Teorya ng mechanical oscillations. Mga pundasyon ng teorya ng mga oscillations ng mga mekanikal na sistema

Napag-isipan na natin ang pinagmulan ng mga klasikal na mekanika, ang lakas ng mga materyales at ang teorya ng pagkalastiko. Ang pinakamahalagang bahagi ng mekanika ay ang teorya ng vibrations. Ang mga panginginig ng boses ay ang pangunahing sanhi ng pagkasira ng mga makina at istruktura. Nasa pagtatapos na ng 1950s. 80% ng mga aksidente sa kagamitan ay nangyari dahil sa tumaas na vibrations. Ang mga pagbabagu-bago ay mayroon ding nakakapinsalang epekto sa mga taong nauugnay sa pagpapatakbo ng makinarya. Maaari rin silang maging sanhi ng pagbagsak ng mga control system.

Sa kabila ng lahat ng ito, ang teorya ng mga oscillation ay lumitaw bilang isang independiyenteng agham lamang sa pagliko ng ika-19 na siglo. Gayunpaman, ang mga kalkulasyon ng mga makina at mekanismo hanggang sa simula Ang XX siglo ay ginanap sa isang static na setting. Ang pag-unlad ng mechanical engineering, ang paglaki ng kapangyarihan at bilis ng mga makina ng singaw habang binabawasan ang kanilang timbang, ang paglitaw ng mga bagong uri ng mga makina - mga panloob na combustion engine at mga steam turbine ay humantong sa pangangailangan para sa mga kalkulasyon ng lakas na isinasaalang-alang ang mga dynamic na pagkarga. Bilang isang patakaran, ang mga bagong problema sa teorya ng mga oscillations ay lumitaw sa teknolohiya sa ilalim ng impluwensya ng mga aksidente o kahit na mga sakuna na nagreresulta mula sa pagtaas ng mga vibrations.

Ang mga oscillation ay isang paggalaw o pagbabago ng estado, na may isang tiyak na antas ng pag-uulit.

Ang teorya ng mga oscillation ay maaaring nahahati sa apat na panahon.

akopanahon- ang paglitaw ng teorya ng mga oscillations sa loob ng balangkas ng theoretical mechanics (sa katapusan ng ika-16 na siglo - sa katapusan ng ika-18 siglo). Ang panahong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng paglitaw at pag-unlad ng mga dinamika sa mga gawa ni Galileo, Huygens, Newton, d "Alembert, Euler, D. Bernoulli at Lagrange.

Si Leonhard Euler ang naging tagapagtatag ng teorya ng oscillations. Noong 1737, sinimulan ni L. Euler, sa ngalan ng St. Petersburg Academy of Sciences, ang pagsasaliksik sa balanse at paggalaw ng barko, at noong 1749 ang kanyang aklat na "Ship Science" ay inilathala sa St. Petersburg. Ito ay sa gawaing ito ni Euler na ang mga pundasyon ng teorya ng static na katatagan at ang teorya ng oscillations ay inilatag.

Si Jean Leron d "Alembert, sa kanyang maraming mga gawa, ay isinasaalang-alang ang mga indibidwal na problema, tulad ng mga maliliit na oscillations ng isang katawan sa paligid ng sentro ng masa at sa paligid ng axis ng pag-ikot na may kaugnayan sa problema ng precession at nutation ng Earth, oscillations ng isang pendulum , isang lumulutang na katawan, bukal, atbp. Ngunit ang pangkalahatang teoryang Pag-aatubili d "Alamber ay hindi lumikha.

Ang pinakamahalagang aplikasyon ng mga pamamaraan ng teorya ng vibration ay ang pang-eksperimentong pagpapasiya ng torsional rigidity ng wire, na isinagawa ni Charles Coulomb. Sa empirikal, itinatag din ni Coulomb ang pag-aari ng isochronism ng maliliit na oscillations sa problemang ito rin. Iniimbestigahan ang pamamasa ng mga panginginig ng boses, ang mahusay na eksperimentong ito ay dumating sa konklusyon na ang pangunahing sanhi nito ay hindi paglaban sa hangin, ngunit ang mga pagkalugi mula sa panloob na alitan sa materyal na wire.

Ang isang malaking kontribusyon sa mga pundasyon ng teorya ng mga oscillations ay ginawa ni L. Euler, na naglatag ng mga pundasyon para sa teorya ng static na katatagan at ang teorya ng maliliit na oscillations, d "Alembert, D. Bernoulli at Lagrange. Sa kanilang mga gawa, ang mga konsepto ng panahon at dalas ng mga oscillations, nabuo ang anyo ng mga oscillations, ang terminong maliliit na oscillations ay ginamit, ang prinsipyo ng superposition ng mga solusyon ay nabuo, ang mga pagtatangka ay ginawa upang palawakin ang solusyon sa isang serye ng trigonometriko.

Ang mga unang gawain ng teorya ng mga oscillations ay ang mga problema ng mga oscillations ng isang pendulum at isang string. Napag-usapan na natin ang tungkol sa mga oscillations ng pendulum - ang praktikal na resulta ng paglutas ng problemang ito ay ang pag-imbento ng orasan ni Huygens.

Kung tungkol sa problema ng string vibrations, ito ay isa sa pinakamahalagang problema sa kasaysayan ng pag-unlad ng matematika at mekanika. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.

acoustic string ito ay isang perpektong makinis, manipis at nababaluktot na sinulid ng isang may hangganang haba ng matigas na materyal, na nakaunat sa pagitan ng dalawang nakapirming punto. Sa modernong interpretasyon, ang problema ng transverse vibrations ng isang string ng haba l bumababa sa paghahanap ng solusyon sa differential equation (1) sa mga partial derivatives. Dito x ay ang coordinate ng string point kasama ang haba, at y- ang transverse displacement nito; H- pag-igting ng string - ang running mass nito. a ay ang bilis ng alon. Ang isang katulad na equation ay naglalarawan din ng mga longitudinal oscillations ng air column sa pipe.

Sa kasong ito, ang paunang pamamahagi ng mga paglihis ng mga puntos ng string mula sa isang tuwid na linya at ang kanilang mga tulin ay dapat na tinukoy, i.e. Ang equation (1) ay dapat matugunan ang mga unang kundisyon (2) at mga kundisyon sa hangganan (3).

