Paglutas ng mga equation para sa OGE. Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan...

Ang ikaapat na takdang-aralin sa algebra module ay sumusubok ng kaalaman sa paggamit ng mga kapangyarihan at mga radikal na expression.

Kapag kinukumpleto ang gawain No. 4 ng OGE sa matematika, hindi lamang ang mga kasanayan sa pagkalkula at pagbabago ng mga numerical na expression ay nasubok, kundi pati na rin ang kakayahang baguhin ang mga algebraic na expression. Maaaring kailanganin mong magsagawa ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan na may integer exponent, na may mga polynomial, at magkaparehong pagbabago ng mga rational expression.

Alinsunod sa mga materyales ng pangunahing pagsusulit, maaaring may mga gawain na nangangailangan ng pagsasagawa ng magkaparehong pagbabago ng mga makatwirang expression, factoring polynomials, paggamit ng mga porsyento at proporsyon, at mga pagsubok sa divisibility.

Ang sagot sa gawain 4 ay isa sa mga bilang 1; 2; 3; 4 na naaayon sa bilang ng iminungkahing sagot sa gawain.

Teorya para sa gawain Blg. 4

Mula sa teoretikal na materyal na kakailanganin natin Mga panuntunan para sa paghawak ng mga degree:

Mga panuntunan para sa pakikipagtulungan mga radikal na expression:

Sa aking nasuri na mga bersyon, ang mga patakarang ito ay ipinakita - sa pagsusuri ng unang bersyon ng ikatlong gawain, ang mga patakaran para sa paghawak ng mga degree ay ipinakita, at sa pangalawa at pangatlong bersyon, ang mga halimbawa ng pagtatrabaho sa mga radikal na expression ay nasuri.

Pagsusuri ng mga tipikal na opsyon para sa gawain No. 4 OGE sa matematika

Unang bersyon ng gawain

Alin sa mga sumusunod na expression para sa anumang mga halaga ng n ay katumbas ng produkto 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Solusyon:

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong tandaan ang mga sumusunod mga panuntunan para sa paghawak ng mga degree :

• Kapag pinarami, nagdaragdag ang mga kapangyarihan
• kapag ang pagdaragdag ng mga degree ay ibinabawas
• Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga kapangyarihan ay pinarami
• kapag kinukuha ang ugat, ang mga degree ay nahahati

Bilang karagdagan, upang malutas ito, kinakailangan na kumatawan sa 121 bilang isang kapangyarihan ng 11, na eksaktong 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Isinasaalang-alang ang panuntunan sa pagpaparami, idinaragdag namin ang mga degree:

11 2 11 n = 11 n+2

Samakatuwid, ang pangalawang sagot ay nababagay sa atin.

Pangalawang bersyon ng gawain

Alin sa mga sumusunod na expression ang may pinakamalaking halaga?

1. 2√11
2. 2√10

Solusyon:

Upang malutas ang gawaing ito, kailangan mong dalhin ang lahat ng mga expression sa isang pangkalahatang anyo - ipakita ang mga expression sa anyo ng mga radikal na expression:

Ilipat ang 3 sa ugat:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Ilipat ang 2 sa ugat:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Ilipat ang 2 sa ugat:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Kami ay parisukat sa 6.5:

6.5 = √(6.5²) = √42.25

Tingnan natin ang lahat ng mga resultang opsyon:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Samakatuwid, ang tamang sagot ay una

Pangatlong bersyon ng gawain

Alin sa mga numerong ito ang makatwiran?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. lahat ng mga numerong ito ay hindi makatwiran

Solusyon:

Upang malutas ang problemang ito kailangan mong magpatuloy tulad ng sumusunod:

Una, alamin natin ang kapangyarihan ng kung aling numero ang isinasaalang-alang sa halimbawang ito - ito ang numero 9, dahil ang parisukat nito ay 81, at ito ay medyo katulad sa mga expression sa mga sagot. Susunod, tingnan natin ang mga anyo ng numero 9 - maaaring ito ay:

Isaalang-alang ang bawat isa sa kanila:

0.9 = √(0.9)² = √0.81

90 = √(90²) = √8100

Samakatuwid, ang bilang na √0.81 ay makatwiran, habang ang natitirang mga numero

bagama't katulad ng 9 na parisukat na hugis, hindi ito makatwiran.

Kaya, ang tamang sagot ay pangatlo.

Ikaapat na bersyon ng gawain

Sa kahilingan ng isang subscriber ng aking komunidad Bumaba na ito Diana, narito ang pagsusuri ng sumusunod na gawain Blg. 4:

Alin sa mga numero sa ibaba ang halaga ng expression?

Solusyon:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng pagkakaiba (4 - √14), na kailangan nating alisin. Paano ito gawin?

Upang gawin ito, tandaan ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Upang mailapat ito nang tama sa gawaing ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa paghawak ng mga fraction. Sa kasong ito, tandaan na ang fraction ay hindi nagbabago kung ang numerator at denominator ay i-multiply sa parehong numero o expression. Para sa pagkakaiba ng mga parisukat, kulang tayo sa expression (4 + √14), na nangangahulugang pinaparami natin ang numerator at denominator dito.

Pagkatapos nito, makakakuha tayo ng 4 + √14 sa numerator, at ang pagkakaiba ng mga parisukat sa denominator: 4² - (√14)². Pagkatapos nito, ang denominator ay madaling kalkulahin:

Sa kabuuan, ganito ang hitsura ng aming mga aksyon:

Ikalimang bersyon ng gawain (demo na bersyon ng OGE 2017)

Aling expression ang isang rational number?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Solusyon:

Sa gawaing ito, ang aming mga kasanayan sa mga operasyon na may mga hindi makatwirang numero ay nasubok.

Tingnan natin ang bawat opsyon sa sagot sa solusyon:

Ang √6 mismo ay isang hindi makatwiran na numero; upang malutas ang mga naturang problema, sapat na tandaan na maaari mong makatwiran na kunin ang ugat mula sa mga parisukat ng mga natural na numero, halimbawa, 4, 9, 16, 25...

Kapag ang pagbabawas mula sa isang hindi makatwirang numero ng anumang iba pang numero maliban sa sarili nito, muli itong hahantong sa isang hindi makatwirang numero, kaya, sa bersyon na ito, isang hindi makatwirang numero ay nakuha.

Kapag nagpaparami ng mga ugat, maaari nating kunin ang ugat mula sa produkto ng mga radikal na expression, iyon ay:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Ngunit ang √15 ay hindi makatwiran, kaya ang sagot na ito ay hindi angkop.

Kapag nag-squaring ng square root, nakakakuha lang tayo ng radical expression (upang maging mas tumpak, isang modulo radical expression, ngunit sa kaso ng isang numero, tulad ng sa bersyon na ito, hindi ito mahalaga), samakatuwid:

Ang pagpipiliang sagot na ito ay angkop sa amin.

Ang expression na ito ay kumakatawan sa pagpapatuloy ng punto 1, ngunit kung ang √6-3 ay isang hindi makatwirang numero, kung gayon hindi ito mako-convert sa isang makatwirang numero sa pamamagitan ng anumang mga operasyong alam natin.

Kumpletuhin ang mga pangungusap: 1). Ang equation ay... 2). Ang ugat ng equation ay... 3). Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan...

