Ang random variable x ay ibinibigay ng batas ng pamamahagi. Batas sa pamamahagi ng isang random na variable

Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X:

Halimbawa #2. Ang posibilidad na matamaan ang target ng isang tagabaril na may isang pagbaril para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawang tagabaril - 0.85. Isang putok ang pinaputukan ng mga bumaril sa target. Ipagpalagay na naabot ang target para sa mga indibidwal na shooter bilang mga independiyenteng kaganapan, hanapin ang posibilidad ng kaganapang A - eksaktong isang hit sa target.
Solusyon.
Isaalang-alang ang kaganapan A - isang hit sa target. Ang mga posibleng paglitaw ng kaganapang ito ay ang mga sumusunod:

1. Unang natamaan ng tagabaril, hindi nakuha ang pangalawang tagabaril: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Hindi nakuha ng unang tagabaril, naabot ng pangalawang tagabaril ang target: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Independyenteng naabot ng una at pangalawang shooter ang target: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Discrete random Ang mga variable ay tinatawag na mga random na variable na kumukuha lamang ng mga halaga na malayo sa isa't isa, na maaaring mabilang nang maaga.
batas sa pamamahagi
Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay isang relasyon na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities.
Ang saklaw ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad.
Ang distribution function ng isang discrete random variable ay tinatawag na function:
,
na tumutukoy para sa bawat halaga ng argumento x ang posibilidad na ang random variable na X ay kumukuha ng halagang mas mababa kaysa sa x na ito.

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable
,
saan ang halaga ng isang discrete random variable; - ang posibilidad ng pagtanggap ng isang random na variable na mga halaga ng X.
Kung ang isang random na variable ay kumukuha ng isang mabibilang na hanay ng mga posibleng halaga, kung gayon:
.
Pag-asa sa matematika ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n independiyenteng pagsubok:
,

Dispersion at standard deviation ng isang discrete random variable
Pagpapakalat ng isang discrete random variable:
o .
Pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n independiyenteng pagsubok
,
kung saan ang p ay ang posibilidad ng pangyayaring naganap.
Standard deviation ng isang discrete random variable:
.

Halimbawa 1
Gumawa ng probability distribution law para sa isang discrete random variable (d.r.v.) X – ang bilang k ng hindi bababa sa isang “anim” sa n = 8 na paghagis ng isang pares ng dice. I-plot ang polygon ng pamamahagi. Hanapin ang mga numerical na katangian ng distribution (distribution mode, mathematical expectation M(X), variance D(X), standard deviation s(X)). Solusyon: Ipakilala natin ang notasyon: kaganapan A - "sa panahon ng paghagis ng isang pares ng dice, lumitaw ang anim kahit isang beses." Upang mahanap ang posibilidad na P(A) = p ng kaganapang A, mas madaling mahanap ang posibilidad na P(Ā) = q ng kabaligtaran na kaganapan Ā – “kapag naghagis ng isang pares ng dice, ang anim ay hindi lumitaw kahit minsan”.
Dahil ang posibilidad na hindi lumitaw ang isang "anim" kapag inihagis ang isang mamatay ay 5/6, pagkatapos ay sa pamamagitan ng probability multiplication theorem
P(Ā) = q = = .
Ayon sa pagkakabanggit,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Ang mga pagsubok sa problema ay isinasagawa ayon sa Bernoulli scheme; samakatuwid, ang d.r.v. magnitude X- numero k Ang pag-drop out ng hindi bababa sa isang anim kapag naghagis ng dalawang dice ay sumusunod sa binomial na batas ng pamamahagi ng posibilidad:

where = ay ang bilang ng mga kumbinasyon mula sa n sa k.

Ito ay maginhawa upang ayusin ang mga kalkulasyon na isinagawa para sa problemang ito sa anyo ng isang talahanayan:
Pamamahagi ng probabilidad ng d.r.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

Polygon (polygon) ng probability distribution ng isang discrete random variable X ipinapakita sa Fig.:

kanin. Polygon ng probability distribution ng d.r.v. X=k.
Ang patayong linya ay nagpapakita ng mathematical na inaasahan ng pamamahagi M(X).