Ang unang pangunahing pang-eksperimentong pag-aaral ng string vibrations ay isinagawa ng Dutch mathematician at mekaniko na si Isaac Beckmann (1614–1618) at M. Mersenne, na nagtatag ng ilang regularidad at naglathala ng kanyang mga resulta noong 1636 sa “Book of Consonances”:

Ang mga regularidad ni Mersenne ay theoretically nakumpirma noong 1715 ng mag-aaral ni Newton na si Brooke Taylor. Itinuturing niya ang string bilang isang sistema ng mga materyal na punto at ginagawa ang mga sumusunod na pagpapalagay: lahat ng mga punto ng string ay sabay-sabay na pumasa sa kanilang mga posisyon ng ekwilibriyo (kasabay ng axis x) at ang puwersang kumikilos sa bawat punto ay proporsyonal sa pag-aalis nito y tungkol sa axis x. Nangangahulugan ito na binabawasan nito ang problema sa isang sistema na may isang antas ng kalayaan - equation (4). Tamang natanggap ni Taylor ang unang natural na dalas (pangunahing tono) - (5).

D "Alembert noong 1747 para sa problemang ito ay inilapat ang paraan ng pagbabawas ng problema ng dynamics sa problema ng statics (prinsipyo d" Alamber) at nakakuha ng differential equation para sa mga vibrations ng isang homogenous na string sa mga partial derivatives (1) - ang unang equation ng matematikal na pisika. Hinahanap niya ang solusyon ng equation na ito sa anyo ng kabuuan ng dalawang arbitrary na function (6)

saan at ay periodic functions ng period 2 l. Kapag nililinaw ang tanong ng anyo ng mga pag-andar at Isinasaalang-alang ni d'Alembert ang mga kundisyon sa hangganan (1.2), sa pag-aakalang sa
ang string ay tumutugma sa axis x. Ang ibig sabihin ay
hindi tinukoy sa pahayag ng gawain.

Isinasaalang-alang ni Euler ang isang espesyal na kaso kung kailan
ang string ay pinalihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo at pinakawalan nang walang paunang tulin. Mahalaga na hindi magpataw si Euler ng anumang mga paghihigpit sa paunang hugis ng string, i.e. hindi nangangailangan na maaari itong ibigay nang analytical, isinasaalang-alang ang anumang kurba na "maaaring iguhit sa pamamagitan ng kamay". Ang huling resulta na nakuha ng may-akda: kung
ang hugis ng string ay inilalarawan ng equation
, pagkatapos ay ganito ang hitsura ng mga oscillation (7). Binago ni Euler ang kanyang mga pananaw sa konsepto ng isang function, sa kaibahan sa naunang ideya nito bilang isang analytic expression lamang. Kaya, ang klase ng mga function na pag-aaralan sa pagsusuri ay pinalawak, at si Euler ay dumating sa konklusyon na "dahil ang anumang function ay tutukuyin ang isang tiyak na linya, ang kabaligtaran ay totoo rin - ang mga kurbadong linya ay maaaring mabawasan sa mga function."

Ang mga solusyon na nakuha ng d "Alembert at Euler ay kumakatawan sa batas ng string vibrations sa anyo ng dalawang alon na tumatakbo patungo sa isa't isa. Kasabay nito, hindi sila sumang-ayon sa anyo ng function na tumutukoy sa baluktot na linya.

Si D. Bernoulli, sa pag-aaral ng mga vibrations ng isang string, ay kumuha ng ibang landas, sinira ang string sa mga materyal na punto, ang bilang ng kung saan siya ay itinuturing na walang katapusan. Ipinakilala niya ang konsepto ng isang simpleng harmonic oscillation ng isang sistema, i.e. tulad ng paggalaw nito, kung saan ang lahat ng mga punto ng system ay nag-o-oscillate nang sabay-sabay na may parehong dalas, ngunit magkaibang mga amplitude. Ang mga eksperimento na isinagawa gamit ang mga tunog na katawan ay humantong kay D. Bernoulli sa ideya na ang pinaka-pangkalahatang paggalaw ng isang string ay binubuo sa sabay-sabay na pagpapatupad ng lahat ng mga paggalaw na magagamit nito. Ito ang tinatawag na superposition ng mga solusyon. Kaya, noong 1753, batay sa mga pisikal na pagsasaalang-alang, nakakuha siya ng isang pangkalahatang solusyon para sa mga vibrations ng string, na ipinakita ito bilang isang kabuuan ng mga bahagyang solusyon, para sa bawat isa kung saan ang string ay yumuko sa anyo ng isang katangian na kurba (8).

Sa seryeng ito, ang unang anyo ng vibration ay kalahating sinusoid, ang pangalawa ay isang buong sinusoid, ang pangatlo ay binubuo ng tatlong kalahating sinusoid, at iba pa. Ang kanilang mga amplitude ay kinakatawan bilang mga pag-andar ng oras at, sa esensya, ay ang pangkalahatang mga coordinate ng system na isinasaalang-alang. Ayon sa solusyon ni D. Bernoulli, ang string motion ay isang walang katapusang serye ng mga harmonic vibrations na may mga tuldok.
. Sa kasong ito, ang bilang ng mga node (mga nakapirming puntos) ay mas mababa ng isa kaysa sa natural na frequency number. Ang paghihigpit sa serye (8) sa isang may hangganang bilang ng mga termino, nakakakuha tayo ng isang may hangganang bilang ng mga equation para sa continuum system.

Gayunpaman, ang solusyon ni D. Bernoulli ay naglalaman ng isang kamalian - hindi nito isinasaalang-alang na ang phase shift ng bawat harmonic ng oscillations ay naiiba.

D. Bernoulli, na nagpapakita ng solusyon sa anyo ng isang trigonometriko serye, ginamit ang prinsipyo ng superposisyon at pagpapalawak ng solusyon sa mga tuntunin ng isang kumpletong sistema ng mga pag-andar. Tama ang kanyang paniniwala na sa tulong ng iba't ibang termino ng formula (8) ay posible na ipaliwanag ang mga harmonic tone na inilalabas ng string nang sabay-sabay sa pangunahing tono nito. Itinuring niya ito bilang isang pangkalahatang batas, na wasto para sa anumang sistema ng mga katawan na gumagawa ng maliliit na vibrations. Gayunpaman, hindi maaaring palitan ng pisikal na pagganyak ang mathematical proof, na hindi ipinakita noon. Dahil dito, hindi naintindihan ng mga kasamahan ang mga solusyon ni D. Bernoulli, bagama't noong 1737 C. A. Clairaut ay ginamit ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye.