I. Lutasin ang mga equation nang pasalita: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Alin sa mga sumusunod na equation ang walang solusyon: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Alin sa mga equation ang may walang katapusang maraming solusyon: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

EQUATIONS NG FORM kx + b = 0, kung saan ang k, b ay binibigyan ng mga numero, AY TINATAWAG NA LINEAR. Algorithm para sa paglutas ng mga linear na equation: 1). bukas na mga bracket 2). ilipat ang mga terminong naglalaman ng hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang mga terminong hindi naglalaman ng hindi alam sa kanang bahagi (ang tanda ng inilipat na termino ay nababaligtad); 3). magdala ng mga katulad na miyembro; 4). hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng coefficient ng hindi alam kung ito ay hindi katumbas ng zero.

Lutasin sa mga notebook Pangkat I: Blg. 681 p. 63 6(4 -x)+3 x=3 Pangkat III: Blg. 767 p. 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 equation : II pangkat: Blg. 697 p. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Ang isang equation ng form na aх2 + bх + c =0, kung saan ang a≠ 0, b, c ay anumang tunay na numero, ay tinatawag na quadratic. Mga hindi kumpletong equation: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Lutasin ang mga quadratic equation nang pasalita, na nagsasaad kung kumpleto o hindi kumpleto ang mga ito: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

MGA TANONG: 1). Anong katangian ng mga equation ang ginamit upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation? 2). Anong mga paraan ng pag-factor ng isang polynomial ang ginamit upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation? 3). Ano ang algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation?

1). Ang produkto ng dalawang kadahilanan ay katumbas ng zero, kung ang isa sa kanila ay zero, ang pangalawa ay hindi nawawala ang kahulugan nito: ab = 0 kung a = 0 o b = 0. 2). Ang pagpapalit ng karaniwang salik at a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) ay ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. 3). Kumpletuhin ang quadratic equation ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, kung D>0, 2 ugat; D = 0, 1 ugat; D

Theorem inverse to Vieta's theorem: Kung ang mga numerong a, b, c, x 1 at x 2 ay tulad ng x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, at x 2 ang mga ugat ng equation na a x 2 + bx + c = 0

SOLUSUNIN ANG EQUATIONS: Pangkat I: Blg. 802 pahina 71 x2 - 5 x- 36 =0 Pangkat II: Blg. 810 pahina 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Pangkat III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. SOLVE THE EQUATIONS: Group I and II: No. 860 Group III: =0 =0 Ano ang tawag sa mga equation na ito? Anong pag-aari ang ginagamit upang malutas ang mga ito?

Ang rational equation ay isang equation ng form =0. Ang isang fraction ay katumbas ng zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero. =0, kung a = 0, b≠ 0.

Sa madaling sabi mula sa kasaysayan ng matematika Ang mga mathematician ng Sinaunang Egypt ay nagawang lutasin ang mga quadratic at linear equation. Unang ipinakilala ng Persian medieval scientist na si Al-Khorezmi (ika-9 na siglo) ang algebra bilang isang malayang agham tungkol sa mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation, at nagbigay ng klasipikasyon ng mga equation na ito. Ang isang bagong mahusay na tagumpay sa matematika ay nauugnay sa pangalan ng Pranses na siyentipiko na si Francois Vieta (XVI siglo). Siya ang nagpakilala ng mga titik sa algebra. Siya ang may pananagutan sa sikat na theorem sa mga ugat ng quadratic equation. At utang namin ang tradisyon ng pagtukoy ng mga hindi kilalang dami na may mga huling titik ng alpabetong Latin (x, y, z) sa isa pang Pranses na matematiko - Rene Descartes (XVII).

Takdang-Aralin Magtrabaho sa mga site: - Buksan ang bangko ng mga gawain OGE (matematika) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "I will solve the OGE" ni D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Website ng A. Larin (opsyon 119) http: //alexlarin. net/. Mga Textbook: - Yu. M. Kolyagin textbook "Algebra 9th grade", M., "Enlightenment", 2014, p. 308 -310; - "3000 gawain" sa ilalim. na-edit ni I. V. Yashchenko, M., "Exam", 2017, p. 5974.

Impormasyon para sa mga magulang Sistema ng paghahanda para sa OGE sa matematika 1). Kasama sa pag-uulit sa mga aralin 2). Panghuling pagsusuri sa katapusan ng taon 3). Elective classes (sa Sabado) 4). Sistema ng takdang-aralin - nagtatrabaho sa mga site na SOLVE KO OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Mga indibidwal na konsultasyon (sa Lunes)

Toylonov Argymai at Toylonov Erkei

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang komprehensibong paaralan ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng modernong tao. Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa modernong tao ay konektado lahat sa matematika. At ang mga kamakailang pagsulong sa pisika, inhinyero at teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang kalagayan ng mga gawain ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang paglutas ng maraming praktikal na problema ay bumababa sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangan mong matutunan kung paano lutasin.

At mula noong 2013, ang sertipikasyon sa matematika sa pagtatapos ng pangunahing paaralan ay isinasagawa sa anyo ng OGE. Tulad ng Unified State Exam, ang Unified State Exam ay idinisenyo upang magsagawa ng sertipikasyon hindi lamang sa algebra, kundi pati na rin sa buong kurso sa matematika ng pangunahing paaralan.

Ang malaking bahagi ng mga gawain, sa isang paraan o iba pa, ay bumaba sa pagbuo ng mga equation at ang kanilang mga solusyon. Upang magpatuloy sa pag-aaral ng paksang ito, kailangan naming sagutin ang mga tanong: “Anong mga uri ng equation ang matatagpuan sa mga gawain ng OGE? ” at “Ano ang mga paraan upang malutas ang mga equation na ito?”

Kaya, may pangangailangang pag-aralan ang lahat ng uri ng mga equation na matatagpuan sa mga gawain ng OGE. Ang lahat ng nasa itaas ay tumutukoy

Layunin Ang gawain ay upang kumpletuhin ang lahat ng uri ng mga equation na makikita sa mga gawain ng OGE ayon sa uri at pag-aralan ang mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga equation na ito.

Upang makamit ang layuning ito, itinakda namin ang mga sumusunod mga gawain:

1) Galugarin ang mga pangunahing mapagkukunan para sa paghahanda para sa mga pangunahing pagsusulit ng estado.

2) Kumpletuhin ang lahat ng mga equation ayon sa uri.

3) Suriin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito.

4) Bumuo ng isang koleksyon na may lahat ng uri ng mga equation at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Layunin ng pag-aaral: mga equation

Paksa ng pag-aaral: mga equation sa mga gawain ng OGE.

I-download:

Preview:

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Sekondaryang paaralan ng Chibitskaya"

PROYEKTO NG PAGSASANAY:

“EQUATIONS IN OGE TASKS”

Toylonov Erkey

mga mag-aaral sa ika-8 baitang

superbisor: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, guro ng matematika.

Timeline ng pagpapatupad ng proyekto:

mula 12/13/2017 hanggang 02/13. 2018

PANIMULA

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang komprehensibong paaralan ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng modernong tao. Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa modernong tao ay konektado lahat sa matematika. At ang mga kamakailang pagsulong sa pisika, inhinyero at teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang kalagayan ng mga gawain ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang paglutas ng maraming praktikal na problema ay bumababa sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangan mong matutunan kung paano lutasin.

