Mga halaga ng talahanayan ng mga pag-andar. Batas sa pamamahagi ng probabilidad para sa isang discrete random variable
2.1. Function (probability integral) ng Laplace mukhang:
Ang graph ng Laplace function ay ipinapakita sa Fig.5.
Function F(X) ay naka-tabulate (tingnan ang Talahanayan 1 ng mga apendise). Upang magamit ang talahanayang ito, kailangan mong malaman mga katangian ng Laplace function:
1) Function Ф( X) kakaiba: F(-X)= -F(X).
2) Pag-andar F(X) ay monotonically tumataas.
3) F(0)=0.
4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0.5. Sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na para sa x³5 ang function F(X)=0.5; para sa x £ -5 ang function F(X)=-0,5.
2.2. Mayroong iba pang mga anyo ng Laplace function:
at 
Hindi tulad ng mga form na ito, ang function F(X) ay tinatawag na standard o normalized Laplace function. Ito ay nauugnay sa iba pang mga anyo sa pamamagitan ng mga relasyon:
 |
HALIMBAWA 2. Patuloy na random variable X ay may normal na batas sa pamamahagi na may mga parameter: m=3, s=4. Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang random variable X: a) kukunin ang halaga na nasa pagitan (2; 6); b) kukuha ng halagang mas mababa sa 2; c) kukuha ng halagang higit sa 10; d) lumihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang hindi hihigit sa 2. Ilarawan ang solusyon ng problema sa grapikong paraan.
Solusyon. a) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X nasa loob ng tinukoy na agwat ( a,b), saan a=2 at b=6 ay katumbas ng:
Mga halaga ng Laplace function F(x) tinutukoy ayon sa talahanayan na ibinigay sa apendiks, na isinasaalang-alang iyon F(–X)= –F(X).
b) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa 2, ay katumbas ng:
c) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X tumatagal ng isang halaga na higit sa 10, ay katumbas ng:
d) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X d=2 ay katumbas ng:
Mula sa isang geometric na punto ng view, ang mga kinakalkula na probabilities ay ayon sa bilang na katumbas ng mga shaded na lugar sa ilalim ng normal na curve (tingnan ang Fig. 6).
 |
|||
 |
|
kanin. 6. Normal na kurba para sa isang random na variable X~N(3;4)
HALIMBAWA 3. Ang diameter ng baras ay sinusukat nang walang sistematikong (isang tanda) na mga error. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na batas sa pamamahagi na may standard deviation na 10 mm. Hanapin ang posibilidad na ang pagsukat ay gagawin sa isang error na hindi hihigit sa 15 mm sa ganap na halaga.
Solusyon. Ang mathematical na inaasahan ng mga random na error ay zero m X lumihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d=15 ay katumbas ng:
HALIMBAWA 4. Ang makina ay gumagawa ng mga bola. Ang bola ay itinuturing na wasto kung ang paglihis X ang diameter ng bola mula sa laki ng disenyo ay mas mababa sa 0.7 mm sa ganap na halaga. Ipagpalagay na ang random variable X ibinahagi nang normal na may karaniwang paglihis na 0.4 mm, hanapin kung gaano karaming magagandang bola ang magkakaroon sa average sa 100 na ginawa.
Solusyon. Random na halaga X- paglihis ng diameter ng bola mula sa laki ng disenyo. Ang mathematical na inaasahan ng deviation ay zero, i.e. M(X)=m=0. Pagkatapos ang posibilidad na ang normal na random variable X lumihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d\u003d 0.7, ay katumbas ng:
Kasunod nito na humigit-kumulang 92 na bola sa 100 ay magiging maganda.
HALIMBAWA 5. Patunayan ang panuntunan "3 s».
Solusyon. Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X lumihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d= 3s, ay katumbas ng:
HALIMBAWA 6. Random na halaga X karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan sa matematika m=10. Hit Probability X sa pagitan (10, 20) ay 0.3. Ano ang posibilidad na matamaan X sa pagitan (0, 10)?
Solusyon. Ang isang normal na kurba ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya X=m=10, kaya ang mga lugar na nakatali sa itaas ng normal na kurba at sa ibaba ng mga pagitan (0, 10) at (10, 20) ay katumbas ng bawat isa. Dahil ang mga lugar ay katumbas ng numero sa mga probabilidad ng pagtama X sa angkop na pagitan.
Lokal at integral Laplace theorems
Ang artikulong ito ay isang likas na pagpapatuloy ng aralin tungkol sa mga independiyenteng pagsusulit kung saan tayo nagkakilala Bernoulli formula at gumawa ng mga tipikal na halimbawa sa paksa. Ang mga lokal at integral na theorems ng Laplace (Moivre-Laplace) ay malulutas ang isang katulad na problema sa pagkakaiba na ang mga ito ay naaangkop sa isang sapat na malaking bilang ng mga independiyenteng pagsubok. Ang mga salitang "lokal", "integral", "theorems" ay hindi kailangang patahimikin - ang materyal ay pinagkadalubhasaan ng parehong kadalian kung saan tinapik ni Laplace ang kulot na ulo ni Napoleon. Samakatuwid, nang walang anumang mga kumplikado at paunang komento, agad naming isasaalang-alang ang isang halimbawa ng demo:
Ang barya ay inihagis ng 400 beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lalabas ng 200 beses.