Ang pagkakaroon ng dalawang magkaibang paraan ng paglutas sa problema ng string vibrations na dulot ng mga nangungunang siyentipiko noong ika-18 siglo. mabagyong kontrobersya - "argumento tungkol sa string." Ang hindi pagkakaunawaan na ito ay pangunahing may kinalaman sa mga tanong tungkol sa anyo ng mga tinatanggap na solusyon ng problema, tungkol sa analytical na representasyon ng isang function, at kung posible bang kumatawan sa isang arbitrary na function sa anyo ng isang trigonometriko serye. Isa sa pinakamahalagang konsepto ng pagsusuri, ang konsepto ng isang function, ay binuo sa "string dispute".

D "Hindi sumang-ayon sina Alamber at Euler na ang solusyon na iminungkahi ni D. Bernoulli ay maaaring pangkalahatan. Sa partikular, si Euler ay hindi sumang-ayon na ang seryeng ito ay maaaring kumatawan sa anumang "malayang iginuhit na kurba", dahil siya mismo ang tinukoy ngayon ang konsepto ng function.

Joseph Louis Lagrange, pagpasok sa kontrobersya, sinira ang string sa maliliit na arko ng parehong haba na may masa na puro sa gitna, at sinisiyasat ang solusyon ng isang sistema ng mga ordinaryong differential equation na may hangganan na bilang ng mga antas ng kalayaan. Paglampas noon sa limitasyon, nakakuha si Lagrange ng isang resulta na kahalintulad ng kay D. Bernoulli, nang hindi, gayunpaman, nag-post nang maaga na ang pangkalahatang solusyon ay dapat na isang walang katapusang kabuuan ng mga partikular na solusyon. Kasabay nito, pinipino niya ang solusyon ng D. Bernoulli, dinadala ito sa anyo (9), at nakakakuha din ng mga formula para sa pagtukoy ng mga coefficient ng seryeng ito. Kahit na ang solusyon ng tagapagtatag ng analytical mechanics ay hindi nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan ng mathematical rigor, ito ay isang kapansin-pansing hakbang pasulong.

Tungkol sa pagpapalawak ng solusyon sa isang trigonometrikong serye, naniniwala si Lagrange na ang serye ay nag-iiba sa ilalim ng di-makatwirang paunang kondisyon. Pagkaraan ng 40 taon, noong 1807, muling natagpuan ni J. Fourier ang pagpapalawak ng function sa isang seryeng trigonometriko sa ikatlong pagkakataon at ipinakita kung paano ito magagamit upang malutas ang problema, sa gayo'y nakumpirma ang kawastuhan ng solusyon ni D. Bernoulli. Isang kumpletong analytical proof ng Fourier's theorem sa pagpapalawak ng isang single-valued periodic function sa isang trigonometric series ay ibinigay sa integral calculus ng Todgenter at sa "Treatise on Natural Philosophy" ni Thomson (Lord Kelvin) at Tait.

Ang pananaliksik sa mga libreng vibrations ng isang nakaunat na string ay tumagal ng dalawang siglo, na binibilang mula sa gawa ni Beckmann. Ang problemang ito ay nagsilbing isang malakas na pampasigla para sa pag-unlad ng matematika. Isinasaalang-alang ang mga oscillations ng continuum system, si Euler, d "Alembert at D. Bernoulli ay lumikha ng isang bagong disiplina - matematikal na pisika. Mathematization ng physics, ibig sabihin, ang pagtatanghal nito sa pamamagitan ng isang bagong pagsusuri, ay ang pinakadakilang merito ni Euler, salamat sa kung saan ang mga bagong landas sa agham ay aspaltado . Ang lohikal na pag-unlad ng mga resulta Euler at Fourier ay ang kilalang kahulugan ng function ni Lobachevsky at Lejeune Dirichlet, batay sa ideya ng isang one-to-one na pagsusulatan ng dalawang set. Pinatunayan din ni Dirichlet ang posibilidad ng pagpapalawak sa Fourier series ng piecewise continuous at monotone functions.Nakuha din ang isang one-dimensional wave equation at naitatag ang pagkakapantay-pantay ng dalawang solusyon nito, na mathematically na nakumpirma ang koneksyon sa pagitan ng vibrations at waves. Ang katotohanan na ang isang vibrating string ay bumubuo ng tunog na sinenyasan ng mga siyentipiko. mag-isip tungkol sa pagkakakilanlan ng proseso ng pagpapalaganap ng tunog at ang proseso ng vibration ng string. Ang pinakamahalagang papel ng hangganan at mga paunang kondisyon sa naturang mga problema ay ipinahayag din. Para sa pagbuo ng mekanika, isang mahalagang resulta ay ang ang paggamit ng d "Alembert na prinsipyo para sa pagsulat ng mga differential equation ng paggalaw, at para sa teorya ng mga oscillations ang gawaing ito ay gumaganap din ng isang napakahalagang papel, ibig sabihin, ang prinsipyo ng superposition at pagpapalawak ng solusyon sa mga tuntunin ng natural na mga mode ng oscillations ay inilapat. , ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga oscillations ay nabuo - natural na dalas at mode ng mga oscillations.

Ang mga resulta na nakuha para sa libreng vibrations ng isang string ay nagsilbing batayan para sa paglikha ng teorya ng vibrations ng continuum system. Ang karagdagang pag-aaral ng mga vibrations ng hindi magkakatulad na mga string, lamad, at mga rod ay nangangailangan ng paghahanap ng mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng hyperbolic equation ng ikalawa at ikaapat na mga order.

Ang problema ng libreng vibrations ng isang stretch string interesado siyentipiko, siyempre, hindi para sa kanyang praktikal na aplikasyon, ang mga batas ng mga vibrations ay kilala sa isang antas o iba pa sa mga craftsmen na gumawa ng mga instrumentong pangmusika. Ito ay pinatunayan ng hindi maunahang mga instrumento ng string ng mga masters tulad ng Amati, Stradivari, Guarneri at iba pa, na ang mga obra maestra ay nilikha noong ika-17 siglo. Ang mga interes ng mga pinakadakilang siyentipiko na humarap sa problemang ito, malamang, ay nasa pagnanais na magdala ng isang mathematical na batayan sa mga umiiral nang batas ng string vibration. Sa tanong na ito, ang tradisyunal na landas ng anumang agham ay nagpakita mismo, simula sa paglikha ng isang teorya na nagpapaliwanag ng mga alam na katotohanan, upang pagkatapos ay mahanap at maimbestigahan ang mga hindi kilalang phenomena.