At mula noong 2013, ang sertipikasyon sa matematika sa pagtatapos ng pangunahing paaralan ay isinasagawa sa anyo ng OGE. Tulad ng Unified State Exam, ang Unified State Exam ay idinisenyo upang magsagawa ng sertipikasyon hindi lamang sa algebra, kundi pati na rin sa buong kurso sa matematika ng pangunahing paaralan.

Ang malaking bahagi ng mga gawain, sa isang paraan o iba pa, ay bumaba sa pagbuo ng mga equation at ang kanilang mga solusyon. Upang magpatuloy sa pag-aaral ng paksang ito, kailangan naming sagutin ang mga tanong: “Anong mga uri ng equation ang matatagpuan sa mga gawain ng OGE? ” at “Ano ang mga paraan upang malutas ang mga equation na ito?”

Kaya, may pangangailangang pag-aralan ang lahat ng uri ng mga equation na matatagpuan sa mga gawain ng OGE. Ang lahat ng nasa itaas ay tumutukoykaugnayan ng suliranin ng gawaing isinagawa.

Layunin Ang gawain ay upang kumpletuhin ang lahat ng uri ng mga equation na makikita sa mga gawain ng OGE ayon sa uri at pag-aralan ang mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga equation na ito.

Upang makamit ang layuning ito, itinakda namin ang mga sumusunod mga gawain:

1) Galugarin ang mga pangunahing mapagkukunan para sa paghahanda para sa mga pangunahing pagsusulit ng estado.

2) Kumpletuhin ang lahat ng mga equation ayon sa uri.

3) Suriin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito.

4) Bumuo ng isang koleksyon na may lahat ng uri ng mga equation at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Layunin ng pag-aaral: mga equation

Paksa ng pag-aaral:mga equation sa mga gawain ng OGE.

Plano ng trabaho sa proyekto:

1. Pagbubuo ng tema ng proyekto.
2. Pagpili ng materyal mula sa mga opisyal na mapagkukunan sa isang partikular na paksa.
3. Pagproseso at sistematisasyon ng impormasyon.
4. Pagpapatupad ng proyekto.
5. Disenyo ng proyekto.
6. Proteksyon ng proyekto.

Problema : palalimin ang iyong pag-unawa sa mga equation. Ipakita ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ipinakita sa mga gawain ng OGE sa una at ikalawang bahagi.

Ang gawaing ito ay isang pagtatangka na gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang pinag-aralan na materyal at matuto ng mga bago. Kasama sa proyekto ang: mga linear na equation na may paglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa at gamit ang mga katangian ng mga equation, pati na rin ang mga problema na nalutas ng equation, lahat ng uri ng quadratic equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation.

Ang matematika... ay nagpapakita ng kaayusan, simetrya at katiyakan,

at ito ang pinakamahalagang uri ng kagandahan.

Aristotle.

Makasaysayang sanggunian

Sa mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na walang mga barya o pitaka. Ngunit may mga tambak, pati na rin ang mga kaldero at basket, na perpekto para sa papel ng mga storage cache na maaaring maglaman ng hindi kilalang bilang ng mga item. "Kami ay naghahanap ng isang bunton na, kasama ang dalawang-katlo, kalahati at isang ikapito, ay gumagawa ng 37...", itinuro ng Egyptian scribe na si Ahmes noong ika-2 milenyo BC. Sa sinaunang mga problema sa matematika ng Mesopotamia, India, China, Greece, ang hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, at ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga eskriba, opisyal at pari ay nagsimula sa lihim na kaalaman, mahusay na sinanay sa agham ng mga account, na nakayanan ang gayong mga gawain nang matagumpay.

Ang mga mapagkukunan na nakarating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay may ilang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus o clay tablet ang naglalaman ng paglalarawan ng mga diskarteng ito. Paminsan-minsan lang ibinibigay ng mga may-akda ang kanilang mga numerical na kalkulasyon na may maliliit na komento tulad ng: "Tingnan mo!", "Gawin mo ito!", "Nakita mo ang tama." Sa ganitong diwa, ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pagbubuo ng mga equation na may sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon.

Gayunpaman, ang unang manwal para sa paglutas ng mga problema na naging malawak na kilala ay ang gawain ng Baghdad scientist noong ika-9 na siglo. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Ang salitang "al-jabr" mula sa Arabic na pangalan ng treatise na ito - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Aklat ng pagpapanumbalik at pagsalungat") - sa paglipas ng panahon ay naging kilalang salitang "algebra", at al- Ang gawain mismo ni Khwarizmi ay nagsilbing panimulang punto sa pagbuo ng agham ng paglutas ng mga equation.

Kaya ano ang equation?

Mayroong isang equation ng mga karapatan, isang equation ng oras (pagsasalin ng totoong solar time sa mean solar time, tinatanggap sa lipunan at sa agham; astr.), atbp.

Sa matematika ay isang matematikal na pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isa o higit pang hindi kilalang mga dami at pinapanatili ang bisa nito para lamang sa ilang mga halaga ng mga hindi kilalang dami na ito.

Sa mga equation na may isang variable, ang hindi alam ay karaniwang tinutukoy ng titik " X". Ang halaga ng "x" ", na nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyong ito, ay tinatawag na ugat ng equation.

Mayroong iba't ibang mga equation species:

ax + b = 0. - Linear equation.
ax 2 + bx + c = 0. - Quadratic equation.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Biquadratic equation.

– Rational equation.

– Hindi makatwirang equation.
May mga ganyanmga paraan upang malutas ang mga equation Paano: algebraic, arithmetic at geometric. Isaalang-alang natin ang algebraic method.

Lutasin ang equation- ito ay upang mahanap ang mga naturang halaga ng X na, kapag pinalitan sa orihinal na expression, ay magbibigay sa amin ng tamang pagkakapantay-pantay o patunayan na walang mga solusyon. Ang paglutas ng mga equation, bagaman mahirap, ay kapana-panabik. Pagkatapos ng lahat, ito ay tunay na nakakagulat kapag ang isang buong stream ng mga numero ay nakasalalay sa isang hindi kilalang numero.

Sa mga equation upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong baguhin at pasimplehin ang orihinal na expression. At sa paraang kapag nagbago ang hitsura, hindi nagbabago ang kakanyahan ng pagpapahayag. Ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag na magkapareho o katumbas.

Kabanata 1 Paglutas ng mga Equation

1.1 Paglutas ng mga linear na equation.

Ngayon ay titingnan natin ang mga solusyon sa mga linear na equation. Alalahanin na ang isang equation ng formay tinatawag na isang linear equation o isang equation ng unang degree dahil may variable na " X » ang senior degree ay nasa unang degree.

Ang solusyon sa linear equation ay napaka-simple:

Halimbawa 1: Lutasin ang Equation 3 x +3=5 x

Ang isang linear na equation ay nalulutas sa pamamagitan ng paglilipat ng mga terminong naglalaman ng mga hindi alam sa kaliwang bahagi ng pantay na tanda, mga libreng coefficient sa kanang bahagi ng pantay na tanda:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1.5

Ang halaga ng variable na nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ay tinatawag ugat ng equation.

Pagkatapos suriin ay nakukuha namin:

Kaya 1.5 ang ugat ng equation.