Sa pamamagitan ng mga tampok na katangian, dito kinakailangan na mag-aplay Formula ni Bernoulli 
. Tandaan natin ang kahulugan ng mga titik na ito:
ay ang posibilidad na ang isang random na kaganapan ay nangyayari nang eksaktong isang beses sa mga independiyenteng pagsubok;
– binomial coefficient;
ay ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat pagsubok;
Para sa aming gawain:
ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok;
- ang bilang ng mga paghagis kung saan dapat mahulog ang agila;
Kaya, ang posibilidad na magresulta ang 400 coin tosses sa eksaktong 200 heads ay: ...Tumigil, ano ang susunod na gagawin? Ang microcalculator (kahit sa akin) ay hindi nakayanan ang 400th degree at sumuko sa mga factorial. And I didn’t feel like counting through the product =) Gamitin natin Standard na function ng Excel, na nagawang iproseso ang halimaw: .
Iginuhit ko ang iyong pansin sa kung ano ang natanggap eksakto halaga at ang gayong solusyon ay tila perpekto. Sa unang tingin. Narito ang ilang nakakahimok na kontraargumento:
- una, ang software ay maaaring wala sa kamay;
- at pangalawa, ang solusyon ay magmumukhang hindi pamantayan (na may mataas na posibilidad na kailangan mong gawing muli);
Samakatuwid, mahal na mga mambabasa, sa malapit na hinaharap ay naghihintay kami para sa:
Lokal na Laplace theorem
Kung ang posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan sa bawat pagsubok ay pare-pareho, kung gayon ang posibilidad na ang kaganapan ay magaganap nang eksaktong isang beses sa mga pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng: 
, saan .
Kasabay nito, mas marami , mas mahusay ang kinakalkula na probabilidad ay tinatantya ang eksaktong halaga na nakuha (hindi bababa sa hypothetically) ayon sa Bernoulli formula. Ang inirerekomendang pinakamababang bilang ng mga pagsubok ay humigit-kumulang 50-100, kung hindi man ang resulta ay maaaring malayo sa katotohanan. Bilang karagdagan, ang lokal na Laplace theorem ay gumagana nang mas mahusay, mas malapit ang posibilidad ay sa 0.5, at kabaligtaran - nagbibigay ito ng isang makabuluhang error para sa mga halaga na malapit sa zero o isa. Para sa kadahilanang ito, isa pang pamantayan para sa epektibong paggamit ng formula 
ay ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay ()
.
Kaya, halimbawa, kung , kung gayon ang aplikasyon ng teorama ni Laplace para sa 50 mga pagsubok ay makatwiran. Ngunit kung at , pagkatapos ay ang approximation (sa eksaktong halaga) magiging masama.
Tungkol sa bakit at tungkol sa isang espesyal na function 
pag-uusapan natin sa klase normal na pamamahagi ng posibilidad, ngunit sa ngayon kailangan natin ang pormal na pagkuwenta na bahagi ng isyu. Sa partikular, ang isang mahalagang katotohanan ay pagkakapantay-pantay ang function na ito: 
.
Ipormal natin ang kaugnayan sa ating halimbawa:
Gawain 1
Ang barya ay inihagis ng 400 beses. Hanapin ang posibilidad na eksaktong mapunta ang mga ulo:
a) 200 beses;
b) 225 beses.
Kung saan magsisimula solusyon? Una, isulat natin ang mga kilalang dami upang ang mga ito ay nasa harap ng ating mga mata:
ay ang kabuuang bilang ng mga independiyenteng pagsusulit;
ay ang posibilidad na makakuha ng mga ulo sa bawat paghagis;
ay ang posibilidad na makakuha ng mga buntot.
a) Hanapin ang posibilidad na sa isang serye ng 400 throws ay eksaktong isang beses mahuhulog ang mga ulo. Dahil sa malaking bilang ng mga pagsubok, ginagamit namin ang lokal na Laplace theorem: 
, saan 
.
Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang kinakailangang halaga ng argumento:
Susunod, nakita namin ang kaukulang halaga ng function: . Magagawa ito sa maraming paraan. Una sa lahat, siyempre, ang mga direktang kalkulasyon ay lumitaw:
Karaniwang isinasagawa ang rounding sa 4 na decimal na lugar.
Ang kawalan ng direktang pagkalkula ay hindi lahat ng microcalculator ay natutunaw ang exponent, bilang karagdagan, ang mga kalkulasyon ay hindi masyadong kaaya-aya at tumatagal ng oras. Bakit maghihirap? Gamitin terver calculator (punto 4) at makakuha ng halaga kaagad!