Hanapin natin ang mga numerical na katangian ng probability distribution ng d.r.v. X. Ang distribution mode ay 2 (dito P 8(2) = 0.2932 maximum). Ang inaasahan sa matematika, sa pamamagitan ng kahulugan, ay:
M(X) = = 2,4444,
saan xk = k ay ang halaga na tinatanggap ng d.r.v. X. pagpapakalat D(X) nahanap namin ang mga pamamahagi sa pamamagitan ng formula:
D(X) = = 4,8097.
Standard deviation (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Halimbawa2
Discrete random variable X ibinigay ng batas sa pamamahagi

Solusyon. Kung , pagkatapos (ikatlong ari-arian).
Kung , kung gayon . Talaga, X maaaring kunin ang halaga 1 na may posibilidad na 0.3.
Kung , kung gayon . Sa katunayan, kung ito ay nasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
, pagkatapos ito ay katumbas ng posibilidad ng isang kaganapan na maaaring isagawa kapag X kukunin ang halaga 1 (ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.3) o ang halaga 4 (ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.1). Dahil ang dalawang kaganapang ito ay hindi magkatugma, kung gayon, ayon sa teorem ng karagdagan, ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad na 0.3 + 0.1=0.4. Kung , kung gayon . Sa katunayan, ang kaganapan ay tiyak, samakatuwid, ang posibilidad nito ay katumbas ng isa. Kaya, ang function ng pamamahagi ay maaaring analytically na isulat tulad ng sumusunod:

Graph ng function na ito:
Hanapin natin ang mga probabilidad na tumutugma sa mga halagang ito. Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga probabilidad ng pagkabigo ng mga device ay pantay-pantay: kung gayon ang mga posibilidad na ang mga device ay gagana sa panahon ng warranty ay katumbas ng:




Ang batas sa pamamahagi ay may anyo:

Tulad ng nalalaman, random variable ay tinatawag na variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay tinutukoy ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.

Discrete random variable ay isang random na variable na kumukuha lamang ng isang finite o infinite (countable) set ng mga values ​​na may ilang mga non-zero probabilities.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang kaukulang probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.

1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:

kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .

sa) sa pamamagitan ng paggamit function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x, ibig sabihin. F(x) = P(X< x).

Mga katangian ng function F(x)

3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring itakda nang graphical – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).

Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema, hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian ng batas sa pamamahagi. Maaari itong isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.

Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :

• Pag-asa sa matematika (mean value) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
  Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ
• Pagpapakalat discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. Ang pagkakaiba X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
  Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ
• Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"

Gawain 1.

1000 lottery ticket ang naibigay: 5 sa kanila ang nanalo ng 500 rubles, 10 - 100 rubles, 20 - 50 rubles, 50 - 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.

Solusyon. Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.

Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 - (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Sa katulad na paraan, nakita namin ang lahat ng iba pang mga probabilidad: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipinakita namin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:

Hanapin ang mathematical na inaasahan ng X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Gawain 3.

Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.

Solusyon. 1. Ang discrete random variable X=(bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 \u003d 3 (tatlong elemento ang nabigo).

Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay katumbas ng bawat isa, samakatuwid, ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli . Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Kaya, ang gustong binomial distribution law X ay may anyo:

Sa abscissa axis, inilalagay namin ang mga posibleng halaga x i, at sa ordinate axis, ang kaukulang probabilities р i . Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Ang pagkonekta sa mga puntong ito sa mga segment ng linya, makuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.

3. Hanapin ang distribution function F(x) = P(X

Graph ng function na F(x)

4. Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- pagpapakalat D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Random variable tinatawag ang isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi kilalang halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malaking Latin na letra: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete at tuloy-tuloy.

Discrete random variable- ito ay tulad ng isang random na variable, ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, maaaring may hangganan o mabibilang. Ang pagbibilang ay nangangahulugan na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring mabilang.

Halimbawa 1 . Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga discrete random variable:

a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) ang bilang ng mga coats of arm na nahulog kapag naghagis ng barya, dito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) ang bilang ng mga barko na dumating sa board (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa palitan (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.