Sagot: 1.5.

Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, kung saan ang tanda ng mga termino ay nagbabago sa kabaligtaran at ginagamit ari-arian equation - ang magkabilang panig ng isang equation ay maaaring i-multiply (hatiin) sa parehong di-zero na numero o expression, maaaring isaalang-alang kapag nilulutas ang mga sumusunod na equation.

Halimbawa 2. Lutasin ang mga equation:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Solusyon.

a) Gamit ang paraan ng paglilipat na ating nilulutas

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

Pagsusuri:

Sagot: –0.1

b) Katulad ng nakaraang halimbawa, nilulutas namin ang paraan ng paglipat:

Sagot: 2.

c) Sa equation na ito, kinakailangan upang buksan ang mga bracket, na inilalapat ang distributive property ng multiplikasyon na may paggalang sa operasyon ng karagdagan.

Sagot: 6.75.

1.2 Mga parisukat na equation

Equation ng form tinatawag na quadratic equation, kung saan a - senior coefficient, b – average na koepisyent, с – libreng termino.

Depende sa posibilidad a, b at c – ang equation ay maaaring kumpleto o hindi kumpleto, ibinigay o hindi ibinigay.

1.2.1 Hindi kumpletong quadratic equation

Isaalang-alang natin ang mga paraan upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation:

1) Simulan nating maunawaan ang solusyon ng unang uri ng hindi kumpletong quadratic equation para sa c=0 . Hindi kumpletong quadratic equation ng form a x 2 +b x=0 nagpapahintulot sa iyo na magpasyaparaan ng factorization. Sa partikular, ang paraan ng bracketing.

Malinaw, magagawa natin, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation, kung saan sapat na upang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket x . Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation patungo sa isang katumbas na equation ng form: x·(a·x+b)=0 .

At ang equation na ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation x=0 o isang x+b=0 , ang huli ay linear at may ugat x=− .

a x 2 +b x=0 ay may dalawang ugat

x=0 at x=− .

2) Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation, kung saan ang coefficient b ay zero at c≠0 , iyon ay, mga equation ng form a x 2 +c=0 . Alam namin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda, pati na rin ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang hindi-zero na numero, ay nagbibigay ng katumbas na equation. Samakatuwid, maaari nating isagawa ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 :

• ilipat mula sa sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 =−c ,
• at hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng a , nakukuha namin.

Ang resultang equation ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito.

Kung ang bilang – ay negatibo, kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero.

Kung ay isang positibong numero, kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kailangan mong tandaan na mayroong isang ugat ng equation, ito ay isang numero. Ang ugat ng equation ay kinakalkula ayon sa sumusunod na pamamaraan:

Ito ay kilala na ang pagpapalit sa equation sa halip na x pinapalitan ng mga ugat nito ang equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Isa-isahin natin ang impormasyon sa talatang ito. Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay katumbas ng equation, alin

3) Mga solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, may mga equation ng form a x 2 =0. Ang equation na a x 2 =0 ay sumusunod sa x 2 =0 , na nakukuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati ng parehong bahagi sa isang hindi-zero na numero a . Malinaw, ang ugat ng equation x 2 =0 ay zero, dahil 0 2 =0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 =0 may iisang ugat x=0 .

Halimbawa 3. Lutasin ang mga equation: a) x 2 =5x, kung ang equation ay may ilang mga ugat, pagkatapos ay ipahiwatig ang pinakamaliit sa mga ito sa iyong sagot;

b), kung ang equation ay may ilang mga ugat, pagkatapos ay ipahiwatig ang pinakamalaki sa mga ito sa iyong sagot;

c) x 2 −9=0, kung ang equation ay may ilang mga ugat, pagkatapos ay ipahiwatig ang pinakamaliit sa mga ito sa iyong sagot.

Solusyon.

Nakakuha kami ng hindi kumpletong quadratic equation kung saan walang libreng termino. Niresolba namin gamit ang paraan ng bracketing.

U Ang equation ay maaaring gawin sa dalawang ugat, ang mas maliit ay 0.

Sagot: 0.

b) . Katulad ng nakaraang halimbawa, ginagamit namin ang paraan ng bracketing

Dapat ipahiwatig ng sagot ang mas malaki sa mga ugat. Ito ang numero 2.

Sagot: 2.

V) . Ang equation na ito ay isang hindi kumpletong quadratic equation na walang average na coefficient.

Ang pinakamaliit sa mga ugat na ito ay ang bilang - 3.

Sagot: –3.

1.2.2 Kumpletuhin ang mga quadratic equation.

1. Discriminant, pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

May root formula.

Isulat natin ito formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation sunud-sunod na hakbang:

1) D=b 2 −4 a c - tinatawag na.

a) kung D

b) kung D>0, pagkatapos ay ang equationay walang isang ugat:

c) kung D ay walang dalawang ugat:

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang mga quadratic equation, maaari mong agad na gamitin ang root formula upang kalkulahin ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit na nauugnay sa paghahanap ng mga kumplikadong ugat.

Gayunpaman, sa isang kurso sa algebra ng paaralan ay karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, upang mahanap muna ang discriminant, siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man, maaari nating tapusin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos lamang kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsulatalgorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation. Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 +b x+c=0 , kailangan mo:

• ayon sa discriminant formula D=b 2 −4 a c kalkulahin ang halaga nito;
• tapusin na ang isang quadratic equation ay walang tunay na ugat kung ang discriminant ay negatibo;
• kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula kung D=0 ;
• maghanap ng dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang discriminant ay positibo.

2. Discriminant, ang pangalawang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation (na may pantay na pangalawang koepisyent).

Upang malutas ang mga quadratic equation ng form, na may pantay na koepisyent b=2k may isa pang formula.

Mag-record tayo ng bago formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation sa:

1) D’=k 2 −a c - tinatawag nadiscriminant ng isang quadratic equation.

a) kung D' ay walang tunay na mga ugat;

b) kung D’>0, kung gayon ang equationay walang isang ugat:

c) kung D' ay walang dalawang ugat:

Halimbawa 4. Lutasin ang 2x equation 2 −3x+1=0.. Kung ang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Solusyon. Sa unang kaso, mayroon kaming mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=2 , b=-3 at c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Mula noong 1>0

Meron kami Mayroon kaming dalawang ugat, ang mas malaki ay ang numero 1.

Sagot: 1.

Halimbawa 5. Lutasin ang equation x 2 −21=4x.

Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Solusyon. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang halimbawa, lumilipat kami ng 4h sa kaliwang bahagi ng pantay na tanda at makuha ang:

Sa kasong ito, mayroon kaming mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=1 , k=-2 at c=−21 . Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang discriminant D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Numero 25>0 , iyon ay, ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin sila gamit ang root formula

Sagot: 7.

1.2.3 Mga partikular na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

1) Ang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation. Ang teorama ni Vieta.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito. Batay sa root formula, maaari kang makakuha ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakatanyag at naaangkop na formula ay tinatawag na Vieta's Theorem.

Teorama: Hayaan - mga ugat ng ibinigay na quadratic equation. Kung gayon ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng kabaligtaran na halaga ng pangalawang koepisyent:

Gamit ang nakasulat na mga formula, maaari kang makakuha ng ilang iba pang koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.

