dalawang ugat. Kung ang mga graph ay nagsalubong sa isang punto, ang equation ay may isang ugat. Kung ang mga graph ay hindi nagsalubong, kung gayon ang equation ay walang mga ugat. 1)y=x2 2)y=x+1

Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram Ito ay isang luma at hindi nararapat na nakalimutang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p. 83 “Four-digit mathematical tables” Bradis V.M. Talahanayan XXII. Nomogram para sa paglutas ng isang equation Ang nomogram na ito ay nagbibigay-daan, nang hindi nilulutas ang isang quadratic equation, upang matukoy ang mga ugat ng equation mula sa mga coefficient nito. Para sa equation, ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat

Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation Noong sinaunang panahon, noong ang geometry ay mas binuo kaysa sa algebra, ang mga quadratic equation ay nalutas hindi sa algebraically, ngunit sa geometrically. Ngunit, halimbawa, kung paano nalutas ng mga sinaunang Griyego ang equation: o Expressions at geometrically ay kumakatawan sa parehong parisukat, at ang orihinal na equation ay ang parehong equation. Saan tayo kumukuha ng ano, o

Konklusyon Ang mga pamamaraang ito ng solusyon ay nararapat na bigyang pansin, dahil hindi lahat ay makikita sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan; ang pag-master ng mga teknik na ito ay makatutulong sa mga mag-aaral na makatipid ng oras at epektibong malutas ang mga equation; ang pangangailangan para sa isang mabilis na solusyon ay dahil sa paggamit ng isang sistema ng pagsubok para sa mga pagsusulit sa pasukan;

PANIMULA

Nangunguna ang mga equation sa kursong algebra ng paaralan. Mas maraming oras ang inilalaan sa kanilang pag-aaral kaysa sa ibang paksa sa kursong matematika ng paaralan. Ang lakas ng teorya ng mga equation ay hindi lamang ito ay may teoretikal na kahalagahan para sa kaalaman ng mga natural na batas, ngunit nagsisilbi rin ng mga tiyak na praktikal na layunin. Karamihan sa mga problema tungkol sa mga spatial form at quantitative na relasyon sa totoong mundo ay bumababa sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation. Sa pamamagitan ng pag-master ng mga paraan upang malutas ang mga ito, ang mga tao ay nakakahanap ng mga sagot sa iba't ibang tanong mula sa agham at teknolohiya (transportasyon, agrikultura, industriya, komunikasyon, atbp.). Gayundin, para sa pagbuo ng kakayahang lutasin ang mga equation, ang independiyenteng gawain ng mag-aaral kapag natutong lutasin ang mga equation ay napakahalaga. Kapag nag-aaral ng anumang paksa, ang mga equation ay maaaring magamit bilang isang epektibong paraan ng pagsasama-sama, pagpapalalim, pag-uulit at pagpapalawak ng teoretikal na kaalaman, para sa pagbuo ng malikhaing aktibidad sa matematika ng mga mag-aaral.

Sa makabagong mundo, ang mga equation ay malawakang ginagamit sa iba't ibang sangay ng matematika at sa paglutas ng mahahalagang inilapat na problema. Ang paksang ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mahusay na lalim ng pagtatanghal at ang kayamanan ng mga koneksyon na itinatag sa tulong nito sa pagtuturo, at ang lohikal na bisa ng pagtatanghal. Samakatuwid, ito ay sumasakop sa isang pambihirang posisyon sa linya ng mga equation. Ang mga mag-aaral ay nagsimulang pag-aralan ang paksang "Square Trinomials" na nakaipon na ng ilang karanasan, na nagtataglay ng sapat na malaking stock ng algebraic at pangkalahatang matematikal na mga konsepto, konsepto, at kasanayan. Sa isang malaking lawak, ito ay sa materyal ng paksang ito na kinakailangan upang i-synthesize ang materyal na nauugnay sa mga equation, upang ipatupad ang mga prinsipyo ng historicism at accessibility.

Kaugnayan Ang paksa ay ang pangangailangan na ipatupad ang mga prinsipyo ng historicism at ang kakulangan ng materyal upang ipatupad ito sa paksang "Paglutas ng mga quadratic equation."

Problema sa pananaliksik: pagkakakilanlan ng makasaysayang materyal para sa pagtuturo ng paglutas ng mga quadratic equation.

Layunin ng trabaho: pagbuo ng mga ideya tungkol sa pagtatrabaho sa mga quadratic equation sa mga aralin sa matematika, pagpili ng isang hanay ng mga aralin na may mga elemento ng historicism sa paksang "Quadratic Equation".

Layunin ng pag-aaral: paglutas ng mga quadratic equation sa ika-8 baitang gamit ang mga elemento ng historicism.

Paksa ng pag-aaral: quadratic equation at pagbuo ng mga aralin para sa pagtuturo ng paglutas ng mga quadratic equation gamit ang historical materials.

