Paglutas ng isang matrix gamit ang paliwanag ng Gaussian method. Gaussian method (sequential elimination of unknowns)

1. Sistema ng mga linear algebraic equation

1.1 Ang konsepto ng isang sistema ng mga linear algebraic equation

Ang isang sistema ng mga equation ay isang kondisyon na binubuo ng sabay-sabay na pagpapatupad ng ilang mga equation na may paggalang sa ilang mga variable. Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation (mula rito ay tinutukoy bilang SLAE) na naglalaman ng mga m equation at n hindi alam ay tinatawag na isang sistema ng anyo:

kung saan ang mga numero a ij ay tinatawag na system coefficients, ang mga numero b i ay tinatawag na libreng termino, isang ij At b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ay kumakatawan sa ilang kilalang numero, at x 1 ,…, x n– hindi kilala. Sa pagtatalaga ng mga coefficient isang ij ang unang index i ay tumutukoy sa bilang ng equation, at ang pangalawang j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang koepisyent na ito. Dapat mahanap ang mga numerong x n. Maginhawang isulat ang gayong sistema sa isang compact na form ng matrix: AX=B. Narito ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng system, na tinatawag na pangunahing matrix;

Ang produkto ng matrices A*X ay tinukoy, dahil mayroong kasing daming column sa matrix A na may mga row sa matrix X (n piraso).

Ang pinalawig na matrix ng isang system ay ang matrix A ng system, na pupunan ng isang column ng mga libreng termino

1.2 Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation

Ang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay isang nakaayos na hanay ng mga numero (mga halaga ng mga variable), kapag pinapalitan ang mga ito sa halip na mga variable, ang bawat isa sa mga equation ng system ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang isang solusyon sa isang sistema ay n mga halaga ng hindi alam na x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, sa pagpapalit kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay naging tunay na pagkakapantay-pantay. Ang anumang solusyon sa system ay maaaring isulat bilang isang column matrix

Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na pare-pareho kung mayroon itong kahit isang solusyon, at hindi pare-pareho kung wala itong anumang solusyon.

Ang isang pare-parehong sistema ay sinasabing determinado kung mayroon itong iisang solusyon, at hindi tiyak kung mayroon itong higit sa isang solusyon. Sa huling kaso, ang bawat isa sa mga solusyon nito ay tinatawag na isang partikular na solusyon ng system. Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon ay tinatawag na pangkalahatang solusyon.

Ang paglutas ng isang sistema ay nangangahulugan ng pag-alam kung ito ay tugma o hindi naaayon. Kung pare-pareho ang system, hanapin ang pangkalahatang solusyon nito.

Dalawang sistema ay tinatawag na katumbas (katumbas) kung mayroon silang parehong pangkalahatang solusyon. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon ng isa sa kanila ay solusyon ng isa, at kabaliktaran.

Ang isang pagbabagong-anyo, ang aplikasyon kung saan ang isang sistema ay nagiging isang bagong sistema na katumbas ng orihinal, ay tinatawag na isang katumbas o katumbas na pagbabago. Kasama sa mga halimbawa ng katumbas na pagbabagong-anyo ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo: pagpapalit ng dalawang equation ng isang sistema, pagpapalit ng dalawang hindi alam kasama ng mga koepisyent ng lahat ng equation, pag-multiply ng magkabilang panig ng anumang equation ng isang sistema sa isang nonzero na numero.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero:

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil ang x1=x2=x3=…=xn=0 ay isang solusyon ng system. Ang solusyon na ito ay tinatawag na zero o trivial.

2. Paraan ng pag-aalis ng Gaussian

2.1 Ang kakanyahan ng paraan ng pag-aalis ng Gaussian

Ang klasikal na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam - Gaussian na pamamaraan(tinatawag din itong Gaussian elimination method). Ito ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable, kapag, gamit ang elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang hakbang (o triangular) na anyo, kung saan ang lahat ng iba pang mga variable ay matatagpuan nang sunud-sunod, simula sa huli (sa pamamagitan ng numero) mga variable.

Ang proseso ng solusyon gamit ang Gaussian method ay binubuo ng dalawang yugto: forward at backward moves.

1. Direktang stroke.

Sa unang yugto, ang tinatawag na direktang paglipat ay isinasagawa, kapag, sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago sa ibabaw ng mga hilera, ang sistema ay dinadala sa isang stepped o triangular na hugis, o ito ay itinatag na ang sistema ay hindi tugma. Ibig sabihin, sa mga elemento ng unang hanay ng matrix, pumili ng isang hindi zero, ilipat ito sa pinakamataas na posisyon sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera, at ibawas ang nagresultang unang hilera mula sa natitirang mga hilera pagkatapos ng muling pagsasaayos, pagpaparami nito sa isang halaga. katumbas ng ratio ng unang elemento ng bawat isa sa mga hilera na ito sa unang elemento ng unang hilera, kung gayon ang hanay sa ibaba nito ay sero.

Matapos makumpleto ang mga pagbabagong ito, ang unang hilera at unang hanay ay tinatanggal sa isip at nagpatuloy hanggang sa mananatili ang isang zero-size na matrix. Kung sa anumang pag-ulit ay walang non-zero na elemento sa mga elemento ng unang column, pagkatapos ay pumunta sa susunod na column at magsagawa ng katulad na operasyon.

Sa unang yugto (direktang stroke), ang sistema ay nabawasan sa isang stepped (sa partikular, triangular) na anyo.

Ang system sa ibaba ay may sunud-sunod na anyo:

Ang mga coefficient aii ay tinatawag na pangunahing (nangungunang) elemento ng system.

Ibahin natin ang sistema sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi kilalang x1 sa lahat ng equation maliban sa una (gamit ang elementarya na pagbabago ng system). Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakakakuha kami ng katumbas na sistema:

Kaya, sa unang hakbang, ang lahat ng mga coefficient na nasa ilalim ng unang nangungunang elemento a 11 ay nawasak.

Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system sa isang stepwise form, lilitaw ang mga zero equation, i.e. equalities ng form 0=0, itinatapon ang mga ito. Kung lumitaw ang isang equation ng form

Dito nagtatapos ang direktang pag-unlad ng pamamaraan ni Gauss.

2. Baliktarin ang stroke.

Sa ikalawang yugto, ang tinatawag na reverse move ay isinasagawa, ang kakanyahan nito ay upang ipahayag ang lahat ng mga nagresultang pangunahing mga variable sa mga tuntunin ng mga di-basic at bumuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, o, kung ang lahat ng mga variable ay basic. , pagkatapos ay ipahayag ayon sa numero ang tanging solusyon sa sistema ng mga linear na equation.

Ang pamamaraang ito ay nagsisimula sa huling equation, kung saan ang kaukulang pangunahing variable ay ipinahayag (mayroong isa lamang sa loob nito) at pinapalitan sa mga nakaraang equation, at iba pa, na umaakyat sa "mga hakbang".

Ang bawat linya ay tumutugma sa eksaktong isang batayan na variable, kaya sa bawat hakbang maliban sa huli (pinakamataas), eksaktong inuulit ng sitwasyon ang kaso ng huling linya.

Tandaan: sa pagsasagawa, mas maginhawang magtrabaho hindi sa system, ngunit kasama ang pinahabang matrix nito, na gumaganap ng lahat ng elementarya na pagbabago sa mga hilera nito. Maginhawa para sa coefficient a11 na katumbas ng 1 (muling ayusin ang mga equation, o hatiin ang magkabilang panig ng equation sa a11).

2.2 Mga halimbawa ng paglutas ng mga SLAE gamit ang Gaussian method

Sa seksyong ito, gamit ang tatlong magkakaibang halimbawa, ipapakita namin kung paano malulutas ng pamamaraang Gaussian ang mga SLAE.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang 3rd order na SLAE.

I-reset natin ang mga coefficient sa

Pamamaraan ng Gauss perpekto para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs). Ito ay may isang bilang ng mga pakinabang kumpara sa iba pang mga pamamaraan:

• una, hindi na kailangang suriin muna ang sistema ng mga equation para sa pagkakapare-pareho;
• pangalawa, ang pamamaraang Gauss ay maaaring malutas hindi lamang ang mga SLAE kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang pangunahing matrix ng system ay hindi isahan, ngunit pati na rin ang mga sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa ang bilang ng mga hindi kilalang variable o ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero;
• pangatlo, ang pamamaraang Gaussian ay humahantong sa mga resulta na may medyo maliit na bilang ng mga pagpapatakbo ng pagtutuos.

Maikling pangkalahatang-ideya ng artikulo.

Una, binibigyan namin ang mga kinakailangang kahulugan at ipinakilala ang mga notasyon.

Susunod, ilalarawan namin ang algorithm ng pamamaraang Gauss para sa pinakasimpleng kaso, iyon ay, para sa mga sistema ng linear algebraic equation, ang bilang ng mga equation kung saan tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero. Kapag nilulutas ang mga naturang sistema ng mga equation, ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay malinaw na nakikita, na kung saan ay ang sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable. Samakatuwid, ang pamamaraang Gaussian ay tinatawag ding paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Magpapakita kami ng mga detalyadong solusyon ng ilang mga halimbawa.

Sa konklusyon, isasaalang-alang natin ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss na pamamaraan ng mga sistema ng linear algebraic equation, ang pangunahing matrix kung saan ay alinman sa hugis-parihaba o isahan. Ang solusyon sa naturang mga sistema ay may ilang mga tampok, na susuriin namin nang detalyado gamit ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing kahulugan at notasyon.

Isaalang-alang ang isang sistema ng p linear equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n):

Nasaan ang mga hindi kilalang variable, mga numero (totoo o kumplikado), at mga libreng termino.

Kung , pagkatapos ay tinatawag ang sistema ng mga linear algebraic equation homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Ang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay naging mga pagkakakilanlan ay tinatawag desisyon ng SLAU.

Kung mayroong hindi bababa sa isang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong, kung hindi - hindi magkasanib.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak. Kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon ang sistema ay tinatawag hindi sigurado.

Sinasabi nila na ang sistema ay nakasulat sa coordinate form, kung mayroon itong anyo
.

Ang sistemang ito sa anyo ng matris Ang mga talaan ay may form na , kung saan - ang pangunahing matrix ng SLAE, - ang matrix ng column ng hindi kilalang mga variable, - ang matrix ng mga libreng termino.

Kung magdaragdag tayo ng matrix-column ng mga libreng termino sa matrix A bilang (n+1)th column, makukuha natin ang tinatawag na pinahabang matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang isang pinahabang matrix ay tinutukoy ng titik T, at ang haligi ng mga libreng termino ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Ang square matrix A ay tinatawag mabulok, kung ang determinant nito ay zero. Kung , kung gayon ang matrix A ay tinatawag hindi nabubulok.

Dapat pansinin ang sumusunod na punto.

Kung gagawin mo ang mga sumusunod na aksyon gamit ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

• magpalit ng dalawang equation,
• i-multiply ang magkabilang panig ng anumang equation sa isang arbitrary at non-zero real (o complex) na numero k,
• sa magkabilang panig ng anumang equation idagdag ang mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng isang arbitrary na numero k,

pagkatapos ay makakakuha ka ng isang katumbas na sistema na may parehong mga solusyon (o, tulad ng orihinal, walang mga solusyon).

Para sa isang pinalawig na matrix ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, ang mga pagkilos na ito ay mangangahulugan ng pagsasagawa ng mga elementarya na pagbabago sa mga row:

• pagpapalitan ng dalawang linya,
• pagpaparami ng lahat ng elemento ng anumang row ng matrix T sa isang nonzero number k,
• pagdaragdag sa mga elemento ng anumang hilera ng isang matrix ang mga kaukulang elemento ng isa pang hilera, na pinarami ng isang arbitraryong numero k.