Maaaring kunin ng discrete random variable na $X$ ang mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang patakaran, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, sa unang linya kung saan ang mga halaga ng $x_1,\dots ,\ x_n$ ay ipinahiwatig, at sa pangalawang linya ang mga probabilidad na nauugnay sa mga halagang ito ay $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag ang isang dice ay pinagsama. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ang batas sa pamamahagi ng posibilidad para sa random variable na $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Magkomento. Dahil ang mga kaganapang $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan sa batas ng pamamahagi ng discrete random variable na $X$, ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, ibig sabihin, $\sum( p_i)=1$.

2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.

Pag-asa sa matematika ng isang random na variable tumutukoy sa "gitnang" halaga nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, i.e.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Sa panitikang Ingles, isa pang notasyong $E\left(X\right)$ ang ginagamit.

Mga Katangian ng Inaasahan$M\kaliwa(X\kanan)$:

1. Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
2. Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa sign: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ang matematikal na inaasahan ng produkto ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.

Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Halimbawa 5 . Nabatid na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $2X-9$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makakakuha tayo ng $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.

Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral, ang average na marka para sa pagsusulit sa probability theory ay naging 4, ngunit sa isang grupo lahat ay naging mahusay na mga mag-aaral, at sa kabilang grupo, ang mga mag-aaral lamang ng C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong isang pangangailangan para sa naturang numerical na katangian ng isang random na variable, na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.

Pagpapakalat ng isang discrete random variable Ang $X$ ay:

$$D\kaliwa(X\kanan)=\sum^n_(i=1)(p_i(\kaliwa(x_i-M\kaliwa(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Sa panitikang Ingles, ginagamit ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula ng formula na $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kaliwa(X \kanan)\kanan))^2$.

Mga Katangian ng Dispersion$D\left(X\right)$:

1. Ang dispersion ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Ang pagpapakalat mula sa isang pare-pareho ay katumbas ng zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign, sa kondisyon na ito ay parisukat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Distribution function ng isang discrete random variable.

Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.

function ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay isang function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, ibig sabihin, $F\left(x\ kanan)$ )=P\kaliwa(X< x\right)$

Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:

1. $0\le F\kaliwa(x\kanan)\le 1$.
2. Ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kumukuha ng mga halaga mula sa pagitan ng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga value ng distribution function sa mga dulo ng interval na ito : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - hindi bumababa.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Halimbawa 9 . Hanapin natin ang distribution function na $F\left(x\right)$ para sa distribution law ng discrete random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Kung $x\le 1$, maliwanag na $F\left(x\right)=0$ (kabilang ang $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kung $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kung $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kung $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kung $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kung $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kung $x > 6$ pagkatapos ay $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Kaya $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, sa \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ sa\ 2< x\le 3,\\
1/2, sa \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ sa\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ sa \ 4< x\le 5,\\
1,\ para sa \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Sa mga aplikasyon ng probability theory, ang quantitative characterization ng eksperimento ay pangunahing kahalagahan. Ang isang dami na maaaring matukoy sa dami at kung saan, bilang isang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga depende sa kaso, ay tinatawag na isang random variable.

Mga halimbawa ng mga random na variable:

1. Ang bilang ng mga paglitaw ng pantay na bilang ng mga puntos sa sampung paghagis ng isang dice.

2. Ang bilang ng mga hit sa target ng shooter na nagpaputok ng serye ng mga shot.

3. Ang bilang ng mga fragment ng sumasabog na projectile.

Sa bawat isa sa mga halimbawang ibinigay, ang random na variable ay maaari lamang kumuha ng mga nakahiwalay na halaga, iyon ay, mga halaga na maaaring mabilang gamit ang isang natural na serye ng mga numero.

Ang gayong random na variable, ang posibleng mga halaga kung saan ay hiwalay na mga nakahiwalay na numero, na kinukuha ng variable na ito na may ilang mga probabilidad, ay tinatawag discrete.

Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o walang hanggan (mabilang).

batas sa pamamahagi Ang isang discrete random variable ay tinatawag na isang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilidad. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaaring tukuyin sa anyo ng isang talahanayan (probability distribution series), analytically at graphically (probability distribution polygon).