Mga gawain:

magsagawa ng pagsusuri ng siyentipiko at metodolohikal na panitikan sa suliraning pananaliksik;

pag-aralan ang mga aklat-aralin sa paaralan at i-highlight sa kanila ang lugar ng pagtuturo sa paglutas ng mga quadratic equation;

pumili ng isang set ng mga aralin sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang historical materials.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

pagsusuri ng panitikan sa paksang "Paglutas ng mga quadratic equation";

pagmamasid ng mga mag-aaral sa panahon ng isang aralin sa paksang "Paglutas ng mga quadratic equation";

pagpili ng materyal: mga aralin sa paksang "Paglutas ng mga quadratic equation" gamit ang makasaysayang impormasyon.

§ 1. Mula sa kasaysayan ng paglitaw ng mga quadratic equation

Ang algebra ay lumitaw kaugnay sa paglutas ng iba't ibang problema gamit ang mga equation. Karaniwan, ang mga problema ay nangangailangan ng paghahanap ng isa o higit pang mga hindi alam, habang alam ang mga resulta ng ilang mga aksyon na ginawa sa nais at ibinigay na dami. Ang ganitong mga problema ay bumababa sa paglutas ng isa o isang sistema ng ilang mga equation, sa paghahanap ng mga kinakailangan gamit ang algebraic operations sa mga ibinigay na dami. Pinag-aaralan ng algebra ang pangkalahatang katangian ng mga operasyon sa mga dami.

Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon.

Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Nalutas ng mga Babylonians ang mga quadratic equation noong 2000 BC. Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga cuneiform na teksto ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Problema 2. "Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96."

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin.
. Ang isa ay mas maliit, i.e.
. Ang pagkakaiba sa pagitan nila
. Kaya ang equation:

Mula rito
. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay 12, ang isa ay 8. Solusyon
para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas mo ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, maaari kang makakuha ng solusyon sa equation:

Mga Quadratic Equation sa India

(1)

Sa equation (1), ang mga coefficient ay maaari ding negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan sa India. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat ng India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa pamamagitan ng ningning nito, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaniyang kaluwalhatian sa mga pampublikong asembliya sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam ng may-akda na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga.

Ang equation na tumutugma sa problema 3 ay:

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

at, upang kumpletuhin ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa parisukat, magdagdag ng 322 sa magkabilang panig, pagkatapos ay makuha ang:

Ang mga quadratic equation ni Al-Khwarizmi

Ang algebraic treatise ni Al-Khwarizmi ay nagbibigay ng klasipikasyon ng linear at quadratic equation. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-mukabal. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, si Al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician hanggang sa ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa tiyak na praktikal na ito ay hindi mahalaga sa mga gawain. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.

Magbigay tayo ng halimbawa.

Suliranin 4. “Ang parisukat at ang bilang 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (ibig sabihin ang ugat ng equation
).

Solusyon: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5, makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ugat na iyong hinahanap. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang treatise ni Al-Khwarizmi ay ang unang aklat na dumating sa atin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

Quadratic equation sa EuropeXII- XVIIV.

Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa aklat na ito ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form
para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan at coefficient b, c, ay binuo sa Europa noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Viète, ngunit ang Viète ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa mga gawa ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

Ang mga pinagmulan ng mga pamamaraan ng algebraic para sa paglutas ng mga praktikal na problema ay nauugnay sa agham ng sinaunang mundo. Tulad ng nalalaman mula sa kasaysayan ng matematika, isang mahalagang bahagi ng mga suliraning matematikal na nalutas ng mga eskriba at calculator ng Egypt, Sumerian, at Babylonian (XX-VI siglo BC) ay likas sa pagkalkula. Gayunpaman, kahit na noon, paminsan-minsan, lumitaw ang mga problema kung saan ang nais na halaga ng isang dami ay tinukoy ng ilang mga hindi direktang kondisyon na, mula sa ating modernong pananaw, ay nangangailangan ng komposisyon ng isang equation o sistema ng mga equation. Sa una, ang mga pamamaraan ng aritmetika ay ginamit upang malutas ang mga naturang problema. Kasunod nito, nagsimulang mabuo ang mga simula ng mga konseptong algebraic. Halimbawa, nalutas ng mga calculator ng Babylonian ang mga problema na, mula sa punto ng view ng modernong pag-uuri, ay maaaring mabawasan sa mga equation ng pangalawang antas. Ang isang paraan para sa paglutas ng mga problema sa salita ay nilikha, na kalaunan ay nagsilbing batayan para sa paghihiwalay ng algebraic na bahagi at ang independiyenteng pag-aaral nito.