Halimbawa 6. a) Lutasin ang equation x 2

b) Lutasin ang equation x 2

c) Lutasin ang equation x 2

Solusyon.

a) Lutasin ang equation x 2 −6x+5=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

Pagpili ng pinakamaliit sa mga ugat

Sagot: 1

b) Lutasin ang equation x 2 +7x+10=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Ang paglalapat ng teorama ni Vieta, sumusulat kami ng mga pormula para sa mga ugat

Nangangatuwirang lohikal, napagpasyahan namin iyon. Pagpili ng pinakamalaki sa mga ugat

Sagot: ─2.

c) Lutasin ang equation x 2 ─5x─14=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Ang paglalapat ng teorama ni Vieta, sumusulat kami ng mga pormula para sa mga ugat

Nangangatuwirang lohikal, napagpasyahan namin iyon. Pagpili ng pinakamaliit sa mga ugat

Sagot: ─2.

1.3 Rational equation

Kung bibigyan ka ng equation na may mga fraction ng formna may variable sa numerator o denominator, kung gayon ang gayong ekspresyon ay tinatawag na rational equation. Ang rational equation ay anumang equation na may kasamang kahit isang rational expression. Ang mga rational equation ay nalulutas sa parehong paraan tulad ng anumang equation: ang parehong mga operasyon ay isinasagawa sa magkabilang panig ng equation hanggang sa ang variable ay ihiwalay sa isang bahagi ng equation. Gayunpaman, mayroong 2 pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation.

1) Cross multiplication.Kung kinakailangan, muling isulat ang equation na ibinigay sa iyo upang mayroong isang fraction (isang rational expression) sa bawat panig; tanging sa kasong ito maaari mong gamitin ang crosswise multiplication method.

I-multiply ang numerator ng kaliwang bahagi ng denominator ng kanan. Ulitin ito gamit ang numerator ng kanang bahagi at ang denominator ng kaliwa.

• Ang cross-cross multiplication ay batay sa mga pangunahing prinsipyo ng algebraic. Sa mga rational expression at iba pang mga fraction, maaari mong alisin ang numerator sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga numerator at denominator ng dalawang fraction nang naaayon.
• I-equate ang mga resultang expression at pasimplehin ang mga ito.
• Lutasin ang nagresultang equation, iyon ay, hanapin ang "x". Kung ang "x" ay nasa magkabilang panig ng equation, ihiwalay ito sa isang gilid ng equation.

2) Ang lowest common denominator (LCD) ay ginagamit upang gawing simple ang equation na ito.Ginagamit ang paraang ito kapag hindi ka makakasulat ng isang ibinigay na equation na may isang rational expression sa bawat panig ng equation (at gumamit ng crisscross method ng multiplication). Ginagamit ang paraang ito kapag binigyan ka ng rational equation na may 3 o higit pang mga fraction (sa kaso ng dalawang fraction, mas mainam na gumamit ng criss-cross multiplication).

• Hanapin ang pinakamababang common denominator ng mga fraction (o least common multiple).Ang NOZ ay ang pinakamaliit na bilang na pantay na nahahati ng bawat denominator.
• I-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa isang numero na katumbas ng resulta ng paghahati ng NOC sa katumbas na denominator ng bawat fraction.
• Hanapin ang x. Ngayong binawasan mo na ang mga fraction sa isang common denominator, maaari mong alisin ang denominator. Upang gawin ito, i-multiply ang bawat panig ng equation sa pamamagitan ng common denominator. Pagkatapos ay lutasin ang nagresultang equation, iyon ay, hanapin ang "x". Upang gawin ito, ihiwalay ang variable sa isang bahagi ng equation.

Halimbawa 7. Lutasin ang mga equation: a); b) c) .

Solusyon.

A) . Ginagamit namin ang crosswise multiplication method.

Binubuksan namin ang mga bracket at nagpapakita ng mga katulad na termino.

nakakuha ng linear equation na may isang hindi alam

Sagot: ─10.

b) , katulad ng nakaraang halimbawa, inilalapat namin ang cross-by-cross multiplication na paraan.

Sagot: ─1.9.

V) , ginagamit namin ang least common denominator (LCD) na pamamaraan.

Sa halimbawang ito, ang karaniwang denominator ay 12.

Sagot: 5.

Kabanata 2 Mga Kumplikadong Equation

Ang mga equation na kabilang sa kategorya ng mga kumplikadong equation ay maaaring pagsamahin ang iba't ibang mga pamamaraan at mga diskarte sa paglutas. Ngunit, sa isang paraan o iba pa, ang lahat ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng lohikal na pangangatwiran at mga katumbas na aksyon ay humahantong sa mga equation na naunang pinag-aralan.

Halimbawa 7. Lutasin ang equation( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Solusyon. Gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, bubuksan namin ang mga bracket:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kabila ng pantay na tanda at nagdadala ng mga katulad,

Sagot: 5.5.

Halimbawa 8. Lutasin ang mga equation: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Solusyon.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Buksan natin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino

nakakuha kami ng kumpletong quadratic equation, na malulutas namin sa pamamagitan ng unang discriminant formula

ang equation ay may dalawang ugat

Sagot: 0.6 at 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, para sa equation na ito ay gagawa tayo ng lohikal na pangangatwiran (ang produkto ay katumbas ng zero kapag ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero). ibig sabihin

Sagot: ─2 at 6.

Halimbawa 9. Lutasin ang mga equation:, b).

Solusyon. Hanapin natin ang lowest common denominator

Isulat natin sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga antas ng variable

; nakakuha ng kumpletong quadratic equation na may even second coefficient

Ang equation ay may dalawang tunay na ugat

Sagot: .

b) . Ang pangangatwiran ay katulad ng a). Paghahanap ng NPD

Binubuksan namin ang mga bracket at nagpapakita ng mga katulad na termino

lutasin ang kumpletong quadratic equation sa pamamagitan ng pangkalahatang formula

Sagot: .

Halimbawa 10. Lutasin ang mga equation:

Solusyon.

A) , Tandaan namin na sa kaliwang bahagi, ang expression sa loob ng mga bracket ay kumakatawan sa formula para sa pinaikling multiplikasyon, mas tiyak ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression. Ibahin natin ito

; ilipat ang mga tuntunin ng equation na ito sa isang panig

alisin natin sa mga bracket

Ang produkto ay zero kapag ang isa sa mga kadahilanan ay zero. Ibig sabihin,

Sagot: ─2, ─1 at 1.

b) Nangangatuwiran kami sa parehong paraan tulad ng halimbawa a)

, sa pamamagitan ng teorama ni Vieta

Sagot:

Halimbawa 11. Lutasin ang mga equation a)

Solusyon.

A) ; [sa kaliwa at kanang bahagi ng equation maaari mong gamitin ang paraan ng pagkuha ng mga bracket, at sa kaliwang bahagi ay aalisin natin, at sa kanang bahagi ay inilalagay namin ang numerong 16.]

[ilipat natin ang lahat sa isang tabi at muli ilapat ang paraan ng bracketing. Aalisin natin ang karaniwang kadahilanan]

[ang produkto ay zero kapag ang isa sa mga kadahilanan ay zero.]