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa paglalarawan ng pamamaraang Gauss.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at ang pangunahing matrix ng system ay hindi isahan, gamit ang Gauss method.

Ano ang gagawin natin sa paaralan kung bibigyan tayo ng gawain ng paghahanap ng solusyon sa isang sistema ng mga equation? .

Gagawin iyon ng ilan.

Tandaan na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kaliwang bahagi ng una sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at kanang bahagi sa kanang bahagi, maaari mong alisin ang hindi kilalang mga variable x 2 at x 3 at agad na mahanap ang x 1:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga x 1 =1 sa una at pangatlong equation ng system:

Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng ikatlong equation ng system sa -1 at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang bahagi ng unang equation, aalisin natin ang hindi kilalang variable x 3 at mahahanap natin ang x 2:

Pinapalitan namin ang resultang halaga x 2 = 2 sa ikatlong equation at hanapin ang natitirang hindi kilalang variable x 3:

Iba sana ang ginawa ng iba.

Resolbahin natin ang unang equation ng system na may paggalang sa hindi kilalang variable x 1 at palitan ang resultang expression sa ikalawa at ikatlong equation ng system upang maibukod ang variable na ito mula sa kanila:

Ngayon ay lutasin natin ang pangalawang equation ng system para sa x 2 at palitan ang resulta na nakuha sa ikatlong equation upang maalis ang hindi kilalang variable x 2 mula dito:

Mula sa ikatlong equation ng sistema ay malinaw na x 3 =3. Mula sa pangalawang equation nakita namin , at mula sa unang equation makuha namin .

Mga pamilyar na solusyon, tama ba?

Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay dito ay ang pangalawang paraan ng solusyon ay mahalagang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, iyon ay, ang Gaussian na pamamaraan. Kapag ipinahayag namin ang hindi kilalang mga variable (unang x 1, sa susunod na yugto x 2) at pinalitan ang mga ito sa natitirang mga equation ng system, sa gayon ay hindi namin sila kasama. Nagsagawa kami ng pag-aalis hanggang sa mayroon na lamang isang hindi kilalang variable na natitira sa huling equation. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian. Matapos makumpleto ang pasulong na paglipat, mayroon kaming pagkakataon na kalkulahin ang hindi kilalang variable na natagpuan sa huling equation. Sa tulong nito, nakita namin ang susunod na hindi kilalang variable mula sa penultimate equation, at iba pa. Ang proseso ng sunud-sunod na paghahanap ng mga hindi kilalang variable habang lumilipat mula sa huling equation hanggang sa una ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.

Dapat tandaan na kapag ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng x 2 at x 3 sa unang equation, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa pangalawa at pangatlong equation, ang mga sumusunod na aksyon ay humahantong sa parehong resulta:

Sa katunayan, ginagawang posible ng gayong pamamaraan na alisin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Ang mga nuances na may pag-aalis ng hindi kilalang mga variable gamit ang Gaussian method ay lumitaw kapag ang mga equation ng system ay hindi naglalaman ng ilang mga variable.

Halimbawa, sa SLAU sa unang equation ay walang hindi kilalang variable x 1 (sa madaling salita, ang coefficient sa harap nito ay zero). Samakatuwid, hindi natin malulutas ang unang equation ng system para sa x 1 upang maalis ang hindi kilalang variable na ito mula sa natitirang mga equation. Ang paraan sa labas ng sitwasyong ito ay ang pagpapalit ng mga equation ng system. Dahil isinasaalang-alang natin ang mga sistema ng mga linear na equation na ang mga determinant ng pangunahing matrice ay naiiba sa zero, palaging mayroong isang equation kung saan ang variable na kailangan natin ay naroroon, at maaari nating muling ayusin ang equation na ito sa posisyon na kailangan natin. Para sa aming halimbawa, sapat na upang palitan ang una at pangalawang equation ng system , pagkatapos ay maaari mong lutasin ang unang equation para sa x 1 at ibukod ito mula sa natitirang mga equation ng system (bagaman ang x 1 ay wala na sa pangalawang equation).

Umaasa kaming nakuha mo ang diwa.

Ilarawan natin Algoritmo ng pamamaraan ng Gaussian.

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ng form , at hayaang ang determinant ng pangunahing matrix nito ay naiiba sa zero.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin natin ang hindi kilalang variable x 1 sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system ay idinagdag namin ang una, pinarami ng , sa ikatlong equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at .

Narating namin ang parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, nagpapatuloy kami sa isang katulad na paraan, ngunit sa bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, sa ikatlong equation ng system idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat na equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian hanggang sa makuha ng sistema ang anyo

Mula sa sandaling ito sinisimulan natin ang reverse ng Gaussian method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nahanap natin ang x 1 mula sa unang equation .

Tingnan natin ang algorithm gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Pamamaraan ng Gauss.

Solusyon.

Ang koepisyent a 11 ay di-zero, kaya't magpatuloy tayo sa direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian, iyon ay, sa pagbubukod ng hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng mga equation ng system maliban sa una. Upang gawin ito, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawa, pangatlo at ikaapat na equation, idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, na pinarami ng , ayon sa pagkakabanggit. At:

Ang hindi kilalang variable na x 1 ay inalis na, magpatuloy tayo sa pag-aalis ng x 2 . Sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlo at ikaapat na equation ng system ay idinaragdag namin ang kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng ayon sa pagkakabanggit At :

Upang makumpleto ang pasulong na pag-unlad ng pamamaraang Gaussian, kailangan nating alisin ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Idagdag natin sa kaliwa at kanang bahagi ng ikaapat na equation, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, na pinarami ng :

Maaari mong simulan ang reverse ng Gaussian method.

Mula sa huling equation na mayroon tayo ,
mula sa ikatlong equation na nakukuha natin,
mula sa pangalawa,
mula sa una.

Upang suriin, maaari mong palitan ang nakuha na mga halaga ng hindi kilalang mga variable sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang lahat ng mga equation ay nagiging mga pagkakakilanlan, na nagpapahiwatig na ang solusyon gamit ang pamamaraang Gauss ay natagpuan nang tama.