Bilang karagdagan, mayroong talahanayan ng halaga ng function, na makukuha sa halos anumang aklat sa teorya ng posibilidad, sa partikular, sa isang aklat-aralin V.E. Gmurman. I-download, na hindi pa nagda-download - sa pangkalahatan ay maraming kapaki-pakinabang na bagay ;-) At siguraduhing matutunan kung paano gamitin ang talahanayan (ngayon na!)- Ang angkop na teknolohiya sa computer ay maaaring hindi palaging nasa kamay!
Sa huling yugto, inilalapat namin ang formula 
:
ay ang posibilidad na sa 400 tosses ng isang ulo ng barya ay lalabas nang eksaktong 200 beses.
Tulad ng nakikita mo, ang resulta na nakuha ay napakalapit sa eksaktong halaga na kinakalkula mula sa Bernoulli formula.
b) Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lalabas nang eksaktong isang beses sa isang serye ng 400 na pagsubok. Ginagamit namin ang lokal na Laplace theorem. Isa, dalawa, tatlo - at tapos ka na:
ay ang nais na posibilidad.
Sagot:
Ang susunod na halimbawa, tulad ng nahulaan ng marami, ay nakatuon sa panganganak - at ito ay para sa iyo na magpasya sa iyong sarili :)
Gawain 2
Ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki ay 0.52. Hanapin ang posibilidad na sa 100 bagong panganak ay magkakaroon ng eksaktong: a) 40 lalaki, b) 50 lalaki, c) 30 babae.
Bilugan ang mga resulta sa 4 na decimal na lugar.
... Ang pariralang "mga independiyenteng pagsusulit" ay parang kawili-wili dito =) Oo nga pala, ang totoo istatistikal na posibilidad ang rate ng kapanganakan ng isang batang lalaki sa maraming rehiyon ng mundo ay mula 0.51 hanggang 0.52.
Isang halimbawa ng gawain sa pagtatapos ng aralin.
Napansin ng lahat na ang mga numero ay medyo maliit, at hindi ito dapat nakaliligaw - pagkatapos ng lahat, pinag-uusapan natin ang mga posibilidad ng indibidwal, lokal mga halaga (kaya ang pangalan ng theorem). At mayroong maraming gayong mga halaga, at, sa makasagisag na pagsasalita, ang posibilidad ay "dapat sapat para sa lahat." Sa katunayan, maraming mga kaganapan halos imposible.
Hayaan akong ipaliwanag ang nasa itaas gamit ang isang halimbawa na may mga barya: sa isang serye ng apat na raang pagsubok, ang mga ulo ay maaaring theoretically mahulog mula 0 hanggang 400 beses, at ang mga kaganapang ito ay nabuo buong grupo:
Gayunpaman, karamihan sa mga halagang ito ay kumakatawan sa isang maliit na halaga, kaya, halimbawa, ang posibilidad na ang mga ulo ay mahulog nang 250 beses ay isa na sa sampung milyon:. Tungkol sa mga halaga tulad ng 
tactfully tumahimik =)
Sa kabilang banda, hindi dapat maliitin ang katamtamang mga resulta: kung ito ay tungkol lamang sa , kung gayon ang posibilidad na mahulog ang mga ulo, sabihin nating, 220 hanggang 250 beses, ay magiging lubhang kapansin-pansin.
Ngayon isipin natin: paano makalkula ang posibilidad na ito? Huwag magbilang ng karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan halaga:
Mas madali ang mga halagang ito magkaisa. At ang unyon ng isang bagay, tulad ng alam mo, ay tinatawag pagsasama:
Laplace integral theorem
Kung ang posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan sa bawat pagsubok ay pare-pareho, kung gayon ang posibilidad 
ang katotohanang sa mga pagsubok darating ang pangyayari walang kukulangin at wala nang ulit (mula sa mga oras kasama), ay tinatayang katumbas ng:
Sa kasong ito, ang bilang ng mga pagsubok, siyempre, ay dapat ding sapat na malaki at ang posibilidad ay hindi masyadong maliit/mataas. (tinatayang), kung hindi, ang pagtatantya ay magiging hindi mahalaga o masama.
Tinatawag ang function Laplace function, at ang mga halaga nito ay muling buod sa isang karaniwang talahanayan ( hanapin at alamin kung paano gawin ito!!). Ang microcalculator ay hindi makakatulong dito, dahil ang integral ay hindi maaaring iurong. Ngunit sa Excel mayroong isang kaukulang pag-andar - gamitin punto 5 layout ng disenyo.
Sa pagsasagawa, ang pinakakaraniwang mga halaga ay:
- Isulat ito sa iyong kuwaderno.
Simula sa , maaari nating ipagpalagay na , o, kung isinulat nang mas mahigpit: 
Bilang karagdagan, ang Laplace function kakaiba: 
, at ang pag-aari na ito ay aktibong pinagsamantalahan sa mga gawaing naghihintay na sa amin:
Gawain 3
Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na may 100 shot ang target ay matatamaan mula 65 hanggang 80 beses.
