Paglutas ng fractionally rational trigonometric equation. Paano Lutasin ang mga Trigonometric Equation

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Paglutas ng mga simpleng trigonometriko equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga manual at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 10 mula sa 1C
Paglutas ng mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ang pag-aaralan natin:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
4. Homogeneous trigonometriko equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Ang mga equation ng trigonometric ay mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng isang function na trigonometric.

Ulitin natin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |a|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |a|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: T(kx+m)=a, T ay ilang trigonometric function.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Solusyon:

A) Ipahiwatig natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n – minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Solusyon:

A) Sa pagkakataong ito, direktang lumipat tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Isinulat namin ito sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam natin na: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Solusyon:

Lutasin natin ang ating equation sa pangkalahatang anyo: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Sa k Sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pumutok muli kami.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, para sa malaking k ay halatang hindi rin kami tatama.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Lutasin natin ang equation:

Solusyon:
Upang malutas ang aming equation, gagamitin namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na nagsasaad ng: t=tg(x).

Bilang resulta ng kapalit na nakukuha natin: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakukuha natin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solusyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay kukuha ng anyo: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa aming quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, kung gayon ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hatiin ito sa cos(x): Hindi mo maaaring hatiin sa cosine kung ito ay katumbas ng zero, siguraduhin nating hindi ito ang kaso:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solusyon:

Kunin natin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

Cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang mga homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, laging sundin ang mga patakarang ito!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung a=0 ang ating equation ay kukuha ng anyo na cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), isang halimbawa ng solusyon na nasa nakaraang slide

2. Kung a≠0, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine squared, makuha namin ang:

Binago namin ang variable t=tg(x) at makuha ang equation:

Lutasin ang halimbawa Blg.:3

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa cosine square:

Binabago namin ang variable na t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang halimbawa Blg.:4

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang halimbawa blg.:5

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipakilala natin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga problema para sa malayang solusyon.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Hindi lihim na ang tagumpay o kabiguan sa proseso ng paglutas ng halos anumang problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa tamang pagpapasiya ng uri ng isang naibigay na equation, pati na rin sa tamang pagpaparami ng pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito. Gayunpaman, sa kaso ng mga trigonometric equation, ang pagtukoy sa katotohanan na ang equation ay trigonometric ay hindi mahirap. Ngunit sa proseso ng pagtukoy sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na dapat humantong sa atin sa tamang sagot, maaari tayong makatagpo ng ilang mga paghihirap. Alamin natin kung paano lutasin nang tama ang mga trigonometric equation sa simula pa lang.

Paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan ang mga sumusunod na puntos:

• Binabawasan namin ang lahat ng mga function na kasama sa aming equation sa "magkaparehong mga anggulo";
• Kinakailangang dalhin ang ibinigay na equation sa "magkaparehong pag-andar";
• Binubulok namin ang kaliwang bahagi ng ibinigay na equation sa mga salik o iba pang kinakailangang bahagi.

Paraan

Paraan 1. Ang ganitong mga equation ay dapat malutas sa dalawang yugto. Una, binabago natin ang equation upang makuha ang pinakasimpleng (pinasimple) na anyo nito. Ang equation: Cosx = a, Sinx = a at ang mga katulad ay tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation. Ang ikalawang yugto ay ang paglutas ng pinakasimpleng equation na nakuha. Dapat pansinin na ang pinakasimpleng equation ay maaaring malutas gamit ang algebraic na pamamaraan, na kilala sa amin mula sa kurso ng algebra ng paaralan. Tinatawag din itong substitution at variable replacement method. Gamit ang mga formula ng pagbabawas, kailangan mo munang magbago, pagkatapos ay gumawa ng isang pagpapalit, at pagkatapos ay hanapin ang mga ugat.

Susunod, kailangan nating i-factor ang ating equation sa mga posibleng kadahilanan; para magawa ito, kailangan nating ilipat ang lahat ng termino sa kaliwa at pagkatapos ay maaari nating i-factor ito. Ngayon kailangan nating dalhin ang equation na ito sa isang homogenous, kung saan ang lahat ng mga termino ay katumbas ng parehong antas, at ang cosine at sine ay may parehong anggulo.

Bago lutasin ang mga trigonometrikong equation, kailangan mong ilipat ang mga termino nito sa kaliwang bahagi, kunin ang mga ito mula sa kanang bahagi, at pagkatapos ay alisin ang lahat ng mga karaniwang denominador sa mga bracket. Itinutumbas namin ang aming mga bracket at mga kadahilanan sa zero. Ang aming mga equated bracket ay kumakatawan sa isang homogenous na equation na may pinababang antas, na dapat na hatiin ng sin (cos) sa pinakamataas na antas. Ngayon lutasin namin ang algebraic equation na nakuha na may kaugnayan sa tan.

Paraan 2. Ang isa pang paraan kung saan maaari mong lutasin ang isang trigonometric equation ay pumunta sa kalahating anggulo. Halimbawa, nilulutas natin ang equation: 3sinx-5cosx=7.

