Hexagonal prism at mga elemento nito. Direct Prism - Hypermarket ng Kaalaman

Prisma. Parallelepiped

prisma ay tinatawag na polyhedron na ang dalawang mukha ay magkapantay na n-gons (grounds) , nakahiga sa parallel na mga eroplano, at ang natitirang n mga mukha ay parallelograms (mga mukha sa gilid) . Tadyang sa gilid Ang prisma ay ang gilid ng lateral face na hindi kabilang sa base.

Ang isang prisma na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base ay tinatawag tuwid prisma (Larawan 1). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga eroplano ng mga base, kung gayon ang prisma ay tinatawag pahilig . tama Ang prisma ay isang tuwid na prisma na ang mga base ay regular na polygons.

taas Ang prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base. dayagonal Ang prisma ay isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertice na hindi kabilang sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag. Perpendikular na seksyon tinatawag na seksyon ng prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa gilid ng gilid ng prisma.

Lugar sa ibabaw ng gilid Ang prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng prisma ay tinatawag (i.e., ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha at ang mga lugar ng mga base).

Para sa isang di-makatwirang prisma, ang mga formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

P

Q

S gilid

S puno

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa isang tuwid na prisma, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas.

Parallelepiped Ang isang prisma na ang base ay isang paralelogram ay tinatawag. Ang isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ay tinatawag direkta (Larawan 2). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga base, kung gayon ang parallelepiped ay tinatawag pahilig . Ang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag hugis-parihaba. Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag kabaligtaran . Ang mga haba ng mga gilid na nagmumula sa isang vertex ay tinatawag mga sukat parallelepiped. Dahil ang kahon ay isang prisma, ang mga pangunahing elemento nito ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng mga ito ay tinukoy para sa mga prisma.

Theorems.

1. Ang mga dayagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.

2. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng haba ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito:

3. Ang lahat ng apat na diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

P ay ang perimeter ng perpendikular na seksyon;

Q- Lugar ng patayong seksyon;

S gilid ay ang lateral surface area;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa isang right parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H ay ang taas ng kanang parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

(3)

saan p- ang perimeter ng base;

H- taas;

d- dayagonal;

a,b,c– mga sukat ng parallelepiped.

Ang mga tamang formula para sa isang kubo ay:

saan a ay ang haba ng tadyang;

d ay ang dayagonal ng kubo.

Halimbawa 1 Ang dayagonal ng isang rectangular cuboid ay 33 dm, at ang mga sukat nito ay nauugnay bilang 2:6:9. Hanapin ang mga sukat ng cuboid.

Solusyon. Upang mahanap ang mga sukat ng parallelepiped, ginagamit namin ang formula (3), i.e. ang katotohanan na ang parisukat ng hypotenuse ng isang cuboid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito. Tukuyin sa pamamagitan ng k koepisyent ng proporsyonalidad. Kung gayon ang mga sukat ng parallelepiped ay magiging katumbas ng 2 k, 6k at 9 k. Sumulat kami ng formula (3) para sa data ng problema:

Paglutas ng equation na ito para sa k, nakukuha natin ang:

Samakatuwid, ang mga sukat ng parallelepiped ay 6 dm, 18 dm at 27 dm.

Sagot: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang inclined triangular prism na ang base ay isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm, kung ang lateral edge ay katumbas ng gilid ng base at nakakiling sa isang anggulo na 60º sa base.

Solusyon . Gumawa tayo ng drawing (Larawan 3).

Upang mahanap ang dami ng isang hilig na prisma, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas. Ang lugar ng base ng prisma na ito ay ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm. Kalkulahin natin ito:

Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. Mula sa itaas PERO 1 ng itaas na base ay ibinababa namin ang patayo sa eroplano ng mas mababang base PERO 1 D. Ang haba nito ay magiging taas ng prisma. Isaalang-alang ang D PERO 1 AD: dahil ito ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang PERO 1 PERO sa base plane PERO 1 PERO= 8 cm Mula sa tatsulok na ito makikita natin PERO 1 D:

Ngayon kinakalkula namin ang volume gamit ang formula (1):

Sagot: 192 cm3.