Kinuha ko ang pinaka-makatotohanang halimbawa, kung hindi man ay nakakita ako ng ilang mga gawain dito kung saan ang tagabaril ay gumagawa ng libu-libong mga pag-shot =)
Solusyon: sa problemang ito ang pinag-uusapan natin paulit-ulit na mga independiyenteng pagsusulit, at ang kanilang bilang ay medyo malaki. Ayon sa kundisyon, kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang target ay matamaan ng hindi bababa sa 65, ngunit hindi hihigit sa 80 beses, na nangangahulugan na kailangan nating gamitin ang Laplace integral theorem: , kung saan
Para sa kaginhawahan, muling isinusulat namin ang orihinal na data sa isang column:
- kabuuang shot;
- ang pinakamababang bilang ng mga hit;
- ang maximum na bilang ng mga hit;
- ang posibilidad na matamaan ang target sa bawat shot;
- ang posibilidad ng isang miss sa bawat shot.
Samakatuwid, ang teorama ni Laplace ay magbibigay ng isang mahusay na pagtatantya.
Kalkulahin natin ang mga halaga ng mga argumento: 
Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang gawain ay hindi kailangang ganap na makuha mula sa ilalim ng ugat (dahil ang mga may-akda ng mga problema ay gustong "ayusin" ang mga numero)- nang walang anino ng pagdududa, kinukuha namin ang ugat at bilugan ang resulta; Nag-iiwan ako noon ng 4 na decimal na lugar. Ngunit ang mga halaga na nakuha ay karaniwang bilugan sa 2 decimal na lugar - nagmula ang tradisyong ito mga talahanayan ng halaga ng function, kung saan ang mga argumento ay ipinakita sa form na ito.
Gamitin ang talahanayan sa itaas o layout ng disenyo ng terver (punto 5).
Bilang isang nakasulat na komento, ipinapayo ko sa iyo na ilagay ang sumusunod na parirala: nakita namin ang mga halaga ng function ayon sa kaukulang talahanayan:
- ang posibilidad na may 100 shot ang target ay matatamaan mula 65 hanggang 80 beses.
Tiyaking gamitin ang kakaiba ng function! Kung sakali, isusulat ko nang detalyado:
Sa katotohanan ay talahanayan ng halaga ng function naglalaman lamang ng positibong "x", at nagtatrabaho kami (hindi bababa sa ayon sa alamat) may table!
Sagot:
Ang resulta ay madalas na bilugan sa 4 na decimal na lugar. (muli ayon sa format ng talahanayan).
Para sa isang nakapag-iisang solusyon:
Gawain 4
Mayroong 2500 lamp sa gusali, ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay nakabukas sa gabi ay 0.5. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa 1250 at hindi hihigit sa 1275 lamp ang bubuksan sa gabi.
Isang tinatayang sample ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.
Dapat pansinin na ang mga gawain na isinasaalang-alang ay madalas na matatagpuan sa isang "impersonal" na anyo, halimbawa:
Isinasagawa ang ilang eksperimento kung saan maaaring mangyari ang isang random na kaganapan na may posibilidad na 0.5. Ang eksperimento ay paulit-ulit sa ilalim ng hindi nagbabagong mga kondisyon ng 2500 beses. Tukuyin ang posibilidad na sa 2500 na mga eksperimento ang kaganapan ay magaganap mula 1250 hanggang 1275 beses
At katulad na mga salita sa pamamagitan ng bubong. Dahil sa likas na katangian ng stencil ng mga gawain, madalas nilang sinusubukang itago ang kondisyon - ito ang "tanging pagkakataon" upang kahit papaano ay pag-iba-ibahin at kumplikado ang solusyon:
Gawain 5
Ang instituto ay may 1000 mag-aaral. Ang silid-kainan ay may 105 na upuan. Ang bawat mag-aaral ay pumupunta sa cafeteria sa panahon ng malaking pahinga na may posibilidad na 0.1. Ano ang posibilidad na sa isang karaniwang araw ng paaralan:
a) ang silid-kainan ay mapupuno nang hindi hihigit sa dalawang-katlo;
b) walang sapat na upuan para sa lahat.
Iginuhit ko ang iyong pansin sa mahahalagang sugnay na "sa isang REGULAR na araw ng pag-aaral" - tinitiyak nito ang kamag-anak na hindi nababago ng sitwasyon. Pagkatapos ng mga pista opisyal, mas kaunting mga mag-aaral ang maaaring pumunta sa institute, at isang gutom na delegasyon ang bababa sa "Araw ng Mga Bukas na Pintuan" =) Iyon ay, sa isang "hindi pangkaraniwang" araw, ang mga probabilidad ay mag-iiba nang malaki.