Kapag isinasagawa ito o ang eksperimentong iyon, kinakailangan na suriin ang halaga sa ilalim ng pag-aaral "sa karaniwan". Ang papel ng average na halaga ng isang random na variable ay nilalaro ng isang numerical na katangian na tinatawag inaasahan sa matematika, na tinutukoy ng formula

saan x 1 , x 2 ,.. , x n- mga halaga ng isang random na variable X, a p 1 ,p 2 , ... , p n ay ang mga probabilidad ng mga halagang ito (tandaan na p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Halimbawa. Ang pagbaril ay isinasagawa sa target (Larawan 11).

Ang isang hit sa I ay nagbibigay ng tatlong puntos, sa II - dalawang puntos, sa III - isang punto. Ang bilang ng mga puntos na na-knock out sa isang shot ng isang shooter ay may batas sa pamamahagi ng form

Upang ihambing ang kasanayan ng mga shooters, sapat na upang ihambing ang mga average na halaga ng mga puntos na nakapuntos, i.e. mga inaasahan sa matematika M(X) at M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Ang pangalawang tagabaril ay nagbibigay sa average ng isang bahagyang mas mataas na bilang ng mga puntos, i.e. sa paulit-ulit na pagbaril, ito ay magbibigay ng pinakamahusay na resulta.

Tandaan ang mga katangian ng inaasahan sa matematika:

1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-pareho mismo:

M(C) =C.

2. Ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga mathematical na inaasahan ng mga termino:

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Ang mathematical expectation ng produkto ng mutually independent random variables ay katumbas ng produkto ng mathematical expectations ng mga salik.

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Ang mathematical negation ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok (gawain 4.6).

M(X) = pr.

Upang masuri kung paano lumihis ang isang random na variable "sa karaniwan" mula sa inaasahan nitong matematika, i.e. Upang makilala ang pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa teorya ng posibilidad, ang konsepto ng pagpapakalat ay ginagamit.

pagpapakalat random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Ang dispersion ay isang numerical na katangian ng dispersion ng isang random variable. Makikita mula sa kahulugan na mas maliit ang pagpapakalat ng isang random na variable, mas malapit ang mga posibleng halaga nito ay matatagpuan sa paligid ng inaasahan ng matematika, iyon ay, mas mahusay ang mga halaga ng random na variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng matematika nito. inaasahan.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang pagkakaiba ay maaaring kalkulahin ng formula

.

Ito ay maginhawa upang kalkulahin ang pagpapakalat gamit ang isa pang formula:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Ang dispersion ay may mga sumusunod na katangian:

1. Ang dispersion ng pare-pareho ay zero:

D(C) = 0.

2. Ang isang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng pagkakaiba ng mga termino:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Ang pagkakaiba ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok:

D(X) = npq.

Sa probability theory, madalas na ginagamit ang numerical na katangian, katumbas ng square root ng variance ng random variable. Ang numerical na katangiang ito ay tinatawag na standard deviation at tinutukoy ng simbolo

.

Inilalarawan nito ang tinatayang sukat ng paglihis ng random variable mula sa mean value nito at may parehong dimensyon sa random variable.

4.1. Ang tagabaril ay nagpaputok ng tatlong putok sa target. Ang posibilidad na matamaan ang target sa bawat shot ay 0.3.

Bumuo ng serye ng pamamahagi ng bilang ng mga hit.

Solusyon. Ang bilang ng mga hit ay isang discrete random variable X. Ang bawat halaga x n random variable X tumutugma sa isang tiyak na posibilidad P n .

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable sa kasong ito ay maaaring itakda malapit sa pamamahagi.

Sa gawaing ito X tumatagal ng mga halaga 0, 1, 2, 3. Ayon sa Bernoulli formula

,

hanapin ang mga probabilidad ng mga posibleng halaga ng random variable:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Ang pag-aayos ng mga halaga ng random variable X sa pataas na pagkakasunud-sunod, nakukuha namin ang serye ng pamamahagi:

Tandaan na ang kabuuan

nangangahulugan ng posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng hindi bababa sa isang halaga mula sa mga posibleng, at ang kaganapang ito ay tiyak, samakatuwid

.