Halimbawa 3 Ang lateral edge ng isang regular na hexagonal prism ay 14 cm. Ang lugar ng pinakamalaking diagonal na seksyon ay 168 cm 2. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Fig. 4)

Ang pinakamalaking seksyon ng dayagonal ay isang parihaba AA 1 DD 1 , dahil ang dayagonal AD regular na heksagono ABCDEF ay ang pinakamalaking. Upang makalkula ang lateral surface area ng isang prisma, kinakailangang malaman ang gilid ng base at ang haba ng lateral rib.

Alam ang lugar ng seksyon ng dayagonal (parihaba), nahanap namin ang dayagonal ng base.

Simula noon

Simula noon AB= 6 cm.

Pagkatapos ang perimeter ng base ay:

Hanapin ang lugar ng lateral surface ng prisma:

Ang lugar ng isang regular na hexagon na may gilid na 6 cm ay:

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma:

Sagot:

Halimbawa 4 Ang base ng isang kanang parallelepiped ay isang rhombus. Ang mga lugar ng diagonal na mga seksyon ay 300 cm 2 at 875 cm 2. Hanapin ang lugar ng gilid na ibabaw ng parallelepiped.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 5).

Tukuyin ang gilid ng rhombus sa pamamagitan ng a, ang mga dayagonal ng rhombus d 1 at d 2, ang taas ng kahon h. Upang mahanap ang lateral surface area ng isang tuwid na parallelepiped, kinakailangan upang i-multiply ang perimeter ng base sa taas: (formula (2)). Base perimeter p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, dahil A B C D- rhombus. H = AA 1 = h. yun. Kailangang hanapin a at h.

Isaalang-alang ang mga diagonal na seksyon. AA 1 SS 1 - isang rektanggulo, ang isang gilid nito ay ang dayagonal ng isang rhombus AC = d 1 , pangalawang gilid na gilid AA 1 = h, pagkatapos

Katulad din para sa seksyon BB 1 DD 1 makuha natin:

Gamit ang pag-aari ng isang paralelogram na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay Nakukuha natin ang sumusunod.

Ang iba't ibang mga prisma ay naiiba sa bawat isa. Kasabay nito, marami silang pagkakatulad. Upang mahanap ang lugar ng base ng isang prisma, kailangan mong malaman kung anong uri ang hitsura nito.

Pangkalahatang teorya

Ang prisma ay anumang polyhedron na ang mga gilid ay may anyo ng paralelogram. Bukod dito, ang anumang polyhedron ay maaaring nasa base nito - mula sa isang tatsulok hanggang sa isang n-gon. Bukod dito, ang mga base ng prisma ay palaging pantay sa bawat isa. Ano ang hindi nalalapat sa mga mukha sa gilid - maaari silang mag-iba nang malaki sa laki.

Kapag nilulutas ang mga problema, hindi lamang ang lugar ng base ng prisma ang nakatagpo. Maaaring kailanganin na malaman ang lateral surface, iyon ay, lahat ng mga mukha na hindi base. Ang buong ibabaw ay magiging unyon na ng lahat ng mukha na bumubuo sa prisma.

Minsan lumilitaw ang mga taas sa mga gawain. Ito ay patayo sa mga base. Ang dayagonal ng isang polyhedron ay isang segment na nag-uugnay sa mga pares ng anumang dalawang vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.