Sagot:

b) . [Ang equation na ito ay katulad ng equation a). Samakatuwid, sa kasong ito, inilalapat namin ang paraan ng pagpapangkat]

Sagot:

Halimbawa 12. Lutasin ang equation=0.

Solusyon.

0 [biquadratic equation. Nalutas sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan].

0; [Paglalapat ng teorama ni Vieta, nakukuha natin ang mga ugat]

. [bumalik sa mga nakaraang variable]

Sagot:

Halimbawa 13. Lutasin ang equation

Solusyon. [biquadratic equation, inaalis natin ang pantay na kapangyarihan sa pamamagitan ng paggamit ng mga modulus sign.]

[nakatanggap kami ng dalawang quadratic equation, na aming nilulutas gamit ang pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation]

walang real roots equation ang may dalawang ugat

Sagot:

Halimbawa 14. Lutasin ang equation

Solusyon.

ODZ:

[ilipat ang lahat ng mga termino ng equation sa kaliwang bahagi at magdala ng mga katulad na termino]

[nakuha namin ang pinababang quadratic equation, na madaling malutas gamit ang Vieta's theorem]

Ang numero - 1 ay hindi nakakatugon sa ODZ ng ibinigay na equation, kaya hindi ito maaaring maging ugat ng equation na ito. Ibig sabihin, numero 7 lang ang ugat.

Sagot: 7.

Halimbawa 15. Lutasin ang equation

Solusyon.

Ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang expression ay maaaring katumbas ng zero lamang kung ang mga expression ay katumbas ng zero sa parehong oras. Namely

[Nakalutas namin ang bawat equation nang hiwalay]

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta

Ang coincidence ng mga ugat na katumbas ng –5 ang magiging ugat ng equation.

Sagot: – 5.

KONGKLUSYON

Ang pagbubuod ng mga resulta ng gawaing ginawa, maaari nating tapusin: ang mga equation ay may malaking papel sa pag-unlad ng matematika. Na-systematize namin ang kaalamang nakuha at ibinubuod ang materyal na sakop. Ang kaalamang ito ay makapaghahanda sa atin para sa paparating na mga pagsusulit.

Ginagawang posible ng aming trabaho na tingnan ang ibang mga gawain na ibinibigay sa amin ng matematika.

• sa pagtatapos ng proyekto, ginawa naming sistematiko at pangkalahatan ang mga naunang pinag-aralan na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation;
• nakilala ang mga bagong paraan ng paglutas ng mga equation at katangian ng mga equation;

• Tiningnan namin ang lahat ng uri ng mga equation na nasa mga gawain ng OGE sa unang bahagi at sa pangalawang bahagi.
• Gumawa kami ng metodolohikal na koleksyon na "Mga Equation sa mga gawain ng OGE."

Naniniwala kami na nakamit namin ang layunin na itinakda para sa amin - upang isaalang-alang ang lahat ng uri ng mga equation sa mga gawain ng pangunahing pagsusulit ng estado sa matematika.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. B.V. Gnedenko "Matematika sa modernong mundo". Moscow "Enlightenment" 1980

2. Ya.I. Perelman "Nakakaaliw na algebra." Moscow "Science" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Annex 1

Linear na equation

1. Hanapin ang ugat ng equation

2. Hanapin ang ugat ng equation

3. Hanapin ang ugat ng equation

Appendix 2

Hindi kumpletong quadratic equation

1. Lutasin ang equation x 2 =5x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

2. Lutasin ang 2x equation 2 =8x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

3. Lutasin ang 3x equation 2 =9x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

4. Lutasin ang 4x equation 2 =20x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

5. Lutasin ang 5x equation 2 =35x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

6. Lutasin ang 6x equation 2 =36x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

7. Lutasin ang Equation 7x 2 =42x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

8. Lutasin ang 8x equation 2 =72x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

9. Lutasin ang Equation 9x 2 =54x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

10. Lutasin ang 10x equation2 =80x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

11. Lutasin ang 5x equation2 −10x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

12. Lutasin ang 3x equation2 −9x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

13. Lutasin ang 4x equation2 −16x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

14. Lutasin ang 5x equation2 +15x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

15. Lutasin ang 3x equation2 +18x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

16. Lutasin ang 6x equation2 +24x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

17. Lutasin ang 4x equation2 −20x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

18. Lutasin ang 5x equation2 +20x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

19. Lutasin ang Equation 7x2 −14x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

20. Lutasin ang 3x equation2 +12x=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

21. Lutasin ang equation x2 −9=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

22. Lutasin ang equation x2 −121=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

23. Lutasin ang equation x2 −16=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

24. Lutasin ang equation x2 −25=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

25. Lutasin ang equation x2 −49=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

26. Lutasin ang equation x2 −81=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

27. Lutasin ang equation x2 −4=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

28. Lutasin ang equation x2 −64=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

29. Lutasin ang equation x2 −36=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

30. Lutasin ang equation x2 −144=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

31. Lutasin ang equation x2 −9=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

32. Lutasin ang equation x2 −121=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

33. Lutasin ang equation x2 −16=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

34. Lutasin ang equation x2 −25=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

35. Lutasin ang equation x2 −49=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

36. Lutasin ang equation x2 −81=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

37. Lutasin ang equation x2 −4=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

38. Lutasin ang equation x2 −64=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

39. Lutasin ang equation x2 −36=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

40. Lutasin ang equation x2 −144=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Appendix 3

Kumpletuhin ang mga quadratic equation

1. Lutasin ang equation x2 +3x=10. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

2. Lutasin ang equation x2 +7x=18. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

3. Lutasin ang equation x2 +2x=15. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

4. Lutasin ang equation x2 −6x=16. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

5. Lutasin ang equation x2 −3x=18. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

6. Lutasin ang equation x2 −18=7x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

7. Lutasin ang equation x2 +4x=21. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

8. Lutasin ang equation x2 −21=4x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

9. Lutasin ang equation x2 −15=2x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

10. Lutasin ang equation x2 −5x=14. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

11. Lutasin ang equation x2 +6=5x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

12. Lutasin ang equation x2 +4=5x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

13. Lutasin ang equation x2 −x=12. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

14. Lutasin ang equation x2 +4x=5. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

15. Lutasin ang equation x2 −7x=8. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

16. Lutasin ang equation x2 +7=8x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

17. Lutasin ang equation x2 +18=9x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

18. Lutasin ang equation x2 +10=7x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

19. Lutasin ang equation x2 −20=x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

20. Lutasin ang equation x2 −35=2x. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

21. Lutasin ang 2x equation2 −3x+1=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

22. Lutasin ang 5x equation2 +4x−1=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

23. Lutasin ang 2x equation2 +5x−7=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

24. Lutasin ang 5x equation2 −12x+7=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

25. Lutasin ang 5x equation2 −9x+4=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

26. Lutasin ang Equation 8x2 −12x+4=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

27. Lutasin ang Equation 8x2 −10x+2=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

28. Lutasin ang 6x equation2 −9x+3=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

29. Lutasin ang 5x equation2 +9x+4=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

30. Lutasin ang 5x equation2 +8x+3=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

31. Lutasin ang equation x2 −6x+5=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

32. Lutasin ang equation x2 −7x+10=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

33. Lutasin ang equation x2 −9x+18=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

34. Lutasin ang equation x2 −10x+24=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

35. Lutasin ang equation x2 −11x+30=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

36. Lutasin ang equation x2 −8x+12=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

37. Lutasin ang equation x2 −10x+21=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

38. Lutasin ang equation x2 −9x+8=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

39. Lutasin ang equation x2 −11x+18=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

40. Lutasin ang equation x2 −12x+20=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

Appendix 4.