Sagot:

Ngayon bigyan natin ng solusyon ang parehong halimbawa gamit ang Gaussian method sa matrix notation.

Halimbawa.

Hanapin ang solusyon sa sistema ng mga equation Pamamaraan ng Gauss.

Solusyon.

Ang pinahabang matrix ng system ay may anyo . Sa tuktok ng bawat column ay ang mga hindi kilalang variable na tumutugma sa mga elemento ng matrix.

Ang direktang diskarte ng pamamaraang Gaussian dito ay nagsasangkot ng pagbabawas ng pinalawak na matrix ng system sa isang trapezoidal form gamit ang elementarya na pagbabago. Ang prosesong ito ay katulad ng pag-aalis ng mga hindi kilalang variable na ginawa namin sa system sa coordinate form. Ngayon ay makikita mo ito.

Ibahin natin ang matrix upang ang lahat ng elemento sa unang column, simula sa pangalawa, ay maging zero. Upang gawin ito, sa mga elemento ng ikalawa, ikatlo at ikaapat na linya ay idinaragdag namin ang kaukulang mga elemento ng unang linya na pinarami ng , at ayon dito:

Susunod, binabago namin ang nagresultang matrix upang sa pangalawang haligi ang lahat ng mga elemento, simula sa pangatlo, ay naging zero. Ito ay tumutugma sa pag-aalis ng hindi kilalang variable x 2 . Upang gawin ito, sa mga elemento ng ikatlo at ikaapat na hanay ay idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng unang hilera ng matrix, na pinarami ng ayon sa pagkakabanggit At :

Nananatili itong ibukod ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Upang gawin ito, sa mga elemento ng huling hilera ng nagresultang matrix idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng penultimate row, na pinarami ng :

Dapat tandaan na ang matrix na ito ay tumutugma sa isang sistema ng mga linear equation

na nakuha nang mas maaga pagkatapos ng isang pasulong na paglipat.

Oras na para bumalik. Sa matrix notation, ang kabaligtaran ng Gaussian method ay nagsasangkot ng pagbabago sa resultang matrix upang ang matrix ay minarkahan sa figure.

naging dayagonal, iyon ay, kinuha ang anyo

kung saan ang ilang mga numero.

Ang mga pagbabagong ito ay katulad ng mga pasulong na pagbabago ng pamamaraang Gaussian, ngunit ginagawa hindi mula sa unang linya hanggang sa huli, ngunit mula sa huli hanggang sa una.

Idagdag sa mga elemento ng ikatlo, pangalawa at unang linya ang mga katumbas na elemento ng huling linya, na pinarami ng , nang walang tigil ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon idagdag sa mga elemento ng pangalawa at unang linya ang mga kaukulang elemento ng ikatlong linya, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Sa huling hakbang ng reverse Gaussian na pamamaraan, sa mga elemento ng unang hilera ay idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng pangalawang hilera, na pinarami ng:

Ang resultang matrix ay tumutugma sa sistema ng mga equation , mula sa kung saan matatagpuan namin ang hindi kilalang mga variable.

Sagot:

TANDAAN.

Kapag ginagamit ang paraan ng Gauss upang malutas ang mga sistema ng mga linear algebraic equation, dapat na iwasan ang mga tinatayang kalkulasyon, dahil ito ay maaaring humantong sa ganap na hindi tamang mga resulta. Inirerekumenda namin na huwag bilugan ang mga decimal. Mas mainam na lumipat mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Lutasin ang isang sistema ng tatlong equation gamit ang Gauss method .

Solusyon.

Tandaan na sa halimbawang ito ang hindi kilalang mga variable ay may ibang pagtatalaga (hindi x 1, x 2, x 3, ngunit x, y, z). Lumipat tayo sa mga ordinaryong fraction:

Ibukod natin ang hindi kilalang x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Sa resultang sistema, ang hindi kilalang variable na y ay wala sa pangalawang equation, ngunit ang y ay nasa ikatlong equation, samakatuwid, palitan natin ang pangalawa at pangatlong equation:

Kinukumpleto nito ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gauss (hindi na kailangang ibukod ang y mula sa ikatlong equation, dahil wala na ang hindi kilalang variable na ito).

Simulan natin ang reverse move.

Mula sa huling equation nakita namin ,
mula sa penultimate


mula sa unang equation na mayroon tayo

Sagot:

X = 10, y = 5, z = -20.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi alam o ang pangunahing matrix ng system ay isahan, gamit ang Gauss method.

Ang mga sistema ng mga equation, na ang pangunahing matrix ay hugis-parihaba o parisukat na isahan, ay maaaring walang mga solusyon, maaaring may isang solong solusyon, o maaaring may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngayon ay mauunawaan natin kung paano pinahihintulutan tayo ng pamamaraang Gauss na itatag ang pagiging tugma o hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema ng mga linear na equation, at sa kaso ng pagiging tugma nito, tukuyin ang lahat ng mga solusyon (o isang solong solusyon).

Sa prinsipyo, ang proseso ng pag-aalis ng mga hindi kilalang variable sa kaso ng naturang mga SLAE ay nananatiling pareho. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pag-detalye tungkol sa ilang mga sitwasyon na maaaring lumitaw.

Pumunta tayo sa pinakamahalagang yugto.

Kaya, ipagpalagay natin na ang sistema ng mga linear algebraic equation, pagkatapos makumpleto ang pasulong na pag-unlad ng pamamaraang Gauss, ay nasa anyo. at hindi isang solong equation ang nabawasan sa (sa kasong ito ay ipapasiya namin na ang sistema ay hindi tugma). Isang lohikal na tanong ang lumitaw: "Ano ang susunod na gagawin"?