Solusyon: ginagamit namin ang integral theorem ni Laplace, kung saan
Sa gawaing ito:
– kabuuang bilang ng mga mag-aaral sa institute;
- ang posibilidad na ang mag-aaral ay pumunta sa canteen sa isang malaking pahinga;
ay ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan.
a) Kalkulahin kung gaano karaming mga upuan ang bumubuo sa dalawang-katlo ng kabuuang: mga upuan
Hanapin natin ang posibilidad na sa isang tipikal na araw ng pasukan ang canteen ay mapupuno ng hindi hihigit sa dalawang-katlo. Ano ang ibig sabihin nito? Ibig sabihin, mula 0 hanggang 70 katao ang darating sa big break. Ang katotohanang walang darating o kakaunting estudyante lang ang darating - may mga kaganapan halos imposible, gayunpaman, upang mailapat ang Laplace integral theorem, ang mga probabilidad na ito ay dapat pa ring isaalang-alang. Sa ganitong paraan: 
Kalkulahin natin ang kaukulang mga argumento: 
Ang resulta:
- ang posibilidad na sa isang karaniwang araw ng pasukan ang canteen ay mapupuno ng hindi hihigit sa dalawang-katlo.
Paalala : kapag ang Laplace function ay itinuturing na katumbas ng .
Crush, gayunpaman =)
b) Kaganapan "Walang sapat na upuan para sa lahat" ay binubuo sa katotohanan na mula 106 hanggang 1000 katao ang pupunta sa silid-kainan sa panahon ng isang malaking pahinga (pinaka-mahalaga, selyo ng mabuti =)). Malinaw na ang mataas na pagdalo ay hindi kapani-paniwala, ngunit gayunpaman: 
.
Pagbibilang ng mga argumento: 
Kaya, ang posibilidad na walang sapat na upuan para sa lahat:
Sagot:
Ngayon, tumutok tayo sa isa mahalagang nuance paraan: kapag nagsasagawa kami ng mga kalkulasyon sa isang hiwalay na seksyon, kung gayon ang lahat ay "walang ulap" - magpasya ayon sa isinasaalang-alang na template. Gayunpaman, kung isasaalang-alang kumpletong pangkat ng mga kaganapan dapat ipakita isang tiyak na katumpakan. Hayaan akong ipaliwanag ang puntong ito gamit ang halimbawa ng problemang nasuri. Sa talatang "maging", nakita namin ang posibilidad na walang sapat na upuan para sa lahat. Dagdag pa, ayon sa parehong pamamaraan, kinakalkula namin:
- ang posibilidad na magkakaroon ng sapat na mga lugar.
Dahil ang mga pangyayaring ito kabaligtaran, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa:
Anong problema? – parang lohikal ang lahat dito. Ang punto ay ang Laplace function ay tuloy-tuloy, ngunit hindi namin isinasaalang-alang pagitan mula 105 hanggang 106. Dito nawala ang pirasong 0.0338. kaya lang sa pamamagitan ng parehong karaniwang formula dapat kalkulahin:
Well, o mas madali:
Ang tanong ay lumitaw: paano kung UNANG nahanap natin ? Pagkatapos ay magkakaroon ng isa pang bersyon ng solusyon:
Pero paano kaya yun?! – sa dalawang paraan magkakaibang mga sagot ang nakuha! Ito ay simple: Ang integral theorem ng Laplace ay isang pamamaraan tinatayang mga kalkulasyon, at samakatuwid ang parehong mga landas ay katanggap-tanggap.
Para sa mas tumpak na mga kalkulasyon, gamitin Bernoulli formula at, halimbawa, ang excel function BINOMDIST. Ang resulta aplikasyon nito makuha namin:
At ipinapahayag ko ang aking pasasalamat sa isa sa mga bisita ng site na nakakuha ng pansin sa subtlety na ito - nahulog ito sa aking larangan ng pangitain, dahil ang pag-aaral ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan ay bihirang matatagpuan sa pagsasanay. Ang mga nais ay maaaring pamilyar sa kanilang sarili
Ang isa sa mga pinakatanyag na non-elementary function na ginagamit sa matematika, sa teorya ng differential equation, sa statistics at sa probability theory ay ang Laplace function. Ang paglutas ng mga problema dito ay nangangailangan ng makabuluhang paghahanda. Alamin natin kung paano mo makalkula ang indicator na ito gamit ang mga tool sa Excel.
Ang Laplace function ay may malawak na inilapat at teoretikal na aplikasyon. Halimbawa, ito ay madalas na ginagamit upang malutas ang mga equation ng kaugalian. Ang terminong ito ay may isa pang katumbas na pangalan - ang probability integral. Sa ilang mga kaso, ang batayan para sa solusyon ay ang pagbuo ng isang talahanayan ng mga halaga.
Operator NORM.ST.DIST
Sa Excel, ang tinukoy na gawain ay nalutas gamit ang operator NORM.ST.DIST. Ang pangalan nito ay maikli para sa terminong "normal standard distribution". Dahil ang pangunahing gawain nito ay ibalik ang karaniwang normal na integral distribution sa napiling cell. Ang operator na ito ay kabilang sa istatistikal na kategorya ng mga karaniwang function ng Excel.