Mga makatwirang equation.

1. Hanapin ang ugat ng equation

2. Hanapin ang ugat ng equation

3. Hanapin ang ugat ng equation

4. Hanapin ang ugat ng equation

5. Hanapin ang ugat ng equation

6. Hanapin ang ugat ng equation.

7. Hanapin ang ugat ng equation

8. Hanapin ang ugat ng equation

9. Hanapin ang ugat ng equation.

10. Hanapin ang ugat ng equation

11. Hanapin ang ugat ng equation.

12. Hanapin ang ugat ng equation

13. Hanapin ang ugat ng equation

14. Hanapin ang ugat ng equation

15. Hanapin ang ugat ng equation

16. Hanapin ang ugat ng equation

17. Hanapin ang ugat ng equation

18. Hanapin ang ugat ng equation

19. Hanapin ang ugat ng equation

20. Hanapin ang ugat ng equation

21. Hanapin ang ugat ng equation

22. Hanapin ang ugat ng equation

23. Hanapin ang ugat ng equation

Appendix 5

Mga kumplikadong equation.

1. Hanapin ang ugat ng equation (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Hanapin ang ugat ng equation (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Hanapin ang ugat ng equation (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Hanapin ang ugat ng equation (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Hanapin ang ugat ng equation (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Hanapin ang ugat ng equation.

7. Hanapin ang ugat ng equation.

8. Hanapin ang ugat ng equation.

9. Hanapin ang ugat ng equation.

10. Hanapin ang ugat ng equation.

11. Lutasin ang equation (x+2)(− x+6)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

12. Lutasin ang equation (x+3)(− x−2)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

13. Lutasin ang equation (x−11)(− x+9)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

14. Lutasin ang equation (x−1)(− x−4)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

15. Lutasin ang equation (x−2)(− x−1)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

16. Lutasin ang equation (x+20)(− x+10)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

17. Lutasin ang equation (x−2)(− x−3)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

18. Lutasin ang equation (x−7)(− x+2)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

19. Lutasin ang equation (x−5)(− x−10)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

20. Lutasin ang equation (x+10)(− x−8)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

21. Lutasin ang equation (− 5x+3)(− x+6)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

22. Lutasin ang equation (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

23. Lutasin ang equation (− x−4)(3x+3)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

24. Lutasin ang equation (x−6)(4x−6)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

25. Lutasin ang equation (− 5x−3)(2x−1)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

26. Lutasin ang equation (x−2)(− 2x−3)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

27. Lutasin ang equation (5x+2)(− x−4)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

28. Lutasin ang equation (x−6)(− 5x−9)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

29. Lutasin ang equation (6x−3)(− x+3)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas malaking ugat bilang iyong sagot.

30. Lutasin ang equation (5x−2)(− x+3)=0. Kung ang isang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit na ugat bilang iyong sagot.

31. Lutasin ang equation

32. Lutasin ang equation

33. Lutasin ang equation

34. Lutasin ang equation

35. Lutasin ang equation

36. Lutasin ang equation

37. Lutasin ang equation

38. Lutasin ang equation

39. Lutasin ang equation

40 Lutasin ang equation

41. Lutasin ang equation na x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Lutasin ang equation (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Lutasin ang equation na x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Lutasin ang equation (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Lutasin ang equation na x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Lutasin ang equation (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Lutasin ang equation (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Lutasin ang equation na x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Lutasin ang equation (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Lutasin ang equation (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Lutasin ang equation (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Lutasin ang equation (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Lutasin ang equation (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Lutasin ang equation (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Lutasin ang equation (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Lutasin ang equation (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Lutasin ang equation (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Lutasin ang equation (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Lutasin ang equation (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Lutasin ang equation (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Lutasin ang equation x3 +3x2 =16x+48.

62. Lutasin ang equation x3 +4x2 =4x+16.

63. Lutasin ang equation x3 +6x2 =4x+24.

64. Lutasin ang equation x3 +6x2 =9x+54.

65. Lutasin ang equation x3 +3x2 =4x+12.

66. Lutasin ang equation x3 +2x2 =9x+18.

67. Lutasin ang equation x3 +7x2 =4x+28.

68. Lutasin ang equation x3 +4x2 =9x+36.

69. Lutasin ang equation x3 +5x2 =4x+20.

70. Lutasin ang equation x3 +5x2 =9x+45.

71. Lutasin ang equation x3 +3x2 −x−3=0.

72. Lutasin ang equation x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Lutasin ang equation x3 +5x2 −x−5=0.

74. Lutasin ang equation x3 +2x2 −x−2=0.

75. Lutasin ang equation x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Lutasin ang equation x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Lutasin ang equation x3 +4x2 −x−4=0.

78. Lutasin ang equation x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Lutasin ang equation x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Lutasin ang equation x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Lutasin ang equation x4 =(x−20)2 .

82. Lutasin ang equation x4 =(2x−15)2 .

83. Lutasin ang equation x4 =(3x−10)2 .

84. Lutasin ang equation x4 =(4x−5)2 .

85. Lutasin ang equation x4 =(x−12)2 .

86. Lutasin ang equation x4 =(2x−8)2 .

87. Lutasin ang equation x4 =(3x−4)2 .

88. Lutasin ang equation x4 =(x−6)2 .

89. Lutasin ang equation x4 =(2x−3)2 .

90. Lutasin ang equation x4 =(x−2)2 .

91. Lutasin ang equation

92. Lutasin ang equation

93. Lutasin ang equation

94. Lutasin ang equation

95. Lutasin ang equation

96. Lutasin ang equation

97. Lutasin ang equation

98. Lutasin ang equation

99. Lutasin ang equation

100. Lutasin ang equation

101. Lutasin ang equation.

102. Lutasin ang equation

103. Lutasin ang equation

104. Lutasin ang equation

105. Lutasin ang equation

106. Lutasin ang equation

107. Lutasin ang equation

108. Lutasin ang equation

109. Lutasin ang equation

110. Lutasin ang equation

PAGLULUTAS NG MGA EQUATION

paghahanda para sa OGE

Ika-9 na grado

inihanda ng guro ng matematika GBOU paaralan No. 14 ng distrito ng Nevsky ng St. Petersburg Putrova Marina Nikolaevna

Kumpletuhin ang mga pangungusap:

1). Ang equation ay...

2). Ang ugat ng equation ay...

3). Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan...

I. Lutasin ang mga equation nang pasalita:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Alin sa mga sumusunod na equation ang walang solusyon:

A). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Aling equation ang may walang katapusang maraming solusyon:

A). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

MGA EQUATIONS NG URI

kx + b = 0

TINATAWAG SILA LINEAR.

Algorithm para sa paglutas ng mga linear equation :

1). ilipat ang mga terminong naglalaman ng hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang mga terminong hindi naglalaman ng hindi alam sa kanang bahagi (ang tanda ng inilipat na termino ay nababaligtad);

2). magdala ng mga katulad na miyembro;

3).hatiin ang magkabilang panig ng equation sa coefficient ng hindi alam kung ito ay hindi katumbas ng zero.