Isulat natin ang hindi kilalang mga variable na nauuna sa lahat ng mga equation ng resultang sistema:

Sa aming halimbawa ang mga ito ay x 1, x 4 at x 5. Sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system iniiwan lamang namin ang mga terminong naglalaman ng nakasulat na hindi kilalang mga variable x 1, x 4 at x 5, ang natitirang mga termino ay inililipat sa kanang bahagi ng mga equation na may kabaligtaran na tanda:

Bigyan natin ang mga hindi kilalang variable na nasa kanang bahagi ng mga equation na mga arbitrary na halaga, kung saan - di-makatwirang mga numero:

Pagkatapos nito, ang kanang bahagi ng lahat ng equation ng ating SLAE ay naglalaman ng mga numero at maaari tayong magpatuloy sa reverse ng Gaussian method.

Mula sa huling equation ng system na mayroon tayo, mula sa penultimate equation na nakita natin, mula sa unang equation na nakuha natin

Ang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable

Pagbibigay ng mga Numero iba't ibang mga halaga, makakakuha tayo ng iba't ibang mga solusyon sa sistema ng mga equation. Ibig sabihin, ang ating sistema ng mga equation ay may walang katapusang maraming solusyon.

Sagot:

saan - di-makatwirang mga numero.

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin nang detalyado ang mga solusyon ng ilang higit pang mga halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation Pamamaraan ng Gauss.

Solusyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable na x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, idinagdag namin, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, pinarami ng , at sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, idinaragdag namin ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, pinarami ng:

Ngayon ay ibukod natin ang y mula sa ikatlong equation ng nagresultang sistema ng mga equation:

Ang resultang SLAE ay katumbas ng system .

Iniiwan namin sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ang mga terminong naglalaman ng hindi kilalang mga variable na x at y, at ilipat ang mga termino na may hindi kilalang variable na z sa kanang bahagi:

Isa sa mga unibersal at epektibong pamamaraan para sa paglutas ng mga linear algebraic system ay Gaussian na pamamaraan , na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.

Alalahanin na ang dalawang sistema ay tinatawag katumbas (katumbas) kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay magkakasabay. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon ng isa sa mga ito ay solusyon ng isa at kabaliktaran. Nakukuha ang mga katumbas na sistema kapag mga pagbabagong elementarya equation ng system:

pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa isang numero maliban sa zero;

pagdaragdag sa ilang equation ng mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng numero maliban sa zero;

muling pagsasaayos ng dalawang equation.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga equation

Ang proseso ng paglutas ng sistemang ito gamit ang Gaussian method ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto (direktang paggalaw), ang sistema, gamit ang elementarya na pagbabago, ay nabawasan sa hakbang-hakbang , o tatsulok form, at sa pangalawang yugto (reverse) mayroong isang sequential, simula sa huling variable na numero, pagpapasiya ng mga hindi alam mula sa nagresultang sistema ng hakbang.

Ipagpalagay natin na ang coefficient ng system na ito
, kung hindi sa system ang unang hilera ay maaaring ipagpalit sa anumang iba pang hilera upang ang koepisyent sa ay iba sa zero.

Ibahin natin ang sistema sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi alam sa lahat ng equation maliban sa una. Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng at magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa pangalawang equation ng system. Pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng at idagdag ito sa ikatlong equation ng system. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakukuha namin ang katumbas na sistema

Dito
– mga bagong halaga ng mga coefficient at libreng termino na nakuha pagkatapos ng unang hakbang.

Katulad nito, isinasaalang-alang ang pangunahing elemento
, ibukod ang hindi alam mula sa lahat ng equation ng system, maliban sa una at pangalawa. Ipagpatuloy natin ang prosesong ito hangga't maaari, at bilang resulta ay makakakuha tayo ng stepwise system

,

saan ,
,…,- mga pangunahing elemento ng system
.

Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system sa isang sunud-sunod na anyo, lilitaw ang mga equation, ibig sabihin, mga pagkakapantay-pantay ng form
, itinatapon ang mga ito dahil nasiyahan sila sa anumang hanay ng mga numero
. Kung sa
Kung ang isang equation ng form ay lilitaw na walang mga solusyon, ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakatugma ng system.

Sa panahon ng reverse stroke, ang unang hindi alam ay ipinahayag mula sa huling equation ng transformed step system sa pamamagitan ng lahat ng iba pang hindi alam
na tinatawag na libre . Pagkatapos ay ang variable na expression mula sa huling equation ng system ay pinapalitan sa penultimate equation at ang variable ay ipinahayag mula dito
. Ang mga variable ay tinutukoy nang sunud-sunod sa katulad na paraan
. Mga variable
, na ipinahayag sa pamamagitan ng mga libreng variable, ay tinatawag basic (nakadepende). Ang resulta ay isang pangkalahatang solusyon sa sistema ng mga linear na equation.

Hanapin pribadong solusyon mga sistema, walang alam
sa pangkalahatang solusyon ang mga arbitrary na halaga ay itinalaga at ang mga halaga ng mga variable ay kinakalkula
.

Ito ay teknikal na mas maginhawa upang sumailalim sa elementarya na pagbabago hindi ang mga equation ng system mismo, ngunit ang pinalawak na matrix ng system

.

Ang pamamaraang Gauss ay isang unibersal na pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas hindi lamang parisukat, kundi pati na rin ang mga hugis-parihaba na sistema kung saan ang bilang ng mga hindi alam
hindi katumbas ng bilang ng mga equation
.

Ang bentahe ng pamamaraang ito ay din na sa proseso ng paglutas ay sabay-sabay nating sinusuri ang system para sa pagiging tugma, dahil, sa pagbibigay ng pinahabang matrix
sa stepwise form, madaling matukoy ang mga ranggo ng matrix at pinalawig na matrix
at mag-apply Kronecker-Capelli theorem .

Halimbawa 2.1 Lutasin ang system gamit ang Gauss method

Solusyon. Bilang ng mga equation
at ang bilang ng mga hindi alam
.

Gumawa tayo ng pinahabang matrix ng system sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga coefficient sa kanan ng matrix column ng libreng miyembro .

Ipakita natin ang matrix sa isang tatsulok na view; Upang gawin ito, makakakuha tayo ng "0" sa ibaba ng mga elemento na matatagpuan sa pangunahing dayagonal gamit ang mga pagbabagong elementarya.