Sa Excel 2007 at sa mga naunang bersyon ng programa, tinawag ang pahayag na ito NORMSTRAST. Para sa mga layunin ng compatibility, naiwan din ito sa mga modernong bersyon ng mga application. Ngunit gayon pa man, inirerekumenda nila ang paggamit ng isang mas advanced na analogue - NORM.ST.DIST.
Syntax ng operator NORM.ST.DIST tulad ng sumusunod:
NORM.ST.DIS(z;integral)
Hindi na ginagamit na Operator NORMSTRAST ay nakasulat na ganito:
NORMSDIST(z)
Tulad ng nakikita mo, sa bagong bersyon sa umiiral na argumento Z idinagdag ang argumento "Integral". Dapat tandaan na ang bawat argumento ay kinakailangan.
Pangangatwiran Z tumutukoy sa numeric na halaga kung saan ang pamamahagi ay inilalagay.
Pangangatwiran "Integral" ay isang boolean na halaga na maaaring katawanin "TOTOO" ("isa") o "MALI" («0») . Sa unang kaso, ang integral distribution function ay ibinalik sa tinukoy na cell, at sa pangalawang kaso, ang weight distribution function.
Ang solusyon sa problema
Upang maisagawa ang kinakailangang pagkalkula sa isang variable, inilapat ang sumusunod na formula:
NORM.ST.DIST(z;integral(1))-0.5
Ngayon tingnan natin ang isang partikular na halimbawa gamit ang operator NORM.ST.DIST upang malutas ang isang tiyak na problema.
Ang Laplace function ay isang non-elementary function at kadalasang ginagamit pareho sa teorya ng differential equation at probability theory, at sa statistics. Ang Laplace function ay nangangailangan ng isang tiyak na hanay ng kaalaman at pagsasanay, dahil pinapayagan ka nitong malutas ang iba't ibang mga problema sa larangan ng inilapat at teoretikal na mga aplikasyon.
Ang Laplace function ay kadalasang ginagamit upang malutas ang mga differential equation at kadalasang tinutukoy bilang probability integral. Tingnan natin kung paano magagamit ang function na ito sa Excel at kung paano ito gumagana.
Ang probability integral o Laplace function sa Excel ay tumutugma sa operator na "NORMSDIST", na mayroong syntax: "=NORMSDIST(z). Sa mga mas bagong bersyon ng programa, ang operator ay mayroon ding pangalang "NORM.ST.DIST." at isang bahagyang binagong syntax na “=NORM.ST.DIST(z; integral).
Ang argumentong "Z" ay responsable para sa numerical na halaga ng pamamahagi. Argumentong "Integral" - nagbabalik ng dalawang value - "1" - ang integral distribution function, "0" - ang weight distribution function.
Naiintindihan ang teorya. Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Isaalang-alang ang paggamit ng Laplace function sa Excel.
1. Sumulat ng isang halaga sa isang cell, magpasok ng isang function sa susunod na isa.
2. Manu-manong isulat natin ang function na "=NORM.ST.DIST(B4;1).
3. O gamitin ang function insertion wizard - pumunta sa kategoryang “Static” at piliin ang “Buong alpabetikong listahan.
4. Sa lumitaw na window ng mga argumento ng function, ituro ang mga paunang halaga. Ang aming orihinal na cell ay magiging responsable para sa variable na "Z", at ipasok ang "1" sa "Integral". Ibabalik ng aming function ang cumulative distribution function.
5. Kumuha kami ng isang handa na solusyon ng karaniwang normal na integral distribution para sa function na "NORM.ST.DIST". Ngunit hindi lang iyon, ang layunin namin ay hanapin ang Laplace function o ang probability integral, kaya gumawa pa tayo ng ilang hakbang.
6. Ang Laplace function ay nagpapahiwatig na ang "0.5" ay dapat ibawas sa halaga ng nakuha na function. Idinaragdag namin ang kinakailangang operasyon sa function. Pindutin ang "Enter" at makuha ang pangwakas na solusyon. Ang nais na halaga ay tama at mabilis na natagpuan.
Madaling kinakalkula ng Excel ang function na ito para sa anumang halaga ng cell, hanay ng mga cell, o mga sanggunian ng cell. Ang NORM.ST.DIST function ay isang karaniwang operator para sa paghahanap ng probability integral o, bilang ito ay tinatawag din, ang Laplace function.
Formula ng Bayes
Ang mga kaganapan B 1 , B 2 ,…, B n ay hindi magkatugma at bumubuo ng isang kumpletong grupo, i.e. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. At hayaang maganap lamang ang kaganapan A kapag lumitaw ang isa sa mga kaganapan B 1 , B 2 ,…, B n. Pagkatapos ang posibilidad ng kaganapan A ay matatagpuan sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad.
Hayaang nangyari na ang kaganapan A. Kung gayon ang mga probabilidad ng mga hypotheses B 1 , B 2 ,…, B n ay maaaring ma-overestimated gamit ang formula ng Bayes:
Bernoulli formula
Hayaang gumawa ng mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A ay maaaring mangyari o hindi. Ang posibilidad ng paglitaw (hindi paglitaw) ng kaganapan A ay pareho at katumbas ng p (q=1-p).