Lutasin ang mga equation sa iyong mga notebook :

Pangkat II: Blg 697 p.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Pangkat I:

№ 681 pahina 63

6(4x)+3x=3

III pangkat: Blg. 767 p. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Equation ng form

ah 2 + bх + c =0,

kung saan a≠0, b, c – anumang tunay na numero ay tinatawag na parisukat.

Mga hindi kumpletong equation:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c =0 (b=0).

II. Lutasin ang mga quadratic equation nang pasalita, na nagsasaad kung kumpleto o hindi kumpleto ang mga ito:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

MGA TANONG:

1). Anong katangian ng mga equation ang ginamit upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation?

2). Anong mga paraan ng pag-factor ng isang polynomial ang ginamit upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation?

3). Ano ang algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ?

1). Ang produkto ng dalawang kadahilanan ay katumbas ng zero, kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero, ang pangalawa ay hindi mawawala ang kahulugan nito: ab = 0 , Kung a = 0 o b = 0 .

2). Ang pagpapalit sa isang karaniwang multiplier at

a 2 -b 2 =(a – b)(a + b) - formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat.

3). Kumpletuhin ang quadratic equation ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac kung D0, 2 ugat;

D = 0, 1 ugat;

X 1,2 =

SOLUSYON ANG MGA EQUATIONS :

Pangkat I: Blg. 802 p. 71 X 2 - 5x- 36 =0

Pangkat II: Blg. 810 p. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III pangkat: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. SOLUSYON ANG MGA EQUATIONS :

Pangkat I at II: Hindi. 860 = 0

III pangkat: =0

Ano ang tawag sa mga naturang equation? Anong pag-aari ang ginagamit upang malutas ang mga ito?

Ang rational equation ay isang equation ng form

Ang isang fraction ay katumbas ng zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero. =0, kung a = 0, b≠0.

Maikling kasaysayan ng matematika

• Ang mga mathematician ng Sinaunang Egypt ay nagawang lutasin ang mga quadratic at linear na equation.

• Unang ipinakilala ng Persian medieval scientist na si Al-Khorezmi (ika-9 na siglo) ang algebra bilang isang malayang agham tungkol sa mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation, at nagbigay ng klasipikasyon ng mga equation na ito.

• Ang isang bagong mahusay na tagumpay sa matematika ay nauugnay sa pangalan ng Pranses na siyentipiko na si Francois Vieta (XVI siglo). Siya ang nagpakilala ng mga titik sa algebra. Siya ang may pananagutan sa sikat na theorem sa mga ugat ng quadratic equation.

• At utang namin ang tradisyon ng pagtukoy ng mga hindi kilalang dami na may mga huling titik ng alpabetong Latin (x, y, z) sa isa pang Pranses na matematiko - Rene Descartes (XVII).

Al-Khawarizmi

Francois Viet

Rene Descartes

Takdang aralin

Paggawa gamit ang mga website :

- Buksan ang bangko ng mga gawain OGE (matematika) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "I will solve the OGE" ni D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Website ng A. Larin (opsyon 119) http://alexlarin.net/ .

Mga Tutorial:

- Yu.M. Kolyagin textbook "Algebra 9th grade", M., "Enlightenment", 2014, p. 308-310;

- "3000 gawain" sa ilalim. inedit ni I.V. Yashchenko, M., "Pagsusulit", 2017, pp.59-74.

! Mula sa teorya hanggang sa pagsasanay;

! Mula sa simple hanggang sa kumplikado

MAOU "Platoshin Secondary School",

guro sa matematika, Melekhina G.V.

Pangkalahatang anyo ng isang linear equation: palakol + b = 0 ,

saan a At b– mga numero (coefficients).

• Kung a = 0 At b = 0, Iyon 0x + 0 = 0 – walang katapusang maraming ugat;
• Kung a = 0 At b ≠ 0, Iyon 0x + b = 0- walang solusyon;
• Kung isang ≠ 0 At b = 0 , Iyon palakol + 0 = 0 – isang ugat, x = 0;
• Kung isang ≠ 0 At b ≠ 0 , Iyon palakol + b = 0 - isang ugat,

! Kung ang X ay nasa unang kapangyarihan at wala sa denominator, kung gayon ito ay isang linear equation

! At kung ang linear equation ay kumplikado :

! Ang mga terminong may X ay pumupunta sa kaliwa, walang X - sa kanan.

! Ang mga equation na ito ay linear din .

! Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon (crosswise).

! Buksan ang mga bracket, na may X sa kaliwa, walang X sa kanan.

• kung ang coefficient a = 1, pagkatapos ay tinawag ang equation binigay :

• kung ang coefficient b = 0 o/at c = 0, pagkatapos ay tinawag ang equation hindi kumpleto :

! Mga pangunahing formula

! Higit pang mga formula

Biquadratic equation- tinatawag na equation ng form palakol 4 +bx 2 + c = 0 .

Ang biquadratic equation ay bumababa sa quadratic equation gamit ang pagpapalit, kung gayon

Kumuha kami ng isang quadratic equation:

Hanapin natin ang mga ugat at bumalik sa kapalit:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Solusyon:

Pagpapalit: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Ang mga ugat ng equation ay t 1 = -9 at t 2 = 4.

x 2 = -9 o x 2 = 4.

Sagot: Walang mga ugat sa unang equation, ngunit sa pangalawa: x = ±2.

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Solusyon:

Pagpapalit: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Ang mga ugat ng equation ay t 1 = 9 at t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 o (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 o 2x – 1 = ±4.

Ang unang equation ay may dalawang ugat: x = 2 at x = -1, ang pangalawa ay mayroon ding dalawang ugat: x = 2.5 at x = -1.5.

Sagot: -1.5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pagpili mula sa kaliwang bahagi buong parisukat :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Tandaan ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba

Makatuwirang pagpapahayag ay isang algebraic expression na binubuo ng mga numero at variable x gamit ang mga operasyon ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagpaparami na may natural na exponent.

Kung r(x) ay isang rational expression, pagkatapos ay ang equation r(x)=0 tinatawag na rational equation.

Algorithm para sa paglutas ng rational equation:

1. Ilipat ang lahat ng termino ng equation sa isang gilid.

2. I-convert ang bahaging ito ng equation sa isang algebraic fraction p(x)/q(x)

3. Lutasin ang equation p(x)=0

4. Para sa bawat ugat ng equation p(x)=0 suriin kung nakakatugon ito sa kondisyon q(x)≠0 o hindi. Kung oo, ito ang ugat ng ibinigay na equation; kung hindi, ito ay isang extraneous root at hindi dapat isama sa sagot.

! Alalahanin natin ang solusyon sa fractional rational equation:

! Upang malutas ang mga equation, kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

Kung ang isang equation ay naglalaman ng isang variable sa ilalim ng square root sign, kung gayon ang equation ay tinatawag hindi makatwiran .

Paraan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng isang equation- ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

Ang pagkakaroon ng solusyon sa nagresultang rational equation, ito ay kinakailangan upang suriin , pag-alis ng mga posibleng panlabas na ugat.

Sagot: 5; 4

Isa pang halimbawa:

Pagsusuri:

Walang kahulugan ang ekspresyon.

Sagot: walang solusyon.