Upang makuha ang "0" sa pangalawang posisyon ng unang column, i-multiply ang unang row sa (-1) at idagdag ito sa pangalawang row.

Isinulat namin ang pagbabagong ito bilang numero (-1) laban sa unang linya at tinutukoy ito ng isang arrow mula sa unang linya hanggang sa pangalawang linya.

Upang makuha ang "0" sa ikatlong posisyon ng unang hanay, i-multiply ang unang hilera sa (-3) at idagdag sa ikatlong hilera; Ipakita natin ang pagkilos na ito gamit ang isang arrow mula sa unang linya hanggang sa pangatlo.

.

Sa nagresultang matrix, na nakasulat sa pangalawa sa kadena ng mga matrice, nakukuha namin ang "0" sa pangalawang haligi sa ikatlong posisyon. Upang gawin ito, pinarami namin ang pangalawang linya sa pamamagitan ng (-4) at idinagdag ito sa pangatlo. Sa resultang matrix, i-multiply ang pangalawang hilera sa (-1), at hatiin ang pangatlo sa (-8). Ang lahat ng mga elemento ng matrix na ito na nasa ibaba ng mga elemento ng dayagonal ay mga zero.

kasi , ang sistema ay nagtutulungan at tinukoy.

Ang sistema ng mga equation na tumutugma sa huling matrix ay may isang tatsulok na anyo:

Mula sa huling (ikatlong) equation
. Palitan sa pangalawang equation at makuha
.

Palitan natin
At
sa unang equation, nakita namin


.

Kahulugan at paglalarawan ng pamamaraang Gaussian

Ang Gaussian transformation method (kilala rin bilang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable mula sa isang equation o matrix) para sa paglutas ng mga sistema ng linear equation ay isang klasikal na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng algebraic equation (SLAE). Ginagamit din ang klasikal na pamamaraang ito upang malutas ang mga problema tulad ng pagkuha ng mga inverse matrice at pagtukoy sa ranggo ng isang matrix.

Ang pagbabagong-anyo gamit ang Gaussian method ay binubuo ng paggawa ng maliliit (elementarya) na sunud-sunod na mga pagbabago sa isang sistema ng mga linear algebraic equation, na humahantong sa pag-aalis ng mga variable mula dito mula sa itaas hanggang sa ibaba sa pagbuo ng isang bagong triangular na sistema ng mga equation na katumbas ng orihinal isa.

Kahulugan 1

Ang bahaging ito ng solusyon ay tinatawag na pasulong na solusyong Gaussian, dahil ang buong proseso ay isinasagawa mula sa itaas hanggang sa ibaba.

Matapos bawasan ang orihinal na sistema ng mga equation sa isang tatsulok, ang lahat ng mga variable ng system ay matatagpuan mula sa ibaba hanggang sa itaas (iyon ay, ang mga unang variable na natagpuan ay tiyak na matatagpuan sa mga huling linya ng system o matrix). Ang bahaging ito ng solusyon ay kilala rin bilang kabaligtaran ng solusyong Gaussian. Ang kanyang algorithm ay ang mga sumusunod: una, ang mga variable na pinakamalapit sa ilalim ng sistema ng mga equation o matrix ay kinakalkula, pagkatapos ay ang mga resultang halaga ay pinapalitan ng mas mataas at sa gayon ay matatagpuan ang isa pang variable, at iba pa.

Paglalarawan ng Gaussian method algorithm

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga equation gamit ang Gaussian method ay binubuo sa salit-salit na paglalapat ng forward at backward stroke sa matrix batay sa SLAE. Hayaang ang paunang sistema ng mga equation ay may sumusunod na anyo:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Upang malutas ang mga SLAE gamit ang Gaussian method, kinakailangang isulat ang orihinal na sistema ng mga equation sa anyo ng isang matrix:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Ang matrix na $A$ ay tinatawag na pangunahing matrix at kumakatawan sa mga coefficient ng mga variable na nakasulat sa pagkakasunud-sunod, at ang $b$ ay tinatawag na column ng mga libreng termino nito. Ang matrix na $A$, na isinulat sa pamamagitan ng bar na may column ng mga libreng termino, ay tinatawag na extended matrix:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Ngayon ay kinakailangan, gamit ang mga elementarya na pagbabago sa sistema ng mga equation (o sa matrix, dahil ito ay mas maginhawa), upang dalhin ito sa sumusunod na anyo:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Ang matrix na nakuha mula sa mga coefficient ng binagong sistema ng equation (1) ay tinatawag na step matrix; ito ang karaniwang hitsura ng mga step matrice:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) at b_3 \end(array)$

Ang mga matrice na ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na hanay ng mga katangian:

1. Ang lahat ng mga zero na linya nito ay kasunod ng mga di-zero na linya
2. Kung ang ilang row ng isang matrix na may numerong $k$ ay hindi zero, ang nakaraang row ng parehong matrix ay may mas kaunting mga zero kaysa sa isang ito na may numerong $k$.

Matapos makuha ang step matrix, kinakailangan na palitan ang mga nagresultang variable sa natitirang mga equation (simula sa dulo) at makuha ang natitirang mga halaga ng mga variable.

Mga pangunahing panuntunan at pinahihintulutang pagbabago kapag ginagamit ang pamamaraang Gauss

Kapag pinasimple ang isang matrix o sistema ng mga equation gamit ang pamamaraang ito, kailangan mong gumamit lamang ng mga pagbabagong elementarya.

Ang ganitong mga pagbabago ay itinuturing na mga operasyon na maaaring ilapat sa isang matrix o sistema ng mga equation nang hindi binabago ang kahulugan nito:

• muling pagsasaayos ng ilang linya,
• pagdaragdag o pagbabawas mula sa isang hilera ng isang matrix ng isa pang hilera mula dito,
• pagpaparami o paghahati ng isang string sa isang pare-parehong hindi katumbas ng zero,
• isang linya na binubuo lamang ng mga zero, na nakuha sa proseso ng pagkalkula at pagpapasimple ng system, ay dapat tanggalin,
• Kailangan mo ring alisin ang mga hindi kinakailangang proporsyonal na linya, pagpili para sa system ang isa lamang na may mga coefficient na mas angkop at maginhawa para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Ang lahat ng elementarya na pagbabago ay mababaligtad.