IIpanahon - analitikal(huli ng ika-18 siglo - huling bahagi ng ika-19 na siglo). Ang pinakamahalagang hakbang sa pag-unlad ng mekanika ay ginawa ni Lagrange, na lumikha ng isang bagong agham - analytical mechanics. Ang simula ng ikalawang panahon sa pagbuo ng teorya ng mga oscillation ay nauugnay sa gawain ni Lagrange. Sa aklat na Analytical Mechanics, na inilathala sa Paris noong 1788, ibinubuod ni Lagrange ang lahat ng nagawa sa mekanika noong ika-18 siglo at bumuo ng isang bagong diskarte sa paglutas ng mga problema nito. Sa doktrina ng ekwilibriyo, tinalikuran niya ang mga geometric na pamamaraan ng statics at iminungkahi ang prinsipyo ng mga posibleng displacement (ang Lagrange na prinsipyo). Sa dinamika, si Lagrange, na nag-aaplay nang sabay-sabay sa prinsipyo ng d "Alembert at ang prinsipyo ng posibleng mga displacement, ay nakakuha ng pangkalahatang variational equation ng dynamics, na tinatawag ding prinsipyo ng d" Alembert - Lagrange. Sa wakas, ipinakilala niya ang konsepto ng pangkalahatang mga coordinate sa paggamit at nakuha ang mga equation ng paggalaw sa pinaka-maginhawang anyo - ang Lagrange equation ng pangalawang uri.

Ang mga equation na ito ay naging batayan para sa paglikha ng teorya ng maliliit na oscillations na inilarawan ng mga linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang linearity ay bihirang likas sa isang mekanikal na sistema, at sa karamihan ng mga kaso ay ang resulta ng pagpapasimple nito. Isinasaalang-alang ang maliliit na pagbabagu-bago malapit sa posisyon ng balanse, na isinasagawa sa mababang bilis, posibleng itapon ang mga termino ng pangalawa at mas mataas na mga order sa mga equation ng paggalaw na may paggalang sa mga pangkalahatang coordinate at bilis.

Paglalapat ng mga Lagrange equation ng pangalawang uri para sa mga konserbatibong sistema

nakukuha natin ang sistema s second-order linear differential equation na may pare-parehong coefficient

, (11)

saan ako at C ay, ayon sa pagkakabanggit, mga matrice ng inertia at stiffness, ang mga bahagi nito ay magiging inertial at elastic coefficients.

Ang partikular na solusyon (11) ay hinahanap sa form

at naglalarawan ng monoharmonic oscillatory regime na may dalas k, na pareho para sa lahat ng pangkalahatang coordinate. Differentiating (12) dalawang beses tungkol sa t at pinapalitan ang resulta sa mga equation (11), nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear homogeneous na equation para sa paghahanap ng mga amplitude sa matrix form

. (13)

Dahil sa panahon ng mga oscillations ng system ang lahat ng mga amplitude ay hindi maaaring katumbas ng zero, ang determinant ay katumbas ng zero

. (14)

Ang frequency equation (14) ay tinawag na secular equation, dahil ito ay unang isinasaalang-alang nina Lagrange at Laplace sa teorya ng secular perturbations ng mga elemento ng planetary orbits. Ito ay ang equation s-ika degree na may kaugnayan sa , ang bilang ng mga ugat nito ay katumbas ng bilang ng mga antas ng kalayaan ng system. Ang mga ugat na ito ay karaniwang nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod, habang sila ay bumubuo ng spectrum ng natural na mga frequency. Sa bawat ugat tumutugma sa isang partikular na solusyon ng form (12), ang set s Ang mga amplitude ay kumakatawan sa waveform, at ang kabuuang solusyon ay ang kabuuan ng mga solusyong ito.

Ibinigay ni Lagrange ang pahayag ni D. Bernoulli na ang pangkalahatang oscillatory motion ng isang sistema ng mga discrete point ay binubuo sa sabay-sabay na pagpapatupad ng lahat ng harmonic oscillations nito, ang anyo ng isang matematikal na teorama, gamit ang teorya ng pagsasama ng mga differential equation na may pare-parehong coefficients, na nilikha. ni Euler noong 40s ng ika-18 siglo. at ang mga nagawa ni d "Alembert, na nagpakita kung paano pinagsama-sama ang mga sistema ng gayong mga equation. Kasabay nito, kinakailangang patunayan na ang mga ugat ng sekular na equation ay totoo, positibo at hindi pantay sa isa't isa.

Kaya, sa "Analytical Mechanics" nakuha ni Lagrange ang equation ng mga frequency sa isang pangkalahatang anyo. Kasabay nito, inulit niya ang pagkakamaling ginawa ni d "Alembert noong 1761, na ang maramihang mga ugat ng sekular na equation ay tumutugma sa isang hindi matatag na solusyon, dahil diumano sa kasong ito, sekular o sekular na mga termino ay lumilitaw sa solusyon na naglalaman ng t hindi sa ilalim ng tanda ng sine o cosine. Sa bagay na ito, parehong naniniwala sina d'Alembert at Lagrange na ang frequency equation ay hindi maaaring magkaroon ng maramihang mga ugat (d'Alembert-Lagrange's paradox). Sapat na para kay Lagrange na isaalang-alang ang hindi bababa sa isang spherical pendulum o mga oscillation ng isang baras na ang cross section ay, halimbawa, bilog o parisukat, upang matiyak na ang maramihang mga frequency ay posible sa mga konserbatibong mekanikal na sistema. Ang pagkakamaling nagawa sa unang edisyon ng Analytical Mechanics ay naulit sa ikalawang edisyon (1812), na lumitaw sa panahon ng buhay ni Lagrange, at sa pangatlo (1853). Ang pang-agham na awtoridad ng d "Alembert at Lagrange ay napakataas na parehong inulit nina Laplace at Poisson ang pagkakamaling ito, at itinuwid lamang ito pagkatapos ng halos 100 taon na independyente sa isa't isa noong 1858 ni K. Weierstrass at noong 1859 ni Osip Ivanovich Somov , na gumawa ng isang malaking kontribusyon sa pagbuo ng teorya ng mga oscillations ng discrete system.

Kaya, upang matukoy ang mga frequency at anyo ng mga libreng oscillations ng isang linear system na walang paglaban, kinakailangan upang malutas ang sekular na equation (13). Gayunpaman, ang mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikalima ay walang analytical na solusyon.