Ang posibilidad na sa n independiyenteng mga pagsubok na kaganapan A ay magaganap nang eksakto k beses (ayon sa Fig, sa anong pagkakasunud-sunod) ay matatagpuan ng Bernoulli formula:
Ang posibilidad na sa n independiyenteng pagsubok ay magaganap ang kaganapan:
a). Mas kaunti sa P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
b). Higit sa k beses P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
sa). hindi bababa sa k beses P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
G). hindi hihigit sa k beses P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Lokal at integral theorems ng Laplace.
Ginagamit namin ang mga teorema na ito kapag ang n ay sapat na malaki.
Lokal na Laplace theorem
Ang posibilidad na sa n independiyenteng pagsubok ay magaganap ang isang kaganapan nang eksaktong `k" na beses ay humigit-kumulang katumbas ng:
Ang talahanayan ng mga function para sa mga positibong halaga (x) ay ibinibigay sa aklat ng problema ni Gmurman sa Appendix 1, pp. 324-325.
Dahil kahit na (), pagkatapos ay para sa mga negatibong halaga (x) ginagamit namin ang parehong talahanayan.
Integral theorem ng Laplace.
Ang posibilidad na sa n independiyenteng pagsubok ang kaganapan ay magaganap nang hindi bababa sa `k" na beses ay humigit-kumulang katumbas ng:
Laplace function
Ang talahanayan ng mga pag-andar para sa mga positibong halaga ay ibinibigay sa aklat ng problema ni Gmurman sa Appendix 2, pp. 326-327. Para sa mga halagang higit sa 5, itinakda namin ang Ф(х)=0.5.
Dahil ang function ng Laplace ay kakaiba F(-x)=-F(x), kung gayon para sa mga negatibong halaga (x) ginagamit namin ang parehong talahanayan, kinukuha lamang namin ang mga halaga ng function na may minus sign.
Batas sa pamamahagi ng probabilidad para sa isang discrete random variable
Binomial distribution law.
discrete- isang random na variable, ang mga posibleng halaga kung saan ay hiwalay na mga nakahiwalay na numero, na kinukuha ng variable na ito na may ilang mga probabilidad. Sa madaling salita, ang mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring bilangin.
Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o walang katapusan.
Ang mga discrete random variable ay tinutukoy ng malalaking titik X, at ang kanilang mga posibleng halaga - sa pamamagitan ng maliliit na titik x1, x2, x3 ...
Halimbawa.
Ang X ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama sa dice; Ang X ay kumukuha ng anim na posibleng value: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 na may probabilities p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable pangalanan ang isang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad.
Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay:
1. sa anyo ng isang talahanayan.
2. Analytically - sa anyo ng isang formula.
3. grapiko. Sa kasong ito, ang mga puntos na М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) ay itinayo sa XOP rectangular coordinate system. Ang mga puntong ito ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya. Ang resultang hugis ay tinatawag polygon ng pamamahagi.
Upang isulat ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable (x), kinakailangan na ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito at hanapin ang mga probabilidad na naaayon sa kanila.
Kung ang mga probabilidad na naaayon sa kanila ay matatagpuan ng Bernoulli formula, kung gayon ang naturang batas sa pamamahagi ay tinatawag na binomial.
Halimbawa Blg. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Mga numerong halaga ng mga discrete random variable.
Pag-asa sa matematika, pagkakaiba at karaniwang paglihis.
Ang ibig sabihin ng halaga ng isang discrete random variable ay nailalarawan sa matematikal na inaasahan.
inaasahan sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad. Yung. kung ang batas sa pamamahagi ay ibinigay, pagkatapos ay ang matematikal na inaasahan
Kung ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay walang hanggan, kung gayon
Bukod dito, ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo, at ang kabuuan ng lahat ng probabilidad pi ay katumbas ng isa.
Mga katangian ng inaasahan sa matematika.
1. M(S)=S, S=cons.
2. M(Cx)=CM(x)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Para sa binomial distribution law, ang mathematical expectation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Ang isang katangian ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika ay ang pagkakaiba-iba at ang karaniwang paglihis.
pagpapakalat Ang discrete random variable (x) ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation. D(x)=M(x-M(x)) 2 .
Ang dispersion ay maginhawang kinakalkula ng formula: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.
Mga katangian ng pagpapakalat.
1. D(S)=0, S=cons.
2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Pagpapakalat ng binomial distribution law
Karaniwang lihis ang random variable ay tinatawag na square root ng variance.
mga halimbawa. 191, 193, 194, 209, d/z.
Integral distribution function (IDF, DF) ng mga probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable (NSV). Tuloy-tuloy- isang dami na maaaring tumagal sa lahat ng mga halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan. Mayroong isang bilang ng mga posibleng halaga ng NSV at hindi ito maaaring muling bilangin.
Halimbawa.
Ang distansya na tinatahak ng projectile kapag pinaputok ay ang NSV.