Pagsusuri ng tatlong pangunahing mga kaso na lumitaw kapag nilulutas ang mga linear na equation gamit ang paraan ng mga simpleng pagbabagong Gaussian

Mayroong tatlong mga kaso na lumitaw kapag gumagamit ng Gaussian na pamamaraan upang malutas ang mga system:

1. Kapag ang isang sistema ay hindi naaayon, ibig sabihin, wala itong anumang mga solusyon
2. Ang sistema ng mga equation ay may isang solusyon, at isang natatangi, at ang bilang ng mga di-zero na mga hilera at mga haligi sa matrix ay katumbas ng bawat isa.
3. Ang system ay may isang tiyak na bilang o hanay ng mga posibleng solusyon, at ang bilang ng mga hilera sa loob nito ay mas mababa sa bilang ng mga haligi.

Kinalabasan ng isang solusyon na may hindi naaayon na sistema

Para sa opsyong ito, kapag nilulutas ang isang matrix equation gamit ang Gaussian method, tipikal na makakuha ng ilang linya na may imposibilidad na matupad ang pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, kung ang hindi bababa sa isang maling pagkakapantay-pantay ay nangyari, ang resulta at orihinal na mga sistema ay walang mga solusyon, anuman ang iba pang mga equation na nilalaman nito. Isang halimbawa ng hindi pare-parehong matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Sa huling linya lumitaw ang isang imposibleng pagkakapantay-pantay: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Isang sistema ng mga equation na mayroon lamang isang solusyon

Ang mga system na ito, pagkatapos na gawing step matrix at alisin ang mga row na may mga zero, ay may parehong bilang ng mga row at column sa pangunahing matrix. Narito ang pinakasimpleng halimbawa ng naturang sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Isulat natin ito sa anyo ng isang matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Upang dalhin ang unang cell ng pangalawang hilera sa zero, i-multiply namin ang tuktok na hilera sa $-2$ at ibawas ito mula sa ibabang hilera ng matrix, at iwanan ang tuktok na hilera sa orihinal nitong anyo, bilang resulta, mayroon kaming sumusunod :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ang halimbawang ito ay maaaring isulat bilang isang sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Ang mas mababang equation ay nagbubunga ng sumusunod na halaga para sa $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. I-substitute ang value na ito sa itaas na equation: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, makuha namin ang $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Isang sistema na may maraming posibleng solusyon

Ang sistemang ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mas maliit na bilang ng mga makabuluhang hilera kaysa sa bilang ng mga haligi sa loob nito (ang mga hilera ng pangunahing matrix ay isinasaalang-alang).

Ang mga variable sa naturang sistema ay nahahati sa dalawang uri: basic at libre. Kapag binago ang naturang sistema, ang mga pangunahing variable na nakapaloob dito ay dapat na iwan sa kaliwang bahagi hanggang sa "=" sign, at ang natitirang mga variable ay dapat ilipat sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Ang ganitong sistema ay mayroon lamang isang tiyak na pangkalahatang solusyon.

Suriin natin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Isulat natin ito sa anyo ng isang matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Ang aming gawain ay maghanap ng pangkalahatang solusyon sa system. Para sa matrix na ito, ang mga batayang variable ay magiging $y_1$ at $y_3$ (para sa $y_1$ - dahil ito ang mauna, at sa kaso ng $y_3$ - ito ay matatagpuan pagkatapos ng mga zero).

Bilang mga variable na batayan, eksaktong pipiliin namin ang mga nauna sa row at hindi katumbas ng zero.

Ang natitirang mga variable ay tinatawag na libre; kailangan nating ipahayag ang mga pangunahing sa pamamagitan ng mga ito.

Gamit ang tinatawag na reverse stroke, sinusuri namin ang system mula sa ibaba hanggang sa itaas; para magawa ito, ipinapahayag muna namin ang $y_3$ mula sa ilalim na linya ng system:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Ngayon ay pinapalitan natin ang ipinahayag na $y_3$ sa itaas na equation ng system $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Ipinapahayag namin ang $y_1$ sa mga tuntunin ng mga libreng variable na $y_2$ at $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Ang solusyon ay handa na.

Halimbawa 1

Lutasin ang slough gamit ang Gaussian method. Mga halimbawa. Isang halimbawa ng paglutas ng isang sistema ng mga linear equation na ibinigay ng isang 3 by 3 matrix gamit ang Gaussian method

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Isulat natin ang ating system sa anyo ng pinahabang matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Ngayon, para sa kaginhawahan at pagiging praktikal, kailangan mong baguhin ang matrix upang ang $1 ay nasa itaas na sulok ng pinakalabas na column.

Upang gawin ito, sa unang linya kailangan mong idagdag ang linya mula sa gitna, na pinarami ng $-1$, at isulat ang gitnang linya mismo kung ano ito, lumalabas:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

I-multiply ang tuktok at huling linya sa $-1$, at ipagpalit din ang huli at gitnang linya:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

At hatiin ang huling linya sa $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Nakukuha namin ang sumusunod na sistema ng mga equation, katumbas ng orihinal:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Mula sa itaas na equation ipinapahayag namin ang $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Halimbawa 2

Isang halimbawa ng paglutas ng sistemang tinukoy gamit ang 4 by 4 na matrix gamit ang Gaussian method

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Sa simula, pinapalitan namin ang mga nangungunang linya kasunod nito upang makakuha ng $1 sa kaliwang sulok sa itaas:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Ngayon i-multiply ang nangungunang linya sa $-2$ at idagdag sa ika-2 at ika-3. Sa ika-4 idinagdag namin ang 1st line, na pinarami ng $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Ngayon sa linyang numero 3 idinaragdag namin ang linya 2 na pinarami ng $4$, at sa linya 4 idinaragdag namin ang linya 2 na pinarami ng $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