Ang problema ay hindi lamang ang solusyon ng sekular na equation, kundi pati na rin, sa mas malaking lawak, ang pagsasama-sama nito, dahil ang pinalawak na determinant (13) ay may
mga termino, halimbawa, para sa isang system na may 20 degrees ng kalayaan, ang bilang ng mga termino ay 2.4 10 18, at ang oras na kinakailangan upang buksan ang naturang determinant para sa pinakamakapangyarihang computer noong 1970s, na nagsasagawa ng 1 milyong operasyon bawat segundo, ay humigit-kumulang 1.5 milyong taon , at para sa isang modernong computer "lamang" ng ilang daang taon.

Ang problema sa pagtukoy ng mga frequency at anyo ng mga libreng vibrations ay maaari ding ituring bilang isang problema ng linear algebra at malutas ayon sa numero. Muling pagsusulat ng pagkakapantay-pantay (13) bilang

, (14)

tandaan na ang column matrix ay isang eigenvector ng matrix

, (15)

a sariling kahulugan nito.

Ang paglutas ng problema ng eigenvalues ​​at vectors ay isa sa mga pinakakaakit-akit na problema sa numerical analysis. Kasabay nito, imposibleng magmungkahi ng isang solong algorithm para sa paglutas ng lahat ng mga problemang nakatagpo sa pagsasanay. Ang pagpili ng algorithm ay depende sa uri ng matrix, gayundin sa kung kinakailangan upang matukoy ang lahat ng eigenvalues ​​o tanging ang pinakamaliit (pinakamalaking) o malapit sa isang naibigay na numero. Noong 1846, iminungkahi ni Carl Gustav Jacob Jacobi ang isang umuulit na paraan ng pag-ikot upang malutas ang kumpletong problema sa eigenvalue. Ang pamamaraan ay batay sa isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng elementarya na pag-ikot na, sa limitasyon, ay binabago ang matrix (15) sa isang dayagonal. Ang mga diagonal na elemento ng resultang matrix ay ang nais na eigenvalues. Sa kasong ito, upang matukoy ang mga eigenvalues, kinakailangan ito
arithmetic operations, at para sa eigenvectors
mga operasyon. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang pamamaraan sa XIX na siglo. ay hindi nakahanap ng aplikasyon at nakalimutan nang higit sa isang daang taon.

Ang susunod na mahalagang hakbang sa pagbuo ng teorya ng oscillations ay ang gawain ni Rayleigh, lalo na ang kanyang pangunahing gawain na The Theory of Sound. Sa aklat na ito, isinasaalang-alang ni Rayleigh ang oscillatory phenomena sa mechanics, acoustics at electrical system mula sa isang pinag-isang punto ng view. Si Rayleigh ay nagmamay-ari ng isang bilang ng mga pundamental na theorems ng linear theory of oscillations (theorems on stationarity at properties ng natural frequency). Binabalangkas din ni Rayleigh ang prinsipyo ng reciprocity. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa kinetic at potensyal na enerhiya, ipinakilala niya ang isang dissipative function, natanggap ang pangalan ng Rayleigh at kumakatawan sa kalahati ng rate ng pagwawaldas ng enerhiya.

Sa The Theory of Sound, nag-aalok din si Rayleigh ng isang tinatayang pamamaraan para sa pagtukoy ng unang natural na dalas ng isang konserbatibong sistema

, (16)

saan
. Sa kasong ito, ang ilang anyo ng mga panginginig ng boses ay kinuha upang kalkulahin ang pinakamataas na halaga ng potensyal at kinetic na enerhiya. Kung ito ay nag-tutugma sa unang mode ng system, makukuha natin ang eksaktong halaga ng unang natural na dalas, kung hindi, ang halagang ito ay palaging overestimated. Ang pamamaraan ay nagbibigay ng isang katumpakan na medyo katanggap-tanggap para sa pagsasanay, kung ang static na pagpapapangit ng system ay kinuha bilang ang unang mode ng vibration.

Kaya, noong ika-19 na siglo, sa mga gawa nina Somov at Rayleigh, nabuo ang isang pamamaraan para sa pagbuo ng mga differential equation na naglalarawan ng maliliit na oscillatory motions ng discrete mechanical system gamit ang Lagrange equation ng pangalawang uri.

kung saan sa pangkalahatang puwersa
dapat isama ang lahat ng force factors, maliban sa elastic at dissipative, na sakop ng mga function R at P.

Ang mga equation ng Lagrange (17) sa anyong matrix, na naglalarawan sa mga sapilitang panginginig ng boses ng isang mekanikal na sistema, pagkatapos palitan ang lahat ng mga function, ganito ang hitsura

. (18)

Dito ay ang pamamasa matris, at
ay mga column vector ng mga katumbas na pangkalahatang coordinate, velocities, at accelerations. Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay binubuo ng libre at kasamang mga oscillations, na palaging damped, at sapilitang mga oscillations na nagaganap sa dalas ng nakakagambalang puwersa. Pinipigilan namin ang aming sarili sa pagsasaalang-alang lamang ng isang partikular na solusyon na naaayon sa sapilitang mga oscillations. Bilang isang paggulo, isinasaalang-alang ni Rayleigh ang mga pangkalahatang pwersa na nagbabago ayon sa isang harmonic na batas. Marami ang nag-uugnay sa pagpipiliang ito sa pagiging simple ng kaso na isinasaalang-alang, ngunit nagbibigay si Rayleigh ng mas nakakumbinsi na paliwanag - pagpapalawak sa isang seryeng Fourier.

Kaya, para sa isang mekanikal na sistema na may higit sa dalawang antas ng kalayaan, ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay nagpapakita ng ilang mga paghihirap, na tumataas tulad ng isang avalanche na may pagtaas sa pagkakasunud-sunod ng sistema. Nasa lima o anim na antas ng kalayaan, ang problema ng sapilitang mga oscillation ay hindi maaaring manu-manong lutasin sa klasikal na paraan.