Dapat pansinin na ang lugar ng base ng isang tuwid o hilig na prisma ay hindi nakasalalay sa anggulo sa pagitan nila at ng mga gilid na mukha. Kung mayroon silang parehong mga numero sa itaas at ibabang mga mukha, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magiging pantay.

tatsulok na prisma

Ito ay may sa base ng isang figure na may tatlong vertices, iyon ay, isang tatsulok. Ito ay kilala na naiiba. Kung pagkatapos ay sapat na upang maalala na ang lugar nito ay tinutukoy ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Ganito ang hitsura ng notasyong matematika: S = ½ av.

Upang malaman ang lugar ng base sa isang pangkalahatang anyo, ang mga formula ay kapaki-pakinabang: Heron at ang isa kung saan ang kalahati ng gilid ay dadalhin sa taas na iginuhit dito.

Ang unang formula ay dapat na nakasulat tulad nito: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ang entry na ito ay naglalaman ng isang semi-perimeter (p), iyon ay, ang kabuuan ng tatlong panig na hinati sa dalawa.

Pangalawa: S = ½ n a * a.

Kung nais mong malaman ang lugar ng base ng isang tatsulok na prisma, na regular, kung gayon ang tatsulok ay equilateral. Mayroon itong sariling formula: S = ¼ a 2 * √3.

parisukat na prisma

Ang base nito ay alinman sa mga kilalang quadrilaterals. Maaari itong maging isang parihaba o isang parisukat, isang parallelepiped o isang rhombus. Sa bawat kaso, upang makalkula ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mo ang iyong sariling formula.

Kung ang base ay isang parihaba, ang lugar nito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S = av, kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng parihaba.

Kailan nag-uusap kami tungkol sa isang quadrangular prism, pagkatapos ay ang lugar ng base ng isang regular na prisma ay kinakalkula gamit ang formula para sa isang parisukat. Dahil siya ang nakahiga sa base. S \u003d a 2.

Sa kaso kapag ang base ay isang parallelepiped, kakailanganin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: S \u003d a * n a. Ito ay nangyayari na ang isang gilid ng isang parallelepiped at isa sa mga anggulo ay ibinigay. Pagkatapos, upang kalkulahin ang taas, kakailanganin mong gumamit ng karagdagang formula: na \u003d b * sin A. Bukod dito, ang anggulo A ay katabi ng gilid na "b", at ang taas ay na kabaligtaran sa anggulong ito.

Kung ang isang rhombus ay namamalagi sa base ng prisma, kung gayon ang parehong formula ay kinakailangan upang matukoy ang lugar nito tulad ng para sa isang paralelogram (dahil ito ay isang espesyal na kaso nito). Ngunit maaari mo ring gamitin ang isang ito: S = ½ d 1 d 2. Narito ang d 1 at d 2 ay dalawang dayagonal ng rhombus.

Regular na pentagonal prism

Ang kasong ito ay nagsasangkot ng paghahati ng polygon sa mga tatsulok, ang mga lugar kung saan mas madaling malaman. Bagaman nangyayari na ang mga numero ay maaaring may ibang bilang ng mga vertex.

Dahil ang base ng prisma ay isang regular na pentagon, maaari itong hatiin sa limang equilateral triangles. Kung gayon ang lugar ng base ng prisma ay katumbas ng lugar ng isang ganoong tatsulok (ang formula ay makikita sa itaas), na pinarami ng lima.

Regular na hexagonal prism

Ayon sa prinsipyong inilarawan para sa isang pentagonal prism, posibleng hatiin ang base hexagon sa 6 equilateral triangles. Ang formula para sa lugar ng base ng naturang prisma ay katulad ng nauna. Lamang sa ito ay dapat na multiplied sa anim.

Magiging ganito ang formula: S = 3/2 at 2 * √3.

Mga gawain

Hindi.