I-multiply namin ang linya 2 sa $-1$, at hinahati ang linya 4 sa $3$ at pinapalitan namin ang linya 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 at 10 \\ \end(array)$

Ngayon ay idinaragdag namin sa huling linya ang penultimate, na pinarami ng $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 at 0 \\ \end(array)$

Nalulutas namin ang nagresultang sistema ng mga equation:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang pamamaraan batay sa pagkalkula ng mga determinant ( Ang panuntunan ni Cramer). Ang kalamangan nito ay pinapayagan ka nitong agad na i-record ang solusyon, lalo na itong maginhawa sa mga kaso kung saan ang mga coefficient ng system ay hindi mga numero, ngunit ilang mga parameter. Ang kawalan nito ay ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon sa kaso ng isang malaking bilang ng mga equation; bukod dito, ang panuntunan ng Cramer ay hindi direktang naaangkop sa mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam. Sa ganitong mga kaso, ito ay karaniwang ginagamit Gaussian na pamamaraan.

Ang mga sistema ng mga linear na equation na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas. Malinaw, ang hanay ng mga solusyon ng isang linear na sistema ay hindi magbabago kung ang anumang mga equation ay pinalitan, o kung ang isa sa mga equation ay pinarami ng ilang di-zero na numero, o kung ang isang equation ay idinagdag sa isa pa.

Pamamaraan ng Gauss (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam) ay na sa tulong ng elementarya pagbabagong-anyo ang sistema ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang uri ng hakbang. Una, gamit ang 1st equation, inaalis namin x 1 ng lahat ng kasunod na equation ng system. Pagkatapos, gamit ang 2nd equation, inaalis namin x 2 mula sa ika-3 at lahat ng kasunod na equation. Ang prosesong ito, tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian, ay nagpapatuloy hanggang sa mayroon na lamang isang hindi kilalang natitira sa kaliwang bahagi ng huling equation x n. Pagkatapos nito ay tapos na kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian– paglutas ng huling equation, nakita namin x n; pagkatapos nito, gamit ang halagang ito, mula sa penultimate equation ay kinakalkula namin x n–1, atbp. Natagpuan namin ang huli x 1 mula sa unang equation.

Maginhawang magsagawa ng mga pagbabagong Gaussian sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagbabagong hindi sa mga equation mismo, ngunit sa mga matrice ng kanilang mga coefficient. Isaalang-alang ang matrix:

tinawag pinahabang matrix ng system, dahil, bilang karagdagan sa pangunahing matrix ng system, kabilang dito ang isang hanay ng mga libreng termino. Ang pamamaraang Gaussian ay batay sa pagbabawas ng pangunahing matrix ng system sa isang triangular na anyo (o trapezoidal form sa kaso ng mga non-square system) gamit ang elementary row transformations (!) ng extended matrix ng system.

Halimbawa 5.1. Lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang unang hilera, pagkatapos nito ay i-reset natin ang natitirang mga elemento:

nakakakuha tayo ng mga zero sa 2nd, 3rd at 4th row ng unang column:

Ngayon kailangan namin ang lahat ng mga elemento sa ikalawang hanay sa ibaba ng 2nd row upang maging katumbas ng zero. Upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang pangalawang linya sa -4/7 at idagdag ito sa ika-3 linya. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, gumawa tayo ng isang yunit sa ika-2 hilera ng pangalawang hanay at lamang

Ngayon, upang makakuha ng isang tatsulok na matrix, kailangan mong i-reset ang elemento ng ikaapat na hilera ng ika-3 haligi; upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang ikatlong hilera sa 8/54 at idagdag ito sa ikaapat. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, ipapalit namin ang ika-3 at ika-4 na hanay at ang ika-3 at ika-4 na hanay at pagkatapos lamang nito ay ire-reset namin ang tinukoy na elemento. Tandaan na kapag muling inaayos ang mga column, ang mga kaukulang variable ay nagbabago ng mga lugar at ito ay dapat tandaan; ang iba pang elementarya na pagbabagong-anyo na may mga column (pagdaragdag at pagpaparami sa isang numero) ay hindi maisagawa!

Ang huling pinasimple na matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation na katumbas ng orihinal:

Mula dito, gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian, makikita natin mula sa ikaapat na equation x 3 = –1; mula sa ikatlo x 4 = –2, mula sa pangalawa x 2 = 2 at mula sa unang equation x 1 = 1. Sa anyong matrix, ang sagot ay isinusulat bilang

Isinasaalang-alang namin ang kaso kapag ang sistema ay tiyak, i.e. kapag iisa lang ang solusyon. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ang sistema ay hindi naaayon o hindi sigurado.

Halimbawa 5.2. I-explore ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Sinusulat namin at binabago ang pinahabang matrix ng system

Sumulat kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Dito, sa huling equation lumalabas na 0=4, i.e. kontradiksyon. Dahil dito, ang sistema ay walang solusyon, i.e. siya hindi magkatugma. à

Halimbawa 5.3. I-explore at lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Sinusulat namin at binabago ang pinahabang matrix ng system:

Bilang resulta ng mga pagbabago, ang huling linya ay naglalaman lamang ng mga zero. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga equation ay nabawasan ng isa:

Kaya, pagkatapos ng mga pagpapasimple, may dalawang equation na natitira, at apat na hindi alam, i.e. dalawang hindi kilalang "dagdag". Hayaan silang maging "labis", o, gaya ng sinasabi nila, mga libreng variable, kalooban x 3 at x 4 . Pagkatapos

Naniniwala x 3 = 2a At x 4 = b, nakukuha namin x 2 = 1–a At x 1 = 2b–a; o sa anyo ng matrix

Ang isang solusyon na nakasulat sa ganitong paraan ay tinatawag pangkalahatan, dahil, nagbibigay ng mga parameter a At b iba't ibang mga halaga, ang lahat ng posibleng solusyon ng system ay maaaring inilarawan. a