Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng 2 puntos. Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

nagsalubong ang mga linya;

tuwid na mga linya ay parallel;

nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at MULA SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha namin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, ang paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos. Sa artikulo" " Ipinangako ko sa iyo na pag-aralan ang pangalawang paraan upang malutas ang mga ipinakitang problema para sa paghahanap ng derivative, na may ibinigay na function graph at isang tangent sa graph na ito. Susuriin natin ang pamamaraang ito sa , huwag palampasin! Bakit susunod?

Ang katotohanan ay ang formula ng equation ng isang tuwid na linya ay gagamitin doon. Siyempre, maaari lamang ipakita ng isa ang formula na ito at payuhan kang matutunan ito. Ngunit mas mainam na ipaliwanag kung saan ito nanggaling (kung paano ito hinango). Ito ay kinakailangan! Kung nakalimutan mo ito, pagkatapos ay mabilis na ibalik itohindi magiging mahirap. Ang lahat ay detalyado sa ibaba. Kaya, mayroon kaming dalawang puntos A sa coordinate plane(x 1; y 1) at B (x 2; y 2), ang isang tuwid na linya ay iguguhit sa pamamagitan ng mga ipinahiwatig na mga punto:

Narito ang direktang formula:

*Iyon ay, kapag pinapalitan ang mga tiyak na coordinate ng mga puntos, nakakakuha tayo ng equation ng form na y=kx+b.

** Kung "kabisado" lang ang formula na ito, malaki ang posibilidad na malito sa mga indeks kung kailan X. Bilang karagdagan, ang mga index ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan, halimbawa:

Kaya naman mahalagang maunawaan ang kahulugan.

Ngayon ang derivation ng formula na ito. Ang lahat ay napaka-simple!

Ang mga Triangles ABE at ACF ay magkapareho sa mga tuntunin ng isang matinding anggulo (ang unang tanda ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok). Ito ay sumusunod mula dito na ang mga ratios ng mga kaukulang elemento ay pantay, iyon ay:

Ngayon ay ipinapahayag lamang namin ang mga segment na ito sa mga tuntunin ng pagkakaiba sa mga coordinate ng mga punto:

Siyempre, walang magiging error kung isusulat mo ang mga ugnayan ng mga elemento sa ibang pagkakasunud-sunod (ang pangunahing bagay ay panatilihin ang mga sulat):

Ang resulta ay ang parehong equation ng isang tuwid na linya. Lahat na lang!

Iyon ay, gaano man ang mga punto sa kanilang sarili (at ang kanilang mga coordinate) ay itinalaga, sa pag-unawa sa formula na ito, palagi mong mahahanap ang equation ng isang tuwid na linya.

Ang formula ay maaaring deduced gamit ang mga katangian ng mga vectors, ngunit ang prinsipyo ng derivation ay magiging pareho, dahil pag-uusapan natin ang proporsyonalidad ng kanilang mga coordinate. Sa kasong ito, gumagana ang parehong pagkakapareho ng mga tamang tatsulok. Sa palagay ko, ang konklusyon na inilarawan sa itaas ay mas nauunawaan)).

Tingnan ang output sa pamamagitan ng vector coordinates >>>

Hayaang bumuo ng isang tuwid na linya sa coordinate plane na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos A (x 1; y 1) at B (x 2; y 2). Markahan natin ang isang di-makatwirang punto C sa linya na may mga coordinate ( x; y). Tinutukoy din namin ang dalawang vectors:

Ito ay kilala na para sa mga vectors na nakahiga sa mga parallel na linya (o sa isang linya), ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, iyon ay:

- isinulat namin ang pagkakapantay-pantay ng mga ratios ng kaukulang mga coordinate:

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate (2;5) at (7:3).

Hindi mo man lang mabuo ang linya mismo. Inilapat namin ang formula:

Mahalagang mahuli mo ang mga sulat kapag gumuhit ng ratio. Hindi ka maaaring magkamali kung isusulat mo:

Sagot: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Upang matiyak na ang resultang equation ay natagpuan nang tama, siguraduhing suriin ito - palitan ang mga coordinate ng data dito sa kondisyon ng mga puntos. Dapat kang makakuha ng tamang pagkakapantay-pantay.

Iyon lang. Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Taos-puso, Alexander.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Ox axis

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa eroplano, ang straight line equation na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa talata na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2 makuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Solusyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Solusyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya na Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, pagkatapos ay ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertex ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Hayaang dumaan ang tuwid na linya sa mga puntos na M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2:

Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y I) at M 2 (x 2, y 2) ay kahanay sa y-axis. Ang equation nito ay x = x 1 .

Kung y 2 \u003d y I, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay maaaring isulat bilang y \u003d y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay kahanay sa x-axis.

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a; 0), at sa axis ng Oy - sa puntong M 2 (0; b). Ang equation ay kukuha ng anyo:
mga.
. Ang equation na ito ay tinatawag ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil ang mga numerong a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng tuwid na linya sa mga coordinate axes.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hanapin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto Mo (x O; y o) patayo sa isang ibinigay na di-zero na vector n = (A; B).

Kumuha ng arbitrary point M(x; y) sa tuwid na linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .

Ang vector n = (A; B) patayo sa linya ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .

Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C \u003d -Ax o - Vu o - libreng miyembro. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya(tingnan ang Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Canonical equation ng tuwid na linya

saan
ay ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at
- vector ng direksyon.