Solusyon. Ang base ng isang prisma ay isang parisukat, ngunit ang gilid nito ay hindi kilala. Mahahanap mo ang halaga nito mula sa dayagonal ng parisukat (x), na nauugnay sa dayagonal ng prisma (d) at taas nito (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Sa kabilang banda, ang segment na ito na "x" ay ang hypotenuse sa isang tatsulok na ang mga binti ay katumbas ng gilid ng parisukat. Iyon ay, x 2 \u003d a 2 + a 2. Kaya, lumalabas na ang isang 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Palitan ang numero 22 sa halip na d, at palitan ang "n" ng halaga nito - 14, lumalabas na ang gilid ng parisukat ay 12 cm Ngayon ay madaling malaman ang base area: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Upang malaman ang lugar ng buong ibabaw, kailangan mong magdagdag ng dalawang beses sa halaga ng base area at apat na beses sa gilid. Ang huli ay madaling mahanap sa pamamagitan ng formula para sa isang rektanggulo: i-multiply ang taas ng polyhedron at ang gilid ng base. Iyon ay, 14 at 12, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng 168 cm 2. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng prisma ay matatagpuan na 960 cm 2 .

Sagot. Ang base area ng prism ay 144 cm2. Ang buong ibabaw - 960 cm 2 .

Hindi.

Solusyon. Dahil ang prisma ay regular, ang base nito ay isang equilateral triangle. Samakatuwid, ang lawak nito ay lumalabas na katumbas ng 6 squared times ¼ at ang square root ng 3. Ang isang simpleng pagkalkula ay humahantong sa resulta: 9√3 cm 2. Ito ang lugar ng isang base ng prisma.

Ang lahat ng mga mukha sa gilid ay pareho at mga parihaba na may mga gilid na 6 at 10 cm. Upang kalkulahin ang kanilang mga lugar, sapat na upang i-multiply ang mga numerong ito. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa tatlo, dahil ang prisma ay may eksaktong napakaraming panig na mukha. Pagkatapos ang lugar ng gilid na ibabaw ay sugat 180 cm 2 .

Sagot. Mga lugar: base - 9√3 cm 2, gilid na ibabaw ng prisma - 180 cm 2.

Polyhedra

Ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng stereometry ay tatlong-dimensional na katawan. Katawan ay isang bahagi ng espasyo na napapaligiran ng ilang ibabaw.

polyhedron Ang isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga polygon ng eroplano ay tinatawag. Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng eroplano ng bawat flat polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng isang polyhedron ay tinatawag gilid. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertex vertices ng polyhedron.

Halimbawa, ang isang kubo ay binubuo ng anim na parisukat na mga mukha nito. Naglalaman ito ng 12 gilid (mga gilid ng mga parisukat) at 8 vertices (mga vertices ng mga parisukat).

Ang pinakasimpleng polyhedra ay prisms at pyramids, na pag-aaralan pa natin.

Prisma

Kahulugan at katangian ng isang prisma

prisma ay tinatawag na polyhedron na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga sa parallel planes na pinagsama ng parallel translation, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygons na ito. Tinatawag ang mga polygon mga base ng prisma, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng mga polygon ay gilid na gilid ng prisma.

Taas ng prisma tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (). Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag dayagonal na prisma(). Ang prisma ay tinatawag n-uling kung ang base nito ay isang n-gon.

Ang anumang prisma ay may mga sumusunod na katangian, na sumusunod mula sa katotohanan na ang mga base ng prisma ay pinagsama ng parallel na pagsasalin:

1. Ang mga base ng prisma ay pantay.

2. Ang mga gilid na gilid ng prisma ay magkatulad at magkapantay.

Ang ibabaw ng isang prisma ay binubuo ng mga base at lateral surface. Ang lateral surface ng prism ay binubuo ng parallelograms (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng prisma). Ang lugar ng lateral surface ng prism ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces.

tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid kung ang mga gilid na gilid nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag pahilig.

Ang mga mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng mga gilid na mukha nito.

buong ibabaw ng prisma ay ang kabuuan ng lateral surface area at ang mga lugar ng mga base.

Tamang prisma ay tinatawag na right prism na may regular na polygon sa base.