Sa teorya ng mga oscillations ng mga mekanikal na sistema, ang maliit (linear) na mga oscillations ng mga discrete system ay gumaganap ng isang espesyal na papel. Ang teoryang parang multo na binuo para sa mga linear na sistema ay hindi nangangailangan ng pagtatayo ng mga differential equation, at upang makakuha ng solusyon, maaaring agad na magsulat ng mga sistema ng linear algebraic equation. Kahit na ang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga eigenvector at eigenvalues ​​​​(Jacobi) at para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation (Gauss) ay binuo noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo, ang kanilang praktikal na aplikasyon kahit na para sa mga sistema na may maliit na bilang ng mga antas ng kalayaan ay nawala. ng tanong. Samakatuwid, bago ang pagdating ng sapat na makapangyarihang mga computer, maraming iba't ibang mga pamamaraan ang binuo para sa paglutas ng problema ng libre at sapilitang mga oscillations ng mga linear mechanical system. Maraming mga natitirang siyentipiko - mga matematiko at mekaniko ang humarap sa mga problemang ito, tatalakayin sila sa ibaba. Ang pagdating ng malakas na teknolohiya sa pag-compute ay naging posible hindi lamang upang malutas ang malakihang mga linear na problema sa isang bahagi ng isang segundo, kundi pati na rin upang i-automate ang proseso ng pag-compile ng mga sistema ng mga equation.

Kaya, noong siglo XVIII. sa teorya ng maliliit na oscillations ng mga system na may hangganan na bilang ng mga degree ng kalayaan at oscillations ng tuluy-tuloy na nababanat na mga sistema, ang mga pangunahing pisikal na scheme ay binuo at ang mga prinsipyo na mahalaga para sa matematikal na pagsusuri ng mga problema ay ipinaliwanag. Gayunpaman, upang lumikha ng teorya ng mechanical oscillations bilang isang independiyenteng agham, walang sapat na pinag-isang diskarte sa paglutas ng mga problema ng dinamika, at walang mga teknikal na pangangailangan para sa mas mabilis na pag-unlad nito.

Ang paglago ng malakihang industriya sa huling bahagi ng ika-18 at unang bahagi ng ika-19 na siglo, na sanhi ng malawakang pagpapakilala ng makina ng singaw, ay humantong sa paghihiwalay ng mga inilapat na mekanika sa isang hiwalay na disiplina. Ngunit hanggang sa katapusan ng ika-19 na siglo, ang mga kalkulasyon ng lakas ay isinasagawa sa isang static na pagbabalangkas, dahil ang mga makina ay mababa pa rin ang lakas at mabagal na gumagalaw.

Sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, sa pagtaas ng mga bilis at pagbaba sa mga sukat ng mga makina, naging imposible na pabayaan ang mga vibrations. Maraming mga aksidente na naganap mula sa pagsisimula ng resonance o pagkabigo sa pagkapagod sa panahon ng mga vibrations ang nagpilit sa mga inhinyero na bigyang-pansin ang mga proseso ng oscillatory. Sa mga problemang lumitaw sa panahong ito, ang mga sumusunod ay dapat pansinin: ang pagbagsak ng mga tulay mula sa mga dumadaang tren, torsional vibrations ng shaft lines at vibrations ng mga barko ng barko, na nasasabik ng mga puwersa ng inertia ng mga gumagalaw na bahagi ng hindi balanseng mga makina.

IIIpanahon– pagbuo at pag-unlad ng inilapat na teorya ng oscillations (1900–1960s). Pagbuo ng mechanical engineering, pagpapabuti ng mga lokomotibo at barko, ang paglitaw ng mga steam at gas turbine, high-speed internal combustion engine, mga sasakyan, sasakyang panghimpapawid, atbp. humingi ng mas tumpak na pagsusuri ng mga stress sa mga bahagi ng makina. Ito ay idinidikta ng mga kinakailangan ng isang mas matipid na paggamit ng metal. Ang pagliwanag ng mga istruktura ay nagdulot ng mga problema sa panginginig ng boses, na lalong nagiging mapagpasyahan sa usapin ng lakas ng makina. Sa simula ng ika-20 siglo, maraming mga aksidente ang nakakumbinsi na nagpapakita kung ano ang mga sakuna na kahihinatnan ng pagpapabaya sa mga panginginig ng boses o kamangmangan sa mga ito ay maaaring humantong sa.

Ang pagdating ng bagong teknolohiya, bilang panuntunan, ay nagdudulot ng mga bagong problema para sa teorya ng mga oscillations. Kaya sa 30s at 40s. lumitaw ang mga bagong problema, tulad ng stall flutter at shimmy sa aviation, flexural at flexural-torsional vibrations ng mga umiikot na shaft, atbp., na nangangailangan ng pagbuo ng mga bagong pamamaraan para sa pagkalkula ng mga vibrations. Sa pagtatapos ng 1920s, una sa pisika, at pagkatapos ay sa mekanika, nagsimula ang pag-aaral ng mga nonlinear oscillations. Kaugnay ng pagbuo ng mga awtomatikong sistema ng kontrol at iba pang mga teknikal na pangangailangan, mula noong 1930s, ang teorya ng katatagan ng paggalaw ay malawak na binuo at inilapat, ang batayan nito ay ang disertasyon ng doktor ng A. M. Lyapunov "Ang pangkalahatang problema ng katatagan ng paggalaw".

Ang kawalan ng isang analytical na solusyon para sa mga problema ng teorya ng mga oscillations, kahit na sa isang linear na pagbabalangkas, sa isang banda, at ng teknolohiya ng computer, sa kabilang banda, ay humantong sa pagbuo ng isang malaking bilang ng iba't ibang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. .

Ang pangangailangan na magsagawa ng mga kalkulasyon ng vibration para sa iba't ibang uri ng kagamitan ay humantong sa paglitaw noong 1930s ng mga unang kurso sa pagsasanay sa teorya ng mga vibrations.

Paglipat sa IVpanahon(unang bahagi ng 1960s - kasalukuyan) ay nauugnay sa panahon ng siyentipiko at teknolohikal na rebolusyon at nailalarawan sa pamamagitan ng paglitaw ng bagong teknolohiya, pangunahin ang abyasyon at espasyo, mga robotic system. Bilang karagdagan, ang pag-unlad ng power engineering, transportasyon, atbp ay naglagay ng mga problema ng dynamic na lakas at pagiging maaasahan sa unang lugar. Ito ay dahil sa isang pagtaas sa mga bilis ng pagpapatakbo at isang pagbawas sa pagkonsumo ng materyal na may sabay-sabay na pagnanais na madagdagan ang mapagkukunan ng mga makina. Sa teorya ng mga oscillation, parami nang parami ang mga problemang nalulutas sa isang hindi linear na setting. Sa larangan ng mga oscillations ng continuum system, sa ilalim ng impluwensya ng mga hinihingi ng aviation at space technology, ang mga problema ay lumitaw sa dinamika ng mga plate at shell.