Kailangan nating pumunta sa kalahating anggulo, sa ating kaso ito ay: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).At pagkatapos nito, binabawasan namin ang lahat ng mga termino sa isang bahagi (para sa kaginhawahan, mas mahusay na pumili ng tama) at magpatuloy upang malutas ang equation.

Kung kinakailangan, maaari kang magpasok ng isang auxiliary na anggulo. Ginagawa ito sa kaso kung kailan kailangan mong palitan ang integer value na sin (a) o cos (a) at ang sign na "a" ay nagsisilbi lamang bilang isang auxiliary angle.

Produkto sa kabuuan

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko gamit ang product to sum? Ang isang paraan na kilala bilang product-to-sum conversion ay maaari ding gamitin upang malutas ang mga naturang equation. Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang mga formula na naaayon sa equation.

Halimbawa, mayroon tayong equation: 2sinx * sin3x= сos4x

Kailangan nating lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pag-convert sa kaliwang bahagi sa kabuuan, katulad:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Kung ang mga pamamaraan sa itaas ay hindi angkop, at hindi mo pa rin alam kung paano lutasin ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, maaari kang gumamit ng isa pang paraan - unibersal na pagpapalit. Maaari itong magamit upang ibahin ang anyo ng isang expression at gumawa ng isang pagpapalit. Halimbawa: Cos(x/2)=u. Ngayon ay maaari mong lutasin ang equation sa umiiral na parameter u. At nang matanggap ang nais na resulta, huwag kalimutang i-convert ang halagang ito sa kabaligtaran.

Maraming mga "nakaranas" na mga mag-aaral ang nagpapayo na hilingin sa mga tao na lutasin ang mga equation online. Paano malutas ang isang trigonometric equation online, itatanong mo. Upang malutas ang isang problema online, maaari kang pumunta sa mga forum sa mga nauugnay na paksa, kung saan matutulungan ka nila sa payo o sa paglutas ng problema. Ngunit pinakamahusay na subukang gawin ito sa iyong sarili.

Ang mga kasanayan at kakayahan sa paglutas ng mga trigonometric equation ay napakahalaga at kapaki-pakinabang. Ang kanilang pag-unlad ay mangangailangan ng malaking pagsisikap mula sa iyo. Maraming problema sa pisika, stereometry, atbp. ang nauugnay sa paglutas ng mga naturang equation. At ang proseso ng paglutas ng gayong mga problema mismo ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng mga kasanayan at kaalaman na maaaring makuha habang pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometrya.

Pag-aaral ng trigonometriko formula

Sa proseso ng paglutas ng isang equation, maaari kang makatagpo ng pangangailangang gumamit ng anumang formula mula sa trigonometrya. Maaari mo, siyempre, simulan ang paghahanap para dito sa iyong mga aklat-aralin at cheat sheet. At kung ang mga formula na ito ay naka-imbak sa iyong ulo, hindi mo lamang i-save ang iyong mga nerbiyos, ngunit gagawing mas madali ang iyong gawain, nang hindi nag-aaksaya ng oras sa paghahanap para sa kinakailangang impormasyon. Kaya, magkakaroon ka ng pagkakataong mag-isip sa pinaka makatwirang paraan upang malutas ang problema.

Ang video course na "Kumuha ng A" ay kinabibilangan ng lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Pinag-isang State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, pitfalls at sikreto ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema!!!

Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometriko function (`sin x, cos x, tan x` o `ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at ito ay ang kanilang mga formula na aming isasaalang-alang pa.

Ang pinakasimpleng equation ay ang `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang mga root formula para sa bawat isa sa kanila.

1. Equation `sin x=a`.

Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.

Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equation `cos x=a`

Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, wala itong mga solusyon sa mga tunay na numero.

Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph.

3. Equation `tg x=a`

Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equation `ctg x=a`

Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `a`.

Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan

Para sa sine:
Para sa cosine:
Para sa tangent at cotangent:
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Ang paglutas ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:

• sa tulong ng pagbabago nito sa pinakasimpleng;
• lutasin ang pinakasimpleng equation na nakuha gamit ang root formula at mga talahanayan na nakasulat sa itaas.

Tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.

Algebraic na pamamaraan.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagpapalit ng isang variable at pagpapalit nito sa isang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,

nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.

Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago at ginagawa namin ang kaliwang bahagi:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pagbawas sa isang homogenous na equation

Una, kailangan mong bawasan ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:

`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` - para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` - para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na kailangang lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solusyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, hinahati namin ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha namin:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, na nagreresulta sa `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Lumipat sa Half Angle

Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Solusyon. Ilapat natin ang mga formula ng double angle, na nagreresulta sa: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Panimula ng auxiliary angle

Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hatiin ang magkabilang panig ng `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin, ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang mga module ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin natin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, pagkatapos:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3^2+4^2)`, nakukuha natin:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Tukuyin natin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil ang `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pagkatapos ay kunin namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

`kasalanan (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fractional rational trigonometriko equation

Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction na ang mga numerator at denominator ay naglalaman ng mga function na trigonometriko.

Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Isinasaalang-alang na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

I-equate natin ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 baitang, palaging may mga gawain para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometriko equation - tiyak na magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa iyo!

Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at makuha ito. Hindi ito kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.