Teorama 13.1. Ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter at ang taas ng prisma (o, katumbas nito, sa gilid ng gilid).

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba na ang mga base ay ang mga gilid ng mga polygon sa mga base ng prisma, at ang mga taas ay ang mga gilid na gilid ng prisma. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ang lateral surface area ay:

,

saan ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma.

Parallelepiped

Kung ang mga parallelogram ay namamalagi sa mga base ng isang prisma, kung gayon ito ay tinatawag parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa kasong ito, ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Teorama 13.2. Ang mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati.

Patunay. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang diagonal, halimbawa, at . kasi ang mga mukha ng parallelepiped ay parallelograms, pagkatapos at , na nangangahulugan na ayon sa T tungkol sa dalawang tuwid na linya na kahanay ng pangatlo . Sa karagdagan, ito ay nangangahulugan na ang mga linya at kasinungalingan sa parehong eroplano (ang eroplano). Ang eroplanong ito ay nag-intersect ng mga parallel na eroplano at kasama ng mga parallel na linya at . Kaya, ang isang quadrilateral ay isang parallelogram, at sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang mga diagonal at intersect nito at ang intersection point ay nahahati sa kalahati, na kinakailangang patunayan.

Ang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag kuboid. Ang lahat ng mga mukha ng isang cuboid ay parihaba. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang parihabang parallelepiped ay tinatawag na mga linear na dimensyon nito (mga sukat). May tatlong sukat (lapad, taas, haba).

Teorama 13.3. Sa isang cuboid, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito (napatunayan sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean T dalawang beses).

Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Mga gawain

13.1 Gaano karaming mga diagonal ang ginagawa n- carbon prism

13.2 Sa isang inclined triangular prism, ang mga distansya sa pagitan ng mga gilid na gilid ay 37, 13, at 40. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mas malaking gilid na mukha at ang kabaligtaran na gilid ng gilid.

13.3 Sa gilid ng ibabang base ng isang regular na tatsulok na prism, iginuhit ang isang eroplano na nagsalubong sa mga gilid na nakaharap kasama ang mga segment, ang anggulo sa pagitan ay . Hanapin ang anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa base ng prisma.

Kahulugan 1. Prismatic surface
Theorem 1. Sa parallel na mga seksyon ng isang prismatic surface
Kahulugan 2. Perpendikular na seksyon ng isang prismatic surface
Kahulugan 3. Prisma
Kahulugan 4. Taas ng prisma
Kahulugan 5. Direktang prisma
Theorem 2. Ang lugar ng lateral surface ng prism

Parallelepiped :
Kahulugan 6. Parallelepiped
Theorem 3. Sa intersection ng mga diagonal ng isang parallelepiped
Kahulugan 7. Kanang parallelepiped
Kahulugan 8. Parihabang parallelepiped
Kahulugan 9. Mga sukat ng parallelepiped
Kahulugan 10. Kubo
Kahulugan 11. Rhombohedron
Theorem 4. Sa mga dayagonal ng isang parihabang parallelepiped
Theorem 5. Dami ng isang prisma
Theorem 6. Dami ng isang tuwid na prisma
Theorem 7. Dami ng isang parihabang parallelepiped

prisma tinatawag ang isang polyhedron, kung saan ang dalawang mukha (mga base) ay nakahiga sa magkatulad na mga eroplano, at ang mga gilid na hindi nakahiga sa mga mukha na ito ay parallel sa bawat isa.
Ang mga mukha maliban sa mga base ay tinatawag lateral.
Ang mga gilid ng gilid na mukha at base ay tinatawag mga gilid ng prisma, ang mga dulo ng mga gilid ay tinatawag ang mga tuktok ng prisma. Mga lateral ribs tinatawag na mga gilid na hindi kabilang sa mga base. Ang pagsasama ng mga mukha sa gilid ay tinatawag gilid na ibabaw ng prisma, at ang pagkakaisa ng lahat ng mukha ay tinatawag buong ibabaw ng prisma. Taas ng prisma tinatawag na patayo na bumaba mula sa punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibabang base o ang haba ng patayo na ito. tuwid na prisma tinatawag na prisma, kung saan ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base. tama tinatawag na isang tuwid na prisma (Larawan 3), sa base kung saan namamalagi ang isang regular na polygon.