4.2 .May apat na bola sa urn, na may bilang mula 1 hanggang 4. Dalawang bola ang inilabas. Random na halaga X ay ang kabuuan ng mga bilang ng mga bola. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable X.

Solusyon. Mga halaga ng isang random na variable X ay 3, 4, 5, 6, 7. Hanapin ang kaukulang probabilities. Value 3 random variable X maaaring tumagal sa tanging kaso kapag ang isa sa mga napiling bola ay may numero 1 at ang isa pa ay 2. Ang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsusulit ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng apat (ang bilang ng posibleng mga pares ng bola) ng dalawa.

Ayon sa klasikal na pormula ng posibilidad, nakukuha natin

Gayundin,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Ang kabuuan 5 ay maaaring lumitaw sa dalawang kaso: 1 + 4 at 2 + 3, kaya

.

X mukhang:

Maghanap ng function ng pamamahagi F(x) random variable X at i-plot ito. Kalkulahin para sa X ang inaasahan at pagkakaiba nito sa matematika.

Solusyon. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring ibigay ng function ng pamamahagi

F(x) =P(X x).

function ng pamamahagi F(x) ay isang hindi bumababa, kaliwa-patuloy na function na tinukoy sa buong tunay na axis, habang

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Para sa isang discrete random variable, ang function na ito ay ipinahayag ng formula

.

Samakatuwid, sa kasong ito

Plot ng pagpapaandar ng pamamahagi F(x) ay isang stepped line (Fig. 12)

Inaasahang halagaM(X) ay ang weighted average ng mga halaga X 1 , X 2 ,……X n random variable X may mga timbang ρ 1, ρ 2, …… , ρ n at tinatawag na mean value ng random variable X. Ayon sa formula

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72.

Pagpapakalat nailalarawan ang antas ng pagpapakalat ng mga halaga ng isang random na variable mula sa average na halaga nito at tinutukoy D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Para sa isang discrete random variable, ang variance ay may anyo

o maaari itong kalkulahin sa pamamagitan ng formula

Ang pagpapalit ng numerical data ng problema sa formula, nakukuha namin:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dalawang dice ay itinapon ng dalawang beses sa parehong oras. Sumulat ng binomial distribution law para sa isang discrete random variable X- ang bilang ng mga paglitaw ng pantay na kabuuang bilang ng mga puntos sa dalawang dice.

Solusyon. Ipakilala natin sa pagsasaalang-alang ang isang random na kaganapan

PERO= (sa dalawang dice sa isang paghagis, isang pantay na bilang ng mga puntos ang nahulog sa kabuuan).

Gamit ang klasikal na kahulugan ng probabilidad, nakita namin

R(PERO)= ,

saan n - ang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsusulit ay matatagpuan sa pamamagitan ng panuntunan

pagpaparami:

n = 6∙6 =36,

m - bilang ng kanais-nais na kaganapan PERO kinalabasan - pantay

m= 3∙6=18.

Kaya, ang posibilidad ng tagumpay sa isang pagsubok ay

ρ = P(PERO)= 1/2.

Ang problema ay nalutas gamit ang Bernoulli test scheme. Ang isang hamon dito ay ang pag-roll ng dalawang dice nang isang beses. Bilang ng mga naturang pagsubok n = 2. Random na variable X kumukuha ng mga halaga 0, 1, 2 na may mga probabilidad

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Ang gustong binomial distribution ng random variable X maaaring katawanin bilang isang serye ng pamamahagi:

4.5 . Mayroong apat na karaniwang bahagi sa isang batch ng anim na bahagi. Tatlong item ang napili nang random. Bumuo ng probability distribution ng isang discrete random variable X- ang bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili at hanapin ang inaasahan sa matematika nito.