Ang pinakamalaking impluwensya sa pag-unlad ng teorya ng mga oscillation sa panahong ito ay ang paglitaw at mabilis na pag-unlad ng electronic computing technology, na humantong sa pagbuo ng mga numerical na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga oscillations.

oscillating motion Ang anumang paggalaw o pagbabago ng estado ay tinatawag, na nailalarawan sa pamamagitan ng isa o ibang antas ng pag-uulit sa oras ng mga halaga ng mga pisikal na dami na tumutukoy sa paggalaw o estado na ito. Ang mga pagbabagu-bago ay katangian ng lahat ng natural na phenomena: ang radiation ng mga bituin pulses; ang mga planeta ng solar system ay umiikot na may mataas na antas ng periodicity; ang mga hangin ay nagpapasigla sa mga panginginig ng boses at mga alon sa ibabaw ng tubig; sa loob ng anumang buhay na organismo, patuloy na nagaganap ang iba't-ibang, ritmikong paulit-ulit na mga proseso, halimbawa, ang puso ng tao ay tumibok nang may kamangha-manghang pagiging maaasahan.

Sa pisika, ang mga vibrations ay nakikilala mekanikal at electromagnetic. Sa tulong ng pagpapalaganap ng mga mekanikal na pagbabago sa density at presyon ng hangin, na nakikita natin bilang tunog, pati na rin ang napakabilis na pagbabagu-bago sa mga electric at magnetic field, na nakikita natin bilang liwanag, nakakatanggap tayo ng malaking halaga ng direktang impormasyon tungkol sa mundo. sa paligid natin. Ang mga halimbawa ng oscillatory motion sa mechanics ay maaaring vibrations ng pendulums, strings, bridges, etc.

Ang mga pagbabago ay tinatawag peryodiko, kung ang mga halaga ng mga pisikal na dami na nagbabago sa proseso ng mga oscillation ay paulit-ulit sa mga regular na agwat. Ang pinakasimpleng uri ng periodic oscillations ay harmonic oscillations. Ang mga oscillations ay tinatawag na harmonic, kung saan ang pagbabago sa oscillating quantity sa paglipas ng panahon ay nangyayari ayon sa sine (o cosine) na batas:

kung saan ang x ay ang displacement mula sa posisyon ng equilibrium;

A - oscillation amplitude - maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium;

- cyclic frequency;

- ang paunang yugto ng oscillation;

- oscillation phase; tinutukoy nito ang offset sa anumang punto ng oras, i.e. tinutukoy ang estado ng oscillatory system.

Sa kaso ng mahigpit na harmonic oscillations ng halaga A, at huwag umasa sa oras.

Paikot na dalas ay nauugnay sa panahon ng T ng mga oscillation at frequency ratio:

(2)

Panahon T Ang mga oscillations ay ang pinakamaliit na yugto ng panahon pagkatapos kung saan ang mga halaga ng lahat ng mga pisikal na dami na nagpapakilala sa mga oscillations ay paulit-ulit.

Dalas Ang mga oscillations ay tinatawag na bilang ng kumpletong oscillations bawat yunit ng oras, sinusukat sa hertz (1 Hz = 1
).

Paikot na dalas katumbas ng numero sa bilang ng mga oscillation na ginawa sa 2 segundo.

Ang isang oscillation na nangyayari sa isang sistema na hindi napapailalim sa pagkilos ng mga variable na panlabas na pwersa bilang resulta ng anumang paunang paglihis ng sistemang ito mula sa isang estado ng matatag na ekwilibriyo ay tinatawag libre(o sariling).

Kung ang sistema ay konserbatibo, kung gayon walang pagwawaldas ng enerhiya ang nangyayari sa panahon ng mga oscillations. Sa kasong ito, ang mga libreng vibrations ay tinatawag walang basa.

Bilis Ang mga pagbabagu-bago ng punto ay tinukoy bilang ang derivative ng time shift:

(3)

Pagpapabilis Ang oscillating point ay katumbas ng derivative ng bilis na may paggalang sa oras:

(4)

Ang equation (4) ay nagpapakita na ang acceleration sa panahon ng harmonic oscillations ay variable, samakatuwid, ang oscillation ay dahil sa pagkilos ng isang variable na puwersa.

Ang pangalawang batas ni Newton ay nagpapahintulot sa iyo na isulat sa mga pangkalahatang tuntunin ang kaugnayan sa pagitan ng puwersa F at acceleration na may mga rectilinear harmonic oscillations ng isang materyal na punto na may masa
:

saan
, (6)

k ay ang koepisyent ng pagkalastiko.

Kaya, ang puwersa na nagdudulot ng harmonic vibrations ay proporsyonal sa displacement at nakadirekta laban sa displacement. Sa bagay na ito, maaari tayong magbigay ng isang dinamikong kahulugan ng isang harmonic oscillation: ang isang harmonic oscillation ay tinatawag na isang oscillation na dulot ng isang puwersa na direktang proporsyonal sa displacement x at nakadirekta laban sa displacement.

Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay maaaring, halimbawa, isang nababanat na puwersa. Ang mga puwersa ng isang kakaibang kalikasan kaysa sa nababanat na mga puwersa, ngunit nagbibigay din ng kasiya-siyang kondisyon (5), ay tinatawag parang nababanat.

Sa kaso ng mga rectilinear oscillations kasama ang x axis, ang acceleration katumbas ng:

.

Pinapalitan ang expression na ito para sa acceleration at ang kahulugan ng lakas
sa ikalawang batas ni Newton, nakukuha natin ang pangunahing equation ng rectilinear harmonic oscillations:


 o
(7)

Ang solusyon sa equation na ito ay equation (1).

Ang programa ng kurso ng teorya ng vibrations para sa mga mag-aaral 4 kursong FACI


Ang disiplina ay batay sa mga resulta ng naturang mga disiplina gaya ng classical general algebra, theory of ordinary differential equation, theoretical mechanics, at the theory of functions of a complex variable. Ang isang tampok ng pag-aaral ng disiplina ay ang madalas na sanggunian sa aparato ng pagsusuri sa matematika at iba pang kaugnay na mga disiplina sa matematika, ang paggamit ng mga praktikal na mahahalagang halimbawa mula sa paksa ng teoretikal na mekanika, pisika, electrical engineering, acoustics.