Mga pagtatalaga:
l - gilid tadyang;
P - base perimeter;
S o - base area;
H - taas;
P ^ - perimeter ng perpendikular na seksyon;
S b - side surface area;
V - dami;
S p - lugar ng kabuuang ibabaw ng prisma.

Kahulugan 2 . Ang isang perpendikular na seksyon ng isang prismatic na ibabaw ay isang seksyon ng ibabaw na ito sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa mga gilid nito. Batay sa nakaraang teorama, ang lahat ng mga perpendikular na seksyon ng parehong prismatic surface ay magiging pantay na mga polygon.

Kahulugan 3 . Ang prisma ay isang polyhedron na napapaligiran ng isang prismatic surface at dalawang eroplanong parallel sa isa't isa (ngunit hindi parallel sa mga gilid ng prismatic surface)
Tinatawag ang mga mukha na nakahiga sa mga huling eroplanong ito mga base ng prisma; mga mukha na kabilang sa isang prismatic surface - mga mukha sa gilid; mga gilid ng prismatic surface - gilid na gilid ng prisma. Sa bisa ng nakaraang teorama, ang mga base ng prisma ay pantay na polygons. Lahat ng gilid na mukha ng prisma paralelograms; lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa.
Malinaw na kung ang base ng prism ABCDE at isa sa mga gilid AA" ay ibinibigay sa magnitude at direksyon, kung gayon posible na bumuo ng isang prisma sa pamamagitan ng pagguhit ng mga gilid BB", CC", .., katumbas at kahanay sa ang gilid AA".

Kahulugan 4 . Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (HH").

Kahulugan 5 . Ang isang prisma ay tinatawag na isang tuwid na linya kung ang mga base nito ay patayo na mga seksyon ng isang prismatic na ibabaw. Sa kasong ito, ang taas ng prisma ay, siyempre, nito gilid tadyang; mga gilid ng gilid ay mga parihaba.
Ang mga prisma ay maaaring uriin ayon sa bilang ng mga gilid na mukha, katumbas ng bilang ng mga gilid ng polygon na nagsisilbing base nito. Kaya, ang mga prisma ay maaaring maging tatsulok, quadrangular, pentagonal, atbp.

Teorama 2 . Ang lugar ng lateral surface ng prism ay katumbas ng produkto ng lateral edge at ang perimeter ng perpendicular section.
Hayaang ang ABCDEA"B"C"D"E" ay ang ibinigay na prism at ang abcde ay ang perpendikular na seksyon nito, upang ang mga segment na ab, bc, .. ay patayo sa mga gilid na gilid nito. Ang mukha ABA"B" ay isang parallelogram; ang lawak nito ay katumbas ng produkto ng base AA " sa taas na tumutugma sa ab; ang lugar ng mukha BCV "C" ay katumbas ng produkto ng base BB" sa taas bc, atbp. Samakatuwid, ang side surface (i.e., ang kabuuan ng mga lugar ng mga side face) ay katumbas ng produkto ng gilid na gilid, sa madaling salita, ang kabuuang haba ng mga segment na AA", BB", .., sa pamamagitan ng kabuuan na ab+bc+cd+de+ea.

Sa kurikulum ng paaralan para sa kurso ng solid geometry, ang pag-aaral ng mga three-dimensional na figure ay karaniwang nagsisimula sa isang simpleng geometric na katawan - isang prism polyhedron. Ang papel ng mga base nito ay ginagampanan ng 2 pantay na polygon na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano. Ang isang espesyal na kaso ay isang regular na quadrangular prism. Ang mga base nito ay 2 magkaparehong regular na quadrangles, kung saan ang mga gilid ay patayo, na may hugis ng parallelograms (o mga parihaba kung ang prisma ay hindi hilig).