Solusyon. Mga halaga ng isang random na variable X ay ang mga numerong 0,1,2,3. Malinaw na iyon R(X=0)=0, dahil dalawa lang ang hindi karaniwang bahagi.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X kinakatawan bilang isang serye ng pamamahagi:

Inaasahang halaga

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Patunayan na ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable X- bilang ng mga paglitaw ng kaganapan PERO sa n mga independiyenteng pagsusulit, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay katumbas ng ρ - ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok, iyon ay, upang patunayan na ang mathematical na inaasahan ng binomial distribution

M(X) =n . ρ ,

habang ang pagkakaiba

D(X) =np .

Solusyon. Random na halaga X maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2…, n. Probability R(X= k) ay matatagpuan ng Bernoulli formula:

R(X=k)= R n(k)= ρ sa (1-ρ ) n- sa

Random na variable na serye ng pamamahagi X mukhang:

saan q= 1- ρ .

Para sa inaasahan sa matematika, mayroon kaming expression:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Sa kaso ng isang pagsubok, iyon ay, may n= 1 para sa isang random na variable X 1 - ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan PERO- ang serye ng pamamahagi ay may anyo:

M(X 1)= 0 q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Kung ang X k - ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan PERO sa anong pagsubok, kung gayon R(X sa)= ρ at

X=X 1 +X 2 +...+X n .

Mula dito nakukuha natin

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Sinusuri ng QCD ang mga produkto para sa standardisasyon. Ang posibilidad na ang item ay pamantayan ay 0.9. Ang bawat batch ay naglalaman ng 5 item. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable X- ang bilang ng mga batch, na ang bawat isa ay magiging katumbas ng 4 na karaniwang produkto - kung 50 batch ang sasailalim sa pag-verify.

Solusyon. Ang posibilidad na magkakaroon ng 4 na karaniwang item sa bawat random na napiling lot ay pare-pareho; tukuyin natin ito sa pamamagitan ng ρ .Pagkatapos ang mathematical na inaasahan ng random variable X katumbas M(X)= 50∙ρ.

Hanapin natin ang posibilidad ρ ayon sa Bernoulli formula:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Tatlong dice ang itinapon. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga nalaglag na puntos.

Solusyon. Maaari mong mahanap ang pamamahagi ng isang random na variable X- ang kabuuan ng mga bumabang puntos at pagkatapos ay ang mathematical na inaasahan nito. Gayunpaman, ang paraang ito ay masyadong masalimuot. Mas madaling gumamit ng isa pang trick, na kumakatawan sa isang random na variable X, ang mathematical na inaasahan na kung saan ay dapat kalkulahin, bilang isang kabuuan ng ilang mas simpleng random variable, ang matematikal na inaasahan na kung saan ay mas madaling kalkulahin. Kung ang random variable X i ay ang bilang ng mga puntos na nakuha sa i-ika buto ( i= 1, 2, 3), pagkatapos ay ang kabuuan ng mga puntos X ipinahayag sa anyo

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Upang kalkulahin ang mathematical expectation ng orihinal na random variable, nananatili lamang itong gamitin ang property ng mathematical expectation.

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Obvious naman yun

R(X i = K)= 1/6, SA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Samakatuwid, ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable X i may porma

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga device na nabigo sa panahon ng pagsubok, kung:

a) ang posibilidad ng pagkabigo para sa lahat ng mga aparato ay pareho R, at ang bilang ng mga device na nasa ilalim ng pagsubok ay katumbas ng n;

b) posibilidad ng pagkabigo para sa i – instrumento ay katumbas ng p i , i= 1, 2, … , n.

Solusyon. Hayaan ang random variable X ay ang bilang ng mga nabigong device, kung gayon

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Malinaw na iyon

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + ... + P n .

Kung sakaling "a", ang posibilidad ng pagkabigo ng aparato ay pareho, i.e.

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= np.

Ang sagot na ito ay maaaring makuha kaagad kung napansin ng isang tao na ang random variable X ay may binomial distribution na may mga parameter ( n, p).

4.10. Dalawang dice ay itinapon ng dalawang beses sa parehong oras. Sumulat ng binomial distribution law para sa isang discrete random variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng pantay na bilang ng mga puntos sa dalawang dice.