Ang FMI ay tinatawag na function na F(x), na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang NSV X ay kukuha sa halagang X<х, т.е. F(x)=Р(X Madalas FR ang sinasabi nila imbes na IFR. Sa geometriko, ang pagkakapantay-pantay F(x)=P(X KUNG mga ari-arian. 1. Ang halaga ng IF ay kabilang sa pagitan , i.e. F(x). 2. IF ay isang hindi bumababa na function, i.e. x2 > x1,. Corollary 1. Ang posibilidad na kunin ng NSV X ang value na nilalaman sa pagitan (a; c) ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa interval na ito, i.e. P(a Corollary 2. Ang posibilidad na ang NSV X ay kukuha ng isang partikular na halaga, halimbawa, x1=0, ay katumbas ng 0, i.e. P(x=x1)=0. 3. Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay kabilang sa (a; c), kung gayon ang F(x)=0 para sa x<а, и F(x)=1 при х>sa. Corollary 3. Ang mga sumusunod na relasyon sa limitasyon ay hawak. Differential distribution function (DDF) ng mga probabilities ng tuluy-tuloy na random variable (NSV) (probability density). DF f(x) Mga pamamahagi ng posibilidad ng NSV tawagan ang unang derivative ng IGF: Kadalasan, sa halip na PDD, sinasabi nila ang probability density (PD). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na, alam ang KUNG F(x), mahahanap ng isa ang DF f(x). Ngunit ang reverse transformation ay ginagawa din: alam ang DF f(x), mahahanap natin ang IF F(x). Ang posibilidad na ang NSW X ay kukuha ng halagang kabilang sa (a; c) ay: PERO). Kung ang IF ay ibinigay - kahihinatnan 1. B). Kung DF ang binigay Mga katangian ng DF. 1. DF - hindi negatibo, ibig sabihin. . 2. ang hindi wastong integral ng DF sa loob ng (), ay katumbas ng 1, i.e. . Corollary 1. Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay kabilang sa (a; c), kung gayon. Mga halimbawa. No. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d / z. Mga numerical na katangian ng NSV. 1. Ang pag-asa sa matematika (MO) ng NSW X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng OX, ay tinutukoy ng formula: Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay nabibilang sa (a; c), ang MO ay tinutukoy ng formula: Ang lahat ng mga katangian ng MO, na ipinahiwatig para sa mga discrete na dami, ay pinapanatili din para sa tuluy-tuloy na dami. 2. Ang pagpapakalat ng NSW X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng OX, ay tinutukoy ng formula: Kung ang lahat ng posibleng mga halaga ng NSV X ay nabibilang sa (a; c), kung gayon ang pagkakaiba ay tinutukoy ng formula: Ang lahat ng mga katangian ng dispersion na ipinahiwatig para sa mga discrete na dami ay pinapanatili din para sa tuluy-tuloy na dami. 3. Ang karaniwang paglihis ng NSW X ay tinutukoy sa parehong paraan tulad ng para sa mga discrete na dami: Mga halimbawa. No. 276, 279, X, d / s. Operational Calculus (OI). Ang OI ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang mga operasyon ng pagkita ng kaibhan at pagsasama ng mga function sa mas simpleng mga aksyon: multiplikasyon at paghahati sa pamamagitan ng isang argumento ng tinatawag na mga imahe ng mga function na ito. Ang paggamit ng OI ay nagpapadali sa paglutas ng maraming problema. Sa partikular, ang mga problema sa pagsasama-sama ng mga LDE na may pare-parehong mga coefficient at mga sistema ng naturang mga equation, na binabawasan ang mga ito sa mga linear na algebraic. mga orihinal at larawan. Mga pagbabago sa Laplace. f(t)-orihinal; F(p)-larawan. Tinatawag ang transition f(t)F(p). Pagbabago ng Laplace. Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ng function na f(t) ay tinatawag na F(p), na nakasalalay sa isang kumplikadong variable at tinukoy ng formula: Ang integral na ito ay tinatawag na Laplace integral. Para sa di-wastong integral na ito na magtagpo, sapat na ipagpalagay na ang f(t) ay putol-putol na tuloy-tuloy sa pagitan at para sa ilang mga constants M > 0 at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang isang function na f(t) na may ganitong mga katangian ay tinatawag orihinal, at ang paglipat mula sa orihinal patungo sa imahe nito ay tinatawag Pagbabago ng Laplace. Mga katangian ng pagbabagong-anyo ng Laplace. Ang direktang pagtukoy ng mga imahe sa pamamagitan ng formula (2) ay kadalasang mahirap at maaaring lubos na mapadali sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng pagbabagong-anyo ng Laplace. Hayaang ang F(p) at G(p) ay mga larawan ng mga orihinal na f(t) at g(t), ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay magaganap ang mga sumusunod na relasyon sa pag-aari: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogeneity property. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - katangian ng additivity. 3. f(t)F(p-) - displacement theorem. paglipat ng n-th derivative ng orihinal sa imahe (orihinal na teorama ng pagkita ng kaibhan).