Ano ang hitsura ng isang prisma

Ang isang regular na quadrangular prism ay isang heksagono, sa mga base kung saan mayroong 2 parisukat, at ang mga gilid na mukha ay kinakatawan ng mga parihaba. Ang isa pang pangalan para sa geometric figure na ito ay isang tuwid na parallelepiped.

Ang figure, na naglalarawan ng isang quadrangular prism, ay ipinapakita sa ibaba.

Makikita mo rin sa larawan ang pinakamahalagang elemento na bumubuo sa isang geometric na katawan. Sila ay karaniwang tinutukoy bilang:

Minsan sa mga problema sa geometry maaari mong mahanap ang konsepto ng isang seksyon. Ang kahulugan ay magiging ganito: ang isang seksyon ay ang lahat ng mga punto ng isang volumetric na katawan na kabilang sa cutting plane. Ang seksyon ay patayo (tumatawid sa mga gilid ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees). Para sa isang parihabang prisma, ang isang diagonal na seksyon ay isinasaalang-alang din (ang maximum na bilang ng mga seksyon na maaaring itayo ay 2), na dumadaan sa 2 mga gilid at ang mga diagonal ng base.

Kung ang seksyon ay iginuhit sa paraang ang cutting plane ay hindi parallel sa alinman sa mga base o sa gilid na mukha, ang resulta ay isang pinutol na prisma.

Ang iba't ibang mga ratio at formula ay ginagamit upang mahanap ang pinababang mga elemento ng prismatic. Ang ilan sa kanila ay kilala mula sa kurso ng planimetry (halimbawa, upang mahanap ang lugar ng base ng isang prisma, sapat na upang maalala ang formula para sa lugar ng isang parisukat).

Surface area at volume

Upang matukoy ang dami ng isang prisma gamit ang formula, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas:

V = Sprim h

Dahil ang base ng isang regular na tetrahedral prism ay isang parisukat na may gilid a, Maaari mong isulat ang formula sa isang mas detalyadong anyo:

V = a² h

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang kubo - isang regular na prisma na may pantay na haba, lapad at taas, ang dami ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Upang maunawaan kung paano hanapin ang lateral surface area ng isang prisma, kailangan mong isipin ang sweep nito.

Makikita mula sa pagguhit na ang ibabaw ng gilid ay binubuo ng 4 na pantay na parihaba. Ang lugar nito ay kinakalkula bilang produkto ng perimeter ng base at ang taas ng figure:

Sside = Pos h

Dahil ang perimeter ng isang parisukat ay P = 4a, ang pormula ay nasa anyo:

Sside = 4a h

Para sa cube:

Sside = 4a²

Upang kalkulahin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang prisma, magdagdag ng 2 base area sa gilid na lugar:

Sfull = Sside + 2Sbase

Tulad ng inilapat sa isang quadrangular regular prism, ang formula ay may anyo:

Puno = 4a h + 2a²

Para sa ibabaw na lugar ng isang kubo:

Puno = 6a²

Alam ang dami o lugar sa ibabaw, maaari mong kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng isang geometric na katawan.

Paghahanap ng mga elemento ng prisma

Kadalasan may mga problema kung saan ang volume ay ibinigay o ang halaga ng lateral surface area ay kilala, kung saan kinakailangan upang matukoy ang haba ng gilid ng base o ang taas. Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ay maaaring makuha:

• haba ng gilid ng base: a = Sside / 4h = √(V / h);
• taas o haba ng tadyang sa gilid: h = Sside / 4a = V / a²;
• base area: Sprim = V / h;
• bahagi ng mukha: Gilid gr = Sside / 4.