Mga kurba ng pangalawang order na Circle

Ang isang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Canonical equation ng isang bilog ng radius R nakasentro sa isang punto
:

Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinagmulan, ang equation ay magiging ganito:

Ellipse

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto at , na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci
.

Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa axis ng Ox at ang pinagmulan ay nasa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo
G de a ang haba ng pangunahing semiaxis; b ay ang haba ng minor semiaxis (Larawan 2).

Equation ng isang linya sa isang eroplano.

Tulad ng nalalaman, ang anumang punto sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate sa ilang coordinate system. Ang mga sistema ng coordinate ay maaaring magkakaiba depende sa pagpili ng batayan at pinagmulan.

Kahulugan. Line equation ay ang kaugnayan y = f(x) sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa linyang ito.

Tandaan na ang line equation ay maaaring ipahayag sa parametric na paraan, iyon ay, ang bawat coordinate ng bawat punto ay ipinahayag sa pamamagitan ng ilang independiyenteng parameter. t.

Ang isang tipikal na halimbawa ay ang tilapon ng isang gumagalaw na punto. Sa kasong ito, ang oras ay gumaganap ng papel ng isang parameter.

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

bukod dito, ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, i.e. A 2 + B 2  0. Tinatawag itong first-order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A  0, B  0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B  0, C  0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B  0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A (1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression.

Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C \u003d 0, samakatuwid C \u003d -1.

Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero.

Sa isang eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1  x 2 at x \u003d x 1, kung x 1 \u003d x 2.

Maliit na bahagi
=k ay tinatawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 ay humahantong sa anyo:

at italaga
, pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector ( 1 ,  2), ang mga bahagi na nakakatugon sa kondisyon A 1 + B 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1A + (-1)B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

sa x = 1, y = 2 nakukuha namin ang С/A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C 0, kung gayon, ang paghahati sa –C, nakukuha natin:
o

, saan

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ax + Wy + C = 0 na hinati sa numero
, na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcos + ysin - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign  ng normalizing factor upang ang С< 0.

p ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya, at  ay ang anggulo na nabuo ng patayo na ito na may positibong direksyon ng Ox axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

normal na equation ng isang tuwid na linya:

; cos = 12/13; kasalanan = -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; - apat.

a = -4 ay hindi akma sa kondisyon ng problema.

Kabuuan:
o x + y - 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:
, kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 .

Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/k 2 .

Teorama. Mga tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficients A ay proporsyonal 1 =  A, B 1 =  B. Kung din C 1 =  C, pagkatapos ay nag-tutugma ang mga linya.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

patayo sa linyang ito.

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0 , y 0 ), kung gayon ang distansya sa linyang Ax + Vy + C = 0 ay tinukoy bilang

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Nahanap namin ang equation ng side AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Pagkatapos y =
. kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito:
saan b = 17. Kabuuan:
.

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytical geometry sa espasyo.

Line equation sa espasyo.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo sa pamamagitan ng isang punto at

vector ng direksyon.

Kumuha ng isang arbitrary na linya at isang vector (m, n, p) parallel sa ibinigay na linya. Vector tinawag gabay na vector tuwid.

Kumuha tayo ng dalawang arbitrary na puntos na M 0 (x 0 , y 0 , z 0) at M(x, y, z) sa tuwid na linya.

Tukuyin natin ang radius vectors ng mga puntong ito bilang at , halata naman yun - =
.

kasi mga vector
at ay collinear, kung gayon ang kaugnayan ay totoo
= t, kung saan ang t ay ilang parameter.

Sa kabuuan, maaari nating isulat: = + t.

kasi ang equation na ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa linya, kung gayon ang resultang equation ay parametric equation ng isang tuwid na linya.

Ang vector equation na ito ay maaaring katawanin sa coordinate form:

Pagbabago ng sistemang ito at pag-equate ng mga halaga ng parameter t, nakuha namin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo:

Kahulugan. Mga cosine ng direksyon ang direktang ay ang mga cosines ng direksyon ng vector , na maaaring kalkulahin ng mga formula:

;

.

Mula dito nakukuha natin ang: m: n: p = cos : cos : cos.

Ang mga numerong m, n, p ay tinatawag mga kadahilanan ng slope tuwid. kasi ay isang di-zero na vector, ang m, n at p ay hindi maaaring maging zero sa parehong oras, ngunit ang isa o dalawa sa mga numerong ito ay maaaring maging zero. Sa kasong ito, sa equation ng isang tuwid na linya, ang kaukulang mga numerator ay dapat na katumbas ng zero.

Equation ng isang tuwid na linya sa pagpasa ng espasyo

sa pamamagitan ng dalawang puntos.

Kung ang dalawang arbitrary na puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2) ay minarkahan sa isang tuwid na linya sa espasyo, kung gayon ang mga coordinate ng mga puntong ito ay dapat na matugunan ang equation ng tuwid na linya na nakuha sa itaas:

Bilang karagdagan, para sa punto M 1 maaari naming isulat:

Paglutas ng mga equation na ito nang magkasama, nakukuha natin ang:

Ito ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos sa espasyo.

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ituring bilang ang equation ng isang linya ng intersection ng dalawang eroplano.

Tulad ng tinalakay sa itaas, ang isang eroplano sa anyong vector ay maaaring ibigay ng equation:

+ D = 0, kung saan

- normal na eroplano; - radius-vector ng isang di-makatwirang punto ng eroplano.