Ang pag-aaral na ito ay isinagawa sa ibang panahon, una ng mga Arab mathematician (VI-X na siglo AD), na natukoy ang mga katangiang aksyon kung saan ang mga equation ay dinadala sa isang karaniwang anyo: pagdadala ng mga katulad na termino, paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may pagbabago ng tanda. At pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga European mathematician ng Renaissance, na, bilang resulta ng isang mahabang paghahanap, ay lumikha ng wika ng modernong algebra, ang paggamit ng mga titik, ang pagpapakilala ng mga simbolo para sa mga operasyon ng aritmetika, panaklong, atbp. Sa pagliko ng ika-16- ika-17 siglo. Ang algebra bilang isang tiyak na bahagi ng matematika, na may sariling paksa, pamamaraan, at mga lugar ng aplikasyon, ay nabuo na. Ang karagdagang pag-unlad nito, hanggang sa ating panahon, ay binubuo ng pagpapabuti ng mga pamamaraan, pagpapalawak ng saklaw ng mga aplikasyon, paglilinaw ng mga konsepto at ang kanilang mga koneksyon sa mga konsepto ng iba pang mga sangay ng matematika.

Kaya, sa pagtingin sa kahalagahan at kalawakan ng materyal na nauugnay sa konsepto ng isang equation, ang pag-aaral nito sa mga modernong pamamaraan ng matematika ay nauugnay sa tatlong pangunahing mga lugar ng pinagmulan at paggana nito.

Mula sa kasaysayan ng mga quadratic equation.

a) Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Ang Arithmetic ng Diophantus ay hindi naglalaman ng isang sistematikong pagtatanghal ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Problema 2. "Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96."

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, i.e. .10 + x. Ang isa ay mas kaunti, ibig sabihin, 10 - x. Ang pagkakaiba sa pagitan nila ay 2x. Kaya ang equation:

(10+x)(10-x) =96,

100 -x 2 = 96.

Kaya ang x = 2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay 12, ang isa ay 8. Ang solusyon na x = - 2 ay hindi umiiral para sa Diophantus, dahil ang Griyegong matematika ay alam lamang ang mga positibong numero.

Kung malulutas mo ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, maaari kang makakuha ng solusyon sa equation:

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang Indian scientist, si Brahmagupta (ika-7 siglo), ay nagtakda ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form

Oh 2 + bx = c, a > 0

Sa equation, ang mga coefficient maliban A, maaaring negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Gawain 3.

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam ng may-akda na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga.

Ang equation na tumutugma sa problema 3 ay:

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

x 2 - 64x = - 768

at, upang kumpletuhin ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa isang parisukat, magdagdag ng 32 2 sa magkabilang panig, pagkatapos ay makuha ang:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Quadratic equation ni Al-Khorezmi

"Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax 2 = bx.
"Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero," i.e. ax 2 = c.
"Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ax = c.
"Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax 2 + c = bx.
"Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang," ibig sabihin, ax 2 + bx = c.
"Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c == ax 2.

Magbigay tayo ng halimbawa.

Suliranin 4. “Ang parisukat at ang bilang 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat” (ibig sabihin ang ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang treatise ni Al-Khorezmi ay ang unang aklat na dumating sa atin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

d) Quadratic equation sa Europe noong ika-13-17 siglo.

Ang mga pormula para sa paglutas ng mga quadratic equation na itinulad kay al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa “Book of Abacus,” na isinulat noong 1202 ng Italyano na matematiko na si Leonardo Fibonacci. Ang malaking gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika mula sa parehong mga bansang Islamiko at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng pagiging kumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa Aklat ng Abacus ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form

x 2 + bx = c,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient sign b, Kasama ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha sa Vieta, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa mga gawa ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

Ang mga pinagmulan ng mga pamamaraan ng algebraic para sa paglutas ng mga praktikal na problema ay nauugnay sa agham ng sinaunang mundo. Tulad ng nalalaman mula sa kasaysayan ng matematika, ang isang makabuluhang bahagi ng mga problema ng isang matematikal na kalikasan, na nalutas ng Egyptian, Sumerian, Babylonian scribes-calculators (XX-VI siglo BC), ay may likas na computational. Gayunpaman, kahit na noon, paminsan-minsan, lumitaw ang mga problema kung saan ang nais na halaga ng isang dami ay tinukoy ng ilang mga hindi direktang kondisyon na, mula sa ating modernong pananaw, ay nangangailangan ng komposisyon ng isang equation o sistema ng mga equation. Sa una, ang mga pamamaraan ng aritmetika ay ginamit upang malutas ang mga naturang problema. Kasunod nito, nagsimulang mabuo ang mga simula ng mga konseptong algebraic. Halimbawa, nalutas ng mga calculator ng Babylonian ang mga problema na, mula sa punto ng view ng modernong pag-uuri, ay maaaring mabawasan sa mga equation ng pangalawang antas. Ang isang paraan para sa paglutas ng mga problema sa salita ay nilikha, na kalaunan ay nagsilbing batayan para sa paghihiwalay ng algebraic na bahagi at ang independiyenteng pag-aaral nito.

Kaya, dahil sa kahalagahan at kalawakan ng materyal na nauugnay sa konsepto ng equation, ang pag-aaral nito sa mga modernong pamamaraan ng matematika ay nauugnay sa tatlong pangunahing lugar ng pinagmulan at paggana nito.