Upang matukoy kung gaano karaming lugar ang isang seksyon ng dayagonal, kailangan mong malaman ang haba ng dayagonal at ang taas ng pigura. Para sa isang parisukat d = a√2. Samakatuwid:

Sdiag = ah√2

Upang makalkula ang dayagonal ng prisma, ginagamit ang formula:

dprize = √(2a² + h²)

Upang maunawaan kung paano ilapat ang mga ratio sa itaas, maaari kang magsanay at malutas ang ilang mga simpleng gawain.

Mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon

Narito ang ilan sa mga gawain na lumilitaw sa panghuling pagsusulit ng estado sa matematika.

Ehersisyo 1.

Ang buhangin ay ibinubuhos sa isang kahon na hugis tulad ng isang regular na quadrangular prism. Ang taas ng antas nito ay 10 cm. Ano ang magiging antas ng buhangin kung ililipat mo ito sa isang lalagyan na may parehong hugis, ngunit may haba ng base nang 2 beses na mas mahaba?

Dapat itong pagtalunan bilang mga sumusunod. Ang dami ng buhangin sa una at pangalawang lalagyan ay hindi nagbago, ibig sabihin, ang dami nito sa kanila ay pareho. Maaari mong tukuyin ang haba ng base bilang a. Sa kasong ito, para sa unang kahon, ang dami ng sangkap ay magiging:

V₁ = ha² = 10a²

Para sa pangalawang kahon, ang haba ng base ay 2a, ngunit ang taas ng antas ng buhangin ay hindi alam:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Dahil ang V₁ = V₂, ang mga expression ay maaaring itumbas:

10a² = 4ha²

Matapos bawasan ang magkabilang panig ng equation ng a², nakukuha natin ang:

Bilang resulta, ang bagong antas ng buhangin ay magiging h = 10 / 4 = 2.5 cm.

Gawain 2.

Ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang regular na prisma. Alam na ang BD = AB₁ = 6√2. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng katawan.

Upang gawing mas madaling maunawaan kung aling mga elemento ang kilala, maaari kang gumuhit ng isang pigura.

Dahil pinag-uusapan natin ang isang regular na prisma, maaari nating tapusin na ang base ay isang parisukat na may dayagonal na 6√2. Ang dayagonal ng gilid na mukha ay may parehong halaga, samakatuwid, ang gilid na mukha ay mayroon ding hugis ng isang parisukat na katumbas ng base. Lumalabas na ang lahat ng tatlong dimensyon - haba, lapad at taas - ay pantay. Maaari nating tapusin na ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang kubo.

Ang haba ng anumang gilid ay tinutukoy sa pamamagitan ng kilalang dayagonal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula para sa kubo:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Gawain 3.

Nire-renovate ang kwarto. Nabatid na ang sahig nito ay may hugis na parisukat na may lawak na 9 m². Ang taas ng silid ay 2.5 m. Ano ang pinakamababang halaga ng paglalagay ng wallpaper sa isang silid kung ang 1 m² ay nagkakahalaga ng 50 rubles?

Dahil ang sahig at kisame ay mga parisukat, iyon ay, regular na quadrilaterals, at ang mga dingding nito ay patayo sa pahalang na mga ibabaw, maaari nating tapusin na ito ay isang regular na prisma. Kinakailangan upang matukoy ang lugar ng lateral surface nito.

Ang haba ng kwarto eh a = √9 = 3 m.

Ang parisukat ay tatakpan ng wallpaper Sside = 4 3 2.5 = 30 m².

Ang pinakamababang halaga ng wallpaper para sa kuwartong ito ay 50 30 = 1500 rubles.

Kaya, upang malutas ang mga problema para sa isang hugis-parihaba na prisma, sapat na upang makalkula ang lugar at perimeter ng isang parisukat at isang parihaba, pati na rin upang malaman ang mga formula para sa paghahanap ng dami at ibabaw na lugar.

Paano hanapin ang lugar ng isang kubo