1. Qualitative analysis ng paggalaw sa isang konserbatibong sistema na may isang antas ng kalayaan

  • Paraan ng phase plane
  • Depende sa panahon ng oscillation sa amplitude. Malambot at matitigas na sistema

2. Duffing equation

  • Expression para sa pangkalahatang solusyon ng Duffing equation sa mga elliptic function

3. Quasi-linear system

  • Mga variable ng Van der Pol
  • Pamamaraan ng average

4. Relaxation vibrations

  • Van der Pol equation
  • Singularly perturbed system ng differential equation

5. Dynamics of Nonlinear Autonomous Systems of General Form with One Degree of Freedom

  • Ang konsepto ng "kagaspangan" ng isang dinamikong sistema
  • Bifurcations ng mga dynamical system

6. Mga Elemento ng teorya ni Floquet

  • Mga normal na solusyon at multiplier ng mga linear system ng differential equation na may periodic coefficients
  • Parametric resonance

7. Equation ng burol

  • Pagsusuri ng pag-uugali ng mga solusyon sa isang Hill-type na equation bilang isang paglalarawan ng aplikasyon ng teorya ng Floquet sa mga linear na sistema ng Hamiltonian na may mga periodic coefficients
  • Ang Mathieu equation bilang isang espesyal na kaso ng Hill-type equation. Ines-Stret diagram

8. Sapilitang mga oscillations sa isang sistema na may nonlinear na puwersa sa pagpapanumbalik

  • Ang ugnayan sa pagitan ng amplitude ng mga oscillations at ang magnitude ng puwersang nagtutulak na inilapat sa system
  • Pagbabago ng mode ng paggalaw kapag binabago ang dalas ng puwersang nagmamaneho. Ang konsepto ng "dynamic" hysteresis

9. Adiabatic invariant

  • Mga Variable ng Action-Angle
  • Pagpapanatili ng adiabatic invariants sa ilalim ng qualitative na pagbabago sa kalikasan ng paggalaw

10. Dynamics ng multidimensional dynamical system

  • Ang konsepto ng ergodicity at paghahalo sa mga dynamical system
  • Pagmamapa ng Poincaré

11. Mga equation ng Lorentz. kakaibang pang-akit

  • Lorentz equation bilang isang modelo ng thermoconvection
  • Bifurcations ng mga solusyon ng Lorentz equation. Paglipat sa kaguluhan
  • Fractal na istraktura ng isang kakaibang pang-akit

12. Mga one-dimensional na pagmamapa. Feigenbaum's versatility

  • Quadratic mapping - ang pinakasimpleng non-linear na pagmamapa
  • Mga pana-panahong orbit ng mga pagmamapa. Bifurcations ng Periodic Orbits

Panitikan (pangunahing)

1. Moiseev N.N. Asymptotic na pamamaraan ng nonlinear mechanics. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Panimula sa teorya ng oscillations at waves. Ed. ika-2. Research Center "Regular at Chaotic Dynamics", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotic Methods sa Theory of Nonlinear Oscillations. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Panimula sa teorya ng nonlinear oscillations. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Panimula sa synergetics. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Oscillations, waves, structures .. - M .: Fizmatlit, 2003.

Panitikan (karagdagan)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Applied Methods sa Theory of Oscillations. Publishing house na "Science", 1988.

8. Stoker J. Nonlinear vibrations sa mekanikal at elektrikal na mga sistema. - M .: Banyagang panitikan, 1952.

9. V. M. Starzhinsky, Applied Methods of Nonlinear Oscillations. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Nonlinear oscillations sa mga pisikal na sistema. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teorya ng vibrations. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Ang libro ay nagpapakilala sa mambabasa ng mga pangkalahatang katangian ng mga proseso ng oscillatory na nagaganap sa radio engineering, optical at iba pang mga sistema, pati na rin sa iba't ibang mga pamamaraan ng husay at dami para sa pag-aaral ng mga ito. Malaking pansin ang binabayaran sa pagsasaalang-alang ng parametric, self-oscillating at iba pang non-linear oscillatory system.
Ang pag-aaral ng mga oscillatory system at mga proseso na inilarawan sa aklat ay ibinibigay ng mga kilalang pamamaraan ng teorya ng oscillations nang walang detalyadong presentasyon at pagpapatibay ng mga pamamaraan mismo. Ang pangunahing pansin ay binabayaran sa pagpapaliwanag ng mga pangunahing tampok ng pinag-aralan na mga modelo ng oscillatory ng mga tunay na sistema gamit ang pinaka-sapat na mga pamamaraan ng pagsusuri.

Libreng oscillations sa isang circuit na may non-linear inductance.
Isaalang-alang natin ngayon ang isa pang halimbawa ng isang de-koryenteng non-linear na konserbatibong sistema, ibig sabihin, isang circuit na may inductance na nakasalalay sa kasalukuyang dumadaloy dito. Ang kasong ito ay walang illustrative at simpleng non-relativistic mechanical analogue, dahil ang dependence ng self-induction sa kasalukuyang ay katumbas para sa mechanics sa kaso ng dependence ng mass sa velocity.

Nakatagpo kami ng mga de-koryenteng sistema ng ganitong uri kapag ang mga core ng ferromagnetic na materyal ay ginagamit sa mga inductor. Sa ganitong mga kaso, para sa bawat ibinigay na core, posible na makakuha ng isang relasyon sa pagitan ng magnetizing field at ang flux ng magnetic induction. Ang kurba na naglalarawan sa pagtitiwala na ito ay tinatawag na kurba ng magnetization. Kung pinabayaan natin ang kababalaghan ng hysteresis, kung gayon ang tinatayang kurso nito ay maaaring katawanin ng graph na ipinapakita sa Fig. 1.13. Dahil ang magnitude ng field H ay proporsyonal sa kasalukuyang dumadaloy sa coil, ang kasalukuyang ay maaaring direktang i-plot sa abscissa axis sa naaangkop na sukat.

Libreng pag-download ng e-book sa isang maginhawang format, panoorin at basahin:
I-download ang aklat na Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, mabilis at libreng pag-download.

  • Mga prinsipyo ng teoretikal na pisika, Mechanics, field theory, elemento ng quantum mechanics, Medvedev B.V., 2007
  • Kurso sa pisika, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruwell E.R., Medvedev D.A.
  • Teknikal na thermodynamics na may mga pangunahing kaalaman sa paglipat ng init at haydrolika, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988