Solusyon. Hayaan

PERO=(pagkawala ng even number sa unang die),

B =(pagkawala ng kahit na numero sa pangalawang die).

Ang pagkawala ng kahit na numero sa parehong dice sa isang paghagis ay ipapakita ng produkto AB. Pagkatapos

R (AB) = R(PERO)∙R(AT) =
.

Ang resulta ng ikalawang paghagis ng dalawang dice ay hindi nakadepende sa una, kaya ang Bernoulli formula ay naaangkop kapag

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Random na halaga X maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2 , ang posibilidad na makita natin sa pamamagitan ng Bernoulli formula:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Random na variable na serye ng pamamahagi X:

4.11. Ang aparato ay binubuo ng isang malaking bilang ng mga independiyenteng operating elemento na may parehong napakaliit na posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang panahon t. Hanapin ang average na bilang ng mga pagkabigo sa paglipas ng panahon t mga elemento, kung ang posibilidad na hindi bababa sa isang elemento ang mabibigo sa panahong ito ay 0.98.

Solusyon. Bilang ng mga pagkabigo sa paglipas ng panahon t elemento - isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa batas ng Poisson, dahil ang bilang ng mga elemento ay malaki, ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa at ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay maliit. Ang average na bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n katumbas ng mga pagsubok

M(X) = np.

Dahil ang posibilidad ng pagkabigo Upang mga elemento mula sa n ay ipinahayag ng pormula

R n (Upang)
,

saan  = np, pagkatapos ay ang posibilidad na walang elementong nabigo sa oras t makarating kami sa K = 0:

R n (0)= e -  .

Samakatuwid, ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay sa paglipas ng panahon t hindi bababa sa isang elemento ang nabigo - katumbas ng 1 - e -  . Ayon sa kondisyon ng problema, ang posibilidad na ito ay katumbas ng 0.98. Mula sa equation

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

mula rito  = -ln 0,02  4.

Kaya para sa oras t mabibigo ang pagpapatakbo ng device sa average na 4 na elemento.

4.12 . Ang die ay pinagsama hanggang sa isang "dalawa" ay pinagsama. Hanapin ang average na bilang ng mga tosses.

Solusyon. Ipinakilala namin ang isang random na variable X- ang bilang ng mga pagsubok na dapat isagawa hanggang sa mangyari ang kaganapan ng interes sa amin. Ang posibilidad na X= 1 ay katumbas ng posibilidad na sa isang paghagis ng die ay mahuhulog ang "dalawa", i.e.

R(X= 1) = 1/6.

Kaganapan X= 2 ay nangangahulugan na sa unang pagsubok ang "dalawa" ay hindi nahulog, ngunit sa pangalawa ay nahulog ito. Probability ng Kaganapan X= 2 makikita natin sa pamamagitan ng panuntunan ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Gayundin,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

atbp. Nakakakuha kami ng isang serye ng mga pamamahagi ng posibilidad:

Ang average na bilang ng mga throws (mga pagsubok) ay ang mathematical na inaasahan

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + Upang (5/6) Upang -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + Upang (5/6) Upang -1 + …)

Hanapin natin ang kabuuan ng serye:

Upangg Upang -1 = (g Upang) g 
.

Dahil dito,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Kaya, kinakailangang magsagawa ng average na 6 na paghagis ng isang dice hanggang sa bumagsak ang isang "deuce".

4.13. Isinasagawa ang mga independiyenteng pagsusulit na may parehong posibilidad ng paglitaw ng kaganapan PERO sa bawat pagsubok. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap PERO kung ang pagkakaiba ng bilang ng mga pangyayari sa tatlong independiyenteng pagsubok ay 0.63 .

Solusyon. Ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa tatlong pagsubok ay isang random na variable X ipinamahagi ayon sa binomial na batas. Ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok (na may parehong posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa bawat pagsubok) ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng kaganapan ( gawain 4.6)

D(X) = npq.

Sa pamamagitan ng kondisyon n = 3, D(X) = 0.63, kaya mo R hanapin mula sa equation

0,63 = 3∙R(1-R),

na may dalawang solusyon R 1 = 0.7 at R 2 = 0,3.